Моделирование упругих свойств двумерных электрически стабилизированных коллоидных кристаллов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Александров, Юрий Владимирович

• Александров, Юрий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Александров, Юрий Владимирович

Введение

Глава 1. Электрически стабилизированные коллоидные системы

1.1. Теоретическое описание электрически стабилизированных систем

1.1.1. Ранние и упрощенные теории

1.1.2. Теория уравнения ПБ

1.1.3. Связь теории ПБ с более фундаментальными подходами

1.2. Основные модели систем, описываемых уравнением ПБ

1.3. Экспериментальные исследования упругих свойств электрически стабилизированных коллоидных кристаллов

1.4. Теория упругости сред с начальным напряжением

1.4.1. Основные понятия

1.4.2. Упругие постоянные для среды без начального напряжения

1.4.3. Среда под действием произвольного начального напряжения

1.4.4. Связь упругих и силовых постоянных для случая статической примитивной решетки

1.5. Выводы

Глава 2. Модели, методика

2.1. Описание моделей

2.1.1. Основные уравнения

2.1.2. Граничные условия на поверхности частиц, модели 7777 и ПЗ

2.1.3. Граничные условия на внешней границе области определения

2.1.4. Вычисление сил и давления, выбор контура интегрирования

2.2. Методика определения силовых постоянных

2.3. Силовые постоянные коллоидного кристалла с гексагональной решеткой

2.3.1. Ближайшие соседи нулевого порядка

2.3.2. Ближайшие соседи 1-го порядка

2.3.3. Ближайшие соседи 2-го порядка

2.3.4. Ближайшие соседи 3-го порядка

2.4. Силовые постоянные коллоидного кристалла с квадратной решеткой

2.4.1. Ближайшие соседи нулевого порядка

2.4.2. Ближайшие соседи 1-го порядка

2.4.3. Ближайшие соседи 2-го порядка

2.5. Алгоритм определения силовых постоянных

2.6. Выводы

Глава 3. Комплекс программ и вычислительный эксперимент по определению силовых постоянных двумерных коллоидных кристаллов

3.1. Комплекс программ для математического моделирования

упругих свойств коллоидных кристаллов

3.1.1. Программы для создания исходной геометрии

3.1.2. Программа получения первичных данных

3.1.3. Программа, реализующая алгоритм определения силовых и упругих постоянных

3.1.4. Вспомогательная программа для обработки данных

3.2. Метод конечных элементов и триангуляция области определения задачи

3.2.1. Метод конечных элементов

3.2.2. Триангуляция области определения задачи

3.3. Проверка точности решения

3.4. Результаты компьютерного эксперимента

3.5. Оценка влияния размера области определения и типа граничных условий, налагаемых на внешнюю границу области определения, на точность вычислений

3.6. Выводы

Глава 4. Анализ результатов экспериментов

4.1. Упругие постоянные коллоидных кристаллов

4.1.1. Упругие постоянные 1-го порядка

4.1.2. Упругие постоянные 2-го порядка

4.2. Проверка выполнимости соотношения Коши

4.3. Оценка вкладов соседей различных порядков в упругие свойства коллоидных кристаллов

4.4. Выводы

Заключение

Список литературы

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

гцк- гранецентрированная кубическая

ДЛФО- Дерягина-Ландау-Фервея-Овербека

мд- Молекулярная динамика

мк- Монте-Карло

ПБ- Пуассона-Больцмана

пз- постоянная плотность заряда

пп- постоянный потенциал

TMV- Tobacco Mosaic Vims

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование упругих свойств двумерных электрически стабилизированных коллоидных кристаллов»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования

Электрически стабилизированные коллоидные системы - это простейшие представители обширного класса суспензий заряженных объектов. Примерами таких систем чрезвычайно разнообразны и имеют многочисленные технологические применения [1]. Эти системы также играют огромную роль в молекулярной биологии, поскольку практически все протеины в каждой живой клетке, также как и сама молекула ДНК, являются заряженными макромолекулами, растворенными в соленой воде. За последние десятилетия предложено несколько способов описания таких систем, отличающихся разной степенью детальности. Теория на основе нелинейного дифференциального уравнения Пуассона-Больцмана занимает в этой связи центральное место, поскольку, с одной стороны, с хорошей точностью описывает многие особенности электрического взаимодействия коллоидных систем, а с другой стороны, является базой, относительно которой проверяются все остальные теории. Значение этой теории особенно возросло в связи с появлением технологических возможностей получения коллоидных систем с частицами все меньшего размера, соизмеримого с длиной Дебая. Для таких систем становятся существенными нелинейные эффекты, не описываемые линеаризованными теориями.

Несмотря на то, что теоретические основы описания электрически стабилизированных коллоидных систем на основе уравнения Пуассона-Больцмана хорошо разработаны [2, 3], применение этой теории ограничивается в основном простейшими системами, что связано со сложностью численного решения нелинейного дифференциального уравнения. В связи с этим особое значение приобретает разработка точных и универсальных методов математического моделирования физически интересных систем, то есть систем с разнообразием электрических свойств, сложной геометрией и большим числом частиц.

Важным примером таких систем являются электрически стабилизированные коллоидные кристаллы, то есть системы, в которых частицы пространственно упорядочены. Как и обычные кристаллы, они обладают определенными свойствами упругости, но, в отличие от них, являются системами с начальным напряжением. Математическое моделирование упругих свойств электрически стабилизированных коллоидных кристаллов дополняет натурный эксперимент и позволяет получить сведения о силовых постоянных и модулях упругости этих сред. Сведения об упругих свойствах важны для технологических применений. Кроме того, моделирование позволяет получить информацию о характере взаимодействия в электрически стабилизированных системах, об их акустических свойствах и о фазовых переходах в них, а также о свойствах эффективных взаимодействий частиц. Все вышесказанное обосновывает актуальность темы диссертационного исследования.

Цель и задачи исследования

Цель работы: Исследование силовых и упругих постоянных двумерных электрически-стабилизированных коллоидных кристаллов средствами математического моделирования.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Разработка методики компьютерного эксперимента по определению силовых и упругих постоянных двумерных электрически-стабилизированных коллоидных кристаллов.

2. Создание программного комплекса, реализующего методику определения силовых и упругих постоянных.

3. Проведение экспериментов по определению зависимостей силовых и упругих постоянных двумерных электрически-стабилизированных коллоидных кристаллов от параметров моделей.

4. Анализ результатов экспериментов, формулировка выводов по их итогам.

Методы исследования

При решении поставленных задач применялись методы теории дифференциальных уравнений, математического моделирования, вычислительной математики, теории упругости, а также средства программирования на языках высокого уровня и библиотеки программ.

Научная новизна положений, выносимых на защиту

1. В рамках классической теории на основе нелинейного дифференциального уравнения Пуассона-Больцмана построены четыре модели двумерных электрически стабилизированных коллоидных структур, отличающихся: 1) наличием пространственной периодичностью, 2) включением большого число взаимодействующих частиц.

2. Разработан новый алгоритм определения силовых и упругих постоянных коллоидных кристаллов в рамках построенных моделей, в котором учтены: 1) свойства симметрии моделей, 2) вклады ближайших соседей высоких порядков.

3. Разработан новый программный комплекс, позволяющий проводить вычислительные эксперименты по определению силовых и упругих постоянных двумерных электрически стабилизированных коллоидных кристаллов в рамках теории на основе уравнения Пуассона-Больцмана при различных межчастичных расстояниях, размерах и электрических параметрах макроионов.

4. Обнаружены существенные отклонения от соотношений Коши для упругих постоянных коллоидных кристаллов рассматриваемых типов, что свидетельствует о многочастичном характере эффективного взаимодействия макроионов в таких системах.

5. Впервые установлено, что упругие свойства двумерных электрически стабилизированных коллоидных кристаллов практически полностью

Достоверность результатов, представленных в диссертации, обеспечивается применением классической теории на основе уравнения Пуассона-Больцмана, корректностью применения математического аппарата и численных методов, проверкой предельных и специальных случаев, сопоставлением результатов с литературными данными.

Практическая ценность результатов работы

Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы в практике научных и технологических лабораторий для компьютерного моделирования упругих свойств электрически стабилизированных коллоидных кристаллов.

Реализация результатов работы

Результаты диссертационной работы использованы при выполнении гранта РФФИ №09-01-97012 «Математическое моделирование упругих и решеточных свойств наноразмерных коллоидных кристаллов».

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на 42-й, 43-й, 44-й и 45-й научно-технических конференциях УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях» (Ульяновск, УлГТУ, 28 января - 4 февраля 2008 г., 26-31 января 2009 г., 1-7 февраля 2010 г., 24-29 января 2011 г.), Всероссийской конференций «Проведение научных исследований в области обработки, хранения, передачи и защиты информации» (Ульяновск, 1-5 декабря 2009 г.), 7-й Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 3-6 июня 2010 г.), 3-й Российской научно-технической конференции аспирантов, студентов и молодых ученых

«ИВТ-2011» (Ульяновск, 24-25 мая 2011 г.), 7-й Всероссийской научно-практической конференции (с участием стран СНГ) «Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем» (Ульяновск, 22-23 сентября 2011 г.)

Получены два свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ «Двумерный коллоидный кристалл с квадратной решеткой в модели уравнения Пуассона-Больцмана ^иас15)», № 2011616981, М.: РОСПАТЕНТ, 08.09.2011 и «Численное решение уравнения Пуассона-Больцмана для двумерных коллоидных кристаллов с квадратной решеткой», № 2011617862, М.: РОСПАТЕНТ, 07.10.2011.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, одна из которых в издании из перечня ВАК, два зарегистрированных программных продукта, и десять в других изданиях, включая тематические сборники и материалы международных и всероссийских научно-технических конференций.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 126 наименований, и 3 приложений. Общий объем диссертации составляет 138 страниц и содержит 16 таблиц и 50 рисунков.

1.1. Теоретическое описание электрически стабилизированных систем

С физической точки зрения электрически стабилизированные коллоидные системы и, в частности, коллоидные кристаллы являются суспензиями заряженных объектов. Примерами таких систем чрезвычайно разнообразны и имеют многочисленные технологические применения [1], наиболее важным из которых, по-видимому, является возможность создания на их основе фотонных и фононных кристаллов [4, 5, 6, 7]. Кроме того, эти системы играют важную роль в молекулярной биологии, поскольку многие биологические объекты, включая молекулы ДНК, являются электрически заряженными, а жидкие биологические среды часто представляют собой электролиты.

Теоретическим исследованиям электрически стабилизированных систем уже около ста лет, и к настоящему времени разработано несколько теорий, отличающихся той или иной степенью приближения, среди которых теория на основе уравнения ПБ занимает центральное место. В данном разделе

1) рассматриваются ранние упрощенные и линеаризованные теории,

2) дается описание теории ПБ 3) обсуждается связь теории ПБ с более фундаментальными подходами.

1.1.1. Ранние и упрощенные теории

Примитивная модель

Рассмотрим теперь растворы, содержащие заряженные коллоиды и малые ионы. При рассмотрении таких систем используется, главным образом, подход, известный как «примитивная модель». Согласно этой

модели дискретной природой полярного растворителя пренебрегается. Система рассматривается как смесь заряженных твердых сфер диаметром ст., валентностью и концентрацией , погруженная в непрерывный растворитель с диэлектрической проницаемостью е [1, 8].

Теория Дебая-Хюккеля Теория Дебая-Хюккеля [9] дает точное описание предельного случая бесконечно разбавленных растворов. По этой причине практическое применение ее к коллоидным системам ограничено. Согласно этой теории все заряженные компоненты системы, как ионы, так и коллоиды, рассматриваются как точечные объекты, то есть сг = 0 для всех I. Корреляции описываются в рамках линеаризованной теории среднего поля. Одной из черт теории Дебая-Хюккеля является наличие двух несовпадающих между собой определений давления в растворе. Такая термодинамическая противоречивость является следствием приближенного характера теории. Еще одним недостатком теории является появление в парной функции распределения нефизических отрицательных значений.

Скорректированные теории на основе теории Дебая-Хюккеля Теорию Дебая-Хюккеля можно улучшить в нескольких направлениях [10, 11, 12]. Прежде всего, можно учесть конечный размер коллоидов, сх = 2а. Кроме того, коллоид-коллоидные корреляции можно учесть в рамках нелинейного подхода. Однако эти улучшения качественно не меняют основных результатов классической теории Дебая-Хюккеля. Остаются неустраненными и все термодинамические противоречия теории, связанные, в частности, с неоднозначностью определения давления.

Описание электрически заряженных коллоидных систем на основе уравнения ПБ позволяет вычислить средние локальные плотности ионов р1(г) и средний локальный электростатический потенциал (р(г) вокруг

коллоидов, находящихся в фиксированном положении в конфигурации гк. Неоднородная ионная жидкость находится в равновесии с резервуаром солевого раствора и испытывает внешнее воздействие со стороны макроионов. Уравнение Пуассона связывает потенциал (р или электрическое поле Е = —'У (р со средней плотностью заряда :

V > = -V • (БЁ) = -ре1 / = -Чг{1сРс + над /е0. (1.1)

/

Здесь ре1 — средняя локальная плотность заряда (как вне и внутри частицы,

так и на ее границе), рс - средняя локальная плотности числа коллоидных

частиц, - плотность числа ионов типа г, Zi - валентности ионов типа г,

е локальная диэлектрическая проницаемость среды, де - элементарный

заряд, £0 — электрическая постоянная.

На поверхности частицы в общем случае выполняются общие электростатические граничные условия [13].

Удобно рассматривать коллоидную систему как термодинамическую систему, находящуюся в осмотическом равновесии с резервуаром чистого раствора (без макроионов). В рамках приближения ПБ все ионы считаются точечными объектами. Ыс - частичный потенциал средней силы записывается следующим образом [3, 14-20]:

г

и = \ ¡Ре1 {г)<р(г)с!г = ^ §£0£Е2(г)с!г

-Т8 = кТ^(г)(1пр,(г)-\)<Ь

/

//Д = //Д = (1.2)

Здесь Т — абсолютная температура, к - постоянная Больцмана. Интеграл в выражении энергии и берется по всему объему, включающему как жидкую фазу, так и область внутри частицы. Интеграл в выражении для энтропии 5* берется только по области жидкой фазы. Последнее выражение приравнивает химический потенциал раствора его значению ¡11 в резервуаре, при этом - плотность числа ионов типа г в резервуаре. Электрический потенциал ср в резервуаре принимается равным нулю. Выражение (1.2) справедливо для случая фиксированной плотности заряда на поверхности коллоидных частиц (модель постоянного заряда). Оно должно быть дополнено дополнительными членами [16-19], если рассматривается случай постоянного потенциала частиц (модель постоянного потенциала), или если процесс зарядки поверхности является результатов химического равновесия между ионами на поверхности и в объеме [21].

Плотности ионов в растворе определяются распределением Больцмана в среднем поле:

А (г) = АехР ["^Жг) /кТ]. (1.3)

Подстановка выражений для плотностей ионов в уравнение Пуассона

для электростатического потенциала дает уравнение ПБ.

= 1 кт) ■ С1-4)

££0 /

Более подробно уравнение ПБ рассматривается в разделе 2.1.

Уравнение ПБ, являясь нелинейным, не имеет аналитических решений в физически интересных случаях. Поэтому имеется много работ, посвященных линеаризованной теории на основе уравнения ПБ. Введение в линеаризованную теорию содержится, например, в [22]. Справедливость линеаризации сильно зависит от точки линеаризации потенциала. В связи с этим могут быть даны различные определения осмотического давления (по крайней мере два) в рамках линейного подхода. Давление в линеаризованной теории может оказаться даже отрицательным, что невозможно. Интересно, что определения давления в линейной теории отличаются от аналогичного

определения в нелинейной теории [23]. Кроме неоднозначности и противоречивости в определении давления и уравнения состояния, линейная теория может ложно предсказывать разделение фаз в таких важнейших системах, как ДНК в физиологическом солевом растворе и подобных системах.

Отмеченные особенности линеаризованных теорий позволяют сделать вывод о предпочтительности подхода на основе общего нелинейного уравнения ПБ, несмотря на очевидные вычислительные трудности. Основные особенности теории на основе уравнения ПБ:

1) Все ионы рассматриваются как точечные объекты.

2) Пренебрегается флуктуациями ионов.

3) Пренебрегается ион-ионными корреляциями в рамках теории среднего поля.

В силу отмеченных особенностей применимость теории ПБ имеет ограничения. Применимость снижается 1) при сильном электростатическом спаривании, то есть при больших длинах Бьеррума, 2) при больших валентностях ионов (в водных растворах валентность два уже может быть критичной), 3) при высоких плотностях.

Тем не менее, подход к анализу свойств электрически стабилизированных коллоидных систем на основе уравнения ПБ, приобретает в настоящее время все большее значение. Он занимает, в некотором смысле, центральное положение в теории, с одной стороны являясь обобщением более простых и линеаризованных теорий, свободным от многих их ограничений, а с другой стороны имея прочное обоснование в более общих подходах современной статистической механики и теории поля. Он представляет собой базу, относительно которой проверяются все остальные теории. В настоящее время сложилось мнение [3], что современные улучшения теории могут быть приняты, только если они объясняют успех или неудачу теории среднего поля, каковой является теория ПБ.

Уравнение ПБ - это нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка. В общем случае, уравнение ПБ решается вместе с уравнением Лапласа и общими электростатическими граничными условиями. Если решение уравнения ПБ для потенциала найдено, то можно посчитать много важных свойств коллоидов и их термодинамические свойства. В частности силу, действующую на частицы, а также давление. Соответствующие выражения приведены в п. 2.1.

1.1.3. Связь теории ПБ с более фундаментальными подходами

Более общее обоснование уравнения ПБ основано на теории функционала плотности [20, 24-26]. При этом используются два в некотором отношении противоположных подхода. В первом случае выражение для ТУ - частичного потенциала типа (1.2) рассматривается как функционал относительно плотностей коллоидов. Минимизация функционала при условии справедливости уравнения Пуассона для электростатического потенциала и глобальной электронейтральности приводит к набору выражений вида (1.3), которые в этом случае являются уравнениями Эйлера для соответствующей задачи минимизации. Уравнение Пуассона с учетом выражений (1.3) приводит к уравнению ПБ, а большой термодинамический потенциал системы получается как равновесное, минимальное, значение функционала (1.2), вычисленное на решении этого уравнения. Согласно второму подходу исходной точкой является уравнение ПБ, на основе которого конструируется вариационный принцип [27, 28]. Получающиеся при этом функционалы не являются однозначно определенными [29] и требуют дополнительной конкретизации.

Использование функционала плотности в сочетании с линеаризацией и приближениям слабого перекрытия двойных слоев позволяет воспроизвести важные результаты традиционного подхода на основе уравнения ПБ, такие, например, как парный потенциал ДЛФО. Однако, отмечается [3], что

попытки выити за пределы этих аппроксимаций и учесть поправки на нелинейность и многочастичность взаимодействия требуют осторожности, поскольку область применимости получающихся при этом выражений не вполне ясна. Так, в частности, в рамках теоретико-функционального подхода было предсказано притяжение идентичных частиц в условиях пространственных ограничений [30], в то время, как имеется строгое доказательство невозможности такого явления в рамках теории ПБ [31, 32].

Существуют еще более общие подходы к выводу уравнения ПБ на основе теории поля и современных методов статистической механики [20, 33-36, 20, 37], детальное описание которых здесь не приводится.

1.2. Основные модели систем, описываемых уравнением ПБ

В данном разделе рассматриваются основные типы встречающихся в литературе задач, исследовавшихся в рамках теории ПБ. Изолированная частица, находящаяся в растворе электролита.

Присутствие электролита означает, что кроме противоионов, переходящих в раствор с поверхности частицы, имеются фоновые (объемные) концентрации ионов обоих знаков, связанные с электролитом. Случай отсутствия последних (бесконечно разбавленный раствор) является очень специальным и здесь не рассматривается.

Для такой простой системы линеаризованное уравнение ПБ, также как и теория Дебая-Хюккеля, дает аналитическое решение следующего вида:

о~к(г~а)

9(г\(г_а)>>х= -> (1-5)

(1 + ка) г

где г — расстояние от центра частицы, а - радиус частицы, Ьв = / 47ге0екТ — длина Бьеррума, л:"1 - длина Дебая, Ъй - заряд коллоидной частицы. Такую же предельную форму имеет и решение общего, нелинеаризованного, уравнения ПБ для случая бинарного симметричного одновалентного электролита на больших расстояниях от центра частицы [38], при этом заряд

В связи с появлением эффективного заряда возникает концепция ренормализации заряда [39-43]. Имеет место ионная конденсация, то есть сильная аккумуляция противоионов вблизи поверхности частицы. Поскольку нелинейность в распределении плотности противоионов проявляется на коротких расстояниях, коллоиды на больших расстояниях от их поверхности могут рассматриваться так, как будто они описываются линеаризованной теорией, но несут при этом уменьшенный, частично нейтрализованный заряд <2с, который зависит от 2с и га. В рамках приближения ПБ с ростом заряда частицы 2с эффективный заряд достигает насыщения при

некоторой постоянной величине. В этом режиме увеличение Zc компенсируется эквивалентным увеличением конденсирующегося заряда, так, что потенциал на больших расстояниях становится независимым от условий на поверхности частицы [44].

Две взаимодействующие частицы, находящиеся в растворе электролита. Опять существенно наличие электролита, поскольку в бесконечно разбавленных растворах, где отсутствуют ионы растворителя, двойные слои коллоидов неустойчивы. При этом противоионы не концентрируются вблизи поверхности частиц, а распределяются по всему объему. В этом случае взаимодействие коллоидов сводится к кулоновскому [3]. Аналитическое решение для такой системы отсутствует.

Было показано [3, 31, 32], что взаимодействие пары идентичных коллоидов в рамках теории ПБ всегда отталкивательное.

Система из двух частиц интенсивно исследуется, начиная с ранних работ по теории ДЛФО [15, 45]. Пусть В - расстояние между центрами частиц. Для больших частиц, находящихся на расстояниях, близких к контакту, (/ш:»1, 2а «с <а), задачу можно свести к более простой одномерной задаче двух параллельных пластин с той же плотностью заряда, что и на частицах,

пользуясь аппроксимацией Дерягина для нахождения силы межчастичного взаимодействия. В общем случае требуются иные подходы.

В линеаризованной теории можно представить решение электростатического потенциала пары частиц в виде разложения по функциям Бесселя от расстояния г от одной из частиц и полиномам Лежандра от угла в между г и осью, проходящей через центры частиц [15, 46-48]. Для нелинейного случая наилучшие численные результаты дает применение бисферических координат [16, 49, 50]. Стоит отметить, что систематические и точные численные решения удалось получить только спустя сорок лет после первых исследований. Это обстоятельство свидетельствует о сложности получения численного решения даже для такой простой и фундаментальной системы, как изолированная пара частиц.

Для больших удалений, к(Г>- 2а) »1, удается получить

асимптотическое аналитическое выражение для эффективного парного потенциала средней силы. В этом случае можно предположить слабое перекрытие двойных слоев и использовать приближение линейной суперпозиции, так, что потенциал вдали от частиц и, в частности, на срединной плоскости, разделяющей частицы есть сумма вкладов каждой из них по отдельности. Это дает для эффективного парного потенциала следующее выражение:

(г) = т~—^т -, (1.6)

(1 + ка) г

где = 1 / &Г. В линеаризованной теории заменяется на 2с.

Это выражение называется потенциал теории ДЛФО [15, 45], экранированным кулоновским потенциалом или потенциалом Юкавы. Оно справедливо при условии к(г — 2а)»1. На более коротких расстояниях имеют место отклонения от этого потенциала, причем даже в линеаризованной теории [46- 48]. В конкретных расчетах эффективный заряд является либо подгоночным параметром, либо определяется на основе каких-либо априорных теоретических предсказаний [38-44].

Он, по-видимому, является наиболее используемый выражением для потенциала, применяемым для описания сложных систем, включающих более двух частиц. С его помощью удается описать и количественно оценить [3] такие явления, как 1) стабильность заряженных дисперсий относительно необратимой агрегации [15], 2) наличие ближнего порядка в таких системах [51- 59], 3) фазовые переходы жидкость-кристалл, которые имеют место при низких значениях ионной силы [60], прямое измерение силы парного взаимодействия [61- 70], 5) данные моделирования методами МК и МД в рамках примитивной модели [71].

Частицы в условиях пространственных ограничений.

Эта группа задач включает в себя системы с одной или двумя коллоидными частицами, находящимися возле плоской стенки, между двумя параллельными пластинами или в цилиндрической поре. Наиболее интересным фактом, касающимся таких систем, является наблюдавшееся экспериментально [72-75] притяжение между двумя идентичными заряженными частицами в условиях геометрических ограничений. Ранние расчеты в рамках теории на основе уравнения ПБ [76] также показали присутствие сил притяжения. Однако позднее была строго доказана [31, 32] невозможность возникновения сил притяжения между двумя идентичными частицами в цилиндрической поре произвольной формы, включая бесконечно удаленную стенку. Решение в [76] было получено с использованием численного метода конечных элементов и двумерных нерегулярных треугольных сеток. (Благодаря осевой симметрии изначально трехмерная задача сводилась к двумерной.) Причина ошибочности решения в [76] до сих пор не выяснена, но можно предположить недостаточную, либо ошибочно переоцененную, точность вычислений, не позволившую достичь надлежащей сходимости решения. Более поздние вычисления [77] не выявили притяжения в рамках теории ПБ в полном соответствии со строгими результатами.

В работах [76, 77] для решения уравнения ПБ использовался метод конечных элементов и двумерные нерегулярные треугольные сетки. Благодаря осевой симметрии изначально трехмерная задача сводилась к двумерной. Однако использование специфических особенностей задачи, связанных с ее особой простотой или симметрией этим и ограничивалось. В частности, уже не давало преимуществ использование бисферической системы координат, как это имело место в [50] для пары свободных частиц. Поэтому для задач с числом частиц два и более и со сложной геометрией границ актуальной становится задача построение численных процедур решения уравнения ПБ, не опирающихся в своей основе на специфические особенности задачи. Применение метода конечных элементов в сочетании с нерегулярными, возможно, адаптивно перестраиваемыми, сетками, представляется оправданным и перспективным.

1.3. Экспериментальные исследования упругих свойств электрически стабилизированных коллоидных кристаллов

Упругие свойства коллоидных кристаллов экспериментально исследовались в [78- 83].

Недавно был предложен экспериментальный метод определения модулей упругости в коллоидных системах на основе флуктуаций положений частиц средствами видеомикроскопии [84-87]. На его основе в [82] исследовались упругие свойства трехмерного коллоидного кристалла электрически стабилизированных коллоидных частиц. Кристалл обладал ГЦК решеткой. На основании данных о флуктуациях частиц относительно их положений равновесия и теоремы о равнораспределении энергии были получены сведения о силовых постоянных и нормальных модах колебаний, а также о модулях упругости таких кристаллов. Продемонстрировано нарушение соотношения Коши для модулей упругости; это, в свою очередь,

означает, что силы, отвечающие за упругие свойства в таких системах являются нецентральными и многочастичными.

Большим преимуществом метода, использованного в [82], является то, что гидродинамические силы не оказывают никакого влияния на результат. Имеют значение только моментальные конфигурации расположения частиц, которые используются для вычисления средних по ансамблю. Все же стоит отметить, что из-за присутствия гидродинамических сил нормальные моды колебаний в таких системах сильно демпфированы.

Исследуемая в [82] система состояла из частиц, представляющих собой выполненные из полиметилметакрилата сферы диаметром о = 1,66 мкм с полидисперсностью менее 5%. Сферы были стерически стабилизированы и образовывали суспензию в специально подобранной жидкой среде, плотность и показатель преломления которой совпадал с соответствующими параметрами материала частиц. Измерения проводились при температуре Т-295К. Образование кристаллической фазы имело место при объемной доле частиц более 0,31. Эффективный заряд частиц и постоянная Дебая определялись косвенно путем сравнения радиальной функции распределения образцов в жидкой фазе с данными моделирования методом Монте-Карло с парным потенциалом типа потенциала Юкавы. Были получены следующие значения: к~1 =221 ±30нм, 7^=245 + 40 элементарных зарядов.

В результате эксперимента были получены силовые постоянные для ближайших соседей до 3-го порядка включительно. Силовые постоянные соседей 3-го порядка оказались примерно в 100 раз меньше постоянных соседей 1-го порядка. Упругие свойства кристаллов характеризовались модулями упругости В , определяющими связь напряжений и

деформаций. Равновесное давление не измерялось. При объемной доле частиц 0,31 были получены следующие значения модулей упругости: Ьп= 28, Ьи= 9 и ¿>44 = 28, где Ьму-Вцу(7г / кТ (использовалась нотация

[82] отмечают необычное и весьма значительное притяжение между одноименно заряженной частицей и ее ближайшим соседом 2-го порядка при их взаимном сближении (для соседей 1-го порядка наблюдалось ожидаемое отталкивание). Такое поведение, если оно не является артефактом экспериментального метода, свидетельствует о присутствии в системе значительных сил неэлектрической природы. Авторы не приводят соображений относительно возможного происхождения этих сил.

Техника на основе методов видеомикроскопии для исследования упругих постоянных двумерных кристаллов использовалась в [83, 88, 89]. В этой работе был предложен бесконтактный и эффективный метод определения упругих постоянных монослоев трехмерных сфер, так что рассматриваемые системы нельзя считать строго двумерными. Метод, как и в [82], также основан на измерении локальных флуктуаций частиц, трактуемых как флуктуации тензора деформации. Монослои частиц, образующих гексагональную решетку, помещались между двумя стеклянными электродами и находились под действие переменного электрического поля, перпендикулярного плоскости монослоя. Флуктуации частиц фиксировались средствами видеомикроскопии.

Исследуемая система состояла из сферических частиц диаметром ¿/ = 1,8мкм с дисперсностью менее 5%. расстояние между стеклянными электродами равнялось \АО±Ъмкм. Измерялись объемный и сдвиговый модули упругости К и /л, как в случае изотропного материала. Амплитуда и частота электрического поля играли роль псевдотемпературы для коллоидных частиц. Значения объемного модуля упругости, полученные в результате экспериментов, находились в диапазоне 500 5000кТ I а2, где а - период решетки, а модуля сдвига — в диапазоне 50 500 кТ I а2.

Следует отметить, что экспериментальная методика в [83, 88, 89] строится на основе обычной теории упругости без учета начального напряжения. Кроме того, нуждается в дополнительном обосновании использование понятия флуктуации тензора деформации применительно к

смещению отдельной частицы, поскольку это понятие вводится для описания свойств сплошной среды как раз при условии, что элементарный объем включает достаточно много частиц и его размеры много больше межчастичных расстояний [90].

Двумерные кристаллы

Очень интересными системами с уникальными свойствами являются стержнеобразные вирусные частицы: твердые вирусы табачной мозаики (ТМУ ) и ограниченно гибкие бактериофаги и рИ. Суспензии этих частиц образуют жидкие кристаллы разнообразных типов [91]. Сообщалось [92, 93], что твердые ТМУ частицы могут выстраиваться параллельно, образовывая гексагональную упаковку в плоскости, перпендикулярной их оси. Эти структуры очень близки к моделям двумерных коллоидных кристаллов, исследуемых в данной работе. Однако возможность существования таких кристаллов в состоянии равновесия не совсем ясна [91]. Также не имеется сведений о модулях упругости таких кристаллов.

1.4 Теория упругости сред с начальным напряжением

Для поддержания в состоянии равновесия электрически стабилизированного коллоидного кристалла необходимо внешнее механическое напряжение, которым обычно является изотропное давление. Таким образом, в отличие от обычных кристаллов, электрически стабилизированные коллоидные кристаллы представляют собой системы, в которых в состоянии равновесия в общем случае имеется отличное от нуля механическое напряжение. Теория упругости таких кристаллов имеет ряд особенностей, не всегда в должной мере учитываемых в литературе. Кроме того, терминология и обозначения в этой области к настоящему моменту не вполне устоялись. Для уточнения терминологии и обозначений, используемых в данной работе, ниже приводится краткая теоретическая

1.4.1. Основные понятия

Каждая точка Р упругого континуума представляется своими координатами х(Р)в некоторой базовой конфигурации среды. Распределение массы задается плотностью р(х) в базовой конфигурации. Везде ниже чертой сверху обозначается значение соответствующей величины в равновесной конфигурации. В произвольной конфигурации среда может

быть описана путем задания положения х(х) каждой точки х. Смещение точки из ее базового положения записывается тогда как

и(х) = х(х)-х. (1.7)

Декартовы координаты обозначаются греческими буквами:

К(х) = ха(х)~х«> (1-8)

при этом а = 1, 2 в случае двух и а= 1, 2, 3 в случае трех измерений.

Тензоры деформации и вращения. Конфигурация бесконечно малой окрестности каждой точки описывается производными

= (1-9)

которые определяют как состояние деформации, так и ориентацию окрестности. Производные могут быть записаны в виде суммы симметричных и антисимметричных частей:

1 1

есф=^иа.р+ирЛ = (1Л°)

В пределе, когда производные малы, величины еа и соар описывают чистую

деформацию и вращение соответственно. Они называются тензорами бесконечно малой деформации и вращения. Наряду с этим можно использовать лагранжев тензор деформации Г!ар, который отличается от еа р наличием членов второго порядка:

л (и к+ип +и и „). (1-11)

> а/3 2 4 а'Р Р'а У'а У'Р' '

Здесь как обычно используется правило суммирования по повторяющимся индексам. Важность тензора Г1ар в том, что он определяет деформацию среды

даже в том случае, когда производные иа р не малы.

Однородная деформация. Мы рассматриваем только случай, в которых энергия деформации определяется исключительно производными первого порядка иар. Тогда упругие свойства среды полностью определяются ее

поведением под действием общей однородной деформации вида

= (1-12) где производные постоянны во всех точках среды, иа р = иа[}, а 8а[, есть

дельта-символ Кронекера. Поскольку выражение (1.12) есть линейное преобразование, линии, которые были прямыми в базовой конфигурации, остаются прямыми и при деформации.

Плотность упругой энергии при однородной деформации может быть

записана как (Ж -Ж) /V, где Ж и V представляют энергию и объем в базовой конфигурации. Величина Ж может относиться к (свободной) энергии Гельмгольца А, если речь идет об изотермических упругих постоянных, или внутренней энергии Е в случае адиабатических упругих постоянных. В данной работе рассматриваются упругие свойства статической решетки, когда тепловым движением макроионов пренебрегается. Таким образом, решетка макроионов рассматривается при нулевой абсолютной температуре (для макроионов, но не для ионов в электролите); в этом случае обе величины А и Е равны друг другу.

Тензор напряжений. Для описания механического напряжения в среде используется тензор напряжения Коши, который обозначается 5^(х). Этот

тензор может быть определен через компоненты силы, действующей на элемент поверхности с1А некоторой пространственной области среды в направлении наружу из этой области, следующим образом:

Это определение относится к мгновенной конфигурации среды, поэтому тензор есть функция мгновенного положения ха/,. Тензор напряжений

Коши можно выразить также как функцию положения относительно базовой конфигурации:

ГДх) = ^(х(х)). (1.14)

Тензор напряжений Коши является симметричным тензором.

Возможны иные определения тензора напряжений, в которых силы или элементы поверхности, либо обе эти величины, в выражениях, аналогичных определению (1.13), относятся не к текущей, а к базовой, либо какой-либо еще конфигурации. В данной работе эти определения не используются.

1.4.2. Упругие постоянные для среды без начального напряжения

Упругие постоянные среды без начального напряжения являются компонентами тензора четвертого ранга са/}аг, который может быть определен

несколькими эквивалентными способами.

Плотность упругой энергии. До членов второго порядка

(М^ й^) / V ^С'артиах 'а/Зит^'ар^'от г^ссрот^~1 арЧот ' (1-15)

Напряжение. До членов первого порядка

Т -с и =с е =с п (I 1

ар арат от арат от арат 'от' \ ' )

Упругие постоянные сарат удовлетворяют следующим требованиям симметрии:

Сарат ~ Сраат ~ Са§то ~ СашР ' (1 •

Благодаря условиям симметрии (1.17), существует только шесть независимых пар индексов (вместо девяти) в случае трех измерений и три пары (вместо четырех) в случае двух измерений. На этом факте основана нотация Фогта, сводящая набор из четырех индексов в обозначении упругих

1.4.3. Среда под действием произвольного начального напряжения Использование параметров деформации ußa

Плотность упругой энергии. Для однородной деформации можно разложить выражение для плотности упругой энергии (W-W)/V в ряд Тейлора по «^относительно базовой конфигурации. Из-за наличия начального напряжения в выражении появляются члены первого порядка по ußa:

(W-W)IV = Saßuaß + ^Saß^uaßUcTT+... . (1.18)

Коэффициенты Saß являются компонентами тензора напряжений в базовой конфигурации. Коэффициенты разложения (1.18) удовлетворяют следующим свойствам симметрии:

Saß = Sßa , (1.19)

Saßor — Sßaar — SßzSacr — S az8ß(y , ( 1.20)

Saßar — S aßzrr = S ßrS(jjj — S ßaÖm , (1.21)

Saßor — Sßam = SßxSac_ ~ SaoSßt . (1.22)

Следует отметить, что коэффициенты S aßar Не обладают полной симметрией (1.17) коэффициентов с в случае среды без начального напряжения.

Напряжение. Выражение для напряжения имеет более сложную форму.

г I 7 ч> ГГТ kj 1 чу

Тензор напряжении laß при данной деформации можно наити, рассматривая деформированную конфигурацию в качестве новой базисной конфигурации и находя новые коэффициенты, соответствующие коэффициентам Saß:

г, 1

dW(u,u)

У ß Л=0

(1.23)

V(u)

где V(u) - объем среды, определяемый деформацией uaß, a W(u,u) — энергия конфигурации, определяемой выражением

xa(^) = (Saß+vßß)(öpr+ußr)xy. (1.24)

Тогда

Taß = + ~ S<*ßS„r + SaTSßff)Uar . (1.25) Из свойств симметрии (1.19) следует, что Taß = Tßa.

Использование параметров конечной деформации r¡a¡}.

В случае однородной деформации из (1.10) следует, что

7laß=\(Uaß+Ußa+UraUrß^ 0-26)

Плотность упругой энергии. Поскольку r\aß полностью определяют

деформацию среды (даже в случае конечной деформации), плотность энергии упругой деформации может быть представлена в виде ряда только ПО л aß

(W - W) /V - Caß7laß + iCaß^ila¿n„ + .... (1.27)

при этом

С aß — Cßa , (1.28)

С aßrrz — Сßaat — Caßra — С maß , (1.29)

в частности, коэффициенты Сарат обладают полной симметрией (1.17) коэффициентов caßaz в случае среды без начального напряжения.

Связь упругих и силовых постоянных получается [95] путем сравнения коэффициентов Вщ и т. д. разложения плотности энергии упругой

деформации среды по параметрам инфинитезимальной деформации и в

окрестности начальной конфигурации с коэффициентами аналогичного разложения Хы, Ат щ и т. д., здесь пит- номера частиц, по компонентам

смещений ит частиц из положений равновесия. Коэффициенты Ат т.

квадратичного члена разложения называются силовыми постоянными. Опуская выкладки, которые можно найти, например, в [95], получаем, что

^Ш-У^КтиЧтГ (ЬЗО)

пт

где ги - радиус-вектор частицы п.

Для исключения эффектов поверхности при суммировании в (1.30) вводятся симметризованные по второму и четвертому индексам комбинации Ь1]к1 коэффициентов 1>и:

А^^+А*)- (1-31)

Проводя суммирование в (1.30) с учетом (1.31), получаем следующие выражения дляГ) и:

А^-^СЕЛ^/л, (1-32)

2ы т

Наконец, используется связь упругих постоянных Сщ с коэффициентами Ьцк1:

Ст=Ът+Ьт-Ьт- сп8л - сп8]к + сы8п. (1.33)

начальной конфигурации.

1.5. Выводы

1. На основе анализа литературных данных дано описание теории ПБ, ее места в ряду других теорий, основных положений и области применимости.

2. Отмечен недостаток надежных и универсальных численных методов решения нелинейного дифференциального уравнения ПБ для физически значимых систем с большим числом частиц.

3. Сделан обзор типичных модельных задач, а также экспериментальных данных по упругим свойствам электрически стабилизированных коллоидных кристаллов.

4. Дан краткий обзор теории упругости сред с начальным напряжением.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Александров, Юрий Владимирович

4.4. Выводы

1. Обнаружены существенные отклонения от соотношения Коши для упругих постоянных коллоидных кристаллов рассматриваемых типов, что свидетельствует о многочастичном характере эффективного взаимодействия макроионов в таких системах.

2. Получено выражение для оценки относительных вкладов ближайших соседей различных порядков в упругие свойства двумерных коллоидных кристаллов. Показано, что в рассматриваемых моделях упругие свойства практически полностью исчерпываются вкладами ближайших соседей 1-го и 2-го порядков. Вклады соседей более высокого порядка пренебрежимо малы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе средствами математического моделирования проведено исследование упругих свойств двумерных электрически стабилизированных коллоидных кристаллов в рамках теории на основе нелинейного дифференциального уравнения ПБ. Были получены следующие основные результаты.

1. В рамках теории на основе нелинейного дифференциального уравнения ПБ построены четыре математические модели двумерных коллоидных кристаллов с гексагональной и квадратной кристаллической решеткой с постоянным потенциалом и постоянной плотностью заряда частиц, в которых учтены взаимодействия ближайших соседей высоких порядков.

2. Для предложенных моделей коллоидных кристаллов разработан алгоритм определения силовых и упругих постоянных, основанный на внесении возмущения в равновесное состояние кристалла путем смещения одной из частиц.

3. Показано, что учет симметрии моделей дает возможность значительно, на порядок, снизить объем вычислений при математическом моделировании, а также снизить требования к оперативной памяти.

4. Разработан программный комплекс, реализующий алгоритм определения силовых и упругих постоянных двумерных коллоидных кристаллов в рамках теории на основе уравнения ПБ.

5. Проведено математическое моделирование упругих свойств двумерных коллоидных кристаллов в рамках предложенных моделей. В результате получены высокоточные данные о силовых и упругих постоянных кристалла в диапазоне параметров решетки от (почти) контакта частиц до расстояний, на которых взаимодействие ничтожно мало.

6. Обнаружены существенные отклонения от соотношений Коши для упругих постоянных коллоидных кристаллов рассматриваемых типов, что свидетельствует о многочастичном характере эффективного взаимодействия макроионов в таких системах.

7. Получено выражение для оценки относительных вкладов ближайших соседей различных порядков в упругие свойства двумерных коллоидных кристаллов. Показано, что в рассматриваемых моделях упругие свойства практически полностью исчерпываются вкладами ближайших соседей 1 -го и 2-го порядков. Вклады соседей более высокого порядка пренебрежимо малы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Александров, Юрий Владимирович, 2012 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ролдугин, В. И. Физикохимия поверхности / В. И. Ролдугин.

- Долгопрудный : Интеллект, 2008.-568 с.

2. Дерягин, Б.В. Поверхностные силы / Б. В. Дерягин, Н. В. Чураев,

В. М. Муллер. - М. : Наука, 1985. - 399 с.

3. Belloni, L. Colloidal interaction / L. Belloni // J. Phys.: Condens. Matter. 12.

-2000. -Pp. R549-R587.

4. Van Blaaderen, A. Template-directed colloidal crystallization

/ A.van Blaaderen // Nature. 385. - 1997. - Pp. 321-324.

5. Joannopoulos, J. D. Photonic crystals putting a new twist on light

/ J. D. Joannopoulos, P. R.Villeneuve, S. H. Fan // Nature. 386. - 1997. -Pp. 143-149.

6. Горелик, В. С. Оптика глобулярных фотонных кристаллов / В. С. Горелик

// Квантовая электроника. Т.37. №5. - 2007. - С.409-432.

7. Горелик, B.C. Трёхмерные фотонные кристаллы - новые материалы для

нелинейной оптики / В. С. Горелик, А. Д. Кудрявцева, М. В. Тареева, Н. В. Чернега // Труды Десятой юбилейной международной научно-технической конференции «Оптические методы исследования потоков». -Москва, 2009.-С. 42-45.

8. Friedman, Н. L. In Modern Theoretical Chemistry / H. L. Friedman,

W. D. T. Dale, Berne B. J., Ed. - New York : Plenum Press. - 1975. - Vol. 5, Statistical Mechanics. - P. 85.

9. Debye P. Zur Theorie der Elektrolyte / P. Debye, E. Huckel // Z. Phys. 24.

- 1923.-Pp. 185-206.

10. Beresford-Smith, B.The electrostatic interaction in colloidal systems / B. Beresford-Smith, D. Chan, D. J. Mitchell // J. Colloid Interface Sci. 105. -1985.-Pp. 216-234.

11. Warren, P.B. A theory of void formation in charge-stabilized colloidal suspensions at

low ionic strength / P.B. Warren // J. Chem. Phys. 112. - 2000. - Pp. 4683-4698.

12. Belloni, L. A hypernetted chain study of highly symmetrical polyelectrolytes / L. Belloni 11 Chem. Phys. 99. - 1985. - Pp. 43-54.

13. Тамм, И. E. Основы теории электричества: Учеб. пособие для вузов / И. Е. Тамм. - 10-е изд., испр. - М. : Наука, 1989, - 504 с.

14. Fushiki, М. Molecular-dynamics simulation for charged colloidal dispersions /М. Fushiki//J. Chem. Phys. 97. - 1992.-Pp. 6700-6713.

15. Verwey E. J. W. Theory of the Stability of Lyophobic Colloids / E. J. W. Verwey, J. Th. G. Overbeek. - Amsterdam : Elsevier, - 1948. -P. 205.

16. Hoskin, N. E. The Interaction of Two Identical Spherical Colloidal Particles. I.

Potential Distribution / N. E. Hoskin // Philos. Trans. R. Soc. London, Ser. A. 248.

- 1956.-Pp. 433-448.

17. Hoskin, N.E. The interaction of two identical spherical colloidal particles: II. The free

energy / N.E. Hoskin, S. Levine // Philos. Trans. R. Soc. (bond.) A. 248. -1956.

- Pp. 449-466.

18. Bell, G.M. Statistical thermodynamics of concentrated colloidal solutions. Part 1. - Free energy of electrical double layers / G.M. Bell, S. Levine // Trans. Faraday Soc. 53. - 1957. - P. 143-158.

19. Bell, G.M. Statistical thermodynamics of concentrated colloidal solutions. Part 2. - General theory of the double-layer forces on a colloidal particle / G.M. Bell, S. Levine // Trans. Faraday Soc. 54. - 1958. - P. 785-798.

20. Lowen, H. Non linear counterion screening in colloidal suspensions / H. Lowen, J.-P. Hansen, P. A. Madden // J. Chem. Phys. 98. - 1993. -P. 3275-3289.

21. Ninham, B.W. Electrostatic potential between surfaces bearing ionizable groups in

ionic equilibrium with physiologic saline solution

/ B.W. Ninham, V.A. Parsegian // J. Theor. Biol. 31. - 1971. - Pp. 405-428.

22. Deserno, M. Osmotic pressure of charged colloidal suspensions: A unified approach

to linearized Poisson-Boltzmann theory. / M. Deserno, H.-H. von Grünberg // Phys. Rev. E 66. -2002. -P. 011401.

23. Marcus, R. A. Calculation of Thermodynamic Properties of Poly electrolytes

/ R. A. Marcus // J. Chem. Phys. 23. - 1955. - P. 1057-1068.

24. Evans, R. Fundamentals of Inhomogeneous Fluids / R. Evans. -New York :

M. Dekker, 1992.-P. 85.

25. Hansen, J. P. Colloidal suspensions: Density functional theory at work / J. P. Hansen // Observation, Prediction, and Simulation of Phase Transitions in Complex Fluids. NATO-ASI Series C / M. Baus, L. F. Rull, J. P. Ryckaert. -Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1995. - Vol. 460. - Pp. 167-203.

26. Hansen, J. P. Effective interactions between electric double layers / J. P Hansen, H. Löwen // Ann. Rev. Phys. Chem. 51.- 2000. - Pp. 209-242.

27. Reiner, E. S. Variational approach to the electrostatic free energy in charged colloidal

suspensions: general theory for open systems / E. S.Reiner,

C. J. Radke // J. Chem. Soc., Faraday Trans. 86. - 1990. - Pp. 3901-3912.

28. Sharp, K. A. Calculating total electrostatic energies with the non-linear Poisson-

Boltzmann equation / K. A. Sharp, B. Honig // J. Phys. Chem. 94. - 1990.-Pp. 7684-7692.

29. Fogolari, F. On the variational approach to Poisson-Boltzmann free energies / F. Fogolari, J. M. Briggs // Chem. Phys. Lett. 281. - 1997. - Pp. 135-139.

30. Goulding, D. Attraction between like-charged colloidal particles induced by a

surface: A density-functional analysis / D. Goulding, J. P. Hansen // Europhys. Lett. 46. - 1999. - Pp. 407-413.

31. Neu, J.C. Wall-mediated forces between like-charged bodies in electrolyte / J.C. Neu // Phys. Rev. Lett. 82. - 1999. - Pp. 1072-1074.

32. Sader, J. E. Long-range electrostatic attractions between identically-charged particles

in confined geometries: an unresolved problem / J. E. Sader,

D. Y. C. Chan // J. Colloid Interface Sei. 213. - 1999. - Pp. 268-269.

33. Podgornik, R. Inhomogeneous coulomb fluid. A functional integral approach / R. Podgornik, B.Zeks // J. Chem. Soc., Faraday Trans. 2 (84). - 1988. -P. 611-631.

34. Coalson, R. D. Systematic ionic screening theory of macroions / R. D. Coalson,

A. Duncan // J. Chem. Phys. 97. - 1992. - P. 5653-5661.

35. Netz, R. R. Beyond Poisson-Boltzmann: Fluctuation effects and correlation functions

/ R. R. Netz, H. Orland // Eur. Phys. J. E. 1. - 2000. - P. 203-214.

36. Borukhov, I. Adsorption of Large Ions from an Electrolyte Solution: A Modified Poisson-Boltzmann Equation / I. Borukhov, D. Andelman, H. Orland // Electrochim. Acta. 46. - 2000. - P. 221-229.

37. Deserno, M. Cell model and Poisson-Boltzmann theory: A brief introduction / M. Deserno, C. Holm / Ed. by Holm C. and et al // Electrostatic Effects in Soft Matter and Biophysics. - Kluwer, 2001. - P. 27-52.

38. Bell, G. M. Approximate methods of determining the double-layer free energy of

interaction between two charged colloidal spheres / G. M. Bell, S. Levine, L. N. McCartney // J. Colloid Interface Sci. 33. - 1970. - Pp. 335-359.

39. Oosawa, F. Polyelectrolytes / F. Oosawa. - New York : Dekker, 1971. -P. 123.

40. Manning, G.S. Limiting Laws and Counterion Condensation in Polyelectrolyte

Solutions I. Colligative Properties / G.S. Manning // J. Chem. Phys. 51. - 1969.-Pp. 924-933.

41. Alexander, S. Charge renormalization, osmotic pressure and bulk modulus of

colloidal crystals: Theory / S. Alexander, P. M. Chaikin, P. Grant, G. J. Morales, P. Pincus, D. Hone // J. Chem. Phys. 80. - 1984. - Pp. 5776-5781.

42. Ramanathan, G. V. Counterion condensation in micellar and colloidal solutions / G.

V. Ramanathan // J. Chem. Phys. 88. - 1988. - Pp.3887-3892.

43. Kjellander, R. Dressed-ion theory for electrolyte solutions: A Debye-Hiickel-like

reformulation of the exact theory for the primitive model / R. Kjellander, D. J. Mitchell // J. Chem. Phys. 101. - 1994. - Pp. 603-626.

44. Belloni, L. Ionic condensation and charge renormalization in colloidal suspensions /

L. Belloni I I Colloid Surf. A. 140. - 1998. - Pp. 227-243.

45. Дерягин, Б. В. Теория устойчивости сильно заряженных лиофобных золей и

слипания сильно заряженных частиц в растворах электролитов / Б. В. Дерягин, Л. Д. Ландау // ЖЭТФ. Т. 11. №2. - 1941. - С. 802-821.

46. Marcelja, S. Role of solvent structure in solution theory / S. Marcelja, D.J. Mitchell, B.W. Ninham, M.J. Sculley // J. Chem. Soc. Faraday Trans. II. 73. -1977.-Pp. 630-648.

47. Glendinning, A. The electrostatic repulsion between charged spheres from exact

solutions to the linearized poisson-boltzmann equation / A. Glendinning, W. Russel // J. Colloid Interface Sci. 93. - 1983. -Pp. 95-104.

48. Carnie, S.L. Interaction Free Energy Between Identical Spherical Colloidal Particles:

The Linearized Possion-Boltzmann Theory / S.L. Carnie, D.Y.C. Chan// J. Colloid Interface Sci. 155. - 1993. - Pp. 297-312.

49. Ledbetter, J. E. The interaction of two charged spheres in the Poisson-Boltzmann

equation / J. E. Ledbetter, T. L. Croxton, D. A. McQuarrie// Can. J. Chem. 59. - 1981. - Pp. 1860-1864.

50. Carnie, S. L. Computation of forces between spherical colloidal particles: Nonlinear

Poisson-Boltzmann Theory / S. L. Carnie, D. Y. C. Chan, J. Stankovich // J. Colloid Interface Sci. 165. - 1994. - Pp. 116-128.

51. Lindner, P. Neutron, X-ray and Light Scattering - Introduction to an Investigative

Tool for Colloidal and Polymeric Systems / P. Lindner, Th. Zemb. - Amsterdam : North-Holland, 1991. - Pp. 19-31.

52. Corti, M. Quasi-elastic light scattering study of intermicellar interactions in aqueous

sodium dodecyl sulfate solutions / M. Corti, V. Degiorgio // J. Phys. Chem. 85. -1981.-Pp. 711-717.

53.Hayter, J. B. Self-consistent structural and dynamic study of concentrated micelle solutions / J. B. Hayter, J. Penfold // J. Chem. Soc., Faraday Trans. 1. 77. - 1981. -Pp. 1851-1863.

54. Chen, S.H. Small angle neutron scattering studies of the structure and interaction in

mi-cellar and microemulsion systems / S.H. Chen // Ann. Rev. Phys. Chem. 37. -1986.-Pp. 351-399.

55. Parsegian, V.A. Osmotic Stress for the Direct Measurement of Intermolecular Forces

in Methods in Enzymology / V.A. Parsegian, R.P. Rand, N.L. Fullerand, D.C. Rau / L. Packer ed. - New York : Academic Press, 1986, Vol. 127.-Pp. 400-416.

56. Goodwin, J. W. Compression Studies on Aqueous Polystyrene Latices, Colloid and

Polymer Science / J. W. Goodwin, R. H. Ottewill, A. Parentich // Colloid Polym. Sci. 268,- 1990.-Pp. 1131-1140.

57. Dubois, M. Equation of state of a charged bilayer system: measure of the entropy of

the lamellar-lamellar transition in DDABr. / M. Dubois, Th. Zemb, N. Fuller, R.P. Rand, V.A. Parsegian // J. Chem Phys. 108. - 1998. -Pp. 7855-7869.

58. Reus, V. Equation of state and structure of electrostatic colloidal crystals: Osmotic

pressure and scattering study / V. Reus, L. Belloni, Th. Zemb, N. Lutterbach, H. Versmold // J. phys. II France. 7. - 1997. - Pp. 603-626.

59. Bonnet-Gonnet, C. Osmotic Pressure of Latex Dispersions / C. Bonnet-Gonnet,

L. Belloni, B. Cabane //Langmuir. 10 (11). - 1994. - Pp. 4012- 4021.

60. Robbins, M. O. Phase diagram and dynamics of Yukawa systems / M. O. Robbins, K. Kremer, G. S. Grest // J. Chem. Phys. 88,- 1988. -Pp. 3286-3312.

61. Israelachvili, J. N. Intermolecular and surface forces, 2nd edn. / J. N. Israelachvili. - San Diego : Academic, 1991. -Pp. 123-125.

62. Ducker, W. A. Direct Measurement of Colloidal Forces Using an Atomic Force

Microscope / W. A. Ducker, T. J. Senden, R. M. Pashley // Nature. 353.

- 1991.-Pp. 239-241.

63. Leal Calderon, F. Direct measurement of colloidal forces / F. Leal Calderon,

T. Stora, O. Mondain Monval, P. Poulin, J. Bibette // Phys. Rev. Lett. 72.

- 1994.-Pp. 2959-2962.

64. Prieve, D.C. Motion of a Hydrosol Particle in a Colloidal Force Field / D.C. Prieve, F. Lanni, F. Luo Brownian // Faraday Discuss. Chem. Soc. 83.

- 1987.-Pp. 297-307.

65. Prieve, D. C. Scattering of an evanescent surface wave by a microscopic dielectric

sphere / D.C. Prieve, J. Y. Walz //Appl. Opt. 32. - 1993. -Pp. 1629-1641.

66. Flicker, S. G. Measuring double-layer repulsion using total internal-reection microscopy / S. G. Flicker, S. G. Bike // Langmuir. 9. - 1993. - Pp. 257-262.

67. Vondermassen, K. Brownian Motion: A Tool to Determine the Pair Potential Between Colloid Particles / K. Vondermassen, J. Bongers, A. Mueller, H. Versmold//Langmuir. 10 (5). - 1994.-Pp. 1351-1353.

68. Crocker, J. C. Microscopic Measurement of the Pair Interaction Potential of Charge

Stabilized Colloid / J. C. Crocker, D. G. Grier //Phys. Rev. Lett. 73.

- 1994.-Pp. 352-355.

69. Kepler, G. M. Attractive potential between confined colloids at low ionic-strength /

G. M. Kepler, S. Fraden // Phys. Rev. Lett. 73. - 1994. -Pp. 356 -359.

70. Crocker, J. C. When like charges attract: The effects of geometrical confinement on

long-range colloidal interactions / J. C. Crocker, D. G. Grier //Phys. Rev. Lett. 77. -1996.-Pp. 1897-1900.

71. Linse, P. Accurate solution of a highly asymmetric electrolyte: Molecular dynamics

simulation and integral equation / P. Linse // J. Chem. Phys. 93.

- 1990.-P. 1376.

72. Kepler, G. M. Attractive potential between confined colloids at low ionic strength /

G. M. Kepler, S. Fraden // Phys. Rev. Lett. 73. - 1994. - Pp. 356-359.

73. Crocker, J.C. When like charges attract: The effects of geometrical confinement on

long-range colloidal interactions / J. C. Crocker, D. G. Grier // Phys. Rev. Lett. 77.

- 1996.-Pp. 1897-1900.

74. Carbajal-Tinoco, M. D. Static properties of confined colloidal suspensions / M. D. Carbajal-Tinoco, F. Castro-Roman, J. L. Arauz-Lara. // Phys. Rev. E 53. - 1996. - Pp.3745-3749.

75. Larsen, A. E. Like-charge attractions in metastable colloidal crystallites / A. E. Larsen, D. G. Grier // Nature. 385. - 1997. - Pp. 230-233.

76. Bowen, W.R. Long-range electrostatic attraction between like-charged spheres in a

charged pore / W. R. Bowen, A. O. Sharif // Nature. 393. - 1998. -Pp. 663-665.

77. Das, P. K. Electrostatic Double Layer Force between Two Spherical Particles in a

Straight Cylindrical Capillary: Finite Element Analysis / P. K. Das, S. Bhattacharjee, W. Moussa // Langmuir. 19. - 2003. - Pp. 4162-4172.

78. Mitaku, S. Studies of Ordered Monodisperse Polystyrene Latexes. I. Shear Ultrasonic

Measurements / S. Mitaku, T. Ohtsuki, K. Enari, A. Kishimoto, K. Okano // Jpn. J. Appl. Phys. 17. - 1978. - Pp. 305-313.

79. Ohtsuki, T. Studies of Ordered Monodisperse Latexes. II. Theory of Mechanical

Properties / T. Ohtsuki, S. Mitaku, K. Okano // Jpn. J. Appl. Phys. 17. - 1978. - P. 627-635.

80. Mitaku, S. Studies of Ordered Monodisperse Latexes. III. Viscoelasticity and Flow

Properties / S. Mitaku, T. Ohtsuki, K. Okano // Jpn. J. Appl. Phys. 19. - 1980.-Pp. 439-448.

81. Pertsinidis, A. Video microscopy and micromechanics studies of one- and two-

dimensional colloidal crystals / A. Pertsinidis, X. S. Ling // New J. Phys.7. 33. -2005.

82. Reinke, D. Noncentral Forces in Crystals of Charged Colloids / D. Reinke, H. Stark, H.-H. von Griinberg, Andrew B. Schofleld, G. Maret, U. Gasser // Phys. Rev. Lett. 98. - 2007. - P. 038301.

83. Zhang, K. Q. Determination of Elastic Constants of Two-Dimensional Close-Packed

Colloidal Crystals / K. Q. Zhang, Xiang Y. Liu // Langmuir. 25(10). -2009.-Pp. 5432-5436.

84. Zahn, К. Elastic properties of 2D colloidal crystals from video microscopy / K. Zahn,

A. Wille, G. Maret, S. Sengupta, P. Nielaba // Phys. Rev. Lett. 90.

-2003.-P. 155506 .

85. Sengupta, S. Elastic constants from microscopic strain fluctuations / S. Sengupta, P. Nielaba, M. Rao, K. Binder // Phys. Rev. E 61. - 2000. -P. 1072.

86. Keim, P. Harmonic lattice behavior of two-dimensional colloid crystals / P. Keim, G. Maret, U. Herz, H. H.von Grünberg // Phys. Rev. Lett. 92. 21. -2004.-P. 215504.

87. Franzrahe, К. Nonlocal elastic compliance for soft solids: Theory, simulations, and

experiments / K. Franzrahe, P. Keim, G. Maret, P. Nielaba, S. Sengupta // S. Phys. Rev. E78. - 2008. - P. 026106.

88. Zhang, K. Q. Situ Observation of Colloidal Monolayer Nucleation Driven by an

Alternating Electric Field / K. Q. Zhang // Nature. 429. - 2004. - Pp. 739- 743.

89. Zhang, K. Q. Two scenarios of the colloidal phase transitions / K. Q. Zhang, Xiang

Y. Liu//Phys. Rev. Lett. 96. -2006. - Pp. 105701-105704.

90. Ландау, JI. Д. Теоретическая физика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц.

- М. : Наука, 1987. - Т. VII. Теория упругости. - 248 с.

91. Fraden, S. Phase transitions in colloidal suspensions of virus particles / S. Fraden // Observation, Prediction, and Simulation of Phase Transitions in Complex Fluids. NATO-ASI Series С / M. Baus, L. F. Rull, J. P. Ryckaert, editors.

- Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 1995. - Vol. 460. -Pp. 113-164.

92. Bernal, J. D. X-ray and crystallographic studies of plant virus / J. D. Bernal,

I. Fankuchen // J. Gen. Physiol. 25. - 1941. - Pp.111-165.

93. Glucksman, M. J. Three-dimensional structure of a cloning vector. X-ray diffraction

studies of filamentous bacteriophage M13 at 7 A resolution / M. J. Glucksman, S. Bhattacharjee , L. Makowski // J. Mol. Biol. 226.

- 1992.-Pp. 455-470.

94. Barron, T. H. К. Second-ordere lastic constants of a solid under stress / T. H. K. Barron, M. L. Klein // Proc. Phys. Soc. 85.- 1965. - P. 523-532.

95. Wallace, D. C. Lattice Dynamics and Elasticity of Stressed Crystals / D. С. Wallace // Rev. Mod.Phys. 37. - 1965. - P. 57-67.

96. Александров, Ю. В. Модель электрически стабилизированного двумерного

коллоидного кристалла / Ю. В. Александров

// Радиоэлектронная техника: межвузовский сборник научных трудов. -Ульяновск : УлГТУ, 2008. - С. 130-132.

97. Александров, Ю. В. Упругие свойства коллоидного кристалла с квадратной

решеткой в модели постоянного потенциала

/ Ю. В. Александров // Сборник научных трудов 3-й Российской научно-технической конференции аспирантов, студентов и молодых ученых ИВТ-2011.-Ульяновск : УлГТУ, 2011.-С.18-22.

98. Дышловенко, П. Е. Тензор осмотического напряжения в электрически стабилизированных коллоидных кристаллах / П. Е. Дышловенко // Коллоидный журнал. - 2010. - Т. 72, № 5. - С. 620-626.

99. Фейнман, Р. Статистическая механика. Пер. с англ. / Р. Фейнман. -М. : Мир, 1978.-408 с.

100. Ашкрофт, Н. Физика твердого тела: в 2-х т. / Н. Ашкрофт, Н. Мермин. -М. : Мир, 1979.-Т. 1.-400 с. Т. 2.-423 с.

101. Дышловенко П. Е. Двумерный коллоидный кристалл в нелинейной модели Пуассона-Больцмана / П. Е. Дышловенко // Коллоидный журнал. - 2007. -Т. 69, № 1.-С. 18-24.

102. Гельфанд, И. М. Лекции по линейной алгебре / И. М. Гельфанд. -М. : Наука, 1971.-272 с.

103. Дышловенко, П. Е. Двумерный коллоидный кристалл с квадратной решеткой в модели уравнения Пуассона-Больцмана (quad5) / П. Е. Дышловенко, Ю. В. Александров // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011616981. -М.: РОСПАТЕНТ, 08.09.2011.

104. Дышловенко, П. Е. Численное решение уравнения Пуассона-Больцмана для двумерных коллоидных кристаллов с квадратной решеткой / П. Е. Дышловенко, Ю. В. Александров // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011617862. -М.: РОСПАТЕНТ, 07.10.2011.

105. The Fortran Company For Fortran Enthusiasts, by Fortran Enthusiasts. URL: http://www.fortran.com/ (дата обращения 23.12.2011).

106. Multiphysics Modeling and Simulation Software. URL: http://www.comsol.com/ (дата обращения 23.12.2011).

107. MathWorks - MATLAB and Simulink for Technical Computing. URL: http://www.mathworks.com/ (дата обращения 23.12.2011).

108. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич.

- М. : Мир, 1975.-318 с.

109. Деклу, Ж. Метод конечных элементов: Пер. с франц. / Ж. Деклу.

- М. : Мир, 1976.-95 с.

110. Сегерлинд, JI. Применение метода конечных элементов / JI. Сегерлинд. - М. : Мир, 1979.-392 с.

111. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы: Пер. с англ. / Р. Галлагер. - М. : Мир, 1984. - 428 с.

112. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. / О. Зенкевич, К. Морган. - М. : Мир, 1986. - 320 с.

113. Delaunay, В. Sur la sphère vide. A la mémoire de Georges Voronoi / B. Delaunay // Известия Академии наук СССР. VII серия. Отделение математических и естественных наук. №. 6. - 1934. - С. 793-800.

114. Dyshlovenko, Р. Е. AdaptiveMesh Enrichment for the Poisson-Boltzmann Equation / P. E. Dyshlovenko // J. Comp. Phys. - 2001. - V. 172(1). -P. 198-208.

115. Dyshlovenko, P. E. Adaptive numerical method for Poisson-Boltzmann equation and its application / P. E. Dyshlovenko // Comp. Phys. Commun. -2002. -V. 147.-P. 335-338.

116. Dyshlovenko, P. E. Numerical Simulation of Colloidal Interaction / P. E. Dyshlovenko // Nuclear Instruments & Methods in Physics Research A. 502. -2003.-Pp. 651-653.

117. Peraire, J. Adaptive remeshing for compressible flow computations / J. Peraire, M. Vandati, R. Morgan, О. C. Zienkiewicz // J. Comp. Phys. 72, - 1987.-Pp. 449-466.

118. Александров, Ю. В. Силовые постоянные коллоидного наноразмерного кристалла с постоянным потенциалом частиц / Ю. В. Александров, П. Е. Дышловенко // Вузовская наука в современных условиях: тезисы докладов 44-й научно-технической конференции УлГТУ. - Ульяновск : УлГТУ, 2010. - С. 164.

119. Александров, Ю. В. Моделирование упругих и решеточных свойств электрически стабилизированных коллоидных кристаллов со статической квадратной решеткой / Ю. В. Александров, П. Е. Дышловенко, А. Ф. Низаметдинов // Математическое моделирование и краевые задачи: МЗЗ. Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 1: Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. - Самара : СамГТУ, 2010. — С.12-15.

120. Александров, Ю. В. Силовые и упругие постоянные двумерных коллоидных кристаллов / Ю. В. Александров, П. Е. Дышловенко // Вузовская наука в современных условиях: тезисы докладов 45-й научно-технической конференции УлГТУ. - Ульяновск : УлГТУ, 2011. - С. 185.

121. Александров, Ю. В. Силовые постоянные двумерного коллоидного кристалла с квадратной статической решеткой / Ю. В. Александров, П. Е. Дышловенко // Известия вузов. Электроника. - 2011. - № 1(87). -С. 9-16.

122. Александров, Ю. В. Моделирование силовых постоянных двумерного коллоидного кристалла с гексагональной статической решеткой / Ю. В. Александров, П. Е. Дышловенко, А. Ф. Низаметдинов, Д. В. Чернятьев // Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем: труды седьмой всероссийской научно-практической конференции (с участием стран СНГ). - Ульяновск : УлГТУ, 2011. - С. 177-180.

123. Александров, Ю. В. Роль граничных условий при моделировании силовых постоянных электрически стабилизированных коллоидных кристаллов / Ю. В. Александров, П. Е. Дышловенко // Сборник научных трудов всероссийской конференции «Проведение научных исследований в области обработки, хранения, передачи и защиты информации», т.З. -Ульяновск : УлГТУ, 2009. - С. 214-218.

124. Александров, Ю. В. Наноразмерный коллоидный кристалл с постоянным потенциалом макроионов / Ю. В. Александров, П. Е. Дышловенко // Вузовская наука в современных условиях: тезисы докладов 42-й научно-технической конференции УлГТУ. - Ульяновск : УлГТУ, 2008. - С. 135.

125. Александров, Ю. В. Роль граничных условий в задаче определения силовых постоянных двумерного коллоидного кристалла / Ю. В. Александров, П. Е. Дышловенко // Вузовская наука в современных условиях: тезисы докладов 43-й научно-технической конференции УлГТУ. -Ульяновск : УлГТУ, 2009. - С. 27.

126. Александров, Ю. В. Эффекты конечности области определения задачи при численном моделировании силовых постоянных коллоидного кристалла / Ю. В. Александров, П. Е. Дышловенко // Радиоэлектронная техника: межвузовский сборник научных трудов. - Ульяновск : УлГТУ, 2009. -С. 147-150.

Пример файла протокола программы численного решения нелинейного дифференциального уравнения Пуассона-Больцмана (см. п. 3.1.2)

d ka

phipart

3.00000000 1.00000000 2.00000000

Pressure P

Forces Fx

0

-0.00000549 -0.04779727 -0.09560178 -0.14338136 -0.19111496 -0.23897989 -0.28679294 -0.33455890 -0.38238479 -0.43017750 -0.47797833

1.15135884

11

-0.00000551

0.02711593

0.05446434

0.08203009

0.10980373

0.13780409

0.16601731

0.19444620

0.22308796

0.25194404

0.28101592

31

0.00000676

-0.00540638

-0.01080935

-0.01622361

-0.02165591

-0.02702409

-0.03241042

-0.03781547

-0.04318348

-0.04856285

-0.05393249

51

-0.00000550

0.02689416

0.05357221

0.08002733

0.10625943

0.13225564

0.15804018

0.18360088

0.20893627

0.23404878

0.25893743

22

0.00000407 0.00115313 0.00230434 0.00346305 0.00463280 0.00580371 0.00698082 0.00816334 0.00935116 0.01054427 0.01174198

42

0.00000407 0.00114747 0.00228489 0.00341644 0.00454203 0.00566731 0.00678080 0.00788815 0.00898934 0.01008430 0.01117301

63

-0.00002011 -0.00001842 -0.00001671 -0.00001499 -0.00001326 -0.00001151 -0.00000975 -0.00000797 -0.00000618 -0.00000438 -0.00000256

Fy

0

0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000

11

0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000

31

-0.00000166 -0.00005436 -0.00025470 -0.00058926 -0.00105960 -0.00166424 -0.00239827 -0.00326811 -0.00426795 -0.00540302 -0.00667096

51

0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000

22

-0.00000071 0.00120988 0.00242864 0.00365486 0.00488913 0.00613199 0.00738037 0.00863606 0.00989904 0.01116925 0.01244652

42

0.00000640

-0.00121078

-0.00240695

-0.00359540

-0.00477631

-0.00594764

-0.00711328

-0.00827117

-0.00942142

-0.01056389

-0.01169868

63

0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000

103 0.00000261 0.00000418 0.00000312 0.00000205 -0.00000150 0.00000017 -0.00000090 -0.00000196 -0.00000302 -0.00000409 -0.00000515

103 0.00000011 0.00000011 0.00000012 0.00000013 0.00000014 0.00000018 0.00000020 0.00000022 0.00000025 0.00000029 0.00000033

143

0.00000474 0.00000642 0.00000809 0.00000974 0.00001137 0.00001299 0.00001460 0.00001620 0.00001778 0.00001935 0.00002091

143 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000

74

-0.00000362

-0.00000277

-0.00000192

-0.00000107

-0.00000020

0.00000067

0.00000155

0.00000243

0.00000332

0.00000422

0.00000513

74

-0.00002829 -0.00002762 -0.00002695 -0.00002626 -0.00002558 -0.00002488 -0.00002419 -0.00002348 -0.00002277 -0.00002205 -0.00002133

94

0.00000531 0.00000584 0.00000637 0.00000691 0.00000744 0.00000798 0.00000852 0.00000906 0.00000960 0.00001014 0.00001068

94

0.00000027 0.00000094 0.00000161 0.00000229 0.00000296 0.00000364 0.00000432 0.00000500 0.00000568 0.00000636 0.00000704

114

0.00000532 0.00000585 0.00000638 0.00000690 0.00000743 0.00000804 0.00000856 0.00000908 0.00000960 0.00001012 0.00001063

114

0.00000233 0.00000166 0.00000100 0.00000034 -0.00000032 -0.00000098 -0.00000164 -0.00000229 -0.00000294 -0.00000359 -0.00000424

134 0.00000211 0.00000295 0.00000378 0.00000460 0.00000541 0.00000622 0.00000702 0.00000782 0.00000861 0.00000939 0.00001017

134

0.00001671 0.00001604 0.00001538 0.00001473 0.00001408 0.00001497 0.00001434 0.00001370 0.00001307 0.00001245 0.00001184

85

0.00001912 0.00001912 0.00001912 0.00001912 0.00001912 0.00001913 0.00001913 0.00001913 0.00001913 0.00001913 0.00001913

85

-0.00001010 -0.00001010 -0.00001010 -0.00001010 -0.00001009 -0.00001009 -0.00001009 -0.00001009 -0.00001009 -0.00001009 -0.00001009

125

-0.00001911 -0.00001911 -0.00001911 -0.00001911 -0.00001911 -0.00001910 -0.00001910 -0.00001910 -0.00001910 -0.00001910 -0.00001910

125

0.00001284 0.00001284 0.00001284 0.00001284 0.00001284 0.00001284 0.00001284 0.00001284 0.00001284 0.00001283 0.00001283

Пример файла протокола программы, реализующей методику определения силовых

и упругих постоянных (см. п. 3.1.3)

ка = 1. ,00000000

рМраг^ = 2. .00000000

= 1. .00000000

с1 = 3. .00000000

relstep = 0. .01000000

Р = 1. .15135884

аО = 4. .77922250 + /- 0. .00045619

а1 = -2. .70091773 + /- 0. .00013043

Ы = 0. .54098717 + /- 0. .00022120

а2 = -0. .11473022 + /- 0. .00004060

Ь2 = -0. . 12082883 + /- 0. .00002703

Ы111 = 2. .93037816 + /- 0. .00021162

Ы122 = 0. .79484205 + /- 0. .00041050

Ы212 = -0. .31152674 + /- 0. .00030240

С1111 = 4. .08173700 + /- 0. .00021162

С1122 = -0. .35651679 + /- 0. ,00041050

с1212 = 0. .83983210 + /- 0. .00030240

пи = -0. .42450960 + /- 0. .00033593