Смешанные краевые задачи для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Сгибнев, Алексей Иванович

• Сгибнев, Алексей Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сгибнев, Алексей Иванович

Введение

1 Смешанная задача для уравнения Лапласа вне системы разрезов, расположенных на окружности

1.1 Постановка задачи.

1.2 Модификация задачи.

1.3 Решение задачи.,.

1.4 Явный вид решения в частных случаях.

1.5 Модификация системы алгебраических уравнений.

1.6 О вычислении некоторых интегралов.

2 Смешанная задача для уравнения Лапласа вне разрезов произвольной формы

2.1 Постановка задачи.

2.2 Сведение к системе сингулярных интегральных уравнений

2.3 Регуляризация. Исследование регуляризованной системы

2.4 Существование решения.

М 2.5 Случай одного разреза.

2.6 Поведение градиента решения на концах разреза.

2.7 Доказательство леммы 7.

2.8 Исчезновение особенности Vtf.

3 Обобщённая задача о скачке для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости

3.1 Постановка задачи.

3.2 Сведение к системе сингулярных интегральных уравнений

3.3 Регуляризация. Исследование регуляризованной системы

3.4 Существование решения.

3.5 Решение сингулярных уравнений.

3.6 Вычисление интегралов.

3.7 Случай одного разреза.

3.8 Поведение градиента решения на концах контура.

3.9 Доказательство леммы 8.

3.10 Исчезновение особенности Vw.

4 Смешанная задача для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости с заданием условия Дирихле и условия с косой производной на разных сторонах разрезов

4.1 Постановка задачи.

4.2 Сведение к системе сингулярных интегральных уравнений

4.3 Регуляризация. Исследование регуляризованной системы

4.4 Существование решения.

4.5 Решение сингулярных уравнений.

4.6 Вычисление интегралов.

4.7 Случай одного разреза.

4.8 Поведение градиента решения на концах контура.

4.9 Доказательство леммы 8.

4.10 Исчезновение особенности Vu.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Смешанные краевые задачи для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости»

Настоящая работа посвящена исследованию некоторых смешанных краевых задач для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости.

Краевые задачи вне разрезов на плоскости представляют большой интерес для приложений. Разрезы моделируют трещины в твердых телах, электроды в полупроводниках, крылья, экраны и пластины в жидкостях и газах, и т.д. Особый интерес представляют краевые задачи в канонических областях, которые допускают явное решение.

Дадим краткий обзор работ, носвящённых нашей теме.

Можно указать два основных типа краевых задач для уравнения Лапласа на плоскости с разрезами.

1) Краевые задачи для уравнения Лапласа с разрезами вдоль прямой или вдоль окружности. Ввиду простоты области, решение таких задач часто удаётся получить в явном виде.

2) Краевые задачи для уравнения Лапласа с разрезами произвольной формы. В этом случае, как правило, решение ограничивается сведением к разрешимой системе интегральных уравнений.

Рассмотрим оба типа задач подробнее.

1) Задачи для уравнения Лапласа с разрезами вдоль прямой или вдоль окружности могут быть решены в явном виде методами теории аналитических функций комплексного переменного. Задача сводится к задаче Римана-Гильберта для аналитических функций, а затем - к векторной задаче сопряжения [11, 38]. Эта задача допускает в определенных случаях решение в замкнутой форме. Случаи явного решения задачи Римана-Гильберта и соответствующей векторной задачи сопряжения вне разрезов вдоль прямой и окружности рассматривались в [27, 28, 32, 33]. Частные случаи этих задач решены в [34, 35, 36, 37]. Следует отметить, однако, что в многосвязных областях (в случае нескольких разрезов) задача для гармонических функций не эквивалентна соответствующей задаче Римана-Гильберта для аналитических функций [39]. Поэтому даже если явное решение краевой задачи для аналитических функций известно, то нахождение явного решения задачи для гармонических функций требует дальнейших трудоемких исследований.

Методом сведения к задаче Римана-Гильберта были построены явные решения следующих краевых задач для уравнения Лапласа в канонических областях.

Задача Дирихле с разрезами вдоль прямой решена в монографиях [11, 12]. В [11] указан также способ решения задачи Дирихле с разрезами вдоль 4 окружности. В [42] построено явное решение задачи Неймана для уравнения Лапласа вне одного прямолинейного разреза. Задача с косой производной для гармонических функций, включающая задачу Неймана, изучена в [30] вне разреза вдоль окружности и в [31] вне разрезов вдоль прямой. Задача со смешанным граничным условием для уравнения Лапласа вне прямолинейных разрезов, когда на одной стороне задано условие Дирихле, а на другой - условие с косой производной, включающее условие Неймана, решена в [6]. Обобщение этой задачи на случай разрезов, расположенных на параллельных прямых, приводится в [52]. Задача с косой производной вне периодических разрезов, расположенных вдоль прямой, рассмотрена в [40]. В [41, 53] изучается задача с косой производной вне периодической системы разрезов, расположенных на параллельных прямых.

Укажем некоторые работы, в которых использовались другие методы, приводившие к явному решению.

В [43] с помощью преобразования Фурье построено явное решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа вне одного прямолинейного разреза. Еще одно обобщение задачи Дирихле- Неймана вне прямолинейных разрезов на плоскости рассмотрено в [10], где методом граничных интегральных уравнений построено явное решение этой задачи для одного эволюционного уравнения, включающего уравнение Лапласа.

2) Краевые задачи для уравнения Лапласа с разрезами произвольной формы.

Задача Дирихле для уравнения Лапласа вне разрезов произвольной формы рассматривалась в [11]. Автор сводит эту задачу к задаче для аналитических функций, которая в свою очередь сводится к системе интегральных и алгебраических уравнений. Решение этой системы позволяет получить решение исходной задачи Дирихле.

Классический подход к краевым задачам для уравнения Лапласа вне разрезов произвольной формы на плоскости предполагает решение с помощью потенциалов простого и двойного слоя. Например, таким методом изучались задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа вне разреза произвольной формы в [16, 17]. При этом задача Дирихле сводится к интегральному уравнению I рода с логарифмическим ядром, а задача Неймана - к гиперсингулярному интегральному уравнению I рода. В [16] предложены численные методы решения полученных интегральных уравнений. Эти методы прилагаются к конкретным задачам математического моделирования в [18].

В случае задания условий Дирихле и Неймана на разных сторонах разреза, классический подход, основанный на использовании потенциалов простого и двойного слоя, приводит к системе из двух интегральных уравнений, одно из которых гиперсингулярное, а другое - уравнение с логарифмическим ядром. Тем самым, старший порядок особенности в уравнениях оказывается различным, что значительно усложняет анализ системы.

В [7, 50, 51] был введен неклассический угловой потенциал, который представляет собой потенциал двойного слоя, проинтегрированный по частям. С помощью углового потенциала в [7] решена задача о скачке косой производной гармонической функции вне одного разреза. Главное достоинство углового потенциала, который используется в данном методе вместо потенциала двойного слоя, заключается в том, что он имеет тот же порядок особенности на кривой, что и логарифмический потенциал. Это позволяет свести краевую задачу с двумя различными условиями на сторонах разреза к системе сингулярных интегральных уравнений Коши.

Метод углового потенциала исиользовался и развивался в [23, 44, 45, 5] при решении различных краевых задач для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости. В [23] рассматривалась смешанная задача для уравнения Лапласа, возникающая в физике полупроводников, при этом на одной части разрезов задавалось условие Дирихле, а на другой — условие с косой производной. В [44, 45] изучалась другая смешанная задача, в которой условие с косой производной задавалось с обеих сторон каждого разреза. В [5] рассматривалась задача о скачке для уравнения Лапласа. В этой задаче на каждом разрезе задавались скачки искомой функции и её нормальной производной.

Во всех этих работах с помощью потенциала простого слоя и неклассического углового потенциала задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений с дополнительными условиями. Посредством регуляризации и дальнейших преобразований система сингулярных уравнений с дополнительными условиями приводится к уравнению Фредгольма II рода в банаховом пространстве, которое оказывается однозначно разрешимым. Таким образом доказывается существование и единственность решения исходной задачи и указывается конструктивный метод построения решения. Регуляризация сингулярных интегральных уравнений изучена в [11]. В случае одного отрезка характеристические сингулярные интегральные уравнения рассмотрены в [47]. Численные методы решения сингулярных интегральных уравнений, возникающих в подобных задачах, развиты в [16].

Интегральное представление решения дает возможность подробно исследовать особенности градиента решения на концах разрезов. Результаты такого исследования для задач Дирихле и Неймана изложены в [8] и [9], для задачи о скачке - в [5]. Во всех задачах, рассмариваемых в настоящей работе, также изучаются особенности градиента решения на концах разрезов.

Упомянем еще несколько близких по теме работ. Задача Дирихле и задача Неймана для уравнения Лапласа в областях с кусочно-гладкой границей изучались в [1, 2], где были получены абстрактные теоремы существования в пространствах Соболева и асимптотика решения вблизи угла границы. В [3, 4] рассматривалась задача со смешанным граничным условием Дирихле -Неймана для уравнения Лапласа в области с кусочно-гладкой границей и была получена асимптотика решения в угловых точках границы. Однако случай угловых точек границы с углом 2л-, отвечающий разрезу, был исключен из рассмотрения, так как в этом случае интегральное представление для решения, полученное в [3, 4], перестает быть справедливым. В [60, гл. 4, §1] даны постановки задач для эллиптических уравнений с неклассическими граничными условиями, в частности, с заданием скачка искомой функции и весового скачка её нормальной производной на разрезе. В [19, 20) рассмотрена задача Неймана для уравнения Лапласа с обобщённой функцией в правой части граничного условия.

Сведение краевых задач к однозначно разрешимым интегральным уравнениям, которые легко решить численно, это отдельная проблема. Приведем примеры. В [46] рассмотрена смешанная краевая задача для уравнения Лапласа в плоской многосвязной области, граница которой разбита на дуги. На одной части дуг задано условие Дирихле, на другой - условие Неймана. В [48] изучалась задача Дирихле для уравнения Лапласа в многосвязной области, ограниченной замкнутыми кривыми, при этом на части кривых задавалось условие Дирихле, на части - условие Неймана. В трехмерном случае аналогичная задача изучалась в [49]. Однако во всех этих статьях авторам не удалось свести рассматриваемые смешанные задачи к однозначно разрешимым интегральным уравнениям Фредгольма II рода. Вместо этого авторам пришлось воспользоваться второй частью альтернативы Фредгольма.

В настоящей работе с помощью углового потенциала и потенциала простого слоя все рассматриваемые смешанные задачи вне разрезов произвольной формы на плоскости сводятся к однозначно разрешимым уравнениям Фредгольма II рода, которые наиболее просты и удобны как в анализе, так и при численных расчетах.

Первые две главы данной работы представляют собой применение двух методов (метод сведения к задаче Римана-Гильберта и метод потенциалов) к смешанной задаче Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости. В первой главе рассматриваются разрезы, расположенные вдоль окружности, во второй - разрезы произвольной формы. На одной стороне каждого разреза задано условие Дирихле, на другой - условие Неймана. С физической точки зрения это означает, например, задание потенциала и плотности нормального тока на сторонах электрода или задание температуры и нормального потока тепла и т.д. Задача из первой главы решена в явном виде, а задача из второй главы сведена к однозначно разрешимому интегральному уравнению.

В третьей и четвёртой главах метод потенциалов применяется для решения двух других смешанных задач для уравнения Лапласа вне разрезов произвольной формы, каждая из которых обобщает в своём направлении задачу Дирихле-Неймана. В третьей главе изучается обобщенная задача о скачке. На каждом разрезе задан скачок функции и скачок ее нормальной производной. Скачки содержат весовую функцию, отражающую вклад в граничные условия левого и правого предельных значений. Весовую функцию можно выбрать, например, так, что будут задаваться сумма предельных значений функции на берегах разреза и сумма предельных значений ее нормальной производной; в другом случае будут задаваться разности этих величин. Такие граничные условия могут оказаться интересными для приложений.

В четвертой главе рассматривается задача, в которой ставится условие Дирихле на одной стороне каждого разреза и условие с косой производной на другой стороне. С физической точки зрения задачи с косой производной в граничном условии описывают электрический ток с электродов в замаг-ниченных полупроводниках. При этом условие Дирихле отвечает заданию электрического потенциала. Задачи из третьей и четвертой глав сведены к однозначно разрешимым интегральным уравнениям.

Обратимся к систематическому изложению результатов, полученных в диссертации.

Первая глава посвящена смешанной задаче Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа вне разрезов вдоль окружности. Пусть на плоскости введены декартовы координаты (xi,x2) и полярные координаты (г, в). Пусть L - совокупность дуг окружности, не имеющих общих точек, в том числе и концов: ni n2

L = LlKJL\ Ll=\JLl L2=ULl N = N1 + N2, n=1 n=1

Lln = {r = l, 0e(aj,&i)}, n = l,.,JVb L2n = {r = l,ee (a2n,b2n)}, n = l,.'.,jV2. Пусть плоскость разрезана вдоль L.

В п. 1 дается постановка задачи: ищется достаточно гладкая функция и(х), гармоническая на плоскости вне разрезов L, удовлетворяющая граничным условиям u\{Ll)+ = du dr (L1)du dr

•2\ + w|(L2)- = Qi(t) на (L2) , непрерывная на концах разрезов, а также удовлетворяющая условиям на бесконечности: и(х) = Cln \х\ + O(l), ^ = С|®Г1 + 0(И-2), \х\-+оо.

Здесь t = ei9 G L, Qi(t) G C1'^!), Q2(<) e C°'A(I) - заданные функции, С - заданная константа. Вблизи концов d разрезов градиент функции к(х) должен удовлетворять неравенству

Vit| < с\х - d\5, где константа с > 0, число S > —1. Методом энергетических неравенств доказывается теорема единственности.

В п. 2 осуществляется сведение исходной задачи к задаче Римана-Гильберта для аналитических функций на комплексной плоскости. Далее методами теории функций комплексного переменного строится явное решение задачи Римана-Гильберта.

С помощью этого решения в п. 3 строится явное решение исходной задачи в виде суммы потенциала простого слоя и углового потенциала: и(х) = ~ f[-Ren{t) hir(x, 0) + Im f*(t)w(x, в)] d9 + со, L где со - вещественная константа, ш(х, в) = arg(z — t) - ядро углового потенциала [28], которое непрерывно меняется по в на L для х L, г(х, в) — \z — £| = \J(xi — cos в)2 + (х2 — sin 9)2, z = х\ + гх2. Плотности потенциалов даются выражениями:

ReM(£) = -g(t)Q2{t) - Kx{t) + K2{t)~ 1 [ЛГ/2] m £ (al cos(*(f ~ n))+A sin('(f -n}))+

Здесь

1 [ВД

Е - »))+Лсо.(4 - «))) ,

R2W п=|

Im//(t) - -pWQiW -

1 [N/2]

Ri(t) n=

• 1 №] / (ai cos(0(| - n))+/£ sin(0(| - n))) n=0 V К

E (-<* - n))+/S* cos(0(y - n))) . N

Ri{t) = 2 п n=l sin

1/4 sin —-—

3/4 sign(0-a*)x

JV2

ХП n=l oN в-at sin

N1

3/4 е-Ы

W) = 2 П n=l sm

0-aJ sin

3/4

1/4 sign(0 - al), sin e-bl

1/4 sign(0-a^)x iv2

ХП n=l sin

0-O*

1/4

0-Й sin

3/4 fi(to)Ri(tQ) cos sign(0 -a*), N + l

K2(t)

4vRi(t)i sin((0o - 9)/2) 2 1 г g{to)f2(to)R2(to) „„N + l ч.м J cos

00-0) <*0O, (00 - 0) <*0O,

4тгЯ2(*){ sin((0o-0)/2) "" 2 g(t) = 1, если t G L1, g(t) = -1, если £ G L2, t0 = eie° G L,

Ш = Qi(t) + Q2W, /2W = 9(t){Q2(t) - Qi(t)), Qi(t) = dQi d9

Константы aJn, определяются из системы линейных алгебраических уравнений, относительно которой доказано, что она однозначно разрешима. Тем самым, доказывается теорема существования и строится явное решение задачи.

В п. 4 рассмотрены три частных случая исходной задачи. Для этих случаев решается алгебраическая система и строится полностью явное решение смешанной задачи. Случай первый: N\ = 1, N2 = 0, С = 0. Случай второй: Ni = О, N2= 1,С = 0. Случай третий: N1 = 1,N2 = 0, Qi(t) - Q2(t) = О, t e L, С^О.В качестве примера приведём плотности потенциалов в решении для последнего случая:

I 1 - /0 ^ч 1 77 Л

Re= -С sm(- - ^ + + cos(- - + J , с (-тщsii4 cos(5 ~ ** +' где <pi = (о + ЗЬ)/8, </?2 = (За + 6)/8.

В п. 5 предлагается другой вариант системы линейных алгебраических уравнений относительно констант (3Jn и обсуждаются его преимущества. В п. 6 приводится расчет некоторых интегралов.

Вторая глава посвящена смешанной задаче Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа вне разрезов Г произвольной формы. Пусть Г - совокупность простых разомкнутых кривых класса С2,А, Л 6 (О,1], не имеющих общих точек, в том числе и концов: n г=иг„, Г„ = {х : х = x(s) = (xi{s),x2(s)), s е [an,6„]}, n = 1,2,., N, n=1 параметр s ~ длина дуги. Введём вектор касательной тх и вектор нормали пх к кривой Г в точке x(s) по формулам тх — (cosa(s),sina:(s)), пх = (sina(s), — cosa(s)), где cosa(s) = ^i(s), sina(s) = x'2{s). Пусть плоскость разрезана вдоль Г. Будем говорить, что функция и{х) принадлежит классу G, если:

1) и(х) £ C°(R2 \ Г) и и{х) непрерывна на концах разрезов Г,

2) Vu(s) е С°(Д2\Г\Х), где X = и^=1(х(ап)иа:(Ьп)) - множество концов контура Г,

3) вблизи концов x(d) разрезов градиент функции и(х) удовлетворяет неравенству

Vif| < const |х - x(d) где константа const > 0, число 6 > — 1, d = ап либо d — Ьп.

Функция принадлежит C°(R2 \Г), если она непрерывно продолжима на разрезы Г слева и справа, но её значения на разрезах Г слева и справа могут быть различны, то есть функция может иметь скачок на Г.

В п. 1 дается постановка смешанной задачи Дирихле-Неймана вне разрезов Г: требуется найти функцию и (ж) из класса G, гармоническую на плоскости вне Г и удовлетворяющую граничным условиям г*(я01ф)ег+ = f+(s), ди f-(s), x(s)erдпх и условиям на бесконечности ди А и{х) = Л\п \х\ + 0( 1), Щ = щ + 0(|а:|-2), \х\ оо.

Здесь f+(s) Е С1,Л(Г), /~(s) е с°'х(Г) - заданные функции, А - заданная константа. Если разрезы Г расположены вдоль окружности, то задача переходит в задачу из главы 1. Теорема единственности, доказанная методом энергетических тождеств, завершает п. 1.

В н. 2 ищется решение краевой задачи в виде суммы потенциала простого слоя, неклассического углового потенциала и константы: и(х) = v\p][x) + T[v](x) + (32N. (1)

Здесь

V[»}(x) = Ф) In \х - y(s)\ds, Т[и](х) = ~f v(s)i>{x,y{s))ds.

Ядро ф(х,у) углового потенциала определяется с точностью до 2пm (m целое) формулами cosi>{x,y) = Вшф(х,у) = J^JJ и непрерывно меняется по у на Г для любого фиксированного х € R2 \ Г. Для однозначности углового потенциала T[v](x) требуется выполнение следующих условий:

J iy(s) ds = 0, n = 1,., N. (2) г„

Плотности fi(s), i/(s) в потенциалах разыскиваются в определённых классах гладкости. При подстановке функции (1) в граничные условия и дифференцировании условия Дирихле по s на Г, задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений относительно плотностей потенциалов: u(s) + - J J&L da + f i*(<t)Y2(s, a)da + f и^У^з, a) da = 2/+(s), 8 6 Г, ^r ° s г г (3)

-/i(s)-i| ~~ d<r — J v(a)Y2{s,a)dG+f n(°)Yi{s,(j)da = 2r{s), s 6 Г.

Здесь Yi(s,<t), Y2(s,a) - известные функции, гёльдеровые на Г по обеим переменным с показателем A; f'+(s) = df/ds. Кроме того, должны быть выполнены дополнительные условия: м s) ds = -2тгД (4) г

V\fi](x(fln)) + т[и]{х(ап)) + 021V = /+(вп), П = 1,., N. (5)

Доказано, что если существует решение {fJ,(s)} 02n} полученной системы уравнений (2) - (5), такое что функции il(s),v(s) удовлетворяют определённым условиям гладкости, то решение задачи существует и даётся формулой (1). Далее производится замена переменных (неизвестных функций fj,(s), ^(5)), после которой характеристическая часть каждого из двух сингулярных уравнений содержит только одну неизвестную функцию.

В п. 3 производится регуляризация полученной системы сингулярных интегральных уравнений и её сведение (с учётом условий (2), (4), (5)) к векторному уравнению Фредгольма II рода.

В п. 4 доказывается однозначная разрешимость последнего уравнения в подходящем банаховом пространстве. Тем самым, доказывается теорема существования решения исходной задачи.

В п. 5 выводится решение задачи в случае одного разреза, имеющее более простой вид, чем для нескольких разрезов. Это решение будет использовано в дальнейшем.

В п. 6 исследуется поведение градиента решения на концах x(d) разреза на основании интегрального представления решения. В окрестности точки x{d) для производных решения справедливы формулы: ди дх ди x-+x(d)

Х — X

WF(-1)m +1 + °(1)' дХ2

Здесь d = а либо d = b\ j(a) = 2, j(b) = 1,

3/4 = \v + jaM, 4/4 = §¥> + Ja(6) oa 1 ■ 3 . . 7г nh 1 3 /1Х 37Г

05/4 = + гв(о) + 2, ^5/4 = ХР + 4а(Ь) - Т,

- угол в локальной полярной системе координат с центром в точке x(d), a(s) — угол между направлением оси Ох\ и вектором касательной к кривой Г в точке x(s) Е Г; через 0(1) обозначены функции, непрерывные в окрестности точки x(d), разрезанной вдоль контура Г.

П. 7 содержит доказательство одного вспомогательного утверждения.

В п. 8 рассматривается вопрос об исчезновении особенностей градиента решения в случае определенного выбора функций в граничных условиях. Пусть разрез прямолинейный: Г = {х : х = x(s) = (scosfl, ssin0),s € [а,6]}. Если функции /+(s), f~{s) из граничных условий представимы в виде

2[/+М + /-(*)] = Q2(s)9i(s) е С°'А(Г),

2lf'+(s) - f~(s)] = Qi(s)92(s) € С°'А(Г), Л € (0,1], где функции д\(s), g2{s) удовлетворяют соотношениям ь ъ f 9зШ-*)<% = J9j(0(b-0dt = -VSttA, j = 1,2, a a то градиент решения непрерывен на концах разреза. Приведены несколько примеров функций gi{s),g2{s), удовлетворяющих указанным соотношениям.

Третья глава посвящена обобщённой задаче о скачке для уравнения Лапласа вне разрезов Г на плоскости. В качестве граничных условий на разрезах задается скачок предельного значения искомой гармонической функции и{х) и скачок ее нормальной производной: и+(ж) - g(s)u~{x)) jx(s)6r = fi{s),

ИЗЧЗ! ,.,„=«■>•

Скачки содержат весовую функцию g(s), которая отражает вклад в граничные условия предельных значений на левом и правом берегах разрезов. При решении задачи функция g(s) предполагается постоянной на каждом отдельном разрезе Гп. Требования гладкости на функцию и(х) и условия на бесконечности такие же, как в задаче из главы 2. Задача главы 3 обобщает, с одной стороны, задачу главы 2, а с другой - задачу [5], в которой весовая функция равнялась единице. Методом энергетических тождеств доказывается теорема единственности решения краевой задачи. Структура пп. 1-4 аналогична структуре соответственных пунктов главы 2. Предполагая, что fi(s) е С1,А(Г), /2 Е С°'х(Г), Л Е (0,1], и разыскивая решение задачи в виде (1), сводим ее к системе сингулярных интегральных уравнений и дополнительных интегральных условий относительно плотностей n(s), v{s) и константы. Эта система существенно отличается от той, которая возникает в главе 2. Проводя для этой системы регуляризацию, которая оказывается более сложной, чем в главе 2, получаем интегральное уравнение Фредгольма II рода. Далее доказывается однозначная разрешимость этого уравнения в банаховом пространстве и таким образом доказывается разрешимость исходной краевой задачи. Формула (1) даёт интегральное представление решения задачи. В частном случае д = 0 построенное решение переходит в решение задачи Дирихле-Неймана, полученное в главе 2. В п. 5 даётся доказательство леммы, на основании которой была произведена регуляризация. Для этого производится переход в комплексную плоскость и решается задача сопряжения для интеграла типа Коши от неизвестной функции. В п. 6 с помощью интегралов типа Коши и теоремы о вычетах доказывается несколько равенств, которые позволяют упростить запись фредгольмовой системы для плотностей потенциалов. В п. 7 решается задача для одного разреза. В этом случае удаётся свести задачу к уравнению Фредгольма II рода для вектор-функции из пространства С°(Г) х С°(Г). В п. 8 полученное интегральное представление решения используется для исследования особенностей. Получены явные асимптотические формулы, описывающие поведение особенности градиента решения на концах разрезов. Оказывается, что порядок старшей особенности равен max{7,1 — 7}, где 7 = (arg(2<? -f г(д2 — 1)))/(2тг), д - вес граничного условия. В частном случае д = 0 формулы переходят в формулы главы 2. П. 9 содержит доказательство леммы, использованной в п. 8. В п. 10 исследуется вопрос об условиях исчезновения особенностей градиента решения, эти условия выписываются в виде интегральных требований на функции из граничных условий.

В четвёртой главе рассматривается смешанная задача для уравнения Лапласа вне разрезов Г на плоскости с заданием условия Дирихле на одной стороне каждого разреза и условия с косой производной - на другой стороне:

3 - заданная константа. Условия на бесконечности и требования гладкости на функции и(х), /+(s), f~(s) такие же, как в главах 2 и 3. Эта задача обобщает задачу из главы 2, поскольку условие с косой производной обобщает условие Неймана. С помощью энергетических тождеств доказывается теорема единственности решения краевой задачи. Структура главы 4 полностью аналогична структуре главы 3, но сингулярные уравнения, возникающие в

WU(s)er+ = f+(s), этой главе, оказываются более сложными. Решение задачи разыскивается в виде (1), в результате чего задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений с дополнительными условиями, которая после регуляризации приводится к уравнению Фредгольма II рода. Доказав однозначную разрешимость этого уравнения в банаховом пространстве, получаем теорему существования решения исходной краевой задачи. Интегральное представление решения дает формула (1). В частном случае /3 = 0 решение задачи переходит в решение задачи из главы 2. Получены явные асимптотические формулы, описывающие поведение градиента решения на концах разрезов. Оказывается, что старшая особенность градиента решения имеет порядок шах{1 — 77,1/2 + т/}, где ц = (arcctg/3)/(27r), /3 - константа из условия с косой производной. В частном случае /3 = 0 асимптотические формулы переходят в формулы из главы 2. В случае одного прямолинейного разреза получены условия исчезновения особенности градиента решения на концах разреза.

На этом завершим изложение краткого содержания диссертации.

Остановимся подробнее на физических моделях, приводящих к задачам, которые рассмотрены в диссертации.

1) Стационарное распределение тепла [54, 42].

Рассмотрим однородную изотропную среду, занимающую пространство переменных {х\,Х2-,х$), в которой нет источников тепла, кроме тонких нагретых тел. Пусть выполнены следующие условия: а) в каждом сечении плоскостью агз = Х3 = const тела являются достаточно тонкими, так что их можно моделировать разрезами Гх, Г2,. •, Г„; б) форма сечения тела плоскостью х$ = х® = const не зависит от 2:3.

Пусть разрезы Г параметризованы длиной дуги s и введены вектор касательной тх и вектор нормали пх к Г в точке x(s) (см. изложение главы 2)

Пусть на одной стороне каждого тела задано распределение температуры: г+=/+М, а на другой стороне задан тепловой ноток ди , ~ „ .

Подчеркнём, что функции /+, не зависят от х^. Кроме того, пусть известен полный поток тепла I (на единицу длины £3), уходящий на бесконечность: ~k^:ds = сг и' где Cr - цилиндр с осью вдоль хз достаточно большого радиуса г = yjx\ + х\, содержащий внутри себя все тела. Предполагая г столь большим, что ди/дг зависит только от г, получим —2тггк{ди/дг) = /, то есть и(х) = Ain + 0(1), |ж| —V оо, (6) где А = -1/2кк.

В итоге для температуры и(х) стационарного теплового поля получаем двумерную задачу в плоскости х = (х\,х2) для уравнения Лапласа вне разрезов Г с заданием условия Дирихле на одной стороне каждого разреза и условия Неймана - на другой, а также условия (б) на бесконечности. Такие задачи рассмотрены в главах 1, 2. Отметим, что условие ди А ,2 является математическим следствием условия (б) для функции и(х), гармонической вне круга [59, гл. V, §24, п. 10]. Поэтому условие (7) можно включить в формулировку задачи, не ограничивая общности.

Рассмотренная здесь задача моделирует, например, работу печей с тонкими стенками в форме цилиндрических поверхностей. С одной стороны такая стенка теплоизолирована, а с другой - поддерживается при постоянной температуре нагревательным элементом. Полученные в главах 1 и 2 результаты могут использоваться для моделирования работы технологических печей со сложной конфигурацией стенок, которые применяются в различных каталитических процессах в химических лабораториях.

2) Ток с электродов в замагниченной полупроводниковой плёнке.

Рассмотрим плоскую полупроводниковую пластину, толщиной которой можно пренебречь, занимающую плоскость переменных х = (xi,x2). Полупроводниковая плёнка находится в постоянном магнитном поле с магнитной индукцией В, направленной перпендикулярно плоскости переменных {х\,х2). Уравнения, описывающие динамику электронной плазмы в замагниченном иолуироводнике, имеют вид [55, 56, 57, 58] div J = 0, J = ЛЕ, Е = —grad и.

Здесь J = (Ji, J2) - плотность тока, Е = {Е\, Е2) - напряжённость электрического поля, и - потенциал электрического поля, Л - тензор проводимости, который в случае зарядов с изотропной массой (электронов) имеет вид r (1

1 + /32\-Р 1 где <т - проводимость полупроводника в отсутствие магнитного поля, (3 = цВ, II - подвижность носителей. Ниже будем считать, что <т и /3 - вещественные константы, причём а ф 0.

Предположим, что в плёнке имеются разрезы Г^Гг,. , Г/у, вдоль которых помещены электроды. С электродов в полупроводник стекает постоянный электрический ток. Введём вектор касательной тх и вектор нормали пх к Г в точке z(s) (см. изложение главы 2). Рассмотрим вектор напряжённости электрического поля и вектор плотности тока на сторонах разрезов в ортогональной системе координат с ортами пх и тх: Е = (Еп,Ет), J = («Лг>^г); тогда имг). (гн где rp f sin а — cos а \ cos a sin а ) является ортогональной матрицей: Г-1 = Тт. Связь между компонентами векторов J и Е в локальной системе координат даётся формулой ТЛТ"

JT J где ТЛТ-1 имеет смысл тензора проводимости в локальной системе координат. Нетрудно проверить, что ТЛТ-1 = Л, то есть матрица Л инвариантна относительно ортогональных преобразований. Учитывая формулы т-, , „ ч ди ^ , „ ч ди Еп = -(п, Vu) = -—, Ет = -(г, Viz) = -—, нормальную и тангенциальную компоненты плотности тока J на кривой запишем в виде о ( ди ^ди\ , —а ( „ ди ди\

J„ —

1 + (32 f ди а®и\ т ( о "U \

Пусть на одной стороне каждого разреза известно распределение потенциала, а на другой - распределение плотности нормального тока. Пусть известен также полный ток, уходящий с электродов на бесконечость. Требуется найти распределение потенциала во всей полупроводниковой пластине. С математической точки зрения требуется найти функцию и(х), гармоническую на плоскости вне разрезов, удовлетворяющую условию Дирихле и условию с косой производной на разных сторонах каждого разреза, а также условиям (6),

7) (см. вывод в п. 1)). Эта задача рассмотрена в главе 4. Если магнитное поле выключено (В = 0,/? = 0), получаем смешанную задачу Дирихле-Неймана, рассмотренную в главах 1, 2. Если (3 Ф 0, то обсуждаемая здесь модель описывает эффект Холла в полупроводниковых пластинах [55, 56]. В настоящее время принцип действия многих физических приборов основан на эффекте Холла. К таким приборам, в частности, относятся измерители магнитных нолей.

Нумерация формул, теорем и лемм в каждой главе независима от нумерации в других главах.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Сгибнев, Алексей Иванович

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [61]-[80].

Заключение

В диссертации решены четыре смешанные задачи для гармонических функций вне разрезов на плоскости. При этом на разных сторонах разрезов задаются граничные условия разных типов. Перечислим кратко основные новые результаты, полученные в диссертации.

1. Рассмотрена задача Дирихле-Неймана для случая, когда разрезы расположены вдоль окружности. С помощью методов краевых задач теории аналитических функций комплексного переменного построено явное решение задачи. Это решение представляет определенный интерес, так как явные решения подобных задач, к тому же со смешанным граничным условием, были построены в единичных случаях.

2. Задача Дирихле-Неймана с разрезами произвольной формы решена с помощью теории потенциалов. Доказано существование классического решения задачи и его единственность. Получено интегральное представление решения в виде потенциалов, плотности которых определяются в результате решения однозначно разрешимого интегрального уравнения Фредгольма II рода. Проведено подробное изучение особенности градиента решения на концах разрезов, получены асимптотические формулы для особенности. Оказалось, что порядок особенности для смешанной задачи равен 3/4 (в задаче Дирихле и в задаче Неймана 1/2). Указано, каким условиям должны удовлетворять функции в граничных условиях, чтобы градиент решения был непрерывен на концах разреза.

3. Проведено обобщение задачи главы 2 и задачи о скачке [5] на случай так называемой обобщённой задачи о скачке. Доказаны теоремы о существовании и единственности классического решения задачи. Получено интегральное представление решения в виде потенциалов, плотности которых определяются в результате решения однозначно разрешимого интегрального уравнения Фредгольма II рода. Проведено подробное изучение особенности градиента решения на концах разрезов, получены асимптотические формулы для особенности. Оказалось, что порядок особенности для смешанной задачи равен max{7,1 — 7}, где 7 = (arg(2# + г(д2 — 1)))/(27г), д - вес граничного условия. Найдены условия, которым должны удовлетворять функции в граничных условиях, чтобы градиент решения был непрерывен на концах разреза.

4. Проведено обобщение задачи главы 2 на случай задания условия Дирихле и условия с косой производной на разных сторонах разрезов. Доказаны классическая разрешимось задачи и единственность решения. Получено интегральное представление решения в виде потенциалов, плотности которых определяются в результате решения однозначно разрешимого интегрального уравнения Фредгольма II рода. Проведено подробное изучение особенности градиента решения на концах разрезов, получены асимптотические формулы для особенности. Оказалось, что порядок особенности для смешанной задачи равен шах{1 — 77,1/2 + 77}, где 77 = (arcctg/3)/(2-7r), /3 - константа из условия с косой производной. Указано, каким условиям должны удовлетворять функции в граничных условиях, чтобы градиент решения был непрерывен на концах разреза.

Полученные в работе результаты докладывались на семинаре "Уравнения с частными производными" Мехмата МГУ (рук. Кондратьев В.А.), на семинаре "Интегральные уравнения и их приложения" ВМК МГУ (рук. Захаров Е.В. и Лифанов И.К.), на семинаре "Дифференциальные уравнения" МЭИ (рук. Амосов А.А. и Дубинский Ю.А.), на международном конгрессе по анализу и его приложениям ISAAC 2001 (Берлин), на международной конференции И.Г. Петровского (Москва, 2004), а также на Конференциях молодых учёных мехмата (2001, 2002, 2003, 2004) и физфака (2001, 2002, 2003). Результаты также были представлены на международном симпозиуме по методам математической физики МДОЗМФ (Херсон, 2001) и на международной конференции "Колмогоров и современная математика" (Москва, 2003).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сгибнев, Алексей Иванович, 2005 год

1. В.А. Кондратьев. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. // Тр. Моск. матем. об-ва.1967. Т. 16. С. 209-292.

2. С.А. Назаров, Б.А. Пламеневский. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. // М.: Наука, 1991.

3. С.С. Заргарян, В.Г. Мазья. Об особенностях решений системы интегральных уравнений теории потенциала для задачи Зарембы. // Вестник Ленинградского университета. Сер. Мат., мех. 1983. N 1. С.43-48.

4. В.Г. Мазья. Граничные интегральные уравнения. // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики: Фундаментальные направления. 1988. Т. 27. С. 131-228.

5. P. A. Krutitskii. The jump problem for the Laplace equation. // Applied Math. Letters. 2001. Vol. 14. P. 353-358.

6. A.C. Гостева, Н.Ч. Крутицкая, П.А. Крутицкий. Смешанная задача в замагниченной полупроводниковой пленке с разрезами вдоль прямой. // Фунд. и приклад, матем. 2000. Т. 6. Вып. 4. С. 1061-1073.

7. С.А. Габов. "Угловой потенциал и его некоторые приложения. // Матем. сб. 1977. Т. 103 (145). N 4. С. 490-504.

8. П.А. Крутицкий. Задача Дирихле для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1994. Т. 34. N 8-9. С. 1237-1258.

9. П.А. Крутицкий. Задача Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. // ЖВМ и МФ. 1994. Т. 34. N 11. С. 1652-1665.

10. Р.А. Krutitskii. An initial-boundary value problem for the pseudo-hyperbolic equation of gravity-gyroscopic waves. // Journal of Mathematics of Kyoto University. 1997. Vol. 37. No. 2. P. 343-365.

11. Н.И. Мусхелишвили. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука,1968.

12. Ф.Д. Гахов. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

13. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

14. С.Г. Крейн (ред.). Функциональный анализ. М.: Наука, 1964.

15. J1.B. Канторович, Г.П. Акилов. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

16. И.К. Лифанов. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО "Янус", 1995.

17. И.К. Лифанов, А.В. Сетуха. О сингулярных решениях некоторых краевых задач и сингулярных интегральных уравнений. // Дифф. уравнения. 1999. Т. 35. N 9. С. 1227-1241.

18. В.А. Гутников, В.Ю. Кирякин, И.К. Лифанов, А.В. Сетуха. Математическое моделирование аэродинамики городской застройки. М.: "ПАСЬВА", 2002.

19. А.В. Сетуха. О плоской краевой задаче Неймана с обобщёнными граничными условиями. // Дифф. уравнения. 2002. Т. 38. N 9. С. 1172-1182.

20. А.В. Сетуха. Фундаментальные решения плоской краевой задаче Неймана для уравнения Лапласа. // Дифф. уравнения. 2003. Т. 39. N 1. С. 125-132.

21. П.А. Крутицкий. О смешанной задаче для уравнения Гельмгольца в многосвязной области. // ЖВМ и МФ. 1996. Т. 36. N 8. С. 127-137.

22. П.А. Крутицкий. Смешанная задача для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. // Дифф. уравнения. 1996. Т. 32. N 9. С. 1153-1162.

23. П.А. Крутицкий. Смешанная задача для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости. // Дифф. уравнения. 1997. Т. 33. N 9. С. 1181-1190.

24. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы мат. анализа. Часть 2. М.: Наука, 1998.

25. А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров. Специальные функции мат. физики. М.: Наука, 1984.

26. П.К. Суетин. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1979.

27. П.А. Крутицкий. О задаче Римана-Гильберта и задаче с косой производной на плоскости с разрезами вдоль окружности. // Матем. моделирование. 1990. Т. 2. N 9. С. 114-123.

28. П.А. Крутицкий. О задаче с косой производной для плоскости с разрезами вдоль прямой и связанных с ней задачах. // Матем. моделирование. 1990. Т. 2. N 4. С. 143-154.

29. П.А. Крутицкий. Применение потенциалов С.А. Габова в физике полупроводников. // ЖВМиМФ. 1991. Т. 31. N 1. С. 109-121.

30. Н.Ч. Крутицкая, П.А. Крутицкий, Г.Ю. Малышева. О динамике электронной плазмы в замагниченной полупроводниковой пленке с электродом, лежащим на дуге окружности. // Фундаментальная и прикладная математика. 1996. Т. 2. N 1. С. 147-160.

31. П.А. Крутицкий. Отекание электрического тока с прямолинейных электродов в замагниченной полупроводниковой пленке. // ЖВМиМФ. 1990. Т. 30. N 11. С. 1689-1702.

32. Г.П. Черепанов. Задача Римана-Гильберта для внешности разрезов вдоль прямой или вдоль окружности. // ДАН СССР. 1964. Т. 156. N 2. С. 275-278.

33. Г.П. Черепанов. Решение одной линейной краевой задачи Римана для двух функций и ее приложение к некоторым смешанным задачам плоской теории упругости. // ПММ. 1962. Т. 26. N 5. С. 907-912.

34. G. Sorin. Un probleme mixte pour le plan muni de coupures le long d'une circonference. // Rev. roum. math, pures et appl. 1971. V. 16. N 6. P. 849-864.

35. G. Sorin. Sur quelques problemes aux limites pour le plan muni de coupures et leurs applications a la theorie de la filtration. // Bull. math. Soc. Sci. math. RSR. 1974 (1975). V. 18. N 1-2. P. 103-116.

36. G. Sorin. Sur quelques problemes aux limites pour les founctions analytiques dans le plan muni de coupures le long d'une circonference. // Atti. Acad, naz, Lincei. Rend. CI. Sci. math et natur. 1977 (1978). V. 63. N 1-2. P. 3-9.

37. Д.И. Шерман. Смешанная задача теории потенциала и теории упругости для плоскости с конечным числом прямолинейных разрезов. // ДАН СССР. 1940. Т. XXVII. N 4. С. 330-334.

38. Е.И. Оболашвили. Некоторые краевые задачи аналитических функций и их применения в теории упругости. // Тр. Тбилисского ун-та. 1981. Т. 218. С. 14-24.

39. П.А. Крутицкий. Об эквивалентности задачи с косой производной для гармонических функций и задачи Римана-Гильберта. // Диф. уравнения. 1992. Т. 28. N 5. С. 856-867.

40. JI.B. Бушева, П.А. Крутицкий. О динамике полупроводниковой плазмы в замагниченной полупроводниковой пленке с периодической системой электродов, лежащих на прямой. // Фунд. и приклад, матем. 1997. Т. 3. N 3. С. 739-757.

41. П.А. Крутицкий, К.А. Логгинова. Об одной краевой задаче, описывающей эффект Холла в полупроводнике с периодической системой электродов. // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 1997. N 6. С. 23-27.

42. Э.М. Карташов. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 2001.

43. В.М. Александров, Е.В. Коваленко. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986.

44. Р.А. Krutitskii. On the electic current from electrodes in a magnetized semiconductor film. // IMA Journal of Applied Mathematics. 1998. V. 60. P. 285-297.

45. P.A. Krutitskii. The skew derivative problem in the exterior of open curves in a plane. // Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen. 1997. V. 16. N 3. P. 739-747.

46. D. Homentcovschi. On the Dirichlet-Neumann mixed boundary value problem for harmonic functions in plane multiply connected domains. // Rev. Roumaine math, pures appl. 1987. V. 32. N. 9. P. 801-810.

47. Ф. Трикоми. Интегральные уравнения. M.: Изд. иностр. лит., 1960.

48. С. Jacob. Sur la determination des fonctions harmoniques conjuguees par certaines conditions aux limites. // Matematica, Cluj. 1935. N. 11. P. 58-175.

49. R. Gonzales, R. Kress. On the treatment of a Dirichlet-Neumann mixed boundary value problem for the harmonic functions by an integral equation method. // SIAM. J. Math. Anal. 8 (1977). P. 504-517.

50. C.A. Габов. Угловой потенциал и задача с косой производной для гармонических функций. // ЖВМ и МФ. 1977. Т. 17. N 3. С. 706-717.

51. С.А. Габов. О задаче с косой производной для уравнения Лапласа. // ДАН СССР. 1976. Т. 226. С. 253-256.

52. А.С. Гостева, Н.Ч. Крутицкая, П.А. Крутицкий. Смешанная задача в замагниченной полупроводниковой плёнке с двумя периодическими системами разрезов. // Фунд. и прикл. мат. 2002. Т. 8. N 1. С. 39-52.

53. П.А. Крутицкий, К.А. Логгинова. О краевой задаче, описывающей эффект Холла в полупроводнике с двумя периодическими системами электродов. // Фунд. и прикл. мат. 2002. Т. 8. N 3. С. 729-742.

54. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. М.: Гостехиздат, 1951.

55. В.В. Владимиров, А.Ф. Волков, Е.З. Мейликов. Плазма полупроводников. М.: Атомиздат, 1979.

56. В .Л. Бонч-Бруевич, С.Г. Калашников. Физика полупроводников. М.: Наука, 1990.

57. С.А. Габов, П.А. Крутицкий. Об одной краевой задаче, связанной с протеканием электрического тока через замагниченный полупроводник. // Мат. моделирование. 1989. Т. 1. N 5. С. 71-79.

58. П.А. Крутицкий. Об одной краевой задаче с косой производной в граничном условии, возникающей в физике полупроводников. // Применение методов функцион. анализа к неклассич. ур-ниям матем. физ. Новосибирск: Ин-т матем. СО АН СССР, 1989. С. 127-135.

59. B.C. Владимиров. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

60. А.А. Самарский, В.Б. Андреев. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.

61. А.И. Сгибнев, П.А. Крутицкий. Смешанная задача для уравнения Лапласа вне дуги окружности. // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2000. N 6. С. 27-30.

62. А.И. Сгибнев, П.А. Крутицкий. О смешанной задаче для уравнения Лапласа на плоскости вне системы разрезов, расположенных на окружности. // Фунд. и приклад, матем. 2002. Т. 8. Вып. 4. С. 1129-1158.

63. П.А. Крутицкий, А.И. Сгибнев. Метод интегральных уравнений в смешанной задаче Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости. // Дифф. уравнения. 2001. Т. 37. N 10. С. 1299-1310.

64. П.А. Крутицкий, А.И. Сгибнев. Метод интегральных уравнений в обобщенной задаче о скачке для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости. // Дифф. уравнения. 2002. Т. 38. N 9. С. 1199-1213.

65. П.А. Крутицкий, А.И. Сгибнев. Особенности градиента решения в обобщенной задаче о скачке для уравнения Лапласа вне разреза на плоскости. // Дифф. уравнения. 2003. Т. 39. N 9. С. 1165-1175.

66. П.А. Крутицкий, А.И. Сгибнев. Смешанная задача для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости с заданием условия Дирихле и условия с косой производной на разных сторонах разрезов. // Препринт Инст. прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН. 2004. N 8. 28 с.

67. П.А. Крутицкий, А.И. Сгибнев. Исследование особенностей градиента решения в краевой задаче для уравнения Лапласа вне разреза на плоскости со смешанным граничным условием. // Препринт Инст. прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН. 2004. N 31. 22 с.

68. А.И. Сгибнев, П.А. Крутицкий. О смешанной задаче Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости. // Труды 10-го международного симпозиума "Методы дискретных особенностей в задачах мат. физики". Херсон, Украина. 2001. С. 305-309.

69. А.И. Сгибнев. Задача Дирихле-Неймана для гармонических функций вне разреза произвольной формы. // Труды 23-й Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. М.: МГУ, 2001. С. 314-322.

70. А.И. Сгибнев. Обобщенная задача о скачке для гармонических функций вне разреза. // Труды 24-й Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. М.: МГУ, 2002. С. 160-163.

71. A.I. Sgibnev, Р.А. Krutitskii. On the mixed problem for Laplace equation outside cuts, placed along a circumference in a plane. // Proceedings of the 3rd ISAAC congress. World Scientific. Singapore. 2003. Vol. 2. Pp. 753-762.

72. A.I. Sgibnev, P.A. Krutitskii. The mixed problem for harmonic functions outside a cut of an arbitrary shape. // Proceedings of the 3rd ISAAC congress. World Scientific. Singapore. 2003. Vol. 2. Pp. 1151-1160.

73. A.I. Sgibnev, P.A. Krutitskii. On the mixed problem for Laplace equation outside cuts, placed along a circumference in a plane. // 3rd International ISAAC congress. Abstracts. Berlin. 2001. P. 150.

74. A.I. Sgibnev, P.A. Krutitskii. The mixed problem for harmonic functions outside a cut of an arbitrary shape. // 3rd International ISAAC congress. Abstracts. Berlin. 2001. P. 195.

75. P.A. Krutitskii, A.I. Sgibnev. Singularities of gradient of the solution of generalized jump problem for harmonic functions outside a cut. // International conference "Kolmogorov and contemporary mathematics". Abstracts. M.: MSU, 2003. P. 943-945.

76. П.А. Крутицкий, А.И. Сгибнев. Метод интегральных уравнений в смешанной задаче с косой производной для гармонических функций вне разрезов на плоскости. // Международная конференция И.Г. Петровского. Тезисы докладов. М.: МГУ, 2004. С. 119.