Моделирование свойств композиционных материалов, дисперсно армированных жесткими короткими волокнами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Гордеев, Андрей Владимирович

• Гордеев, Андрей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гордеев, Андрей Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ КОМПОЗИТОВ.

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОЙСТВ КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА, АРМИРОВАННОГО КОРОТКИМИ ЖЕСТКИМИ ВОЛОКНАМИ.

2.1 Введение.

2.2 осесимметричная постановка задачи.

2.3 Плоская постановка задачи.

2.4 Возможные трактовки соотношений для эффективных характеристик в плоской постановке

2.5 Анализ построенных решений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование свойств композиционных материалов, дисперсно армированных жесткими короткими волокнами»

3.2 Постановка задачи.50

3.3 Определение модуля Юнга эквивалентного материала.53

3.4 Анализ построенных решений.53

3.5 Заключение.56

ГЛАВА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОЙСТВ КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА С УЧЕТОМ АДГЕЗИОННЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ. ВИНКЛЕРОВСКАЯ МОДЕЛЬ МЕЖФАЗНОГО СЛОЯ.58

4.1 Введение.58

4.2 Модель межфазного адгезионного слоя, работающего на сдвиг.59

4.2.1 Постановка задачи.59

4.2.2 Определение модуля Юнга эквивалентного материала.62

4.2.3 Анализ построенных решений.64

4.2.4 Заключение.65

4.3 Модель межфазного адгезионного слоя, работающего на сдвиг и растяжение.67

4.3.1 Постановка задачи.67

4.3.2 Определение модуля Юнга эквивалентного материала.71

4.3.3 Анализ построенных решений.73

4.3.4 Заключение.75

ГЛАВА 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОЙСТВ КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА, АРМИРОВАННОГО КОРОТКИМИ ВОЛОКНАМИ. ГРАДИЕНТНАЯ МОДЕЛЬ МЕЖФАЗНОГО СЛОЯ.77

5.1 Модель композита с однонаправленными волокнами.77

5.1.1 Введение.77

5.1.2 Постановка задачи.78

5.1.3 Определение модуля Юнга эквивалентного материала.82

5.1.4 Анализ полученных результатов.83

5.1.5 Заключение.86

5.2 Модель изотропного композита.87

5.2.1 Введение.87

5.2.2 Постановка задачи.87

5.2.3 Модель композиционного материала с нагрузкой, приложенной вдоль волокна.91

5.2.4 Модель композиционного материала с нагрузкой, приложенной поперек волокна.91

5.2.5 Модель композиционного материала со сдвигающей нагрузкой в направлении оси волокна.95

5.2.6 Модель композиционного материала со сдвигающей нагрузкой в поперечном направлении.97

5.2.7 Определение модуля Юнга эквивалентного материала.97

5.2.8 Анализ полученных результатов.99

5.2.9 Заключение.100

ГЛАВА 6. МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОЙСТВ КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА, АРМИРОВАННОГО КОРОТКИМИ ВОЛОКНАМИ. КОГЕЗИОННО-АДГЕЗИОННАЯ МОДЕЛЬ.Ю1

6.1 Введение.101

6.2 Постановка задачи.102 2

6.3 Определение модуля Юнга эквивалентного материала.105

6.4 Анализ полученных результатов.107

6.5 Заключение.110

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.112

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.116

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. Композиционные материалы и конструкции находят широкое применение в различных областях техники уже достаточно давно. Связано это в первую очередь с их более высокими удельными характеристиками, а также с возможностью изменить свойства материала именно в тех направлениях и в тех местах конструкции, где это наиболее необходимо.

Открытие в 1991 году длинных, цилиндрических углеродных молекул, получивших название нанотрубок (УНТ) [1] стало отправной точкой в создании нового вида композиционных материалов [2] — нанокомпозитов [3]. Как известно, углеродные нанотрубки обладают прочностью и жёсткостью, значительно более высокими, чем у стали [4]. Одна из наиболее очевидных возможностей использования этих уникальных объектов связана с созданием нанокомпозитов, т. е. полимерных материалов, содержащих некоторое, весьма небольшое количество УНТ. При этом главная трудность состоит в обеспечении хорошей адгезии между поверхностью нанотрубки и молекулами полимерной матрицы. При плохой адгезии нанотрубка внутри матрицы снижает жесткость композита.

Основными областями применения нанокомпозитных материалов в настоящее время являются автомобилестроение, авиастроение, космическая промышленность, производство упаковочных материалов, спортинвентаря. Темпы промышленного освоения полимерных нанокомпозиционных материалов, с каждым годом растут. По мере того, как решаются проблемы получения и удешевления нанонаполнителей, разрабатываются новые технологии диспергирования наночастиц в полимерной матрице, снижается себестоимость конечной продукции и увеличиваются объемы её производства. В этой связи представляется весьма актуальным предсказание свойств будущего нанокомпозита по свойствам, входящим в его состав, компонентов. Разработке модели, позволяющей предсказать конечные свойства нанокомпозитов, и посвящена данная работа.

Целью работы является: обоснование и разработка инженерной модели мелкодисперсного композита, способной достоверно предсказать свойства композита по свойствам фаз.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- Развита классическая модель межфазного слоя. Даны математические обоснования известных гипотез осреднения.

- В рамках этой модели показано влияние адгезии на границе волокно-матрица на снижение и повышение эффективного модуля нанокомпозита.

- Развита градиентная модель межфазного слоя. Обоснована возможность предсказания более высоких значений эффективных характеристик композиционных материалов, армированных нановолокнами, в рамках градиентных моделей, позволяющих учитывать масштабные эффекты.

- Построена градиентная когезионно-адгезионная модель, позволяющая объяснить эффект аномального усиления в нанокомпозитах.

- Построена градиентная модель, позволяющая провести оценку свойств изотропного нанокомпозита, армированного разнонаправленными нановолокнами.

Практическое значение работы. Введение в полимер относительно небольшого числа нановолокон позволяет повысить жесткость в разы, и использование данной методики позволяет дать точный ответ, как и сколько нужно добавить армирующего вещества, чтобы получить заранее заданные параметры композита. Помимо разного рода пластиков, такие нанокомпозиты могут хорошо проявить себя в качестве связующего вещества в классических волокнистых композитах, где остро стоит проблема растрескивания матрицы при продольных сдвигах между слоями.

Разработанный в диссертации метод и алгоритмы могут быть рекомендованы для проектных и научно-исследовательских организаций.

Реализация результатов работы. Результаты, полученные в диссертации, используются в Учреждении Российской Академии Наук Институте Прикладной механики РАН, ОАО НИАТ, ВИАМ.

Достоверность результатов следует из общепринятых допущений теории упругости. Модель, построенная в диссертации, даёт совпадение полученных результатов экспериментальным данным.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на всероссийской конференции, приуроченной 20-летию ИПРИМ РАН: «Механика и наномеханика структурно-сложных и гетерогенных сред. Успехи, проблемы, перспективы», XVIII Всероссийской школы-конференции молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», 2009, Пермь.

Основные результаты диссертации были доложены на семинарах:

- Аспирантский семинар по механике гетерогенных сплошных сред в ИПРИМ РАН (под руководством д.т.н, проф. Яновского Ю.Г.),

- Научный семинар им. А. Г. Горшкова «Проблемы механики деформируемого твердого тела и динамики машин» в МАИ (под руководством д.ф.-м.н., проф. Д. В. Тарлаковского, д.т.н., проф. Ф. Н. Шклярчука, д.т.н., проф. В. В. Фирсанова).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 4 научные работы. Перечень публикаций приведен в конце диссертации.

На защиту выносятся:

Общая постановка задачи, алгоритм расчёта эффективного модуля Юнга, в рамках классической теории упругости. Теоретическое обоснование общепринятых гипотез осреднения, таких как «гипотеза эквивалентного континуума», «гипотеза эквивалентной матрицы», «гипотеза эквивалентного волокна», «гипотеза третьей фазы».

Алгоритм расчёта эффективного модуля Юнга, в рамках классической теории упругости, учитывающий краевые эффекты, возникающие вдоль оси волокна при нагружении композита. Алгоритм расчёта эффективного модуля Юнга, в рамках классической теории упругости, учитывающий сдвиговые адгезионные взаимодействия.

Алгоритм расчёта эффективного модуля Юнга, в рамках классической теории упругости, учитывающий адгезию сдвига и поверхностного натяжения на границе контакта матрица/включение.

Алгоритм расчёта эффективного модуля Юнга, в рамках градиентной модели композита, учитывающей когезионные взаимодействия.

Алгоритм расчёта эффективного модуля Юнга, в рамках градиентной модели, учитывающей когезионные взаимодействия и адгезию сдвига и поверхностного натяжения.

Алгоритм расчёта эффективного модуля Юнга для изотропного нанокомпозита с разноориентированными волокнами, построенный в рамках градиентной модели. Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения и списка используемой литературы. Она содержит 124 страницы, из них 10 занимает список использованных источников. Список используемой литературы включает 81 наименование (из них 46 на иностранном языке).

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Гордеев, Андрей Владимирович

Результаты работы представляют теоретический и практический интерес для механики и материаловедения, могут быть использованы при проектировании и разработке композитов, наполненных короткими волокнами, микро-волокнами и нанотрубками, при разработке и моделировании схем механических испытаний нанокомпозитов.

Таким образом, в рамках проделанной работы, была разработана методика, опирающаяся на аналитические решения, которая позволяет прогнозировать свойства композита по входным параметрам - модулям Юнга, сдвига, объёмной доле, когезионному модулю, учитывающему когезионные взаимодействия и определяющем длину межфазного слоя в матрице, а также адгезионным модулям сдвига и растяжения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Наиболее существенные научные результаты и выводы, полученные в диссертации:

1. В диссертации предложена модель наполненного композиционного материала, армированного короткими волокнами, позволяющая давать адекватные оценки эффективных свойств композита. Эти оценки получены на основе приближенного аналитического решения, построенного методом В.З. Власова. Результаты показывают хорошее согласование с данными численного эксперимента для армирующих волокон конечной длины, что подтверждает применимость данного подхода. Показано, что предложенная модель обеспечивает правильность предельных переходов при увеличении длины армирующих волокон.

2. Предложена трактовка гипотез «эквивалентного континуума», «эквивалентного включения», «эквивалентной матрицы», «гипотезы третьей фазы» в рамках теории межфазного слоя. Предложено определение межфазного слоя, следующее непосредственно из структуры построенного решения. Этот слой представляет краевую зону (область краевых эффектов), прилегающую к поверхности контакта волокна и матрицы, и не требует для своего определения дополнительных параметров, определяющих его свойства и толщину.

3. Обнаружен эффект изменения эффективного модуля композита в рамках вилки Фойгта-Рейсса с изменением диаметра включения при фиксированной объемной доле и длине волокон. Показано, что эффективный модуль является монотонно убывающей функцией от

А0//. Установлено, что диапазон значений ИВП, при котором эффективный модуль существенно меняется, ограничен. При уменьшении диаметра включений растет

112 относительная длина краевого эффекта в матрице, а значит и толщина межфазного слоя. Указанная зависимость может быть использована при формулировке рекомендаций по получению композитов повышенной жесткости, если удастся снять технологические ограничения по толщине используемых волокон.

4. Предложено использовать в качестве параметра межфазного слоя характеристику «обменную долю» композита кг, которая определяет толщину «краевого» межфазного слоя. Показано, что эта характеристика является естественной для компотизов, армированных короткими волокнами и присутствует во всех рассмотренных в диссертации моделях. Формула для вычисления эффективного модуля отличается только лишь выражением для Иг, в которое входят параметры, учитываемые в каждой конкретной модели.

5. Предложена модель адгезионного слоя, которая позволяет моделировать как повреждённость, так и возможное «усиление» композита, а адгезионнные модули служат технологическими параметрами, отвечающими за качество исходных материалов и композита в целом. Действительно, используя некоторые технологические приемы для повышения адгезии волокна к матрице (например, предварительно активируя поверхность волокон), можно добиться более высокого значения эффективного модуля композита при той же объёмной доле волокон за счет образования «адгезионного» слоя. И наоборот, «загрязняя» поверхность волокон, можно свести эффект усиления к нулю, какая бы большая объемная доля волокон не использовалась. Следовательно, при исследовании перспективных пар матрица-волокно следует иметь в виду как возможность дополнительного увеличения эффективного модуля композита, так и возможность его снижения.

6. Предложена градиентная модель, учитывающая когезионные взаимодействия. Дана трактовка межфазного слоя с точки зрения градиентной теории межфазного слоя, отличная от предложенной в рамках классической теории упругости. Межфазный слой представляется комбинацией краевых и тиШ5са1е эффектов. Характеристики межфазного слоя определяются исходя из харатеристик фаз, входящих в состав композита. Показано, что именно эта модель ответственна за эффекты усиления в области именно коротких включений.

7. Построена градиентная модель, учитывающая когезионные и адгезионные взаимодействия, и являющая комбинацией моделей, рассмотренных ранее, позволяет описывать поведение нанокомпозита для любого диапазона длин волокон. Эта модель фактически является моделью изменения морфологии матрицы в окресности волокон, что наблюдается при использовании в качестве армирующих элементов углеродных нанотрубок.

8. Приведены примеры, получены расчетные соотношения, позволяющие давать оценки эффективных свойств по входным параметрам матрицы и включений. Сделан соответствующий расчёт и получены конкретные результаты. Построена модель композита, с изотропным распределениям армирующих элементов (волокон) по углам по отношению к нагружению.

Разработанный в диссертации метод прогноза свойств нанокомпозита на основе теории межфазного слоя имеет преимущества перед распространенными методами молекулярной динамики как по объему вычислений, так и по возможности моделирования механического поведения многомасштабных структур.

Располагая найденными зависимостями, можно выполнять параметрическую оптимизацию при проектировании новых материалов, конструкций, способов испытаний. Моделирование позволяет во многом

114 избежать проведения сложных экспериментов над образцами наноматериал ов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гордеев, Андрей Владимирович, 2010 год

1. Iijima S. Helical microtubules of graphitic carbon // Nature. London. 1991. No. 354. P. 56-58.

2. Васильев B.B. Механика конструкций из композиционных материалов. М.Машиностроение, 1988. - 272 е.: ил.

3. Ajayan P.M., Schadler L.S., Braun P.V. Nanocomposite Science and Technology // WILEY-VCH Verlag GmbH Co. KGaA. Weinheim. 2003. -230 стр.

4. Пул Ч. мл., Оуэне Ф. Нанотехнологии. Изд. Техносфера. Москва 2006. - 336с.

5. Thostenson Е.Т., Ren Z., Chou T.W. Advances in the science and technology of carbon nanotubes and their composites: a review // Composites Science and Technology 2001, V.61, p. 1899-1912.

6. Кривцов A.M., Волковец И.Б., Ткачев П.В., Цаплин B.A. Применение метода динамики частиц для описания высокоскоростного разрушения твердых тел // Труды всероссийской конференции «Математика, Механика и Информатика 2002», посвященной 10-летию РФФИ.

7. Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. О механических характеристиках наноразмерных объектов// ФТТ. 2002. Т.44. N.12. С.2158-2163.

8. Д.А. Индейцев, Е.А. Иванова, Н.Ф. Морозов К вопросу об определении параметров жесткости нанообъектов // Журнал технической физики, том 76, вып. 10, с.с.74-80, 2006.

9. Яновский Ю.Г., Никитина Е.А., Карнет Ю.Н., Валиев Х.Х., Лущекина С.А. Молекулярное моделирование мезоскопических композитныхсистем. Структура и микромеханические свойства. Физическая мезомеханика, 2005, т.8, №5, с.61-75.

10. Kohn W., Sham L. J. Self-consistent equations including exchange and correlation effects // Phys. Rev. 1965. V. 140, No.4A. P. 1133-1138.116

11. Phillips J. C. Energy-band interpolation scheme based on a pseudopotential //Phys. Rev. 1958. V. 112. P. 685-695.

12. Car R., Parrinello M. Unified approach for molecular dynamics and density functional theory// Phys. Rev. Lett. 1985. V.55, No. 22. P. 2471-2474.

13. Askcroft N. W., Mermin N.D. Solid state physics. Philadelphia, 1976. P. 113.

14. Harik V.M. Ranges of Applicability for the Continuum-beam Model in the Constitutive Analysis of Carbon Nanotubes: Nanotubes or Nano-beams // NASA Langley Research Center. NASA/CR-2001-211013. ICASE Report No. 2001-16. 2001

15. Odegard G.M., Gates T.S., Nicholson L.M., Wise K.E. Equivalent-continuum modeling of nano-structured materials// Composites Science and Technology. 2002 V.62 p. 1869-1880

16. Odegard G.M., Gates T.S., Wise K.E. Park C., Siochi E.J. Constitutive modeling of nanotube-reinforced polymer composites // Composites Science and Technology. 2003 V.63 p. 1671-1687

17. Leung A.Y.T., Guo X., He X.Q., Kitipornchai S. A continuum model for zigzag singlewalled carbon nanotubes // Appl. Phys. Lett. 2005. V.86. 083110

18. Ченцов A.B. Разработка дискретно-континуальных моделей деформирования и разрушения наноматериалов // Диссертация. Москва. 2008. 120 с.

19. Мига Т. Micromechanics of defects in solids // Martinus Nijhoff Publishers 1987, Dordrecht.

20. Beran M.J. Statistical Continuum theories // N.-Y. Interscience 1968

21. Zimmerman R. W. Behaviour of the Poisson ratio of a two-phase117composite materials in the high-concentration limit // Appl Mech. Rev. 1994, V.47, p. S38-S44.

22. Hashin Z. Analysis of composite materials -a survey // J. Appl. Mech. 1983, V.50, p. 481-505.

23. Салганик P.JI. Mechanics of Bodies with Many Cracks // Изв. АН СССР MTT 1973, No.4, c. 149-158, (In Russian. Engl, transl. Mechanics of Solids)

24. Nemat-Nasser S., Hon M. Micromechanics: overall properties of heterogeneous materials // Elsevier Science Publisher B.V. 1993

25. Kachanov M. Effective elastic properties of cracked solids: critical review of some basic concepts // Applied Mechanics Reviews 1992, V.45, p. 304-335.

26. Kachanov M. Elastic solids with many cracks and related problems // Advanced in Applied Mechanics 1993, V.30, Editors: Hutchinson J., Wu. T. Academic Press, p. 259-445.

27. Dyskin, A.V., Germanovich L.N. On the effective characteristics of heterogeneous materials // Chapter 8 in the book: Germanovich L.N., A.P. Dmitriev, S.A. Goncharov. Rock Fracture Thermomechanics. Gordon and Breach. London-N.Y. 2000

28. Tucker C. L., Liang E. Stiffness Predictions for Unidirectional Short-Fiber Composites: Review and Evaluation // Composites Science and Technology 1999, V.59, p. 655-671.

29. Сидоренко Ю.Н. Конструкционные и функциональные волокнистые композиционные материалы. Учеб. Пособие. — Томск: Изд.-во ТГУ, 2006. 107 с.

30. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М. Изд-во Моск. Ун-та, 1984. - 336 с.

31. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов: Пер. с японск. М.: Мир, 1982. - 232 е., ил.

32. Кристенсен P.M. Введение в механику композитов: Пер. с англ. — М.Мир, 1982. 334 с.

33. Torquato S. Random heterogeneous media: Microstructure and improved bounds on effective properties // Appl. Mech. Rev. 1991, V.44, p. 37-76.

34. Бахвалов H.C., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1984. — 352 с.

35. Устинов К.Б. Некоторые частные случаи определения эффективных упругих характеристик тел с изолированными неоднородностями // Препринт 715 ИПМ РАН 2002, 50 стр.

36. Mori Т., Tanaka К. Average stress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusions // Acta Metallurgica 1973. V.21, p. 571574.

37. Wakashima K., Otsuka M., Umekawa S. Thermal expansion of heterogeneous solids containing align ellipsoidal inclusions // J Compos Mater 1974, V.8, p. 391-404.

38. Budiansky B. On the elastic moduli of some heterogeneous materials // J. Mech. Phys. Solids 1965, V.13, p. 223-227.

39. Riccardi A., Montheillet F. A generalized self-consistent method for solids containing randomly oriented spheroidal inclusions // Acta Mechanica 1999, V.133,p. 39-56.

40. Taya M., Mura Т., On stiffness and strength of an aligned short-fiber reinforced composite containing fiber-end cracks under uniaxial applied stress // ASME J. Appl. Mech. 1981, V.48, p. 361-367.

41. Taya M., Chow T.-W. On two kinds of ellipsoidal inhomogeneities in an infinite elastic body: An application to a hybrid composite // Int Journal of Solids and Structures 1981, V. 17, p.553-563.

42. Weng G.J. Some elastic properties of reinforced solids, with special reference to isotropic ones containing spherical inclusions // Int. J. Engng. Sci. 1984, V.22, p. 845-856.

43. Tandon G.P., Weng G.J. The effect of aspect ratio ofinclusions on the elastic properties of unidirectionally aligned composites // Polym. Composites. 1984, V.5, p.327-333.

44. Benveniste Y., A new approach to the application of Mori-Tanaka theory in composite materials // Mech. Mater. 1987, V.6, p. 147-157.

45. Ferrari M. Composite homogenization via the equivalent poly-inclusion approach // Compos. Engr. 1994, V.4, p.37-45.

46. Lurie S., Belov P., Tuchkova N., Miltiscale modfeling of the reinforcement effects of the nanocomposites// 13 Int. Workshop Computational Mechanics of Materials, 2003, Book opf Absdtracts, sept. Magdeburg, 2003. p.69-70

47. Lurie S, Belov P, Volkov-Bogorodsky D, Tuchkova N, Nanomechanical Modeling of the Nanostructures and Dispersed Composites // Int. J. Comp Mater Scs 2003, V.28(3-4), p.529-539

48. Lurie S., Belov P., Volkov-Bogorodsky D. Multiscale Modeling in the Mechanics of Materials: Cohesion, Interfacial Interactions, Inclusions and Defects // In book Analysis and Simulation of Multifield Problems, Springer 2003; V.12, p. 101-110.

49. Lurie S., Belov P., Tuchkova N. The Application of the multiscale models for description of the dispersed composites // Int. Journal "Computational Materials Science" A., 2004, V.36(2), p.145-152.

50. Бодунов A.M., Белов П.А., Лурье C.A., Образцов И.Ф., Яновский Ю.Г О моделировании масштабных эффектов в тонких структурах // Механика композитных материалов и конструкций 2002, №4, т.8, стр.585-598

51. Лурье С.А., Белов П.А. Вариационная модель диссипативных сред //

52. Механика композиционных материалов и конструкций 2001, Том.7, №2, с.266-276.

53. Voyiadjis G.Z., Abu Al-Rub R.K. Gradient plasticity theory with a variable length scale parameter // International Journal of Solids and Structures 2005, V.42, p.3998-4029

54. Lurie S., Belov P., Tuchkova N. The Application of the multiscale models for description of the dispersed composites // Int. Journal "Computational Materials Science" A. 2004, V.36(2), p. 145-152.

55. Власов В.И., Волков Д.Б. Метод мультиполей для решения уравнения Пуассона в областях со скругленным углом // Ж. выч. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35, № 6. С. 867-892.

56. Vlasov V.I., Volkov D.B.: Analytic-numerical method for solving the Poisson equation in domains with rounded corners // ZAMM. 1996. Vol. 76, Suppl. 1. P. 573-574.

57. Vlasov V.I., Volkov-Bogorodsky D.B.: Block multipole method for boundary value problems in complex-shaped domains // ZAMM. 1998. Vol. 78, Suppl. 3. P. 1111-1112.

58. Лурье C.A., Белов П.А., Орлов А.П. Модели сплошных сред с обобщенной кинематикой. Свойства и некоторые обобщения // Механика композиционных материалов и конструкций. 1996, Т.2, N 2, с.84-104.

59. Образцов И.Ф., Лурье С.А. Белов П.А. Об обобщенных разложениях в прикладной теории упругости и их приложения к конструкциям из композитов // Механика композиционных материалов и конструкций. 1997, №3, с. 62-79.

60. Лурье С.А., Белов П.А., Орлов А.П. Continuum mechanics models with generalized kinematics and fracture mechanics application // 16th Canadian Congress of Applied Mechanics 1997. Quebec, Canada, p.93-94.

61. Белов П.А., Лурье С.А. Модели деформирования твердых тел и иханалоги в теории поля // Мех. тв. тела Изв. РАН, 1998, № 3 С. 157166.

62. Образцов И.Ф., Лурье, С.А., Яновский Ю.Г., Белов П.А. О некоторых классах моделей тонких структур // Изв. Вузов. Северо-Кавказский регион, Естественные науки (к 80-ю академика И.И. Воровича). Ростов-на-Дону 2000, № 3 с. 110-118.

63. Лурье С.А., Белов П.А. Математические модели механики сплошной среды и физических полей // Изд. ВЦ РАН, Москва 2000г.(монография), 151с.

64. Лурье, С.А., Белов П.А. и Криволуцкая И.И. Об одной модели когезионных взаимодействий в сплошных средах // Конструкции из композиционных материалов N 2, 2000, М. ВИМИ. Журнал посвящен 80-ю академика И.Ф. Образцова.

65. Белов П.А. Лурье С.А. Модели сплошных сред с неинтегрируемым полем тензора деформаций // Сборник аннотаций докладов 8-го Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. 2001 г., с.98

66. Белов П.А., Лурье С.А. Общая теория дефектов сплошных сред // Механика композиционных материалов и конструкций 2003, т.9 .N4. с. 210-222

67. Бабешко A.B., Лурье C.A., Белов П.А., Яновский Ю.Г. Масштабные эффекты в моделях сплошных сред // Механика композитных конструкций 2002, №8 т. 1 стр.71-82

68. Образцов И.Ф., Булычев Л.А., Васильев В.В. и др. Строительная механика летательных аппаратов: учебник для авиационныхспециальностей вузов // Машиностроение, Москва 1986, 536с. ил.

69. Снедцон И.Н., Бери Д.С. Классическая теория упругости // изд. Вузовская книга 2008, 216с., ил.

70. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред // Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010, 320 с.

71. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф., Специальные функции (Формулы, таблицы, графики) // изд. Наука, Москва 1964, 344 с. с ил.

72. Odegard G.M., Frankland S.J.V., Gates T.S., Effect of Nanotube Functionalization on the Elastic Properties of Polyethylene Nanotube Composites // AIAA J. 2005, V. 43, pp. 1828-1835

73. Pipes R.B., Frankland S.J.V., Hubert P., Saether E. Self-consistent Physical properties of Carbon Nanotubes in Composite Materials // NASA/CR-2002-212134 ICASE Report No. 2002-46

74. Глухова О.E., Терентьев О.А. Теоретическое изучение зависимостей модулей Юнга и кручения тонких однослойных углеродных нанотрубок zigzag и armchair от геометрических параметров // Физика твердого тела, 2006, том 48, вып.7, с.1329-1335.

75. Образцов И.Ф., Лурье С.А., Белов П.А., Волков-Богородский Д.Б., Яновский Ю.Г., Кочемасова Е.И., Дудченко А.А., Потупчик Е.М., Шумова Н.П. Основы теории межфазного слоя// Механика композиционных материалов и конструкций, 2004, вып.4, 596-612.

76. Toupin R.A. Elastic materials with couple-stresses//Arch. Ration. Mech. And Analysis, 1962, 11.

77. Гордеев A.B. Моделирование свойств композиционного материала, армированного короткими волокнами // Механика композиционных материалов и конструкций, т. 16, №1, 2010 г. с. 106-116.

78. Гордеев А.В. Моделирование эффектов усиления дисперсных композитов, армированных ориентированнми микро- и нанотрубками // «Механика и наномеханика структурно-сложных и гетерогенных сред. Успехи, проблемы и перспективы». Материалы