Модули над кольцами обобщенных матриц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Ярдыков, Егор Юрьевич

• Ярдыков, Егор Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ярдыков, Егор Юрьевич

Список обозначений

Введение

1 Общие свойства модулей над кольцами обобщенных матриц

§1. Модули, подмодули и фактормодули.

§2. Малые и существенные подмодули.

§3. Простые модули.

§4. Минимальные подмодули. Цоколь модуля

§5. Максимальные подмодули. Радикал Джекобсона.

2 Плоские, проективные и наследственные модули над кольцами обобщенных матриц

§6. Тензорное произведение и плоские модули

§7. Проективные модули.

§8. Наследственные модули.

3 Наследственность колец эндоморфизмов некоторых групп

§9. Делимые группы.

§10. Нередуцированные группы.

§11. Расщепляющиеся смешанные группы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модули над кольцами обобщенных матриц»

Актуальность темы. Кольца обобщенных (говорят также, «формальных») и, в частности, треугольных матриц обладают многими интересными свойствами. Кольца треугольных матриц часто используют для построения колец с асимметричными свойствами (например, нетеровых слева, но не справа и т. п.). При всем этом любое кольцо, обладающее нетривиальными идемпотентами, при определенных условиях изоморфно некоторому кольцу обобщенных матриц. Представляет интерес изучение модулей над кольцами обобщенных матриц. Можно исследовать как общие свойства таких модулей, так и некоторые специальные классы модулей.

Кольцо эндоморфизмов разложимого модуля является кольцом обобщенных матриц. Верно и обратное. Это обстоятельство подтверждает целесообразность исследования колец обобщенных матриц и модулей над такими кольцами. Кольца обобщенных матриц и модули над ними использовались при изучении абелевых групп с нетеровыми, наследственными кольцами эндоморфизмов [4, §17] , [5], абелевых групп как инъек-тивных модулей над их кольцами эндоморфизмов [21].

С кольцами обобщенных матриц, их связями с контекстами Мориты можно познакомиться в книгах [3, §10], [6, гл.7], [8, 6.10.12], [23]. Один параграф книги Гудерла [12] посвящен кольцам треугольных матриц. Модули над такими кольцами изучаются в статьях [15], [16], [21], [25] и других. Систематические исследования колец матриц и модулей над ними были осуществлены Хагани и Варадараджаном в статьях [14] и [15]. Эти исследования проведены для колец треугольных матриц, что существенно уже общего случая. Авторы, видимо, руководствовались тем, что кольца треугольных матриц наиболее часто встречаются в различных вопросах алгебры, например, в теории представлений артиновых алгебр (см. [9]). Изучение произвольных колец обобщенных матриц (то есть необязательно треугольных) и модулей над ними сталкивается с серьезными трудностями.

Работы Хагани и Варадараджана вызвали большой интерес, и вскоре появилось довольно большое число статей ряда авторов (например, [10], [11], [25]). В этих статьях продолжилась традиция изучения колец треугольных матриц и модулей над ними.

Имеется литература, посвященная и вопросам, поставленным в самом общем виде, например, [1], [5], [13], [21]. Так, в [21] Мюллер описала инъективные оболочки модулей над кольцами обобщенных матриц. Добавим, что аналогичная проблема для проективных модулей в настоящее время не решена.

В настоящей диссертации осуществлено систематическое изучение некоторых вопросов о модулях над кольцами обобщенных матриц. Кроме того, значительное внимание уделяется приложению полученных результатов к кольцам эндоморфизмов абелевых групп. Некоторые результаты, например теоремы 7.4, 8.1, получены для так называемых тривиальных колец обобщенных матриц, то есть колец с нулевыми идеалами следа (треугольные кольца, очевидно, являются тривиальными). Эти результаты обобщают ранее полученные факты для колец треугольных матриц из [15], [12].

Цель работы. Целью диссертационной работы является изучение различных свойств модулей над кольцами обобщенных матриц, а также применение полученных результатов к теории абелевых групп.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. К основным результатам можно отнести следующие.

• Описаны минимальные и максимальные подмодули модулей над кольцами обобщенных матриц, а также цоколь и радикал таких модулей (§3, §4, §5).

• Получен критерий проективности для модулей над кольцами обобщенных матриц с нулевыми идеалами следа (теорема 7.4).

• Получен критерий наследственности для модулей над кольцами обобщенных матриц с нулевыми идеалами следа (теорема 8.1).

• Исследование групп с наследственными кольцами эндоморфизмов сведено к случаю редуцированных групп.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории модулей и абелевых групп, а также при чтении спецкурсов.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на алгебраическом семинаре ТГУ (руководитель — доктор физико-математических наук, профессор П.А. Крылов); на Всероссийских симпозиумах «Абелевы группы» (г. Бийск, 2005 г., 2006 г.); на конференции, посвященной 300-летию со дня рождения JI. Эйлера (г. Томск, ТГУ, 2007 г.). Они были представлены на на XLIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2005 г.); на Международной конференции «Алгебра и ее приложения» (г. Красноярск, 2007 г.); на Международной алгебраической конференции «Ломоносовские чтения» (г. Москва, 2007 г.); на Международной алгебраической конференции, посвящепн-ная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (г. Москва, 2008 г.); на Всероссийской конференции по математике и механике с международным участием (г. Томск, 2008 г.); на Международной алгебраической конференции «Мальцевские чтения» (г. Новосибирск, 2008 г.). По теме диссертации опубликовано девять работ ([26]-[34]).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка литературы и списка обозначений. Глава 1 содержит пять параграфов, главы 2 и 3 — по три параграфа. Работа изложена на 80 страницах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ярдыков, Егор Юрьевич, 2009 год

1. Каравдина Е.Ю. Построение и свойства кольца обобщенных матриц порядка п // Вестник Томского государственного университета. — 2003. - № 280. - С. 46-49.

2. Каш Ф. Модули и кольца / Ф. Каш М.: Мир, 1981. — 386 с.

3. Кашу А.И. Радикалы и кручения в модулях / А.И. Кашу. — Кишинев : Штиинца, 1983. — 156 с.

4. Крылов П.А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов / П.А. Крылов, А.В. Михалев, А.А. Туганбаев. — М.: Факториал Пресс, 2006. 512 с.

5. Крылов П.А. Наследственные кольца эндоморфизмов смешанных абелевых групп // Сиб. матем. ж. — 2002. — Т. 43. — № 1. — С. 108-119.

6. Фейс К. Алгебра : кольца, модули и категории / К. Фейс. — Т. 1. М.: Мир, 1977 688 с.

7. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы : в 2 т. / JI. Фукс. — М.: Мир, 1974. Т. 1. - 335 с.

8. Харченко В.К. Некоммутативная теория Галуа / В.К. Харченко. — Новосибирск : Научная книга, 1996. — 369 с.

9. Auslander M. Representation Theory of Artin Algebras / M. Auslander, I. Reiten, S.O. Smal0// Cambridge University Press, 1995.

10. Birkenmeier G.F. Generalized Triangular Matrix Rings and the Fully Invariant Extending Property / G.F. Birkenmeier, J.K. Park, S.T. Rizvi // Rocky Mountain J. Math. 2002. - V. 32. - №. 4. - P. 1299-1319.

11. Borooah G. Strongly clean triangular matrix rings over local rings / G. Borooah, A.J. Diesl, Th.J. Dorsey // J. Algebra. 2007. - V. 312. -P. 773-797.

12. Goodearl K.R. Ring Theory / K.R. Goodearl. New York-Basel : Dekker, 1976.

13. Green E.L. On the representation theory of rings in matrix form // Pacific J. of Math. 1982. - V. 100. - №. 1. - P. 123-138.

14. Haghany A. Study of formal triangular matrix rings / A. Haghany, K. Varadarajan // Comm. Algebra. 1999. - V. 27. - №. 11. - P. 55075525.

15. Haghany A. Study of modules over formal triangular matrix rings / A. Haghany, K. Varadarajan // J. Pure and Appl. Algebra. — 2000. — V. 147. P. 41-58.

16. Haghany A. Injectivity conditions over a formal triangular matrix ring // Arch. Math. 2002. - V. 78. - P. 268-274.

17. Harada M. Hereditary semi-primary rings and triangular matrix rings // Nagoya Math. J. 1966. - V. 27. - P. 463-484.

18. Hirano Y. Another triangular matrix ring having Auslander-Gorenstein property // Comm. Algebra. 2001. - V. 29. - №. 2. - P. 719-735.

19. Morita К. Flat modules, injective modules and quotient rings j j Math Z. 1971. - V. 120. - P. 25-40.

20. Miiller M. The quotient category of Morita context // J. Algebra. — 1974. V. 28. - P. 384-407.

21. Mtiller M. Rings of quotients of generalized matrix rings // Comm. Algebra. 1987. - V. 15. - P. 1991-2015.

22. Nicholson W.K. Classes of simple modules and triangular rings / W.K. Nicholson , J.F. Watters // Comm. Algebra. 1992. - V. 20. - P. 141-153.

23. Rowen L. Ring Theory / L. Rowen. — New York : Academic Press, 1988.

24. Sakano K. Maximal quotient rings of generalized matrix rings // Comm. Algebra. 1984. - V. 12. - №. 16. - P. 2055-2065.

25. Sheiham D. Universal localization of triangular matrix rings // Proc. Amer. Math. Soc. 2006. - V. 134. - №. 12. - P. 3465-3474.

26. Ярдыков Е.Ю. Простые модули над кольцами обобщенных матриц // Студент и научно-технический прогресс. Математика : материалы XLIII Международной научной студенческой конференции. — Новосибирск : Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 2005. — С. 16-17.

27. Ярдыков Е.Ю. Простые модули над кольцами обобщенных матриц // Абелевы группы : труды Всероссийского симпозиума. — Бийск : РИО БПГУ им. В.М. Шукшина, 2005. С. 55-57.

28. Ярдыков Е.Ю. Проективные модули над кольцами обобщенных треугольных матриц // Абелевы группы : труды Всероссийского симпозиума. Бийск : РИО БПГУ им. В.М. Шукшина, 2006. - С. 50-51.

29. Ярдыков Е.Ю. Простые модули над кольцами обобщенных матриц // Вестник Томского государственного университета. — 2006. № 290. - С. 89-95.

30. Ярдыков Е.Ю. Простые модули над кольцами обобщенных матриц // Фундаментальная и прикладная математика. — 2007. — Т. 13. — № 3. С. 245-247.

31. Ярдыков Е.Ю. О дуальном базисе некоторых проективных модулей над кольцами обобщенных матриц // Вестник Томского государственного университета. — 2007. — № 299. — С. 108-110.

32. Ярдыков Е.Ю. О наследственности кольца эндоморфизмов делимой группы // Алгебра и ее приложения : материалы Международной конференции, посвященой 75-летию В.П. Шункова. — Красноярск : Изд-во Красноярского, гос. ун-та, 2007. — С. 152.

33. Ярдыков Е.Ю. О наследственности кольца эндоморфизмов нередуцированной группы // Материалы Международной алгебраической конференции, посвященнная 100-летию со дня рождения А.Г. Куро-ша. — Москва : Изд-во Московского гос. ун-та, 2008. — С. 270-271.