Моделирование состояний гармонических сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Харитоненко, Анатолий Анатольевич

• Харитоненко, Анатолий Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Харитоненко, Анатолий Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ

1. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА ГАРМОНИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ.

1.1. Пространство внутренних состояний гармонической среды

1.2. Пространство граничных состояний.

1.3. Скалярные произведения в пространствах состояний.

1.4. Решение краевых задач методом граничных состояний

1.4.1. Задача Дирихле.

1.4.2. Задача Неймана.

1.4.3. Смешанная граничная задача.

1.4.4. Основная смешанная задача.

Выводы по главе.

2. АНАЛИЗ КРУЧЕНИЯ ПРИЗМАТИЧЕСКОГО ТЕЛА МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ.

2.1. Постановка задачи кручения призматических стержней

2.2. Пространства состояний в задаче кручения стержней.

2.3. Формулировка метода граничных состояний для задач кручения стержней.

2.4. Кручение стержня квадратного сечения.

Выводы по главе.

3. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ.

3.1. Основные соотношения электростатики.

3.2. Пространства состояний электростатической среды.

3.3. Формулировка метода граничных состояний для задач электростатики.

3.4. Решение задач электростатики для куба.

3.4.1. Задача с граничным значением потенциала из базиса

3.4.2. Задача с гладким значением потенциала.

3.4.3. Задача с непрерывным значением потенциала.

3.4.4. Смешанная задача.

3.5.Асимптотическое и феноменологическое исследование устойчивости метода граничных состояний.

Выводы по главе.

4. АНАЛИЗ БЕЗВИХРЕВОГО ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ

ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ.

4.1. Основные соотношения потенциального течения идеальной жидкости.

4.2. Пространства состояний в задаче о потенциальном течении идеальной жидкости.

4.3. Формулировка метода граничных состояний для задач о потенциальном течении идеальной жидкости.

4.4. Движение жидкости в кубическом объеме.

4.4.1. Преимущественно прямой дебет.

4.4.2. Равномерный дебет.

4.4.3. Боковой дебет.

4.4.4. Донный дебет.

4.4.5. Полудонный дебет.

4.4.6. Задача о двух трубах.

4.4.7. Основная смешанная задача.

Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование состояний гармонических сред»

Концепция состояний среды впервые была выдвинута в 1998 г. в ходе работы Международной научной конференции в Туле по теории приближений и гармоническому анализу [31]. Она возникла из потребностей разработки новых методов решения краевых задач, возникающих в механике деформируемого твердого тела, в первую очередь - математических задач теории упругости. Центральными пунктами этого подхода явились для описания среды понятие внутреннего состояния, а для описания тела — понятие граничного состояния.

Под состоянием среды понимается достаточный набор полевых характеристик среды, удовлетворяющий ее определяющим соотношениям. Другими словами — это любое частное решение (и его следствия) разрешающих уравнений среды. Понятие состояния среды трансформируется в понятие внутреннего состояния, если речь заходит о конкретном теле, имеющем свои границы. Тот след, отпечаток, который оставляет на границе тела внутреннее состояние, воспринимается как граничное состояние, соответствующее внутреннему.

При постановке краевых задач математической физики кроме разрешающих уравнений для среды используются дополнительные условия (граничные, начальные), призванные выделить единственное решение из всех возможных. Совокупность операций по выделению частного решения можно понимать как процедуру распознавания искомого внутреннего состояния по тем признакам, которые содержатся в наборе начальных и граничных условий. Метод, призванный выделить единственное состояние из всего пространства состояний, получил название метода граничных состояний (МТС).

Таким образом, для метода граничных состояний актуальными являются два аспекта: 1) моделирование состояний среды; 2) распознание состояния, соответствующего граничным условиям. Ниже выполнена проработка этих вопросов в применении к излюбленному объекту математической физики — уравнению Лапласа, чем, собственно, и объясняется присутствие в названии темы слова «гармоническое». Для краткости, условимся поле или среду, описание которых подчиняется уравнению Лапласа, называть гармоническим полем или гармонической средой.

Целью диссертационной работы является разработка метода граничных состояний для гармонических сред, позволяющего идентифицировать состояние среды, отвечающее условиям на границе тела.

Аспект моделирования состояний среды включает в себя цикл исследований: поиск способов конструирования разнообразных гармонических состояний; обоснование свойств линейности, сепарабельности пространства внутренних состояний; построение изоморфного пространства граничных состояний; построение скалярного произведения, обоснование евклидовости пространств состояний; пополнение пространств и построение сепарабель-ных изоморфных гильбертовых пространств внутренних и граничных состояний; конструирование и ортогонализация счетного базиса пространства внутренних состояний и изоморфного базиса пространства граничных состояний. Результатом этого этапа является «гармоническое тело в смысле МГС».

Отчасти некоторые ответы на поставленные вопросы можно найти в серии публикаций последнего времени [31], [20], [24], [31], [43], [45], [9]. В частности, конструирование элемента пространства состояний можно вести как по пути эксплуатации общего решения для среды [45], [8], [1], так и используя фундаментальное решение (теоретическое обоснование сепарабельности можно обнаружить в руководствах по иным методам (см., например, [9], [Ю]).

Второй аспект — распознание состояния, — по сути представляет собой метод выполнения расчетов. МГС реализует идеологию теории гильбертовых пространств, согласно которой любой элемент сепарабельного гильбертова пространства имеет представление в виде ряда Фурье по элементам ортонормированного счетного базиса. Процесс распознания сводится к определению значений коэффициентов Фурье, исходя из особенностей граничных (и начальных) условий, присутствующих в краевой задаче.

Здесь уместно сравнение в некоторых вопросах вновь разрабатываемого метода с известными ранее и широко используемыми «энергетическими» методами.

Разработанные к настоящему времени методы решения краевых задач имеют свои достоинства и свои недостатки. Например, метод Ритца [14], [15], минимизирующий квадратичный функционал (вместе со всеми модификациями, включая основное оружие инженера-расчетчика — метод конечных элементов (МКЭ)), сводит проблему к системе линейных алгебраических уравнений, точность решения которой зависит не только от ее порядка, но и от ее обусловленности. МКЭ, кроме этого, имеет еще одну «инструментальную» причину для формирования ошибки вычислений — необходимость дискретизации области, занимаемой телом. Метод Бубнова-Галеркина [3] сводит к системе линейных алгебраических уравнений непосредственно само операторное уравнение. Метод наименьших квадратов минимизирует среднеквадратичную невязку граничных условий с решением и также приводит к системе линейных алгебраических уравнений. Метод Канторовича реализует минимизацию квадратичного функционала градиентными перемещениями (в функциональном пространстве) и здесь ошибка формируется за счет самого итерационного процесса. Метод М.М. Филоненко-Бородича (П.Ф. Папкови-ча, В.Н. Ионова, П.М. Огибалова [4], [5]), как показал С.Г. Михлин [14], эквивалентен методу Ритца. Метод граничных интегральных уравнений (вместе с его дискретным вариантом — методом граничных элементов (МГЭ)) также приводит к системе линейных алгебраических уравнений. Таким образом, все общие методы решения даже самых простых — основных задач, формируют погрешность метода. Кроме этого, механическое наращивание базиса функций во всех этих методах ведет к потере устойчивости.

Разработка метода, лишенного таких недостатков хотя бы на классах основных задач, является назревшей и актуальной задачей. Метод граничных состояний обеспечивает возможность построения решения основных задач механики для тел разнообразных конфигураций простыми средствами. Кроме этой особенности МГС имеет достоинство, присущее всем перечисленным методам — он также является общим. Поэтому его можно положить в основу разработки специальных методов решения новых классов задач, таких, как задачи об оптимизации формы тел, задач с подвижными границами и др. Эта возможность также свидетельствует об актуальности темы.

Идеология МГС в применении к задачам механики деформируемого твердого тела в основе своей разработана и отражена в ряде публикаций: [20], [25], [26], [27], [30], [41], [43], [44], [42], [29], [28], [33], [35], [23], [22], [34], [47], [32]. Непосредственно к теме диссертации имеют отношение публикации [38], [51], [52], [50], [53], [39], [40], [37], [36], [54].

Выше сказанное определяет круг задач диссертационной работы, которые следует решить для достижения цели.

Целью диссертационной работы является разработка метода граничных состояний для гармонических сред, исходящего из моделирования гармонических сред и позволяющего идентифицировать состояние среды, отвечающее условиям на границе тела.

Задачи диссертационной работы:

• конструирование счетного базиса пространства внутренних состояний гармонической среды;

• конструирование изоморфного счетного базиса пространства граничных состояний среды;

• определение скалярного произведения для каждого из пространств состояний, установление гильбертова изоморфизма пространств, ортогонали-зация базисов;

• постановка краевых задач для уравнения Лапласа в терминах МГС;

• адаптация понятий МГС к конкретным физическим объектам (упругость при кручении стержня, электростатика, идеальная жидкость) и решение конкретных физических задач.

Научная новизна содержится:

• в способе построения скалярного произведения для каждого из пространств (внутренних и граничных) состояний, основанном на теореме Гаусса - Остроградского;

• в формулировке краевых задач для гармонических сред (задача Дирихле, задача Неймана, задача со смешанными условиями, основная смешанная задача) в терминах МТС и построении разрешающей системы, - в общем случае - бесконечной системы линейных алгебраических уравнений, для каждой из задач;

• в адаптации понятий МТС к конкретным физическим объектам (кручение упругих призматических стержней, электростатика, идеальная жидкость), постановке и решении ряда конкретных новых задач;

• в анализе влияния класса граничных условий на сходимость метода и обосновании устойчивости решения бесконечной системы уравнений методом усечения.

Теоретическая ценность заключена:

• в разработке МТС для решения разнообразных краевых задач для уравнения Лапласа;

• в построении единой идеологии для формулировки и решения различных задач;

• в решении новых задач для известных сред (смешанные задачи электростатики и динамики).

Практическая ценность заключена:

• в однократности построения «тела в смысле МГС», после чего для него можно решать разнообразные задачи, исходя при этом из единого подхода;

• в однократности построения «скелета задачи», под которым понимается совокупность «тела в смысле МГС» и структуры разбиения границы тела на классы по типу граничных условий, удерживаемых на каждом из классов. После этого варьирование условий на границах в пределах заданных классов не требует трудоёмкого пересчёта коэффициентов разрешающей системы уравнений, а всего лишь пересчёта правых частей уравнений;

• в анализе влияния класса функций, описывающих условия на границе, на сходимость решения и выработке практических рекомендаций по оценке длины удерживаемого отрезка базиса для обеспечения необходимой точности;

• в практически приемлемом способе обосновании устойчивости решения бесконечных систем уравнений методом усечения;

• в обнаружении ситуации, возникающей в основных задачах для уравнения Лапласа, при которой исчезает необходимость решения бесконечной системы алгебраических уравнений, так что решение задач сводится к рутинному вычислению квадратур. Последнее позволяет уточнять решение посредством механического наращивания базиса без какой-либо опасности в отношении потери устойчивости;

• в решениях серии задач для конкретных физических сред, имеющих «прозрачный» смысл.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Харитоненко, Анатолий Анатольевич

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, заключены в нижеизложенном.

1. Разработан метод граничных состояний для анализа гармонических сред, исходящий из понятия внутреннего состояния среды, под которым понимается набор полевых характеристик, удовлетворяющих определяющим уравнениям среды безотносительно к содержанию граничных условий. Пространство внутренних состояний является линейным и сепарабель-ным. Указан способ конструирования его счетного базиса.

2. Построено линейное сепарабельное пространство граничных состояний, изоморфное пространству внутренних состояний. Каждый его элемент представляет собой «след» соответствующего внутреннего состояния. Обратное соответствие обусловлено теоремой единственности решения задачи Дирихле (или Неймана) для уравнения Лапласа.

3. В обоих пространствах определены скалярные произведения, основанные на теореме Гаусса - Остроградского. Процедура пополнения пространств и равенство скалярных произведений соответствующих элементов определяют пару изоморфных сепарабельных гильбертовых пространств. Любое внутреннее состояние, как и соответствующее ему по изоморфизму граничное состояние, может быть представлено в виде ряда Фурье по ор-тонормированному базису; коэффициенты Фурье определяются скалярными произведениями раскладываемых состояний с базисными состояниями.

4. В терминах метода граничных состояний сформулированы задача Дирихле, задача Неймана, смешанная граничная задача, основная смешанная задача для уравнения Лапласа. В общем случае любая задача приводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Фурье. В простейших случаях искомые коэффициенты рутинно подсчитываются через квадратуры скалярного произведения в пространстве граничных состояний.

5. МГС можно эффективно применять для решения задач о кручении стержней, для расчета электростатических полей, анализа движения идеальной жидкости и др. Ортонормированные базисы пространств внутренних и граничных состояний формируются с применением средств компьютерной алгебры, интегрированных в распространенные вычислительные среды.

6. Решена задача о кручении стержня квадратного сечения. Процесс вычисления коэффициентов Фурье сведен к рутинному вычислению квадратур. Построены распределения напряжений по сечению стержня.

7. «Доведены до числа» задачи о восстановлении электростатического поля по заданному на границе куба уровню потенциала (задача Дирихле) для серии граничных условий, выбираемых из различных классов. Выполнен анализ влияния класса граничных условий на точность результата при фиксированном отрезке базиса пространства состояний.

8. Решена электростатическая задача со смешанными граничными условиями. Проведено численное исследование устойчивости решения усеченной бесконечной системы уравнений.

9. «Доведена до числа» серия задач о прохождении жидкости через кубическую область с различными дебетными режимами: преимущественно прямой дебет, равномерный дебет, боковой дебет, донный дебет, «полудонный» дебет, задача о двух трубах, нормальная донная фильтрация. Решения иллюстрированы графиками эквипотенциалей и диаграммами распределения скоростей.

10.Достоверность результатов решения гарантируется рядом факторов. Во-первых, на этапе подготовки разрешающей системы уравнений проведена выверка промежуточных данных после каждой операции, что возможно благодаря их аналитическому виду. Во-вторых, граничное состояние, отвечающее решению, обязательно содержит в себе заданные граничные условия, что позволяет не только о достоверности решения, но и судить об уровне допущенных погрешностей. В-третьих, о достоверности позволяет судить традиционный подход, основанный на сравнении с известным решением, построенным другим методом. 11. Проведен анализ влияния длины базисного отрезка на результаты решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа при граничных условиях из класса непрерывных с сингулярностями типа ребер и конусных точек. Сингулярности вносят существенный вклад в рассогласование приближенного решения с истинным, причем наибольшие неудобства в этом смысле доставляют конические точки. Наращивание базиса нивелирует отличие, но характер отличия вблизи сингулярностей сохраняется.

Отметим некоторые ближайшие перспективы развития МГС.

В первую очередь следует расширять не столько «геометрию» гармонических объектов (здесь можно ожидать чисто технические трудности), сколько топологию областей: принципиальные вопросы связаны с конструированием счетных базисов пространств состояний для неограниченной одно-связной, двусвязной, многосвязной конфигурации.

Вторая очередь работ может быть связана с варьированием физических сред (теория фильтрации, мембраны, гравитационное поле,.).

Третья серия исследований может быть посвящена усложнению моделей на предмет учета анизотропии, решению задач о пограничном сопряжении гармонических тел.

Контекстно через все этапы проходит вопрос о построении коллекции объектов, создании информационного комплекта тел с различными физико-геометрическими свойствами. С позиций МГС, под конкретным телом следует понимать ортонормированный базис пространства внутренних состояний. Поэтому решение любой задачи распадается на два этапа. Первый этап есть «конструирование тела». Второй этап - исследование состояния тела в конкретных условиях его существования (т.е. - решение той или иной задачи о состоянии).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Харитоненко, Анатолий Анатольевич, 2006 год

1. Аржаных И.С. Интегральные уравнения основных задач теории поля и теории упругости. — Ташкент: Изд-во АН УзбССР, 1954.

2. Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел. М.: ГИФМЛ, 1963.-686 с.

3. Галеркин Б.Г. Собрание сочинений. Т. 1,2. — М.,1952.

4. Ионов В.Н., Огибалов П.М. Прочность пространственных элементов конструкций. — М.: Высшая школа, 1972. — 752 с.

5. Ионов В.Н., Огибалов П.М. Прочность пространственных элементов конструкций. Т.2. — М.: Высшая школа, 1972. — 536 с.

6. Колмогоров А.Н., Фомин С.Н. Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 572 с.

7. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. - 710 с.

8. Крутков Ю.А. Тензор функций напряжений и общие решения в статике теории упругости. — М.: Изд. АН СССР, 1949. 200 с.

9. Купрадзе В.Д., Бурчуладзе Т.В. Граничные задачи термоупругости // Дифференциальные уравнения. — 1969. — Т.5. — №1. — С.3-43.

10. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1976. —664 с.

11. Лейбензон Л.С. Вариационные методы решения задач теории упругости. М.: Гостехиздат, 1943.

12. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. - 840 с.

13. Математическая энциклопедия / Гл. ред.: И.М. Виноградов, в 5-ти томах. М.: «Советская энциклопедия», 1984 с.

14. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука, 1970. —512 с.

15. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. — М.: Наука, 1966. —432 с.

16. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. М.: Наука, 1979.

17. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.

18. Моисеев Н.Н. Человек, среда, общество. М.:Наука, 1982. - 240 с.

19. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1966. — 707 с.

20. Пеньков В. Б., Пеньков В. В. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики. // Дальневосточный математический журнал. — 2001. — Т.2, №2. — С.115-137.

21. Пеньков В. Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики // Материалы международного симпозиума по теории упругости, посвященного памяти А.А. Ильюшина. — М.: МГУ, 2001. —С.363.

22. Пеньков В.Б. Пространства состояний в задачах математической физики // Современные методы в теории краевых задач. «Понтрягинские чтения XI». - Воронеж: ВГУ, 2000. - С. 117.

23. Пеньков В.Б. Системы гильбертовых пространств линейного континуума // Юбилейная научно практическая конференция «Прикладная математика - 99». - Тула: ТулГУ, 1999. - С. 90 - 91.

24. Пеньков В.Б. Теорема взаимности для квазистатической ньютоновской среды // II международная научно-техническая конференция "Проблемы пластичности в технологии": тезисы докладов. — Орел, ОГТУ, 1998. —С. 10-11.

25. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний в решении основных задач для упругого параллелепипеда // Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения — X" "Современные методы в теории краевых задач". Воронеж: 1999. — С. 194.

26. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний для основной смешанной задачи линейного континуума // Всероссийская конференция. Тезисы докладов. — Тула, ТулГУ, 2000. — С. 108-110

27. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики // Материалы международного симпозиума по теории упругости, посвященного памяти А.А. Ильюшина. — М.: МГУ, 2001. —с.363.

28. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний: рождение, развитие, перспективы // Проблемы нелинейной механики. Сб. статей. К 80-летию Л.А. Толоконникова. Тула: ТулГУ, 2003. - С.262-271.

29. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Обоснование сходимости метода граничных состояний // Известия ТулГУ. Сер.: Математика. Механика. Информатика. -Т.7. -В.2. Тула: ТулГУ, 2001. - С. 157-160.

30. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Применение метода граничных состояний для решения основной смешанной задачи линейного континуума // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. — 2000. — Т.6. — Вып.2. — С. 124-127.

31. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Пространства состояний в задачах механики континуума // Международная конференция "Теория приближений и гармонический анализ": Тезисы докладов (Россия, Тула, 26-29 мая 1998 г).

32. Пеньков В.Б., Пеньков В.В., Рожков А.Н. // Решение основных задач для упругой изотропной пирамиды // Известия ТулГУ. Серия: Актуальные задачи механики. Тула: ТулГУ, 2005. - С.238-249.

33. Пеньков В.Б., Рожков А.Н. Метод граничных состояний в основной контактной задаче теории упругости // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. Т. 11. Вып.2. Механика. Тула: ТулГУ, 2005. С.101-106.

34. Пеньков В.Б., Харитоненко А.А. Анализ безвихревого движения идеальной жидкости методом граничных состояний // Известия ТулГУ. Серия: Актуальные вопросы механики. Вып. 2. - Тула: ТулГУ, 2006. -С.

35. Пеньков В.Б., Харитоненко А.А. Моделирование состояний гармонических сред и разработка метода распознавания состояний // Материалы конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: ТулГУ, 2006. - С. 169-171.

36. Пеньков В.Б., Харитоненко А.А. Организация пространств состояний для гармонических сред // Современные методы краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XVII». - Воронеж: ВГУ, 2006. - С. 127-128.

37. Пеньков В.Б., Харитоненко А.А. Применение метода граничных состояний для анализа гармонических полей // Известия ТулГУ. Серия: Математика, механика, информатика. Т. 12, Вып.1: Математика. - Тула: ТулГУ, 2006. - С.

38. Пеньков В.В. Асимптотики параллелепипеда // Юбилейная научно-практическая конференция "Прикладная математика — 99" (Тула, 03— 05.05.99). Тезисы докладов. — Тула, ТулГУ, 1999. — С. 92-93.

39. Пеньков В.В. Метод граничных состояний в задачах линейной механики: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Тула: ТулГУ, 2002. - 91 С.

40. Пеньков В.В. Метод граничных состояний для ньютоновской среды // И международная научно-техническая конференция "Проблемы пластичности в технологии": тезисы докладов. — Орел, ОГТУ, 1998. — С. 11-12.

41. Пеньков В.В. Метод граничных состояний для упругого параллелепипеда // Зимняя школа по механике сплошных сред (двенадцатая) (Пермь, 25—31. 01.99). Тезисы докладов. — Пермь: 1999. — С.250.

42. Пеньков В.В. Метод граничных состояний: формирование базиса пространства внутренних состояний среды // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. — 1998. — Т.4. — Вып.2. — С. 128134.

43. Ремизов А.Н., Потапенко А.Я. Курс физики: Учеб. для ВУЗов. М.: Дрофа, 2002. 720 С.

44. Рожков А.Н., Пеньков В.В. Компьютерная алгебра в методе граничных состояний // Современные проблемы механики и прикладной математики: Сборник трудов международной школы семинара. 4.2. - Воронеж: ВГУ, 2005.-С. 134-141.

45. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган: Пер. с англ. М.: Наука, ГРФМЛ, 1979. - 832 С.

46. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. Киев: «Наукова Думка», 1972.-508 с.

47. Толоконников Л.А., Пеньков В.Б. Метод граничных представлений в двумерных задачах механики. Тула: ТВАИУ, 1966.

48. Харитоненко А.А. Новый метод анализа электростатических полей // Сборник докладов международной НТК, посвященной 50-летию ЛГТУ: «Энергетика и энергоэффективные технологии». 4.1. Липецк: ЛГТУ, 2006. - С.130-134.

49. Харитоненко А.А., Пеньков В.Б. Анализ гармонических полей методом граничных состояний // Материалы региональной научно-практической конференции «Молодые ученые производству» (Старый Оскол, 2006). Т.2. - Старый Оскол: СТИ-МИСИС,2006. - С. 183186.

50. Нянь Вей-чан, Линь Хунь-сунь, Ху Хай-чан и Е Кай-юань. Теория кручения цилиндрических тел (на китайском языке). Пекин, 1956.

51. Saint-Venant В. Sur la torsion des prismes. Compt. Rend., 24 (1847), 847849.