Моделирование процессов ударного взаимодействия твердого тела с пластинкой с учетом различных свойств ударника и мишени тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Локтев, Алексей Алексеевич

• Локтев, Алексей Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Локтев, Алексей Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. УДАРНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА СТЕРЖНИ, БАЛКИ, ПЛАСТИНКИ И ОБОЛОЧКИ (ОБЗОР)

1.1. Введение.

1.2. Описание подходов к решению задач ударного взаимодействия.

1.3. Выводы.

2. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ЛУЧЕВОГО МЕТОДА

2.1. Метод решения.

2.2. Рекуррентные соотношения лучевого метода для упругой изотропной пластинки.

2.3. Рекуррентные соотношения лучевого метода для вязкоупругой изотропной пластинки.

2.4. Рекуррентные соотношения лучевого метода для упругой ортотропной пластинки.

2.5. Выводы по второй главе.

3. УДАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА И УПРУГОЙ ИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ ЧЕРЕЗ БУФЕР

3.1. Постановка задачи.

3.2. Удар твердого тела по изотропной упругой плите через упругий буфер.

3.2.1. Решение системы определяющих уравнений.

3.2.2. Численный анализ.

3.3. Удар твердого тела по изотропной упругой плите через вязкоупругий буфер.

3.3.1. Постановка задачи.

3.3.2. Решение системы определяющих уравнений.

3.3.3. Численный анализ.

3.4. Удар твердого тела по изотропной упругой плите через нелинейно упругий буфер.

3.4.1. Постановка задачи.

3.4.2. Решение системы определяющих уравнений.

3.4.3. Численный анализ.

3.5. Выводы по третьей главе.

4. УДАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С УПРУГОЙ ИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКОЙ ЧЕРЕЗ БУФЕР

4.1. Постановка задачи.

4.2. Удар твердого тела по изотропной вязкоупругой плите с учетом упругого буфера.

4.2.1. Решение системы определяющих уравнений.

4.2.2. Численный анализ.

4.3. Удар твердого тела по изотропной вязкоупругой плите с учетом вязкоупругого буфера.

4.3.1. Решение системы определяющих уравнений.

4.3.2. Численный анализ.

4.4. Удар твердого тела по изотропной вязкоупругой плите с учетом нелинейно упругого буфера.

4.4.1. Решение системы определяющих уравнений.

4.4.2. Численный анализ.

4.5. Выводы по четвёртой главе.

5. УДАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С УПРУГОЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКОЙ ЧЕРЕЗ БУФЕР

5.1. Постановка задачи.

5.2. Решение системы определяющих уравнений.

5.3. Численный анализ.

5.4. Выводы по пятой главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование процессов ударного взаимодействия твердого тела с пластинкой с учетом различных свойств ударника и мишени»

В настоящей диссертационной работе изучается ударное взаимодействие твердых тел с пластинками Уфлянда-Миндлина посредством буфера с учетом упругих и вязкоупругих, изотропных и анизотропных, линейных и нелинейных свойств пластинки и буфера. В качестве метода решения используется лучевой метод, а также метод сращивания асимптотических разложений, полученных для малых времен в зоне контакта и вне ее.

Задачу о продольном ударе двух стержней впервые рассмотрел Сен-Венан Б.Д. [106], который учел распространение волн в соударяемых телах, но не учитывал местное смятие материалов ударника и мишени. Основной вклад в теорию удара внес гениальный физик Герц Г., который распространил свою задачу о статическом контактном взаимодействии упругих тел на их ударное взаимодействие. Однако он не учитывал в процессе удара колебательные движения тел вне их области контакта. Это сделал Тимошенко СЛ. в 1928 году, объединив колебательные движения балки конечной длины с контактной теорией Герца в единую стройную теорию удара. Zener С. [113] в 1941г. обобщил эту задачу на случай балки бесконечной длины. В дальнейшем теория удара типа Тимошенко развивалась для стержней и балок [15,26,30,44,53,100,98,109,111], пластин [4,8,14,15,25,31,47,48,51,54,80,83] и оболочек [22,49,60,66,67,69,112].

Волновой подход к теории поперечного удара был впервые предложен Россихиным Ю.А. и Шитиковой М.В. в 1992 году [83] и получил дальнейшее развитие в последующие годы [14,15,98]: решена задача об ударе твердого тела по тонкостенной балке жесткости различного профиля [98], произведен учет растяжения-сжатия срединной поверхности балок и пластин [15,98], изучено влияние отраженных волн от граничных поверхностей пластинки на процесс ударного взаимодействия и т.д.

Актуальность темы. Задачи, связанные с проблемой ударного взаимодействия, имеют широкое практическое значение и успешно решаются в последнее время. Они актуальны как с точки зрения развития фундаментальных разработок по механике твердого деформируемого тела, так и с точки зрения приложений к различным отраслям хозяйственной деятельности человека. С подобными задачами сталкиваются и в строительной индустрии на этапе возведения зданий и сооружений, а также при их эксплуатации в нормальных и экстремальных условиях.

Все более возрастающие потребности инженерной практики заставляют исследователей идти по пути усложнения реологических моделей соударяемых тел и более детального описания характера их ударного взаимодействия, что в свою очередь приводит к созданию более совершенных средств противоударной защиты конструкций и их элементов.

Учет вязкоупругих и анизотропных свойств соударяемых тел в процессе удара обуславливает более точное представление о характере протекания данного процесса.

Перечисленные обстоятельства приобретают важное практическое значение в связи с постоянно расширяющимся применением в строительном производстве композитных материалов.

Несмотря на значительные достижения в решении проблем, связанных с ударным взаимодействием, вопросы учета вязкости и анизотропии, ровно как и использование расчетно-обоснованных средств защиты от удара до последнего времени являются недостаточно хорошо изученными. В связи с вышеизложенным исследования, проведенные в рамках данной работы, по изучению влияния перечисленных факторов на процесс ударного взаимодействия твердых тел и пластинок посредством буфера следует признать весьма актуальными.

Основными целями диссертационной работы являются:

1) исследование ударного взаимодействия твердых тел с пластинками посредством буфера.

2) изучение влияния вязкоупругих свойств материала пластинки на динамические характеристики контактного взаимодействия.

3) учет влияния анизотропии материала пластинки на динамическую контактную силу и прогиб, возникающие в месте ударного взаимодействия.

4) исследование упругих, вязкоупругих и нелинейных свойств буфера, предлагаемого в качестве противоударной защиты.

Научная новизна. В процессе проведения исследований были получены аналитические решения и дан численный анализ следующих задач:

1) об ударном взаимодействии твердого тела с упругой изотропной пластиной посредством упругого, вязкоупругого и нелинейно упругого буфера;

2) об ударном взаимодействии твердого тела с вязкоупругой изотропной пластиной посредством упругого, вязкоупругого и нелинейно упругого буфера;

3) об ударном взаимодействии твердого тела и упругого буфера, установленного на упругой ортотропной пластинке.

Достоверность полученных результатов базируется на корректной математической постановке задач. Полученные в работе численные результаты согласуются с общими физическими представлениями. Правильность работы определяется правильными математическими выкладками и сопоставлением результатов работы с известными результатами других авторов.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы проектными и научно-исследовательскими организациями в процессе проектирования плит, на которые возможно действие ударной нагрузки, и, в частности, при проектировании плит перекрытия, расположенных под лифтовой шахтой.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

- исследование ударного воздействия на упругую пластину твердого тела посредством буфера, проверка локальной прочности пластинки при действии заданной ударной нагрузки;

- изучение влияния вязкоупругих свойств материала пластинки и вязких свойств буфера на динамические характеристики контактного взаимодействия;

- учет влияния анизотропии материала пластинки на динамическую контактную силу и прогиб, возникающие в месте ударного воздействия на нее твердого тела посредством упругого буфера;

- исследование линейно упругих и нелинейно упругих свойств буфера, предлагаемого в качестве противоударной защиты, на динамические характеристики удара.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных конференциях профессорскопреподавательского состава Воронежского государственного архитектурностроительного университета в 2003-2004 годах; на семинаре по теоретической и прикладной механике Воронежского государственного технического университета в 2003 году; на Воронежской школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» в 2002 году; на 4-ом th

Международном симпозиуме по строительству среди аспирантов «4 International Ph.D. Symposium in Civil Engineering" в 2002 году в г. Мюнхен, Германия; на международной конференции «34th Solid Mechanics Conference» в

2002 году в г. Закопане, Польша; на международной конференции по fh проблемам механики «6 International Conference on Vibration Problems 2003» в

2003 году в т. Либерец, Чехия; на 11-й международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» в 2004 году в г. Дубна; на Воронежской школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» в 2004 году; на международной конференции «4-ые Окуневские чтения» в 2004 году в г. Санкт-Петербург; на международной конференции «Days of Diffraction» в 2004 году в г. Санкт-Петербург; на международной летней школе «Advanced Problems in Mechanics - 2004» в 2004 году в п. Репино г.Санкт-Петербург.

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 12 публикациях.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 131 странице машинописного текста, содержит 40 рисунков, 2 таблицы, список использованных источников из 114 наименований.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Локтев, Алексей Алексеевич

Основные результаты и выводы диссертационной работы состоят в следующем:

1) Метод, предложенный в данной работе, хорошо приспособлен для описания кратковременных процессов, каковым и является процесс ударного взаимодействия, он позволяет определить все динамические характеристики взаимодействия, которые представляются в виде отрезков лучевых рядов с известными с точностью до произвольных постоянных коэффициентами. Эти ряды могут использоваться при решении широкого спектра задач об ударном воздействии на упругую изотропную, вязкоупругую изотропную и упругую ортотропную пластинки.

2) Буфер значительно снижает контактную силу по сравнению с контактной силой Герца, возникающей при непосредственном ударном взаимодействии тела и пластинки.

3) Максимальная контактная сила при изменении времени релаксации вязкоупругого буфера от 0 до со увеличивается от 0 до величины, соответствующей контактной силе для линейно упругого буфера.

4) Нелинейные свойства буфера могут как увеличивать максимальную контактную силу (при жесткой характеристике нелинейности), так и уменьшать ее (при мягкой характеристике нелинейности) по сравнению со значением для линейно упругого буфера.

5) Вязкоупругие свойства буфера доминируют в начале процесса ударного взаимодействия тела с вязкоупругой пластинкой, а вязкость пластинки включается в конце первой половины процесса взаимодействия, при подходе контактной силы к своему максимуму.

6) При увеличении параметра вязкости пластинки максимальные значения контактной силы уменьшаются при любых нелинейных характеристиках буфера, т.е. жесткая характеристика нелинейности смягчается, а мягкая становится еще более мягкой.

7) Если показатель анизотропии Ев/Ег< 1, то зависимость контактной силы и динамического прогиба от времени располагаются выше соответствующих кривых для изотропной пластинки, если же Ев/Ег> 1 - то ниже. Анизотропия в плоскости пластинки влияет на динамические характеристики значительнее, чем анизотропия в направлении, перпендикулярном плоскости пластинки.

8) Задачи, изложенные в данной работе, допускают более широкую трактовку в своей постановочной части, а именно, буфер можно располагать не на пластинке, а присоединять к твердому телу; результаты исследования от этого не изменятся, зато свойства буфера перейдут к материалу ударника.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Локтев, Алексей Алексеевич, 2004 год

1. v Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин / С.А. Амбарцумян М.:1. Наука, 1987.-360с.

2. Альбом заданий на проектирование строительной части лифтовых установок. AT 7.01.- 001 А.

3. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости / Д. Бленд М.: Мир. - 1965. -199с.

4. Гольдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел / В. Гольдсмит М.: Изд.-во литер, по стр.-ву. - 1965. - 448с.

5. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия / К. Джонсон М.: Мир. - 1989.-509с.

6. Зукас Д.А. Динамика удара / Д.А. Зукас, Т. Николас, Х.Ф. Свифт, Л.Б. Грещук, Д.Р. Куран М.:Мир. - 1985. - 296с.

7. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке М.: Глав. изд. физ.-мат. лит. - 1971. - 456с.

8. Кильчевский Н.А. Теория соударения твёрдых тел / Н.А. Кильчевский -Киев: Наук. Думка. 1969. - 246с.

9. ОСТ 22-125-80. Пружины винтовые цилиндрические сжатия и растяжения из стали круглого сечения для лифтов М.: 1980. - 25с.

10. Правила устройства и безопасной эксплуатации лифтов. ПБ 10-06-92 М. 1992.-34с.

11. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций / Ю.Н. Работнов М.: Наука. - 1966. - 752с.

12. Россихин Ю.А. Удар жёсткого шара по упругому полупространству / Ю.А. Россихин // Прикладная механика. 1986. - Т.22, N5. - С. 15-21.

13. Россихин Ю.А. К задаче об ударном взаимодействии упругого стержня с пластинкой Уфлянда-Миндлина / Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова // Прикладная механика.-1993 Т. 29, №2- С.39-46.

14. Россихин Ю.А. Удар упругого шара по балке Тимошенко и пластинке Уфлянда-Миндлина с учётом растяжения срединной поверхности/ Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова // Известия вузов. Строительство. 1996. - № 6 -С.28-34.

15. Россихин Ю.А. Расчёт вязкоупругой пластинки на ударное воздействие / Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова, А.А. Локтев // Объединенный научный журнал. 2003. - № 20(78) - С. 60-67.

16. Россихин Ю.А. Удар шара по вязкоупругой пластинке с учетом упругого буфера / Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова, А.А. Локтев // Сб. науч. тр. Физика и технология, Головинский П.А. (ред). Воронеж. - 2003. - С. 123131.

17. Россихин Ю.А. Расчёт предварительно напряженной плиты на ударное воздействие и способы ее защиты / Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова, А.А. Локтев // Тезисы докладов Международной конференции «Четвертые Окуневские чтения» Санкт-Петербург. - 2004. - С. 118.

18. Россихин Ю.А. Удар шара о нелинейно упругий буфер, установленный на плите перекрытия / Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова, Локтев А.А. //

19. Известия вузов. Строительство. 2004. - № 11 -С. 16-22.

20. Сеницкий Ю.Э. Удар вязкоупругого тела по пологой сферической оболочке / Ю.Э. Сеницкий 7/ Механика твердого тела. — 1982. №2. -С.138-143.

21. СНиП 2.03.01.-84* Бетонные и железобетонные конструкции М.: Госстрой. 1989г.

22. СНиП 2.03.01.-84* Нагрузки и воздействия М.: Госстрой. 1999г.

23. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле / С.П. Тимошенко М.: Физматгиз, 1959.-439с.

24. Тимошенко С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер М.: Наука, 1979. - 560с.

25. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твёрдых телах / Т. Томас -М.:Мир. 1964. -308с.

26. Уфлянд Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин/ Я.С. Уфлянд // Прикладная математика и механика. 1948. -Т. 12, №3 - С. 287-300.

27. Филиппов А.П. Поперечный упругий удар тяжелым телом по круглой плите/ А.П. Филиппов // Механика твердого тела. 1971. - № 6 - С. 102109.

28. Филиппов А.П. Поперечный удар по стержню при учете инерции вращения и сил перерезывания / А.П. Филиппов, В.А. Скляр // Прикладная механика. 1968. - Т. 4, № 7. - С. 1-7.

29. Филиппов А.П. Упругий поперечный удар по прямоугольной пластине с учетом инерции вращения и поперечного сдвига / А.П. Филиппов, В.А. Скляр // Динамика и прочность машин, Республик, межвед. темат. научн,-техн. сб. 1971. - Вып. 14 - С. 12-19.

30. Шитикова М.В. Лучевой метод в задачах динамического контактного взаимодействия упругих тел / М.В. Шитикова // Автореф. диссертации на соискание степени доктора физ.-мат. наук., БГУ, Минск. 1994.

31. Abrate, S. Impact on laminated composite materials / S. Abrate // Applied Mechanics Reviews. -1991. Vol. 44, № 4 - P.l55-190.

32. Abrate S. Impact on laminated composites: recent advances / S. Abrate // Applied Mechanics Reviews. 1994. - Vol. 47, № 11. - P.517-544.

33. Abrate S. Localized impact on sandwich structures with laminated facing / S. Abrate // Applied Mechanics Reviews. 1997. - Vol. 50, № 2 - P.69-82.

34. Abrate S. Impact on composite structures / S. Abrate // Cambridge University1. Press.- 1998.-316 p.

35. Abrate S. Modelling of impact on composite structures / S. Abrate // Composite Structures. 2001. - Vol. 51. - P.129-138.

36. Achenbach J.D. Note on wave propagation in linear viscoelastic media / J.D. Achenbach, D.P. Reddy // Z. Angew. Math. Phys. 1967. - V.18. - P.141-144.

37. Akiyoshi C. Strength analysis under impact (in Japanese) / C. Akiyoshi // Science of Machine. 1989. - Vol. 41, № 9 - P.69-74.

38. Al-Mousawi M.M. On experimental studies of longitudinal and flexural wave propagations: an annotated bibliography / M.M. Al-Mousawi // Applied Mechanics Reviews. 1986. - Vol. 39, №6. - P.853-864.

39. Bachrach W.E Mixed finite element method for composite cylinder subjected to impact / W.E. Bachrach, R.S. Hansen // AIAA Journal. 1989. - Vol. 27, № 5 -P.632-638.

40. Backman M.E. The Mechanics of penetration of projectiles into targets / M.E. Backman, W. Goldsmith // International Journal of Engineering Sciences. -1978.- Vol. 16- P. 1-99.

41. Balandin D.V. Optimal protection from impact and shock: theory and methods / D.V. Balandin, N.N. Bolotnik, W.D. Pilkey // Applied Mechanics Reviews.v 2000. Vol. 53, № 9. - P.23 7-264.

42. Barnhart K.E. Stresses in beams during transverse impact / K.E. Barnhart, W. Goldsmith//Journal of Applied Mechanics. 1957. - Vol.24.- P.440-446.

43. Cairns D.S. Transient response of graphite / epoxy and Kevlar / epoxy laminates subjected to impact / D.S. Cairns, P.A. Lagace // AIAA Journal. 1989. - Vol. 27, № 11.- P. 1590-1596.

44. Cantwell W.J. The impact resistance of composite materials a review / WJ. Cantwell, J. Morton // Composites. - 1991. - Vol.22, № 5. - P.347-362.

45. Chattopadhyay S. Permanent indentation effects on the impact response of elastic plates / S. Chattopadhyay // Journal of the Acoustical Society of America.- 1987. Vol. 82, № 2 - P.493-497.

46. Chattopadhyay S. Combined effects on shear deformation and permanent indentation on the impact response of elastic plates / S. Chattopadhyay, R. Saxena // International Journal of Solids and Structures. 1991. - Vol. 27, № 13.- P.1739-1745.

47. Christoforou A.P. Analysis of simply-supported orthotropic cylindrical shells subjected to lateral impact loads / A.P. Christoforou, S.R. Swanson // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1990. - Vol. 57, № 2. -P.378-382.

48. Conway H.D The impact between a rigid sphere and a thin layer / H.D. Conway, H.C. Lee // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics.- 1970. Vol.37, №1. -P.159-162.

49. Conway H.D. Impact of an indenter on a large plate / H.D. Conway, H.C. Lee // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1970. - Vol.37, № 1. -P.234-235.

50. Corbett G.G. Impact loading of plates and shells by free-flying projectiles: a review / G.G. Corbett, S.R. Reid, W. Johnson // International Journal of Impactч Engineering.-1996.-Vol.18, № 2.-P.141-230.

51. Crook A.W. A study of some impacts between metal bodies by a piezo-electric method / A.W. Crook // Proceedings of the Royal Society, Ser. A. Mathematical and Physical Sciences. -1952. Vol. A 212, №1110.- P.377-390.

52. Demiray H. Impact of nonlocal thin elastic plates by a cylindrical projectile / H.

53. Demiray, A.C. Eringen // International Journal of Engineering Science. 1978. -Vol.16.-P.905-916.

54. Deng L. Nonlinear dynamic response of the circular plates under impact of a mass (in Chinese) / L. Deng, T. Ye// Acta Mechanica Sinica. 1990. - Vol. 22, № 4. - P.420-428.

55. Dobyns A.L. Analysis of simply-supported orthotropic plates subject to static and dynamic loads / A.L. Dobyns // AIAA Journal. 1981. - Vol.19, №5. -P.642-650.

56. Evans G.R. A new numerical method for the calculation of impact forces / G.R. Evans, B.C. Jones, A.J. McMillan, M.I. Darby // Journal of Physics D: Applied Physics. 1991. - Vol. 24, №6. - P.854-858.

57. Fisher H.D. The impact of an elastic sphere on a thin elastic plate supported bya Winkler foundation / H.D. Fisher // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1975.- Vol. 42, №1. - P. 133-135.

58. Goo N.S. Dynamic contact analysis of laminated composite plates under low-velocity impact / N.S. Goo, S.J. Kim // AIAA Journal. 1997. - Vol. 35, № 9. -P.1518-1521.

59. Hammel J. Aircraft impact on a spherical shell / J. Hammel // Nuclear Engineering and Design. 1976. - Vol. 37, № 2. - P.205-223.

60. Huang W. The dynamic response of an elastic circular plate on a viscoelastic Winkler foundation impacted by a moving rigid body / W. Huang, Y.-D. Zou //ч JSME International Journal. 1992. - Series III, Vol. 35, № 2. - P.274-278.

61. Inoue H. Review of inverse analysis for indirect measurement of impact force / H. Inoue, J.J. Harrigan, S.R. Reid // Applied Mechanics Reviews. 2001, - Vol. 54, № 6. - P.503-524.

62. Jaeger J. Analytical solutions of contact impact problems / J. Jaeger // Applied Mechanics Reviews. 1994. - V.47, N2. - P.35-44.

63. Johnson K.L. One hundred years of Hertz contact / K.L. Johnson // Proceedings of the Institute of Mechanical Engineering. 1982. - Vol. 196. - P.363-377.

64. Karas K. Platten unter seitchem stoss / K. Karas // Ingenieur Archiv. 1939. -Vol. 10. -P.237-250.

65. Kenner V.N. Longitudinal impact on a hollow cone / V.N. Kenner, W. Goldsmith, J.L. Sackman// Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1970. - Vol.37, №1. - March. - P.67-73.

66. Koller M.G. Elastic impact of spheres on thin shallow spherical shells / M.G. Koller, M. Busenhart // International Journal of Impact Engineering. 1986. -Vol.4, №1.-P.l 1-21.

67. Kowalski S.J. On normal impact of an infinite elastic-plastic thin-walled plateby a finite elastic rod / S.J. Kowalski, J.A. Kolodziej, B. Raniecki // Nuclear Engineering and Design. 1976. - Vol.37. - P.225-230.

68. Liu Z. Response of plate and shell structures due to low velocity impact / Z. Liu, S. Swaddiwudhipong // Journal of Engineering Mechanics. 1997. -Vol.123, №12. - P.1230-1237.

69. Mindlin R.D. Influence of rotary inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates / R.D. Mindlin // Transactions of the ASME. Journal ofv Applied Mechanics. 1951.- Vol.73 t-P.31-38.

70. Mittal R.K. A simplified analysis of the effect of transverse shear on the response of elastic plates to impact loading / R.K. Mittal // International Journal of Solids and Structures. -1987. Vol. 23, № 8. -P.l 191-1203.

71. Mittal R.K. Analysis of impact of a moving body on an orthotropic elastic plate / R.K. Mittal, M.R. Khalili // AIAA Journal. 1994. - Vol. 32, № 4. - P.850-856.

72. Mochihara M. Behaviour of plates in the elastic range under transverse impact / M. Moshihara, Y. Tanaka // Research Reports of Kagoshima Technical College 1989. - V.23. - P.35-44.

73. Olsson R. Impact response of orthotropic composite plates predicted from a oneparameter differential equation / R. Olsson // AIAA Journal. 1992. - Vol.30, № 6. - P. 15 87-1596.

74. Olsson R. Mass criterion for wave controlled impact response of composite plates / R. Olsson // Composites Part A. 2000. - Vol. 31.- P.879-887.

75. Olsson R. Improved theory for contact indentation of sandwich panel / R. Olsson, H.A. McManus // AIAA Journal. 1996. - Vol.36, № 6. - P. 1238-1244.

76. Phillips J.W. Impact of a rigid sphere on a viscoelastic plate / J.W. Phillips, H.H. Calvit // Transaction of the ASME, Journal of Applied Mechanics. 1967. -Vol.34, № 4.-P.873-878.

77. Prasad C.B. Response of laminated composite plate to low-speed impact by different impactors / C.B. Prasad, D.K. Ambur, J.H. Starnes // AIAA Journal. -1994. Vol. 32, № 6. - P.1270-1277.

78. Qian Y. Experimental measurement of impact response in carbon, epoxy plates / Y. Qian, S.R. Swanson // AIAA Journal. 1990. - Vol. 28, №6. - P.1069-1074.

79. Ramkumar R.L. Dynamic response of curved laminated plates subjected to low velocity impact / R.L. Ramkumar, Y.R. Thakar // Transactions of the ASME,

80. Journal of Engineering Materials and Technology. 1987. - Vol. 109. - P.67-71.

81. Richardson M,O.W. Review of low-velocity impact properties of composite materials / M.O.W. Richardson, M.J. Wisheart // Composites Part A. 1996. -27 A. — P.l 123-1131.

82. Rossikhin Yu.A. A ray method of solving problems connected with a shock interaction / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Acta Mechanica. 1994. -Vol, 102. -PI 03-121.

83. Rossikhin Yu.A. Ray method for solving dynamic problems connected with propogation of wave surfaces of strong and weak discontinuities / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Applied Mechanics Reviews. 1995. - Vol.48, №1. -P.l-39.

84. Rossikhin Yu.A. The ray method for solving boundary problems of wave dynamics for bodies having curvilinear anisotropy / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Acta Mechanica. 1995. - Vol. 109, № 1-4. - P.49-64.

85. Rossikhin Yu.A. The impact of a rigid sphere with an elastic layer of finite thickness / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Acta Mechanica. 1995. - Vol.112, № 1-4. P.83-93.

86. Rossikhin Yu.A. A ray theory of impact upon Timoshenko beams / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Proceedings of the 24th Midwestern Mechanics Conference, Iowa, USA. 1995. - P.309-311.

87. Rossikhin Yu.A. The impact of elastic bodies upon beams" and plates with consideration for the transverse deformations and extension of a middle surface / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // ZAMM. 1996. - Vol 76, Suppl. 5. - P.433-434.

88. Schonberg W.P. Low velocity impact of transversely isotropic beams and plates / W.P. Schonberg, L.M. Keer, Т.К. Woo // International Journal of Solids andч Structures 1987. - V.23. - P.871-896.

89. Shitikova M.V. The ray method in problems of dynamic contact interaction of elastic solids / M.V. Shitikova // Journal of the Acoustical Society of America. 1995. - Vol. 97, № 2. - P.1345.

90. Shivakumar K.N. Prediction of impact force and duration due to low-velocityimpact on circular composite laminates / K.N. Shivakumar, W. Elber, W. Illg// Journal of Applied Mechanics. 1985. - Vol.52. - P.674-680.

91. St.-Venant B.D. Courbes representatives des lois du choc longitudinal et du choc transversal d'une barre prismatique / B.D. St.-Venant, Flamant // Journal ecole polytechnique, Paris. 1889. - Vol. 59. - P.97-103.

92. Sun C.T. Dynamic response of anisotropic laminated plates under initial stress to impact of a mass / C.T. Sun, S. Chattopadhyay // Transactions of the ASME, Journal of Applied Mechanics. 1975. - Vol.42, №3. - P.693-698.

93. Tan T.M. Use of statical indentation laws in the impact analysis of laminated composite plates / T.M. Tan, C.T. Sun // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1985. - Vol. 52, №1. - P.6-12.

94. Timoshenko S.P. Zur frage nach der wirkung eines strosse anf einer balken / S.P. Timoshenko // Zeitschrift fur mathematische Physik. 1914. - Vol.62. -P. 198-209.

95. Whitney J.M. Shear deformation in heterogeneous anisotropic plates / J.M. Whitney, N.J. Pagano// Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1970. - Vol. 37. - P. 1031-1036.

96. Yamamoto S. A study on lateral impact of Timoshenko beam / S. Yamamoto, K.

97. Sato, H. Koseki // Computational Mechanics. 1990. - Vol.6. - P. 101-108. 1142. Yang J. C. S. Impact on plates and shells / J.C.S. Yang // International Journal of