Метод граничных состояний в задачах теории упругости для анизотропной среды тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Иванычев, Дмитрий Алексеевич

• Иванычев, Дмитрий Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Иванычев, Дмитрий Алексеевич

Содержание.

Введение.

Раздел 1. Обзор результатов и методов решения задач механики.

1.1. Сравнение метода граничных состояний с другими методами механики.

1.2. Обзор решений задач для анизотропных тел.

Раздел 2. Обоснование метода граничных состояний для анизотропной среды.

2.1. Пространство внутренних состояний.

2.2. Пространство граничных состояний.

2.3. Изоморфизм пространств состояний.

Раздел 3. Плоские задачи анизотропной упругости.

3.1. Обоснование решения.

3.1.1. Общее решение.

3.1.2. Формирование базиса пространств.

3.1.3. Скалярные произведения в пространствах состояний.

3.1.4. Ортогонализация базисов пространств.

3.2. Метод решения основных задач.

3.2.1. Первая основная задача.

3.2.2. Вторая основная задача.

3.2.3. Основная смешанная задача.

3.3. Решение задач для односвязной плоской области.

3.3.1. Решение первой основной задачи.

3.3.2. Решение второй основной задачи.

3.4. Решение задач для двусвязной плоской области.

3.5. Изгиб анизотропных пластинок.

3.5.1. Решение первой основной задачи.

3.5.2. Решение второй основной задачи.

3.6. Выводы по разделу.

Раздел 4. Обобщенная задача Сен-Венана.

4.1. Постановка задачи.

4.1.1. Общее решение.

4.1.2. Формирование базисов пространств.

4.1.3. Ортогонализация базисов пространств.

4.2. Метод решения основных задач.

4.3. Решение задач для односвязной трехмерной области.

4.4. Выводы по разделу.

Раздел 5. Особенность решения задач для тел с сингулярностями.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод граничных состояний в задачах теории упругости для анизотропной среды»

В современных конструкциях часто используются анизотропные материалы, у которых наблюдается различие в упругих свойствах для разных направлений. Примером таких материалов может служить натуральная древесина и синтетические материалы, применяемые в самолетостроении: дельта-древесина, текстолит, армированные стеклопластики и др. В последние десятилетия большое внимание уделяется созданию новых перспективных композитов, как то радиально-армированных материалов на базе эпоксоидаль-ных связующих и стеклянной арматуры. Анизотропией упругих свойств обладают кристаллы и некоторые горные породы.

Расширение сферы применения и усложнение структуры композитных материалов требуют создания надежных общих методов отыскания напряженно-деформированного состояния анизотропных материалов или развития существующих.

Все разработанные к настоящему времени методы решения задач механики деформируемого твердого тела имеют свои достоинства и недостатки. Метод граничных состояний (МГС) является новым, эффективным, компьютерно-ориентированным методом решения краевых задач уравнений математической физики.

К настоящему времени его применение в механике касалось узкого круга задач: кручение призматических стержней (A.A. Харитоненко), гидродинамика идеальных жидкостей (A.A. Харитоненко), статические задачи теории упругости изотропных тел, как при отсутствии массовых сил (В.В. Пеньков), так и при их наличии (Д.В. Викторов), линейная несвязанная термоупругость (J1.B. Саталкина), задачи линейной теории упругости для неоднородных тел (JI.B. Саталкина). Появились первые результаты в области динамических задач: МГС применен для исследования вынужденных колебаний упругих тел (И.В. Стебенев).

Естественным развитием сферы применения МГС является усложнение свойств среды, в частности, — рассмотрение сред с анизотропными свойствами.

Целью настоящей диссертации является развитие метода граничных состояний на класс задач МДТТ для анизотропной упругой среды и построение решений конкретных задач.

Для достижения поставленных целей необходимо:

- сформулировать понятия пространств внутренних и граничных состояний для анизотропного тела;

- обеспечить свойства гильбертова изоморфизма обоих пространств; -сформировать счетные базисы пространств состояний для анизотропной среды на основе общего решения определяющих уравнений;

- провести ортогонализацию базиса внутренних состояний; -сформулировать краевые задачи теории упругости в терминах

МГС;

- разработать вычислительные алгоритмы;

- провести решение конкретных задач.

Практическая ценность заключается в возможности использования нового метода для решения задач анизотропной упругости.

Научная новизна раскрывается следующими положениями:

1) МГС, который является новым «энергетическим» методом механики, применен для решения задач для анизотропных тел;

2) построен новый способ выделения базиса пространства состояний для анизотропной среды, использующий общее решения;

3) решены оригинальные задачи для тел различных очертаний.

Достоверность полученных результатов обеспечена:

1) строгим математическим обоснованием МГС;

2) тестированием результатов в отношении точности;

3) тестированием метода на известных решениях.

В первом разделе дано сравнение МГС с другими методами решения задач теории упругости; также приведен обзор по имеющимся результатам и методов решения задач для анизотропных тел.

Во втором разделе проводится обоснование метода граничных состояний для анизотропной среды. В первом и втором параграфах вводятся понятия внутреннего и граничного состояний среды, формируются гильбертовы пространства внутренних и граничных состояний с теоремой взаимности для среды как основой скалярного произведения в пространствах; показывается изоморфизм сформированных пространств.

Третий раздел посвящен решению плоских задач. В первом параграфе выписано общее решение плоской задачи для анизотропной среды; приведена методика формирования базиса пространства внутренних состояний (на основании формул комплексного представления Лехницкого [25]); приведены выражения для скалярных произведений в пространствах внутренних и граничных состояний. Во втором параграфе показана методика формирования решения первой и второй основных задач механики методом граничных состояний. В третьем параграфе решены конкретные задачи для односвязной плоской области. В четвертом параграфе приведена методика формирования базиса пространства внутренних состояний для двусвязной области и, как итог, решены конкретные задачи. В пятом параграфе решены конкретные задачи изгиба и кручения анизотропных пластинок. В шестом параграфе пред-ставены основные выводы.

В четвертом разделе проведено решение обобщенной задачи Сен-венана. В первом параграфе выписано общее решение задачи о равновесии цилиндра из материала обладающего прямолинейной анизотропией общего вида. Также здесь строится базис пространства состояний. Во втором параграфе приведены особенности решения данной задачи. В третьем параграфе проведено решение конкретных задач для тел прямоугольной, круглой, овальной форм.

В пятом разделе проведен анализ точности построенных решений для тел сложной конфигурации и обсуждены способы преодоления этих трудностей.

Заключительная часть работы содержит основные результаты и общие выводы, сформулированные на основе проведенных исследований.

В приложениях приведены сопутствующие материалы, по решению конкретных задач - эпюры, изолинии.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Иванычев, Дмитрий Алексеевич

4.4. Выводы по разделу

1. Разработана методология построения базисов пространств состояний, исходящая из наличия общего решения для анизотропного цилиндра.

2. Решение задач подтвердило тезисы о сходимости решения в среднем. Решение тестовых задач показало абсолютное совпадение полученных результатов с ранее известными.

3. Построены конкретные решения основных задач статики. Решения выписаны в аналитическом виде. Обнаружено полное совпадение с результатами, полученными в монографии [25].

4. Интегральные условия на торцах входят в ортонормированный базис, поэтому варьировать граничные условия возможно только на боковой поверхности.

5. Если на торцах присутствуют усилия, приводящие к скручивающему моменту, то при решении задач они в общем случае не восстанавливаются, но удовлетворяются в интегральном смысле.

6. В случае второй основной задачи в общем решении не рассматриваются задачи со свободно закрепленньши торцами. Перемещения задаются для внутренних точек тела, а на поверхности определяются как предельные значения этих величин. Однако перемещения необходимо задавать такими, чтобы восстановленные усилия на боковой поверхности действовали в плоскости поперечного сечения (Рг = 0), что не представляется возможным.

7. При решении простых задач с однородными граничными условиями и отсутствии скручивающего момента достаточен «короткий» (до 16 элементов) ортонормированный базис.

8. Решение задач для областей ограниченных сложным контуром характерно тем, что даже при простом нагружении возникает необходимость использовать большое число (до 500) элементов ортонормированного базиса.

Раздел 5. Особенность решения задач для тел с сингулярностями

В ходе решения некоторых задач для тел с сингулярной границей механическое наращивание базиса влияет на устойчивость решения вблизи таких точек.

Рассмотрим плоскую задачу (рис. 5.1). Упругие характеристики такие же, как и в ранее решенных плоских задачах для тела прямоугольной формы (п. 3.3.1). Зададим на контуре тела усилия или перемещения по функции, эквивалентной функции параболы.

Функции внешних усилий: рх=-\ + у2,ру =0, (x,y)<=S{; Px=l-y\ py=0,(x,y)eS2; Рх=Ру=0> (x,y)eS3vS4.

S4 f У 1 hv<a W

Si

-2

S2

S3

A —ы, V

Рис. 5.1. Задачи о нагружении прямоугольника

На рис. 5.2 представлены восстановленные в ходе решения усилия на границе при 150 удержанных коэффициентах ряда Фурье.

0 02

-0.23 J -0.49

-0 745

0.0001 б

Рис. 5.2. Восстановленные усилия при 150 удержанных коэффициентах ряда Фурье: а- на нагруженной границе; б - на свободной границе

На графиках: им. заданные значения; . - восстановленные значения.

На рис. 5.3 представлены восстановленные в ходе решения усилия на границе при 400 удержанных коэффициентах ряда Фурье.

-3. -I. 0 1. 2 -1 -1. 0 1 1 б

Как видно из графиков, при наращивании используемого отрезка базиса в окрестности сингулярных точек восстановленные характеристики осциллируют и устремляются в бесконечность. Это расхождение в окрестности точек с сингулярной границей, растет («наползает к центру границы») при наращивании базиса. При этом коэффициенты Фурье постоянно убывают. Аналогичная ситуация возникает и во второй основной задаче, если вместо усилий задать перемещения. Следует отметить, что подобные явления для тел с особенностями границы характерны и для других видов распределения усилий или перемещений.

Рассмотрим тело сложной формы, например в форме двутавра (рис. 5.4). Зададим следующие упругие характеристики: модули Юнга Ех= 23, Е = 14; модуль сдвига С = 6; коэффициент Пуассона ; коэффициенты взаимного влияния первого рода г/ху х =0.2, т]хуу =0.12. На гранях зададим единичные растягивающие усилия. п в2 X

Щ 111 Щ 1 ш

Рис. 5.4. Граничные условия к задаче о нагружении тела в форме двутавра Решение задач для плоских областей ограниченных сложным контуром характерно тем, что даже при простом нагружении, возникает необходимость использовать большое число (до 600) элементов ортонормированного базиса. В данной задаче также при наращивании используемого отрезка базиса в окрестности сингулярных точек восстановленные характеристики осциллируют и устремляются в бесконечность (рис 5.5). а

1 1 ( I I I I I §

2.5 У

1111111 б

Рис. 5.5. Восстановленные усилия при 300 удержанных коэффициентах ряда Фурье: а — на границе Б1; б — на границе Бг

Восстановленные характеристики осциллируют и на других участках границы.

Подобная ситуация возникает и в обобщенной задаче Сен-Венана, но только по боковой поверхности цилиндра (если боковая поверхность имеет сингулярность).

Такое поведение восстановленных на границе усилий или перемещений характерно для сложно нагруженных тел с сингулярной границей. Это является не ошибкой, особенностью решения задач методом граничных состояний для нерегулярных тел. Преодоление трудностей такого характера следует искать на пути включения в базис состояний специальных решений, «схватывающих» реакцию упругого поля на наличие сингулярности.

В качестве окончательного решения, записываются восстановленные характеристики, максимально соответствующие заданным на границе.

73

Заключение

В заключение отметим основные результаты работы.

1. Для решения задач для анизотропных сред выбран новый общий «энергетический» метод для решения задач линейного континуума. Метод опирается на формализм гильбертовых пространств и использует понятия пространств внутренних и граничных состояний.

2. Сформулированы понятия пространств внутренних и граничных состояний для анизотропной среды; обеспечены свойства гильбертова изоморфизма этих пространств.

3. Разработана методология построения базисов пространств состояний, исходящая из наличия общего решения для анизотропной среды. Разработаны базисы пространств внутренних состояний для объектов различных геометрических очертаний и физических свойств.

4. Строго обоснованчметод граничных состояний в части решения первой и второй основных задач. Решение строится с точностью до жесткого движения, которое является «нулем» пространства состояний. Процесс решения сводится к рутинному вычислению квадратур. Наращивание базиса для гладких тел не влияет на устойчивость решения.

5. Выполнена постановка основных задач для ограниченного тела в терминах МГС.

6. Разработаны вычислительные алгоритмы.

7. Решены конкретные задачи: плоские задачи для односвязных и дву-связных ограниченных областей, задачи изгиба анизотропных пластин, обобщенной задачи Сен-Венана.

8. Проведен анализ влияния сингулярности границы тела на сходимость решения.

9. Тестирование МГС на классических задачах для анизотропных тел показало абсолютные результаты. Построены (в аналитическом виде) конкретные решения задач о равновесии сплошных тел.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Иванычев, Дмитрий Алексеевич, 2010 год

1. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости (применение методов теории функций комплексного переменного). М.: Наука, 1978. - 464 с.

2. Амбарцумян С.А., Общая теория анизотропных оболочек. // Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1974.

3. Аржаных И.С. Интегральные уравнения основных задач теории поля и теории упругости. Ташкент: Изд-во АН УзбССР, 1954.

4. Баблоян A.A., Об одной задаче осесимметричной деформации круглого цилиндра конечной длины из трансверсально-изотропного материала. ДАН Арм. ССР 32, В 4, 1961, 189-196.

5. Башелешвили М.О. Об одном методе решения задач статики трансверсально-изотропного упругого тела. "Некоторые задачи теории упругости", Тбилиси, Тбилис. ун-т, 1975, 7 — 20.

6. Башелешвили М.О. Общие представления решений уравнений статики трансверсально-изотропного тела и некоторые их применения. Сообщ. АН Груз. ССР, 76, № 3, 1974, 565-568.

7. Башелешвили М.О. О дифференциальных свойствах потенциалов трансверсально-изотропного тела. Сообщ. АН Груз. ССР, 82, № 2, 1976, 325 -328.

8. Башелешвили М.О., Натрошвили Д.Г. О теоремах существования решений основных задач статики трансверсально-изотропного тела. "Докл. АН СССР", 231, № 1, 1976, 53 56.

9. Гурьянов И.Н. Метод разрывных решений в задачах исследования деформации анизотропных пластин сложной формы Текст. / И.Н. Гурьянов //Дисс. канд. физ.- мат. наук. — Казань, 1997. — 212 с.

10. Демидов С.П. Теория упругости: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1979.-432 с.

11. Емельянов Е.Ф. Гармонический многочлен // Математическая энциклопедия. — т.1. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — с. 886-887.

12. Ионов В.Н. Напряжения в коническом теле при статическом на-гружении // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1965. — №7.

13. Ионов В.Н. О равновесии тел вращения // Научные доклады высшей школы. Сер.: Физико-математические науки. — 1960. — №3.

14. Ионов В.Н. Равновесие упругого цилиндра конечной длины // Исследования по теории сооружений. — М.,1957. — Вып.7

15. Ионов В.Н. Расчет напряжений в телах сферических и близких по форме к сферическим // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1961. — №4.

16. Ионов В.Н. Расчет напряжений в цилиндрических телах произвольного сечения // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1959. — №11.

17. Ионов В.Н., Введенский Г.А. О возможных формах общего решения уравнений равновесия в криволинейных координатах // Известия ВУЗов. Математика. 1964. - №6.

18. Кононенко Е.С. Напряжения в упругом параллелепипеде при осевом сжатии // Исследования по теории сооружений. М.,1954. — Вып.6.

19. Космодамианский A.C., Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями. // Издательское объединение «Вища школа», 1976.-200 с.

20. Крутков Ю.А. Тензор функций напряжений и общие решения в статике теории упругости. М.: Изд. АН СССР, 1949.

21. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1976. -664 с.

22. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: ГИТТЛ, 1957.463 с.

23. Лехницкий С.Г. О некоторых вопросах, связанных с теорией изгиба тонких плит // Прикладная математика и механика. — 1938. — Т.П. — Вып. 2. -С.181 -210.

24. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977.-416 с.

25. Ли А.П. О смешанных задачах трансверсально-изотропного тела в сферической системе координат. "Тр. Семинара кафедры теор. мех. и высш. мат. Джамбул, технол. института легкой и пишевой пром-ти", вып. 3, 1973, 85-89.

26. Ли А.П. Некоторые первые краевые задачи трансверсально-изотропного тела в сферической системе координат. "Тр. Семинара кафедры теор. мех. и высш. мат. Джамбул, технол. института легкой и пишевой пром-ти", вып. 3, 1973, 67-83.

27. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 940 с.

28. Ляв А. Математическая теория упругости. — М.,1936.

29. Мальцев Л.Е. Некоторые свойства решений пространственных задач теории упругости методом Ритца /Дисс:-МГУ, 1968.

30. Мирошниченко Е.Р. Задача о сжатии цилиндра между жесткими плитами без скольжения. — М.: Моск. лесотехнич. ин-т, 1957.

31. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. -М.: Наука, 1966. — 707 с.

32. Нетребко В.П. Задача о кручении стержней переменного сечения // Вестник МГУ. 1958. - №6.

33. Нетребко В.П. Кручение параллелепипеда торцевыми нагрузками // Вестник МГУ. 1954. - №12.

34. Нетребко В.П. Кручение стержней, имеющих входящие углы // Вестник МГУ. 1960. - №4.

35. Нетребко В.П. Стесненное кручение упругого параллелепипеда // Вестник МГУ. 1956. - №6.

36. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир,1975. - 872 с.

37. Новацкий В. Функция напряжений в простанственных проблемах упругого тела с трансверсальной изотропией. Бюллетень Поьской АН (отд. 4) 2, №1, 1954.

38. Олехова Л. В. Кручение неоднородного анизотропного стержня Текст. / Л.В. Олехова //Дисс. д. т. н. Моска, 2009. - 115 с.

39. Пеньков В.Б., Иванычев Д.А. Решение плоских задач анизотропной упругости методом граничных состояний текст. //Вести высших учебных заведений Черноземья. Научно-технический и производственный журнал. №2 (20). Липецк: ЛГТУ, 2010. - С.31-35.

40. Пеньков В. Б., Иванычев Д.А., Решение осесимметричных задач анизотропной упругости методом граничных состояний текст. Вестник Тульского государственного университета. Серия: Актуальные вопросы механики. — Тула, 2010. Вып.6.

41. Пеньков В. В. Метод граничных состояний в задачах линейной механики. Текст. / В.В. Пеньков //Дисс. к. ф-м. н. — Тула, 2002. — 83 с.

42. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики // Материалы международного симпозиума по теории упругости, посвященного памяти A.A. Ильюшина. — М.: МГУ, 2001.-c.363.

43. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Пространства состояний в задачах механики континуума // Международная конференция "Теория приближений и гармонический анализ": Тезисы докладов (Россия, Тула, 26-29 мая 1998 г).

44. Пеньков В.В. Метод граничных состояний для упругого параллелепипеда// Зимняя школа по механике сплошных сред (двенадцатая) (Пермь, 25 31. 01.99). Тезисы докладов. - Пермь: 1999. - С.250.

45. Пеньков В.В. Метод граничных состояний: формирование базиса пространства внутренних состояний среды // Известия ТулГУ. Серия: Математика. Механика. Информатика. — 1998. Т.4. - Вып.2. — С.128—134.

46. Подружин Е. Г. Приложение метода сингулярных интегральных уравнений к задачам изгиба анизотропных пластин с многосвязным контуром Текст. / Ё.Г. Подружин //дисс. канд. физ.- мат. наук. Новосибирск, 2007. - 272 с.

47. Прусов И.А., Комаров Г.В., Об одном представлении общих формул теории упругости для трансверсально-изотропного полупространства. "Изв. АН БССР. Сер. физ-мат. Н.", В 5, 1981.

48. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. - 744 с.

49. Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. М.: Физматгиз, 1961.

50. Слободянский М.Г. Общие формы решений уравнений упругости для односвязных и многосвязных областей, выраженных через гармонические функции // ПММ. 1954. - Т.18. - С.55-74.

51. Сунчелеев Р.Я., Некоторые краевые задачи теории упругости для трансверсально-изотропного цилиндра. "Доклады АН Уз. ССР", В 9, 1966. 16-20.

52. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. -М.: Высшая школа, 1979. 320 с.

53. Тренин С.И. Построение метода решения ряда осесимметричных задач теории упругости // Вестник МГУ. 1952. - №6.

54. Трещев A.A., Пеньков В.В. Оценка точности метода граничных состояний для тел сложной конфигурации. // Известия ТулГУ. Серия: Математика. Механика. Информатика. — 2000. Т.6. - Вып.2. - С. 153-159.

55. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань, КГУ, 1986. — 295 с.

56. Филоненко-Бородич М.М. Две задачи о равновесии упругого параллелепипеда // ПММ. 1951. - T.XV. - Вып.5.

57. Филоненко-Бородич М.М. Задача о равновесии упругого параллелепипеда при заданных нагрузках на его гранях // ПММ. 1951. - T.XV. -Вып.2.

58. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. — М.: Физматгиз,1959.

59. Хуторянский Н.М. Нестационарный динамический тензор Грина для трехмерной трансверсально изотропной упругой среды // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Нижний Новгород: НГУ, 1990. — С.30-34.

60. Хуторянский Н.М. Тензор Грина нестационарной динамической1теории упругости для анизотропной однородной безграничной среды // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Статика и динамика деформируемых систем. Горький: Горьк. Ун-т, 1985. — С.23-31.

61. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. // М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1988. - 192 с.

62. Elliot H.A., Three-dimensional strees distributions in bexagonal aeo-tropic crystals. Proc. of the Canbridge philos. soc. 44, part 4, 1948, 522-533.

63. Finzi B. Integrazione della equazione della Meccanica dei sistemi con-tinui // Rendiconti d. Lincei. Ser.VI 1934. - V. 19.

64. Hu Hei-chang., On the three-dimensional problems of the theory of elasticity of a transevsely isotropic body. "Acta physica ainica (Chiness journal of physics) 9, N 2, 1953, 130-147.

65. Kasano Hideaki, Tsuchiya Hiroyuki, Matsumoto Hiroyuko, Nakahara Ichiro, Trans, Jap.Sos. "Mech.Eng.".A 47, N 418, 1981, 635-640 (Трансверсаль-ный изотропный полый цилиндр под действием кольцевой радиальной нагрузки)

66. Kasano Hideaki, Matsumoto Hiroyuko, Nakahara Ichiro, A transversely isotropic circular cylinder under concentraded loads. "Bull.JSME.", 23^ N 176, 1980, 170-176

67. Neuber H. Ein neuer Anzatz zur I^sung rabmlicher Probleme der Elas-tizitetstheorie // Zeith. fur angew. Math, und Mech; 1934. - V.14. -N 4.

68. Nowacki W. Theoria niesymetrycney sprezystosci. Warszawa: PWN,1971.

69. Pan J.-C., Chou T.-W. Greens functions for two-phase transversely isotropic materials. "Trans. ASME J.Appl.Mech." 46, № 3, 1979, 551-556.