Моделирование трансформации руслового стока на основе сплайн-функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.27, кандидат технических наук Шаталова, Ксения Юрьевна

• Шаталова, Ксения Юрьевна
• кандидат технических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат технических наук Шаталова, Ксения Юрьевна

Введение.

Глава 1. Методы расчета трансформации речного стока при движении его по руслу.

Глава 2. Интерполяция и аппроксимация наблюденных данных сплайнами и исследование многофакторных зависимостей.

2.1. Интерполяция кубическим сплайном.

2.2. Сглаживающий кубический сплайн.

2.3. Метод остаточных отклонений.

Глава 3. Применение сплайнов для формализации гидрологических процессов.

3.1. Исследование процесса трансформации стока для участка

Средней Оби.

3.2. Оценка русловых потерь в среднем течении р. Амударьи.

3.3. Исследование движения воды по акватории Куйбышевского водохранилища.

Глава 4. Учет трансформации речного стока в имитационной модели функционирования Нижневолжской водноресурсной системы

4.1. Имитационная модель функционирования ВРС.

4.2. Построение модели трансформации гидрографа.

4.3. Расчет трансформации оптимального гидрографа в характерных створах р. Волги ниже Волгоградского гидроузла.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование трансформации руслового стока на основе сплайн-функций»

Актуальность темы. Необходимость обоснованного решения проблем окружающей среды и рационального использования природных ресурсов в настоящее время общепризнаны. Одним из конструктивных подходов является метод математического моделирования. Математические модели достаточно широко применяются для решения задачи оптимального управления использованием природных вод. В последнее десятилетие особое внимание уделяется созданию имитационных систем как инструмента анализа, прогнозирования и управления водными ресурсами речных бассейнов. Одним из слабых мест разработанных семейств имитационных моделей функционирования водноресурсных систем (ВРС) является оценка и учет трансформации водной массы при ее движении.

Математические модели описания движения паводочных волн разрабатываются начиная с XIX в. ив настоящее время создана фундаментальная теория одномерного анализа распространения волны паводка. Предложено много различных моделей как полных гидродинамических, так и упрощенных, основанных на том или ином порядке совместного решения уравнения водного баланса участка (уравнения неразрывности) и упрощенного уравнения движения, записанного либо в форме кривой объемов, либо в виде зависимости расхода от среднего уровня и уклона на участке. При этом временные интервалы моделирования могут изменяться от нескольких часов до нескольких месяцев. Все эти модели могут давать неплохие результаты, но в большинстве своем имеют сложную структуру и требуют большого количества гидро-морфометрической информации, которая не всегда имеется в наличии.

Поэтому, когда расчет трансформации стока при движении его по руслу является не самостоятельной задачей, а составной частью проблемы управления водноресурсной системой речного бассейна, на первый план выступают простота расчетов и минимизация необходимой для этого информации. Таким образом, возникает необходимость разработки метода, учитывающего основные особенности процесса, но более гибкого в 3 вычислительном и информационном отношении, и легко адаптирующегося в имитационных моделях функционирования ВРС.

Следовательно, в настоящее время одной из актуальных проблем в области управления водными ресурсами является разработка методики оценки и учета трансформации руслового стока для совершенствования имитационных моделей функционирования ВРС.

Цель и задачи исследования. Основной целью настоящей работы является анализ и оценка применения методов теории сплайнов в моделях трансформации речного стока с целью совершенствования имитационных моделей функционирования ВРС.

Для реализации поставленной цели потребовалось решение комплекса взаимосвязанных задач:

- исследование процесса движения водных масс в руслах: рек со сложными гидролого-морфометрическими условиями;

- анализ и оценка изменения составляющих руслового водного баланса рек с развитыми поймами;

- оценка эффективности применения кубических сплайнов для расчета трансформации руслового стока рек, расположенных в разных физико-географический условиях с различной антропогенной нагрузкой;

- построение модели трансформации руслового стока и использование ее в имитационной модели функционирования ВРС.

Методика и объект исследований. Методологической основой работы является системный подход в исследовании пространственно-временных закономерностей гидрологических процессов. Для описания и оценки функционирования сложных гидрологических систем использовались теория стохастических процессов, водобалансовые методы, теория сплайн — функций и метод остаточных отклонений.

Объектами исследования являются:

- участок Средней Оби от н/б Новосибирской ГЭС до г. Колпашево -типичный представитель равнинной реки, с небольшими уклонами и скоростью течения. Площадь водосбора 254 ООО км , длина по руслу 540 км.; 4

- участок среднего течения р. Амударьи от г. Керки до в/п Ильчик протяженностью 295 км. - бесприточный и находится в зоне интенсивной водохозяйственной деятельности.

- Куйбышевское водохранилище — одно из крупнейших долинных водохранилищ, имеет сложную конфигурацию, представляя собой ряд озеровидных расширений, соединённых между собой узкостями. Длина водохранилища по судовому ходу между Волжской, Чебоксарской и Нижнекамской ГЭС соответственно 480 и 540 км.

- участок бассейна р. Волги ниже Волгоградского гидроузла -замыкающая часть Нижневолжской водоресурсной системы, где особенно ярко проявляются процессы трансформации речного стока. На этом участке протяженностью более 450 км Волга протекает по засушливой зоне и не имеет притоков.

Научная новизна исследований и полученных результатов.

Научная новизна работы состоит в том, что автором впервые применена теория сплайнов для анализа и оценки пространственно-временной изменчивости руслового стока в сложных гидролого-морфометрических условиях.

Впервые предложены кубические сплайны для описания трансформации руслового стока в условиях развитой поймы и неустойчивости русла и применены для таких рек как Обь, Амударья и Волга.

На основе полученных сплайнов дана оценка непроизводительных (неучтенных) потерь воды для реки Амударья, являющихся одной из составляющих водного баланса.

Разработана методика для прогнозирования изменений гидрографа руслового стока по длине реки.

Практическая ценность. На основе полученных результатов разработана методика расчета трансформации речного стока. Данная методика является составной частью имитационной модели функционирования ВРС и ее применение повышает точность и качество водобалансовых расчетов

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на III и IV международных конгрессах : «Вода: Экология и технология», на III США/СНГ совместной научной конференции по гидрологическим и гидрогеологическим проблемам охраны окружающей среды, научных семинарах ИВП РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8. печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4-х глав и заключения. Основная часть работы содержит 74 страницы машинописного текста, включая 14 рисунков и 5 таблиц. Список литературы включает 115 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Заключение диссертации по теме «Гидрология суши, водные ресурсы, гидрохимия», Шаталова, Ксения Юрьевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Разработана методология оценки пространственных изменений речного стока в руслах рек в результате его трансформации по длине реки на основе кубических сплайн -функций. Предложен подход к их учету в имитационных моделях функционирования водноресурсной системы.

2. Разработанный подход реализован при построении идентификационных гидрологических моделей на участках рек Оби, Волги и Амударьи, различающихся как по физико-географическим условиям, так и по степени антропогенной нагрузки. Достоверность полученных сплайнов и достаточно высокая надежность результатов подтверждены сравнением расчетных и натурных материалов.

4. Построенная модель трансформации стока на участке бассейна р. Оби, позволила оценить степень влияния на гидрограф месячного стока в замыкающем створе каждого из определяющего его факторов.

5. Исследование руслового стока на части бассейна р. Амударьи с помощью полученных на основе сплайн- функций многофакторных уравнений дало возможность оценить непроизводительные (неучтенные) потери воды - одной из существенных составляющих руслового водного и водохозяйственного балансов.

6. Для Куйбышевского водохранилища исследованием с помощью построенных сплайнов установлено, что среднемесячный уровень на при плотинном участке достаточно точно определяется средними уровнями на входных русловых участках рек Волги и Камы.

7. На основе предложенной методологии реализован блок трансформации стока в имитационной модели функционирования Нижневолжской водноресурсной системы, что значительно увеличивает точность расчета, и дает ответ на вопрос когда и как изменения гидрографа в нижнем бьефе Волгоградской ГЭС скажутся на нижележащих участках.

В целом, полученные результаты свидетельствуют о правомерности применения предлагаемого подхода для учета трансформации стока при движении его по руслу в имитационных моделях функционирования водноресурсных систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Шаталова, Ксения Юрьевна, 2004 год

1. Авакян А.Б. и др. Водохранилища мира. М.: Наука, 1979. 287 с.

2. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее применения. М.: Мир, 1972.316с.

3. Аполлов Б.А Гидрологические прогнозы и информации. Л.: Гидрометеоиздат, 1945.

4. Аполлов Б.А., Калинин Г.П., Комаров В.Д. Гидрологические прогнозы. Л.: Гидрометеоиздат, 1974.419 с.

5. Архангельский В.А. Расчеты неустановившегося движения в открытых водотоках. М.: Изд. АН ССР, 1947 399 с.

6. Асарин А.Е., Бестужева К.Н. Водно-энергетические расчеты. М.: Энергоатамиздат, 1986.224с.

7. Асарин А.Е., Бестужева К.Н., Москалев А.А. Современные правила использования водных ресурсов водохранилищ Волжско-Камского каскада гидроузлов.//Водные ресурсы, 1975. №4. С. 109-118.

8. Байдин С.С., Линберг Ф.Н., Самойлов И.В. Гидрология дельты Волги. Л.: Гидрометеоиздат, 1956.

9. Барышников Н.Б., Попов И.В. Динамика русловых потоков и русловые процессы. Л.: Гидрометеоиздат, 1988.454 с.

10. Ю.Беляев А.П., Мамаев Е.Д., Солонин C.B. Об аппроксимацииметеорологических полей дважды кубическими сплайнами //Труды ЛГМИ, 1974. Вып. 51. С.154-158.

11. Бефани А.Н. Основные положения теории речного стока. //Тр. ОГМИ, 1958. T. XII.

12. Бокс Дж., Дженкинс Г. Временные ряды: прогноз и управление. М.: Мир, 1974. Вып. 1.408 е.; вып. 2.272 с

13. Вагер Б.Г. Применение метода матричной факторизации к решению системы дифференциальных уравнений четвертого порядка //Труды ГГО, 1977. Вып.382. С.88-98.

14. М.Вагер Б.Г., Серков H.K. Сплайны при решении прикладных задач метеорологии и гидрологии. JL: Гидрометеоиздат, 1987. 160 с.

15. Вагер Б.Г.Использование одномерных сплайнов при обработке экспериментальных данных//Труды ГТО, 1981. Вып.437. с. 55-60.

16. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. М.: Мир, 1974. 126 с.

17. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск, Наука, 1983.214 с.

18. Васильев О.Ф. и др. Численный метод расчета распространения длинных волн в открытых руслах и приложение его к задаче о паводке. // Новосибирск, ДАН СССР, 1963. Т.151. №3. С.525-527.

19. Великанов A.JL, Коробова Д.Н., Пойзнер В.И. Моделирование процессов функционирования водохозяйственных систем. М.: Наука, 1983. 150 с.

20. Великанов M.A. Гидрология суши. Л.: Гидрометеоиздат, 1964.

21. Великанов М.А. Динамика русловых потоков. JL: Гидрометеоиздат, 1949.472 с.

22. Вершинин В.В., Завьялов Ю.С., Павлов H.H., Экстремальные свойства сплайнов и задача сглаживания. Новосибирск, Наука, 1988. 102 с.

23. Водные ресурсы и водный баланс территории Советского Союза. Л.: Гидрометеоиздат, 1967.199 с.

24. Водный баланс Западной Сибири. // Труды ГГИ, вып.228,220с.

25. Воропаев Г.В., Исмайылов Г.Х., Федоров В.М. Моделирование водохозяйственных систем аридной зоны СССР. М.: Наука, 1984. 312 с.

26. Воропаев Г.В., Исмайылов Г.Х., Федоров В.М. Проблемы управления водными ресурами Арало-Каспийского региона. М.: Наука, 2003. 427 с

27. Воропаев Г.В., Исмайылов Г.Х., Федоров В.М. Развитие водохозяйственных систем. Методы анализа и оценки эффективности их функционирования. М.: Наука, 1989. 295 с.

28. Гильденблат Я.Д., Макулов В.В., Семиколенов A.C. Неустановившийся режим нижнего бьефа гидростанций.//Сб. «Проблемы регулирования речного стока», М.: Изд. АН СССР, 1948. Вып.2,

29. Голубев B.C., Цыценко К.В. Структура и динамика потерь речного стока в низовьях Волги // Метеорология и гидрология, 1995. № 8. С. 85-93.

30. Гончаров В.Н. Динамика русловых потоков. Л.: Гидрометеоиздат, 1962. 383 с.31 .Гордин В.А., Локтионова Е.А. О применении сплайн-аппроксимации к расчету профилей температуры. //Тр. ГМЦ, 1978. Вып.212. С.56-68.

31. Грушевский М.С. Волны попусков и паводков на реках. Л.: Гидрометеоиздат, 1969.

32. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М.: Радио и связь, 1985.304 с.

33. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х кн. М., Финансы и статистика. 1986. Т. 1 366с.; 1987. Т. 2,351 с.

34. Железняков Г.В., Данилевич Б.Б. Точность гидрологических измерений и расчетов. Л.: Гидрометеоиздат, 1966.

35. Игнатов М.И., Певный А.Б. Натуральные сплайна многих переменных. Л.: Наука, 1991.128 с.

36. Исмайылов Г.Х., Шаталова К Ю. Имитационная модель функционирования водноресурсной системы речного бассейна. //В кн:. Г.В. Воропаев, Г.Х. Исмайылов, В.М. Федоров Проблемы управления водными ресурсами Арало-Каспийского региона. М.: Наука, 2003. С.305-327

37. Исмайылов Г.Х., Шаталова К.Ю. Исследование возможности применения сплайнов для формализации гидрологических процессов при решении водохозяйственных задач.// Водные ресурсы, 2003. Том 30, №2. С.245-249

38. Исмайылов Г.Х., Шаталова К.Ю. Формализация гидрологических особенностей в моделях управления водохозяйственными системами //Сб. Водные проблемы на рубеже веков, М.: Наука, 1999г. С.279.-290

39. Исмайылов Г.Х., Шаталова К.Ю. Формализация гидрологических особенностей в моделях управления водохозяйственными системами. // Сб. Водные проблемы на рубеже веков. М.: Наука, 1999. С. 279-290.

40. Исмайылов Г.Х., Шаталова К.Ю.Учет русловых потерь речного стока при управлении водными ресурсами //В.кн. Тезисы докладов III совместной конференции по гидрологическим и гидрогеологическим проблемам охраны окружающей среды. Ташкент ИБП,1996 г.С.57.

41. Исмайылов Г.Х., ШаталоваК.Ю. Учет трансформации руслового стока в имитационной модели Волжской ВРС// В кн:. Г.В. Воропаев, Г.Х. Исмайылов, В.М. Федоров Проблемы управления водными ресурсами Арало-Каспийского региона. М.: Наука, 2003. С. 386 — 392

42. Историк БЛ. Расчет неустановившегося движения воды в открытых руслах на электронных вычислительных машинах.// Тр. Гидропроекта, 1964. Сб. 12. С.127-138.

43. Казакевич Д.И. Основы теории случайных функций и ее применение в гидрометеорологии. Л.: Гидрометеоиздат, 1977.320 с.

44. Калинин Г.П. Основы методики краткосрочных прогнозов водного режима. //Тр. ЦИП, 1952. Вып. 28 (55).51 .Калинин Г.П., Милюков П.И. Приближенный расчет неустановившегося движения водных масс. //Тр.ЦИП, 1958 г. Вып. 66.

45. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. 500 с.

46. Карасев И.Ф., Савельева A.B. Оценка элементов руслового водного баланса в среднем течении р. Амударьи. // Тр. 11 И, 1971. Вып. 185. С. 87-144.

47. Картвелишвили H.A. Стохастическая гидрология. JL: Гидрометеоиздат, 1981.168 с. \

48. Константинов А.Р., Химин Н.М. Об использовании остаточного анализа для исследования гидрометеорологических процессов. // Метеорология и гидрология, 1980. Вып. 2. С.81-88.

49. Константинов А.Р., Химин Н.М. Применение сплайнов и метода остаточных отклонений в гидрометеорологии. Л.: Гидрометеоиздат, 1983. 184с.

50. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближений. М., Наука, 1984, 352 с.

51. Королев В.М., Снищенко Д.В., Усачев В.Ф. Авиа измерения расходов воды в Обь-Иртышском гидрографическом узле в половодье 1974 г. // Тр. ГГИ. 1977. Вып.245. С. 41-53.

52. Крицкий С.Н., Менкель М.Ф. О распластывании волны высоких вод при движении по призматическому руслу. //Сб. «Проблемы регулирования речного стока», М.: Изд. АН СССР, 1956. Вып.6

53. Кучмент Л. С. Математическое моделирование речного стока. Л.: Гидрометеоиздат, 1972.191 с.

54. Кучмент Л. С. Модели формирования речного стока. Л.: Гидрометеоиздат, 1980.144 с.

55. Кучмент Л. С. Обобщенная формула для расчета гидрографа стока. // Тр. ЦИП,, 1964. Вып. 133.

56. Кучмент Л. С. Современные математические методы в гидрологии. // Метеорология и гидрология, 1964. №7.

57. Кучмент JI. С., Нечаева Н.С. Расчеты гидрографов стока на крупных речных системах.// Тр. Гидрометцентра СССР, 1967. Вып.2.

58. КучментЛ.С., Демидов В. Н., Мотовилов Ю.Г. Формирование речного стока. М.: Наука, 1983. 216 с.

59. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975. 496 с.

60. Львович М.И. Вода и жизнь: (водные ресурсы, их преобразование и охрана). М.: Мысль, 1986. 254 с.

61. Львович М.И. Процесс формирования паводков//Тр. ГТИ, 1940. Вып. 10.

62. Маркова О.Л., Алюшинская Н.М. Русловое и пойменное регулирование стока рек Оби и Иртыша и их учет при моделировании водного режима. // Тр. ГТИ, 1987, Вып.313. С. 82-92.

63. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. 456с.

64. Математическое моделирование в управлении водными ресурсами. М.: Наука, 1988.246 с.

65. Музылев C.B., Привальский В.Е., Раткович Д.Я. Стохастические модели в инженерной гидрологии. М.: Наука, 1982. 184 с.

66. Нежиховский Р.А. Русловая сеть бассейна и процесс формирования стока воды., Л.: Гидрометеоиздат 1971. 476 с74.0гиевский А.В. О соответственных уровнях и их использовании. М.: Геофизика, 1932. Т.2., вып.2.

67. Плешков Я.Ф. Регулирование речного стока. Л., Гидрометеоиздат, 1975. 560 с.

68. Попов Е.Г. Вопросы теории и практики прогнозов речного стока. Л.: Гидрометеоиздат, 1963

69. Проскуряков А.К. Водный баланс р. Амударьи на участке от г. Керки до г. Нукуса. Л., Гидрометеоиздат, 1953.90 с.

70. Пространственно-временные колебания стока рек в СССР. Под ред. А.В. Рождественского. Л.: Гидрометеоиздат, 1988. 376 с.

71. Пряжинская В.Г. Математическое моделирование в водном хозяйстве. М.: Наука, 1985. 113 с.

72. Раткович Д.Я. Гидрологические основы водообеспечения. М.: ИВП РАН, 1993.428с.

73. Раткович Д.Я. Многолетние колебания речного стока. JL: Гидрометеоиздат, 1976.255 с.

74. Рождественский A.B., Чеботарев А.И. Статистические методы в гидрологии. JL: Гидрометеоиздат, 1974.424 с.

75. Руководство по гидрологическим прогнозам, вып.1 и 2, Л.: Гидрометеоиздат, 1963 и 1964.

76. Сапожников В.И. Прогноз стока рек в бассейне Волги по русловым запасам и притоку в речную сеть. Л.: Гидрометеоиздат, 1960.

77. Системный подход к управлению водными ресурсами. М.: Наука, 1985. 392 с.

78. Соколовский Д.Л. Речной сток. Л.: Гидрометеоиздат, 1968

79. Статистические методы в гидрологии. Л.: Гидрометеоиздат, 1970. 123 с.

80. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976.248 с.

81. Химин Н.М. Применение кубических сплайнов для аппроксимации зависимостей коэффициента температуропроводности и потенциала почвенной влаги от влажности. //Тр. 11 И, 1981. Вып. 284. С.54-65.

82. Христианович С.А. Неустановившееся движение в каналах и реках. // В кн.: Некоторые вопросы механики сплошной среды. М.: Изд. АН СССР, 1938. с. 407.

83. Хубер П.Дж. Помехоустойчивые статистические методы оценки данных. М.: Машиностроение, 1984.229 с.

84. Цингер В.Н. Трансформация максимальных расходов водохранилищами " // Тр. ГГИ, 1956. Вып. 52 (106).

85. Чемеренко Е.П. Расчет трансформации паводка в водохранилище. //ЦИП, 1964. Вып. 133.

86. Шаталова К.Ю. Увязка стока по длине реки при расчетах Волжско-Камского каскада. // III межд. Конгресса «Вода: экология и технология» ЭКВАТЭК-98. Тезисы докладов, М.: 1998 г. С. 57.

87. Шаталова К.Ю. Учет трансформации речного стока при решении водохозяйственных задач //Водные ресурсы, 1995. Том 20, № 5. С.621-625

88. Шульц В.А. Реки Средней Азии. Т.т. 1,2. JL: Гидрометеоиздат, 1965. 690 с.

89. Amein М. Streaming routing on computer by characteristics. Water Resources Res. 1966,2(1), pp. 123-130.

90. Boussinesq J. Theory of liquid in tumescence, called a solitary wave or a wave of translation, propagated in channel of rectangular cross section. Comptes Redus Acad.Sci., Paris, 1872, pp. 755-759.

91. Cunge J.A. On the subject of a flood propagation computation method (Muskingam method).//! Haudralic Res. 1969, N 7(2), p.205-230.

92. Ellis J. Unsteady flow in channel of variable cross section. J. Hydraulic. Div., ASCE, 1970,96 (HY10), pp.1927-1945.

93. Isaacson E., Stoker J. J., Troesch A. Numerical Solutions of Flood Prediction and River Reguletion Problems. Report II. New York University Institute of Mathematical Science, IMM-205, New York, 1954.

94. Laplace P.S. Recherches sur Quelques Points due Systeme du Monde (Researches on Some Points of Wold System), Memoirs, Vol.9, Acad.Sci., Paris, 1776.

95. Liggett J.A., Woolhiser D.A. Difference solutions of shallow-water equation. J. Engng. Mech. Div., 1967, ESCE, 95 (EM2), pp. 39-71.

96. Mc Carty G.T. The unit hydrograph and flood routing. Paper presented at Conf. of North Atlantic Div. of US Corps of Engineers, N. London. June, 24, 1938.

97. Nash S.E. A unit-hydrolograph study with particular reference to British catchmentsV/ The Inst, of Giv. Engrs. Proc., 1960, vol.15.

98. Newton Sir I Proposition, Book 2 in principia, pp. 44-46, Royal Society, London, 1687.

99. Poisson S.D. Memoir on the Theory of Waves. Memoirs, Vol. 1, Acad.Sci., Paris, 1816, pp. 71-186.

100. Reinsch C.H. Smoothing by spline function. //Numer. Math., 1967, vol.10, N3, p. 177-183.

101. Saint-Venant В. De Theory of unsteady water flow, with application to river floods and to propagation of tides of river channels. Comptes Rendus Acad.Sci., Paris, 1871, 73, pp.148-154,237-240.

102. Schoenberg I.J. Cjntribution to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions.// Quart. Appl. Math., 1946, N 4. Pp.45-99, 112141/

103. Strelkoff T. Numerical solutions of Saint-Venant equations.//J. Hydraulic Div., ASCE, 1970.96 (HY3). Pp. 223-252.

104. Wylie E.B. Unsteady free-surface flow computations. J. Hydraulic. Div., ASCE, 1970,96 (HY11), pp.2241-2251.

105. Zlamal M. On the finite element method. //Numer. Math., 1968, N12, p. 394-1409.