Моделирование гидродинамики и процессов усреднения высококонцентрированной гранулированной среды в аппаратах порошковой технологии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Марценко, Максим Сергеевич

• Марценко, Максим Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Марценко, Максим Сергеевич

Введение.

1. Обзор современного состояния механики гранулированных сред.

2. Модели движения высококонцентрированных гранулированных сред и их математическая формулировка.

2.1 Модель нелинейно-вязкой жидкости.

2.2 Модель вязкой ньютоновской жидкости.

2.3 Полуэмпирическая модель хорошо сыпучей гранулированной среды.

2.4 Граничные условия.

2.5 Выводы.

3. Методы численного решения уравнений гидродинамики.

3.1 Метод расчета в переменных «функция тока-вихрь».

3.2 Расчет гидродинамики в естественных переменных.

3.3 Метод численного решения скалярного уравнения переноса.

3.3.1 Обобщенный неявный метод переменных направлений для решения уравнения переноса.

3.3.2 Аппроксимация конвективных и диффузионных членов в уравнении переноса.

3.4 Граничные условия.

4. Моделирование гидродинамики высококонцентрированной гранулированной среды.

4.1 Моделирование движения гранулированной среды при обтекании квадратного препятствия на основе предложенных моделей.

4.1.1 Моделирование движения гранулированной среды при обтекании квадратного препятствия на основе модели «степенной жидкости».

4.1.2 Исследование движения гранулированной среды при обтекании квадратного препятствия на основе модели ньютоновской жидкости.

4.1.3 Исследование движения гранулированной среды при обтекании квадратного препятствия с использованием разработанной модели.

4.2 Численное исследование движения гранулированной среды в прямоугольном бункере с использованием предложенной полуэмпирической модели.

4.2.1 Движение гранулированной среды в бункере с внезапным сужением при плоской постановке задачи.

4.2.2 Исследование гидродинамики плотного слоя зернистой среды в бункере с внезапным сужением в случае трехмерной постановки задачи.

4.3 Исследование динамики гранулированной среды в сужающемся канале.

4.4 Моделирование движения гранулированной среды в открытом наклонном лотке.

4.5 Моделирование гидродинамики высококонцентрированного гранулированного материала в пневматическом циркуляционном аппарате.

4.5.1 Гидродинамика сыпучего материала в цилиндрической части пневматического циркуляционного аппарата.

4.5.2 Исследование гидродинамики зернистой среды в конической части пневматического циркуляционного аппарата.

4.6 Расчет времени пребывания частиц в пневматическом циркуляционном аппарате.

4.7 Выводы.

5. Моделирование процессов смешения и усреднения гранулированной среды в аппаратах порошковой технологии при инерционном режиме течения.

5.1. Физические особенности процесса смешивания и метод оценки качества смеси гранулированных материалов.

5.2 Математическая формулировка процесса смешивания зернистой среды.

5.3 Исследование процесса усреднения зернистой среды в сужающемся бункере.

5.4 Моделирование процесса усреднения гранулированной среды в вертикальном прямоугольном бункере с внезапным сужением.

5.5 Усреднение высококонцентрированной гранулированной среды в трехмерном прямоугольном бункере с внезапным сужением.

5.6 Процесс усреднения и смешения гранулированных материалов в пневматическом циркуляционном аппарате.

5.6.1 Процесс усреднения в цилиндрической части пневматического циркуляционного аппарата.

5.6.2 Процесс усреднения в конической части ПЦА.

5.7 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование гидродинамики и процессов усреднения высококонцентрированной гранулированной среды в аппаратах порошковой технологии»

При создании новых гранулированных материалов, таких как минеральные удобрения и пластмассы, дражировании лекарственных средств, семян и т.п. широко используются пневматические методы переработки. Такая переработка порошковых и гранулированных материалов связана с пневмотранспортом, процессами смешения и усреднения сыпучих материалов, а также поддержанием определенных режимов движения гранулированной среды в этих аппаратах. При всех этих процессах имеет место движение высококонцентрированной гранулированной среды под действием перепада давления или под действием силы тяжести. Несмотря на большое количество экспериментальных данных о характере течения высококонцентрированных сыпучих материалов в различных технологических устройствах, в настоящее время не существует законченной теории быстрых движений гранулированных сред. Обилие различных подходов при моделировании движения сыпучих сред связано с разнообразием реологических свойств зернистых материалов.

В настоящий момент в механике высококонцентрированных гранулированных сред выделяют два идеализированных режима: быстрое сдвиговое течение и медленный сдвиг [13, 5]. В первом из них, который называют режимом медленного или пластического течения гранулированной среды, частицы материала, двигаясь по некоторым определенным траекториям, находятся в длительном контакте друг с другом, происходящем либо в режиме перекатывания, либо в режиме скольжения. При таком режиме внутренние напряжения в зернистой среде слабо зависят от скорости сдвига, и поведение гранулированного материала описывается в рамках теории предельного равновесия [11, 56, 40, 38]. Во втором режиме, течение зернистого материала характеризуется большими относительными скоростями частиц, разделенными поверхностью сдвига. При этом внутренние напряжения существенно зависят от скорости течения и возникают вследствие переноса импульса аналогично тому, как это происходит в жидкости или газе [35, 68]. В режиме быстрого сдвига частицы помимо поступательной составляющей скорости в направлении движения приобретают некоторую скорость хаотических перемещений. Модуль этой скорости имеет тот же порядок, что и модуль скорости локального перемещения частицы. Это объясняет увеличение количества хаотических перемещений при повышении скорости сдвига в гранулированной среде. По этой причине поведение зернистой среды при пластическом течении принципиально отличается от поведения в режиме быстрого движения.

В работе рассматривается именно инерционный режим, поскольку он реализуется при гравитационном течении гранулированных сред в аппаратах порошковой технологии.

Цель настоящей работы заключается в следующем: создание адекватной опытным данным математической модели динамики высококонцентрированной гранулированной среды при напорном и гравитационном течении в рамках существующей «теории быстрых движений гранулированных сред»;

- разработка метода расчета процессов смешения и усреднения зернистых сред применительно к аппаратам порошковой технологии;

- выявление основных закономерностей динамики зернистых сред и определение режимных и геометрических параметров, влияющих на распределение полей скорости и концентрации при инерционном режиме движения гранулированной среды.

Научно-практическая ценность работы заключается в следующем: предложенные математические модели динамики высококонцентрированной гранулированной среды позволяют получать физическую картину течения зернистых материалов при гравитационном и напорном движении, а также прогнозировать распределение локальных и интегральных характеристик течения и проводить параметрический анализ при инерционном режиме течения высококонценгрированной гранулированной среды; предложенный метод расчета процесса смешения гранулированных сред позволяет выявлять геометрические и режимные параметры, влияющие на время смешения и качество полученной смеси; предложенные методики расчета гидродинамики и процессов смешения гранулированных сред могут применяться при совершенствовании существующих и проектировании новых способов и конструкций в, аппаратах порошковой технологии; внедрена методика расчета течения неньютоновской среды применительно к процессу прессования таблеток на ОАО «НЗХК» по договору № 17/10 НИИ ПММ ТГУ от 01.09.2010 (копия акта внедрения методики находится в приложении к диссертации); внедрена методика расчета гидродинамики и процессов усреднения гранулированных материалов в каналах сложной формы в лаборатории № 34 НИИ ПММ ТГУ (копия акта внедрения представлена в приложении).

Исследования диссертационной работы проводились при частичной поддержке гранта РФФИ № 11-08-00931-а (2011-2012 гг.), руководитель проекта: профессор A.B. Шваб. На защиту выносятся: оригинальная полуэмпирическая модель движения высококонцентрированной гранулированной среды при инерционном режиме течения; новая постановка граничных условий, учитывающая наличие застойных зон в случае сложной геометрии течения зернистой среды; новые результаты численного моделирования гидродинамики высококонцентрированной гранулированной среды в аппаратах порошковой технологии на основе оригинальной модели и известных моделей ньютоновской и неньютоновской «степенной» жидкости с использованием предложенных граничных условий. Анализ влияния основных геометрических и режимных параметров на характер динамики зернистой среды.

- модель смешения двухкомпонентной гранулированной среды, базирующаяся на решении нестационарного конвективно-диффузионного уравнения переноса концентрации ключевого и основного компонентов смеси с использованием разработанной модели динамики высококонцентрированной зернистой среды. результаты численного моделирования процессов смешения при непрерывном и циклическом смешивании гранулированных сред в разделителях, дозаторах и в пневматическом циркуляционном аппарате. Закономерности по влиянию основных геометрических и режимных параметров, оказывающих влияние на интенсивность процесса смешения в аппаратах порошковой технологии.

Апробация работы: Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на всероссийских конференциях: XV Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых «ВНКСФ-15» (Кемерово-Томск, 2009); V Всероссийская конференция «Физика и химия высокоэнергетических систем» (Томск, 2009); Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 2009); VI Всероссийская конференция «Физика и химия высокоэнергетических систем» (Томск, 2010); XVI Всероссийская научная конференция студентов-физиков и. молодых ученых «ВНКСФ-16» (Волгоград, 2010); Всероссийская научная конференция молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Новосибирск, 2010); VII всероссийская конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики». (Томск, 2011).

Публикации по теме исследования. Основные результаты диссертации представлены в научных трудах вышеперечисленных конференций, а также опубликованы в журналах и приложениях к журналам рекомендованных ВАК: «Вестник Томского государственного университета.

Математика и механика»; «Известия вузов. Физика»; «Инженерно-физический журнал».

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, списка цитируемой литературы и приложения. Работа содержит 145 страниц машинописного текста и 85 рисунков. Список цитируемой литературы включает 97 наименований.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Марценко, Максим Сергеевич

5.7 Выводы

Построен оригинальный метод расчета процессов смешения и усреднения гранулированных материалов в исследуемых аппаратах, основой которого являются предложенные модели движения зернистой среды и нестационарное конвективно-диффузионное уравнение переноса ключевого и основного компонентов смеси.

На основе разработанного метода расчета смешения зернистых сред получены новые результаты и выявлены закономерности в распределении нестационарных полей ключевого и основного компонентов смеси, показана роль конвективного и диффузионного переноса концентрации, а также параметры, влияющие на интенсивность процесса смешения гранулированных сред.

Заключение

1. Разработана оригинальная полуэмпирическая модель динамики высококонцентрированной зернистой среды, в рамках существующей «теории быстрых движений гранулированных сред», работоспособность и достоверность которой устанавливается сравнением с экспериментальными данными.

2. Предложена новая постановка граничных условий, позволяющих адекватно опытным данным описывать распределения поля скорости, а также учитывать наличие застойных зон в случае сложной геометрии течения гранулированной среды.

3. Разработаны новые способы расчета динамики высококонцентрированной гранулированной среды в инерционном режиме движения, основой которых являются предложенная модель, а также известные модели ньютоновской и неньютоновской жидкости с применением оригинальных граничных условий.

4. На основе предложенных моделей получены новые результаты исследований течения зернистой среды при гравитационном и напорном движении в канале с внезапным сужением в плоской и трехмерной постановке, в наклонном открытом лотке, между двумя пластинами с различным углом полураствора (сужающийся канал) и в пневматическом циркуляционном аппарате.

5. Построен оригинальный метод расчета процессов смешения и усреднения гранулированных материалов в исследуемых аппаратах, основой-которого являются предложенные модели движения зернистой среды и нестационарное конвективно-диффузионное уравнение переноса ключевого и основного компонентов смеси.

6. На основе разработанного метода расчета смешения зернистых сред получены новые результаты и выявлены закономерности в распределении установившихся и нестационарных полей ключевого и основного компонентов смеси, показана роль конвективного и диффузионного переноса концентрации, а также параметры, влияющие на интенсивность процесса смешения гранулированных сред.

Автор диссертационной работы выражает благодарность учителю и научному руководителю: доктору физико-математических наук, профессору Александру Вениаминовичу Швабу.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Марценко, Максим Сергеевич, 2011 год

1. А. с. 770520 СССР. Пневматический смеситель порошкообразных и гранулированных материалов / В.А Шваб, Ю.А. Бирюков, JI.H. Богданов, Б.Г. Свищев, Р.Н. Спасских, А.Т. Росляк, П.Н. Зятиков, В.К. Гордеев (СССР); опубл. 15.10.80, Бюл. № 38.

2. Андерсон Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен / Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер. М. : Мир, 1990. - В 2-х т.

3. Астарита Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей / Дж. Астарита, Дж. Марручи. М. : Мир, 1978. - 309 с.

4. Ахмадиев Ф.Г. Теоретическое исследование процесса смешения композиций, содержащих твёрдую фазу, в непрерывно действующем смесителе / Ф.Г. Ахмадиев, A.A. Александровский, И.П. Семенов // Теор. основы хим. технологии. 1978. - Т. 12, № 2. - С. 256 - 261.

5. Аэрофизика и геокосмические исследования: сб. ст. / И.В. Ширко, A.B. Семенов. М.: МФТИ, 1984. - 100 с.

6. Берд Р. Явления переноса / Р. Берд, В. Стьюарт, Е. Лайтфут. М. : Химия, 1974.-688 с.

7. Борисевич В. А. Экспериментальное исследование течения сыпучей среды (песка) в вертикальных трубах / В.А. Борисевич // Труды института энергетики. Изд-во АН БССР, 1960.

8. Весовое дозирование зернистых материалов / С. В. Першина и др.. М. : Машиностроение, 2009. - 260 с.

9. Ю.Гельперин Н.И. Структура потоков и эффективность колонных аппаратов химической промышленности / Н.И. Гельперин, B.JI. Пебалк, А.Е Костанян. -М. : Химия, 1977.-264 с.

10. Гениев Г.А. Вопросы динамики сыпучей среды / Г.А. Гениев. М. : Госстройиздат, 1958. - 122 с.

11. Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию / С.К. Годунов, B.C. Рябенький. М. : Наука, 1973. - 400 с.

12. Голованов Ю.В. Обзор современного состояния механики быстрых движений зернистых сред /Ю.В. Голованов, И.В. Ширко // Механика гранулированных сред: теория быстрых движений: сб. ст. / под. ред. И.В. Ширко. М. : Мир, 1985. - С. 271 - 279.

13. Горбис З.Р. Теплообмен и гидромеханика дисперсных сквозных потоков / З.Р. Горбис. -М.: Энергия, 1970.-424 с.

14. Гячев Л.В. Основы теории бункеров и силосов / JI.B. Гячев. Барнаул : Изд-во Алт. политехи, ин-та им.И.И. Ползунова, 1986. - 84с.

15. Долгунин В.Н. Быстрые гравитационные течения зернистых материалов: техника измерения, закономерности, технологическое применение / В.Н. Долгунин, В.Я. Борщев. -М. : Машиностроение-1, 2005. 112 с.

16. Зайцева Е.В. Моделирование гидродинамики высококонцентрированной гранулированной среды в порошковой технологии / Е.В., Зайцева, Ю.Н. Рыжих, A.B. Шваб // Теплофизика и аэромеханика. 2001. - Т. 8, № 4. -С. 551 -561.

17. Кафаров В.В. Математическое моделирование основных процессов химических производств / В.В. Кафаров, М.Б. Глебов. М. : Высшая школа, 1991.-400 с.

18. Кафаров В.В. Системный анализ процессов химической технологии / В.В. Кафаров, И.Н. Дорохов. М. : Наука, 1976. - 500 с.

19. Кафаров В.В. Системный анализ процессов химической технологии: процессы измельчения и смешения сыпучих материалов /В.В. Кафаров, И.Н. Дорохов, С.Ю. Арутюнов. М. : Наука, 1985. - 440 с.

20. Латкин Л.С. Перспективные процессы переработки дисперсного сырья / Л.С. Латкин. Петропавловск-Камчатский : Изд-во Камчат. гос. техн. унта, 2004. - 126 с.

21. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. М. : Дрофа, 2003. - 840 с.

22. Макаров Ю.И. Аппараты для смешения сыпучих материалов / М.Ю. Макаров. М. : Машиностроение, 1973. - 215 с.

23. Макаров Ю.И. Проблемы смешивания сыпучих материалов / Ю.И. Макаров // Ж. Всес. Хим. о-ва им. Д.И. Менделеева. 1988. - Т. 33, № 4. -С.384 - 389.

24. Марценко М.С. Моделирование динамики гранулированных сыпучих высококонцентрированных сред / М.С. Марценко // Тез. докл. всерос. конф. ВНКСФ-15. Кемерово-Томск, 26 мар. 2 апр. 2009 г. - Кемерово : Изд-во АСФ России, 2009. - С. 250 - 251.

25. Марценко М.С. Исследование течения высококонцентрированной гранулированной сыпучей среды в сужающемся канале / М.С. Марценко,

26. A.B. Шваб // Тез. докл. всерос. конф. ФХВС-5. Томск, 22-25 апр. 2009 г. -Томск : ТМЛ-Пресс, 2009. С. 334 - 337.

27. Марценко М.С. Моделирование гидродинамики и процесса усреднения гранулированной среды в порошковой технологии / М.С. Марценко, A.B. Шваб // Тез. докл. всерос. конф. НПСС. Пермь, 4-5 дек. 2009 г. Пермь, 2009.-С. 185-188.

28. Марценко М.С. Исследование трехмерного течения гранулированного материала в канале сложной формы / М:С. Марценко, A.B. Шваб // Тез. докл. всерос. конф. ФХВС-6. Томск, 14-17 апр. 2010 г. Томск : ТМЛ-Пресс, 2010.-С. 198-202.

29. Матур К. Фонтанирующий слой / К. Матур, Н. Эпстайн. Л. : Химия, 1978.-288 с.

30. Механика гранулированных сред: теория быстрых движений: сб. ст. / под. ред. И.В. Ширко. М. : Мир, 1985. - 280с.

31. Михалева З.А. Методы и оборудование для переработки, сыпучих материалов и твердых отходов / З.А. Михалева, A.A. Коптев, В.П. Таров. -Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2002. 64 с.

32. Мордасов Д.М. Технические измерения плотности сыпучих материалов / Д.М. Мордасов, М.М. Мордасов. Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2004. - 80 с.

33. Мруз 3. Неассоциированный закон течения в описании пластического течения гранулированных сред / 3. Мруз, Ч. Шиманский // Механика гранулированных сред: теория быстрых движений: сб. ст. / под. ред. И.В. Ширко. М. : Мир, 1985. - С.9 - 43.

34. Муштаев В. И. Сушка дисперсных материалов / В.И. Муштаев, В.М. Ульянов. М. : Химия, 1988. - 352 с.

35. Николаевский В.Н. Определяющие уравнения пластического деформирования сыпучей среды / В.Н. Николаевский // Прикладн. матем. и механика. 1971. - Т. 35, № 6. - С. 1070 - 1082.

36. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости / С. Патанкар. М. : Энергоатомиздат, 1984. - 152.

37. Пейре Р. Вычислительные методы в задачах механики жидкости / Р. Пейре, Т. Тейлор. JI. : Гидрометеоиздат, 1986. - 351 с.

38. Першин В.Ф. Переработка сыпучих материалов в машинах барабанного типа / В.Ф. Першин, В.Г. Однолько, C.B. Першина. М. : Машиностроение, 2009. - 220 с.

39. Петухов Б.С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах / Б.С. Петухов. М. : Энергия, 1967. - 412 с.

40. Раскин Х.И. Применение методов химической кинетики к задачам вибрационного воздействия на сыпучие среды // ДАН СССР. 1975. - Т. 220, №1.-С. 54-57.

41. Рейнер М. Реология / М. Рейнер. М.: Наука, 1965. - 224 с.

42. Реология. Теория и приложения / под ред. Ф. Эйриха. М. : ИЛ, 1962. - 824 с.

43. Рогинский Г.А. Дозирование сыпучих материалов / Г.А. Рогинский. М. : Химия, 1978.-176 с.

44. Романков П.Г. Гидромеханические процессы химической технологии /П.Г. Романков, М.И. Курочкина. Л. : Химия, 1982. - 288 с.

45. Романков П.Г. Массобменные процессы химической технологии / П.Г. Романков, В.Ф. Фролов. Л. : Химия, 1990. - 384 с.

46. Росляк А.Т. Пневматические методы и аппараты порошковой технологии / А.Т. Росляк, Ю.А. Бирюков, В.Н. Пачин. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1990. -273 с.

47. Роуч П. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч. М.: Мир, 1980. -616 с.

48. Рыжих, Ю.Н. Гидродинамика и процессы усреднения гранулированных материалов в аппаратах порошковой технологии: дис. . канд. физ.-мат. наук : защищена 25.03.2005 : утв. 5.10.2005 / Ю.Н. Рыжих. Томск, 2005. - 126 с.

49. Самарский A.A. Методы решения сеточных уравнений / A.A. Самарский, Е.С. Николаев. М.: Наука, 1978. - 592 с.

50. Селиванов К.Т. Расчет и проектирование циркуляционных смесителей сыпучих материалов без внутренних перемешивающих устройств /К.Т. Селиванов, В.Ф. Першин. М.: Машиностроение-1, 2004. - 120 с.

51. Соколовский В.В. Статика сыпучей среды / В.В. Соколовский. М. : Физматгиз, 1960. - 243 с.

52. Стренк Ф. Перемешивание и аппараты с мешалками / Ф. Стренк. JI. : Химия, 1975.-384 с.

53. Уилкинсон У. Неньютоновские жидкости / У. Уилкинсон. М. : Мир, 1964.-216 с.

54. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей / К. Флетчер. -М. : Мир, 1991.-В 2-х т.

55. Хайруллин М.М. Численное исследование течения неньютоновской жидкости в канале с использованием дифференциальной реологической модели / М.М. Хайруллин, М.С. Марценко // Тез. докл. всерос. конф.

56. ВНКСФ-16. Волгоград, 22-29 апр. 2010 г. Екатеринбург; Волгград : Изд-во АСФ России, 2010. - С. 631 - 633.

57. Хаппель Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Дж. Хаппель, Г. Бреннер. М. : Мир, 1976. - 631 с.

58. Шваб A.B. Исследование движения плотного слоя гранулированной среды и процесса смешения в сужающемся канале / A.B. Шваб, М.С. Марценко // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2010. - № 4 (12). - С. 123 - 130.

59. Шваб A.B. Модель движения высококонцентрированной гранулированной среды / A.B. Шваб, М.С. Марценко // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2011. - № 3 (15). - С. 108 - 116.

60. Шваб A.B. Моделирование гидродинамики и процесса усреднения высококонцентрированной гранулированной среды в аппаратах порошковой технологии / A.B. Шваб, М.С. Марценко, Ю.Н. Рыжих // Инж.-физ. журнал.-2011.-Т. 84, № 4. С. 676-681.

61. Шваб A.B. Моделирование гидродинамики неньютоновской жидкости на основе дифференциальной реологической модели / A.B. Шваб, М.С. Марценко, М.М. Хайруллин // Изв. вузов. Физика. 2009. - № 7/2. - С. 210 -215.

62. Ширко И.В. Статистическое исследование течений гранулированных сред // Деп. в ВИНИТИ 12.04.1982; № 1738-82.

63. Ширко И.В. Феноменологическая теория быстрых движений гранулированной среды, основанная на методах статистической механики / И.В. Ширко, В.А. Сахаров // Теор. основы хим. технологии. 1987. - Т. 21,№5.-С. 661 -668.

64. Штербачек 3. Перемешивание в химической промышленности / 3. Штербачек, П. Тауск. JI. : Госхимиздат, 1963. - 416 с.

65. Шубин М.Н. Технологические машины и оборудование: сыпучие материалы и их свойства / М.Н. Шубин, М.М. Свиридов, В.П. Таров. -Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2005. 76 с.

66. Шульман З.П. Конвективный тепломассоперенос реологически сложных жидкостей / З.П. Шульман. М. : Энергия, 1975. - 351 с.

67. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики / Н.Н. Яненко. Новосибирск : Наука -Сибирское отделение, 1967. - 191 с.

68. Ahmadi G. Towards a turbulent modeling of rapid flow of granular materials / G. Ahmadi, M. Shahinpoor // Powder Technology. 1983. - Vol. 35, № 2. -P. 241-248.

69. Akiyama T. Experimental study on vibration-induced convection and heaping in granular beds / T. Akiyama etal. // Granular Matter. 1998. - Ch. 1. -P. 15-20.

70. Araujo A. Numerical simulation of particle flow in a sand trap / A. Araujo et al. // Granular Matter. 2009. - Ch. 11. - P. 193 - 200.

71. Bagnold R. Experiments on a gravity free dispersion of large solid spheres in a newtonian fluid under shear / R. Bagnold // Proc. Roy. Soc. London. 1954. A225. -P. 49 -63.

72. Douglas J. A general formulation of alternating direction methods. Part I. Parabolic and hyperbolic problems / J. Douglas, J. Gunn // Numer. Math. -1964.-Vol. 6.-P. 428-453.

73. Chorin A. Numerical solution of Navier-Stokes equations / A. Chorin // J. Math. Comput. 1968. - Vol. 22. - P. 745 - 762.

74. Goodman M. Two problems in the gravity flow of granular materials / M. Goodman, S. Cowin // J. Fluid Mech. 1971. - Vol. 45. - Pt. 2. - P. 321 - 339.

75. Haff P. Grain flow as a fluid-mechanical phenomenon / P. Haff // J.Fluid Mech. 1983. Vol. 134. - P. 401 - 430.

76. Hutter K. Rapid Plane Flow of Granular Materials down a Chute / K. Hutter, T. Sheiwiller // Mechanics of granular materials. -Amsterdam : Elsevier Science Publishers, 1983. P. 283 - 293.

77. Jain N. Regimes of segregation and mixing in combined size and density granular systems: an experimental study / N. Jain, J. Ottino and R. Lueptow // Granular Matter. 2005. - Ch. 7. - P. 69 - 91.

78. Jenkins J. A theory for the rapid flow of identical, smooth, nearly elastic particles / J. Jenkins, S. Savage // J. Fluid Mech. 1983. - Vol. 130. -P. 187-202.

79. Kanatani K. A micropolar continuum theory for flow of granular materials / A. Kanatani // Int. J. Engng. Sci. 1979. - Vol. 17. - P. 419 - 432.

80. LaMarche K. Cellular automata model of gravity-driven granular flows / K. LaMarche et al. // Granular Matter. 2007. - Ch. 9. - P. 219 - 229.

81. McTigue D. • A model for stresses in shear flow of granular material / D. McTigue // Proc. U.S. Japan seminar on continuum mechanical and statistical approaches in the mechanics of granular materials. Tokyo, 1978. -P. 266-271.

82. Nedderman R. The Flow of Granular Materials Round Obstacles / R. Nedderman, S. Davies and D. Horton // Powder Technology. 1980. - Vol. 25, №2.-P. 215 -223.

83. Nedderman R., Tuzun U. A kinematic model for the flow of granular materials / R. Nedderman, U. Tuzun // Powder Technology. 1979. - Vol. 22, №. 2. -P. 243 -253.

84. Reynolds O. On the dilatancy of media composed of rigid particles in contact, with experimental illustrations / O. Reynolds // Phil. Mag. -1885. Vol. 20. -Ser. 5.-P. 469-481.

85. Savage S. Gravity flow of cohesionless granular materials in chutes and channels / S. Savage // J. Fluid Mech. 1979. - Vol. 92. - Pt. 1. - P. 53 - 96.

86. Savage S. The stress tensor in a granular flow at high shear rates / S. Savage, D.

87. Jeffrey // J. Fluid Mech. 1981. - Vol. 110. - P. 255 - 272. 94.Savage S. Stress developed by dry cohesionless granular materials sheared in an annular shear cell / S. Savage, M. Sayed // J.Fluid Mech. - 1984. Vol. 142. -P. 391 -430.

88. Schwammle V. A model for barchan dunes including lateral shear stress / V.