Моделирование финансовых рынков с произвольным числом агрессивных скупщиков акций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Можаев, Григорий Александрович

• Можаев, Григорий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Можаев, Григорий Александрович

ВВЕДЕНИЕ

1 СЛУЧАЙНЫЕ ХААРОВСКИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ

1.1 Модель финансового рынка с конечным числом агрессивных скупщиков акций.

1.2 Моделирование случайного поведения скупщиков.

1.3 Метод случайных хааровских интерполяций

1.4 Построение совершенных хеджирующих стратегий.

2 МЕТОДЫ ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТОВ НА БЕЗАРБИТРАЖНЫХ (В,S)-РЫНКАХ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ АГРЕССИВНЫХ СКУПЩИКОВ АКЦИЙ

2.1 Общий алгоритм ведения финансовых расчетов.

2.2 Проверка финансового обязательства на реплицируемость

2.3 Расчет верхней и нижней цены контракта.

2.4 Вычисление мартингальной меры, соответствующей договорной цене финансового обязательства.

2.5 Ослабленное свойство универсальной хааровской единственности (ОСУХЕ) мартингальной меры.

2.6 Проверка удовлетворения ОСУХЕ для мартингальной меры, соответствующей договорной цене финансового обязательства

2.7 Примеры мартингальных мер, не удовлетворяющих ОСУХЕ

2.8 Приближение мартингальной меры, не удовлетворяющей ОСУХЕ, мартингальной мерой, удовлетворяющей ОСУХЕ.

3 ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ АЛ

ГОРИТМОВ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ НА ТЕСТОВЫХ

МОДЕЛЯХ

3.1 Программный комплекс «Хеджирование посредством интерполяции»

3.2 Результаты финансовых расчетов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование финансовых рынков с произвольным числом агрессивных скупщиков акций»

Актуальность темы. В настоящее время наблюдается бурное развитие методов стохастического анализа в математической теории финансов, связанной с моделированием поведения ценных бумаг, таких как акции, облигации, боны и др. Толчком для этого развития послужила теория мартингалов.

Наиболее изученными на сегодняшний день являются модели полных безарбитражных рынков, для которых получены результаты, имеющие законченный вид. Поэтому актуально проведение исследований в области финансовых рынков, не обладающих полнотой.

В связи с высокой динамикой событий, происходящих на финансовых рынках, существует потребность в инструментах, позволяющих производить сложные финансовые расчеты, такие как определение справедливых цен опционов, построение хеджирующих стратегий и др. Создание таких инструментов тесно связано с разработкой соответствующих алгоритмов и численных методов.

В частности, в связи с развитием теории хааровских интерполяций (Б, 5)-рынков возникла необходимость разработки наиболее общей (которую может обслужить данная теория) модели финансового рынка, подверженного агрессивной скупке акций определенного типа, и создания качественного программного комплекса, обеспечивающего необходимые вычисления в рамках построенной модели. Поэтому направление исследований, которым посвящена настоящая диссертация, является актуальным.

Объектами исследования являются финансовые рынки в период целенаправленной скупки акций.

Целью диссертационной работы является построение моделей безарбитражных неполных финансовых рынков, подверженных целенаправленной скупке, и их исследование с помощью случайных хааровских интерполяций, а также применение интерполяционного метода для расчетов на финансовых рынках, эволюционирующих в соответствии с данными моделями.

Для реализации этой цели потребовалось решить следующие задачи:

1) осуществить моделирование (В,8)-рынка в случае целенаправленной скупки акций со стороны произвольного конечного числа конкурирующих скупщиков;

2) построить модель случайного поведения скупщиков в промежуточные моменты времени между объявлениями цен на акции;

3) модифицировать метод хааровских интерполяций путем внедрения в него модели случайного поведения скупщиков;

4) получить вычислительные схемы для расчетов справедливой цены финансовых обязательств и компонент хеджирующих стратегий в интерполирующем (В, ^-рынке;

5) разработать набор алгоритмов, позволяющих вести вычисления с помощью компьютерной техники; создать программный комплекс, осуществляющий эти вычисления.

Методика исследований. При решении перечисленных задач применялись методы и результаты стохастической финансовой математики, теория мартингалов, методы решения оптимизационных задач, теория вероятностей, теория алгоритмов и структур данных.

Реализация на ЭВМ программного комплекса выполнялась с помощью кроссплатформенной библиотеки классов Qt4, а также библиотеки для решения больших задач оптимизации GLPK. В качестве основного алгоритмического языка выбран обьектно-ориентированный язык С++. Таким образом, удалось построить программный комплекс, работающий на ряде современных платформ, таких как Windows, Linux, MacOS X.

Научная новизна. Построена и исследована модель неполного безарбитражного (В, 8)-рынка в случае целенаправленной скупкй акций со стороны произвольного конечного числа агрессивных скупщиков. Для решения проблемы преобразования неполных безарбитражных рынков в полные безарбитражные финансовые рынки использован метод интерполяции финансовых рынков с помощью случайных хааровских фильтраций (метод хааров-ских интерполяций финансовых рынков). В связи с этим в настоящей работе нашла дальнейшее развитие теория хааровских интерполяций безарбитражных финансовых рынков безарбитражными и полными рынками путем внедрения модели случайного поведения скупщиков. Полученная модель является общей законченной моделью безарбитражных финансовых рынков, на которых действует произвольное конечное число агрессивных скупщиков.

В работах Павлова И.В. и Богачевой М.Н. была заложена основа принципиально нового метода перехода от неполных рынков к полным. Для решения проблемы преобразования неполных безарбитражных рынков в полные безарбитражные финансовые рынки был использован метод интерполяции финансовых рынков, связанный с применением хааровских фильтраций и интерполяций мартингалов. Этими авторами рассматривалась модель с двумя агрессивными скупщиками акций при условии, что один из скупщиков всегда опережает второго. Указанное ограничение было снято Павловым И.В. и Волосатовой Т.А. В их работах предполагалось, что действия скупщиков носят случайный характер, однако количество скупщиков было равно двум. Затем был осуществлен переход от двух к трем (и более) скупщикам (работы Павлова И.В. и Данекянц А.Г.) в предположении, что между моментами объявления новых цен на акции порядок появления скупщиков на рынке детерминирован.

Настоящая диссертация является развитием и углублением перечисленных работ. Существенным отличием является моделирование случайности в поведении скупщиков. Полученная в данной работе база новых вычислительных алгоритмов позволяет применить метод случайных хааров-ских интерполяций к реальным расчетам на безарбитражных финансовых рынках с конечным числом агрессивных скупщиков акций. Таким образом, результаты нашего исследования позволяют не только производить вычисления, но и создавать программные комплексы, существенно облегчающие выбор оптимального поведения инвесторов на финансовых рынках.

Выносимые на защиту результаты. В ходе проведенных исследований получены следующие результаты:

1) построена модель (В,8)-рынка, состоящего из безрискового банковского счета и акции одного типа, подверженного целенаправленной скупке со стороны произвольного конечного числа агрессивных скупщиков;

2) построена модель случайного поведения скупщиков в промежуточные моменты времени между объявлениями цен на акции;

3) разработан и теоретически обоснован модифицированный метод ха-аровских интерполяций путем внедрения в него модели случайного поведения скупщиков;

4) получены основанные на методе случайных хааровских интерполяций вычислительные схемы расчета справедливой цены и компонент хеджирующего портфеля в условиях интерполирующего (Б^-рынка для произвольных финансовых обязательств, заданных в финальный момент времени.

5) разработан метод ведения вычислений в рамках моделей безарбитражных финансовых (В, 8)-рынков; получены новые вычислительные алгоритмы, строгость которых подтверждена доказательствами специальных теорем.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации теоретические результаты, связанные с построением теории интерполяции неполных безарбитражных финансовых рынков, развивают стохастический анализ в его приложении к финансовой математике. Результаты диссертации могут быть применены эмитентами акций и вторичных ценных бумаг в период, когда на исследуемом рынке производится целенаправленная скупка акций. Основные положения работы могут найти (и уже находят) применение в построении и исследовании такого рода финансовых рынков с применением компьютерных технологий.

По результатам исследований составлен программный комплекс, позволяющий оценивать параметры исследуемой модели по реальным данным, анализировать цену финансового обязательства и строить оптимальные хеджирующие портфели.

Достоверность результатов работы подтверждается

1) математическими доказательствами, результатами моделирования и обработки данных;

2) апробацией этих результатов на всероссийских конференциях и научных семинарах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на всероссийских и региональных научных конференциях и форумах:

1) VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия, г. Кисловодск, 2006г.);

2) XIII Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам и VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (зимняя сессия, г. Йошкар-Ола, 2006г.);

3) XIV Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам и VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Адлер, 2007).

4) региональной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава при РГЭУ (РИНХ) (г. Ростов-на-Дону, 2005,2006 г.г.)

5) XII Всероссийской Школе-Семинаре "Современные проблемы математического моделирования "(Абрау-Дюрсо, 2007г.);

6) кафедральных семинарах по стохастической финансовой математике при кафедре высшей математики РГСУ (рук. — проф. Павлов И.В.);

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, в том числе 4 без соавторов. Из них 2 статьи в российских реферируемых журналах, входящих в список ВАК, 8 в тезисах докладов всероссийских симпозиумов и конференций. В работах [50, 52] автором были получены вычислительные схемы построения совершенных хеджей для произвольных финансовых обязательств F/v (в частности для опционов Европейского типа). В работах [56, 51, 53, 58, 22] были разработаны алгоритмы финансовых расчетов на безарбитражных (В, 5)-рынках с конечным (в работе [57] с бесконечным) числом агрессивных скупщиков. В работах [49, 52] была построена модель и получен модифицированный метод хааровских интерполяций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы (70 наименований), приложения. Каждая глава разбита на параграфы. Работа проиллюстрирована 27 рисунками и изложена на 115 страницах.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Можаев, Григорий Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведем список основных результатов, полученных в ходе проведения исследований, выносимые на защиту:

1. построена модель (В,8)-рынка, состоящего из безрискового банковского счета и акции одного типа, подверженного целенаправленной скупке со стороны произвольного конечного числа агрессивных скупщиков;

2. построена модель случайного поведения скупщиков в промежуточные моменты времени между объявлениями цен на акции;

3. разработан и теоретически обоснован модифицированный метод хааров-ских интерполяций путем внедрения в него модели случайного поведения скупщиков;

4. получены основанные на методе случайных хааровских интерполяций вычислительные схемы расчета справедливой цены и компонент хеджирующего портфеля в условиях интерполирующего (Б,5)-рынка для произвольных финансовых обязательств, заданных в финальный момент времени.

5. разработан метод ведения вычислений в рамках моделей безарбитражных финансовых (В, 8)-рынков; получены новые вычислительные алгоритмы, строгость которых подтверждена доказательствами специальных теорем, а именно: a) алгоритм поверки финансового обязательства на реплицируемость; b) метод расчета верхней и нижней цены контракта; c) алгоритм вычисления мартингальной меры, соответствующей договорной цене финансового обязательства; d) проверка удовлетворения ослабленному свойству хааровской единственности для мартингальной меры, соответствующей договорной цене финансового обязательства e) алгоритмы приближения мартингальной меры, не удовлетворяющей ОСУХЕ, мартингальной мерой, удовлетворяющей ОСУХЕ;

6. на основе полученных алгоритмов создан программный комплекс «Приближенное хеджирование посредством интерполяции», позволяющий ав-томатичски производить расчеты хеджирующих стратегий.

Таким образом, результаты нашего исследования позволяют моделировать финансовые рынки, подверженные целенаправленной скупке акций и производить на них вычисления хеджирующих стратегий, а так же создавать программные комплексы, существенно облегчающие выбор оптимального поведения инвесторов на финансовых рынках.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Можаев, Григорий Александрович, 2007 год

1. Ахо А., Хопкрофт Д., Ульман Д. Структуры данных и алгоритмы // М: Вильяме, 2000.

2. Белявский Г.И., Мисюра В.В. Некоторые специальные случаи модели эколюции стоимости акций. // Изв. РГСУ, 1998, №4, С.177-183.

3. Белявский Г.И., Мисюра В.В., Павлов И.В. Исследование модели (B,S)-рынка относительно специальной хааровской фильтрации. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 1998, С.179-181.

4. Бланшет Ж., Саммерфилд М. Qt 4: Программирование GUI на С++ // М.: Кудиц-Пресс, 2007.

5. Богачева М.Н., Павлов И. В. О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков, до безарбитражных и полных // УМН, 2002, Т.57, вып. 3, с 143-144.

6. Богачева М.Н., Павлов И.В. О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков, до безарбитражных и полных // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки, 2002, №3, С. 16-24.

7. Богачева М.Н., Павлов И. В. Критерий существования мартингальной меры, удовлетворяющей свойству хааровской единственности. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.:, ТВП, 2001, Т.8, вып.2, С.743-745.

8. Богачева М.Н., Павлов И.В. Полное описание мартингальных мер, удовлетворяющих свойству хааровской единственности, для одного финансового рынка. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.:, ТВП, 2001, Т.8, вып.2, С.745-747.

9. Богачёва М.Н. Об интерполяции финансовых рынков в случае конечного вероятностного пространства. // Математические и статистические методы в экономике и естествознании: Материалы 3-х мезвузовских научных чтений, Ростов-на-Дону, РГЭУ. 2002, С. 126-128.

10. Богачёва М.Н. Моделирование безарбитражных финансовых рынков и интерполяционные методы ее исследования. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ростов-на-Дону, 2004.

11. Боди 3., Мертон Р. К. Финансы. // М.: Вильяме, 2003.

12. Браунси К. Основные концепции данных и реализация в С++ // М: Вильяме, 2002.

13. Буренин А.Н. Рынки производных финансовых инструментов. // М.: Инфра-М, 1996.

14. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. // М.: Факториал-пресс, 2003.

15. Волков С.Н., Крамков Д.О. О методологии хеджирования опционов. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1997. Т.4. т. С.18-65.

16. Волосатова Т.А., Павлов И.В. Об интерполяции финансовых рынков, включая арбитражные. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: ТВП, 2004, Т. 11. вып. 3, С.458-467.

17. Волосатова Т.А., Павлов И.В. Совершенные хеджи в полным финансовых рынках, имитирующих скупку акций и допускающих арбитраж. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: ТВП, 2003, Т. 10. вып. 2, С.341-342.

18. Волосатова Т. А. Применение случайных хааровских интерполяций к моделированию (В, ^-рынков с двумя агрессивными скупщиками акций. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: ТВП, 2005, Т. 12. вып. 3, С.713-714.

19. Волосатова Т.А. Модели финансовых рынков, допускающих арбитраж, и их исследование с помощью метода хааровских интерполяций. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ростов-на-Дону, 2006.

20. Выхристов В.А., Можаев Г. А. Примеры мартингальных мер, не удовлетворяющих ОСУХЕ, и их приближение мартингальными мерами, удовлетворяющими ОСУХЕ. // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, ТВП. 2007, Т. 14, вып. 3, С.523-524.

21. Выхристов В.А., Можаев Г.А. О финансовых расчетах на безарбитражных (Л, 5)-рынках с конечным числом агрессивных скупщиков акций. // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, ТВП. 2007, Т. 14, вып. 5, С.769-789.

22. Гамровски В., Ранее С. Финансовые модели, использующие устойчивые законы. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1995. Т.2. №4. С.556-604.

23. Данекяиц А.Г., Павлов И.В. Об ослабленном свойстве универсальной хааровской единственности. // Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: ТВП, 2004, Т. И, вып. 3, С. 506-508.

24. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Техника интерполяции финансовых рынков, реализованных на счетном вероятностном пространстве. // ОППМ, М.:ТВП, Т. 10, вып. 2, 2003, С. 345-346.

25. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Модель (B,S)~рынка с бесконечным числом скупщиков акций и совершенное хеджирование методом хааровских интерполяций. // ОППМ, М.:ТВП, 2005, Т. 12, вып. 1, С. 143-144.

26. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Аппроксимационно-интерполяционный метод сведения безарбитражных финансовых рынков с бесконечным числом состояний к безарбитражным и полным рынкам с конечным числом состояний. // ОППМ, М.:ТВП, 2005, Т. 12, вып. 3, С. 730-731.

27. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Свойства хааровских интерполяций мартингалов в случае потока атомарных <7-алгебр и бесконечного горизонта. // ОППМ, М.-ТВП, 2004, Т. 11, вып. 1, С. 112-113.

28. Данекянц А. Г. О специальных хааровских интерполяциях мартингалов. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, приложение, 2005, №3, С. 3-20.

29. Данекянц А.Г. Моделирование безарбитражных финансовых рынков с помощью хааровских интерполяций на счетном вероятностном пространстве. // Строительство-2005, материалы международной научно-практической конференции, Ростов-на-Дону, РГСУ, 2005, С. 31-34.

30. Данекянц А.Г. Моделирование безарбитражных финансовых рынков с помощью хааровских интерполяций на счетном вероятностном пространстве. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ростов-на-Дону, 2006.

31. Измайлов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. // М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

32. Капитоненко В.В. Финансовая иатематика и ее приложения. // М.: Приор, 1998.

33. Кнут Д. Искусство программирования. // М: Вильяме, 2000, Т. 1,2,3.

34. Красий П.П., Павлов И.В. О безарбитражности и полноте обобщенной модели финансового рынка в случае скупки акций. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП, 1999, Т.6, №1, С.162-163.

35. Красий Н.П., Павлов И.В. О расширении финансового рынка до полного и безарбитражного в случае скупки акций. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Тезисы докладов, Ростов-на-Дону, 2000, С. 235-236.

36. Красий Н.П., Павлов И.В. Построение хеджирующих стратегий для одной модели (В,8)-рынка. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП, 2000, Т.7, Щ С.501-503.

37. Кутуков В. Б. Основы финансовой и страховой математики. // М.: Дело, 1998.

38. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. // М.: Наука, 1986.

39. Макории A. GLPK (GNU Linear Programming Kit) —пакет предназначенный для решения больших задач линейного программирования. // http: / / www.gnu.org/software/glpk.

40. Малыхин В.И. Финансовая иатематика. // М.: ЮНИТИ, 1999.

41. Мельников А.В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. // М.:, ТВП, 1997.

42. Мельников А.В., Нечаев М.Л., Степанов В.М. О дискретной модели финансового рынка и методах расчетов с ценными бумагами. // Препринт, М.: Научно-иссл. Актуарно-финансовый центр, 1996, №3, С.13.

43. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. // М.: ГУ ВШЭ, 2001.

44. Мельников А.В., Феоктистов К.М. Вопросы безарбитражности и полноты дискретных рынков и расчеты платежных обязательств. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП, 2001, Т.8, вып.1, С.28-40.

45. Мисюра В.В., Павлов И.В. Критерий существования мартингальной меры и расчёт цены опциона в случае специальной хааровской фильтрации. // Изв. вузов Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 1998. №4. С.24-30.

46. Можаев Г.А. Моделирование рынков с тремя агрессивными скупщиками. // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, ТВП. 2006, Т. 13, вып. 1, С.125-126.

47. Можаев Г.А. Построение хеджирующих стратегий при наличии трех агрессивных скупщиков акций. // Материалы региональной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава, Ростов-на-Дону, 2006, С.41-43.

48. Можаев ГА. Случайные интерполяции финансовых рынков с тремя агрессивными скупщиками акций. // Изв. вузов Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 2006, Приложение №12 (48), С.4-17.

49. Можаев Г.А. Проверка мартингальной меры на ослабленное свойство универсальной хааровской единственности. // Материалы региональной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава, Ростов-на-Дону, 2007, С.46-47.

50. Новиков А. А. Хеджирование опционов с заданной вероятностью. // Теория вероятностей и ее применения, 1998, Т.43, №1, С.152-160.

51. Павлов И.В. Об одном модели (В,8)-рынка, связанной с простейшей фильтрацией Хаара. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1997, Т.4, вып. 3, С.389-390.

52. Павлов И.В., Можаев Г.А., Выхристов В.А. Методика финансовых расчетов на безарбитражных (В, 5)-рынках с конечным числом агрессивных скупщиков акций. // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, ТВП. 2006, Т. 13, вып. 6, С.1039-1040.

53. Павлов И.В., Власков Г.А., Выхристов В.А, Данекянц А.Г., Можаев Г.А. Алгоритм, реализующий модель (В, 5)-рынка с бесконечным числом скупщиков акций. // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, ТВП. 2006, Т. 13, вып. 1, С. 129-131.

54. Савитч У. Язык С++. Курс объектно-ориентированного программирования // М.: Вильяме, 2001.

55. Чеботарев А. Библиотека Qt4. Создание прикладных приложений в среде Linux// М: Вильяме, 2006.

56. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: ФАЗИС, 2004, Т. 1,2.

57. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т.1,2. // 2 изд. М.: ФАЗИС, 2004.

58. Ширяев А.Н. Вероятность. // М.: Наука, 1980.

59. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики. // Теория вероятностей и ее применения. 1994, Т.39, Ш, С.5-22.

60. Ширяев А.Н. Стохастические проблемы финансовой математики. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП, 1994, Т.1, №5, С.780-820.

61. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. II. Непрерывное время. // Теория вероятностей и ее применения. 1994, Т.39, №1, С.80-129.

62. Шлее М. Qt4. Профессиональное программирование на С++ // СПб.: BHV-Санкт-Петербург BHV, 2007.

63. Хантер Д., Кэгл К., Гиббоне Д., Озу Н., Пиннок Д., Спенсер П. Введение в XML // М: Лори, 2001.

64. Эдди С. XML. Справочник. Наиболее полное руководство. // СПб.: Питер, 1999.

65. Follmer Н., Schied A. Stochastic Finance. An introduction in Discrete Time. Berlin: de Gruyter, 2002, 422 p.