Модели деформаций на фильтрованных пространствах: теория, алгоритмы, программный комплекс, применения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Назарько, Ольга Валерьевна

• Назарько, Ольга Валерьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Назарько, Ольга Валерьевна

ВВЕДЕНИЕ

1 ОБЩАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО БАЗИСА И ДЕФОРМИРОВАННЫЕ МАРТИНГАЛЫ

1.1 Деформации и деформированные стохастические базисы

1.2 Структура операторов

1.3 Деформированные мартингалы и их свойства.

1.4 Меры Q(T) и теорема о преобразовании свободного выбора для деформированных мартингалов.

1.5 Эквивалентные и строго эквивалентные деформации. Мартин-гальные деформации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели деформаций на фильтрованных пространствах: теория, алгоритмы, программный комплекс, применения»

Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена моделированию деформаций, их теоретическому описанию, построению алгоритмов различного рода приближенных вычислений, связанных с деформациями. Упомянутые алгоритмы легли в основу созданного нового программного комплекса "Моделирование деформированных дискретных процессов". Программный комплекс имеет исследовательский характер. В частности, в него можно внедрять различные новые математические модели, получать и обрабатывать результаты.

Под деформацией нами понимается последовательность вероятностных мер ((2(п))£°=о, каждая из которых задана на <т-алгебре событий информационного потока (или, что то же самое, фильтрации) (Г2, (^ггп)^=0). При определенных условиях связи между и ф^71"1"1) такая деформация порождается некоторым неотрицательным адаптированным процессом. Этот процесс называется процессом плотностей. Тема диссертации связана с моделированием процессов плотностей на дискретной фильтрации (то есть в случае, когда каждая сг-алгебра Тп порождена разбиением пространства исходов на не более чем счетное число атомов), а также с расчетами (при хеджировании финансовых обязательств, в области управления передачей данных по виртуальным каналам связи) в рамках информационных потоков с построенными таким образом деформациями. Отметим, что если информационный поток снабжен одной вероятностной мерой, то это соответствует случаю, когда процесс плотностей тождественно равен единице Именно при таких предположениях в последние десятилетия происходило развитие стохастического анализа с дискретным и непрерывным временем (в России — А.Н. Ширяев и его многочисленные ученики, за рубежом — П.-А. Мейер и его семинар в Страсбурге, Х.Фельмер и его группа в Гумбольтовском университете, В Шахермайер, Ф. Делбаен и многие другие), а также его применение в различных областях.

Актуальность темы настоящей диссертации определяется следующим обстоятельством. Часто в устойчивую работу финансовой, информационной или какой-либо другой системы вмешивается некоторый плохо предсказуемый фактор (экономический кризис, перегрузка сети в информационной системе и т.д.). В этот период прогнозы (основанные, как правило, на расчетах, связанных с одной вероятностной мерой) перестают быть состоятельными. Для новых расчетов нужен более тонкий анализ. В настоящей диссертации предлагается моделировать процессы функционирования системы в указанный период при условии, что на каждом участке времени действует своя вероятность возникновения различных событий Введенные в диссертации вероятностные меры математически реализуют данную идеологию.

Все вышесказанное свидетельствует о том, что направление исследований, которым посвящена диссертационная работа, является актуальным.

Объектами исследования настоящей диссертации являются общие математические модели систем (финансовых, информационных и т.д.) в периоды их неустойчивой работы (кризисные явления, перегрузка сети).

Целью диссертационной работы является построение моделей деформаций, заданных на информационном потоке; всестороннее теоретическое их изучение (включая развитие теории деформированных мартингалов); разработка алгоритмов вычисления процессов плотностей, порождающих деформации; выполнение расчетов для различных случайных процессов, развивающихся в рамках указанных математических моделей, с помощью построенного программного комплекса; применение созданного аппарата, а также известной техники хааровских интерполяций к проблематике моделирования финансовых рынков и процессов передачи данных по виртуальным каналам связи.

Для реализации этой цели потребовалось решить следующие задачи:

1) создать и всесторонне исследовать общую модель стохастического базиса, снабженную деформацией 1-го или 2-го рода; изучить аналог классического условного математического ожидания по одной мере, а именно, суперпозицию условных математических ожиданий по разным вероятностным мерам;

2) развить теорию деформированных мартингалов — процессов, ведущих себя как обычные риск-нейтральные процессы на каждом единичном временном промежутке;

3) исследовать общую дискретную модель деформированного стохастического базиса; получить необходимые и достаточные, а также конструктивные достаточные условия того, что заданный процесс, является процессом плотностей некоторой деформации 1-го рода;

4) сконструировать процессы плотностей для слабых деформаций на стохастическом базисе, снабженном специальной хааровской фильтрацией, получить соответствующие рекуррентные формулы и реализовать их в виде вычислительных алгоритмов;

5) построить и исследовать слабые деформации на бинарном стохастическом базисе, разработать алгоритмы их вычислений; применить данные результаты к исправлению ситуации, когда система удовлетворяет условию тривиализацни (дает сбой);

6) создать программный комплекс "Моделирование деформированных дискретных процессов", позволяющий производить вычисление (при наличии деформаций) различных характеристик процесса, определяющего поведение исследуемой модели;

7) внедрить в программный комплекс ранее разработанные другими авторами интерполяционные процедуры и с помощью полученного инструментария реализовать алгоритмы вычисления хеджирующих портфелей различных платежных обязательств и минимальных стратегий управления передачей данных.

Методика исследований. При решении перечисленных задач применялись методы и результаты теории функций и теории вероятностей, стохастического анализа и теории мартингалов, методы решения оптимизационных задач, теория алгоритмов и структур данных, имитационное моделирование.

Научная новизиа. Впервые введено определение деформаций 1-го и 2-го рода и их процессов плотностей (/¿„, .Т7^)^ и соответственно; изучены важные свойства этих деформаций (в частности, доказана теорема о представлении суперпозиции условных математических ожиданий, имеющей смысл наилучшего прогноза, как условного математического ожидания по специально подобранной вероятностной мере). Впервые введено понятие деформированных мартингалов; на них обобщены классические теоремы теории мартингалов (разложение Дуба и Крикеберга, теорема Дуба о преобразовании свободного выбора). Для модели с дискретным стохастическим базисом получены необходимые и достаточные условия, а также конструктивные достаточные условия того, что процесс (/гп, является процессом плотностей деформации 1-го рода. Эти результаты конкретизированы для случая специальной хааровской фильтрации и фильтрации, порожденной бинарным деревом. Построены алгоритмы, реализующие полученные вычислительные , схемы. Создан новый исследовательский программный комплекс, позволяющий как строить процессы плотностей, так и производить вычисления различных характеристик процессов, определяющих поведение рассматриваемых математических моделей. В программном комплексе соединены воедино разработанные методы деформированных стохастических базисов и интерполяционные методы. На этой основе разработаны новые идеи в области моделирования финансовых рынков и управления передачей данных по виртуальным каналам связи.

Выносимые на защиту результаты.

1. Общая динамическая модель деформации, заданной на потоке событий, связанных с эволюцией процесса, выражающего собой состояние технической или информационной системы.

2. Свойства деформаций, теорема о представлении суперпозиции условных математических ожиданий (имеющей смысл наилучшего прогноза) как условного математического ожидания по специально подобранной вероятностной мере.

3. Теоремы о деформированных мартингалах (разложение Дуба и Крикеберга, теорема Дуба о преобразовании свободного выбора).

4. Дискретная модель деформированного стохастического базиса\ условия того, что априорно заданный процесс является процессом плотностей деформации 1-го рода; критерий мартингальности построенной деформации.

5. Модель относительно специальной хааровской фильтрации, рекуррентные формулы и алгоритмы вычисления процессов плотностей.

6. Модели деформаций относительно бинарной фильтрации, деформации на модели Кокса-Росса-Рубинштейна, алгоритмы вычисления плотностей, случаи тривилизации (сбоев) процесса, выражающего состояние финансовой или информационной системы.

7. Программный комплекс "Моделирование деформированных дискретных процессов", позволяющий строить процессы плотностей и производить вычисления различных характеристик процессов, определяющих поведение рассматриваемых математических моделей.

8. Новые модели финансовых рынков, позволяющие вычислять справедливые цены финансовых обязательств и рассчитывать хеджирующие портфели.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут быть применены специалистами (финансовых учреждений; информационно-вычислительных центров), исследующими и моделирующими конкретные экономические и информационные системы, описываемые различными случайными процессами. Полученные в диссертации теоретические результаты, связанные с развитием теории деформированных стохастических базисов и деформированных мартингалов, значимы как вклад в прикладной стохастический анализ.

Достоверность результатов работы подтверждается

1) математическими доказательствами, результатами моделирования и обработки данных;

2) апробацией этих результатов на всероссийских и международных конференциях и научных семинарах;

3) актами внедрения диссертационных разработок.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих международных, всероссийских и региональных научных конференциях и семинарах:

1) Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (пос. Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2006г.);

2) VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике и на 13-й Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (г. Йошкар-Ола, 16 -22 декабря 2006г.);

3) региональных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава при РГЭУ (РИНХ) (г. Ростов-на-Дону, 2006-2009 гг.);

4) IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, весенняя сессия (г. Кисловодск, 1-8 мая 2008г.);

5) Международном симпозиуме по финансовой математике (г. Гданьск, Польша, 15-19 сентября 2008 г.);

6) IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике и pía 15-й Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам, осенняя сессия (г. Волжский, 5-11 октября 2008г.);

7) X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) и на 16-й Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (г. Санкт-Петербург, 19-24 мая 2009г.);

8) X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, осенняя сессия (г. Дагомыс, 1-8 октября 2009г.);

9) XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике и на 17-й Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (г. Кисловодск, 1-8 мая 2010г.);

10) научных семинарах по финансовой математике и стохастическому моделированию кафедры высшей математики РГСУ; 1) научном семинаре кафедры высшей математики и исследования операций Южного федерального университета;

12) научном семинаре кафедры высшей математики Таганрогского технологического института Южного федерального университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ, в том числе 12 без соавторов. Из них 10 публикаций в российских реферируемых журналах, входящих в список ВАК. Вклад автора в совместных публикациях таков. В работе [23] автору принадлежат явные формулы хеджирования. В работе [66] автор доказал формулу, выражающую структуру оператора многократного применения условного математического ожидания по различным вероятностным мерам. В работе [64] соавтору принадлежит идея использования специальных а-конечных мер для развития теории преобразования свободного выбора, а автору — все остальное, включая теорему Дуба для деформированных мартингалов. В работе [65] автору принадлежат доказательства свойств деформаций. В работе [67] соавтору принадлежит идея об использовании стохастического анализа к задаче моделирования полосы пропускания сигналов, а автору диссертации — реализация этой идеи.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы (103 наименований) и приложения, содержащего, в частности, акты внедрения. Главы разбиты на параграфы. Нумерация параграфов двойная: первая цифра указывает номер главы, в которой расположен параграф, а вторая цифра— номер самого параграфа. Аналогична нумерация определений, теорем и т.п. Нумерация формул, рисун

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Назарько, Ольга Валерьевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение приведем основные результаты нашего исследования, выносимые на защиту, и их краткий анализ.

1. Общая динамическая модель деформации и ее разработка, включая свойства деформаций, теоремы о деформированных мартингалахпостроение деформаций по процессам плотностей в случае дискретной модели деформированного стохастического базиса. Эти новые результаты служат основой для моделирования таких стохастических систем, в работу которых вмешивается плохо предсказуемый фактор (экономический кризис, перегрузка сети в информационной системе и т.д.).

2. Новые методы приблиэюенных вычислений для построения деформаций на стохастических базисах с специальной хааровской и бинарной фильтрациями, а также для вычисления характеристик деформированных процессов. Алгоритмы для бинарных фильтраций характеризуются довольно большой сложностью, что связано с необходимостью автономных вычислений для каждой ветви. Однако в финансовой математике (а это и было целью наших приложений) такие модели используются для достаточно малых горизонтов, что позволяет эффективно и с нужной точностью проводить вычисления на современных компьютерах. Напротив, сложность алгоритмов для обобщенных специальных хааровских значительно ниже и они требуют на порядок меньше машинного времени. Эти модели являются основополагающими в диссертации. Результаты приближенных вычислений по всем алгоритмам непрерывно зависят от вводимых начальных данных.

3. Программный комплекс "Моделирование деформированных дискретных процессов", позволяющий проводить исследования и эффективные расчеты, в частности, в рамках моделей финансовой математики и моделей управления передачей данных по виртуальным каналам связи (о чем свидетельствуют акты внедрения). Комплекс отвечает современным требованиям, предъявляемым к программному обеспечению: функционирование на ряде популярных программных платформ (Windows, Linux, Mac OS X), высокая производительность, эргономичный пользовательский интерфейс и гибкая расширяемость. В качестве основного языка программирования выбран объектно-ориентированный язык С++. Программный комплекс расширяем извне внешними программами (плагинами), которые используют ресурсы ядра и подключаются по мере надобности. Сконструировано 4 плагина, позволяющих анализировать и вести вычисления на моделях: бинарных фильтраций; хааровских и специальных хааровских (в том числе, обобщенных) фильтраций; (В, ¿¡^-рынков с произвольным числом агрессивных скупщиков акций; управления каналами передачи данных. Модель (В, 5')-рыиков с произвольным числом агрессивных скупщиков акций является улучшенной версией соответствующих моделей из диссертаций Можаева Г.А. и Пилосян Э.А. Остальные модели созданы автором диссертации. В отличие от комплексов, созданных в вышеуказанных диссертациях, к данному комплексу можно подключать любое число новых плагинов, что делает его удобным исследовательским комплексом. Расчет однотипных задач с помощью нашего комплекса требует приблизительно на 20 процентов времени меньше. Ректификация вычислительных методов (в частности, метода хааровских интерполяций) дала возможность увеличить точность вычислений примерно на 10 процентов.

В программном комплексе для выполнения вычислительных операций используются числа с плавающей запятой двойной точности (тип "double"языка С++, соответствующий стандарту IEEE 754). Использование этого типа данных обеспечивает относительную точность вычислений около 16 десятичных цифр и допустимый диапазон хранимых значений от 1, 7е~308 до 1,7е~308.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Назарько, Ольга Валерьевна, 2011 год

1. Белявский Г.И., Мисюра В.В., Павлов И.В. Исследование модели (В, Б)-рынка относительно специальной хааровской фильтрации. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 1998, с. 179-181.

2. Богачев В.И., Смоляное О.Г. Действительный и функциональный анализ. // М.-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, Институт компьютерных исследований, 2009. — 724 с.

3. Богачёва М.Н. Об интерполяции финансовых рынков в случае конечного вероятностного пространства. // Математические и статистические методы в экономике и естествознании: Материалы 3-х мезвузовских научных чтений, Ростов-на-Дону, РГЭУ. 2002, с. 126-128.

4. Богачёва М.Н. Моделирование безарбитражных финансовых рынков и интерполяционные методы ее исследования. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ростов-на-Дону, 2004.

5. Богачёва М.Н., Павлов И. В. О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков до безарбитражных и полных // Успехи матем. наук, 2002, Т.57, В.З, с. 143-144.

6. Боди 3., Мертон Р. К. Финансы. // М.: Вильяме, 2003, 585 с.

7. Бланшет Ж., Саммерфилд М. Qt 4: Программирование GUI на С++. // М.: Кудиц-Пресс, 2007.

8. Браунси К. Основные концепции данных и реализация в С++. // М: Вильяме, 2002.

9. Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. // «Наука», 2001, 296 с.

10. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. // М.: Факториал-пресс, 2003, 348 с.

11. Волков С.Н., Крамков Д.О. О методологии хеджирования опционов. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 1997. Т.4., №1., С.18-65.

12. Волосатова Т.А. Применение случайных хааровских интерполяций к моделированию (В, 5)-рынков с двумя агрессивными скупщиками акций. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2005, Т.12., В.З, С.713-714.

13. Волосатова ТА. Модели финансовых рынков, допускающих арбитраж, и их исследование с помощью метода хааровских интерполяций. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ростов-на-Дону, 2006.

14. Волосатова Т.А., Павлов И.В. Об интерполяции финансовых рынков, включая арбитражные. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2004, Т.Н., В.З, С.458-467.

15. Волосатова Т.А., Павлов И.В. Совершенные хеджи в полных финансовых рынках, имитирующих скупку акций и допускающих арбитраж. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2003, Т. 10., В.2, С.341-342.

16. Выхристов В.А., Горгорова В.В., Назарько О.В. Об интерполяции цен акций в рамках одной модели финансового рынка. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Тезисы докладов, Ростов-на-Дону, 2006, с. 222-224.

17. Выхристов В.А., Моэ/саев Г.А. О финансовых расчетах на безарбитражных (В, ¿^-рынках с конечным числом агрессивных скупщиков акций. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2007, Т. 14, В.5, С.769-789.

18. Выхристов В.А., Моэ/саев Г.А. Примеры мартингальных мер, не удовлетворяющих ОСУХЕ, и их приближение мартингальными мерами, удовлетворяющими ОСУХЕ. // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, ТВП. 2007, Т. 14, В.З, С.523-524.

19. Данекянц А.Г. О специальных хааровских интерполяциях мартингалов.

20. Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные пауки, приложение, 2005, №3, С.3-20.

21. Данекянц А. Г. Моделирование безарбитражных финансовых рынков с помощью хааровских интерполяций на счетном вероятностном пространстве. // Строительство-2005, материалы международной научно-практической конференции, Ростов-на-Дону, РГСУ, 2005, С.31-34.

22. Данекянц А.Г. Моделирование безарбитражных финансовых рынков с помощью хааровских интерполяций на счетном вероятностном пространстве. // Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. Ростов-на-Дону, 2006.

23. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Техника интерполяции финансовых рынков, реализованных на счетном вероятностном пространстве. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, Т.10, В.2, 2003, С.345-346.

24. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Свойства хааровских интерполяций мартингалов в случае потока атомарных сг-алгебр и бесконечного горизонта. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2004, T.II, В.1, С.112-113.

25. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Модель (¿?,5)-рынка с бесконечным числом скупщиков акций и совершенное хеджирование методом хааровских интерполяций. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2005, Т. 12, В.1, С. 143-144.

26. Иванов П. Ethernet в огнях большого города. // Сети, М.: Открытые системы, 2003, №19, электронный ресурс http: / / www.osp. ru/nets/2003/19/149461.

27. Измайлов А.Ф., Солодов M.B. Численные методы оптимизации. // М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

28. Кнут Д. Искусство программирования. // М: Вильяме, 2000, Т.1,2,3.

29. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики. // М.: Дело, 1998.

30. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. // М.: Наука, 1986, 512 с.

31. Малыхин В.И. Финансовая математика. // M.: ЮНИТИ, 1999. Мельников А.В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. // М.:, ТВП, 1997, 126 с.

32. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев M.JI. Математика финансовых обязательств. // М.: ГУ ВШЭ, 2001, 254 с.

33. Можаев Г.А. Проверка мартингальной меры на ослабленное свойство универсальной хааровской единственности. // Материалы региональной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава, Ростов-на-Дону, 2007, с.46-47.

34. Можаев Г.А., Павлов И.В., Пилосян Э.А. О финансовых расчетах на безарбитражных (В, ¿^-рынках с бесконечным числом агрессивных скупщиков акций. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2008, Т.15, В.З, с.505-506.

35. Назарько О.В. О (B,S)-pbiHicax на деформированных стохастических базисах. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2006, т.13, вып. 6, с.1038-1039 (издание, рекомендованное ВАК РФ).

36. Назаръко О. В. Сильные деформации на нерегулярных финансовых рынках относительно специальной хааровской фильтрации. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2009, т.16, вып. 2, с. 267-268 (издание, рекомендованное ВАК РФ).

37. Назаръко О.В., Павлов И.В. Теорема Дуба о преобразовании свободного выбора для деформированных мартингалов. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2010, т. 17, вып. 2, с.239-240 (издание, рекомендованное ВАК РФ).

38. Назаръко О.В., Павлов И.В., Чернов A.B. Деформации и деформированные стохастические базисы. // В сб. «Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания», Ростов-на-Дону, РГЭУ (РИНХ), 2010, с. 36-52.

39. Назаръко О.В., Чернов A.B. Об операторах повторного условного ма-тожидания по разным вероятностным мерам. // XVIII Международная конференция «Математика. Экономика. Образование.», Абрау-Дюрсо, тезисы докладов, 2010, с. 106.

40. Павлов И.В. Об одном модели (B,S)~рынка, связанной с простейшей фильтрацией Хаара. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1997, Т.4, В.З, с.389-390.

41. Павлов И.В. и др. Обобщенная модель эволюции цен акций в случае их скупки. // Известия РГСУ, 2000, №5, с. 165-173.

42. Павлов И.В. и др. Модели (В, 5')-рынков типа Кокса-Росса-Рубинштейна в случае скупки акций. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки, 2001, №1, с.7-11.

43. Павлов И.В., Данекянц А.Г. Интерполяция мартингалов относительно хааровских фильтраций. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2004, T.II, В.1, с.73-82.

44. Павлов И.В., Данекянц А.Г. Об ослабленном свойстве универсальной хааровской единственности. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2004, Т.11, В.З, с.506-508.

45. Павлов И.В., Мисюра В.В. Критерий существования мартингальиой меры и расчёт цены опциона в случае специальной хааровской фильтрации. // Изв. вузов Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 1998, №4, с.24-30.

46. Павлов И.В., Можаев P.A., Выхристов В.А. Методика финансовых расчетов на безарбитражных (В, ¿^-рынках с конечным числом агрессивных скупщиков акций. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 2006, Т.13, В.6, с. 1039-1040.

47. Павлов И.В., Пилосян Э.А. Интерполяционные свойства мартингальиых мер на сепарабельном измеримом пространстве. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2007, Т.14, В.4, с. 660-662.

48. Пилосян Э.А. Обобщенная одпошаговая модель (Б, 5')-рынка с бесконечным числом скупщиков акций. // В сб.: «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий», СГУТиКД, Тезисы докладов, Сочи, 2008, с. 60-62.

49. Пилосян Э.А. Усиленное свойство хааровской единственности мартингальиых мер. // В сб. «Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания», Ростов-на-До ну, РГЭУ (РИНХ), 2008, с.68-70.

50. Пилосян Э.А. Алгоритм определения приоритетных, неприоритетных и усредненного скупщика акций в модели агрессивной скупки. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2009, Т.16, В.2, с.375-376.

51. Пилосян Э.А. Структура и алгоритмы функционирования программного комплекса «Хеджирование посредством интерполяции». // Научно-технические ведомости СПбГПУ, "Информатика. Телекоммуникации. Управление."2009, №2, с. 133-139.

52. Пилосян Э.А. Модели и алгоритмы программ для финансовых рынков, подверженных массовой скупке акций. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Ростов-на-Дону, 2009.

53. Пилосян Э.А., Можаев Г.А. Методы финансовых расчетов на безарбитражных (В, 5)-рынках с бесконечным числом агрессивных скупщиков акций. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2008, Т.15, В.5, С.819-834.

54. Построение мультисервисных сетей операторов связи набазе технологии Metro Ethernet. / / Электронный ресурс www.cisco.com/web/RU/downloacls/optical.pdf.

55. Решения и продукты компании Cisco Systems по построению оптических связей. / / Электронный ресурс http://www.uni. ru/solutions.php?action=show.

56. Савитч У. Язык С++. Курс объектно-ориентированного программирования. // М.: Вильяме, 2001.

57. Фелъмер Г., Шид А. Введение в стохастические финансы. Дискретное время. // М.: МЦМНО, 2008, 496 с.

58. Хантер Д., Кэгл К., Гиббоне Д., Озу II., Пиннок Д., Спенсер П. Введение в XML. // М: Лори, 2001.

59. Чеботарев А. Библиотека Qt4. Создание прикладных приложений в среде Linux. // М: Вильяме, 2006.

60. Ширяев А.И. Вероятность — 1. // М.: МЦНМО, 2004, 520 с.

61. Ширяев А.Н. Вероятность — 2. // М.: МЦНМО, 2004, 928 с.

62. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики. // Теория вероятностей и ее применения. 1994, Т.39, №1, С.5-22

63. Ширяев А.Н. Стохастические проблемы финансовой математики. // Обозрение прикл. и промышл. матем., М.: ТВП, 1994, Т.1, №5, С.780-820.

64. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. // М.: ФАЗИС, 2004, Т.1,2, 1017 с.

65. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. II. Непрерывное время. // Теория вероятностей и ее применения. 1994, Т.39, №1, С.80-129.

66. Шлее М. Qt4. Профессиональное программирование на С++. // СПб.: BHV-Санкт-Петербург BHV, 2007.

67. Эдди С. XML. Справочник. Наиболее полное руководство. // СПб.: Питер, 1999.

68. Long R. Martingales spaces and inequalilies. // Peking University Press, 1993, 346 p.

69. Neveu J. Discrete-parameter martingales. // North-Holland Publ. Сотр., 1975, 236 p.

70. Shiryaev A.N., Spokomy V.G. Statistical experiments and decisions. Asymtotic theory. // World Scientific Publ. Co. Pte. Ltd., Advanced Series on Statistical Science and Applied Probability, v. 8, 283 p.