Математическое моделирование волновых процессов в твердых телах после ударного воздействия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Залетдинов, Артур Вильевич

• Залетдинов, Артур Вильевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Залетдинов, Артур Вильевич

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Распространение волновых поверхностей в твердых телах

1.1. Введение

1.2 Основные понятия о распространении волновых поверхностей после удара

1.3 Современные подходы к задачам распространения волновых поверхностей

1.4 Экспериментальные исследования волновых процессов в твердых телах

1.5 Выводы по главе

ГЛАВА 2. Методы математического моделирования поведения неизвестных величин на фронтах волновых поверхностей

2.1 Основные принципы лучевого метода

2.2 Использование лучевого метода для решения задачи распространения волн в ортотропной пластинке

2.3 Определение динамических характеристик с помощью сферических функций и полиномов Лежандра

2.4 Использование функции Бесселя для определения неизвестных величин

2.5 Выводы по второй главе

ГЛАВА 3. Численно-аналитические методы построения непрерывных решений

для волновой и контактной задачи

I 3.1 Алгоритм численно-аналитического | метода построения непрерывного решения

3.2 Сращивание решений волновой и контактной задачи для области вблизи зоны взаимодействия тел

3.3 Примеры определения динамических характеристик с учетом волновых процессов вблизи зоны контакта

3.4 Сращивание контактного и волнового решения для удаленной от зоны взаимодействия области

3.5 Численные исследования

3.6 Выводы по третьей главе

ГЛАВА 4. Программная реализация алгоритмов определения характеристик динамического воздействия с учетом волновых процессов

4.1 Основы алгоритмизации и построения вычислительного комплекса

4.2 Построение моделей вычислительных процессов

4.3 Численные исследования процессов распространения волн в изотропной среде для упругой модели взаимодействия тел

4.4 Численные исследования процессов распространения волн в анизотропной среде для упругой модели взаимодействия тел

4.5 Численные исследования процессов распространения волн в анизотропной среде для вязкоупругой модели взаимодействия тел

4.6 Выводы по четвертой главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Библиографический список

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование волновых процессов в твердых телах после ударного воздействия»

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая диссертационная работа посвящена математическому моделированию процессов распространения волновых поверхностей в плоском упругом элементе, обладающем изотропными или анизотропными свойствами. Волновые поверхности появляются в мишени из-за ударного воздействия на нее твердого упругого или вязкоупругого тела, реологические свойства которого распространяются на зону контакта при непосредственном воздействии ударника. Распространение волновых поверхностей с конечными скоростями становится возможным благодаря использованию волновых уравнений мишени типа Уфлянда-Миндлина-Рейснера, учитывающие деформацию поперечного сдвига и инерцию вращения нормалей к поперечным сечениям, благодаря чему уравнения являются гиперболическими. Определяющие динамическое поведение точек плоского элемента уравнения позволяют предположить, что его деформирование вне области взаимодействия ударника и мишени происходит, в том числе, и за счет распространение с конечными скоростями волн. В качестве методов решения используются методы асимптотических разложений по времени и пространственной координате (лучевой метод), по специальным функциям (цилиндрическим - функциям Бесселя, сферическим - с полиномами Лежандра), по малому параметру вблизи определяемой точки мишени, метод сращивания волнового и контактного решения, а также численный метод линеаризации искомых функций.

Задачи о распространении волн в контактирующих динамическим образом телах впервые рассмотрел Сен-Венан Б.Д. (задача о продольном ударе двух стержней), он учел распространение волн в соударяемых тешах, но не учитывал

1 'и

контактное смятие материалов в месте взаимодеиствия. Ощутимыи вклад в теорию ударного взаимодействия тел с последующей их деформацией за счет колебаний внес Тимошенко С.П. в 1913 г., объединив колебательные движения балки конечной длины с контактной теорией Герца в единую стройную теорию. Зинер С. В 1941 обобщил эту задачу на случай балки бесконечной длины. В дальнейшем теория ударного взаимодействия типа Тимошенко развивалась для

стержней и балок Crook A.W., Yamamoto S.A., Россихиным Ю.А., для пластин -Mindlin R.D., Conway H.D, Lee H.C., Уфляндом Я.С., Кильчевским H.A., Филлиповым А.П., Филлиповым И.Г. Горшковым А.Г., Тарлаковским Д.В., Россихиным Ю.А, Локтевым A.A. Волновой подход к теории ударного воздействия стал возможен благодаря работам Уфлянда 1948 года, Миндлина 1957 и Рейснера в 1945 году, которые при выводе уравнений для плоского элемента учли поперечных сдвиг и инерцию вращения. Полноценная волновая теория динамического контакта была предложена Филлиповым А.П. в 1968 году и получил дальнейшее развитие в последующие годы: были получены результаты решения задач ударного взаимодействия связанных с учетом волновых свойств мишени (Филлипов А.П., Скляр В.Л. 1971), многослойности конструкции пластинки (Choi I.H., Lim С.Н. 2004, Егорычев О.О. 2005), различных форм ударника и методов решения (Россихин Ю.А., Шитикова М.В. 1994), термоупругих свойств ударника (Гонсовский В.Л. и др. 1993), термоупругих свойств мишени (Локтев A.A. 2008), вязкоупругих свойств ударника (Сеницкий Ю.Э. 1982, Локтев A.A. 2007), наличия начальных напряжений на границе пластинки (Филиппов И.Г., Филиппов С.И. 2007, Товстик П.Е. 2008, Локтев A.A. 2010) и т.д.

В работе разработан математический метод моделирования поведения точек твердого тела с учетом волновых процессов при динамическом воздействии, а также с учетом упругих и вязкоупругих свойств ударника, изотропных и анизотропных свойств материала мишени, разработан вычислительный комплекс, который реализует доработанную методику динамического контакта с учетом волновых процессов и строит по полученным

контактной силы и динамического прогиба.

Актуальность исследования.

Настоящая диссертационная работа посвящена математическому моделированию процессов распространения волновых поверхностей в плоском упругом элементе, обладающем анизотропными свойствами. Волновые поверхности появляются в мишени из-за ударного воздействия на нее твердого

аналитическим

графики поведения волновых фронтов,

тела, реологические свойства которого распространяются на зону контакта при непосредственном воздействии ударника. Распространение волновых поверхностей с конечными скоростями становится возможным благодаря использованию волновых уравнений мишени типа Уфлянда-Миндлина-Рейснера, учитывающие деформацию поперечного сдвига и инерцию вращения нормалей к поперечным сечениям, благодаря чему уравнения являются гиперболическими. Определяющие динамическое поведение точек плоского элемента уравнения позволяют предположить, что его деформирование вне области взаимодействия ударника и мишени происходит, в том числе, и за счет распространение с конечными скоростями волн.

В работе разработана модель учета волновых поверхностей в

соударяющихся телах, предложен алгоритм учета различных реологических

свойств взаимодействующих тел, основанный на аналитическом методе

представления неизвестных величин в виде разложений по пространственной

координате и времени, начальных и граничных условиях, конечные интегро-

дифференциальные уравнения решаются с использованием численных методов.

Разработанный алгоритм реализован в виде программного приложения,

который может быть использован широким кругом специалистов.

Необходимость более точного представления о поведении конструкций под

действием нагрузки заставляют проектировщиков и исследователей идти по

пути усложнения математических моделей процессов и объектов. Наиболее

интересными и сложными в математическом моделировании в области

различных инженерно-технических приложений являются задачи

динамического воздействия, рассмотренные многими зарубежными и

отечественными исследователями Abrate, Al-Mousawi, Inoue, Corbett, Backman,

Goldsmith, Cantwell, Morton, Johnson, Jaeger, Richardson, Zhong, Айзикович,

Баландин, Гольдсмит, Джонсон, Кильчевский, Александров, Ромалис, Локтев и

др. Они актуальны как с точки зрения развития фундаментальных разработок,

так и с точки зрения моделирования процессов, происходящих в различных

телах. Учет линейно упругих, вязкоупругих, изотропных и анизотропных

свойств материалов элементов конструкций, подвергающихся динамическому

6

воздействию твердого тела, после чего в первом теле начинают распространяться волновые поверхности, обуславливает более точное представление о характере протекания процесса деформирования, влияние этих свойств не до конца изучено до сих пор. Актуальной является также проблема создания достаточно простой расчетной модели и алгоритмов расчета задач ударного взаимодействия с учетом распространяющихся с конечными скоростями волновых поверхностей, а также их реализация в виде программного приложения.

Работа выполнена в рамках научного направления «Моделирование физических процессов в твердых телах и разработка программных приложений для расчета их параметров» ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)».

Цель исследования. Разработка комплекса математических моделей, численных методов, алгоритмов в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для построения математических моделей распространение волновых поверхностей в плоских телах, реологические свойства которых описываются различными моделями и физическими параметрами, после ударного воздействия.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1) исследование динамического взаимодействия ударника с пластинками с учетом волновых явлений и возможностей современных методов и алгоритмов.

2) разработка математической модели поведения плоских элементов после динамического воздействия при наличии распространяющихся упругих волн.

3) разработка численно-аналитического метода определения волновых характеристик динамического воздействия.

4) изучение влияния изотропных и анизотропных свойств материала пластинки, упругих и вязкоупругих свойств области воздействия на конечные динамические характеристики.

5) реализация предлагаемой модели и алгоритмов в виде вычислительного комплекса, пригодного для использования проектными и научно-

исследовательскими организациями, определение в ходе численного эксперимента точек встречи прямых и отраженных волновых поверхностей.

Методы исследования. В работе использованы методы асимптотических разложений неизвестных величин в ряды по пространственной координате и времени, а также по специальным функциям, методы сращивания решений контактной и волновой задачи, а также методы математического моделирования физических процессов в твердых телах, численные методы линеаризации искомых функций, методы объектно-ориентированного и визуального программирования. Для исследования процесса распространения волн в упругих средах проводилось имитационное моделирование на ЭВМ.

Тематика работы соответствует п.З «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий», п.4 «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента», п.8 «Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования» паспорта специальности 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

Достоверность полученных результатов базируется на корректной математической постановке задач. Полученные в работе численные результаты согласуются с общими физическими представлениями. Правильность полученных результатов определяется корректностью математических выкладок и сопоставлением с известными результатами других авторов.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1) математическая модель поведения волновых поверхностей в плоских телах, основанная на использовании неклассических уравнений и граничных условий и расширенная на определение конечных характеристик вблизи области динамического взаимодействия и на некотором удалении от нее.

2) численный метод определения характеристик динамического

воздействия, учитывающий распространяющиеся волновые поверхности и

8

различные свойства взаимодействующих тел, основанный на непрерывном объединении решений волновой и контактной задачи и использовании итерационной процедуры для линеаризованных функций и обеспечивающий возможность вычисления широкого спектра величин.

3) метод определения точек встречи прямых и отраженных упругих волн, учитывающий многократное отражение волн от границ тела и позволяющий определить точки возникновения экстремальных значений динамических характеристик.

4) структура программного комплекса моделирования и вычисления конечных характеристик динамического взаимодействия с учётом распространения волновых фронтов, отличающаяся гибкой системой взаимодействия программных модулей и реализуемых моделей, позволяющая формировать индивидуальную вычислительную среду для пользователя.

Практическая ценность. Разработанные алгоритмы оценки динамических величин могут быть использованы проектными и научно-исследовательскими организациями в процессе проектирования конструкций, в которых могут распространяться волновые поверхности (плиты перекрытия, оболочечные элементы и т.д.) с целью определения критических точек, нуждающихся в усилении.

Реализация и внедрение результатов исследования. Результаты диссертационного исследования вошли в курс «Прикладная теория колебаний» кафедры «Строительная механика, машины и оборудование» Московского государственного университета путей сообщения.

Апробация. Основные положения и результаты докладывались и обсуждались на Всероссийских научно-практических конференциях «Математика, информатика, естествознание в эконо мике и в обществе» (Москва, 2009 г.,2010 г., 2012 г.), на Всероссийской научно-практической и учебно-методической конференции «Фундаментальные науки в современном строительстве» (Москва 2010, 2012 г.), а также на семинарах Московского государственного университета путей сообщения и Московского финансово-юридического университета.

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 7 печатных работах, из них 4 статей опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателем предложены: [18] - многоуровневая структура расположения и взаимосвязи элементов в составе сложной системы, послужившая прообразом предложенной в диссертации модели распространения волновых поверхностей, [19] - получена система определяющих процесс распространения волн уравнений, определены коэффициенты степенных разложений неизвестных функций, [20] - разработан и реализован алгоритм определения точек пересечения прямых и отраженных волн, [21] - предложен вычислительный алгоритм расчета динамической осадки верхнего строения железнодорожного пути и он же реализован в виде программного приложения,

[22] - реализована модель использования фрактального представления в процессе распространения упругих волн при учете их отражения от границы раздела сред,

[23] - подобраны и обоснованы граничные и начальные условия для решения системы уравнений, реализован алгоритм ее решения в программном виде, [24] -реализован метод определения напряжений в виде программного приложения и оценено влияние анизотропных свойств на конечные величины.

Структура и объём диссертации. Диссертация включает в себя введение, четыре главы, заключение и изложена на 128 страницах машинописного текста, в том числе 4 таблицы, 26 рисунков. Список использованных источников насчитывает 125 наименований.

Краткое изложение диссертации

Во введении обоснована актуальность темы диссертации. Указаны основные цели работы, кратко изложена структура диссертации, охарактеризована ее научная новизна, научная и практическая значимость, тематика работы отнесена с основными положениями паспорта специальности, а также представление результатов различных частей и всей работы в целом научной общественности на конференциях, семинарах и симпозиумах.

В первой главе описывается общая постановка задач распространения волновых поверхностей, зарождающихся после ударного воздействия на плоские тела других твердых тел, рассматриваются начальные и граничные условия, их влияние на процесс решения и используемые методы, приводятся положения основных современных подходов к волновым задачам динамического контакта как с точки зрения фундаментальных исследований по математическому моделированию, так и с точки зрения инженерных приложений в различных отраслях хозяйственной деятельности человека.

Вторая глава посвящена развитию лучевого метода для цилиндрических волн-полосок, которые возникают при динамическом контакте ударника в виде твердого тела и тонкой мишени в виде балки, пластинки или оболочки. Предполагается, что от области контакта ударника и мишени начинают распространяться с конечными скоростями волновые поверхности, при этом рассматривается упругий материал мишени, поэтому скорости волн считаются постоянными. Деформирование самой мишени происходит в том числе и за счет волновых процессов. Получены рекуррентные соотношения лучевого метода для упругой анизотропной пластинки для определения неизвестных величин вблизи области взаимодействия тел. Здесь с точностью до постоянных интегрирования определены также коэффициенты асимптотических разложений неизвестных величин в ряды по полиномам Лежандра, сами же постоянные находятся при помощи их разложений в ряды Лорана вблизи исследуемой точки мишени в следующей главе.

В третьей главе разрабатывается эффективный численный метод для

определения конечных характеристик, зависящих от природы волновых

процессов и | от граничных условий для смежных сред. Вблизи области

появления волновых поверхностей для окончательного определения

динамических величин предлагается срастить результаты решения волновой

задачи и контактной задачи. Данный метод хорошо подходит для описания

деформирования плоской мишени от воздействия ударника с учетом волновых

поверхностей. Выводятся выражения, определяющие напряжения на фронтах

волн в конкретных точках мишени, а также геометрически определяются точки,

И

в которых из-за взаимодействия фронтов различных волн возможно увеличение значений напряжений, а также анализируется поведение характеристик динамического контакта в зависимости от ортотропных свойств материала мишени, т.е. от разных соотношений скоростей упругих волн. Также ставится задача определения возможности возникновения напряжений, сопоставимых с контактными, в других точках мишени за счет взаимодействия большого количества отраженных волн. Процесс распространения волновых поверхностей условно предлагается разделить на четыре этапа.

В главе 4 разработан программный комплекс, реализующий математическую модель распространения волн в упругой среде. Данное программное приложение прошло апробацию на примере изучения волновых процессов в упругой ортотропной пластинке после ударного воздействия твердого тела по ее поверхности. Вычислительный комплекс представляет собой совокупность взаимосвязанных программных модулей, отвечающих за реализацию моделей контактного взаимодействия (вблизи области зарождения волновых поверхностей), волновых процессов (на удалении от первоначально активной области) с учётом взаимодействия прямых и отражённых волн, аналитического метода сращивания частных решений, численного метода определения динамических величин. Комплекс содержит три образующие подсистемы, отвечающие за моделирование волновых процессов, вычисления динамических характеристик, обработки и хранения данных. В зависимости от реальных потребностей исследователя комплекс может быть переконфигурирован для решения только контактных или только волновых задач с минимальными изменениями в модульной структуре, в него могут быть включены новые модули, учитывающие различную геометрическою форму тел, нелинейные свойства материалов, а также условия взаимодействия со сторонними телами и со средой. Комплекс предоставляет большие вычислительные возможности и в тоже время позволяет пользователю проследить влияние того или иного параметра на конечные величины на каждом этапе моделирования и расчета, что отличает его от существующих коммерческих приложений.

ГЛАВА 1. Распространение волновых поверхностей в

твердых телах

1.1 Введение

Механические характеристики большинства материалов могут изменяться под воздействием внешней нагрузки, особенно это касается динамических воздействий, которые приводят к волновым процессам и колебаниям, представляющим собой отдельные явления, распространяющиеся на большие расстояния от области приложения нагрузки. Для описания таких процессов наилучшим образом подходят функции перемещений и напряжений, определяемых вблизи геометрически заданных точек тела или элемента конструкции.

Воздействие на элементы конструкций вибрационных, ударных и иных динамических воздействий приводит к появлению инерционных составляющих, величины которых могут быть сопоставимы с полными значениями перемещений, напряжений, усилий и деформаций возникающих в отдельных точках конструкций или их элементов.

Современные отечественные и зарубежные исследователи при изучении нестационарных процессов в твердых телах используют уравнения линейно упругой, вязкоупругой или упругопластической среды. Динамические уравнения в дифференциальном виде, определяющие поведение точек таких элементов под воздействием нагрузки различных типов, можно получить из стандартных уравнений равновесия параллелепипеда со сторонами с1х, ¿у, dz, построенного вокруг заданной точки элемента конструкции из материала плотностью р.

Удобнее всего записывать такие уравнения равновесия в перемещениях [10,12] относительно декартовых осей координат, связанных с самим элементом, для получения динамических уравнений достаточно приравнять

нулю слагаемые с усилиями и добавить инерционные члены. В этом случае можно придти к дифференциальным уравнениям распространения упругих волн в среде:

ЭА Э2-

и

{1 + С)— + С72и = р , дх д Г

ду Эг

/ „чЭА _2 д 2 XV

Ог + С)— + СУ2н> = р—т Эг Эг

(1.1)

здесь:

V2-

Эи ду дм А = — + — + — Эх ду Эг

оператор

э2 э2

+ —г- оператор Лапласа; ^ =

объёмной УЕ

деформации;

; Е и С - модуль

Эх2 ' ду2 ' Эг2 """" ...... ' л (1 + у\\-2у)'

Юнга и сдвига; у - коэффициент поперечной деформации; и, V, XV - линейные перемещения точек элементов вдоль основных координатных осей Ох, Оу, Ог.

Учитывая, что во многих, практически важных задачах, выбор направления координатных осей зависит во многом от исследователя, то часто можно свести объемную задачу к нескольким (или одной) задачам линейного деформирования, в этом случае можно положить, что перемещения меняются только вдоль одной координатной оси, а вдоль других они равны нулю, т.е. и = и(х, 0; V = XV = 0.

Для такой ситуации можно записать

ди ди Э и ЭД л ЗА _ _2 А = —; — - —-; — — 0; — = 0; V и

дх дх дх ду Эг Эх

Э2и>

д12 дг2 =0.

Подставляя приведенные соотношения в систему определяющих динамических уравнений (1.1), можно увидеть что второе и третье соотношение будут выполняться тождественно, а уравнение под номером один можно записать в следующем виде:

д2и х + 2&д2и

дг

Эх2

= 0.

(1.2)

Рассматривая данное выражение можно ввести новое обозначение С/ , представляющее скорость распространения упругой волны в идеальной среде

С1=л*±™= <!-">* . (1.3)

л1 р Ч(1 + у)(1-2у)р

Решение дифференциального уравнения (1.2) обычно ищется в виде:

2я

= А ■ БШ

\x-Cj)

(1.4)

к

здесь приняты следующие: А - амплитуда колебательного движения, данная величина находится в прямой зависимости от параметров приложения нагрузки и определяется максимальным перемещением точек среды рассматриваемого элемента; /; - длина волны, распространяющейся по выбранному направлению.

Описанные величины позволяют определить период колебаний:

Тх=~. (1.5)

С,

Выражение (1.3) показывает, что скорость расширения продольной волны растяжения-сжатия определяется только механическими свойствами упругой среды.

Аналогичным способом можно рассмотреть расширение и поперечных волн, которые, например, при землетрясениях играют важную роль при разрушении зданий и сооружений. В этом случае, перемещения точек среды возможны только по направлению оси г, т.е. и>= уу(х^); V = и = 0.

Для случая распространения поперечной волны (волны сдвига) характерно выполнение следующих соотношений:

Эи дv дм Л ЭА ЭЛ ЭЛ

2 Э2и> „2 г> Т72 г» „ д2и

Л =—+—+— = 0;— =— = — = 0]У и> = —У у = 0; V ¿<=0; ^- = 0;

дх ду дг дх ду Эг дх2 Э/2 Э?2 =0.

Преобразуя систему определяющих уравнений (1.1) с учетом написанных выше выражений можно увидеть, что первые два уравнения, определяющие движение вдоль координатных осей хну, превращаются в тождества, а последнее дифференциальное уравнение принимает следующий вид:

Здесь можно ввести новое обозначение, определяющее скорость поперечной волны:

С2=—== -• (1.7)

\ 2(1 + у)р

Интересным является тот факт, что соотношение скоростей волн, полностью определяющих механические характеристики материала элемента конструкции, сводятся к выражению, содержащему только коэффициенты поперечной деформации, практическое определение которого на современном этапе развития технологии исследования является достаточно «узким» местом

(1.8)

С2 V 1-2 у

Приведенное соотношение (1.8) говорит о том, что поперечные волны всегда распространяются более медленно, чем продольные. Здесь стоит отметить, что данные выражения записаны только для упругих идеальных сред и не распространяются, например, на материалы с отрицательным коэффициентом Пуассона.

Для решения уравнения (1.6) и определения функции перемещений по оси г в случае наличия только поперечной волны, можно использовать выражение вида

2 ж

0 = В ■ ят

1 (х-С2 О

2

(1.9)

здесь В - амплитудное значение максимального перемещения точки, 12= Т2 ■ - длина волны, Т2 - период поперечных колебаний.

При исследовании упругой среды не содержащей неоднородности из анализа уравнений (1.1) следует, что процессы распространения продольных и поперечных волн являются обособленными и не зависят между собой. Волновая картина распространения возмущений в среде зависит он характера

приложения первоначальной нагрузки и ее изменении во времени, при этом может появляться как один из видов волн, так и их различные комбинации.

Возвращаясь к примеру о землетрясении, можно сказать, что при этом явлении наибольшую опасность представляют поверхностные волны, которые существуют в приграничном слое толщиной соизмеримой с длиной волны. К таким волнам, например, относятся классические волны Релея. Скорость их распространения С? зависит от скорости распространения продольных волн и может быть представлена в виде выражения:

С3=пС2. (1.10)

Множитель п может быть найдет из характеристического уравнения:

.6 о 4

п6-ЫА +8 3-

1-22 _ п -16

1_ 1~2у

2(1 -у)\

= 0. (1.11)

1-у

Приведенное бикубическое уравнение решается в численном виде после подстановки в него значения коэффициента поперечной деформации. Уравнение имеет три пары корней, из которых выбирается наименьшее.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Залетдинов, Артур Вильевич, 2014 год

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Александров В.М. Осесимметричные контактные задачи для упругопластических тел / Александров В.М., Кадомцев И.Г., Царюк Л.Б.// Трение и износ. - 1984. - Т.1, №1. - С. 16-26.

2. Александров В.М. Контактные задачи в машиностроении / Александров В.М., Ромалис Б.Л. // М.: Машиностроение, 1986. - 362 с.

3. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин / Амбарцумян С.А. // -М.: Наука, 1987. - 360 с.

4. Арсеньев-Образцов С.С. Численное моделирование распространения волн в сплошных средах с линейными определяющими соотношениями / Арсеньев-Образцов С.С. // Труды Российского государственного университета нефти и газа им. И.М. Губкина. - 2012. - №3 - С. 13-23.

5. Баженов В.Г. Численные и экспериментальные исследования динамического деформирования и разрушения пластины при локальном нагружении / Баженов В.Г., Ботвинкин А.К., Куканов С.С., Романов В.И., Рябов A.A., Скурихин С.Г. // Вычислительная механика сплошных сред. -2008.-№1.-С. 31-38.

6. Белов H.H. Математическое моделирование процессов динамического разрушения бетона / Белов H.H., Дзюба П.В., Кабанцев О.В., Копаница Д.Г., Югов A.A., Югов Н.Т. // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2008. - № 2.-С. 124-133.

7. Белов H.H. Расчет прочности железобетона на ударные нагрузки / Белов H.H., Кабанцев O.A., Коняев A.A., Копаница Д.Г., Толкачев В.Ф., Югов A.A., Югов Н.Г. // Прикладная механика и техническая фи!ика. - 2006. -Т.47, №6. - С. 165-173.

8. Бирюков Д.Г. Динамический упругопластический контакт ударника и сферической оболочки / Бирюков Д.Г., Кадомцев И.Г. // Прикладная механика и техническая физика. - 2002. - Т.43. № 5. - С. 171-175.

9. Бирюков Д.Г. Упругопластический неосесимметричный удар параболического тела по сферической оболочке / Бирюков Д.Г., Кадомцев И.Г. // Прикладная механика и техническая физика. - 2005. - Т.46. № 1. -С. 181-186.

10. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости / Бленд Д. // - М.: Мир. - 1965. - 199 с.

11. Буренин A.A. К построению приближенных решений краевых задач ударного деформирования / Буренин A.A., Рагозина В.Е. // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2008. - №2. - С. 106-113.

12. ГольдсмитВ. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел / Гольдсмит В. // - М.: Издательство «Литература по строительству». -1965.-448 с.

13. Горельский В.А. Численный анализ соударения разноплотных тел при ударе под углом / Горельский В.А., Зелепугин С.А., Сидоров В.Н. // Известия РАН. Механика твердого тела. - 1999. - №3. - С.45-54.

14. Горшков А.Г. Удар деформируемым цилиндрическим телом по упругому полупространству / Горшков А.Г., Амар Абдул Карим Салман, Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2004. - №3. - С.82-90.

15. Горшков А.Г. Волны в сплошных средах / Горшков А.Г., Медведский A.JT, Рабинский JI.H., Тарлаковский Д.В. // Учебное пособие для ВУЗов. Физматлит, 2004.

16. Горшков А.Г. Плоская задача о вертикальном ударе цилиндрической оболочки по упругому полупространству /Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2000. -№5. - С.151-158.

17. Жданова Т.А. Основы алгоритмизации и программирования: учебное пособие / Жданова Т.А., Бузыкова Ю.С. // - Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос.ун-та, 2011.-56 с.

18. Залетдинов A.B. Комплекс моделей систем физической защиты на основе многоуровневого описания сложных систем / Залетдинов A.B., Хохлачёв Е.В., Рожнов A.B., Алешкивич A.A., Орлов Г.Ю. // Нейрокомпьютеры: разработка и применение. - 2009. - №12. - С.76-82.

19. Залетдинов A.B. Распространение упругих волн в ортотропной пластинке от динамического воздействия ударника / Залетдинов A.B., Локтев A.A. // Дина-мика сложных систем. - 2010. - Т. 4., №3 - С. 39-45.

20. Залетдинов A.B. Определение точек взаимодействия прямых и отраженных волн в пластинке / Залетдинов A.B., Локтев A.A. // Вестник МГСУ. - 2010. - Т.З, №4. - С. 92-98.

21. Залетдинов A.B. Расчет осадки полотна железнодорожного пути от действия

динамической нагрузки с помощью лучевого метода / Залетдинов A.B., Сычева A.B., Локтев A.A. // Нелинейный мир. - 2013. - №11. - С. 67-76.

22. Залетдинов A.B. Математическое моделирование процесса распространения

от точечного источника упругих волн в пластинке с помощью фракталов / За-летдинов A.B., Локтев A.A. // Всероссийская научно-практическая и учебно-методическая конференция «Фундаментальные науки в современном строительстве», 31 марта 2010 г. - М.: МГСУ, 2010. - С. 86 -94.

23. Залетдинов A.B. Моделирование работы железнодорожного полотна при динамическом нагружении / Залетдинов A.B., Сычева A.B., Локтев A.A. // Труды Всероссийской научно-практической конференции «Математика, информатика, естествознание в экономике и обществе», 31 января 2014 г. - М.: МФЮУ, 2014. - С. 195-203. |

24. Залетдинов A.B. Определение напряжений на фронтах ударных волн в ортотропной пластинке / Залетдинов A.B., Локтев A.A., Локтев Д.А. // Двенадцатая межвузовская научно-практическая конференция молодых ученых, докторантов и аспирантов, 15-22 апреля 2009. - М.: МГСУ, 2009. -С. 472-479.

25. Зеленцов В.Б. Нестационарная динамическая контактная задача теории упругости об ударе параболического штампа в упругую полуплоскость / Зеленцов В.Б. // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2006. - №1 - С. 28-46.

26. Зукас Д.А. Динамика удара / Зукас Д.А., Николас Т., Свифт Х.Ф., Грещук Л.Б., Куран Д.Р. // - М.:Мир. - 1985. - 296 с.

27. Иванченко И.И. Динамика мостовых и путевых конструкций при действии железнодорожной подвижной нагрузки / Иванченко И.И. // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2005. - №4. - С. 158-177.

28. Калинин В.В. Анализ возможности экспериментального определения коэффициента пуассона и модуля юнга по скорости продольных волн с использованием цилиндрических образцов / Калинин В.В., В л адов М.Л. // Геотехника. - 2011. - №6 - С. 4-12.

29. Кадомцев И.Г. Осесимметричное упругопластическое соударение двух тел, одно из которых коническое / Кадомцев И.Г. // Известия Северо-Кавказского научного центра высшей школы естественных наук. - 1990. - № 4. - С. 50-54.

30. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Камке Э. // - М.: Главное издательство физико-математической литературы - 1971. - 456 с.

31. Капель Г.И. Исследование механических свойств материалов при ударно-волновом нагружении / Капель Г.И., Разоренов C.B., Уткин A.B., Фортов В.Е. // Известия РАН. Механика твердого тела. - 1999. - №5 - С. 173-188.

32. Кильчевский H.A. Теория соударения твёрдых тел / Кильчевский H.A. // -Киев: Наукова Думка. - 1969. - 246 c.j

33. Кобенко C.B. Моделирование разрушения ортотропной пластины при ударе с использованием различных критериев прочности / Кобенко C.B., Кривошеина М.Н., Радченко A.B. // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2004. - Т. 10, №3. - С. 347-354.

34. Коган А .Я. Взаимодействие колеса и рельса при качении / Коган А.Я. // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2008. - №8. - С. 26-38.

35. Кольский Г. Волны напряжения в твёрдых телах. / Кольский Г. // - М., ГИТТЛ, 1955. - 194 с.

36. Кукуджанов В.Н. Распространение упруго-пластических волн в стержне с учетом влияния скорости деформации / Кукуджанов В.Н. // - М.: ВЦ АН СССР.- 1967.-48 с.

37. Кукуджанов В.Н. Распространение волн в упруговязкопластических материалах с диаграммой общего вида. / Кукуджанов В.Н. // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2001. - №5. - С. 96-111.

38. Кукуджанов В.Н. О динамическом краевом эффекте при продольно-поперечном ударе по упруговязкопластическому полупространству / Кукуджанов В.Н., Левитин А.Л. // Механика твердого тела. - 2003. - № 4. -С. 198-214.

39. Локтев A.A. Волновой подход при расчете плиты на ударное воздействие / Локтев A.A. // Сб. науч. тр. Международной научно-технической конференции «Научная работа в университетских комплексах», Москва: Машиностроение. - 2005. - С. 55-60.

40. Локтев A.A. Упругий поперечный удар по круглой ортотропной пластинке / Локтев A.A. // Письма в журнал технической физики. - 2005. - Т. 31, В.18 - С. 4-9.

41. Локтев A.A. Ударное взаимодействие твердого тела и упругой ортотропной пластинки / Локтев A.A. // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2005 - Т. 11, № 4. - С. 478-492.

42. Локтев A.A. Удар вязкоупругого тела по упругой изотропной пластинке / Локтев A.A. // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2007. -Т. 1,№3.-С. 170-178.

43. Локтев A.A. Ударное взаимодействие вязкоупругого тела и пластинки Уфлянда-Миндлина / Локтев A.A. // Вестник Воронежского государственного университета Серия: Физика. Математика. - 2007. - №1. -С. 167-173.

44. Локтев A.A. Упругопластическая модель взаимодействия цилиндрического ударника и пластинки / Локтев A.A. // Письма в журнал технической физики. - 2007. - Т.ЗЗ, В.16. - С. 72-77.

45. Локтев A.A. Решение задачи ударного взаимодействия твердого тела и сферической оболочки лучевым методом / Локтев A.A., Локтев Д.А. // Вестник Воронежского государственного университета Серия: Физика. Математика. - 2007. - № 2. - С. 128-135.

46. Локтев A.A. Динамический контакт ударника и упругой ортотропной пластинки при наличии распространяющихся термоупругих волн / Локтев

A.A. // Прикладная математика и механика. - 2008. - Т.72, В.4. - С. 652658.

47. Меновщиков В. А. Определение энергии диссипации контактного взаимодействия однородных твердых тел в условиях нестационарного нагружения / Меновщиков В.А., Ереско С.П. // Системы. Методы. Технологии. - 2012. - №3 - С. 26-29.

48. Мокеев В.В. Моделирование вязкоупругого поведения конструкций из композиционных материалов при вибрациях и ударах / Мокеев В.В. // Механика композиционных материалов и конструкций. - 1997. - Т.3,№4. - С. 3-21.

49. Морозов Н.Ф. Динамика стержня при продольном ударе / Морозов Н.Ф., Товстик П.Е. // Вестник Санкт-Петербургского государственного университета. Серия 1: Математика, Механика, Астрономия. - 2009. - №2. - С. 105-111.

50. Новацкий В.К. Волновые задачи теории пластичности./ Новацкий В.К. // -М.: Мир.- 1978.-307 с.

51. Панин В.Е. Нелинейные волновые процессы в деформируемом твердом теле как в иерархически организованной системе / Панин В.Е., Егорушкин

B.Е., Панин A.B. // Физическая мезомеханика. - 2012. - №1 - С. 7-22.

52. Парфенов В.Н. Измерение времени распространения продольных и поперечных акустических волн в твердых телах / Парфенов В.Н., Цыдыпов

Ш.Б., Герман Е.И. // Вестник Бурятского государственного университета. -2013.-№3-С. 136-139.

53. Рагозина В.Е. Эволюционные уравнения для одномерных ударных волн в несжимаемых твердых телах / Рагозина В.Е., Иванова Ю.Е. // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2010. - № 8 - С. 424438.

54. Радченко A.B. Моделирование поведения анизотропных материалов при ударе / A.B. Радченко // Механика композиционных материалов и конструкций. - 1998. - №4 - С. 52-63.

55. Расторгуев Г.И. Идентификация форм импульсов при поперечном ударе по

композитным балкам и пластинам / Расторгуев Г.И., Снисаренко С.И. // Прикладная механика и техническая физика. - 2009. - №.6. - С. 126-133.

56. Россихин Ю.А. К задаче об ударном взаимодействии упругого стержня с пластинкой Уфлянда-Миндлина / Россихин Ю.А., Шитикова М.В. // Прикладная механика. - 1993 - Т. 29, №2 - С. 39-46.

57. Россихин Ю.А. Удар упругого шара по балке Тимошенко и пластинке Уфлянда-Миндлина с учётом растяжения срединной поверхности / Россихин Ю.А., Шитикова М.В.// Известия вузов. Строительство. - 1996. - № 6 - С. 28-34.

58. Россихин Ю.А. Удар шара о нелинейно упругий буфер, установленный на плите перекрытия / Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Локтев A.A. // Известия вузов. Строительство. - 2004. - № 11 - С. 16-22.

:твия колесной пары и свойств грунта / Сычева A.B.

59. (^ычева A.B. Моделирование взаимодей железнодорожного пути с учетом механических // Путь и путевое хозяйство. - 2013. - №12. - С. 75-82.

60. Сычева A.B. Исследование динамических характеристик верхнего строения железнодорожного пути при динамическом воздействии / Сычева A.B., Локтев A.A. // Наука и техника транспорта. - 2013. - №4. - С.64-70

61. Тахо-Годи А.З. Математическое моделирование нестационарных волн напряжений в деформируемых областях с помощью численного метода Мусаева В.К. в перемещениях / Тахо-Годи А.З. // Фундаментальные исследования. - 2013. - №1-1 - С. 159-162.

62. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле / Тимошенко С.П. // - М.: Физматгиз, 1959. - 439 с.

63. Товстик П.Е. Колебания и устойчивость предварительно напряженной пластины, лежащей на упругом основании / Товстик П.Е. // Прикладная математика и механика. - 2009. - Т. 73.В 1. - С. 106-120.

64. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твёрдых телах / Томас Т. -М.: Мир. - 1964. - 308 с.

65. Уфлянд Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин / Уфлянд Я.С. // Прикладная математика и механика. - 1948. - Т.12, №3 - С. 287-300.

66. Филиппов А.П. Поперечный упругий удар тяжелым телом по круглой плите / Филиппов А.П. // Известия РАН. Механика твердого тела. - 1971. -№ 6 - С.102-109.

67. Филиппов А.П. Поперечный удар по стержню при учете инерции вращения и сил перерезывания / Филиппов А.П., Скляр В.А. // Прикладная механика. - 1968. - Т. 4, № 7. - С. 1-7.

68. Филиппов И.Г. Волновые процессы в линейных вязкоупругих средах. / Филиппов И.Г., Егорычев O.A. // - М., Машиностроение, 1983. - 312 с.

69. Abrate S. Impact on laminated composite materials / Abrate S. // Applied Mechanics

Reviews, j 1991. - Vol. 44, № 4 - P. 155-190. j

70. Abrate S. Localized impact on sandwich structures with laminated facing / Abrate S. // Applied Mechanics Reviews. - 1997. - Vol. 50, № 2 - P.69-82.

71. Abrate S. Impact on composite structures / Abrate S. // Cambridge University Press. -1998.-316 p.

72. Abrate S. Modelling of impact on composite structures / Abrate S. // Composite Structures. - 2001. - Vol. 51. - P. 129-138.

73. Achenbach J.D. Note on wave propagation in linear viscoelastic media / Achenbach J.D., Reddy D.P. // Z. Angew. Math. Phys. - 1967. - Vol. 18. - P.

74. Adda-Bedia M. Supersonic and subsonic stages of dynamic contact between bodies / Adda-Bedia M., Smith S.G.L. // Royal Society. P. 1-16.

75. Al-Mousawi M.M. On experimental studies of longitudinal and flexural wave propagations: an annotated bibliography / Al-Mousawi M.M. // Applied Mechanics Reviews. - 1986. - Vol. 39, № 6. - P. 853-864.

76. Backman M.E. The Mechanics of penetration of projectiles into targets / Backman M.E., Goldsmith W. // International Journal of Engineering Sciences. -1978.-Vol. 16-P. 1-99.

77. Balandin D.V. Optimal protection from impact and shock: theory and methods / Balandin D.V., Bolotnik N.N., Pilkey W.D. // Applied Mechanics Reviews. - 2000. -Vol. 53, №9.-P. 237-264.

78. Bassi A. Anomalous elastic-plastic responses to short pulse loading of circular plates / Bassi A., Genna F., Symonds P.S.// International Journal of Impact Engineering. - 2002. - Vol. 28. - P. 65-91.

79. Bazhenov V.A. Numerical investigations of the dynamic processes in vibroimpact

systems in modeling impacts by a force on contact interaction / Bazhenov V.A., Pogorelova O.S., Postnikova T.G., Luk'yanchenko O.A. // Strength of Materials. - 2008. - Vol. 40, N.6. - P. 656-662.

80. Boussinesq J.N. Application Des Potentiels a L'etude De L'équilibré Et Du Movement Des Solides élastiques. / Boussinesq J.N. // Gautheir-Villars, Paris. -

81. Cantwell W.J. e impact resistance of composite materials! - a review / Cantwell W.J., Morton J. // Composites. - 1991. - Vol. 22, № 5. _ P.347-362.

82. Caprino G. Elastic behaviour of cicular composite plates transversely loaded at the center / Caprino G., Langella A., Lopresto V. // Composites Part A: Applied science and manufacturing. - 2002. - Vol. 33. - P. 1191-1197.

141-144.

1885.-P. 464-4

83. Chattopadhyay S. Permanent indentation effects on the impact response of elastic plates / S. Chattopadhyay // Journal of the Acoustical Society of America. - 1987. - Vol. 82, № 2 - P.493-497.

84. Chattopadhyay S. Combined effects on shear deformation and permanent indentation on the impact response of elastic plates / Chattopadhyay S., Saxena R. // International Journal of Solids and Structures. - 1991. - Vol. 27, № 13. - P.1739-1745.

85. Chen J.K. Dynamic large deflection response of composite laminates subjected to impact / Chen J.K., Sun C.T. // Compos. Struct. - 1985. - Vol. 4. - P. 59-73.

86. Chen P. Thickness effect on the contact behavior of a composite laminate indented by a rigid sphere / Chen P., Xiong J., Shen Z. // Mechanics of Materials. - 2008. - Vol. 40. - P. 183-194.

87. Christoforou A.P. Effect of flexibility on low velocity impact response / Christoforou A.P., Yigit A.S. // Journal of Sound and Vibration. - 1998. - Vol. 217, № 7. - P. 563-567.

88. Conway H.D. Impact of an indenter on a large plate / Conway H.D., Lee H.C. // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. - 1970. - Vol. 37, № l.-P. 234-235.

89. Doyle J.F. Experimentally detrimentally the contact force during the transverse impact of an orthotropic plate / Doyle J.F. // Journal of Sound and Vibration. -1987. - Vol. 118, №3. - P.441-448

90. Evans G.R. A new numerical method for the calculation of impact forces / Evans G.R., Jones B.C., McMillan A.J., Darby M.I. // Journal of Physics D: Applied Physics. - 1991. - Vol. 24|, №6. - P.854-858. |

91. Fan Q.-M. A new numerical method to simulate the non-Fourier heat conduction in a single-phase medium / Fan Q.-M., Lu W.-Q. // Intern. J. Heat and Mass Transfer -2002 - Vol. 45, №13. - P. 2815-2821.

92. Fisher H.D. The impact of an elastic sphere on a thin elastic plate supported by a Winkler foundation / Fisher H.D. // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. - 1975. - Vol. 42, №1. - P. 133-135.

93. Ghosh A. Dynamic and impact response of damaged laminated composite plates / Ghosh A., Sinha P.K. // Aircraft Engineering and Aerospace Technology. -2004. - Vol. 76, №1. - P. 29-37.

94. Her S.-C. The finite element analysis of composite laminates and shell structures subjected to low velocity impact / Her S.-C., Liang Y.-C. // Composite structures. -2004. - Vol. 66. - P. 277-285.

95. Huang H.C. Static and dynamic analyses of plates and shells / Huang H.C. // London, Berlin: Springer. - 1989. - 364 p.

96. Inoue H. Review of inverse analysis for indirect measurement of impact force / Inoue H., Harrigan J.J., Reid S.R. // Applied Mechanics Reviews. - 2001. - Vol. 54, №6.-P. 503-524.

97. Karagiozova D. Dynamic buckling of elastic-plastic square tubes under axial impact -1: stress wave propagation phenomenon / Karagiozova D. // International Journal of Impact Engineering. - 2004. - Vol. 30. - P. 143-166.

98. Karagiozova D. Dynamic buckling of elastic-plastic square tubes under axial impact - II: structural response / Karagiozova D., Jones N. // International Journal of Impact Engineering. - 2004. - Vol. 30. - P. 167-192.

99. Kenny S. Finite element investigations on the dynamic plastic buckling of a slender beam subject to axial impact / Kenny S., Pegg N., Taheri F. // International Journal of Impact Engineering. - 2002. - Vol. 27. - P. 179-195.

100. Kukudzjanov V.N. Investigation of shock wave structure in elasto-visco-plastic bar using the asymptotic method / Kukudzjanov V.N.// Archive of Mechanics. — 1981. — Vol. 33, №5.-P. 739-751.

101. Lee L.J.Dynamic responses of composite sandwich plate impacted by a rig|d ball / Lee L.J., Huang K.Y., Fann Y.J. // Journal of Composite Materials. - 1993. - V.27, №13.-P. 1238-1256.

102. Loktev A.A. Non-elastic models of interaction of an impactor and an Uflyand-Mindlin Plate / Loktev A.A. // International Journal of Engineering Science. -2012. - Vol. 50, №1. - P. 46-55.

103. Loktev A.A. Dynamic contact of a spherical indenter and a prestressed orthotropic Uflyand-Mindlin plate / Loktev A.A. // Acta Mech. - 2011. -222 (1-2). - P. 17-25.

104. Malekzadeh K. Higher-order dynamic response of composite sandwich panels with flexible core under simultaneous low-velocity impacts of multiple small masses / Malekzadeh K., Khalili M.R., Olsson R., Jafari A. // International Journal of Solids and Structures. - 2006. - Vol. 43. - P. 6667-6687.

105. Mindlin R.D. Influence of rotary inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates / Mindlin R.D. // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. - 1951. - Vol. 18. - P. 31-38.

106. Mindlin R.D. Influence of rotary inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates / Mindlin R.D., Medick M.A. // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. - 1959. - Vol. 26. - P. 561-567.

107. Mittal R.K. A simplified analysis of the effect of transverse shear on the response of elastic plates to impact loading / Mittal R.K. // International Journal of Solids and Structures. -1987. - Vol. 23, №8. - P. 1191-1203.

108. Mittal R.K. Analysis of impact of a moving body on an orthotropic elastic plate / Mittal R.K., Khalili M.R. // AIAA Journal. - 1994. - Vol. 32, №4. - P. 850-856.

109. MochiharaM. Behaviour of plates in the elastic range under transverse impact / Mochihara M., Tanaka Y. // Research Reports of Kagoshima Technical College -1989.-Vol. 23.-P. 35-44.

110. Olsson R. Mass criterion for wave controlled impact response of composite plates / Olsson R. // Composites Part A. - 2000. - Vol. 31. - P. 879-887.

111. Phillips J.W. Impact of a rigid| sphere on a viscoelastic plate / Phillips J.W., Calvit H.H. // Transaction of the ASME, Journal of Applied Mechanics. - 1967. -Vol. 34, №4.-P. 873-878.

112. Prasad C.B. Response of laminated composite plate to low-speed impact by different impactors / Prasad C.B., Ambur D.K., Starnes J.H. // AIAA Journal. - 1994. - Vol. 32, №6.-P. 1270-1277.

113. Ramkumar R.L., Thakar Y.R. Dynamic response of curved laminated plates subjected to low velocity impact / Ramkumar R.L., Thakar Y.R. // Transactions of the ASME, Journal of Engineering Materials and Technology. - 1987. - Vol. 109. -P. 67-71.

114. ReissnerE. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates / Reissner E. // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. -1945. _Vol. 12. -P.69-77.

115. ReissnerE. Bending and Stretching of certain types of heterogeneous aeolotropic elastic plates / ReissnerE., Stavsky Y. //Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. - 1961. - Vol. 28. - P. 402-409.

116. Rossikhin Yu.A. A ray method of solving problems connected with a shock interaction / Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. // Acta Mechanica. - 1994. - Vol. 102. -P. 103-121.

117. Rossikhin Yu.A. Ray method for solving dynamic problems connected with propogation of wave surfaces of strong and weak discontinuities / Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. // Applied Mechanics Reviews. - 1995. - Vol. 48, №1. - P. 1-39.

118. Rossikhin Yu.A. The ray method for solving boundary problems of wave dynamics for bodies having curvilinear anisotropy / Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. // Acta Mechanica. - 1995. - Vol. 109, №1-4. - P. 49-64.

119. Shivakumar K.N. Prediction of impact force and duration due to low-velocity impact on circular composite laminates / Shivakumar K.N., Elber W., Illg W. // Journal of Applied Mechanics. - 1985. - Vol. 52. - P. 674-680.

120. St.-VenantB.D. Courbes representatives des lois du choc longitudinal et du choc transversal d'une barre prismatique / St-Venant B.D., Ramant. // Journal ecole polytechnique, Paris. - 1889. - Vol. 59. - P. 97-103.

121. Sun C.T. Transient wave propagation in viscoelastic rods / Sun C.T. // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. - 1970. - Vol. 37. - P. 1141-1144.

122. Timoshenko S.P. Zur frage nach der Wirkung eines strosse anf einer balken / Timoshenko S.P. // Zeitschrift fur mathematische Physik. - 1914. - Vol. 62. - P. 198-209.

123. Whitney J.M. Shear deformation in heterogeneous anisotropic plates / Whitney J.M., Pagano N.J. // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. - 1970. -Vol. 37.-P. 1031-1036.

124. Yamamoto S. A study on lateral impact of Timoshenko beam / Yamamoto S., Sato K., Koseki H. // Computational Mechanics. - 1990. - Vol. 6. - P. 101-108.

125. ZenerC. The intrinsic inelasticity of large plates / ZenerC. // Physical Review. -1941. - Vol. 59, №7. - P. 669-673.