Моделирование распространения электромагнитного излучения методом совместного разностного решения волнового уравнения и уравнений Максвелла тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Яблокова, Людмила Вениаминовна

• Яблокова, Людмила Вениаминовна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Яблокова, Людмила Вениаминовна

Оглавление

Введение 5 1. Разностные схемы для уравнений Максвелла и волнового уравнения

1.1 Разностные схемы Yee

1.1.1 Разностные схемы Yee, одномерный случай

1.1.1.1 Уравнения Максвелла в одномерном случае

1.1.1.2 Замена производных конечными разностями

1.1.1.3 Задание падающей волны по технологии TF/RF

1.1.1.4 Наложение поглощающих слоев

1.1.1.5 Переход к комплексной амплитуде

1.1.2 Разностные схемы Yee, двумерный случай

1.1.2.1 Уравнения Максвелла в двумерном случае

1.1.2.2 Замена производных конечными разностями

1.1.2.3 Задание падающей волны по технологии TF/RF

1.1.2.4 Наложение поглощающих слоев

1.2 Разностное решение волнового уравнения

1.2.1 Разностное решение волнового уравнения, одномерный случай

1.2.2 Разностное решение волнового уравнения, двумерный случай 55 Выводы главы 1 58 2 Совместное разностное решение волнового уравнения и уравнений Максвелла

2.1 Сравнение алгоритма Yee и разностного решения волнового уравнения

2.1.1 Теоретическое сравнение

2.1.2 Экспериментальное сравнение

2.1.3 Новое теоретическое сравнение

2.2 Совместное разностное решение волнового уравнения и уравнений Максвелла, одномерный случай

2.2.1 Двухслойная акустическая разностная схема

2.2.2 Новая модель, одномерный случай

2.2.2.1 Модель, численный метод, программная реализация

2.2.2.2 Исследование модели и численного метода посредством вычислительного эксперимента без наложения поглощающих слоев и использования технологии TF/SF задания падающей волны

2.2.2.3 Исследование модели и численного метода посредством вычислительного эксперимента при наложении поглощающих слоев

2.2.2.4 Исследование модели и численного метода посредством вычислительного эксперимента при задании падающей волны по технологии TF/SF 87 2.3 Совместное разностное решение волнового уравнения и уравнений Максвелла, двумерный случай

2.3.1 Модель и численный метод

2.3.2 Программная реализация

2.3.3 Исследование модели и метода с помощью вычислительного эксперимента

2.3.3.1 Исследование модели и численного метода при задании падающей волны по технологии TF/SF

2.3.3.2 Исследование модели и численного метода при задании падающей волны по технологии TF/SF и наложении поглощающих слоев

2.3.4 Исследование длительности вычислений по совместному разностному решению волнового уравнения и системы уравнений Максвелла 105 Выводы главы 2 108 3 Блочные алгоритмы совместного разностного решения волнового уравнения и уравнений Максвелла

3.1 Блочные алгоритмы в линейной алгебре и вычислительной электродинамике

3.2 Блочные алгоритмы совместного разностного решения

3.3 Программный комплекс

3.4 Экспериментальное исследование блочных алгоритмов

3.5 Моделирование влияния технологических погрешностей изготовления на работу цилиндрической кремниевой линзы Френеля с

высокой числовой апертурой в терагерцовом диапазоне

3.5.1 Исследование кремниевой линзы Френеля

3.5.2 Учет влияния технологических погрешностей изготовления 131 3.6 Замечания и рекомендации 133 Выводы главы 3 137 Заключение 139 Список литературы 141 Приложение А. Акты о внедрении 157 Приложение В. Свидетельства о регистрации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование распространения электромагнитного излучения методом совместного разностного решения волнового уравнения и уравнений Максвелла»

Введение

Диссертация посвящена разработке математической модели, численного метода и программных комплексов для исследования распространения электромагнитного излучения, отличающихся от математического аппарата и программных реализаций известного разностного метода решения уравнений Максвелла во временной области значительно меньшей длительностью расчетов при той же точности.

Актуальность темы

Развитие математического моделирования, как самостоятельного научного направления, получило мощный импульс в ходе работ над крупными проектами середины прошлого века, связанными с исследованиями в новых областях физики [103]. В отечественной науке у истоков математического моделирования стоял Александр Андреевич Самарский, заложивший основы этой научной отрасли и посвятивший жизнь ее развитию. Исследованию распространения электромагнитных волн посвящены все ранние работы Александра Андреевича (до 1954 г., например, [71]), опубликованные в соавторстве со своим учителем Андреем Николаевичем Тихоновым. Таким образом, первыми задачами математического моделирования оказались проблемы электродинамики, что обусловило дальнейшую глубокую связь этих наук.

В ходе развития математического моделирования сформировался и основной его инструмент - теория разностных схем, которую в нашей стране также прежде всего связывают с академиком А.А. Самарским [65] и его учениками [62-64]. Наиболее актуальным математическим аппаратом современной вычислительной электродинамики безальтернативно признается метод разностного решения уравнений Максвелла (FDTD-метод, Finite-Difference Time-Domain method [141]), основанный на работе [155] Kane Yee 1966-ого года. Наибольший вклад в совершенствование FDTD-метода (от присвоения ему названия до настоящего времени) внес Allen Taflove, автор ряда фундаментальных монографий (только одна работа "Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method" вы-

держала три издания) по данной теме. В радиофизике посредством данного метода производится расчеты таких актуальных технических устройств, как приемные и передающие антенны, микросхемы, различные волноведущие структуры и т.п. Проводятся вычислительные эксперименты в областях, связанных с исследованием воздействия электромагнитного излучения на биологические ткани, радиолокацией, передачей сигналов через атмосферу планет и др.

Метод FDTD в настоящее время также стал основным инструментом математического моделирования в компьютерной оптике [53] (что неудивительно, учитывая электромагнитную природу оптического излучения), новой отрасли оптики, основанной Виктором Александровичем Сойфером и развиваемой научной школой под его руководством. С помощью FDTD-метода в этой научной области решаются актуальные задачи расчета оптических микро- и наноструктур, фотонных кристаллов, моделирования распространения плазмонов, синтеза оптических вычислительных устройств и многие другие [33,34,53].

Некоторое удивление вызывает применение математического аппарата FDTD-метода в современной акустике [124] при моделировании распространения звука в различных средах. Разумеется, акустические волны имеют другую физическую природу, в связи с чем FDTD-метод в данной предметной области подвергся известной переработке (о чем свидетельствует добавка к названию Velocity-Stress FDTD), однако сохранил основные черты: использование разностных схем типа Yee для решения системы гиперболических дифференциальных уравнений; наложение сеточной области со специфически смещенными в пространстве и времени узлами для определения различных сеточных функций с целью повышения порядков аппроксимации разностной схемой исходной дифференциальной задачи; развитый аппарат задания поглощающих слоев для моделирования затухания поля, покидающего вычислительную область.

Популярность обсуждаемого метода в настоящее время обусловлена несколькими факторами. В первую очередь общностью математической модели (базовой для радиофизики и оптики), вычисления по которой он реализует. Во-вторую, глубокой проработанностью (на протяжении полувековой истории разви-

тия метода) математического аппарата, обеспечивающего гибкую настройку метода под конкретную задачу оптики или радиофизики. В-третьих, рост популярности БОТО-метода обеспечивает бурное и непрерывное развитее аппаратной базы вычислительной техники, постоянно открывающее новые возможности для постановки вычислительных экспериментов в случаях, еще недавно казавшихся избыточно сложными для моделирования. Наконец, усилия академического сообщества и коммерческих разработчиков по созданию обширной программной базы, включающей реализации БОТБ-метода, специализированные как для решения конкретных задач из разных предметных областей (даже акустики), так и для организации расчетов на разных вычислительных архитектурах (вплоть до современных облачных сервисов) - в четвертых.

Планируя стратегию развития БОТБ-метода полезно, среди прочего, отталкиваться и от его недостатков с целью их нивелирования. Основным из них до недавнего времени единодушно признавалась высокая вычислительная сложность. Ее преодоление сопровождалось повышением порядков аппроксимации разностных схем [157], наложением подвижных [104] и нерегулярных [138] сеточных областей, конструированием различных декомопозиций [18] - теоретический путь. Или отображением метода на современные процессорные и суперкомпьютерные архитектуры [149] - путь технический.

В последние годы на периферии основного публикационного потока, посвященного развитию БОТБ-метода, появились работы [60,131,132,143], относящиеся к снижению длительности вычислений по нему и связанные со вскрытием и решением другой проблемы - значительных коммуникациях между оперативной памятью ЭВМ и внутрипроцессорной памятью, сопровождающих расчеты на любом процессоре, от простейшего одноядерного центрального до профессионального графического с десятками тысяч ядер.

Решение задач выяснения вклада упомянутых вычислительной сложности и коммуникационных издержек в общую длительность расчетов, синтеза новой модели с учетом результата такого выяснения, численного метода и программных комплексов на его основе, представляются весьма актуальными.

Степень разработанности

Как уже отмечалось, математический аппарат FDTD-метода отличается высокой степенью разработанности. Первая известная дискретизация системы уравнений Максвелла в виде набора сеточных уравнений относится к публикации 1944 г. за авторством G. Cron [99]. Начало методу положила работа Kane Yee 1966 г. [155], в которой предложена разностная схема, носящая теперь имя автора и характеризующаяся вторыми порядками аппроксимации по времени и пространству при том, что каждая конечная разность (по пространству или времени) вычислялась по значениям сеточной функции всего в двух узлах. Удачность предложенного в [155] дифференциального шаблона обусловила полувековую популярность схемы, дошедшей до нашего времени без изменений.

Важной частью FDTD-метода является формализм задания падающей волны. Развиваясь в работах Allen Faflove с 1975 года [140], через интересный прием разделения полей TF/SF (total field/scattered field), предложенный в 1982 году[145], он нашел свое современное выражение в численном (в отличие от аналитического) варианте TF/SF за авторством Prather D.W. и Shi S. в работе 1999 года [134], при котором не характеризуется внесением дополнительной погрешности в результаты расчетов по методу.

На протяжении двадцати лет с разным успехом решалась задача моделирования поглощения покидающего вычислительную область излучения с целью недопущения его переотражения от границ обратно. В ходе первого этапа решения указанной задачи различные авторы (G. Mur 1981 г. [130], R. L. Higdon 1987 г. [115], T.G. Moore 1988 г. [129] и другие) концентрировали усилия на аналитической постановке неотражающих граничных условий. На втором этапе, открытом Jean-Pierre Berenger в 1994 году [96] для решения той же задачи формулировалась методика наложения поглощающих слоев PML (Perfectly Matched Layer) у границ (но не на сами границы) вычислительной области, получившая разнообразные физические интерпретации в ходе своего развития: UPML (Uniaxial PML) - 1997 г. L. He [113], CPML (Convolution PML) - 2000 г. J. Roden и S.Gedeny [137].

Не меньшей степенью разработанности характеризуются также программные реализации FDTD-метода. Например, пакет MEEP [127] совершенствуется на протяжении последнего десятка лет группой исследователей из Массачусетского технологического института под руководством Steven G. Johnson. Его отличительной особенностью является открытость кода и ориентированность как на персональные ЭВМ, так и на кластерные вычислительные системы. Команда из Калифорнийского технологического института разработала программную реализацию FDTD-метода для организации вычислений на графических процессорах -пакет B-CALM [147]. Постоянный соавтор монографий Allen Faflove, Susan C. Hagness из Висконсинского университета сопровождает тексты коллеги своими программными иллюстрациями [141], отличающимися высокой наглядностью кода. Вершиной данной тенденции следует признать монографию Alef Elsherbeni и Veysel Demir [101], целиком посвященную разработке кода для FDTD-метода, в том числе и для организации вычислений на видеокартах.

Не отстают от академического сообщества и коммерческие разработчики: пакет FDTD solvers компании Acceleware предназначен для расчетов по FDTD-методу на графических процессорах, продукт FDTD Solutions компании Lumerical ориентирован на производство облачных вычислений, пакет OptiFDTD фирмы Optiwave специализирован на расчетах оптических систем. Список пакетов и разработчиков можно продолжить ...

Все приведенные программные комплексы решают задачу сокращения длительности расчетов по FDTD-методу за счет его отображения (в смысле Гурия Ивановича Марчука [17]) на архитектуру современных вычислительных систем. Другим, недавно появившимся, путем решения той же задачи является синтез блочных алгоритмов FDTD-метода, с использованием приема удвоения циклических конструкций - "tiling" [151]. Исследования в этом направлении ведутся в университете Киото (Takeshi Minami [143]), Делаварском университете (Daniel Orozco [131]) и Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН (А.В. Перепёлкина и В.Д. Левченко [60]). Переход к блочности позволяет значительно уменьшить коммуникационные издержки при пересылке данных между опера-

тивной памятью ЭВМ и кэш-памятью процессора (или видеопамятью графического процессора) в ходе вычислительного процесса и за счет этого в несколько раз сократить длительность расчетов по БОТО-методу на той же аппаратной базе. Автору настоящей работы представляется перспективным использовать обнаруженный эффект не только для синтеза блочных алгоритмов решения сеточный уравнений, но и при конструировании самой математической модели. Переход на более высокий иерархический уровень математического моделирования в триаде Александра Андреевича Самарского (модель-метод-программа) от метода к модели позволит дополнительно по сравнению с БОТБ-методом ускорить вычисления при исследовании распространения электромагнитного излучения без изменения точности.

Целью работы является создание инструментария для моделирования распространения ТЕ-волны в рамках строгой теории дифракции, отличающегося от метода разностного решения уравнений Максвелла меньшей требовательностью к вычислительным ресурсам, прежде всего меньшей длительностью расчетов при той же точности.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

1. Разработать математическую модель дифракции ТЕ-волны на диэлектрическом объекте, основанную на сочетании уравнений Максвелла и волнового уравнения.

2. Разработать численный метод совместного разностного решения волнового уравнения и системы уравнений Максвелла, характеризующийся по сравнению с БОТБ-методом сокращением объема используемой памяти ЭВМ и длительности вычислений.

3. Синтезировать блочные алгоритмы упомянутого численного метода, отличающиеся от традиционного подхода к решению сеточных уравнений (послойное нахождение значений сеточных функций) переходом к другому порядку вычисле-

ний на пространстве итераций и позволяющие дополнительно снизить их длительность.

4. Создать комплексы программ, реализующие сформулированный метод и его алгоритмы, продемонстрировать ускорение вычислений по сравнению с выбранными программными пакетами FDTD-метода.

Научная новизна работы

1. Произведена оценка вклада коммуникационных издержек на пересылку данных между оперативной памятью и кэш-памятью процессора на общую длительность вычислений при решении явных сеточных уравнений.

2. На основании такой оценки сформулированы критерии сравнения разностных схем и математических моделей, с ними связанных, отличающиеся от оценки по вычислительной сложности лучшим соответствием практике.

3. Разработаны математическая модель и связанный с ней численный метод совместного разностного решения волнового уравнения и системы уравнений Максвелла, характеризующиеся сочетанием достоинств разностного решения волнового уравнения (сокращение длительности вычислений) и FDTD-метода (детально разработанный математический аппарат постановки вычислительных экспериментов в различных областях оптики и радиофизики) при нивелировании их недостатков: бедности математического аппарата в случае решения волнового уравнения при моделировании в оптике или радиофизике и высокой длительности вычислений по FDTD-методу.

4. Применение предложенных блочных алгоритмов совместного разностного решения волнового уравнения и уравнений Максвелла позволяет дополнительно снизить длительность моделирования распространения электромагнитного излучения, что подтверждается сравнениями авторских программных комплексов между собой (не блочный и блочные варианты) и c известными аналогами (пакет MEEP разработки Массачусетского технологического университета и кодов Susan C. Hagness, соавтора основополагающих работ по FDTD-методу).

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическую значимость в области математического моделирования имеют новые критерии сравнения математических моделей и численных методов, основанные на учете особенностей иерархической структуры памяти ЭВМ и позволяющие сформулировать ясные рекомендации, полезные при разработке методов и моделей.

Также теоретической значимостью для разных предметных областей (например, радиофизики и оптики) характеризуется новая математическая модель распространения электромагнитного излучения, основанная на комбинированном использовании ранее известных моделей и авторский численный метод, с такой моделью связанный.

Практическое применение упомянутых модели и численного метода при расчете дифракции TE-волны на диэлектрическом цилиндрическом объекте позволяет значительно сократить длительность вычислений по сравнению с FDTD-методом разностного решения уравнений Максвелла при той же точности. Тем самым расширяется круг двумерных задач радиофизики и оптики, подлежащих решению.

Практической значимостью характеризуются авторские программные комплексы, обеспечивающие ускорение вычислений по сравнению с пакетом MEEP Массачусетского технологического института и программами Susan C. Hagness, прилагающимися к текстам фундаментальных монографий АПеп'а Taflove по FDTD-методу.

Результаты диссертации внедрены в ФГАОУ ВО «Самарский университет» и в ИСОИ РАН - филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН.

Методология и методы исследования

При решении задач диссертации применяются две методики. Первая заключается в комбинировании известных ранее моделей и численных методов, с ними связанных, для построения новой модели и метода. Так, на разных подобластях одной вычислительной области, с согласованием на их стыке, методом конечных

разностей одновременно решаются волновое уравнение и система уравнений Максвелла. Указанное комбинирование обеспечивает лучшие результаты по сравнению с обоими подходами, которые будучи примененными по отдельности характеризовались бы либо большей длительностью вычислений при той же точности (БОТБ-метод), либо отсутствием детально разработанного математического аппарата для широкого круга задач радиофизики и оптики (разностное решение волнового уравнения).

Вторая методика связана с учетом особенностей архитектуры ЭВМ при построении модели, численного метода и программного комплекса. По сути, ее применение лежит в русле задачи Гурия Ивановича Марчука об отображении численных методов на архитектуру вычислительных систем, являясь с одной стороны ее частым случаем для конкретного примера, с другой- обобщением, связанным с переходом от отображения численного метода к отображению математической модели. А именно, упомянутое ранее преимущество совместного разностного решения волнового уравнения и уравнений Максвелла по длительности вычислений в сравнении с БОТБ-методом основано на многократном сокращении коммуникаций между различными областями памяти ЭВМ: оперативной и кэшем процессора.

На защиту выносятся:

1. Критерии сравнения математических моделей и численных методов, связанные с учетом коммуникаций внутри иерархической структуры памяти ЭВМ при оценке длительности вычислений и позволяющие объяснить существенные расхождения в такой длительности при организации расчетов по последовательным алгоритмам, характеризующимся одинаковым количеством арифметических операций.

2. Математическая модель распространения ТЕ-волны, основанная на волновом уравнении, уравнениях Максвелла, их согласовании и отличающаяся от используемых ранее по отдельности обеих перечисленных моделей меньшей длительностью вычислений (по сравнению с БОТО-методом) и большей гибкостью

(по сравнению с разностным решением волнового уравнения) при настройке на конкретные задачи радиофизики и оптики.

3. Численный метод совместного разностного решения волнового уравнения и системы уравнений Максвелла, характеризующийся теми же порядками аппроксимации и критерием устойчивости, что и распространенные для обеих упомянутых моделей разностные схемы, позволяющий при этом значительно сократить длительность расчетов и наследующий гибкий и развитый аппарат FDTD- метода.

4. Блочные алгоритмы совместного разностного решения упомянутых уравнений, отличающиеся от традиционной процедуры послойного вычисления значений сеточных функций локализацией вычислительного процесса в подобластях, пересекающих несколько временных слоев сеточной области, и различной формой таких подобластей (блоков) друг от друга.

5. Программные комплексы, реализующие авторский метод и алгоритмы, характеризующиеся ускорением вычислений по сравнению с пакетом MEEP Масса-чусетского технологического института и программами Susan C. Hagness, прилагающимися к текстам фундаментальных монографий Allen^ Taflove по FDTD-методу.

Степень достоверности и апробация результатов

Комбинированный характер разработанной модели (волновое уравнение, уравнения Максвелла и их согласование) свидетельствует о ее конструктивной связи с базовыми моделями радиофизики и оптики: уравнениями Максвелла и волновым уравнением (выводится из уравнений Максвелла в рассмотренном случае дифракции TE-волны на цилиндрическом диэлектрическом объекте), чью адекватность авторская модель наследует при указанном ограничении на область ее применения.

Аппроксимация и устойчивость предложенного численного метода совместного разностного решения волнового уравнения и уравнений Максвелла следуют из сходимости такого разностного решения к аналитическому в случаях, когда последнее известно. В качестве тестовых примеров в работе рассматриваются

распространение TE-волны в однородной среде и ее дифракция на бесконечном диэлектрическом цилиндре кругового сечения.

Дополнительным свидетельством достоверности авторских модели, метода, алгоритмов и программных комплексов является совпадение результирующих значений сеточных функций, в случаях, имеющих и не имеющих аналитическое решение, с результатами расчетов, полученных с использованием авторитетных программных реализаций FDTD-метода Массачусетским технологическим институтом (пакет MEEP) и Susan C. Hagness (программные приложения к трем переизданиям фундаментальной монографии "Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method").

Результаты, полученные в диссертации, представлялись на VII и IX Всероссийских научных конференциях с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (2010 и 2013, Самара), X и XI Всероссийских молодежных конференциях научных работ по оптике и лазерной физике (2012 и 2013, Самара), II, III и IV Всероссийских конференциях по фотонике и информационной оптике (2013, 2014 и 2015, Москва), International Conference on Lasers, Applications and Technologies Diffractive Optics and Nano-Photonics (2013, Москва), Международных научно-технических конференциях Перспективные информационные технологии (2012, 2013, 2016 и 2018, Самара), IV Международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (2014, Самара), Международных конференциях «Информационные технологии и нанотехнологии» (2015, 2016, 2017 и 2018, Самара), XII Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных проблем» (2017, Пенза), XII Международной научно-технической конференции «Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем» (2018, Пенза), а так же совместных семинарах кафедры «Техническая кибернетика» и ИСОИ РАН.

1 Разностные схемы для уравнений Максвелла и волнового уравнения

Уравнения Максвелла традиционно считаются основной математической моделью оптики [10] и электродинамики [56], являясь фундаментом строгой (математической) теории дифракции. Действительно, математический формализм различных приближений в рамках волнового представления света зачастую основан либо на уравнениях, непосредственно выведенных из системы Максвелла (волнового, Гельмгольца, Фока-Леонтовича, эйконала и переноса), либо на интегральных представлениях, с ней через эти уравнения связанных (интегралы Кирхгофа, Френеля, Фурье) [33]. Аналогичная картина и в электродинамике [56].

Среди обширного корпуса методов решения уравнений Максвелла наибольшей популярностью в настоящее время пользуется FDTD-метод, основанный на разностном представлении этих уравнений. С точки зрения информатики, важным свидетельством тому является скорая адаптация метода для современных вычислительных архитектур. Так, в 2004-ом году появляется первый программный инструмент высокого уровня (язык Brook [97]), позволяющий использовать графический процессор широкому кругу исследователей. Одновременно выходит работа S.E. Krakiwsky [123], посвященная ускорению вычислений по FDTD-методу на таком процессоре. И только через два года в научный оборот вводится термин GPGPU (General-purpose computing for graphics processing units) [144], неразрывный в современной вычислительной практике с организацией вычислений по различным численным методам на видеокартах.

К области применение FDTD-метода относят решение прямых и обратных задач оптики и электродинамики, связанных с волновой природой электромагнитного излучения. Метод позволят учитывать как произвольные характеристики такого излучения (монохроматического или импульсного, форму волнового фронта), так и разнообразные свойства среды (дисперсию, нелинейность, геометрические параметры оптических или электродинамических устройств). Кроме указанного обстоятельства его популярность объясняется кажущейся простотой математического аппарата: в уравнениях Максвелла производные достаточно очевидным образом заменяются конечными разностями. Также с обсуждаемым методом свя-

зывают менее очевидные формализмы задания падающей волны, поглощающих слоев или граничных условий, дисперсии и нелинейности материала и др. [141].

Далее читателю предлагается изложение выбранных примеров FDTD-метода, в ходе которого вскроются как его недостатки, так и возможности для их преодоления. Автор находит полезным сопровождать математический формализм программными иллюстрациями, следуя духу специальности 05.13.18 "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" и манере изложения данного метода в монографиях [141,101].

1.1 Разностные схемы Yee

Обращаясь к обширному массиву литературы по FDTD-методу вдумчивый читатель находит первое упоминание о нем под данным названием в работе A. Taflove 1980-ого года [139]. Межу тем, наибольшее количество ссылок приходится на публикацию Kane Yee 1966-ого года [155]. Указанное несоответствие объясняется ранее отмеченными особенностями структуры метода, имеющей кроме физико-математической еще и историческую дифференциацию. К 1966 году относится основа метода - прием (в англоязычной литературе алгоритм [141]), предложенный Yee для замены производных в уравнениях Максвелла разностными отношениями. Далее, в начале 80-х годов прошлого века появились первые удовлетворительные технологии задания падающей волны [145], постановки не отражающих граничных условий [130] и перехода к частотному представлению результирующих полей вместо временного [145]. Изложение этих частей FDTD-метода в предлагаемом исследовании, очевидно, не характеризуется научной новизной, однако необходимо в силу их будущего непосредственного использования в авторском численном методе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Яблокова, Людмила Вениаминовна, 2018 год

Список литературы

1. Агафонов, А.Н. Дифракционные линзы для мощных пучков терагерцового излучения /А.Н. Агафонов и др. // Известия РАН, Серия физическая. - 2013. - Т. 77, № 9. - C. 1360-1362.

2. Агафонов, А.Н. Кремниевые дифракционные оптические элементы для мощного монохроматического терагерцового излучения / А.Н. Агафонов и др. // Автометрия. - 2013. - Т. 49, № 2. - С. 98-105.

3. Агафонов, А.Н. Управление поперечно-модовым составом терагерцового лазерного излучения с помощью элементов бинарной кремниевой оптики / А.Н. Агафонов и др. // Компьютерная оптика. -2014. - Т. 38, № 4. - С. 763-769.

4. Артёмов, И.Л. Fortran: основы программирования [Текст] / И.Л. Артёмов. - М.: Диалог-МИФИ, 2010. - 304 с.

5. Астраханцева, М.А. Методика формирования падающей волны при разностном решении двумерного волнового уравнения / М.А. Астраханцева, Д.Л. Головаш-кин, Л.В. Яблокова // Математическое моделирование и краевые задачи: труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием, часть 2. - Самара, 2010. - С. 298-301.

6. Бартеньев, О.В. Современный Фортран [Текст] / О.В. Бартеньев. - 3-е изд., доп. и перераб. - М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2000. - 449 с.

7. Бархатов, В.А. Решение динамических задач акустики методом конечных разностей во временной области. Основные соотношения. Анализ погрешностей / В.А. Бархатов // Дефектоскопия. - 2005. - №3. - С. 12-26.

8. Бахвалов, Н.С. Численные методы: анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения [Текст] / Н.С. Бахвалов. - М.: Наука, 1973. - 632 с.

9. Боресков, А. В. Основы работы с технологией CUDA [Текст] / А. В. Боресков, А. А. Харламов. - М.: ДМК Пресс, 2010. - 232 с.

10.Борн, М. Основы оптики [Текст]: пер. с англ. / М. Борн, Э. Вольф. - М.: Наука, 1973. - 720 с.

11.Булдыгин, Е.Ю. Совместное разностное решение уравнений Даламбера и Максвелла. Двумерный случай / Е.Ю. Булдыгин, Д.Л. Головашкин, Л.В. Яблокова // Компьютерная оптика. - 2014. - Т. 38, № 1. - С. 20-27.

12.Бутиков, Е.И. Оптика [Текст]: учеб. пособие для студентов физических специальностей вузов / Е.И. Бутиков. -2-е изд., перераб. и доп. - СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2003. - 480 с.

13.Ваганов, Р.Б. Основы теории дифракции [Текст] / Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З. - М.: Наука, 1982. - 272 с.

14.Вазов, В. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных [Текст] / В.Вазов, Дж. Форсайт; пер. с англ. Б.М. Будака, Н.П. Жидкова. - М.: Издательство иностранной литературы, 1963. - 488 с.

15.Вальковский, В.А. Элементы параллельного программирования [Текст] / В.А. Вальковский, В.Е. Котов, А.Г. Марчук, Н.Н. Миренков. - под ред. В. Е. Котова. -М: Радио и связь, 1983. - 240 с.

16.Вержбицкий, В.М. Основы численных методов [Текст]: учеб. для вузов / В.М. Вержбицкий. - М.: Выш. шк., 2002. - 840 с.

17.Воеводин, В.В. Математические модели и методы в параллельных процессах [Текст] / В.В. Воеводин. - М.: Наука, 1986. - 296 с.

18.Головашкин, Д.Л. Декомпозиция сеточной области при разностном решении уравнений Максвелла / Д.Л. Головашкин, Н.Л. Казанский // Математическое моделирование. - 2007. - Т. 19, №2. - С. 48-58.

19. Головашкин, Д.Л. Дифракция Н-волны на двумерной диэлектрической решетке методом разностного решения уравнений Максвелла / Д.Л. Головашкин // Математическое моделирование. - 2004. - Т. 16, № 9. - С. 83-91.

20. Головашкин, Д.Л. Дифракция Н-волны на двумерной идеально проводящей решетке методом разностного решения уравнений Максвелла / Д.Л. Головашкин // Математическое моделирование. - 2005. - Т. 17, № 4. - С. 53-61.

21. Головашкин, Д.Л. Методика формирования падающей волны при разностном решении уравнений Максвелла (двумерный случай) / Д.Л. Головашкин, Н.Л. Казанский // Автометрия. - 2007. - Т. 43, № 6. - С. 78-88.

22.Головашкин, Д.Л. Постановка излучающего условия при моделировании работы цилиндрических дифракционных оптических элементов методом разностного решения уравнений Максвелла / Д.Л. Головашкин // Математическое моделирование. - 2007. - Т. 19, № 3. - С. 3-14.

23.Головашкин, Д.Л. Разностный метод решения уравнений Максвелла [Текст]: учеб. пособие / Д.Л. Головашкин, Н.Л. Казанский. - Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2007. - 160 с.: 65 ил.

24.Головашкин, Д.Л. Реализация совместного разностного решения уравнений Даламбера и Максвелла с учетом частотной дисперсии на GPU / Д.Л. Головашкин, Л.В. Яблокова // Фотоника и информационная оптика: сборник научных трудов IV всероссийской конференции. - М.: НИЯУ МИФИ, 2015. - C. 348-349.

25.Головашкин, Д.Л. Совместное разностное решение уравнений Даламбера и Максвелла. Одномерный случай / Д.Л. Головашкин, Л.В. Яблокова // Компьютерная оптика. - 2012. - Т. 36, № 4. - C. 527-533.

26.Головашкин, Д.Л. Совместное разностное решение уравнений Даламбера и Максвелла с учетом частотной дисперсии / Д.Л. Головашкин, Л.В. Яблокова // Математическая физика и ее приложения: материалы IV международной конференции. - Самара: СамГТУ, 2014. - С.124-125.

27.Головашкин, Д.Л., Казанский Н.Л. Методика формирования падающей волны при разностном решении уравнений Максвелла (одномерный случай) / Д.Л. Головашкин, Н.Л. Казанский // Автометрия. - 2006. - Т. 42, № 6. - С. 78-85.

28.Головашкин, Д.Л. Реализация совместного разностного решения уравнений Даламбера и Максвелла с учетом частотной дисперсии на GPU / Д.Л. Головаш-кин, Л.В. Яблокова // Сборник трудов IV Всероссийской конференции по фотонике и информационной оптике. - 2015. - С. 348-349.

29.Головашкин, Д.Л. Наложение поглощающего слоя при согласованном разностном решении уравнений Даламбера и Максвелла / Л.В. Яблокова, Д.Л. Головаш-кин // Труды научно-технической конференции с международным участием и элементами научной школы для молодежи Перспективные информационные тех-

нологии в научных исследованиях, проектировании и обучении. - 2012. - С. 100104.

30.Голуб, Дж. Матричные вычисления [Текст]: пер. с англ. / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. - М.: Мир, 1999. - 548 с.

31.Дейкстра, Э. Дисциплина программирования [Текст] / Э. Дейкстра. - 1-е изд. -М.: Мир, 1978. - 275 с.

32.Деммель, Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения [Текст]: пер. с англ. / Дж. Деммель. - М.:Мир, 2001. - 430 с.

33. Дифракционная компьютерная оптика [Текст] / под редакцией В.А. Сойфера. -М.: Физматлит, 2007. - 736 с.

34. Дифракционная нанофотоника [Текст] / под ред. В.А. Сойфера. - М.: Физматлит, 2011. - 680 с.

35.Зализняк, В.Е. Численные методы. Основы научных вычислений [Текст]: учеб. пособие для бакалавров / В.Е. Зализняк. - 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Юрайт, 2012. -356 с.

36.Икрамов, Ч.Д. Численное решение матричных уравнений [Текст] / под ред. Д.К. Фаддеева. - М.:Наука, 1984. -192 с.

37.Калитеевский, М.А. Программа для расчета распространения света в слоистых средах / М.А. Калитеевский. - Электрон. дан. - Режим доступа: http://www.edu.ioffe.ru/wmw/n4/layer.zip. - Загл. с экрана.

38.Калиткин, Н.Н. Численные методы [Текст] / Н.Н. Калиткин. - М.: Наука, 1987. - 512 с.

39.Каханер, Д. Численные методы и программное обеспечение [Текст]: пер. с англ. / Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш. - 2-е изд. - М.: Мир, 2001. - 575 с.

40.Кловский, Д.Д. Обработка пространственно-временных сигналов [Текст] / Д.Д. Кловский, В.А. Сойфер. - М.: Связь, 1976. - 207 с.

41.Кнут, Д. Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы [Текст] / Д. Кнут. - 3-е изд. - М.: Вильямс, 2006. - С. 720.

42.Козлов, Д.А. Резонансная острая фокусировка света диэлектрическим цилиндром с квадратным сечением и кубом / Д.А. Козлов, Е.С. Козлова, В.В. Котляр // Компьютерная оптика. - 2016. - Т. 40, № 4. - С. 431-438.

43.Козлова, Е.С. Моделирование предвестников Зоммер-фельда и Бриллюэна в среде с частотной дисперсией на основе разностного решения волнового уравнения / Е.С. Козлова, В.В. Котляр // Компьютерная оптика. - 2013. - Т. 37, № 2. - С. 146-154.

44.Котляр, В.В. Быстрый метод расчета дифракции электромагнитной волны на цилиндрических диэлектрических объектах / В.В. Котляр, А.Г. Налимов, Р.В. Скиданов // Компьютерная оптика. - 2003. - №25. - С. 24-28.

45.Крамер, Г. Математические методы статистики [Текст]: пер. с англ. / Г. Крамер. - М.: Мир, 1975. - 648 с.

46.Курант, Р. Уравнения с частными производными [Текст] / Р. Курант; пер. с англ. Т.Д. Вентцель / под ред. О.А. Олейник. - М.: Мир, 1964. - 830 с.

47.Ландсберг, Г.С. Оптика [Текст] / Ландсберг Г.С. -М.: Наука, 1976. - 926 с.

48.Ленин, В.И. Философские тетради Конспект книги Гегеля «Наука логики» [Текст] / В.И. Ленин. - М.: 1969. - 185 с.

49.Магда, Ю.С. Аппаратное обеспечение и эффективное программирование [Текст] / Ю.С. Магда. - СПб.: Питер, 2007. - 352 с.

50.Мао, Ц. Маленькая красная книжица / Цзэдун Мао. - М.: Алгоритм, 2007. - 448 с.

51.Марков, А.А. Теория алгорифмов / А.А. Марков // Тр. МИАН СССР. - 1954. -Т. 42 - С. 3-375.

52.Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики [Текст] / Г.И. Марчук. - М.: Наука, 1977. - 456 с.

53.Методы компьютерной оптики [Текст]: учеб. для вузов / под ред. В.А. Сойфе-ра. - 2-е изд., исп. - М.: Физматлит, 2003. - 688 с.

54.Митра, Р. Вычислительные методы в электродинамике [Текст] / Р. Митра; пер. с англ. Э.Л. Бурштейн. - М.: Мир, 1977. - 485 с.

55.Мэтьюз, Д.Г. Численные методы. Использование MATLAB [Текст]: пер. с англ. / Д.Г. Мэтьюз, К.Д. Финк. - 3-е изд. - М.: Вильямс, 2001. - 720 с.

56.Неганов, В.А. Линейная макроскопическая электродинамика. Т. 1 [Текст] /

В.А. Неганов, С.Б. Раевский, Г.П. Яровой. - М: Радио и Связь, 2000. - 509 с.

57.Никольский, В.В. Электродинамика и распространение радиоволн [Текст] / В.В. Никольский, Т.И. Никольская. - М.: Наука, 1999. - 544 с.

58.Ортега, Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем [Текст] / Дж. Ортега. - пер. с англ. - М.: Мир, 1991. - 368 с.

59.Панасюк, В.В. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции [Текст] / В.В. Панасюк, М.П. Саврук, З.Т. Назарчук. - Киев: Наук. Думка, 1984. - 344 с.

60.Перепелкина, А.Ю. Алгоритм DiamondTorre и высокопроизводительная реализация FDTD метода для суперкомпьютеров с графическими ускорителями / А.Ю. Перепелкина, А.В. Закиров, В.Д. Левченко. - М.: Ин-т прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 2015. - 22 с.

61.Плохотников, К.Э. Вычислительные методы. Теория и практика в среде MATLAB Курс лекций [Текст] / К.Э. Плохотников. - М.: МГУ, 2007. - 425 с.

62.Самарский, А.А. Вычислительная теплопередача [Текст] / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. - М.: Едиториал УРСС, 2003. -784 с.

63.Самарский, А.А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. [Текст] / А.А. Самарский, А.П. Михайлов. -2-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. -320 с.

64. Самарский, А.А. Методы решения сеточных уравнений [Текст] / А.А. Самарский, Е.С. Николаев. - М.: Наука, 1978. - 592 с.

65.Самарский, А.А. Теория разностных схем [Текст] / А.А. Самарский. - М.: Наука, 1977. - 656 с.

66.Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2017613903 «Совместное разностное решение уравнений Даламбера и Максвелла».

67.Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2018617863 «Блочная реализация совместного разностного решения уравнений Даламбера и Максвелла».

68. Соловьёв, И.А. Вычислительная математика на смартфонах, коммуникаторах и ноутбуках с использованием программных сред Pyton [Текст] / И.А. Соловьёв, А.В. Червяков, А.Ю. Репин. - СПб.: Лань, 2011. - 272 с.

69.Тамм, И.Е. Основы теории электричества [Текст] / И.Е. Тамм. - 5-е изд. - М.: Гос. Из. Технико-теоретической лит., 1954. - 620 с.

70.Терлецкий, Я.П. Электродинамика [Текст]: учеб. пособие для студ. физ. спец. университетов / Я.П. Терлецкий, Ю.П. Рыбаков. - 2-е изд., перераб. - М.: Выш. шк., 1990. - 352 с.

71.Тихонов, А.Н. К теории возбуждения радиоволноводов / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский // Вестник МГУ. - 1948. - №7. - С. 39-50.

72.Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики [Текст] / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Наука, 1966. - 724 с.

73.Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления [Текст]: в 3т. Т.Ш / Г.М. Фихтенгольц; пред. и прим. А.А. Флоринского. - 8-е изд. - М.:Физматлит, 2002. - 728 с.

74.Харкевич, А.А. Спектры и анализ / А.А. Харкевич. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. - 192 с.

75.Хоар, Ч. Взаимодействующие последовательные процессы [Текст]: пер. с англ. / Ч. Хоар. - М.: Мир, 1989. - 264 с.

76.Хонина, С.Н. Использование параллельных вычислений для решения задач нанофотоники [Текст]: уч.-мет. пос. / С.Н. Хонина, П.Г.Серафимович. - Самара: изд. СГАУ, 2010. - 42 с.

77.Эхтер, Ш. Многоядерное программирование [Текст] / Ш. Эхтер, Дж. Робертс. -СПб.: Питер, 2010. - 316 с.

78.Яблокова, Л.В. Задание падающей волны по технологии TF/SF при согласованном разностном решении уравнений Даламбера и Максвелла / Л.В. Яблокова, Д.Л. Головашкин // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. - 2014. - Т.16, No4(2). - С. 441-446.

79.Яблокова, Л.В. Исследование возможности применения нескольких парадигм программирования в научно-исследовательской работе / Л.В. Яблокова // Известия Самарского научного центра РАН. - 2016. - Т. 18. No 4(4). - С. 864-869.

80.Яблокова, Л.В. Согласованное разностное решение уравнений нанофотоники. Одномерный случай / Л.В. Яблокова // Сборник конкурсных докладов X Всероссийского молодежного самарского конкурса-конференции научных работ по оптике и лазерной физике. - 2012. - С. 226-234.

81.Яблокова, Л.В. Совмещение подходов Мура и Беренже при реализации FDTD-метода / Л.В. Яблокова, Д.Л. Головашкин // Труды девятой Всероссийской научной конференции с международным участием Математическое моделирование и краевые задачи ч.2. - 2013. - С. 149-152.

82.Яблокова, Л.В. Согласованное разностное решение уравнений нанофотоники. Двумерный случай / Л.В. Яблокова, Е.Ю. Булдыгин // Сборник конкурсных докладов XI Всероссийского молодежного самарского конкурса-конференции научных работ по оптике и лазерной физике. - 2013. - С. 37-44.

83.Яблокова, Л.В. Задание падающей волны по технологии TF/SF при согласованном разностном решении уравнений Даламбера и Максвелла / Д.Л. Головашкин, Л.В. Яблокова, Е.Ю. Булдыгин // Труды Международной научно-технической конференции Перспективные информационные технологии. - 2013.-С. 383-387.

84.Яблокова, Л.В. Совместное разностное решение уравнений Даламбера и Максвелла. Одномерный случай / Л.В. Яблокова, Д.Л. Головашкин // Сборник трудов второй Всероссийской конференции по фотонике и информационной оптике. -2013. С. 258-259.

85.Яблокова, Л.В. Согласованное разностное решение уравнений Даламбера и Максвелла. Двумерный случай / Д.Л. Головашкин, Л.В. Яблокова // Сборник трудов третьей Всероссийской конференции по фотонике и информационной оптике. - 2014. - С. 63-64.

86.Яблокова, Л.В. Использование понятия «диапазон» при работе с большими наборами данных в экспериментальных расчетах / Л.В. Яблокова // Материалы

Международной конференции и молодежной школы Информационные технологии и нанотехнологии. - 2015. - С. 487-488.

87.Яблокова, Л.В. Использование объектно-ориентированной парадигмы при математических расчетах в среде MATLAB / Л.В. Яблокова // Труды Международной научно-технической конференции Перспективные информационные технологии. - 2016. - С.182-187.

88.Яблокова, Л.В. Выбор инструмента кодирования при решении задач математического моделирования / Л.В. Яблокова // Материалы II Международной конференции и молодежной школы Информационные технологии и нанотехнологии. -2016. - С. 898-904.

89.Яблокова, Л.В. Блочный алгоритм FDTD-метода / Л.В. Яблокова, Д.Л. Головашкин // Материалы XII Международной научно-технической конференции Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем. - 2017. - С. 81-86.

90.Яблокова, Л.В. Моделирование влияния технологических погрешностей изготовления на работу цилиндрической галогенидной линзы Френеля с высокой числовой апертурой / Л.В. Яблокова, Д.Л. Головашкин // Труды Международной научно-технической конференции Перспективные информационные технологии. - 2018. - С. 1163-1167.

91.Яблокова, Л.В. Блочный алгоритм совместного разностного решения уравнений Даламбера и Максвелла / Л.В. Яблокова, Д.Л. Головашкин // Материалы IV Международной конференции и молодежной школы Информационные технологии и нанотехнологии. - 2018. - С. 2192-2193.

92.Яблокова, Л.В. Моделирование влияния технологических погрешностей изготовления на работу цилиндрической кремниевой линзы Френеля с высокой числовой апертурой в терагерцовом диапазоне / Л.В. Яблокова // Материалы XII Международной научно-технической конференции Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем. - 2018. - С. 278-283

93.Яблокова, Л.В. Блочные алгоритмы совместного разностного решения уравнений Даламбера и Максвелла / Л.В. Яблокова, Д.Л. Головашкин // Компьютерная оптика. - 2018. - Т. 42, № 2. - С. 320-327.

94.Alford, R.M. Accuracy of finite-difference modeling of the acoustic wave equation / R.M. Alford, K.R. Kelly, D.M. Boore // Geophysics. - 1974. Vol. 39, Issue 6. - P. 834842.

95.Bayliss, A. Radiation boundary condition for wave-like equations / A. Bayliss, E. Turker // Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1980. - Vol. 33. - P. 707-725.

96.Berenger, Jean-Pierre A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves / Jean-Pierre Berenger // Journal of computational physics. - 1994. - Vol. 114, № 2. - P.185-200.

97.Buck, I. Brook for GPUs: stream computing on graphics hardware / I. Buck, T. Foley, D. Horn at al. // ACM Transactions on Graphics (TOG). - 2004. - Vol. 23, Issue 3. - P. 777-786.

98.Courant, R. Lewy on the partial difference equations on mathematical physics / R. Courant, K. Friedrichs, Н. Lewy // IBM Research and Development. - 1967. - Vol. 11, Issue 2. - P. 215-234.

99.Cron, G. Equivalent circuit of the field equations of Maxwell - I /G. Cron // Proc. IRE. - 1944. - Vol. 32, Issue 5. - P. 289-299.

100. Electromagnetic Theory on Gratings / ed. by R. Petit. - Berlin; Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1980. - 284p.

101. Elsherbeni, Atef Z. The finite-difference time-domain method for electromagnetics with MATLAB simulations / Atef Z. Elsherbeni and Veysel Demir. - SciTech Publishing, Inc., 2009. - 426 p.

102. Engquist, B. Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves / B. Engquist, A. Majda // Mathematics of Computation. - 1977. - Vol. 31, № 139. - P. 629-651.

103. Feynmam, R.P. Feynman lectures on computation / R.P. Feynmam, A. Hey. -California: Westview Press, 2000. - 320 p.

104. Fidel, B. Hybrid ray-FDTD moving window approach to pulse propagation / B. Fidel, E. Heyman, R. Kastner, R.W. Zioklowski // Computational Physics, 1997. - Vol. 138, Issue 2. - P. 480-500.

105. Gallivan, K. Impact of Hierarchical Memory Systems on Linear Algebra Algorithm Design / K. Gallivan, W. Jalby, U. Meier, A.H. Sameh // International Journal of High Performance Computing Applications. - 1988. - Vol. 2, Issue 1. - P. 12-48.

106. GCC, the GNU Compiler Collection https://gcc.gnu.org/

107. Golovashkikn, D.L. Studying fabrication errors or the diffraction grating on the end face of a silver-halide fiber / D.L. Golovashkikn et al. // Optical Memory and Neural Networks (Information Optics). - 2007. - Vol. 16, № 4. - P. 263-268.

108. Golovashkin, D.L. Solving finite-difference equations for diffractive optics problems using graphics processing units / D.L. Golovashkin, D.G. Vorotnikova, A.V. Ko-churov, S.A. Malysheva // Optical Engineering. - 2013. - Vol. 52, №9. - P. 091719-1 -091719-5.

109. Golovashkin, D.L. Combination of approaches of Mur and Berenger realization FDTD method / D.L. Golovashkin, L.V. Yablokova // Proceedings of the International Conference on Lasers, Applications and Technologies, Diffractive Optics and Nanopho-tonics. - 2013. - P. 57-58.

110. Golovashkin, D.L. Use of the finite-difference method for solving the problem of H-wave diffraction by two-dimensional dielectric gratings / D.L. Golovashkin, N.L. Kazansky, V.N. Safina // Optical memory and neural networks. - 2004. - V.13, №1. -P. 55-62.

111. Golub, G.H. Matrix Computations / G.H. Golub, Ch.F. Van Loan. - Baltimore: Johns Hopkins University Press, 1989. - 747 p.

112. He, B. Parallel Numerical Simulations of Three-Dimensional Electromagnetic Radiation with MPI-CUDA Paradigms / B. He, L. Tang, J. Xie, X. Wang, and AnP. Song. // Mathematical Problems in Engineering. - 2015. - Vol. 2015. - P. 1-9.

113. He, L. FDTD-Advances in sub-sampling methods, UPML, and higher-order boundary conditions// M.S. thesis, University of Kentucky, Lexington, KY, 1997.

114. Higdon, R.L. Absorbing boundary conditions for acoustic and elastic waves in stratified media / R. L. Higdon // Computational Physics. 1992. - Vol. 101. - P.386-418.

115. Higdon, R.L. Numerical absorbing boundary conditions for the wave equation / R. L. Higdon // Mathematics and Computation. - 1987. - Vol. 49. - P. 65-90.

116. Holland, R. Implicit three-dimensional finite differencing of Maxwell's equations / R. Holland // IEEE Transactions on Nuclear Science. - 1984. - Vol. 31, № 6. -P.1322-1326.

117. Ichikawa, H. Electromagnetic analysis of diffraction gratings by the finite-difference time-domain method / Hiroyuki Ichikawa // Optical Society of America A. -1998. - Vol. 15, № 1. - P. 152-157.

118. Intel® Fortran Compiler https://software.intel.com/en-us/fortran-compilers

119. Jamesina, J. Simpson 3-D FDTD code with CPML absorbing boundary conditions / J. Jamesina. - Электрон. дан. - Режим доступа: https://github.com/cvarin/FDTD/blob/master/Taflove/fdtd3D_CPML.f90. - Загл. с экрана.

120. Jordan, H.F. Experience with FDTD techniques on the Cray MTA supercomputer / H.F. Jordan, S. Bokhari, S. Staker, J.R. Sauer, M.A. ElHelbawy, M.J. Piket-May // Proceedings of the SPIE. - 2001. - Vol. 4528. - P. 68-76.

121. Karlsson, M. Diamond micro-optics: microlenses and antireflection structured surfaces for the infrared spectral region / M. Karlsson, F. Nikolajeff // Optics Express. -2003. - Vol. 11, № 5. - P. 502-507.

122. Knyazev, B.A. Novosibirsk terahertz free electron laser: instrumentation development and experimental achievements / B.A. Knyazev, G.N. Kulipanov, N.A. Vinoku-rov // Measurement Science and Technology. - 2010. - Vol. 21. - P. 13.

123. Krakiwsky, S.E. Graphics Processor Unit (GPU) Acceleration of Finite-Difference Time-Domain (FDTD) Algorithm / S.E. Krakiwsky, L.E. Turner and M.M. Okoniewski // Microwave Symposium Digest, June. - 2004. - P. 1033-1036.

124. Maloney, J.G. Adaptation of FDTD techniques to acoustic modeling / J.G. Malo-ney, K.E. Cummings // 11th Annual Review of Progress in Applied Computational Electromagnetics. - 1995. - Vol. 2. - P. 724-731.

125. McCracken, D.D. Numerical methods and Fortran programming / D.D. McCracken, W.S. Dorn. - Wiley International Edition, 1965. - 584 p.

126. MEEP, Scheme Tutorial - Электрон. дан. - Режим доступа: meep.readthedocs.io/en/latest/Scheme_Tutoriaks/Basics. - Загл. с экрана.

127. Meep: A flexible free-software package for electromagnetic simulations by the FDTD method / A. F. Oskooi, D. Roundyb, M. Ibanescua et al. // Computer Physics Communications. - 2010. - V. 181. P. 687-702.

128. Mirotznik, M. A hybrid finite element-boundary element method for the analysis of diffractive elements / M. Mirotznik, D. Prather, J. Mait // Modern Optics, 1996. -Vol. 43, № 7. - P. 1309-1321.

129. Moore, T.G. Theory and application of radiation boundary operators / T.G. Moore, J.G. Blaschak, A. Taflove, G.A. Kriegsmann // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1988. - Vol. 36, № 12. -P. 1797-1812.

130. Mur, G. Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain electromagnetic field equations / G. Mur // IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility. - 1981. - Vol.23, Issue 4. - P. 377-382.

131. Orozco, D.A. Mapping the FDTD Application to Many-Core Chip Architectures / D.A. Orozco, G.R. Gao // Parallel Processing. - 2009. - P. 309-316.

132. Perepelkina, A.Yu Diamond Torre Algorithm for High-Performance Wave Modeling/ A.Yu Perepelkina, V.D.Levchenko // Keldysh Institute Preprints. 2015. - Vol. 18. - P. 20.

133. PGI Visual Fortran https://www.pgroup.com/products/pvf.htm

134. Prather, D.W. Formulation and application of the finite-difference time-domain method for the analysis of axially symmetric diffractive optical elements / D.W. Prather, S. Shi // Optical Society of America A. - 1999. - Vol. 16, № 5. - P. 1131-1142.

135. Ramahi, O.M. The complementary operators method in FDTD simulations / O.M. Ramahi // IEEE Antennas and Propagation Magazine. -1997. -Vol. 39, Issue 6. - P. 3345.

136. Reuter, C.E. Ultrawideband absorbing boundary condition for termination of waveguiding structures in FDTD simulations / C.E. Reuter, R.M. Joseph, E.T. Thiele, D.S. Katz, A. Taflove // IEEE Microwave and Guided Wave Letters. - 1994. - Vol. 4, Issue 10. - P. 344-345.

137. Roden, J. Convolution PML (CPML): an efficient FDTD implementation of the CFS-PML for arbitrary media / J. Roden and S.Gedeny // Microwave and Optical Technology Letters. - 2000. - Vol. 27, № 5. - P. 334-339.

138. Shi, S. Analysis of diffractive optical elements using a nonuniform finite-difference time-domain method / S. Shi, X. Tao, L. Yang, D.W. Prather // Optical Engineering. - 2001. -Vol. 40, № 4. - P.503-510.

139. Taflove, A. Application of the finite-difference time-domain method to sinusoidal steady state electromagnetic penetration problems / A. Taflove // IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility. - 1980. - Vol. 22, Issue 3. - P. 191-202.

140. Taflove, A. Computation of the electromagnetic fields and induced temperatures with a model of the microwave irradiated human eye / A. Taflove, M. Brodwin // IEEE Transactions of microwave theory and techniques. - 1975. - Vol.23, Issue 11. - P. 888896.

141. Taflove, A. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference TimeDomain Method / A. Taflove, S. Hagness. - ed. 3-d. - Boston: Arthech House Publishers, 2005. - 852 p.

142. Taflove, A. Numerical solution of steady-state electromagnetic scattering problems using the time-dependent Maxwell's equations / A. Taflove, M. Brodwin // IEEE Transactions of microwave theory and techniques. - 1975. - Vol. 23, Issue 8. - P. 623630.

143. Takeshi, M. Automatic Parameter Tuning of Three-Dimensional Tiled FDTD Kernel / M. Takeshi et al. // High Performance Computing for Computational Science -VECPAR 2014. - Vol. 8969. - P. 284-297.

144. Tarditi, D. Accelerator: using data parallelism to program GPUs for generalpurpose uses / D. Tarditi, S. Puri, J. Oglesby // ACM SIGARCH Computer Architecture News. - 2006. - Vol. 34, Issue 5. - P. 325-335.

145. Umashankar, K. A novel method to analyze electromagnetic scattering of complex objects / K. Umashankar, A. Taflove // IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility. - 1982. - Vol.24, Issue 4. - P. 397-405.

146. Virieux, J. SH-wave propagation in heterogeneous media: Velocity-stress difference method / J. Virieux // Geophysics. 1984. - Vol.49, № 11. - P.1933-1942.

147. Wahl, P. B-CALM: An open-source GPU-based 3D-FDTD with multi-pole dispersion for plasmonics / P. Wahl, D.-S. LyGagnon, Ch. Debaes, D.A.B. Miller, H. Thienpont // Optical and Quantum Electronics. - 2012. - Vol. 44. - P. 285-290.

148. Welcome to the home of GNU Fortran http://gcc.gnu.org/fortran/

149. Wenhua, Yu. Parallel Finite-Difference Time-Domain Method / Yu Wenhua, Mittra Raj, Su Tao, Liu Yongjun, Yang Xiaoling. - Boston: Artech house, 2006. - 272 p.

150. Wolfe, M. Loops skewing: The wave front method revisited / M. Wolfe. // International Journal of Parallel Programming. - 1986. - Vol. 15, № 4. - P. 279-293.

151. Wolfe, M. More Iteration Space Tiling / M. Wolfe // IEEE Conference on Supercomputing. - 1989. - P. 655-664.

152. Wu, Z. High-performance PML algorithms / Z. Wu, J. Fang // IEEE Microwave and Guided Wave Letters. - 1996. - Vol. 6. - P. 335-337.

153. Yablokova, L.V. Implementation of difference solutions of Maxwell's equations on the GPU by method of pyramid / L.V. Yablokova, D.L. Golovashkin // CEUR Workshop Proceedings. - 2016. - Vol. 1638. - P. 469-476.

154. Yablokova, L.V. Application of the pyramid method in difference solution d'Alembert equations on graphic processor with the use of Matlab / L.V. Yablokova, D.L. Golovashkin // CEUR Workshop Proceedings. - 2017. - Vol. 1902. - P. 68-70.

155. Yee, K Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media / Kane S. Yee // IEEE Transactions Antennas and Propagation. - 1966. - Vol.14, Issue 3. - P. 302-307.

156. Yuan, X. Simulation of acoustic wave propagation in dispersive media with relaxation losses by using FDTD method with PML absorbing boundary conditions / X. Yuan et al. // IEEE Transactions on Ultrasonics Ferroelectrics and Frequency Control. -1999. - Vol. 46, № 1. - P.14-23

157. Zygiridis, T. Development of Higher Order FDTD Schemes With Controllable Dispersion Error / T. Zygiridis, T. Tsiboukis// IEEE on Antennas and Propagation. -2005. - Vol.53, № 9. - P. 2952-2960.