Моделирование теплофизических свойств веществ методами молекулярной динамики с использованием параллельных вычислений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Подрыга, Виктория Олеговна

• Подрыга, Виктория Олеговна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Подрыга, Виктория Олеговна

Введение.

Глава 1.

Моделирование задач молекулярной динамики.

1.1 Алгоритмы молекулярной динамики.

1.2 Граничные условия.

1.3 Начальные условия.

• Начальные координаты

• Начальные скорости

1.4 Потенциалы взаимодействия.

1.5 Термостаты.

1.6 Численные методы.

Глава 2.

Постановка задачи установления термодинамического равновесия.

2.1 Постановка задачи для аргона.

2.1.1 Граничные условия.

2.1.2 Начальные условия.

2.1.3 Потенциалы.

2.1.4 Численная схема решения.

2.2 Постановка задачи для алюминия.

2.2.1 Граничные условия.

2.2.2 Начальные условия.

2.2.3 Потенциалы.

2.2.4 Алгоритм нагрева (термостат).

2.2.5 Численная схема решения.

Глава 3.

Программная реализация алгоритма и параллельные вычисления.

3.1 Тонкости программной реализации.

3.2 Параллельные вычисления.

Глава 4.

Физическая задача, анализ данных, результаты вычислений.

4.1 Задача для аргона.

4.2 Задача для алюминия.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование теплофизических свойств веществ методами молекулярной динамики с использованием параллельных вычислений»

Современная вычислительная техника дает возможность с помощью компьютерного моделирования решать недоступные для аналитического решения задачи на микроскопическом уровне. Компьютерная молекулярная динамика является одним из наиболее мощных вычислительных методов, эффективно применяемых для моделирования физических, химических и биологических систем [8, 22, 56, 57, 102]. Метод молекулярной динамики (МД) обладает высоким пространственно-временным разрешением и позволяет получить информацию о процессах, происходящих в атомно-молекулярных масштабах и на временах порядка нескольких наносекунд.

В классической молекулярной динамике [30, 89] исследуемая система представляется совокупностью взаимодействующих атомов или молекул, движущихся по законам классической механики.

Развитие вычислительной техники позволяет моделировать динамику молекулярных систем, состоящих из огромного числа частиц, с большим набором параметров и разнообразных условий, имитирующих физический эксперимент. Благодаря развитию и применению компьютерных технологий и графических методов анализа эффективность применяемых методов МД-моделирования неуклонно возрастает. Моделирование реальных физических систем, например, кристаллов или огромных биологических молекул на базе методов МД представляет собой определяющее перспективное направление в ближайшем будущем. В связи с открытием принципиально новых механических и физических свойств у материалов, имеющих структурные элементы ч нанометрового масштаба, чрезвычайно повысился интерес к моделированию материалов на микроскопическом масштабном уровне [25, 32, 33, 94]. Следует также отметить, что в настоящее время все больший интерес у специалистов по математическому моделированию вызывают гетерогенные вычислительные системы, основанные на графических ускорителях; алгоритмы молекулярной динамики являются одними из алгоритмов, эффективно реализующихся на подобных архитектурах.

Целью данной работы является создание программного комплекса, позволяющего исследовать процесс установления термодинамического равновесия системы атомов. Моделирование данной задачи рассматривалось на примере систем аргонового газа в объемной геометрии и алюминия в геометрии пластины. Основная задача состоит в разработке новых оптимальных методов и алгоритмов моделирования поведения сложных систем и процессов.

Метод молекулярной динамики получил свое применение в задачах моделирования пластичности и разрушения твердых тел под воздействием высокоскоростного растяжения [23, 24, 26], моделирования изотермического отжига двухкомпонентных кластеров систем металлов [20], в механике деформации твердых тел [25], в моделировании динамики дислокаций [27], в механизмах формирования и разрушения нанорельефа поверхности под действием фемтосекундных лазерных импульсов [1, 14, 59], в динамике биополимеров [52] и многих других актуальных задачах. Необходимым условием для расчета задач моделирования динамических процессов, решаемых с помощью метода молекулярной динамики, является равновесное макроскопическое состояние системы при выбранных тепловых условиях в начальный момент времени. Характеристики состояния термодинамического равновесия системы чаще всего получают экспериментально, что является дорогостоящим, трудоемким и длительным процессом. Программная реализация разработанных и предложенных в данной работе алгоритмов позволяет решать численно задачи релаксации системы, затратив относительно небольшое время по сравнению с реальными экспериментами. В работе рассмотрены и проанализированы модели молекулярных систем в различных агрегатных состояниях (на примере аргона, алюминия), для которых решены задачи релаксации и получены характеристики термодинамического равновесия. Результатами работы алгоритма, наряду с другими характеристиками, являются распределения координат и скоростей атомов вещества в равновесном термодинамическом состоянии. Полученные распределения могут быть использованы в качестве начальных условий для перечисленных выше задач моделирования молекулярно-динамических систем.

Одним из основных этапов решения задач в молекулярной динамике является выбор модели взаимодействия атомов системы, которая позволит получать в поставленных условиях реалистичные данные, наиболее схожие с результатами эксперимента. Взаимодействие частиц описывается с помощью потенциала, который определяется исходя из свойств моделируемого вещества, его агрегатного и термического состояний. Для расчета сил взаимодействия атомов аргона был использован хорошо зарекомендовавший себя потенциал Леннарда-Джонса, позволяющий с минимальными вычислительными затратами получать достаточно точные результаты для систем, характеризующихся парным взаимодействием, в частности, для инертных газов. Для описания свойств металлов парные взаимодействия не обеспечивают качественных результатов [17, 47, 68], так как при расчете сил, действующих в системе, необходимо учитывать вклад коллективизации электронов проводимости. Не смотря на существование большого количества различных видов многочастичных потенциалов, которые используются для решения рассмотренной проблемы, ограничения в подборе параметров и их неспособности воспроизвести полный набор физических характеристик порождают существенные сложности в выборе подходящего потенциала при моделировании процессов в узконаправленных задачах. В диссертационной работе был проведен анализ многочастичных потенциалов, по результатам которого было установлено, что наиболее соответствующим требованиям задачи является потенциал погруженного атома [65-67] в аналитической форме, предложенной в работе [109]. Данная форма оптимизирована для моделирования свойств алюминия как при стандартных условиях, так и в сильно сжатом или наоборот разреженном состояниях.

В литературе [35, 50, 56, 72, 77, 96] предложен ряд методов расчета траекторий движения частиц, анализа их поведения, изучения термодинамических характеристик системы. Однако, как и для каждого быстро развивающегося научного направления имеется потребность в разработке новых алгоритмов, обладающих более совершенными свойствами.

Одним из направлений усовершенствования, исследуемым в данной работе, является разработка алгоритмов для слежения за сохранением полной энергии системы. Энергия может сильно отклоняться от начального значения по причине наличия погрешности аппроксимации численного решения, также по причине накопления погрешностей, вызванных обрезанием влияния потенциала. Для решения описанной проблемы в работе реализован алгоритм выбора шага интегрирования уравнений движения молекулярной системы таким образом, чтоб численный метод порождал устойчивое решение. Устойчивость метода предлагается обеспечивать посредством контроля величины полной энергии, которая не должна отклоняться от начального значения.

При выборе временного шага следует учитывать, что достаточно большая его величина приводит к не сохранению полной энергии и неустойчивым численным решениям, т.е. к таким, которые все больше отклоняются с течением времени от истинного решения. С другой стороны, размер шага интегрирования определяет реальное время моделирования системы. Существенно малый временной шаг может привести к тому, что за время компьютерного эксперимента система не достигнет равновесия.

Для решения рассматриваемой задачи в работе был предложен и реализован адаптивный алгоритм подбора шага интегрирования, позволяющий обеспечивать контроль над сохранением полной энергии системы в течение всего времени расчета.

На каждом шаге моделирования решается система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, соответствующая второму закону Ньютона и описывающая движение частиц молекулярно-динамической системы. В работе было проведено исследование численных схем, аппроксимирующих уравнения движения. Выбор схемы численного интегрирования обуславливается требованиями устойчивости и минимальности затрат машинного времени при расчете точек фазовой траектории. Для ряда разностных схем таких, как метод Рунге-Кутта, обладающих высоким порядком точности, необходимо проводить неоднократные вычисления правой части уравнений движения на каждом временном шаге, что поглощает основную часть машинного времени. Чем выше порядок точности разностной схемы, тем она сложнее. Это требует, в свою очередь, большой оперативной памяти и одновременно приводит к увеличению числа операций, которые необходимы для перехода к следующему временному шагу, что снижает эффективность. В задачах молекулярной динамики приходится идти на компромисс между точностью и эффективностью, поэтому была выбрана сравнительно простая в реализации и экономичная схема Верле в скоростной форме [106, 107], которая позволяет статистически правильно воспроизводить поведение элементов в течение большого промежутка времени.

При моделировании молекулярно-динамических систем необходимы также более эффективные методы анализа результатов расчетов. В данной работе конструируются методы анализа, основанные на изучении экспоненциального показателя равновесного распределения, позволяющего определить значения средних по ансамблю температур. Был проведен анализ временного параметра алгоритма теплового контроля (термостата) для эффективного получения желаемой температуры в образце. Целью анализа является подбор оптимального времени взаимодействия с тепловым резервуаром, позволяющего системе достигнуть состояния равновесия в условиях поставленной задачи за более короткие промежутки времени относительно других значений данного параметра.

Одними из основных инструментов моделирования задач МД в России являются, к сожалению, иностранные пакеты программирования, такие как LAMMPS (Large-scale Atomic/Molecular Massively Parallel Simulator) [81], HOOMD (Highly Optimized Object Oriented Molecular Dynamics) [58], GROMACS (GROningen MAchine for Chemical Simulations) [76, 105], NAMD (NAnoscale Molecular Dynamics) [64, 80, 91, 93]. По этой причине актуальным является развитие собственных компьютерных разработок - разработок программных комплексов, позволяющих моделировать задачи молекулярной динамики без использования иностранных источников и являющихся более доступными в использовании. Это являлось одной из основных целей данной работы.

В рамках диссертационной работы создана оригинальная молекулярно-динамическая программа, позволяющая изучать зависимость структуры и характеристик исследуемого вещества от геометрии расчетного объема, разного количества частиц и от температуры. Данная программа используется для исследования процесса установления термодинамического равновесия систем веществ, имеющих разные структуры (газы, металлы).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Подрыга, Виктория Олеговна

Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1) Исследованы алгоритмы и математические модели для молекулярно-динамических расчетов.

2) Создана молекулярно-динамическая программа на основе параллельных вычислений, позволяющая рассчитывать термодинамические характеристики веществ методами молекулярной динамики. Алгоритмы и программная реализация адаптированы для использования графических ускорителей.

3) Проведено исследование зависимости скорости установления равновесного распределения, структуры и характеристик рассматриваемого вещества от геометрии расчетного объема, количества частиц и температуры.

Заключение

В диссертационной работе представлены алгоритмы по моделированию процесса установления термодинамического равновесия системы атомов методами молекулярной динамики.

В рамках работы создана оригинальная молекулярно-динамическая программа, позволяющая изучать зависимость структуры и характеристик исследуемого вещества от геометрии расчетного объема, разного количества частиц и от температуры. Данная программа используется для исследования процесса релаксации систем веществ, имеющих разные структуры (газы, металлы).

Моделирование данной задачи рассматривалось на примере систем аргонового газа в объемной геометрии и алюминия в геометрии пластины, для которых решена задача и получены термодинамические характеристики.

В диссертационной работе предложен и реализован адаптивный алгоритм подбора шага интегрирования, позволяющий обеспечивать контроль над изменением полной энергии системы в течение всего времени расчета.

Для определения значения средних температур в данной работе конструируются методы анализа, основанные на изучении экспоненциального показателя равновесного распределения. Также был проведен анализ временного параметра алгоритма теплового контроля (термостата) для эффективного получения желаемой температуры в образце.

В работе разработаны и реализованы алгоритмы параллельных расчетов на гибридных вычислительных комплексах при моделировании установления термодинамического равновесия систем веществ в разных агрегатных состояниях. Параллельная реализация адаптирована для применения технологии С1ЮА с учетом эффективного распределения данных.

Анализ результатов проведения параллельных расчетов на супер-ЭВМ МВС-Экспресс и К-100 подтверждает высокую эффективность вычислительных систем на основе гибридной архитектуры для решения задач молекулярной динамики и перспективность развития данного направления.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Подрыга, Виктория Олеговна, 2011 год

1. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. Т. 1. М.: Мир, 1979.

2. Бокий Г.Б. Кристаллохимия. 3-е, переработанное и дополненное издание. -М.: Наука, 1971.

3. Боресков A.B., Харламов A.A. Основы работы с технологией CUDA. -М.: ДМК Пресс, 2010.

4. Борн М. Атомная физика. М.: Мир, 1970 - 492 с.

5. Бурнышев И.Н., Бесогонов В.В. Моделирование поведения водорода в ОЦК-решетке железа при высоких скоростях нагрева // Сборник докладов ФТТ. Институт физики твердого тела и полупроводников. Беларусь, 2005.

6. Бэдсел Ч., Ленгдон А. Физика плазмы и численное моделирование. — М.: Энергоатомиздат, 1989.

7. Валуев A.A., Норман Г.Э., Подлипчук В.Ю. Метод молекулярной динамики: теория и приложения: Математическое моделирование. Физико-химические свойства вещества / Отв. редакторы Самарский A.A., Калиткин H.H. М.: Наука, 1989.

8. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. СПб: БХВ-Петербург, 2004. - 608 с.

9. Воронова Л.И., Тен Э.А. Учет дальнодействия при распределенном молекулярно-динамическом моделировании систем большой размерности // Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ». 2004. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/2068.pdf

10. Вычислительные системы МВС-Экспрес, К-100: http://www.kiam.ru/MVS/research/mvsexpress.html http://www.kiam.ru/MVS/resourses/klOO.html

11. Гулд X., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. Часть 1. — М.: Мир, 1990.

12. Жаховский В.В., Иногамов H.A., Nishihara К. Новый механизм формирования нанорельефа поверхности, облученной фемтосекундным лазерным импульсом // Письма в ЖЭТФ.- 2008. Т. 87, Вып. 8. - С. 491-496.

13. Жаховский В.В., Нишихара К., Анисимов С.И., Иногамов H.A. Молекулярно-динамическое волн разрежения в средах с фазовыми переходами // Письма в ЖЭВТ. 2000. - Т. 71, Вып. 4. - С. 241-248.

14. Каплан И.Г. Введение в теорию межмолекулярных взаимодействий. — М.: Наука, 1982.

15. Китайгородскй А.И. Молекулярные кристаллы. — М.: Наука, 1971.

16. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978.

17. Косилов А.Т., Маливанчук A.A., Михайлов Е.А. Молекулярно-динамическое моделирование двухкомпонентных кластеров Cu-Ni, Cu-Pd // Физика твердого тела. 2008. - Т. 50, Вып. 7. - С. 36-40.

18. Кошкин Н., Васильчикова Е. Элементарная физика. Справочник. — М.: Столетие, 1996.

19. Кривцов A.M. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 304 с.

20. Кривцов A.M. Описание пластических эффектов при молекулярно-динамическом моделировании откольного разрушения // Физика твердого тела. 2004. - Т. 46, Вып. 6. - С. 1025-1030.

21. Кривцов A.M., Волковец И.Б., Ткачев И.В., Цаплин В.А. Применение метода динамики частиц для описания высокочастотного разрушения твердых тел. Труды всероссийской конференции «Математика, Механика и Информатика 2002 ». М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - С. 361-377

22. Кривцов А.М., Кривцова H.B. Метод частиц и его использование в механике деформируемого твердого тела // Дальневосточный математический журнал ДВО РАН. 2002. - Т. 3, No. 2. - С. 254-276.

23. Куксин А.Ю., Стегайлов В.В., Янилкин А.В Атомистическое моделирование пластичности и разрушения нанокристаллической меди при высокоскоростном растяжении // Физика твердого тела. — 2008. — Т. 50, Вып. 11.-С. 1984-1990.

24. Лагарьков А.Н., Сергеев В.М. Метод молекулярной динамики в статистической физике // Успехи физических наук. 1978. - Т. 125, Вып. 3. -С. 409-448.

25. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. М.: Наука, 1976. -Т. 5. Статистическая физика. Часть 1. - 584 с.

26. Метод молекулярной динамики в физической химии / отв. ред. Товбин Ю.К. М.: Наука, 1996.

27. Мирный В., Фрэнер М. Об одной программе моделирования молекулярной динамики газа с элементами распараллеливания алгоритма // Вычислительные технологии. 2001. - Т. 6, No. 3. — С. 32-50.

28. Морозов И.В. Компьютерное моделирование и суперкомпьютерные технологии // Объединенный институт высоких температур РАН. http://www.ihed.ras.ru/norman/studenty

29. Общая физика. Молекулярная физика: План-конспект семинарских занятий / Краснояр. гос. ун-т; сост. О.И.Москвич, О.Ю.Селиверстова. — Красноярск: РИО КрасГУ, 2006.

30. Подмурная O.A. Определение параметров потенциальной функции парного взаимодействия молекул азота и воды // Письма в ЖТФ. 2004. -Т. 30., Вып. 2.-С. 72-75.

31. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975.

32. Розова М.Г., Шпанченко Р.В. Элементы структурной неорганической химии. Учебно-методическое пособие для студентов 1-ого курса. -Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова, Химический факультет. М.: МГУ, 2001.

33. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. Литературы, 1989. - 432 с.

34. Сивухин Д.В. Общий курс физики. М.: Наука, 1990. - Т. 2. Термодинамика и молекулярная физика. - 592 с.

35. Солодовников С.Ф. Справочно-методические материалы к курсу «Основы кристаллохимии». — Новосибирский Государственный Университет. Новосибирск, 2006. - 78 с.

36. Суперкомпьютер "Ломоносов": www.t-platforms.ru

37. Турлей Е.В. Молекулярная динамика и диффузия в биомембранах. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова. -М.: МГУ, 2006.-119 с.

38. Турлей Е.В., Шайтан К.В., Балабаев Н.К. Динамическая гетерогенность фосфолипидного бислоя и диффузия молекул на границе раздела фаз // М.: Биофизика. 2005. - Т. 50., Вып. 6. - С. 1042-1047.

39. Усольцева Н.В., Ясинский Ф.Н., Соцкий В.В., Костин М.С. Получение стереоизображений в задачах молекулярной динамики // Вестник ИГЭУ. -2009.-Вып. 4.-С. 1-5.

40. Федоров Е.С. Краткое руководство по кристаллографии. Часть 1. -Спб.: Типогр. Ю.Н. Эрлих, 1891. 98 с.

41. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 1. -М.: Мир, 1967.

42. Харламов B.C., Трушин Ю.В., Журкин Е.Е., Лубов М.Н., Пецольдт Й. Исследование методом молекулярной динамики атомов Si и С и кластеров SiC на поверхности кремния // Журнал технической физики. 2008. - Т. 78, Вып. 11.-С. 104-118.

43. Хеерман Д.В. Методы компьютерного эксперимента в компьютерной физике. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1990.

44. Химическая Энциклопедия. Т.1. ред. Кнунянц И.Л. - М.: Советская энциклопедия. Москва, 1988.

45. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. -М.: Мир, 1987.-640 с.

46. Холмуродов Х.Т., Алтайский М.В., Пузынин И.В., Дардин Т., Филатов Ф.Т. Метод молекулярной динамики для моделировнаия физических и биологических процессов // Физика элементарных частиц и атомного ядра. -2003. Т. 34, Вып. 2. - С. 474-515.

47. Шайтан К.В., Терешкина К.Б. Молекулярная динамика белков и пептидов. Методическое пособие. М.: Юйкос, 2004. - 103 с. http://www.moldyn.ru/library/manual/

48. Шноль Э.Э., Гривцов А.Г. и.др. Метод молекулярной динамики в физической химии. М.: Наука; 1996.

49. Abinit: http://www.abinit.org/

50. Ackland G. J., Thetford R. An improved N-body semi-empirical model for body-centered cubic transition metals // Philosoph. Mag. A. 1987. - Vol. 56. -P.15.

51. Allen M. P., Tildesley A. K. Computer Simulation of Liquids. Oxford: Clarendon Press, 1987. - 244 p.

52. Allen M.P. Introduction to Molecular Dynamics Simulation // Computational Soft Matter: From Synthetic Polymers to Proteins. John von Neumann Institute for Computing, Julich, NIC Series. 2004. - Vol. 23. - P. 1-28.

53. Anderson J.A., Lorenz C.D. Travesset General purpose molecular dynamics simulations fully implemented on graphics processing units // Journal of Computational Physics. 2008. - No. 227. - P. 5342-5359.

54. Anisimov S. I., Zhakhovskii V. V., Inogamov N. A., Nishihara K., Oparin A. M. and Petrov Yu. V. Destruction of a Solid Film under the Action of Ultrashort Laser Pulse//JETP Letters.-2003.-Vol. 77, No. 11.-P. 606-610.

55. Beeman D. Some multistep methods for use in molecular dynamics calculations // Journal of Computational Physics. 1976. - Vol. 20, Issue 2. -P. 130-139.

56. Berendsen H.J.C., Postma J.P.M., W.F. van Gunsteren et al. Molecular dinamics with coupling to an external bath // J. Chem. Phys. 1984. - Vol. 81. -P. 3684-3690.

57. Berendsen H.J.C., van der Spoel D., van Drunen R. GROMACS: a message-passing parallel molecular dynamics implementation // J. Computer Physics Communications. 1995. - Vol. 91. - P. 43-56.

58. Box G. E. P., Muller M. E. A Note on the Generation of Random Normal Deviates // The Annals of Mathematical Statistics. 1958. - Vol. 29, No. 2. -P. 610-611.

59. Brunner R., Kale L., Phillips J. Flexibility and interoperability in a parallel molecular dynamics code // Object Oriented Methods for Interoperable Scientifc and Engineering Computing. SIAM. 1998. - P. 80-89.

60. Daw M. S. Model of metallic cohesion: The embedded-atom method // Phys. Rev. 1989. - Vol. 39, No. 11. - P. 7441-7452.

61. Daw M.S., Baskes M.I. Embedded-atom method: Derivation and application to impurities, surfaces, and other defects in metals // Physical Review B. 1984. — Vol. 29, No. 12. - P. 6443-6453.

62. Daw M. S., Foiles S., Baskes M. I. The embedded-atom method: a review of theory and applications // Materials Science Rep. 1993. - Vol. 9. - P. 251-310.

63. Ercolessi F. A molecular dynamics primer. Spring College in Computational Physics, ICTO, Trieste, 1997.

64. Erkoc S. Empirical many-body potential energy functions used in computer simulations of condensed matter properties // Physics Reports. — 1997. Vol. 278, No. 2.-P. 79-105.

65. Finnis M.W., Sinclair J. E. A simple N-body potential for transition metals // Philosoph. Mag.A. 1984. - Vol. 50. - P. 45-55.

66. Foiles S.M., Baskes M. I., Daw M. S., Embedded-atom method functions for the fee metals Cu, Ag, Au, Ni, Pd, Pt, and their alloys // Physical Review . 1986. -Vol. 33.-P. 7983-7991.

67. Frenkel D., Smit B. Understanding molecular simulation: from algorithms to applications. Academic Press, 2002. - 638 p.

68. GROMACS: Fast, Free and Flexible MD. http://www.gromacs.org

69. Guntert P., Mumenthaler C., Wuthrich K. Torsion Angle Dynamics for NMR Structure Calculation with the New Program DYANA // J. Mol. Biol. 1997. -No. 273.-P. 283-298.

70. Hairer E., Lubich C., Wanner G. Geometric numerical integration illustrated by the Stormer/Verlet method // Acta Numerica, Cambridge University Press. — 2003.- Vol. 12.- P. 399-450.

71. Hairer E., Lubich C., Wanner G. Geometric numerical integration. Structure-preserving algorithms for ordinary differential equations. Second Edition. — Springer Series in Computational Mathematics, 2006.

72. LAMMPS: http://lammps.sandia.gov/

73. Landau L.D., Teller E. On the theory of sound dispersion // Physik. Zeits. Sowjetunion. 1936. - Vol. 10. - P. 34-43.

74. Lennard-Jones J. E. Wave functions of many-electron atoms // Proc. Camb. Phil. Soc. 1931. - Vol. 27. - P. 469.

75. Liu X.-Y., Ercolessi F., Adams J.B. Aluminium interatomic potential from density functional theory calculations with improved stacking fault energy // Model. Simul. Mater. Sci. Eng. 2004. - No. 12. - P. 665-670.

76. Maruyama S. Molecular dynamics method for microscale heat transfer// W. J. Minkowycz, E. M. Sparrow (Eds). Advances in Numerical Heat Transfer. 2000. - Vol. 2, Chap. 6. New York: Taylor & Francis. - P. 189—226.

77. Milstein F. Applicability of exponentially attractive and repulsive interatomic potential function in the cubic crystals // J. Appl. Phys. — 1973. Vol. 44, No. 9. -P.3825-3832.

78. Mishin Y. Embedded-atom potential for B2-NiAl / Mishin Y., Mehl M. J., Papaconstantopoulos D: A. // J. Physical Review B. 2002. - Vol. 65, No. 22. -P. 224114-22412.

79. Mishin Y., Farkas D., Mehl M.J., Papaconstantopoulos D.A. Interatomic potentials for monoatomic metals from experimental data and ab initio calculations // Phys. Rev. 1999. - Vol. 59. - P. 3393-3407.

80. Molecular-Dynamics Simulation of Statistical Mechanical Systems. International School of Physics «Enrico Fermi» / Ed. Ciccotti G., Hoover W.G. -Elsevier Science Publishers B.V., 1986.

81. Morse P. M. Diatomic molecules according to the wave mechanics. II. Vibrational levels // Phys. Rev. 1929. - Vol. 34. - P. 57-64.

82. NVIDIA's Compute Unified Device Architecture (CUD A): http://www.nvidia.com/cuda

83. Phillips J. C., Zheng G., Kumar S., Kale L. V. NAMD: Biomolecular Simulation on Thousands of Processors / Proceedings of the IEEE/ACM SC2002 Conference. IEEE Press, 2002. Technical Paper 277.

84. Raczynsky P., Gburski Z. Molecular dynamics and dielectric relaxation of homocysteine layer between graphite walls computer simulation // Rev. Adv. Mater. Sci.-2010.-No. 23.-P. 175-179.

85. Rahman A. Correlations in the motion of atoms in liquid argon // Phys. Rev. -1964.-Vol. 136.-P. 405.

86. Rapaport D.C. The Art of Molecular dynamics Simulation. Second Edition. -Cambridge University Press, 2004.

87. Ruda M., Farkas D., Abriata J. Embedded-atom interatomic potentials for hydrogen in metals and intermetallic alloys // Phys. Rev. 1996. - Vol. 54, No. 14. -P. 9765-9774.

88. Ruhle V. Berendsen and Nose-Hoover thermostats. 2007. http://www.mpip-mainz.mpg.de/~andrienjkyjournalclub/thermostats.pdf

89. Simonelli G., Pasianot R., Savino E. J. // Phys. Rev. 1994. - Vol. 50, No. 2. -P.727-738.

90. Stillinger F.H., Weber T.A. Computer simulation of local order in condensed phases of silicon//Phys. Rev. B. 1985. - Vol. 31. -P. 5262-5271.

91. Stoddard S. D., Ford J. Numerical Experiments on the Stochastic Behavior ofaLennard-Jones Gas System//Phys. Rev. 1973. - Vol. 8. -P. 1504-1512.

92. Sutmann G. Classical molecular dynamics // In: Quantum Simulations of Complex Many-Body Systems: From Theory to Algorithms (eds. J. Grotendorst, et al). Julich: NIC. 2002. - Vol. 10. - P. 211-254.

93. Tersoff J. New empirical approach for the structure and energy of covalent system // Phys. Rev. B. 1988. - Vol. 37, No. 12 - P. 6991-6999.

94. Tersoff J. Empirical interatomic potential for silicon with improved elastic properties // Phys. Rev. B. 1988. - Vol. 38, No. 14. - P. 9902-9905.

95. Van Der Spoel D., Lindahl E., Hess B., Groenhof G., Mark A.E., Berendsen HJ. GROMACS: fast, flexible, and free // J. Computer Chemistry. 2005. -Vol. 26, No. 16.-P. 1701-1718.

96. Verlet L. Computer «experiments» on classical fluids. I. Thermodynamical properties of Lennard-Jones molecules // Phys. Rev. 1967. — Vol. 159. - P. 98103.

97. Verlet L. Computer «experiments» on classical fluids. II. Equilibrium correlation functions // Phys. Rev. 1967. - Vol. 165. - P. 201-204.

98. Williams P. L., Mishin Y., Hamilton J. C. An embedded-atom potential for the Cu-Ag system // Modeling in materials science and Engineering. 2006. — No. 14.-P. 817-833.

99. Zhakhovskii V. V., Inogamov N. A., Petrov Yu. V., Ashitkov S. I., Nishiharaa K. Molecular dynamics simulation of femtosecond ablation and spallation with different interatomic potentials // Applied Surface Science. — 2009. -Vol. 1255.-P. 9592-9596.

100. Zope R.R., Mishin Y. Interatomic potentials for atomistic simulations of the Ti-Al system // J. Physical Review B. 2003. - Vol. 68 - P. 024102.

101. Публикации автора по теме диссертации:

102. По дрыгаВ.О. Моделирование процесса установления термодинамического равновесия методом молекулярной динамики // Математическое моделирование. 2010. - Т. 22 , No. 11. - С. 39-48.

103. V. О. Podryga Molecular Dynamics Method for Simulation of Thermodynamic Equilibrium // Mathematical Models and Computer Simulations. 2011. - Vol. 3, No. 3. - P. 381-388. ISSN 2070JM82

104. ПодрыгаВ.О. Моделирование процесса установления термодинамического равновесия нагретого металла // Математическое моделирование. 2011. - Т. 23 , No. 9. - С. 3-17.