Моделирование и исследования соединений с натягом конструкционных элементов бандажных узлов роторов турбогенераторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Кийло, Ольга Леонардовна

• Кийло, Ольга Леонардовна
• кандидат технических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат технических наук Кийло, Ольга Леонардовна

Введение

1. Обоснование выбора метода решения задач теории упругости о посадках с натягом на основе метода конечных элементов

1.1. Определяющие соотношения.

1.2. Принцип возможных перемещений.

1.3. Алгоритм метода конечных элементов

1.3.1. Основная концепция метода конечных элементов

1.3.2. Построение конечно-элементной модели области (дискретизация области).

1.3.3. Построение конечно-элементной модели функции

1.3.4. Определение элементных матриц жесткости и векторов нагрузки.

1.3.5. Формирование глобальной матрицы жесткости и глобального вектора нагрузки.

1.3.6. Решение системы конечно-элементных алгебраических уравнений.

1.3.7. Определение деформаций и напряжений.

1.4. Методы учета линейных ограничений-равенств в симметричных системах линейных алгебраических уравнений

1.4.1. Метод множителей Лагранжа.

1.4.2. Метод штрафных функций.

1.4.3. Метод исключения неизвестных.

1.4.4. Метод Уэбба.

1.4.5. Метод редуцирования глобальных матрицы жесткости и вектора перемещений.

1.4.6. Метод объединения решений.

1.5. Выводы по Главе

2. Конечно-элементное моделирование прессовых соединений с помощью метода штрафных функций

2.1. Структура конечно-элементных матриц ограничений, соответствующих прессовым соединениям.

2.2. Особенности программной реализации. Модифицированный конечный элемент.

2.3. Верификация конечно-элементных алгоритмов.

2.3.1. Посадка втулки на вал.

2.3.2. Запрессовка нескольких круглых шайб в пластину, ограниченную улиткой Паскаля.

2.3.3. Запрессовка круглой шайбы в пластину с переменным натягом.

2.3.4. Запрессовка в круглую пластину шайбы, ослабленной эксцентрическим эллиптическим отверстием

2.4. Конечно-элементное моделирование соединения с натягом бандажного и упорного колец ротора турбогенератора ТЗВ-800

2 с полным водяным охлаждением

2.4.1. Постановка задачи

2.4.2. Трехмерная КЭ модель бандажного узла турбогенератора ТЗВ-800

2.4.3. Оценка достоверности полученных результатов . 69 2.4.3.1. Осесимметричные КЭ модели бандажного узла.

FEA, ANSYS.

2.4.4. Модификации посадочных поверхностей.

2.5. Выводы по Главе

3. Совершенствование метода исследования посадки с натягом бандажного кольца турбогенератора на бочку ротора, основанного на конечно-элементной гомогенизации зубцо-вой зоны ротора 74 3.1. Методика определения эффективных упругих характеристик зубцовой зоны бочки ротора

3.1.1. Эффективные упругие характеристики зубцовой зоны роторов турбогенераторов различных мощностей

3.1.1.1. Турбогенератор ТЗВ-800

3.1.1.2. Турбогенератор ТЗФП-160-2.

3.1.1.3. Турбогенератор ТВВ-1000

3.1.1.4. Турбогенератор ТВВ-320

3.2. Методика определения эффективных теплофизических характеристик зубцовой зоны бочки ротора.

3.2.1. Коэффициент теплопроводности зубцовой зоны

3.2.2. Удельная теплоемкость зубцовой зоны.

3.2.3. Плотность

3.2.4. Эффективные теплофизические характеристики зубцовой зоны роторов турбогенераторов различных мощностей

3.2.4.1. Турбогенератор ТВВ-1000

3.2.4.2. Турбогенератор ТЗВ-800

3.2.4.3. Турбогенератор ТВВ-320

3.3. Эффективные коэффициенты линейного температурного расширения зубцов бочки ротора.

3.4. Выводы по Главе

4. Моделирование процесса посадки и снятия бандажных колец роторов турбогенераторов при высокочастотном индукционном нагреве

4.1. Электромагнитное поле в двухслойном цилиндре.

4.1.1. Аналитическое решение.

4.1.2. Численное решение.

4.1.2.1. Анализ качества КЭ дискретизации.

4.2. Процесс посадки.

4.2.1. Численное моделирование.

4.2.1.1. Электромагнитная задача.

4.2.1.2. Нестационарная задача теплопроводности

4.2.1.3. Задача термоупругости.

4.2.2. Экспериментальные исследования.

4.2.3. Сравнение результатов численного и физического моделирования

4.2.4. Выбор параметров индукционной системы.

4.3. Процесс снятия.

4.3.1. Численное моделирование.

4.3.1.1. Электромагнитная задача.

4.3.1.2. Задача нестационарной нелинейной теплопроводности и контактная задача термоупругости

4.3.2. Экспериментальные исследования.

4.3.3. Анализ результатов экспериментального и численного моделирования.

4.3.4. Необходимость учета контактного взаимодействия бандажного кольца и бочки ротора.

4.4. Выводы по Главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование и исследования соединений с натягом конструкционных элементов бандажных узлов роторов турбогенераторов»

Для современного турбогенераторостроения характерна тенденция ужесточения условий работы турбоагрегатов, заключающихся в увеличении межремонтных периодов и сроков эксплуатации. Выполнение этих условий для фирм-производителей гарантирует конкурентноспособность, а следовательно, возможность получения заказов. В связи с этим повышаются общие требования к надежности энергомашиностроительного оборудования в целом, и, следовательно, к отдельным конструкционным элементам, в частности, бандажного узла турбогенератора — самого нагруженного как в тепловом, так и в механическом отношении элемента конструкции ротора турбогенератора.

Бандажный узел (БУ) ротора турбогенератора состоит из бандажного кольца (поз. 1 на рис. 1) и центрирующего кольца (поз. 2 на рис. 1). Бандажное кольцо (БК) удерживает лобовые части обмотки ротора в радиальном направлении при вращении ротора. Лобовые части прикрываются уложенными на подбандажную изоляцию в два слоя в полнахле-ста медными демпферными сегментами, которые устанавливаются под БК в современных турбогенераторах для повышения термической стойкости торцов ротора в несимметричных режимах и образуют поперечную демпферную систему [53], замыкающую продольную демпферную систему [16]. Центрирующее кольцо (ЦК) удерживает обмотку ротора в осевом направлении при ее тепловом расширении. Кроме того, ЦК обеспечивает сохранение цилиндрической формы БК и центрирует его относительно оси вала ротора.

Сопряжение деталей БУ осуществляется горячей посадкой с натягом. По количеству посадочных мест на роторе различают два основных типа бандажей — однопосадочный (рис. 1 а) и двухпосадочный (рис. 1 б, в). Кроме того, за последние годы получила распространение консольная посадка роторных бандажей (рис. 1 г). В этом случае ЦК называется упорным кольцом (УК). При однопосадочной конструкции БК имеет посадку только на ЦК, которое в свою очередь посажено на вал ротора. В этом случае носик бандажа имеет возможность свободно перемещаться в радиальном и осевом направлениях относительно бочки ротора из-за прогиба вала. Величина этих перемещений зависит от величины прогиба участка вала между торцами бочки и подшипником и от длины и диаметра бандажного кольца. При определенных значениях перемещений носика возможны разрушения подбандажной изоляции и верхних витков обмотки ротора. Поэтому область применения однопосадочных отставленных бандажей весьма ограничена.

Рис. 1. Конструкции бандажных узлов. 1 — бандажное кольцо; 2 -— центрирующее (упорное) кольцо; 3 — ротор; 4 — лобовая часть обмотки ротора

При двухпосадочной конструкции БК имеет посадку на ЦК и на торец бочки ротора, в которой выфрезерованы продольные пазы, образующие систему зубцов ротора. Таким образом, БК своим носиком крепится горячей посадкой к роторным зубцам.

Исследованию двухпосадочных бандажных узлов посвящены работы [28], [35], [47], [48], которые были инициированы, в первую очередь, проблемами, возникавшими в процессе эксплуатации генераторов в соединениях бандаж-ротор, бандаж-центрирующее кольцо, центрирующее кольцо-ротор. Дело в том, что при двухпосадочных бандажах с жестким ЦК возможно нарушение посадки кольца на бочку ротора из-за неизбежного в эксплуатации постоянного изменения (деформации) линии вала ротора и смещения края бандажного кольца относительно торца бочки. Это сопровождается нарушением электрического контакта между бандажным кольцом и бочкой, возникновением искрения при несимметрии токов статора, разогревом и ожогом посадочных поверхностей, появлением следов побежалости, выгоранием материалов и повреждением бандажных колец, сколом посадочных мест зубцов бочки ротора [44], а также возникновением фреттинг-повреждений [80] посадочных поверхностей. Для уменьшения передачи изгибных деформаций вала на БК иногда применяют эластичные (Z-образные) ЦК (рис. 1 в). Однако и в этом случае двухпо-садочная конструкция бандажа не удовлетворяет требованиям надежности для мощных турбогенераторов. По результатам работы генераторов двухпосадочная конструкция бандажных узлов была признана неудачной и предприятие-изготовитель (ОАО "Электросила") перешло к производству турбогенераторов с консольным исполнением бандажных узлов (рис. 1 г). Двухпосадочная конструкция с посадкой центрирующего кольца на вал сохраняется только лишь у ранее выпущенных генераторов и по возможности подвергается модернизации при очередных плановых ремонтах агрегатов [3], [15]. Для консольной конструкции, хорошо выполненной, при условии достаточно плотной посадки элементов конструкции и закрепления бандажа на роторе соответствующим замком (кольцевой шпонкой или гайкой), вероятность описанных повреждений практически исключается. Нарушение же плотности соединения деталей БУ может также привести к смещению масс и, как следствие, к ухудшению вибрационного состояния машины, а в некоторых случаях даже к тяжелым авариям. Поэтому на стадии проектирования необходимо проводить тщательный анализ напряженного и деформированного состояния элементов БУ с целью обеспечить плотное соединение деталей БУ прежде всего на рабочей частоте вращения, а также при испытаниях ротора на угонную частоту вращения.

На основе традиционных методик [23], [67] расчетных исследований БК рассматривают как оболочку постоянного сечения, деформируемую под действием собственных центробежных сил, равномерно распределенного по внутренней поверхности Б К давления от действия центробежных сил, создаваемых лобовой частью обмотки ротора, и под действием сил от посадки БК на ЦК и на бочку ротора, приложенных к краям оболочки. При этом посадочные усилия определяются на основе податливостей БК и ЦК, вычисленных по простейшим схемам изгиба и растяжения колец и оболочек без учета их сложной пространственной геометрии. Кроме того, напряжения и деформации в ЦК определяются на основе схемы изгиба кольца при предположении, что сечение кольца остается недеформирован-ным. Таким образом, используемая методика не дает реальной картины деформаций ЦК и БК, а также характера распределения контактного давления по посадочным поверхностям, которые очень важны для определения посадочных натягов, величины которых значительным образом сказываются на упрощении или усложнении технологии посадки с натягом, а также на надежности работы соединения в процессе работы генератора.

В силу недостатков, присущих используемой методике расчетных исследований БУ турбогенераторов, совершенствованию методов исследования соединения посадкой с натягом БК и бочки ротора всегда уделялось большое внимание. Так в работах [14], [19], [75] выполнен анализ соединения с натягом БК и бочки ротора турбогенератора с помощью метода решения контактных задач, предложенного В.М.Фридманом и В.С.Черниной [74]. В [14], [19], [75] в процессе исследования соединения БК и бочки ротора применен подход, развитый в [18], основанный на численном определении функций влияния (податливостей тел) на площадках контакта с помощью метода конечных элементов (МКЭ) [86]. Исследования в этих работах проводились на базе осесимметричной модели БУ. Переход к осесимметрич-ной модели осуществлялся на основе введения эффективного цилиндра, моделирующего зубцовую зону ротора и обладающего некоторыми эффективными механическими характеристиками. Таким образом, в ходе решения задачи применялась процедура гомогенизации — процедура приведения неоднородной структуры зубцовой зоны к однородной анизотропной структуре. Результаты исследований, приведенные в указанных работах, показали, что существует возможность образования зазора между бандажом и бочкой ротора у носика бандажного кольца не только в процессе работы генератора, но и и в режиме покоя. На основе полученных результатов и обнаруженного явления отрыва сопрягаемых деталей на части посадочной поверхности сделан вывод об эффективности использования ступенчатой конфигурации посадочного места. Вместе с тем, в указанных работах отмечено, что ".существенное влияние на распределение зон контакта-отрыва оказывает отношение податливостей контактирующих тел". Однако, достаточно обоснованный подход к определению эффективных упругих характеристик или податливости зубцовой зоны в названных работах отсутствует.

Относительно соединения БК и УК можно констатировать, что после окончательного утверждения консольной конструкции БУ исследования данного соединения проводились лишь с целью выбора посадочного натяга, а вопрос о характере распределения контактных давлений по посадочным поверхностям БК и УК до сих пор оставался открытым, хотя являлся не менее важными с точки зрения плотности соединения.

Отметим, что проводимые до сих пор исследования были ориентированы на обеспечение надежной работы БУ. Наряду с этим надежность конструкции может быть гарантирована только при условии качественной сборки конструкционных элементов с помощью современных технологий. В [73] отмечено, что "сегодня можно уверенно прогнозировать не только грядущее увеличение спроса на электрогенерирующее оборудование, но и безусловное предпочтение Заказчиком среди этого оборудования такого, которое будет обладать самыми высокими и в то же время самыми экономичными эксплуатационными характеристиками. Это резко повысит значение фактора технологической оснащенности предприятий, производящих электрические машины". Примером технологического перевооружения может служить технология посадки и снятия бандажных колец

В настоящее время общеизвестны и применяются технологии горячей посадки и снятия бандажных колец с помощью внешних нагревательыых элементов, таких как керосиновые или газовые горелки [20]. Однако, в этих случаях чрезвычайно трудно обеспечить равномерный нагрев бандажей без местных перегревов и в связи с этим нагрев немагнитных бандажей открытым пламенем запрещен [63]. Более эффективными и безопасными являются методы индукционного нагрева и нагрева ТЭН-технологиями (тепло-электронагревателями). Современная технология сборки и разборки бандажных узлов роторов турбогенераторов в отечественном электромашиностроении базируется на индукционном нагреве на частоте 50 Гц [20], [71], [72]. Данная операция основывается на нагреве и тепловом расширении бандажей таким образом, чтобы внутренний диаметр насаживаемой детали превосходил внешний диаметр внутренней детали на величину диаметрального натяга с некоторым технологическим зазором. В свою очередь величина технологического зазора должна предусматривать как зазор, необходимый для свободного снятия внешней детали, так и тепловое расширение внутренней детали, которое может быть вызвано ее нагревом через контакт с бандажом, а в процессе индукционного нагрева также за счет непосредственного нагрева токами, индуктируемыми магнитным полем, проникающим в подбандажное пространство.

Технология индукционного нагрева бандажных колец токами промышленной частоты имеет следующие существенные недостатки:

• нагрев подбандажных элементов (демпферных сегментов и зубцов бочки ротора) вследствие проникновения низкочастотного электромагнитного поля через бандажное кольцо в бочку ротора, который приводит к подгару подбандажной изоляции и вызывает тепловое расширение зубцов бочки, препятствующее свободному снятию бандажных колец;

• повреждение контактирующих поверхностей бандажного кольца, зубцов бочки ротора и демпферных сегментов за счет протекания через точечные контакты токов, индуктированных магнитным полем промышленной частоты, проникающим в подбандажное пространство;

• громоздкость и энергоемкость оборудования.

Перечисленные недостатки послужили причиной поиска альтернативных методов нагрева и разработки более совершенной технологии, основанной на высокочастотном (ВЧ) индукционном нагреве, при котором вследствие малой глубины проникновения электромагнитного поля [37], [49], во-первых, тепло выделяется только в узком поверхностном слое бандажного кольца и, во-вторых, устраняются электроэрозионные повреждения БК, медных сегментов и зубцов бочки ротора. При условии создания индукционной системы с параметрами, при которых достигается необходимое тепловое расширение посадочных поверхностей без превышения допустимых температур и термомеханических напряжений, данная технология представляется чрезвычайно перспективной. Отметим, что до настоящего времени в отечественной энергомашиностроительной промышленности бытовало мнение, что высокочастотный индукционный нагрев неприменим для данной технологической операции [63]. Такое мнение, по-видимому, было, в первую очередь обусловлено общепринятым заблуждением, что поверхностный нагрев может привести к недопустимым уровням градиентов температур и термомеханических напряжений, вызывающих растрескивание колец.

Таким образом, все выше сказанное свидетельствует об актуальности работы по совершенствованию методов исследования соединений с натягом конструкционных элементов бандажных узлов турбогенераторов, а также обоснованию принципиальной возможности применения высокочастотного индукционного нагрева для технологических процессов посадки и снятия роторных бандажей.

Методы исследований. Соединения с натягом и запрессовка деталей широко распространены в машиностроении. В силу их важности в настоящее время разработан ряд аналитических и численных методов исследования таких соединений. Параллельно с развитием теории расчета прессовых соединений развивались и экспериментальные методы решения рассматриваемой задачи. Основные экспериментальные результаты получены поляризационно-оптическим методом [28], [58], [59]. Наиболее полный обзор аналитических методов решения контактных задач представлен в [55].

Самые ранние работы, основанные на аналитических методах исследований распределения давления по посадочной поверхности деталей, сопряженных тугой посадкой, датированы 40-50 годами прошлого века. В этих работах принималась гипотеза о равномерном распределении давления по площадке контакта. Шапиро Г.С. [76], например, решил задачу о сжатии бесконечного длинного полого цилиндрического вала нагрузкой, приложенной на кольцевом участке боковой поверхности вала. Влияние на вал тугопосаженной втулки в работе Ренкина [114] было приближенно учтено с помощью использования результатов решения задачи Ламе, из которого определялась средняя величина давления путем вычисления усредненного радиального перемещения на участке поверхности сплошного вала под действием равномерной нагрузки. Таким образом, определялось лишь среднее значение контактных напряжений, тогда как наиболее интересным является их распределение. В работах П.З.Лившица [40], [41] в рамках теории упругости получены конечные значения контактных напряжений и коэффициента концентрации напряжений у незакругленного края насаживаемой втулки. Т.А. Воронин [17] рассмотрел распределение напряжений под абсолютно жесткими втулками. Теория тугой посадки абсолютно жестких втулок и результаты опытов были применены им для решения задач тугой посадки упругих втулок. Изменение радиальной деформации поверхности вала в зависимости от осевой координаты определялись экспериментально .

Одной из первых работ, посвященной исследованиям с помощью метода конечных элементов напряжений при напрессовке короткой втулки на вал бесконечной длины, является работа Парсонса (В. Parsons) и Уил-сона (Е.А. Wilson) [52]. Авторы предложили использовать МКЭ для определения жесткостных характеристик втулки путем вычисления коэффициентов влияния в узлах, расположенных на внутренней поверхности КЭ модели втулки; для определения жесткости вала применен классический метод теории упругости, основанный на работах А.И.Лурье [42].

Решение задачи о посадке втулки на вал конечной длины дано в работе Г.Б.Иосилевича и Ю.В.Лукащука [27], которая является развитием метода, разработанного в [52]. Описываемый метод позволяет учесть обжатие микронеровностей шероховатой поверхности путем введения условного контактного слоя, податливость которого принимается из работы [38]. Применение указанных двух методов ограничено исследованием только осесимметричных деталей.

И.Е.Семеновым-Ежовым и В.И.Старшининым [60] была предложена методика КЭ исследований напряженного состояния в деталях при их запрессовке. Авторы предложили моделировать натяг в соединении температурным перепадом на посадочном контуре. При этом наличие запрессованных шайб никак не учитывалось.

Для задач запрессовки общий аналитический метод на основе методов плоской теории упругости, разработанных Г.В.Колосовым и Н.И.Мусхели-швили, был предложен Д.И.Шерманом [77], а решения ряда задач были получены Д.И.Шерманом [78], Н.Д.Тарабасовым [64], А.Г.Угодчиковым [68], [69]. Эти работы посвящены анализу напряженного состояния деталей, не обладающих осевой симметрией, но занимающих односвязную область, на которую может быть отображен круг с помощью функции, представляющей собой многочлен. Очевидно, что данный подход решения задач запрессовки применим только для областей, для которых существует аналитическая отображающая функция. Для реальных же конструкционных элементов не всегда возможно подобрать такую функцию и даже в тех случаях, когда это сделать удается, исследования с помощью методов, основанных на применении сложного математического аппарата — теории функций комплексной переменной, оказываются математически сложными и громоздкими, что, не умаляя важности данного метода для теоретических изысканий, снижает практическую его ценность для реальных инженерных исследований. Поэтому для инженерных работ, требующих на стадии проектирования конструкций выполнение многопараметрических и многовариантных расчетов, более целесообразно применять численные методы.

В настоящей работе все численные исследования выполнены с помощью МКЭ, одного из самых мощных и эффективных современных численных методов решения разнообразных задач механики конструкций. Этот метод универсален и позволяет учитывать сложную геометрию конструкционных элементов, реальные внешние воздействия, нелинейные свойства конструкционных материалов, а также взаимодействие конструкционных элементов. Некоторые оценки в диссертационной работе получены на основе аналитического решения дифференциальных уравнений. Наряду с вычислительными экспериментами выполнен также ряд экспериментальных работ по посадке и снятию бандажных колец.

Достоверность результатов, выводов и рекомендаций определяется строгостью используемого в работе математического аппарата; использованием обоснованного современного численного метода — метода конечных элементов; сравнительным анализом результатов, полученных в ходе данной работы, с теоретическими и экспериментальными данными.

В Главе 1 рассмотрены теоретические вопросы построения КЭ матриц для решения задач упругости гетерогенных анизотропных сред, а также проведен сравнительный анализ методов решения систем линейных уравнений с ограничениями-равенствами, учет которых необходим в задачах о посадке с натягом.

В Главе 2 подробно рассмотрена структура КЭ матриц ограничений [10], [29], [30], соответствующих условию посадки с натягом; пояснены особенности программной реализации КЭ алгоритмов, основанных на методе штрафных функций; разработанное программное обеспечение верифицировано на основе сопоставления результатов теоретических и экспериментальных исследований, приведенных другими авторами. И, наконец, с помощью разработанного программного обеспечения выполнены КЭ исследования трехмерного напряженного и деформированного состояния соединенных с натягом бандажного и упорного колец турбогенератора ТЗВ-800-2 [12], [13], [29], [31], [32].

В Главе 3 усовершенствован подход, развитый в работах [14], [75], основанный на предположении, что при условии равномерного расположения зубцов по окружности бочки ротора зубцовая зона может моделироваться кольцевой областью (цилиндром) с некоторыми ортотропными характеристиками [33]. Заметим, что для турбогенераторов, выпускаемых в настоящее время ОАО "Электросила", в которых применена система продольных пазов с целью выравнивания изгибной жесткости ротора [5], [51], это условие практически выполнено. В рамках развиваемого в данном разделе подхода — сведения неоднородной структуры зубцовой зоны ротора к однородной структуре и таким образом упрощения существенно трехмерной задачи до осесимметричной, вводятся также некоторые эффективные (эквивалентные) термомеханические и теплофизические свойства зубцовой зоны, которые необходимы для моделирования соединений с натягом БК и зубцов ротора при работе генератора, а также технологической операции посадки и снятия бандажных колец.

В Главе 4 проведен сравнительный анализа технологий посадки и снятия БК, основанных на индукционном нагреве токами промышленной и высокой частоты, а также пояснены недостатки, присущие применяемой в настоящее время технологии нагрева токами промышленной частоты. Проведены исследования экспериментального и теоретического характера для подтверждения принципиальной возможности применения высокочастотного (поверхностного) индукционного нагрева бандажных колец роторов турбогенераторов, а также разработана методика численного моделирования процессов посадки и снятия бандажных колец при ВЧ индукционном нагреве для определения необходимых параметров индукционной системы [25], [26], [45]. Необходимость разработки методики обусловлена широкой номенклатурой выпускаемых и эксплуатируемых турбогенераторов, а также разнообразием конструкций бандажных узлов. Численное моделирование позволит в каждом конкретном случае быстро и эффективно без проведения трудоемкого и дорогостоящего натурного эксперимента определить оптимальные параметры индукционной системы для нагрева конкретного БК, а именно, мощность источника питания, частоту тока, ширину индуктора и место его расположения, а также время нагрева, достаточное для достижения необходимого расширения посадочных поверхностей, без превышения максимально допустимых температур.

Отметим, что на момент проведения исследований (1996-1997 гг.), изложенных в Главе 2, отечественные энергомашиностроительные компании и НИИ не имели возможности проводить расчеты с помощью лицензионных программных КЭ комплексов, позволяющих решать сложные трехмерные задачи теории упругости. Поэтому исследования, выполненные с помощью разработанных автором КЭ алгоритмов, интегрированных в систему КЭ анализа "FEA" [8], [90], созданную на кафедре "Механика и процессы управления" в лаборатории " Вычислительная механика" Санкт-Петербургского государственного политехнического университета, являлись уникальными. Уникальность и научная новизна этой работы заключалась в том, что впервые в инженерной практике были проведены исследования данной конструкции, обладающей сложной пространственной геометрией. Созданная пространственная КЭ модель отличалась высокой степенью подробности, а размерность решенной системы линейных уравнений (757104 неизвестных) не имела аналогов. По результатам исследований внесены изменения в рабочие чертежи БУ вновь проектируемых турбогенераторов: изменена конфигурация посадочных мест конструкционных элементов. Наряду с этим, впервые в отечественной инженерной практике выполнено численное моделирование и исследование технологических процессов посадки и снятия бандажных колец, основанных на высокочастотном индукционном нагреве. На основе полученных результатов были сделаны выводы об эффективности данного метода нагрева и даны конкретные рекомендации по выбору оптимальной частоты, а также энергетических и геометрических параметров индукционной системы. Сформулированные рекомендации взяты за основу при проектировании промышленной установки высокочастотного индукционного нагрева.

Основные результаты диссертационной работы были представлены на:

1. II международной конференции "Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности металлоконструкций и методы их решения" (С.-Петербург, 1997);

2. International Conference "Tools for Mathematical Modelling" (MathTools' 97) (St.-Petersburg, 1997);

3. Научно-технической конференции "Фундаментальные исследования в технических университетах" (С.-Петербург, 1998);

4. Международной молодежной научной конференции "XXV Гагарин-ские чтения" (Москва, 1999);

5. Научно-технической конференции "Фундаментальные исследования в технических университетах" (С.-Петербург, 1999);

6. Научно-техническом совете специалистов ОАО "Электросила" (С.Петербург, 2000);

7. Конференции молодых специалистов электроэнергетики - 2000 (Москва, 2000);

8. Научно-техническом совете специалистов ОАО "Электросила" (С.Петербург, 2001);

9. Научно-техническом совете специалистов ОАО "Электросила" (С.Петербург, 2002);

10. Международной научно-практической конференции "Электроэнерго -2002" (С.-Петербург, 2002).

Всего по теме диссертации опубликовано 12 печатных работ. Основные результаты и защищаемые положения диссертации отражены в публикациях [10], [12], [13], [25], [26], [29], [30], [31], [32], [33], [45], [90].

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Кийло, Ольга Леонардовна

4.4. Выводы по Главе

1) Разработанные конечно-элементные модели индукционной системы для расчета электромагнитного и нестационарного теплового поля, а также полей перемещений, деформаций и напряжений, возникающих в бандаже и зубцах ротора турбогенератора, сделали возможным детальное изучение процессов посадки и снятия бандажа. Сравнение результатов численного моделирования и экспериментального исследования на примере роторов турбогенераторов ТВВ-1000-2, ТВВ-320-2 свидетельствует об их хорошем соответствии.

2) На основе разработанных КЭ моделей проведены многовариантные исследования зависимости режимов нагрева и теплового расширения бандажных колец от параметров индукционных систем, которые позволили определить наиболее эффективные параметры, а именно, мощность источника питания, частоту тока, ширину индуктора и место его расположения, а также время нагрева, достаточное для достижения необходимого расширения посадочных поверхностей, без превышения максимально допустимых температур.

3) Выполненные исследования показали, что градиенты возникающих в бандажах температур и напряжений, не представляют опасности с точки зрения теплового и термонапряженного состояния бандажных колец.

4) Расчетно-теоретическое исследование распределения индукционных токов в бандажном узле позволило определить минимально допустимые частоты для нагрева бандажных колец различной толщины. Для стальных немагнитных бандажных колец толщиной от 40 до 85 мм эти частоты находятся в диапазоне от 8 до 1,5 кГц.

5) Результаты математического и полномасштабного физического моделирования электромагнитных, тепловых и механических процессов, протекающих при высокочастотном индукционном нагреве бандажных колец роторов турбогенераторов, позволяют квалифицировать этот способ нагрева как весьма перспективным для технологии горячей посадки и снятия

О 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 Z, MM 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 Z, MM a) 6)

Рис. 4.30. Изменение контактных площадок в процессе снятия бандажного кольца турбогенератора ТВВ-1000-2 при различных ширинах индуктора: a) L инд = 200 мм, б) -£Инд = 150 мм t, мин 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

0 10 20 30 40 50 Z, ММ

Рис. 4.31. Изменение контактных площадок в процессе снятия бандажного кольца турбогенератора ТВВ-1000-2 без учета изменения теплового взаимодействия конструкционных элементов бандажных колец.

8) Результаты проведенных исследований явились основанием для разработки промышленной установки высокочастотного индукционного нагрева бандажных колец роторов турбогенераторов.

Заключение

Основные научные и практические результаты диссертационной работы заключаются в следующих положениях.

1. Выполнен сравнительный анализ имеющихся подходов для учета ограничений-равенств, возникающих при конечно-элементном решении задач о посадках с натягом, на основе которого показаны преимущества метода штрафных функций, а именно, простота реализации, компактность схемы хранения информации, возможность внедрения в существующие программные конечно-элементные системы благодаря сохранению порядка системы линейных уравнений, а также сохранению симметричности и положительной определенности матрицы жесткости. Наряду с этим обращено внимание на особенность метода штрафных функций — необходимость выбора и контроля значений штрафных коэффициентов с целью избежать потери точности решения.

2. Разработаны структура КЭ матриц ограничений и алгоритмы расширения КЭ матриц жесткости и векторов нагрузки на основе метода штрафных функций, а также выполнена их программная реализация. Созданное программное обеспечение для решения плоских и пространственных задач о посадках с натягом верифицировано и внедрено в программную систему конечно-элементного анализа FEA, разработанную в лаборатории "Вычислительная механика" кафедры "Механика и процессы управления" Санкт-Петербургского политехнического университета.

3. Впервые в инженерной практике исследовано пространственное напряженное и деформированное состояние соединенных с натягом бандажного и упорного колец турбогенератора ТЗВ-800-2 с полным водяным охлаждением в режиме покоя и в номинальном режиме работы генератора.

4. В ходе численных исследований обнаружено образование зазора на части посадочной поверхности сопряженных с натягом конструкционных элементов бандажного узла турбогенератора ТЗВ-800-2.

5. Выработаны рекомендации по изменению конструкции бандажного узла турбогенератора ТЗВ-800-2 с полным водяным охлаждением с целью устранить разъединение элементов конструкции на части посадочной поверхности.

6. Разработана методика вычисления эффективных механических и теплофизических характеристик ортотропного цилиндра, моделирующего зубцовую зону ротора, на основе которой трехмерная задача о посадке бандажного кольца на бочку ротора турбогенератора сводится к осесимметричной постановке. Осесимметричная конечно-элементная модель позволяет быстро и эффективно проводить многовариантные исследования напряженного и деформированного состояния бандажного узла турбогенератора в процессе определения оптимальных параметров конструкционных элементов.

7. Выполнены исследования соединений с натягом бандажных колец и роторов турбогенераторов ТВВ-1000-2, ТЗВ-800-2, ТВВ-320-2, ТЗФП-160-2, на основании результатов которых внесены изменения в конфигурацию посадочного места ротора турбогенератора ТВВ-1000-2.

8. Разработаны осесимметричные конечно-элементные модели для исследования процессов посадки и снятия бандажных колец роторов турбогенераторов при высокочастотном индукционном нагреве.

9. Разработана методика и программа экспериментальных работ по высокочастотному индукционному нагреву бандажных колец роторов турбогенераторов. Совместно со специалистами Санкт-Петербургского электротехнического университета "ЛЭТИ" созданы экспериментальные установки высокочастотного индукционного нагрева бандажных колец роторов турбогенераторов. Проведены экспериментальные исследования процессов посадки и снятия бандажных колец. На основании сравнительного анализа экспериментальных результатов, а также результатов численных исследований, верифицированы созданные конечно-элементные модели.

10. По результатам численного моделирования даны рекомендации относительно выбора оптимальных параметров индукционных систем, а именно, требуемой мощности источника питания, ширине и месте расположения индуктора, времени нагрева, частоте тока, которые взяты за основу при проектировании промышленной установки высокочастотного индукционного нагрева.

11. Результаты проведенных в работе численно-теоретических и экспериментальных исследований являются обоснованием перспективности применения высокочастотного индукционного нагрева для технологических операций посадки и снятия бандажных колец роторов турбогенераторов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Кийло, Ольга Леонардовна, 2003 год

1. Авдеев И.В., Кийло O.JI. Конечно-элементное моделирование краевых эффектов в конструкциях, состоящих из многослойных стержней // XXV Гагаринские чтения: Тез. докл. международной молодежной научной конференции. Москва, 1999. - С. 201.

2. Авиационные материалы. Справочник в 9 томах. Том 2: Коррозионные и жаростойкие стали и сплавы / Под общей ред. А.Т.Туманова.- М.: ОНТИ, 1975.

3. Азбукин Ю.И., Аврух В.Ю. Модернизация турбогенераторов. М.: Энергия., 1980. - 232 с.

4. Айронс Б.М., Дрейпер К.Дж. Применение лагранжевых множителей при исследовании конструкции // Ракетная техника и космонавтика.- 1965. Т. 3. - № 6. - С. 234-236.

5. А. с. 502448 (СССР). Ротор турбогенератора / Авт. изо-брет. В.И.Иогансен, И.А.Кади-Оглы, П.И.Чашник, В.П.Чернявский, Г.В.Шкода; МКИ Н 02 к 1/28; Опубл. Открытия. Изобретения. Промышленные образцы. Товарные знаки, 1976. № 5.

6. Бахтияров И.А., Ширалиев В.А. Напряженное состояние плоских деталей, соединенных с натягом // Расчёты на прочность. М.: Машиностроение, 1985. - Вып 26. - С. 69-79.

7. Борисенко Д.И., Данько В.Г., Яковлев А.И. Аэродинамика и теплопередача в электрических машинах. М.: Энегия, 1974. - 560 с.

8. Боровков А.И. Вычислительная система конечно-элементного анализа FEA. Принципы построения, структура и организация // М.: Изд-во ВИНИТИ. 06.08.85. № 5854-85. - 1985 (0.08.85). - 35 с.

9. Боровков А.И. Моделирование и конечно-элементный анализ композитных структур энергоагрегатов: Дис. . канд. техн. наук. / Ленинградский политехнический институт. Л., 1985. - 310 с.

10. Боровков А.И., Кийло O.JI. Конечно-элементное моделирование посадки с натягом методом штрафных функций // Фундаментальные исследования в технических университетах: Тез. докл. научно-технической конференции. С.-Петербург, 1998. - С. 43-44.

11. Боровков А.И., Кийло О.Л. Метод штрафных функций в h- и р-вариантах МКЭ // Фундаментальные исследования в технических университетах: Тез. докл. научно-технической конференции. С.Петербург, 1998. - С. 44-45.

12. Брынский Е.А., Глазенко А.В. Термоупругие деформации бандажных узлов мощных турбогенераторов // Исследования и разработки генераторов для перспективных электростанций. Л.: ВНИИЭлек-тромаш, 1987. - С. 130-139.

13. Булатпкин В.А., Гурьев И.Я., Семкин P.M. Ремонт роторных бандажей турбогенераторов. М.: Энергия, 1973. - 96 с.

14. Волъдек А.И. Электрические машины. Л.: Энергия, 1974. - 840 с.

15. Воронин Т.А. Определение контактных напряжений, возникающих при тугой посадке втулок на вал: Автореф. дис. . канд. техн. наук / Московский энергетический институт. М., 1956. - 16 с.

16. Глазенко А.В., Хозиков Ю.Ф. Решение контактной задачи посадки бандажного кольца на бочку ротора турбогенератора // Электрические машины и системы управления. J1.: ВНИИЭлектромаш, 1973. - С. 21-24.

17. Глебов И.А., Данилевич Я.Б. Научные основы проектирования турбогенераторов. JL: Наука, 1986. - 184 с.

18. Григорьев П.М., Курнаков С.Н. Нагрев роторных бандажей турбогенераторов током промышленной частоты // Энергетик. 1962. -№ 12. - С. 19-20.

19. Грин Б.И. Использование обобщенных условий сопряжения при расчетах конструкций методом жесткостей // Ракетная техника и космонавтика. 1966. - Т. 4. - № 9. - С. 36-43.

20. Гуревич Э.И. Теповые испытания и исследования электрических машин. JL: Энергия, 1977. - 296 с.

21. Детинко Ф.М., Загородная Г.А., Фастовский В.М. Прочность и колебания электрических машин. JL: Энергия, 1969. - 440 с.

22. Дзлиев С.В. Транзисторные генераторы для индукционного нагрева // Электротехнологии XXI века" ЭЛТЕХ-2001: Сборник тр. международной конференции. Спб., 2001 г.

23. Дзлиев С.В., Kadu-Оглы И.А., Кийло О.Л. Высокочастотный индукционный нагрев бандажей роторов турбогенераторов // сб. Электросила. 2003. - № 42. - С. 74-86.

24. Дзлиев С.В., Кади-Оглы И.А., Кийло О.Л. Моделирование и исследование высокочастотного индукционного нагрева бандажных колец роторов турбогенераторов // Электроэнерго 2002: Сб. тр. международной научно-практической конференции. - Спб., 2002 г. - С. 25.

25. Иосилевич Г.Б., Лукащук Ю.В. Распределение напряжений в соединениях с гарантированным натягом // Вестник машиностроения. -1979. № б. - С. 25-26.

26. Карташкин Б.А., Рузов Ю.М. Исследование напряженного состояния малого зубца ротора на плоских моделях поляризационно-оптическим методом // Труды ВНИИЭ. М.: Энергия, 1966. -Вып. XXV. - С. 44-48.

27. Кийло O.JI. Конечно-элементное моделирование контактного взаимодействия упругих тел с помощью метода штрафных функций / / XXV Гагаринские чтения: Тез. докл. международной молодежной научной конференции. Москва, 1999. - С. 213-214.

28. Кийло O.JI. Конечно-элементное моделирование соединения с натягом конструкционных элементов бандажного узла турбогенератора ТЗВ-800-2 с полным водяным охлаждением // Электричество. 2002.- № 8 С. 62-65.

29. Кийло O.JI. Совершенствование метода исследования посадки с натягом бандажного кольца турбогенератора, основанного на конечно-элементной гомогенизации зубцовой зоны ротора // сб. Электросила.- 2001. № 40. - С. 41-52.

30. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. - 720 с.

31. Кукушадзе A.M., Санадзе Л.Г., Надточий В.М. Новый способ механического расчета бандажного узла ротора турбогенератора // Труды ГПИ им. В.И.Ленина. Тбилиси, 1962. - № 3 (83). - С. 187194.

32. Кутателадзе С.С., Боришанский В.М. Справочник по теплопередаче. Д.: Госэнергоиздат, 1959. - 414 с.

33. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992. - 560 с.

34. Левина З.М., Решетов Д.Н. Контактная жесткость машин. М.: Машиностроение, 1971. - 264 с.

35. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. - 416 с.

36. Лившиц П.З. К вопросу напряженного состояния диска постоянной толщины, посаженного на вал с натягом // Энергомашиностроение. 1959. - № 11. - С. 13-17.

37. Лившиц П.З. О распределении напряжений по контактной поверхности при горячей посадке диска постоянной толщины на сплошной вал // Известия АН СССР. 1955. - № 4. - С. 22-42.

38. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Го-стехиздат, 1955.

39. Материалы в машиностроении: Справ, в 5 т. / Под общей ред. И.В.Кудрявцева. М.: Машиностроение, 1968. - Т. 3: Специальные стали и сплавы. - 448 с.

40. Миренбург Л. А. Ремонт роторов турбинных генераторов в станционных условиях. М.: Госэнергоиздат, 1959.

41. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.

42. Надточий В.М., Рябов Е.В. Исследование бандажных узлов в роторах турбогенераторов // Электрические станции. 1965. - № 6. -С. 45-49.

43. Надточий В.М., Рябое Е.В. Сравнительные исследования прочности бандажных узлов роторов крупных турбогенераторов на натурной модели // Труды ВНИИЭ. М.: Энергия, 1966. - Вып. XXV. - С. 2943.

44. Нейман JI.P., Калантаров П.Л. Теоретические основы электротехники. В 2 т.: 5-е изд. перераб. Т 3. Теория электромагнитного поля.- J1.: Госэнергоиздат, 1959. 232 с.

45. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир., 1975. - 872 с.

46. Парсонс, Уилсон. Метод определения поверхностных контактных напряжений в соединениях с натягом / / Труды американского общества инженеров-механиков. Сер. Конструирование и технология. 1970. -Т. 92. - С. 293-303.

47. Поляк Н.А. Современные крупные двухполюсные турбогенераторы.- М.: Энергия, 1972. 472 с.

48. Прочность. Устойчивость. Колебания / Справ, под ред. Бир-гера И.А., Пановко Я.Г.: В 3-х т. М.: Машиностроение, 1968. -Т. 2. - 464 с.

49. Развитие теории контактных задач в СССР: Сб. статей / Под ред. Галина JI.A. М.: Наука, 1976. - 493 с.

50. Романов М.Р. К определению упругих характеристик ортотропного материала толстостенной трубы. В кн.: Механика конструкций из композиционных материалов. - Новосибирск: Наука, 1984. - С. 83-87.

51. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. -Д.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. 224 с.

52. Савченко В.И., Рубиш Ю.Ю. Исследование напряженного состояния прессовых соединений поляризационно-оптическим методом // Прикладная механика. Киев, 1968. - Т. 4. - Вып. 8. - С. 127-131.

53. Семенов-Ежов И.Е. Концентрация напряжений в соединениях с натягом // Справочник. Инженерный журнал. 2000. № 4. - С. 21-25.

54. Семенов-Ежов И.Е., Старшинин В.И. Напряженно-деформированное состояние многосвязных областей, ограниченных окружностями, при действии натяга и давления // Расчёты на прочность. М.: Машиностроение, 1990. - Вып 31. - С. 103-106.

55. Сильвестер. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. М.: Мир, 1986. - 229 с.

56. Слухоцкий А.Е., Рыскин С.Е. Индукторы для индукционного нагрева. Л.: Энергия, 1974. - 264 с.

57. Справочник по ремонту турбогенераторов / Под ред. Устинова П.И.- М.: Энергия, 1978. 480 с.

58. Тарабасов Н.Д. Расчеты напряженных посадок в машиностроении.- М.: Машгиз, 1961. 268 с.

59. Тимошенко С.П., Гудъер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. - 576 с.

60. Турбогенератор мощностью 800 МВт, 3000 об/мин с полным водяным охлаждением/ Глебов И.А., Данилевич Я.Б., Иогансен В.И., Кади-Оглы И.А. и др.// Электричество. 1980. - № 2. - С. 3-8.

61. Турбогенераторы. Расчет и конструкция / В.В. Титов, Г.М. Ху-торецкий, Г.А. Загородная, Г.П. Вартаньян, Д.И. Заславский, И.А. Смотров. Под ред. Н.П. Иванова, Р.А. Лютера. Л.: Энергия, 1967. - 895 с.

62. Угодников А.Г. Определение напряжений при запрессовке в пластину, ограниченную улиткой Паскаля, нескольких круглых шайб // М.: Изд-во АН СССР. Инж. сб., 1953. Т. XVII. - С. 203-206.

63. Угодников А.Г. Определение напряжений при запрессовке в пластинку нескольких круглых шайб с переменным натягом // М.: Изд-во АН СССР. Инж. сб., 1960. Т. XXVII. - С. 157-161.

64. Уонг X. Основные формулы и данные по теплообмену для инженеров. Справочник. М.: Атомиздат, 1979. - 216 с.

65. Уринцев Я.С. Индукционный метод нагрева бандажных колец роторов турбогенераторов // Энергетик. 1967. - № 5. - С. 33-34.

66. Уринцев Я. С. Особенности съема бандажей ротора турбогенератора // Энергетик. 1960. - № 3. - С. 22-23.

67. Урусов Р.А. О стратегии силового электромашиностроения на пороге века // Сб. Электросила. 2001. - № 40. - С. 3-8.

68. Фридман В.М., Чернина В. С. Решение задачи о контакте упругих тел итерационным методом // Механика твердого тела. 1967. - № 1. -С. 116-120.

69. Численные методы анализа электрических машин / Под ред. Я.Б. Да-нилевича. Л.: Наука, 1988. - 222 с.

70. Шапиро Г.С. О сжатии бесконечного полого кругового цилиндра давлением, приложенным на участке боковой поверхности / / Прикладная математика и механика 1943. - Т. 7. - № 5. - С. 379-382.

71. Шерман Д.И. Об одной задаче теории упругости // Докл. АН СССР.- 1940. Т. XXVII. - № 9.

72. Шерман Д. И. О напряженном состоянии некоторых запрессованных деталей // Известия АН СССР. ОТН. 1948. - № 9. - С. 1371-1388.

73. Шимони К. Теоретическая электротехника. М.: Мир, 1964. - 774 с.

74. Штилерман И.З. Об одной модели фреттинг-усталости. СПб.: АО "Электросила", 2001. - 148 с.

75. ANSYS. Basic Analysis Procedures Guide. Rel. 6.0 / ANSYS Inc. Huston, 2002.

76. ANSYS. Theory Reference. Rel. 5.3. Ed. P. Kothnke / ANSYS Inc. Huston, 1994.

77. Barlow J. Constraint Relationships in Linear and Nonlinear Finite Element Analyses // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1982. - V. 18. - P. 521-533.

78. Barlow J. Optimal Stress Locations in Finite Element Models // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1976. -V. 10. - P. 243-251.

79. Barthold F.J.,Bischoff D. Generalization of Newton type Methods to Contact Problems with Friction //J. Mech. Theor. Appl., Special Issue: Numerical Methods in Mechanics of Contact Involving Friction. 1988.- P. 97-110.

80. Bathe K.-J. Finite Element Procedures. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ.,1996. 1037 p.

81. Bathe K.-J., Bouzinov P.A. On the Constraint Function Method for Contact Problems // Computers & Structures. 1997. - V. 64. - N 5/6.- P. 1069-1085.

82. Bathe К.-J., Chaudhary A. A Solution Method for Planar and Axisymmetric Contact Problems // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1985. - V. 21. - P. 65-68.

83. Belytschko Т., Neal M.O. Contact-Impact by the Pinball Algorithm with Penalty and Lagrangian Methods // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1991. - V. 31. - P. 547-572.

84. Carpenter N.J., Taylor R.L., Katona M.G. Lagrange Constraints for Transient Finite Element Surface Contact // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1991. - V. 32. - P. 103-128.

85. Chaudhary А.В., Bathe K.-J. A Solution Method for Static and Dynamic Analysis of Three-Dimensional Contact Problems with Friction // Computers & Structures. 1986. - V. 24. - P. 855-873.

86. Conry T.F., Seireg A. A Mathematical Programming Method for Design of Elastic Bodies in Contact // ASME Journal of Applied Mechanics. -1971. V. 38. - P. 1293-1307.

87. Cook R.D. Constraints. In: Finite Element Analysis for Engineering Design / Reddy J.N., Krichnamoorthy C.S., Seetharamu K.N. (Eds.). Springer-Verlag, Berlin. 1988. - P. 160-176.

88. Curiskis J.I., Valliappan S. A Solution Algorithm for Linear Constraint Equations in Finite Element Analysis // Computers &; Structures. 1978. - V. 8. - P. 117-124.

89. Dubois-Perelin Y., Pegon P. Linear Constraints in Object-Oriented Finite Element Programming // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1998. - V. 154. - P. 31-39.

90. Felippa С.A. Error Analysis of Penalty Function Techniques for Constraint Definition in Linear Algebraic Systems // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1977. - V. 11. - P. 709728.

91. Felippa C.A. Iterative Procedures for Improving Penalty Function Solutions of Algebraic Systems // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1978. - V. 12. - P. 821-836.

92. Hallquist J.O., Goudreau G.L., Benson D.J. Sliding Interface with Contact-Impact in Large-Scale Lagrangian Computations // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1985. - V. 51. - P. 107137.

93. Heegaard J.-H., Curnier A. An Augmented Lagrangian Method for Discrete Large-Slip Contact Problems // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1993. - V. 36. - P. 569-593.

94. Hunek I. On FEM Modelling of Contact-Impact Problems in Solids Mechanics Based on Penalty-Function-Type Algorithms // Numerical Methods in Engineering. 1992. - P. 107-112.

95. Korobeynikov S.N., Alyokhin V. V., Bondarenko M.I. Application of Finite Element Method for the Solution of Three Dimensional Contact Problems // Advances in Simulation and Iteration Techniques. 1994. P. 165-175.

96. Mixed 2D and Beam Formulation for Modeling Sandwich Structures / Avdeev I.V., Borovkov A.I., Kiylo O.L., Lovell M.R., Onipede D.Jr. // Engineering Computations. 2002. - V. 19. - N 4. - P. 451-466.

97. Nour-Omid В., Wriggers P. A Note on the Optimum Choice for Penalty Parameters // Communications in Applied Numerical Methods. 1987.- V. 3. P. 581-585.

98. Nour-Omid В., Wriggers P. A Two-Level Iteration Method for Solution of Contact Problems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1986. - V. 54. - P. 131-144.

99. Parish H. A Consistent Tangent Stiffness Matrix for Three-Dimensional Non-Linear Contact Analysis // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1989. - V. 28. - P. 1803-1812.

100. Saleeb A.F., Chen K., Chang T.Y.P An Effective Two-Dimensional Frictional Contact Model For Arbitrary Curved Geometry / / International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1994. -V. 37. - P. 1297-1321.

101. Salonen E.-M. An Iterative Penalty Function Method in Structural Analysis // International Journal for Numerical Methods in Engineering.- 1976. V. 10. - P. 413-421.

102. Schreyer H.L., Parsons D.A. Direct Application of Constraints to Symmetric Algebraic Systems // Communications in Applied Numerical Methods. 1995. - V. 11. - P. 563-573.

103. Shephard M.S. Linear Multipoint Constraints Applied via Transformation as Part of a Direct Stiffness Assembly Matrix // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1984. -V. 20. - P. 2107-2112.

104. Simo J.C., Laursen T.A. An Augmented Lagrangian Treatment of Contact Problems Involving Friction // Computers & Structures. 1992. -V. 42.-N. 1.-P. 97-116.

105. Simo J.C., Wriggers P., Taylor R.L. A Perturbed Lagrangian Formulation for the Finite Element Solution of Contact Problems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1985. -V. 50 - P. 163-180.

106. Rankin A.W., Schenectady N.Y. Shrink-Fit Stresses and Deformations // Journal of Applied Mechanics. 1944. - V. 11. - N 3. - A-77-A-85.

107. Void H. Substructure Analysis with Linear Constraints Usig Natural Factor Formulation // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1977. - V. 10. - P. 151-163.

108. Webb J.P. Imposing Linear Constraints in Finite Element Analysis // Communications in Applied Numerical Methods. 1990. - V. 6. - N 6.-P. 471-475.

109. Wriggers P. Finite Element Algorithms for Contact Problems // Archives of Computational Methods in Engineering. 1995. - V. 2. - N. 4. - P. 149.

110. Wriggers P., Zavarise G. Thermomechanical Contact A Rigorous but Simple Numerical Approach // Computers & Structures. - 1993. - V. 46.- P. 47-53.

111. Zavarise G., Vitaliani R., Schrefler B. An Algorithm for Generation of Shape Functions in Serendipity Elements // Engineering Computations.- 1991. V. 8. - P. 19-31.

112. Zhong Z.-H. Finite Element Procedures for Contact-Impact Problems. Oxford University Press, 1993. 371 p.

113. Zhu J.Z., Zienkiewicz O.C. Adaptive Techniques in Finite Element Method // Communications in Applied Numerical Methods. 1988. -V. 4. - P. 197-204.

114. Zienkiewicz O.G., Zhu J.Z. A Simple Error Estimator and Adaptive Procedure for Practical Engineering Analysis // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1987. - V. 24. - P. 337-357.

115. Zienkiewicz O.C., Zhu J.Z. Adaptivity and Mesh Generation // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1991. -V. 32. - P. 783-810.

116. Zienkiewicz О.С., Zhu J.Z. The Superconvergent Patch Recovery and A Posteriori Error Estimates. Part 1: The Recovery Technique // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1992. -V. 33. - P. 1331-1364.

117. Zienkiewicz O.C., Zhu J.Z. The Superconvergent Patch Recovery and A Posteriori Error Estimates. Part 2: Error Estimates and Adaptivity // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1992.- -V. 33. - P. 1365-1382.

118. Zienkiewicz O.C., Zhu J.Z. The Superconvergent Patch Recovery (SPR) and Adaptive Finite Element Refinement // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1992. - V. 101. - P. 207-224.