Численное решение задач волноводного распространения поляризованного света в интегрально-оптическом волноводе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Диваков, Дмитрий Валентинович

• Диваков, Дмитрий Валентинович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Диваков, Дмитрий Валентинович

Уравнения Максвелла...................................................................................17

Уравнение Гельмгольца...............................................................................22

1.2.Регулярные диэлектрические волноводы.................................................25

Планарный закрытый волновод...................................................................26

Планарный открытый волновод..................................................................28

Решение задачи на собственные значения.................................................33

Непрерывный спектр оператора второго порядка на оси.........................36

Сдвиги Гуса-Хенхена....................................................................................42

1.3.Нерегулярные диэлектрические волноводы............................................44

Задача дифракции в нерегулярных диэлектрических закрытых волноводах.....................................................................................................44

Задача дифракции в нерегулярных диэлектрических открытых волноводах.....................................................................................................59

Глава 2. Постановка задачи дифракции для интегрально-оптических волноводов в рамках модели объемлющего закрытого волновода.................68

2.1.Описание приближенной математической модели.................................71

Границы применимости модели..................................................................74

О выборе граничных условий на ящике.....................................................75

2.2. Дифракция на неоднородности в форме линзы на волноводном слое . 76

Постановка задачи для ТЕ-моды.................................................................77

Алгоритм численного решения задачи для ТЕ-моды................................80

2.3. Дифракция на неоднородности в форме линзы внутри волноводного слоя.....................................................................................................................82

Постановка задачи для ТЕ-моды.................................................................82

Алгоритм численного решения задачи для ТЕ-моды................................ 83

2.4. Дифракция на плавном волноводном переходе......................................84

Постановка задачи для ТЕ-моды.................................................................84

2

Алгоритм численного решения задачи для TE-моды................................86

Глава 3. Численный эксперимент........................................................................88

3.1.Алгоритм численного решения задачи на собственные значения и собственные функции регулярного волновода..............................................88

3.2.Численное решение задачи на собственные значения и собственные функции регулярного волновода.....................................................................89

З.З.Численное решение третьей краевой задачи............................................96

Алгоритм матричной прогонки...................................................................96

Решение системы с блочно-трехдиагональной матрицей........................97

3.4.Численное решение задачи дифракции на неоднородности в форме линзы на волноводном слое.............................................................................98

3.5.Численное решение задачи дифракции на неоднородности в форме линзы внутри волноводного слоя..................................................................102

3.6.Численное решение задачи дифракции на плавном волноводном переходе...........................................................................................................106

3.7.Оценки погрешностей...............................................................................108

3.8. Дифракция на линзе.................................................................................114

Вычисление локализованных собственных функций.............................114

Волноводная линза......................................................................................117

Заключение..........................................................................................................123

Литература...........................................................................................................125

Общая характеристика работы

В диссертации предложен и численно реализован подход к исследованию математических моделей, описывающих волноводное распространение поляризованного света в интегрально-оптических волноводах. В настоящее время имеется корректная математическая модель закрытого волновода, адекватно описывающая распространение и дифракцию на неоднородностях волн. Характерное отличие открытых волноводов от хорошо изученных закрытых состоит в том, что соответствующая спектральная задача на сечении содержит непрерывный спектр, который необходимо тем или иным способом учитывать как при постановке парциальных условий излучения, так и при ее дискретизации. Одна из возможностей такой дискретизации, указанная А.Г. Свешниковым, положена в основу модели интегрально-оптических волноводов, используемой в диссертации. Оптический волновод помещается в объемлющий его закрытый волновод («ящик», волновод и идеально-проводящими стенками). Это позволяет сформулировать корректную задачу, описывающую эволюцию волноводных мод волновода как в полной электромагнитной постановке, так и в скалярном приближении, и использовать для ее обсчета методы, разработанные для анализа закрытых волноводов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное решение задач волноводного распространения поляризованного света в интегрально-оптическом волноводе»

Актуальность темы

Развитие векторной трехмерной (3D) теории волноводного распространения света в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе является одной из актуальных задач современной интегральной оптики и волноводной оптоэлектроники. Использование 2D-теории приближенно справедливо только для слабо направляющих структур и не подходит для описания волноводов, у которых сильно варьируется диэлектрическая проницаемость. В разнообразных устройствах сопряжения, связывающих различные элементы единой оптической интегральной схемы ключевую роль играет согласование частот и синхронизация фаз электромагнитного поля в сопрягаемых элементах. Эффективность сопряжения существенно зависит от согласования между полями падающей волны и волноводной моды. Следовательно, чем точнее известен вид согласуемых полей, тем успешнее будет решена задача эффективной передачи энергии через устройство сопряжения. Более того, при переходе в субмикронный и, тем более, в нанометровый диапазон линейных размеров элементов интегральных

оптических устройств 2D-анализ существенно ограничивает возможности исследователей. Требование к точности расчета параметров волноводной линзы и подобных элементов интегральных оптических структур при переходе в нанометровый диапазон сильно возрастает в связи с существованием ограничений, обусловленных дифракционными эффектами.

В этой связи проблема создания адекватных моделей волноводной дифракции поляризованного электромагнитного излучения в закрытых и открытых волоконно-оптических и интегрально-оптических нерегулярных и неоднородных волноводах является весьма востребованной проблемой. А формулировка корректных математических задач волноводной дифракции является необходимым условием реализации устойчивых численных методов решения задач волноводной дифракции поляризованного электромагнитного излучения.

Открытые и закрытые волноводные системы используются при решении различных практически важных задач весьма часто, но только для закрытых была предложена универсальная модель, учитывающая сложный векторный характер электромагнитного поля и парциальные условия излучения, ведущая к математически корректным постановкам задач анализа и синтеза (проектирование) и по этой причине вызвали теоретический интерес у специалистов по математической физике. Это обусловлено тем обстоятельством, что соответствующие спектральные задачи в закрытых системах имеют чисто дискретный спектр, а в открытых системах к нему добавляет еще и непрерывная составляющая. Открытые волноводные системы возникают на практике не менее часто, чем закрытые, более того, в некоторых предметных областях радиофизики и оптики им следовало бы отдать предпочтение, например, планарные волноводы используются только в оптическом диапазоне и только открытые. Практически реализованные волноводы с компактным поперечным сечением бывают закрытыми (с металлическими стенками) в радиодиапазоне (дециметровом, сантиметровым и др.) и открытыми в оптическом диапазоне.

Постановка корректной задачи дифракции волн на неоднородности в закрытом волноводе использует парциальные условия излучения, предложенные в работах А.Г. Свешникова, обоснованию существования решения у этой задачи в различных волноведущих системах посвящена серия работ А.Н. Боголюбова, А.Л. Делицына и М.Д. Малых. Первый численный метод решения задач прохождения и дифракции волн вдоль закрытых нерегулярных волноводов был предложен в работах Б.З. Каценеленбаума и

5

получил название метода поперечных сечений, работам Каценеленбаума предшествовали работы Краснушкина, Боровикова, Кисунько, Щелгунова, Стивенсона и др. Перечисленные модели не описывали деполяризацию направляемых мод на нерегулярных участках волноводов. Метод Каценеленбаума был модифицирован и осмыслен А.Г. Свешниковым как своеобразная реализация метода Галеркина и назван неполным методом Галеркина. Этот метод хорошо зарекомендовал себя при решении задач дифракции в волноведущих систем со сложной геометрией и не менее сложным, в том числе киральным заполнением, что было показано в серии работ, выполненных под руководством А.Г. Свешниковым на физическом факультете МГУ Боголюбовым А.Н., Быковым А.А., Ерохиным А.И., Делицыным А.Л., Могилевским И.Е., Моденовым В.П. и др. Схожая конструкция, известная как метод Канторовича, используется при решении задач рассеяния частиц в квантовой механике в работах, выполненных под руководством С.И. Винницкого в ОЯИ в Дубне А.А. Гусевым, О. Чулунбатаром и др. В скалярных задачах неполный метод Галеркина можно считать вариантом метода Канторовича.

Метод Б.З. Каценеленбаума был обобщен на открытые плавно нерегулярные волноводы В.В. Шевченко. Этот метод пока не получил математического обоснования из-за наличия непрерывных частей спектра, который необходимо дискретизовать непрерывный спектр прежде чем получить задачу, пригодную для математического моделирования. Неизвестны и другие модели плавно-нерегулярных открытых волноводов, допускающие корректную математическую постановку задачи волноводной дифракции.

Поэтому реализация идеи помещения открытой волноведущей системы в закрытую, высказанная А.Г. Свешниковым, является весьма актуальной. Сформулированная нами на этой основе математическая модель реализует одну из таких дискретизаций и позволяет сформулировать корректную математическую задачу волноводной дифракции в плавно-нерегулярных интегрально-оптических волноводах.

Объект моделирования

Объектом теоретического рассмотрения и численного моделирования является класс интегрально-оптических волноводов на планарной регулярной диэлектрической подложке. Для определенности ограничимся рассмотрением

тонкопленочных волноводов с плавной нерегулярностью. В предположении, что поляризованное электромагнитное монохроматическое излучение распространяется в продольном горизонтальном направлении оси ^декартовой системы координат, связанной с геометрией подложки, в большинстве примеров предполагаем нерегулярность волноводных слоев в вертикальном направлении Охи регулярность в поперечном горизонтальном направлении Оу. В качестве отступления будет рассмотрен класс тонкопленочных волноводных линз с нерегулярностью и в направлении Оу.

пс X

п,

щ / У

Такого рода структуры изготавливают несколькими технологическими процессами.Одни из них обеспечивают прочное удержание изготовленной волноводной пленки на подложке, другие - нет, их закрепляют покровным слоем для прочности изготовленной структуры. Способы изготовления интегрально-оптических элементов и устройств и возможные пути их использования в оптико-технических процессах обработки информации описаны в большом количестве источников во второй половине 20-го века.Ряд технологий приводят к созданию интегрально-оптических структур с диффузионными волноводными слоями, их называют градиентными волноводными структурами. Методы, развиваемые здесь, довольно легко обобщаются и на них.

Предмет исследования - математические модели распространения поляризованного света в плавно-нерегулярных интегрально-оптических волноводах.

В классе интегрально-оптических волноводных структур нерегулярных и в направлении Оу, и в направлении О2, то есть двумерно-нерегулярных,

необходимо рассматривать систему уравнений Максвелла, описывающую векторный характер распространяющегося света. В случае «очень слабой нерегулярности по у» можно использовать пару слабосвязанных уравнений Гельмгольца для описания слабо-гибридных волноводных мод со слабой деполяризацией.

Цель диссертационной работы

• исследование модели волноводной дифракции электромагнитного излучения в интегрально-оптическом волноводе, помещенном в объемлющий закрытый волновод;

• реализация символьно-численных алгоритмов решения задач волноводного распространения поляризованного света в рамках модели волноводной дифракции электромагнитного излучения в интегрально -оптическом волноводе, помещенном в объемлющий закрытый волновод;

• верификация полученных результатов путем их сравнения с результатами, полученными в рамках более грубых моделей.

Задачи диссертационной работы

• постановка корректной математической задачи расчета электромагнитного поля в рамках модели волноводной дифракции электромагнитного излучения в интегрально-оптическом волноводе, помещенном в объемлющий закрытый волновод;

• адаптация численных методов и алгоритмов к решению сформулированной задачи;

• программная реализация численных методов и алгоритмов решения сформулированной задачи и проведение численных экспериментов в системах Maple, Sage;

• верификация результатов и оценка применимости исследуемой модели для решения задач волноводного распространения поляризованного света в рамках исследуемой модели.

Методы исследований

• неполный метод Галеркина решения задачи дифракции волноводной моды, падающей на двумерный неоднородный или нерегулярный закрытый волновод или волноводный переход между двумя закрытыми волноводами;

• конечно-разностный метод решения третьей краевой задачи с комплексными коэффициентами для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка;

• асимптотический метод решения дифференциальных уравнений с малым параметром, в приближении по которому векторная волноводная задача редуцируется к скалярной.

Научная новизна

В диссертационной работе результаты и методы, обоснованные в теории закрытых волноводов, адаптируются к открытым волноведущим системам в рамках исследуемой модели.

В рамках исследуемой модели предложена новая постановка математической задачи, описывающей волноводное распространение поляризованного света.

Методы решения задач расчета электромагнитного поля в рамках исследуемой модели реализованы в символьно-численном виде.

Основные положения, выносимые на защиту

• Предложена реализация идеи А.Г. Свешникова, указавшего на одну из возможных корректных постановок задач дифракции на неоднородностях в открытых волноведущих системах. Подробно описана приближенная математическая модель открытого волновода, теоремы существования, известные для закрытых систем, адаптированы к этой модели. Указан способ дискретизации парциальных условий излучения в задачах с непрерывным спектром. В частности, поставлены задачи дифракции на микролинзе Люнеберга и ее плоском аналоге, а также задача о согласовании открытого волноводного перехода.

• Разработаны адаптированные символьно-численные алгоритмы расчета электромагнитных полей в рамках используемой модели.

• Разработанные алгоритмы реализованы в виде программ в системах Maple, Sage, которые могут быть использованы для верификации результатов расчета аналогичных структур в рамках других моделей и для решения прикладных задач.

• Используемая модели открытого волновода и основанные на ней методы расчета электромагнитных полей верифицированы путем сравнения с результатами, полученными в рамках известных моделей интегрально-оптических волноводов, обоснованных на физическом уровне строгости.

Обоснованность и достоверность полученных результатов

Обоснованность результатов следует из того, что использованная модель основана на уравнениях Максвелла в полной электромагнитной постановке и парциальных условиях излучения, показавших свою эффективность при исследовании закрытых волноводов. Полученные математические задачи являются корректными. Системы линейных алгебраических уравнений, получаемые в результате конечно-разностной аппроксимации краевых задач, имеют блочно-трехдиагональную структуру матриц коэффициентов, блоки матриц коэффициентов обусловлены хорошо. Погрешность решения систем уравнений сравнима с компьютерной точностью.

Достоверность вытекает из совпадения полученных результатов с результатами вычислений в рамках других использованных моделей.

Апробация результатов

Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:

• Научная сессия НИЯУ МИФИ-2014. Москва, МИФИ, 27 января - 01 февраля 2014 г.

• Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и информатики» (MPAMCS'2014). Дубна, 25 - 29 августа

2014 г.

• Всероссийской конференции с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем». Москва, РУДН, 22-25 апреля 2014 г.

• Научная сессия НИЯУ МИФИ-2015. Москва, МИФИ, 16-20 февраля

2015 г.

• Всероссийская конференции с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем». Москва, РУДН, 20-24 апреля 2015 г.

• Международнаяконференция «International Conference on Mathematical Modeling and Computational Physics» (MMCP'2015). StaraLesna, Словакия, 13-17 июля 2015 г.

• Всероссийская конференции с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем». Москва, РУДН, 18-22 апреля 2016 г.

• IV Международная конференция «Проблемы математической и теоретической физики и математическое моделирование». Москва, НИЯУ МИФИ, 5-7 апреля 2016 г.

• Симпозиум международных научных конференций «Оптика и биофотоника1У» (8БМ'2016). Саратов, СГУ, 27-30 сентября 2016 г.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих семинарах:

• Московский научный семинар «Интегральная оптика и волноводная оптоэлектроника» Московского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи им. А.С. Попова, 7 декабря 2016г.

• Научный семинар «Проблемы современной математики», МИФИ, 02 марта 2017 г.

• Научный семинар «Математическое моделирование», РУДН, 15 марта 2017 г.

Публикации

Основные результаты по теме диссертационного исследования изложены в 4 статьях в журналах, рекомендованных ВАК РФ [43, 145-147]. Всего по теме диссертационного исследования опубликовано 10 работ [43,145153].

Обзор основных результатов теории волноводной дифракции

Задачи изучения и проектирования волноведущих структур в акустике и электромагнетизме изучались на протяжении многих лет, как специалистами по прикладной акустике и прикладному электромагнетизму, в том числе и прикладной оптике, так и специалистами по математической физике. В области полых волноводов с металлическими идеально проводящими стенками задача распространения электромагнитных волн была полностью решена в серии работ А.Н.Тихонова и А.А.Самарского [1-4]. В это же время по теории регулярных волноводов были опубликованы с работы [5-7].

В работах [1-3] доказано, что решение однородной системы уравнений Максвелла в полом цилиндре, на границе которого поставлены условия идеальной проводимости, можно представить в виде суперпозиции нормальных мод. Главное отличие этих волноводных мод от плоских волн состоит в том, что лишь один из векторов Е или Н перпендикулярен по отношению к направлению распространения волны, совпадающей с осью волновода. В зависимости от того, какой из векторов у данной моды имеет продольную составляющую, ее называют ТМ или ТЕ модой [75]. Теорема Тихонова и Самарского позволяет выписать решение задачи о возбуждении током колебаний в регулярном волноводе в виде ряда по ТЕ- и ТМ-модам. В волноводах со сложным заполнением в соответствующей спектральной задаче на сечении не удается разделить переменные, поэтому вместо разложения по ТЕ- и ТМ- модам используют разложение по нормальным модам, имеющим более сложную векторную структуру. Названная спектральная задача оказывается несамосопряженной, поэтому доказательство полноты системы корневых векторов этой задачи представляло определенные трудности, разрешенные в серии работ А.Н. Боголюбова, А.Л. Делицына, М.Д. Малых и А.Г. Свешникова [76-78].

Если волновод имеет постоянное сечение и заполнен однородным веществом, то нормальные моды распространяются вдоль его оси без изменений. Однако если поместить внутрь волновода диэлектрическое тело или деформировать его поверхность на некотором участке, то часть энергии падающей нормальной волны отражается обратно, а часть передается другим модам. Это явление получило название дифракции на неоднородности в нерегулярном волноводе.

В 1950-х годах были предложены первые численные методы расчета плавно-нерегулярных волноводов, то есть волноводов, сечение которых меняется достаточно медленно, в работах Б.З. Каценеленбаума [30-31] и А.Г. Свешниковым [10-13,79,80]. Оба эти метода основаны на разложении решения

по собственным векторам подходящей спектральной задачи на сечении волновода и сведению исходной системы уравнений Максвелла к системе обыкновенных дифференциальных уравнений и потому могут рассматриваться с одной стороны как развитие метода Галеркина, а с другой как применение метода Канторовича [130] к волноводным задачам. В теории волноводов методы, основанные на разложениях по собственным функциям сечения, называют неполным методам Галеркина [75, 79, 80]; он обоснован для решении задач дифракции в волноведущих систем со сложной геометрией и не менее сложным, в том числе киральным заполнением, что было показано в серии работ, выполненных под руководством А.Г. Свешниковым на физическом факультете МГУ в 1970-2000-х годах Боголюбовым А.Н., Быковым А.А., Делицыным А.Л., Моденовым В.П. и др. Современное изложение неполного метода Галеркина в его применнии к сложным закрытым волноведущим системам можно найти в серии работ А.Н. Боголюбова, А. И. Ерохина, И. Е. Могилевского, В. Е. Родякина и В. М. Пикунова [93-95], особо следует выделить работу [93], где задача рассматриваемтся в полной векторной постановке. Схожая конструкция, известная как метод Канторовича, используется при решении задач рассеяния частиц в квантовой механике в работах, выполненных под руководством С.И. Винницкого в ОЯИ в Дубне А.А. Гусевым, О. Чулунбатаром и др. [131-143]. В скалярных задачах неполный метод Галеркина можно считать адаптацией метода Канторовича к волноводным задачам.

Следует заметить, что в работах А.Г. Свешникова был не только указан практический способ отыскания поля, но и предложена корректная математическая модель этого явления, ключевым моментом которой стала замена классических условий излучения на парциальные. Фредгольмовость этой задачи, как в скалярной, так и в полной векторной постановке была установлена в цикле работ, выполненных под руководством А.Г. Свешникова [87-91].

Задача дифракции на диэлектрическом теле в полом закрытом волноводе неоднократно была предметом математического моделирования, в том числе с привлечением современных вычислительных средств [81-83], однако программных реализаций в общественном доступе не имеется. Хорошо изучен и другой важный для практических задач случай нерегулярного волновода - сочленение двух волноводов разного сечения [84-86].

Корректность математической модели закрытого волновода притягивала к ней внимание мат. физиков в ущерб исследованию открытых волноведущих систем. Математическое исследование закрытых и открытых волноводов электромагнитного излучения в оптическом диапазоне было продолжено в работах радиофизиков [16-20]. По теории и применениям открытых планарных волноводов опубликован ряд монографий, содержащих большие разделы по теории регулярных вдоль оси распространения оптического излучения волноводов [21-29].

Работы по моделированию распространения оптического излучения в волноводах с продольной нерегулярностью можно разделить на следующие группы: волноводы с уединенными резкими нерегулярностями, волноводы со статистическими нерегулярностями и волноводы с плавными нерегулярностями. В последнем направлении следует особо отметить работы [30-31] Б.З. Каценеленбаума, обобщенные в работах по плавно-нерегулярным закрытым волноводам и работы [32-33] В.В. Шевченко по плавным переходам в открытых волноводах. Плавным переходом указанные авторы называют такой переход между продольно регулярными участками волновода с различными параметрами, который осуществляется путем непрерывного (без скачков) изменения этих параметров.

В волноводах с продольной нерегулярностью характерной особенностью является то, что при прохождении волн через неоднородности происходит излучение в открытое пространство. Задачу описания трансформации электромагнитного поля в таких переходах

Б.З. Каценеленбаум [31] решил с помощью построенного им метода поперечных сечений. Плавный переход в планарном волноводе может представлять неоднородный вдоль горизонтальной плоскости участок волновода. В.В. Шевченко [32] ограничился рассмотрением неоднородных вдоль оси участков волновода.

Авторы работ [34-43] рассматривают частный случай открытых линий -многослойный тонкопленочный плавно нерегулярный интегрально-оптический волновод. Но плавные нерегулярности, рассмотренные ими, не ограничиваются частным случаем изменения «вдоль линии», рассмотренным авторами работ [31] и [32], а включают в себя произвольные плавные изменения вертикальных параметров многослойного интегрально -оптического волновода «вдоль горизонтальной плоскости».

Описанные приближения приводят к удовлетворительным результатам вычислений для широкого класса плавно нерегулярных волноводов. Именно таким методом Саутвелл [44, 45] вычислил переменную толщину дополнительного волноводного слоя на несимметричном регулярном трехслойном волноводе, обеспечивающую фокусировку падающей ТЕ моды на заданном фокусном расстоянии от центра тонкопленочной волноводной обобщенной линзы Люнеберга [46-48].

Направляемые моды при распространении вдоль регулярного участка интегрально-оптического волновода являются независимыми, они не обмениваются энергией между собой и с окружающей волновод средой [16, 24]. На участке волновода с плавными нерегулярностями показателей преломления слоев или их толщин направляемая волноводная мода испытывает возмущение [55-58]. Эту слабо возмущенную моду можно рассматривать как «квазиволноводную» моду. Эта мода характеризуется тем, что в поперечном сечении волновода волна является стоячей, и количество узлов (нулей) напряженности электромагнитного поля остается неизменным при волноводном распространении моды. Квазиволноводные моды могут

обмениваться энергией между собой и с окружающей средой [19-26, 31,32, 3443, 50-54]. Эта энергия составляет малую часть мощности, переносимой отдельными модами, что позволяет использовать для исследования плавно-нерегулярных волноводов приближенные методы (см. [34-43, 50-54]).

Для решения задачи эффективной передачи энергии через различные элементы сопряжения (линзы, разветвители, призмы, мультиплексоры) необходимо учесть векторный характер полей на всех этапах решения электродинамической задачи распространения плоской монохроматической световой волны в многослойной интегрально-оптической структуре [19-32, 34-43].

Моды плавно-нерегулярного участка волновода являются слабо гибридными квази-ТЕ и квази-ТМ модами [19-32, 34-43]. Удержание в граничных условиях и в решении квазиволновых уравнений слагаемых, пропорциональных градиенту диэлектрической проницаемости, позволяет учесть векторный характер распространения монохроматического электромагнитного излучения [50-58]. Векторное рассеяние волноводной моды в статистически нерегулярном волноводе рассмотрено в работах [51-58].

Нелинейные волновые задачи, в частности в приложении к полупроводниковым переходам в микроэлектронных структурах, изучались в работах [59-64], вопросам электромагнитных волновых процессов в плазме посвящены работы [65-69], в работах [70-74] изучаются многомерные структуры.

Диссертационное исследование посвящено математическому моделированию, теоретическому и численному исследованию волноводного распространения света в интегрально-оптических волноводах.

Глава 1. Обзор математических моделей интегрально-оптических волноводов и методов решения волноводных задач

1.1.Общие принципы создания моделей электромагнитных явлений Уравнения Максвелла

Наиболее общий и универсальный подход к созданию моделей электромагнитных явлений основан на использовании уравнений Максвелла [75,99]. В СГСЭ уравнения Максвелла записываются следующим образом

- 1 дБ Аж ~ст\ /1ч

с о1 с 4 7

го .£ = -1^ (2)

С д1

С11У5 = 0 (3)

Е) = Ажр (4)

Здесь использованы обозначения: Е = Е{х,у,г,{) - напряженность электрического поля, Н = Н[х,у,г^~) - напряженность магнитного поля, Ъ = Е){х,- вектор электрической индукции, В = В[х,у,г^~) - вектор магнитной индукции, у = - вектор плотности электрического тока,

р = р(х,у,г,г) - плотность электрического заряда. Плотность сторонних токов У = ] \Х,У,0 есть заданная величина.

Система уравнений (1)-(5) дополняется уравнениями, связывающими неизвестные величины и описывающие материальные характеристики среды, в которой рассматривается изучаемый физический процесс. В локальных линейных изотропных средах, которые и будут рассматриваться в работе, материальные уравнения принимают вид

5 = еЕ, В = ¡иН, 7 = сгЕ, (6)

где е, л - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, а -проводимость среды.

На практике сложные интегрально-оптические устройства создаются путем комбинирования однородных сред, в которых величины е, л и а постоянны. Однако в теории обычно не ограничиваются рассмотрением кусочно-постоянных е, л и а. Часто системы с переменным заполнением обладают теми или иными замечательными свойствами, для их создания из реальных материалов используют много слоев с различными показателями преломления. Например, классическая линза Люнеберга [100], имеющая в рамках геометрической оптики истинный фокус, собирается из большого числа концентрических шаровых слоев, показатели преломления которых медленно меняются от слоя к слою, аппроксимируя профиль показателя преломления линзы, найденный теоретическим путем. Вопрос о том, следует ли при моделировании таких систем использовать кусочно-постоянные е, л и а или точные выражения, найденные чисто теоретическим путем, не может быть решен однозначно. С одной стороны, такие системы, выполненные в виде устройств, имеют кусочно-постоянное заполнение и поэтому, используя его в теоретических расчетах, можно ожидать достижения большего совпадения результатов вычислений и измерений, чем при использовании теоретических выражений. С другой стороны, наличие скачков всегда приводит к явлению Гиббса, а, следовательно, к существенному ухудшению сходимости используемых численных методов и большей затратности вычислений. По этой причине в диссертации будет рассматриваться общая модель, в которой величины, характеризующие заполнения, могут быть переменным, точнее говоря, положительными кусочно-гладкими функциями, имеющими конечное число разрывов первого рода в рассматриваемой области. Следует также заметить, что за последние десятилетия произошла настоящая революция в теории метаматериалов [101-104], это позволяет

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Диваков, Дмитрий Валентинович, 2017 год

Литература

1. Самарский А.А., Тихонов А.Н. О возбуждении радиоволноводов. I // Журнал технической физики. - 1947. - Т. 17, вып. 11. - С. 1283-1296.

2. Самарский А.А., Тихонов А.Н. О возбуждении радиоволноводов. II // Журнал технической физики. - 1947. - Т. 17, вып. 12. - С. 1431-1440.

3. Самарский А.А., Тихонов А.Н. О возбуждении радиоволноводов. III // Журнал технической физики. - 1948. - Т. 18, вып. 7. - С. 971-983.

4. Самарский А.А., Тихонов А.Н. О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ // Журнал технической физики. - 1948. - Т. 18, вып. 7. - С. 959-970.

5. Кисунько Г.В. К теории возбуждения радиоволноводов // Журнал технической физики. - 1946. - Т. 16, вып. 5. - С. 565-575.

6. Краснушкин П.Е. О волноводных свойствах неоднородных сред // Журнал технической физики. - 1948. - Т. 18, вып. 4. - С. 431-446.

7. Краснушкин П.Е. Метод нормальных волн в применении к проблеме дальних радиосвязей. - М.: Изд. МГУ, 1947. - 52 с.

8. Свешников А.Г. Принцип излучения // ДАН СССР. - 1950. - Т. 73, № 5. -С. 917-920.

9. Свешников А.Г. Принцип предельного поглощения для волновода // ДАН СССР. - 1951. - Т. 110, № 2. - С. 197.

10. Свешников А.Г. Приближенный метод расчета слабо нерегулярного волновода // ДАН СССР. - 1956. - Т. 80, № 3. - С. 345-347.

11. Свешников А.Г. О распространении радиоволн в слабоизогнутых волноводах // Радиотехника и электроника. - 1956. - Т. 1, № 9. - С. 1222.

12. Свешников А.Г. Волны в изогнутых трубах // Радиотехника и электроника.

- 1958. - Т. 3, № 5. - С. 641.

13. Свешников А.Г. Нерегулярные волноводы // Известия вузов. Радиофизика.

- 1959. - Т. 2, № 5. - С. 720.

14. Свешников А.Г. К обоснованию методов расчета нерегулярных волноводов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1963. - Т. 3, № 1. - С. 170-179.

15. Свешников А.Г. К обоснованию методов расчета распространения электромагнитных колебаний в нерегулярных волноводах // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1963. - Т. 3, № 2.

- С. 314-326.

16. Дерюгин Л.Н., Марчук А.Н., Сотин В.Е. Свойства плоских несимметричных диэлектрических волноводов на подложке из

диэлектрика // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. -1967. - Т. 10, № 2. - С. 134-141.

17. Краснушкин П.Е. О представлении разложений по нормальным волнам контурными интегралами // ДАН СССР. - 1969. - Т. 185, № 5. - С. 10141017.

18. Шатров А.Д. Дискретные представления поля в задаче возбуждения диэлектрической пластины // Радиотехника и электроника. - 1970. - Т. 15, № 9. - С. 1806-1815.

19. Шатров А.Д. О возможных разложениях полей в открытых волноводах и резонаторах // Радиотехника и электроника. - 1972. - Т. 17, № 6. - С. 11531160.

20. Золотов Е.М., Киселев В.А., Сычугов В.А. Оптические явления в тонкопленочных волноводах // УФН. - 1974. - Т. 112, вып. 2. - С. 231-273.

21. Адамс М. Введение в теорию оптических волноводов: Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 512 с.

22. Волноводная оптоэлектроника: Пер. с англ. / Под ред. Т. Тамира. - М.: Мир, 1991. - 575 с.

23. Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1987. - 656 с.

24. Маркузе Д. Оптические волноводы: Пер. с англ. - М.: Мир, 1974. - 574 с.

25. Унгер Х.-Г. Планарные и волоконные оптические волноводы: Пер. с англ. - М.: Мир, 1980. - 656 с.

26. Хансперджер Р. Интегральная оптика: Теория и технология: Пер. с англ. -М.: Мир, 1985. - 384 с.

27. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. - М.: Наука, 1979. - 384 с.

28. Нефедов Е.И. Дифракция электромагнитных волн на диэлектрических структурах. - М.: Наука, 1979. - 272 с.

29. Содха М.С., Гхатак А.К. Неоднородные оптические волноводы: Пер. с англ. - М.: Связь, 1980. - 216 с.

30. Каценеленбаум Б.З. Нерегулярные волноводы с медленно меняющимися параметрами // ДАН СССР. - 1955. - Т. 102, № 4. - С. 711-714.

31. Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. - М.: Изд. АН СССР, 1961. - 216 с.

32. Шевченко В.В. Плавные переходы в открытых волноводах: введение в теорию. - М.: Наука, 1969. - 192 с.

33. Шевченко В.В. О спектральном разложении по собственным и присоединенным функциям одной несамосопряженной задачи типа

Штурма-Лиувилля на всей оси // Дифференциальные уравнения. - 1979. -Т. 15, № 11. - С. 2004-2020.

34. Севастьянов Л.А., Егоров А.А. Теоретический анализ волноводного распространения электромагнитных волн в диэлектрических плавно-нерегулярных интегральных структурах // Оптика и спектроскопия. - 2008.

- Т. 105, № 4. - С. 632-640.

35. Егоров А.А., Севастьянов Л.А., Севастьянов А.Л. Исследование электродинамических свойств планарной тонкопленочной линзы Люнеберга // Журнал радиоэлектроники. - 2008. - № 6. - URL: http: //j re.cplire.ru/mac/j un0 8/index. html.

36. Егоров А.А., Севастьянов Л.А. Структура мод плавно-нерегулярного интегрально-оптического четырехслойного трехмерного волновода // Квантовая Электроника. - 2009. - Т. 39, № 6. - С. 566-574.

37. Севастьянов А.Л. Численная реализация модели интегрально-оптической линзы Люнеберга в нулевом приближении // Письма в ЭЧАЯ. - Дубна: ОИЯИ, 2011. - Т. 8, №5 (168). - С. 804-811.

38. Егоров А.А., Севастьянов А.Л., Айрян Э.А., Ловецкий К.П., Севастьянов Л.А. Адиабатические моды плавно-нерегулярного оптического волновода: нулевое приближение векторной теории // Математическое моделирование. - 2010. - Т. 22, № 8. - С. 42-54.

39. Егоров А.А., Ловецкий К.П., Севастьянов А.Л., Севастьянов Л.А. Моделирование направляемых (собственных) мод и синтез тонкопленочной обобщенной волноводной линзы Люнеберга в нулевом векторном приближении // Квантовая электроника. - 2010. - Т. 40, № 9. -С. 830-836.

40. Севастьянов Л.А., Егоров А.А., Севастьянов А.Л. Метод адиабатических мод в задачах плавно-нерегулярных открытых волноведущих структур // Ядерная физика. - 2013. - Т. 76, № 2. - С. 252-268.

41. Егоров А.А., Севастьянов Л.А., Севастьянов А.Л. Исследование плавно-нерегулярных интегрально-оптических волноводов методом адиабатических мод: нулевое приближение // Квантовая Электроника -2014. - Т. 44, № 2. - С. 167-173.

42. Егоров А.А., Севастьянов А.Л., Айрян Э.А., Севастьянов Л.А. Устойчивое компьютерное моделирование тонкопленочной обобщенной волноводной линзы Люнеберга // Математическое моделирование - 2014. - Т. 26, № 11.

- С. 37-44.

43. Диваков Д.В., Севастьянов Л.А. Применение неполного метода Галеркина к нерегулярным переходам в открытых планарных волноводах // Математическое моделирование. - 2015. - Т. 27, № 7. - С. 44-50.

44. Southwell W.H. Inhomogeneous optical waveguide lens analysis // Journal of the Optical Society of America. - 1977. - Vol. 67. - Pp. 1004-1009.

45. Southwell W.H. Index profiles for generalized Luneburg lenses and their use in planar optical waveguides // Journal of the Optical Society of America. - 1977.

- Vol. 67, No. 8. - Pp. 1010-1014.

46. Morgan S.P. General solution of the Luneburg lens problem // Journal of Applied Physics. - 1958. - Vol. 29, No. 9. - Pp. 1358-1368.

47. Fletcher A., Murphy T., Young A. Solutions of Two Optical Problems // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 1954. — Vol. 223, No. 1153. — pp. 216-225.

48. Котляр В.В., Мелехин Ф.С. Расчёт обобщённых линз «рыбий глаз» Максвелла и Итона-Липмана // Компьютерная оптика. — 2002. — № 24.

- С. 53- 57.

49. Жук Н.П. Собственные волны среднего поля в статистически нерегулярном планарном волноводе // ЖТФ. - 1986. - Т. 56, вып. 5. - С. 825-830.

50. Аникин В.И., Дерюгин Л.Н., Летов Д.А., Половинкин А.Н., Сотин В.Е. Экспериментальные исследования планарных оптических элементов // Журнал технической физики. - 1978. - Т. 48, № 5. - С. 1005-1009.

51. Egorov A.A. Theory of laser radiation scattering in integrated optical waveguide with 3D-irregularities in presence of noise: vector consideration // Laser Physics Letters. - 2004. - Vol. 1, No. 12. - Pp. 579-585.

52. Егоров А.А. Теория волноводного рассеяния света в интегрально-оптическом волноводе при наличии шума // Известия вузов. Радиофизика.

- 2005. - Т. 48, № 1. - С. 63-75.

53. Egorov A.A. Use of waveguide light scattering for precision measurements of the statistic parameters of irregularities of integrated optical waveguide materials // Optical Engineering. - 2005. - Vol. 44, No. 1. - Pp. 014601-1-014601-10.

54. Егоров А.А. Обратная задача рассеяния монохроматического света в статистически нерегулярном волноводе: теория и численное моделирование // Оптика и спектроскопия. - 2007. - Т. 103, № 4. - C. 638645.

55. Егоров А.А. Восстановление экспериментальной автокорреляционной функции и определение параметров статистической неровности поверхности по данным рассеяния лазерного излучения в интегрально-

оптическом волноводе // Квантовая электроника. - 2003. - Т. 33, № 4. - С. 335-341.

56. Егоров А.А. Векторная теория рассеяния лазерного излучения в интегрально-оптическом волноводе с трехмерными нерегулярностями при наличии шума // Квантовая электроника. - 2004. - Т. 34, № 8. - С. 744-754.

57.Egorov A.A. Vector Theory of the Waveguide Scattering of Laser Radiation in the Presence of Noise (Method of Modes and Method of Green's Function) // Laser Physics. - 2004. - Vol. 14, No. 8. - Pp. 1072-1080.

58. Egorov A.A. Inverse problem of laser light scattering in an integrated optical waveguide: 2D solution with accurate input data // Laser Physics. - 2004. - Vol. 14, No. 10. - Pp. 1296-1309.

59. Kudryashov N.A. Exact soliton solutions of a generalized evolution equation in wave dynamics // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. - 1988. -Vol. 52, No. 3. - Pp. 361-365.

60. Kudryashov N.A. Exact solutions of the non-linear wave equations arising in mechanics // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. - 1990. - Vol. 54, No. 3. - Pp. 372-375.

61. Kucherenko S.S., Kudryashov N.A. Photoelectric characteristics of a semiconductor diode with an abrupt junction at high photoexcitation levels // Solid-State Electronics. - 1992. - Vol. 35, No. 7. - Pp. 993-997.

62. Kudryashov N.A. The second Painleve equation as a model for the electric field in a semiconductor // Physics Letters A. - 1997. - Vol. 233, No. 4-6. - Pp. 397400.

63. Kudryashov N.A. Simplest equation method to look for exact solutions of nonlinear differential equations // Chaos, Solitons and Fractals. - 2005. - Vol. 24. - Pp. 1217-1231.

64. Kudryashov N.A. Exact solitary waves of the Fisher equation // Physics Letters A. - 2005. - Vol. 342, No. 1-2. - Pp. 99-106.

65. Брушлинский К.В. Математические и вычислительные задачи магнитной газодинамики. - М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. - 200 с.

66. Брушлинский К.В., Козлов А. Н., Коновалов В. С. Численные модели стационарных и пульсирующих течений ионизующегося газа в каналах плазменных ускорителей // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2015. - Т. 55, № 8. - С. 1405-1416.

67. Брушлинский К.В., Гольдич А.С. Математическая модель тороидальной магнитной ловушки «Галатея-Пояс» // Дифференциальные уравнения. -2016. - Т.52, № 7. - С. 887-895.

68. Брушлинский К.В., Гольдич А.С., Давыдова Н.А. Плазменные конфигурации в ловушках-галатеях и токовых слоях // Математическое моделирование. - 2016. - Т. 28, № 7. - С. 107-120.

69. Брушлинский К.В. Математические основы вычислительной механики жидкости, газа и плазмы: Учебное пособие. - Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2017. - 272 с.

70. Borog V.V., Kryanev A.V., Udumyan D.K. Combined method for detecting hidden anomalies in galactic cosmic ray variations // Geomagnetism and Aeronomy. - 2011. - Vol. 51, No. 4. - Pp. 475-482.

71. Крянев А.В., Лукин Г.В., Удумян Д.К. Метрический анализ и обработка данных. - М.: Физматлит, 2012. - 307 c.

72. Kryanev A.V., Udumyan D.K., Kurchenkov A.Yu., Gagarinskiy A.A. Determination of power distribution in the VVER-440 core on the basis of data from in-core monitors by means of a metric analysis // Physics of Atomic Nuclei.

- 2014. - Vol. 77, No. 14. - Pp. 1651-1655.

73. Ivanov V.V., Klimanov S.G., Kryanev A.V., Lukin G.V., Udumyan D.K. Forecasting of chaotic dynamic processes by means of allocation regular components // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2015.

- Vol. 55, No. 2. - Pp. 340-347.

74. Borog V.V., Ivanov I.O., Kryanev A.V., Timashev S.F. Identification of solar coronal mass ejections in cosmic ray flux using flicker noise spectroscopy // Physics Procedia. - 2015. - Vol. 74. - Pp. 336 - 340.

75. Свешников А.Г., Могилевский И.Е. Математические задачи теории дифракции. - М.: МГУ, 2012. - C. 200.

76. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Свешников А.Г. О полноте системы собственных и присоединенных функций волновода // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1998. - Т. 38, № 11. - С. 1891-1899.

77. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Малых М.Д. О корневых векторах цилиндрического волновода // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2001. - Т. 41, № 1. - С. 126-129.

78. Делицын А.Л. Об одном подходе к вопросу о полноте нормальных волн волновода с магнитодиэлектрическим заполнением // Дифференциальные уравнения. - 2000. - Т. 36, № 5. - С. 629-633.

79. Свешников А.Г. Неполный метод Галеркина // ДАН СССР. - 1977. -Т. 236, № 5. - С. 1076-1079.

80. Моденов В.П., Свешников А.Г. Проекционный метод решения несамосопряженных краевых задач теории волноводов // Вестник

Московского университета. Серия 3: Физика. Астрономия. - 1985. - Т. 26, № 2. - С. 3-8.

81. Лаврёнова А.В. Расчет неоднородности волновода методом конечных элементов // Вестник Московского университета. Серия 3: Физика. Астрономия. - 2004. - № 1. - С. 22-24.

82. Боголюбов А.Н., Лаврёнова А.В. Применение метода смешанных конечных элементов к решению задач волноводной дифракции // Вестник Московского университета. Серия 3: Физика. Астрономия. - 2007. - № 4. -С. 18-22.

83. Боголюбов А.Н., Лаврёнова А.В. Математическое моделирование дифракции на неоднородности в волноводе с использованием смешанных конечных элементов // Математическое моделирование. - 2008. - Т. 20, № 2. - С. 122-128.

84. Боголюбов А.Н., Минаев Д.В. Синтез плоского волноводного перехода // Вестник Московского университета. Серия 3: Физика. Астрономия. - 1993. - Т. 34, № 2. - С. 67-69.

85. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Минаев Д.В. Расчет согласующего волноводного перехода между двумя коаксиальными волноводами овальной формы // Вестник Московского университета. Серия 3: Физика. Астрономия. - 1997. - № 4. - С. 51-54.

86. Боголюбов А.Н., Буткарев И.А. Применение метода конечных элементов к исследованию волноводного перехода // Вестник Московского университета. Серия 3: Физика. Астрономия. - 2003. - № 4. - С. 6-9.

87. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Свешников А.Г. О задаче возбуждения волновода с неоднородным заполнением // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1999. - Т. 39, № 11. - С. 18691888.

88. Делицын А.Л. О задаче рассеяния на неоднородности в волноводе // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2000. -Т. 40, № 4. - С. 606-610.

89. Делицын А.Л. Задача дифракции в волноводе // Дифференциальные уравнения. - 2005. - Т. 41, № 3. - С. 375-381.

90. Делицын А.Л. О постановке краевых задач для системы уравнений Максвелла в цилиндре и их разрешимости // Известия Российской академии наук. Серия математическая. - 2007. - Т. 71, № 3. - С. 61-112.

91. Абгладаев С.И., Моденов В.П. Краевая задача для уравнения Гельмгольца в области с бесконечной кусочно-гладкой границей // Вестник

Московского университета. Серия 3: Физика. Астрономия. - 1995. - Т. 36, № 2. - С. 27-33.

92. Севастьянов Л.А. Полная система мод открытого планарного волновода // Лазеры в науке, технике, медицине: тезисы докладов VI Международной научно-технической конференции. Суздаль. - М.: Изд. ИРЭ РАН, 1995. -С. 72-76.

93. Боголюбов А.Н., Ерохин А.И., Могилевский И.Е. Векторная модель волновода с входящими ребрами // Журнал радиоэлектроники. — 2012. — № 2. - URL: http://jre.cplire.ru/koi/feb12/index.html.

94. Боголюбов А.Н., Ерохин А.И., Могилевский И.Е. Математическое моделирование нерегулярного волновода с входящими ребрами // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2012. — Т. 52, № 6. — С. 1058-1062.

95. Ерохин А.И., Могилевский И.Е., Родякин В.Е., Пикунов В.М. Математическая модель прямоугольной волноведущей системы c импедансными стенками // Ученые записки физического факультета Московского Университета — 2016. — № 6. - URL: http : //uzmu.phys .msu.ru/toc/2016/6.

96. Боголюбов А.Н., Могилевский И.Е. Сингулярность электромагнитного поля в окрестности диэлектрического ребрав задачах дифракции на телах сложной формы // Ученые записки физического факультета Московского Университета. — 2016. — № 3. - URL: http://uzmu.phys.msu.ru/toc/2016/3.

97. Боголюбов А.Н., Могилевский И.Е. Математическое исследование особенности электромагнитного поля волновода в окрестности угловой точки линии разрыва диэлектрической проницаемости // Физические основы приборостроения. — 2016. — Т. 5, № 2. — С. 72-79.

98. Боголюбов А.Н., Могилевский И.Е., Свешников А.Г. Асимптотическое представление электромагнитного поля диэлектрического волновода в окрестности угловой точки линии разрыва диэлектрической проницаемости // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2015. — Т. 55, № 3. — С. 446-459.

99. Григорьев А.Д. Методы вычислительной электродинамики. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. - 432 с.

100. Luneburg R.K. Mathematical Theory of Optics. - Berkeley: University of California Press, 1966. - 448 p.

101. Basharin A.A., Menshikh N.L. Ultraslow surface plasmons in metamaterial waveguides for subwavelength resolution // Applied Physics A: Materials Science & Processing. - 2012. - Vol. 106, No. 3. - Pp. 517-522.

102. Lan S., Rodrigues S.P., Cai W., Kang L., Cui Y., Schoen D.T., Brongersma M.L. Backward phase-matching for nonlinear optical generation in negativeindex materials // Nature Materials. - 2015. - Vol. 14, No. 8. - Pp. 807-811.

103. Jahani S., Jacob Z. All-dielectric metamaterials // Nature Nanotechnology. -2016. - Vol. 1, No. 1. - Pp. 23-26.

104. Viaene S., Ginis V., Danckaert J., Tassin P. Transforming two-dimensional guided light using nonmagnetic metamaterial waveguides // Physical Review B: Condensed Matter and Materials Physics. - 2016. - Vol. 93, No. 8. - URL: http://journals.aps.org/prb/issues/93/8.

105. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. - М.: Наука, 1973. - 408 с.

106. Müller C. Grundprobleme der Mathematischen Theorie Elektromagnetischer Schwingungen. - Berlin: Springer-Verlag, 1957. - 344 p.

107. Hellwig G. Differential Operators of Mathematical Physics. - Reading, MA: Addison-Wesley, 1967. - 304 p.

108. Зоммерфельд А. Электродинамика: Пер. с нем. - М.: Изд-во инностранной литературы, 1958. - 505 с.

109. Zhang K., Li D. Electromagnetic Theory for Microwaves and Optoelectronics. - 2nd ed. - Berlin: Springer, 2008. - 711 p.

110. Bohren C.F., Huffman D.R. Absorption and Scattering of Light by Small Particles. - New York: John Wiley & Sons, 1983. - 530 p.

111. Lock J. Scattering of an electromagnetic plane wave by a Luneburg lens. II. Wave theory // Journal of the Optical Society of America A: Optics Image Science and Vision. - 2008. - Vol. 25. - Pp. 2980-2990.

112. Malykh M.D., Nikolaev N.E., Sevastianov L.A. The geometrical description of electromagnetic radiation // Journal of Electromagnetic Waves and Applications. - 2016. - Vol. 30, No. 15. - Pp. 2055-2066.

113. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Изд-во МГУ, Наука, 2004. - 416 с.

114. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. - М.: Физматгиз, 1963. - 340 с.

115. Ponomarev L.I., Puzynin I.V., Puzynina T.P., Somov L.N. The scattering problem in quantum mechanics as an eigenvalue problem // Annals of Physics. - 1978. - Vol. 110, No. 2. - Pp. 274-286.

116. Shore B.W. Use of boundary-condition wavefunctions for bound states, continuum states, and resonances // Journal of Physics B: Atomic and Molecular Physics. - 1974. - Vol.7, No. 18. - Pp. 2502-2517.

117. Melezhik V.S., Puzynin I.V., Puzynina T.P., Somov L.N. Numerical solution of a system of integrodifferential equations arising from the quantum mechanical three-body problem with Coulomb interaction // Journal of computational physics. - 1984. - Vol. 54. - Pp. 221-236.

118. Melezhik V.S. Continuous analog of Newton method in the multichannel scattering problem // Journal of computational physics. - 1986. - Vol.65. - Pp. 1-17.

119. Melezhik V.S. New method for solving multidimensional scattering problem // Journal of computational physics. - 1991. - Vol. 92. - Pp. 67-81.

120. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: Пер. с англ.: в 4 т. - М.: Мир, 1982. - Т. 1-4. - 1623 с.

121. Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера. - М.: Изд-во МГУ, 1983. - 392 с.

122. Гончаренко А.М., Дерюгин Л.Н., Прохоров А.М., Шипуло Г.П. О развитии интегральной оптики в СССР // Журнал прикладной спектроскопии. - 1978. - Т.29, вып. 6. - С. 987-997.

123. Gevorkyan M.N., Kulyabov D.S., Lovetskiy K.P., Sevastyanov A.L., Sevastyanov L.A. Waveguide modes of a planar optical waveguide // Mathematical Modelling and Geometry. - 2015. - Vol. 3, No. 1. - Pp. 43-63.

124. Егоров А.А., Ловецкий К.П., Севастьянов А.Л., Севастьянов Л.А. Интегральная оптика: теория и компьютерное моделирование. Монография. - Москва: РУДН, 2015. - 330 с.

125. Song D., Lu Y.Y. Pseudospectral Modal Method for Computing Optical Waveguide Modes // Journal Lightwave Technol. - 2014. - Vol. 32. - Pp. 16241630.

126. Boyd J.P. A Chebyshev/radiation function pseudospectral method for wave scattering // Computers in Physics. - 1990. - Vol. 4. - Pp. 83-85.

127. Faddeev L.D. Properties of the S-matrix of the one-dimensional Schrodinger equation // American Mathematical Society Translations: Series 2. - 1967. -Vol. 65. - Pp. 139-166.

128. Буслаев В., Фомин В. К обратной задачи рассеяния для одномерного уравнения Шредингера на всей оси // Вестник ЛГУ. - 1962. - Т. 17, вып. 1. - С. 56-64.

129. Cohen A., Kappeler T. Scattering and Inverse Scattering for Steplike Potentials in the Schrodinger Equation // Indiana University Mathematics Journal. - 1985. - Vol. 34, No. 1. - Pp. 127-180.

130. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа.

- Изд. 5-е, испр. - М.: Физматгиз, 1962. - 708 с.

131. Гусев А.А., Чулуунбаатар О., Виницкий С.И., Дербов В.Л. Решение краевых задач для систем ОДУ большой размерности: эталонные расчеты в рамках метода Канторовича // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика. Информатика. Физика. - 2016. - №

3. - С. 31-37.

132. Гусев А.А., Чулуунбаатар О., Виницкий С.И., Хай Л.Л., Дербов В.Л., Гуждж А. Алгоритмы и программы решения краевых задач для систем ОДУ второго порядка с кусочно-постоянными потенциалами: многоканальная задача рассеяния и задача на собственные значения // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика. Информатика. Физика. - 2016. - № 3. - С. 38-52.

133. Гусев А.А., Чулуунбаатар О., Виницкий С.И., Дербов В.Л. Алгоритмы решения краевых задач для атомных тримеров в коллинеарной конфигурации методом Канторовича // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика. Информатика. Физика. - 2016. - №

4. - С. 56-76.

134. Гусев А.А., Чулуунбаатар О., Виницкий С.И., Дербов В.Л., Гуждж А. Алгоритмы для решения параметрической самосопряжённой эллиптической краевой задачи в двумерной области методом конечных элементов высокого порядка точности // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика. Информатика. Физика.

- 2017. - Т. 25, № 1. - С. 36-55.

135. Belyaeva I. N., Chekanov N.A., Gusev A.A., Rostovtsev V.A., Ukolov Yu.A., Uwano Y., Vinitsky S.I. A MAPLE Symbolic-Numeric Program for Solving the 2D-Eigenvalue Problem by a Self-Consistent Basis Method // Lecture Notes in Computer Science. - 2005. - Vol. 3718. - Pp. 32-39.

136. Gusev A.A., Chuluunbaatar O., Vinitsky S.I., Abrashkevich A.G. POTHEA: A program for computing eigenvalues and eigenfunctions and their first derivatives with respect to the parameter of the parametric self-adjoined 2d elliptic partial differential equation // Computer Physics Communications. -2014. - Vol. 185. - Pp. 2636-2654.

137. Chuluunbaatar O., Gusev A.A., Vinitsky S.I., Abrashkevich A.G. ODPEVP: A program for computing eigenvalues and eigenfunctions and their first

derivatives with respect to the parameter of the parametric self-adjoined Sturm-Liouville problem // Computer Physics Communications. - 2009. - Vol. 180. -Pp. 1358-1375.

138. Gusev A.A., Chuluunbaatar O., Vinitsky S.I., Abrashkevich A.G., Derbov V.L. Numerical solution of elliptic boundary-value problems for Schrodinger-type equations using the Kantorovich method // Mathematical Modelling and Geometry. - 2014. - Vol. 2. - Pp. 54-80.

139. Гусев А.А., Чулуунбаатар О., Виницкий С.И., Абрашкевич А.Г. Описание программы вычисления собственных значений и собственных функций и их первых производных по параметру для параметрической самосопряжённой системы эллиптических дифференциальных уравнений // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. — 2014. — № 2. — С. 336-341.

140. Gusev A.A., Hai L.L., Chuluunbaatar O., Vinitsky S.I., Derbov V.L. Solution of Boundary-Value Problems using Kantorovich Method // EPJ Web of Conferences. - 2016. - Vol. 108. - Pp. 02026-p.1-02026-p.6.

141. Gusev A.A., Hai L.L., Chuluunbaatar O., Ulziibayar V., Vinitsky S.I., Derbov V.L., Gozdz A., Rostovtsev V. A. Symbolic-Numeric Solution of Boundary-Value Problems for the Schrodinger Equation Using the Finite Element Method: Scattering Problem and Resonance States // Lecture Notes in Computer Science. - 2015. - Vol. 9301. - Pp. 182-197.

142. Gusev A.A., Chuluunbaatar O., Vinitsky S.I., Abrashkevich A.G. KANTBP 3.0: New version of a program for computing energy levels, reflection and transmission matrices, and corresponding wave functions in the coupled-channel adiabatic approach // Computer Physics Communications. - 2014. - Vol. 185, No. 12. - Pp. 3341-3343.

143. Gusev A.A., Chuluunbaatar O., Vinitsky S.I., Derbov V.L., Gozdz A., Le Hai L., Rostovtsev V.A. Symbolic-numerical solution of boundary-value problems with self-adjoint second-order differential equation using the finite element method with interpolation Hermite polynomials // Computer Algebra in Scientific Computing. - Heidelberg: Springer, 2014. - Vol. 8660. - Pp. 138154.

144. Малых М.Д. О распрямлении локально деформированного волновода // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Прикладная математика и информатика. — 2014. — № 2. — С. 126-132.

145. Divakov D.V., Sevastianov L.A., Nikolaev N.E. Modelling Open Transition of the "Horn" Type between Open Planar Waveguides // EPJ Web of Conferences. - 2016. - Vol. 108. - Pp. 02020-p.1-02020-p.6.

146. Divakov D., Sevastianov L., Nikolaev N. Analysis of the incomplete Galerkin method for modelling of smoothly-irregular transition between planar waveguides // Journal of Physics: Conference Series. - 2017. - Vol. 788, No. 1. - URL: http://iopscience.iop.org/issue/1742-6596/788/1.

147. Диваков Д.В., Малых М.Д., Севастьянов А.Л., Севастьянов Л.А. Моделирование распространения поляризованного света в тонкопленочной волноводной линзе // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика, информатика, физика. - 2017. -Т. 25, № 1. - С. 56-68.

148. Диваков Д.В. Моделирование распространения собственных мод закрытого волновода неполным методом Галеркина // Современные проблемы прикладной математики и информатики (MPAMCS'2014): тезисы докладов международной конференции. - Дубна: ОИЯИ, 2014. - С. 61-65.

149. Диваков Д.В. Неполный метод Галеркина в задаче моделирования локально-нерегулярных оптических волноводов // Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем: материалы Всероссийской конференции с международным участием. - М.: РУДН, 2014. - С. 225 - 227.

150. Диваков Д.В., Севастьянов Л.А. Применение неполного метода Галеркина в задачах моделирования волноведущих систем с локальной неоднородностью // Научная сессия НИЯУ МИФИ-2014. Аннотации докладов: в 3 томах. - М.: НИЯУ МИФИ, 2014. - Т. 2. - С. 43-47.

151. Диваков Д.В., Тютюнник А.А. Применение метода Канторовича к задаче моделирования открытых волноводов // Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем: материалы Всероссийской конференции с международным участием. - М.: РУДН, 2015. - С. 263-264.

152. Диваков Д.В., Севастьянов Л.А. Применение неполного метода Галеркина в задачах моделирования распространения собственных мод в нерегулярном волноводном переходе // Научная сессия НИЯУ МИФИ-2015. Аннотации докладов: в 3 томах. - М.: НИЯУ МИФИ, 2015. - Т. 2. -С. 259.

153. Диваков Д.В. Неполный метод Галеркина в задаче моделирования направляемых мод открытых нерегулярных волноводов // Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем: материалы Всероссийской конференции с международным участием. - М.: РУДН, 2016. - С. 242-245.

154. Дерюгин Л.Н., Комоцкий В.А. Оптические волноводы. - М.: УДН, 1981.

- 64 с.

155. Хвольсон О.Д. Курс физики: в 4 т. - СПб.: К.Л. Риккер, 1898. - Т. 2. - 701 с.

156. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учебное пособие для вузов. - 5-е изд. - М.: Наука, 1977. - 735 с.

157. Музыкальная акустика: Учебное пособие / Ред. Н.А. Гарбузов. - 2-е изд.

- М.: Музгиз, 1954. - 236 с.

158. Малых М.Д. О моделях с парциальным распределением точности // Вестник Российского университета дружбы народов: Серия Математика, информатика, физика. — 2013. — Т. 3. — С. 76-80.

159. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1977. — 656 с.

160. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1971. — 552 с.

161. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. - 432 с.

162. Zernike F. Luneburg lens for optical waveguide use // Optics Communications. - 1974. - Vol. 12, No. 4. - Pp. 379-381.