Применение мартингальных методов к моделированию финансовых рынков в случае скупки акций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Красий, Надежда Павловна

• Красий, Надежда Павловна
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Красий, Надежда Павловна

Введение

Глава 1 Обобщённая модель (В,8)-рынка в случае скупки акций.

§ 1 Качественное описание обобщённой модели (В,8)рынка в случае скупки акций.

§2 Один вспомогательный результат.

§3 Математическая реализация обобщённой модели

В,8)-рынка в случае скупки акций.

§4 (В,8)-рынок типа Кокса-Росса-Рубинштейна на стохастическом базисе (С!,^ р, Р)2^.

Глава 2 Специальные модели эволюции стоимости акции.

В,8)-рынок без учёта скрытых времён.

§ 1 Модели без переключений и модели с неслучайными переключениями.

§2 Теоретическое описание модели со случайными переключениями.

§3 Модель со случайными переключениями.

§4 Вычисление спрэда.

§5 Обобщенная модель (В,8)-рынка в случае скупки акций без учёта скрытых времён.

Глава 3 Построение хеджирующих стратегий для обобщённой модели (В,8)-рынка в случае скупки акций.

§ 1 Вычисление приращения дисконтированного капитала.

§2 Приращение дисконтированной цены акции.

§3 Формулы, для вычисления компонентов хеджирующего портфеля.

§4 Хеджирование в случае, когда все свободные переменные равны нулю. Вычисление справедливой цены опционов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение мартингальных методов к моделированию финансовых рынков в случае скупки акций»

Настоящая диссертация посвящена моделированию финансовых рынков. В ней систематически применяется идеология и технические средства стохастической финансовой математики, призванной исследовать свойства финансовых структур и оптимизировать процесс распоряжения финансовыми ресурсами с учётом факторов времени, риска и случайного характера окружающей среды.

Исследуя введенную нами «обобщённую модель (В,8)-рынка в случае скупки акций», мы рассматриваем вопросы полноты и безарбитражности рынка в рамках данной модели, некоторые возможные варианты поведения стоимости акции (в том числе модель, учитывающую случайный характер избрания стратегий скупщика); исследуются вопросы о возможности дополнения неполного рынка до полного, строятся хеджирующие стратегии для финансовых обязательств произвольного вида.

Ниже приводятся точные определения и обзор результатов, применяемых в диссертации.

Основные определения и факты

Финансовый рынок. Под финансовым рынком будем понимать совокупность рынка ценных бумаг, реализуемых на бирже акции, облигации и производные (вторичные) ценные бумаги), и внебиржевого рынка финансовых ресурсов (кредиты, банковские услуги и т.д.).

На финансовом рынке его участники проводят финансовые операции с помощью финансовых инструментов. Участниками финансового рынка являются финансовые компании, банки и другие финансово-страховые структуры, включая индивидуумов.

Основу финансового рынка составляют активы, реализуемые через ценные бумаги: банковский счёт, облигации, акции.

К производным финансовым инструментам относятся: опционы, фьючерсные контракты, варранты, свопы, комбинации, спрэды, сочетания.

Дадим краткую характеристику интересующих нас в дальнейшем понятий; материал, касающийся не затронутых в данной работе финансовых инструментов может быть найден в [5], [46], [58], [59], [77].

Акции - это долевые ценные бумаги, выпускаемые корпорациями, компаниями, фирмами с целью аккумулирования капитала. Акции в основном бывают двух типов: обыкновенные и привилегированные. Они различающиеся выплатой дивидендов, степенью риска вкладывания в них финансовых средств и другими чертами, на которых мы не будем акцентировать внимание.

Многих инвесторов покупка акций привлекает не дивидендами, а возможностью зарабатывать деньги на колебаниях цен акций, покупая их по низкой цене перед тем, как остальные начнут это делать, и раньше конкурентов продавая их по высокой цене.

Облигации - это долговые ценные бумаги, выпускаемые государством или теми или иными фирмами с целью аккумулирования капитала, реструктурирования своих долгов и т.д. В отличии от акций, они выпускаются на некоторый срок, по истечении которого изымаются из обращения посредством погашения (выкупа). Характеристиками облигации являются: время погашения, стоимость погашения, выплаты до погашения. Выплаты по облигациям, в сущности, эквивалентны банковской процентной ставке.

Банковский счёт может рассматриваться как ценная бумага, относящаяся к облигациям, суть которой состоит в том, что банк обязуется выплачивать по вашему счёту определённый процент от суммы счёта. В дальнейших рассмотрениях банковский счёт будет возникать не раз, что во многом объясняется его универсальностью удобной «единицы измерения» цен разнообразных ценных бумаг.

Опционы - производные ценные бумаги некоторого актива. Чтобы стать держателем такой бумаги, нужно заплатить некоторую премию эмитенту. При этом приобретается право предъявить данную бумагу к исполнению в оговоренный срок и получить выплату в фиксированном размере. Опцион на покупку (call-option) даёт право его владельцу (держателю опциона) купить актив по фиксированной договором цене не позже определённой даты (американский опцион) или на момент такой даты (европейский опцион). Владелец опциона может отказаться от указанной покупки актива без всяких штрафов. Аналогично, опцион на продажу (put-option) даёт право его владельцу продать актив по фиксированной цене не позже определённой даты (американский опцион) или на момент такой даты (европейский опцион). Поскольку в настоящее время математическая теория расчета справедливых цен опционов хорошо развита, мы далее подробно рассматриваем связанные с ней понятия при описании нужных нам фактов стохастического анализа.

Практическая работа на финансовом рынке требует проведения достаточно точных расчётов цен активов, торгуемых на рынке. Однако делать состоятельные прогнозы и вырабатывать приносящие прибыль стратегии невозможно без определённых допущений, позволяющих привлекать для анализа научные доводы. К этим допущениям относятся:

1. «Скрытые» параметры типа психологических мотивов учитываются.

2. Предполагается, что дальнейшее развитие рынка пойдёт примерно так же, как это происходило в прошлом (с учётом изменений, происшедших на рынке). Такой способ анализа можно развить далее, допустив, что различные показатели рынка можно моделировать как случайные величины. Это, в свою очередь, открывает путь к использованию теоретико-вероятностных методов.

3. Об анализируемом финансовом инструменте (или о близких в некотором смысле к нему) должна быть накоплена определённая информация.

Перечисленные выше предположения служат основанием для исследования финансовых рынков научными методами (математическими, с использованием компьютерной техники и т.д.).

Гипотеза поведения цен как случайного блуждания далеко не сразу была принята как экономистами, так и математиками (см., например, [59]), но именно она привела к классической концепции эффективного, или «рационального» рынка. Под этим подразумевается, что на рынке:

1) мгновенно производится коррекция цен на изменения внешних условий, цены становятся «справедливыми», т.е. полностью исключается арбитраж (купля-продажа активов, позволяющая извлечь прибыль из разницы цен на разных рынках);

2) участники рынка однородно интерпретируют информацию, мгновенно корректируя свои решения при обновлении этой информации;

3) участники рынка преследуют свои (собственные) эгоистические интересы, которые характеризуются некоторым объективным образом; данное предположение позволяет анализировать действия конкретного участника, опираясь на некоторые его устремления.

Эти предположения выражены чисто словами, тем не менее, они вместе с гипотезой о случайном блуждании цен позволяют развить стройную и довольно сложную математическую теорию финансового рынка.

Краткий обзор основных понятий стохастического анализа.

Начиная с семидесятых годов, стохастический анализ, в основе которого лежит теория мартингалов, начал проникать в исследования, связанные с моделированием таких финансовых явлений, как цены акций, облигаций, банковских счетов; появилась возможность более точных расчётов вторичных финансовых инструментов (опционов, фьючерсных и форвардных контрактов и т.д.). Такое проникновение обусловлено многочисленными исследованиями поведения рисковых активов рынка, которые выявили хаотичность природы изменения цен, их по настоящему случайный характер.

Основоположником стохастической финансовой математики по праву считается Л. Башелье, который ещё в 1900 году первым использовал математическое определение «броуновского движения» в качестве модели динамики цен акций и применил методы теории вероятностей к анализу стоимости опционов (см. [61]). Однако долгое время работа Башелье не была должным образом оценена, а привлекла к себе внимание лишь в середине 60-х годов. В 1965 году известный экономист П. Самюэльсон ввёл определение геометрического броуновского движения (см.[73]), которое устраняло возможность отрицательности цен, присутствующую в модели Башелье. На основе этой модели в 1973 году Блэк и Шоулс получили точные формулы для расчёта справедливой цены и хеджирующих стратегий для опционов европейского типа (см. [62]). Таким образом «случайность» в изменении цен рисковых активов финансового рынка стала отправной точкой в построении различных экономических моделей, что вызвало необходимость в использовании методов теории вероятностей.

Фундаментом вероятностной модели является стохастический базис

П^^Р^где п0 — финальный момент времени (горизонт), до которого включительно исследуется модель (в наших построениях полагаем, что п0 < оо );

О — пространство, состоящее из элементарных событий со, понимаемых как различные состояния рынка; — ст-алгебра подмножеств пространства элементарных событий (совокупность всех событий, наблюдаемых на рынке до момента п0 включительно); Р — вероятностная мера на Т7; п По — возрастающая последовательность (фильтрация) оподалгебр а-алгебры Е, где Ей = {О,0}, Е = Е, а каждая ^ с^ интерпретируется как информация о событиях, происходящих на рынке на момент времени п.

Последовательность /^-измеримых случайных величин (с.в.) Бп (то есть, адаптированную к (Еп) последовательность) будем интерпретировать как рыночную цену акции, где — цена акции в момент времени п (естественно полагать, что \/п Бп > О Р -почти наверное (п.н.)). Другую адаптированную к (Еп) последовательность (Вп)пп°=0 удовлетворяющую тем же неравенствам) понимают как стоимость банковского счёта в момент времени п. В большинстве случаев последовательность (Вп)пп°=0 считается детерминированной или, по крайней мере, предсказуемой и Еп= су(£0, ^,., ).

Рынок, определяемый последовательностями и Вп, будем называть (В£>)-рынком.

Обозначим через (3„ количество единиц банковского счёта, а через у п — количество акций в момент времени п. Инвестиционная стратегия (или портфель) п определяется как двумерная предсказуемая последовательность ((3„,У„)"10 (то есть (3„ и уп являются Епх -измеримыми).

Капитал портфеля и — это последовательность случайных величин {х* , задаваемая формулой

РА+уА-+А> (0-1) где {кп — некоторая адаптированная к (/^) последовательность.

Для упрощения обозначений мы будем часто отбрасывать индекс 7Г.

Рассмотрим подробнее, как происходит формирование портфеля п. Начальный капитал в момент времени п- О имеет вид: о =Мо+Уо^о-При переходе к следующему моменту времени п = 1 под воздействием различного рода обстоятельств капитал Х0 может измениться и принять значение Х0 + gl, где gl — случайная величина, которая является ^-измеримой. В зависимости от знака g1 капитал может увеличиться, уменьшиться или остаться прежним (при ^¡^О). Стремясь получить к моменту п = 1 как можно больший капитал Хх, производят различные финансовые операции (продают одни акции, покупают другие, вносят изменения в банковский счёт), тем самым модернизируя структуру портфеля. То есть непосредственно перед объявлением новых цен на акции (перед моментом п = 1) портфель будет состоять из (3! единиц банковского счёта и у, акций. Таким образом,

Сразу после объявления новых цен на акции и процентного начисления на банковский счёт в момент п = 1 происходит добавление (или изъятие) суммы кх, после чего капитал портфеля принимает вид: = (3+ у^, + \.

Так и во все промежутки между моментами п -1 и п капитал Хпх изменяется на значение -измеримой случайной величины gn и происходит перераспределение портфеля так, что

Хп-\ +ёп= Р А-1 + У А-1 • (0-2)

В момент п капитал портфеля выражается формулой (0.1).

Если при этом портфель не испытывает ни притока дополнительного капитала, ни оттока капитала, не учитываются дивиденды и т.д. (кп=0 \/п и gn = 0 \/п), то такой портфель назовём самофинансируемым.

Отметим, что в состав gn обычно входят инвестиции, потребление, операционные издержки, в то время, как кп включает в себя дивиденды на акции, премии за страховые полисы и выплаты по полисам (если речь идет о страховых компаниях, см. [37, с. 28-29].

В дальнейшем мы будем часто использовать следующую теорему", составленную из результатов, которые можно найти в [58, с.493-503].

Теорема 0.1. Рассмотрим портфель п = ((3„,уи)^°=0 ценных бумаг с капиталом (0.1). Тогда следующие условия равносильны: a) Хп+gn= + у, п = 1,2,., и0 (вид финансирования портфеля); b) ВпЛЛр„ + 5'и1Дуи = £и + кпЛ, п = 1,2,., «о соотношение); c) = РИЛ£П + у„Д5п +gn+hn, п = 1,2,.,ио приращения капитала); балансовое формула

Ф А

Вп ;

Ч Л

УВпУ п ' "п в п-1 к в п = 1,2,.,«0 формула приращения дисконтированного капитала).

Заметим, что все выписанные в теореме 0.1 соотношения понимаются Р-п.н. Для полноты изложения доказательство этой теоремы помещено в Приложении 1 к данной диссертации.

Теорема 0.1 будет применятся, в основном, следующим образом. По специальным способом подобранной адаптированной последовательности (Хп) из соотношения (ё) будем находить предсказуемую последовательность (уи), после чего (|3И) будем получать из (а) и доказывать, что справедлива формула (0.1), то есть капитал портфеля п совпадает с (Хп).

Перейдем к описанию таких важных понятий рынка, как безарбитражность и полнота.

Арбитражем называется наличие возможности получения прибыли без риска. Арбитражная стратегия - стратегия, приносящая прибыль при нулевых начальных затратах. Более точно (см. [58, с. 528, определение 2]), говорят, что самофинансируемый портфель п реализует арбитражную возможность, если Хд - 0, р{х„й >о)=1 и р{х*о >0)>0. (В,8)-рынок, на котором отсутствуют арбитражные возможности, называется безарбитражным1.

Самофинансируемый портфель тс = (Рй,у„такой, что в момент времени п0 его капитал мажорирует некоторое платёжное обязательство / > 0, являющееся -измеримой случайной величиной (т.е. для которого X* > Р-п.н.), называется хеджирующим портфелем. Процедура построения такого портфеля называется хеджированием данного обязательства. Если при этом Рп.н. Х*о = /По, то хедж называется совершенным. (В,8)-рынок называется полным, если для любого платёжного обязательства / Павлов И.В. Элементы стохастической финансовой математики. Спецкурс, 2001.

1 Существуют и другие, равносильные приведенному, определения безарбитражного рынка (см. [57, с. 529, опред. 3 и с. 544, теор. А ]). существует совершенный хедж.

Дисконтированной ценой акции называется отношение цены акции к банковскому счёту. Основой для анализа различных стохастических моделей (В,8)-рынка является предположение о наличии мартингалъной меры Р, каковой мы называем такую вероятностную меру Р, эквивалентную исходной мере Р (записывают

Р ~ Р), относительно которой процесс о Л «о р р

В ' является мартингалом.

Для исследований (В,8)-рынков особо важны такие их качества, как полнота и безарбитражность. Именно эти экономические характеристики имеют математическое воплощение, выраженное в двух основных теоремах финансовой математики (см. [6, с.72-79], [57, с.28-36]).

Теорема 0.2. (В,8)-рынок является безарбитражным тогда и только тогда, когда существует мартингальная мера Р .

Теорема 0.3. (В,8)-рынок является полным тогда и только тогда, когда мартингальная мера Р существует и единственна.

Теперь остановимся подробнее на понятии опциона. Для определённости рассмотрим стандартный опцион на покупку Европейского типа. Опцион такого типа даёт право его владельцу купить в фиксированный момент времени п0 некие рисковые активы в данной работе это будут акции) по заранее оговоренной контрактной цене К. Ясно, что в момент п0 фактическая стоимость акции может отличаться от контрактной. При £ > К владельцу опциона выгодно предъявить его к исполнению, так как, немедленно продав эти акции, он получает в этом случае доход, равный Б -К.

При обратной ситуации, когда Б < К, опцион не предъявляется к исполнению, так как сделка становится невыгодной для владельца опциона, который может купить интересующие его акции на рынке по меньшей цене. Таким образом, в момент п0 доход покупателя (равный финансовому обязательству продавца) определяется по формуле

Получив за проданный опцион премию СПо, продавец опциона должен к моменту п0 иметь возможность выполнить взятые на себя обязательства. Исходя из этого, он должен, имея начальный капитал Хц = СПо, так построить свою стратегию, чтобы в момент п0 достигнуть платёжного обязательства / , совпадающего с доходом покупателя, т.е. Х^ > (р ~к)+.

В связи с этим, весьма актуальны задачи о вычислении справедливой цены опциона Сщ и о построении стратегии продавца опциона, хеджирующей его финансовое обязательство.

Очевидно, что продавец и покупатель опциона преследуют разные цели, назначая, соответственно, продажную С* (п0) и покупную С* (п0) цены опциона. При отсутствии полноты рынка, это приводит к появлению ненулевой разницы С* - С*, называемой спрэдом. Если же рынок полон, то возможно совмещение противоположных интересов продавца и покупателя, выражающееся в существовании справедливой цены опциона Сп (см. [36, с.74]), когда

С — С — с*. О

Модель Кокса-Росса-Рубинштейна. Ключевой вопрос при исследовании (В,8)-рынка — определение законов, согласно которым эволюционируют цены активов рынка, иначе говоря, законов, формирующих последовательности и Вп. Обычно эволюция банковского счёта считается детерминированной. Эволюция же цен акций носит, как было отмечено ранее, ярко выраженный случайный характер и поэтому задание последовательности представляет особый интерес.

Основой для построения многочисленных моделей финансового рынка является модель Кокса-Росса-Рубинштейна, базирующаяся на том естественном предположении, что цены акций в любой момент времени могут как повышаться, так и понижаться. Считая эти изменения дискретными, Кокс, Росс и Рубинштейн разработали биномиальную модель (В,8)-рынка (см. [63]), где В и £ эволюционируют согласно формулам:

Вп=(1 + г)Впх, (0.3) где В0 > 0 и г - постоянная процентная ставка;

Яя=(1 + Ри&-1> (0-4) где ^ > 0 и р„>-1 - последовательность независимых в совокупности одинаково распределённых двузначных случайных Га, величин: рп = < причем -1 <а<г<Ъ.

1А

Данная модель исследуется в работах [32], [36], [39], [49], [52],

Появление модели Кокса-Росса-Рубинштейна послужило толчком для развития методов современного стохастического анализа в математической теории финансов. Как отметил А.Н. Ширяев (см. [58, с.137]): "биномиальная модель Кокса-Росса-Рубинштейна . играет в финансовой математике роль, сходную со схемой Бернулли в классической теории вероятностей - будучи весьма простой, эта модель даёт возможность полного расчёта многих финансовых характеристик, например справедливых цен опционов, хеджирующих стратегий и др.".

На основе этой модели строятся более сложные. Так, в [58, § 1с, гл. V] в связи с теорией расчётов рациональной стоимости опционов на неполных рынках было предложено обобщение биномиальной модели в предположении, что величины рп принимают не два значения а или Ь, а значения из интервала \а, Ь].

Модель (В,8)-рынка в случае «жёсткой» скупки акций. В работах Г.И. Белявского, В.В. Мисюры , И.В. Павлова (см. [2]-[4], [41]-[44]) была построена модель (В,8)-рынка (типа Кокса-Росса-Рубинштейна), рассмотренная на так называемом специальном хааровском стохастическом базисе. Возрастающее семейство ст-алгебр имело следующую структуру (см. [72, с. 51]): = {0,П},., К п<п0, причём В0:=п и Ап\}Вп = Впх. На построенном стохастическом базисе (О, Рп, F, Р)пп°=0 исследовался рынок, описывающийся следующими соотношениями: (Вп)пп°=0 — детерминированная последовательность (см. формулу (0.3)), а )п1о— адаптированная стохастическая последовательность вида к=1 где

Нетрудно видеть, что если этот (В,8)-рынок рассмотреть относительно «риск-нейтральной» (мартингальной) вероятностной меры Р, то при попадании элементарного события со в какое-либо множество Д. цена акции ^(со) начинает вести себя после момента времени / как банковский счет. Поэтому атомы Д, г = 1,п0, могут рассматриваться как события, состоящие в том, что акция в момент времени г была скуплена, скупщик положил ее «под сукно» (то есть акция больше на рынок не поступает), а индивидуум, продавший акцию, положил вырученные за нее деньги на банковский счет. Атом Вп - это событие, состоящее в том, что акция не скуплена и остаётся эволюционировать на рынке. (Заметим, что из описанной выше структуры стохастического базиса следует, что в каждый момент времени п дробится только один атом, а именно атом Вп1).

Построенная таким образом модель достаточно адекватно отражает состояние современного российского финансового рынка, поскольку стратегия «жёсткой» скупки соответствует стратегии завладения контрольным пакетом акций какого-то предприятия, что весьма актуально на сегодняшний день.

Сводка результатов диссертации

Модель, которую мы строим и исследуем в настоящей диссертации, названа нами «обобщённой моделью (В,8)-рынка в случае скупки акций». У этой модели есть как общие черты с моделью в случае «жесткой» скупки, так и существенные отличия. Остановимся на этом подробнее.

1. Основным сходством данных моделей является то, что обе они основаны на «мартингальной идеологии». Как одно из следствий этого получаем, что и в нашей модели скупка понимается как «застывание» атома соответствующей а-алгебры: если начиная с некоторого момента времени п атом А не дробится на части, то это означает, что А есть событие, состоящее в том, что акция скуплена в момент п.

2. Основным отличием данных моделей является то, что в модели с «жесткой» скупкой время скупок совмещено с моментами установления новых цен на акции, а наша модель учитывает тот реальный факт, что целенаправленная скупка акций происходит как раз между объявлениями цен на акции. Новизна предлагаемой модели состоит в том, что в ней разделены моменты времени, когда происходит объявление новых цен на акции, и моменты, когда возможна целенаправленная скупка акций. Формализуется это обстоятельство следующим образом: предполагается, что в чётные моменты времени объявляются новые цены на акции, а в нечетные, «промежуточные» моменты происходит скупка.

Естественно также предполагать, что информация о состоянии рынка в нечётные моменты не является общедоступной и что в нечётные моменты также происходит рыночное колебание цен на акции (возможно, правда, не с такой амплитудой, как в чётные).

3. В обеих моделях есть возможности так задавать параметры, что они станут арбитражными (для исследования таких моделей мартингальные методы не пригодны). А вот безарбитражные и неполные рынки (а именно такие рынки чаще всего встречаются на практике) в модели с «жесткой» скупкой тривиализуются (см. [42]). В предложенной же нами обобщенной модели такие рынки весьма «богаты» и их можно успешно исследовать (в частности, интерполируя их до полных рынков (см. [25])).

Из качественной характеристики нашей модели следует, что она уже не может быть реализована на специальном хааровском стохастическом базисе. В связи с описанным разделением ролей чётных и нечётных времён а-алгебра имеет различную структуру в чётные и нечётные моменты времени. Именно, если п нечётно, то

0-5) при четных п

Здесь атомы А'к, г = 1,п рассматриваются как события, состоящие в том, что в момент времени г акция скуплена и цена её, начиная с этого момента, эволюционирует как банковский счёт. Атомы Апк соответствуют событию, что на момент времени п акция ещё не скуплена и цена ее продолжает эволюционировать на рынке. Так как скупленные акции в дальнейшем на рынок не попадают, дроблению в каждый момент времени подвергаются лишь атомы АI.

Итак, в нечётные времена происходит скупка акций по «скрытым» рыночным ценам; таким образом, когда п четно, при переходе к следующему п +1 -му моменту имеем - + А1+х, где п

1 < к < 22. Если атом приобрёл волну, это означает, что в момент времени п + \ акцию скупили по рыночной цене и далее этот атом уже не дробится.

Когда п нечётно, при переходе к моменту времени п +1 происходит объявление новых цен на акции, которые могут быть как выше, так и ниже прежних; поэтому естественно следующее п-1 дробление: Апк = + А^ , где 1 < к < .

Таким образом, в каждый момент времени (начиная со второго) дроблению подвергается далеко не единственный атом (как это происходит в модели с «жесткой» скупкой). Процесс формирования возрастающего потока а-алгебр можно проследить на Рисунке 1.

Если считать доступной информацию о состоянии рынка в каждый момент времени, то исследуемый рынок может при определённых условиях быть полным и безарбитражным, что очень важно для расчётов цен рыночных активов. Если же информация в нечётные, «скрытые» времена недоступна, то при переходе от чётного к чётному моментам времени атом дробится на три новых атома, что влечёт неединственность существующей мартингальной меры и вместе с этим неполноту финансового рынка. Это обстоятельство выдвигает новые задачи, связанные с исследованием неполных рынков.

Рисунок 1. Схема разбиения атомов

Суммируя то, что было сказано ранее, рассмотрим стохастический базис где возрастающий поток сталгебр (Гп)2п"0 имеет следующую структуру: = {0,0}, Т7 = , причем для единообразия мы обозначаем О = ; при чётных и нечетных п ст-алгебра ^ описывается формулами (0.5) и (0.6). Последовательность ^„-измеримых случайных величин , и = 0,1,, будет моделировать цену акции в момент времени п (обычно предполагают, что > 0 Р-п.н.). Строго положительная последовательность ^-измеримых случайных величин Вп будет отражать эволюцию банковского счета.

Первая глава настоящей работы посвящена изучению безарбитражности и полноты рассматриваемого (В,8)-рынка. После более подробного описания модели и вспомогательного результата (Теорема 1.1) доказываются теоремы о существовании и единственности мартингальной меры (см. Теоремы 1.2 и 1.3) для произвольного процесса, адаптированного к построенной нами фильтрации, и получаются важные следствия из этих теорем (критерий полноты и безарбитражности (В,8)-рынка в рамках рассматриваемой модели (Предложение 1.1), формулы для вычисления мартингальной меры (Предложение 1.2).

Во второй главе изучаются некоторые специальные модели эволюции стоимости акций (классификация частных случаев модели «жёсткой» скупки акций была предложена в работе [2]). Согласно этой классификации выделены четыре возможности моделирования динамики цены акции, тесно связанные с устремлениями скупщика, действующего на рынке. Для всех имитационных моделей проведены необходимые вычисления, построены графики, отражающие особенности поведения цены акции в различных ситуациях. В ходе исследований выявляется особая роль Модели 4. Если учитывать случайности мотивов, влияющих на избрание скупщиком определённой стратегии, то технически это приводит к ситуации, когда существующая мартингальная мера перестаёт быть единственной. Теоретическому описанию этой модели целиком посвящён §2, в котором на основании доказанных там же лемм 2.1-2.3 получена формула (2.4) (см. Теорему 2.1), описывающая совокупность всех мартингальных мер в этом случае. Исследуемый рынок в рамках модели 4 перестаёт быть полным, что влечёт за собой наличие спрэда, который с помощью формулы (2.4) при небольшом горизонте может быть вычислен перебором «крайних» мартингальных мер.

Проблема неполного рынка не исчерпывается особенностями модели 4. Исследованию неполного рынка без учёта скрытых времён посвящён пятый параграф второй главы. Ответ на вопрос о возможности интерполяции неполного рынка до полного даёт теорема 2.2 и следствие к ней. В такой постановке задача о неполных рынках, по всей видимости, ещё не изучалась. Полученные результаты открывают возможность применения классических методов математического анализа к исследованиям финансовых рынков.

Для рассмотрения весьма важного вопроса хеджирования финансовых обязательств (при выполнении условий полноты и безарбитражности финансового рынка) отведена третья глава диссертации. Здесь получены формулы (3.28)-(3.30) для нахождения компонентов хеджирующего портфеля % - (РИ,УИ)^=1 • Выделен специальный «канонический» хедж, когда все свободные переменные

ВВЕДЕНИЕ

24 равны нулю. Прохеджированы опционы купли различного типа; полученные варианты совершенного хеджа представлены в виде таблиц в §5. Там же произведено вычисление справедливой цены опционов.

Результаты, содержащиеся в данной диссертации, опубликованы в работах [20]-[28].

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на III Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (1999г.), Шестой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (1999г.), IV Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (2000г.), Пятой международной Петрозаводской конференции по дискретной математике (2000г.), Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (2000г.), Седьмой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (2000г.), на семинаре по вероятностным методам геометрии и анализа (РТУ, рук. — проф. С.Б. Климентов), на семинаре кафедры фундаментальной и прикладной математики РГЭУ (рук. — проф. Седенко В.П.), на семинарах по стохастической финансовой математике (РГСУ, рук. — проф. Г.И. Белявский), на научно-технических конференциях РГСУ.

Автор выражает благодарность научным руководителям Белявскому Григорию Исааковичу и Павлову Игорю Викторовичу за постановку задачи и внимание к работе над диссертацией.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Красий, Надежда Павловна, 2001 год

1. Гальчук Л.И. О структуре некоторых мартингалов. // Труды школы-семинара по теории случайных процессов. Ч. 1. Вильнюс. 1974.

2. Гамровски Б., Рачев С. Финансовые модели, использующие устойчивые законы. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1995. Т.2. №4. С.556-604.

3. Гарнаев А.Ю. Использование MS Excel и VBA в экономике и финансах. // СПб.: БХВ, Санкт-Петербург, 1999.

4. Гихман И.И. Скороходов A.B. Введение в теорию случайных процессов. //М.: Наука, 1977.

5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. // М.: Высшая школа, 1999.

6. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов. Т. 1,2. // М.: Физматлит, 1994.

7. Йенсен Б.А., Нильсен Й.А. Расчёт цены в отсутствии арбитража. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1996. Т.З. №6. С.899-945.

8. Кабанов Ю.М., Крамков Д.О. Отсутствие арбитража и эквивалентные мартингальные меры: новое доказательство теоремы Харрисона-Плиски. // Теория вероятностей и её применения. 1994. Т.39. №3. С.635-640.

9. Капитоненко В.В. Финансовая математика и её приложения. // М.: Приор, 1998.

10. Карлберг К. Бизнес-анализ с помощью Excel. // Киев: Диалектика, 1997.

11. Кергаль И. Методы программирования на Бейсике. // М.: Мир, 1991.

12. Красий Н.П. Об одной модели (В,8)-рынка. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. 1998. С. 197.

13. Красий Н.П. Критерий существования мартингальной меры в случае потока атомических а-алгебр. // Строительство-2000. Материалы международной научно-практической конференции. Ростов-на-Дону: РГСУ. 2000. С. 115-116.

14. Красий Н.П., Павлов И.В. Уточнённая модель эволюции цен акций в случае их скупки. // Сборник научных трудов III Всероссийского симпозиума "Математическое моделирование и компьютерные технологии". Т.4. Кисловодск. 1999. С.71-74.

15. Красий Н.П., Павлов И.В. О безарбитражности и полноте обобщённой модели финансового рынка в случае скупки акций. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1999. Т.6. №1. С.162-163.

16. Красий Н.П., Павлов И.В. О расширении финансового рынка до полного и безарбитражного в случае скупки акций. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. 2000. С.235-236.

17. Красий Н.П., Павлов И.В. Построение хеджирующих стратегий для одной модели (В,8)-рынка. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 2000. Т.7. №2. С.501-503.

18. Красий Н.П., Павлов И.В. Обобщённая модель эволюции цен акций в случае их скупки. // Изв. РГСУ. 2000. №5. С.165-173.

19. Красий Н.П., Павлов И.В. Модели (В,8)-рынков типа Кокса-Росса-Рубинштейна в случае скупки акций. // Изв. вузов Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 2001. №1. С.7-11.

20. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики. // М.: Дело, 1998.

21. Лебедев А.Н. Моделирование в научно-технических исследованиях. // М.: Радио и связь, 1989.

22. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. // М.: Наука, 1986.

23. Малыхин В.И. Финансовая математика. // М.: ЮНИТИ, 1999.

24. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. // М.: Наука,1989.

25. Мелкумов Я.С. Теоретическое и практическое пособие по финансовым вычислениям. // М.: Инфра-М, 1994.

26. Мельников A.B. О стохастическом анализе в современной математике финансов и страхования. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1995. Т.2. №4. С.514-526.

27. Мельников A.B. Финансовые рынки. // М.: ТВП, 1997.

28. Мельников A.B., Бойков A.B. Элементы страхового риск-менеджмента. // Учебное пособие, М: НИАФЦ, 87 с.

29. Мельников A.B., Нечаев M.JI. К вопросу о хеджировании платёжных обязательств в среднеквадратичном. // Теория вероятностей и её применения. 1998. Т.43. №1. С.672-691.

30. Мельников A.B., Нечаев M.JL, Степанов В.М. О дискретной модели финансового рынка и методах расчётов с ценными бумагами. // Препринт. М.: Научно-иссл. Актуарно-финансовый центр. 1996. №3. С. 13.

31. Мину М. Математическое программирование. // М.: Наука,1990.

32. Мисюра В.В., Павлов И.В. Критерий полноты (В,8)-рынка в случае специальной хааровской фильтрации. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1998. Т.5. №2. С.262-263.

33. Мисюра В.В., Павлов И.В. Критерий существования мартингальной меры и расчёт цены опциона в случае специальной хааровской фильтрации. // Изв. вузов СевероКавказский регион. Естеств. науки. 1998. №4. С.24-30.

34. Мисюра В.В., Павлов И.В. Уточнение двух теорем финансовой математики для (В,8)-рынка относительно специальной хааровской фильтрации. // Изв. вузов Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 1999. №2. С.12-15.

35. Новиков А.А. Хеджирование опционов с заданной вероятностью. // Теория вероятностей и её применения. 1998 Т.43. №1. С. 152-160.

36. Первозванский А.А., Первозванская Т.И. Финансовый рынок: расчёт и риск. // М.: Инфра-М, 1994.

37. Персон P. Microsoft Excel 97 в подлиннике. Том 1,2. // СПб.: BHV-Санкт-Петербург, 1997.

38. Петраков Н.Я., Ротарь В.И. Фактор неопределённости и управление экономическими системами. // М.: Наука, 1985.

39. Рачев С.Т., Рушендорф JI. Модели и расчёты контрактов с опционами. // Теория вероятностей и её применения. 1994. Т.39. №1. С.150-190.

40. Реселман Б. Использование Visual Basic 5. // Киев: Вильяме, 1998.

41. Селезнёва Т.В., Тутубалин В.Н., Угер Е.Г. Имитация практического применения некоторых мартингальных стратегий хеджирования и спекуляций. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1997. Т.4. №1. С.103-123.

42. Стохастические аспекты финансовой математики. Тематический выпуск. // Теория вероятностей и её применения. 1994. Т.39. №1.

43. Тетёркин Д.Н. О представлении мартингалов в случае о-алгебр специального вида. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1998. Т.5. №2. С.283-284.

44. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчётов. // М.: Business Речь дело, 1992.

45. Ширяев А.Н. Вероятностно-статистические модели эволюции финансовых индексов. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва. ТВП. 1995. Т.2. №4.С.527-555.

46. Ширяев А.Н. Вероятность. // М.: Наука, 1980.

47. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики. // Теория вероятностей и её применения. 1994. Т.39. №1. С.5-22.

48. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1,2. ii мл.ФАЗИС, 1998.

49. Ширяев А.Н. Стохастические проблемы финансовой математики. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1994. Т.1. №5. С.780-820.

50. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчётов опционов Европейского и Американского типов. I. Дискретное время. // Теория вероятностей и её применения. 1994. Т.39. №1. С.80-129.

51. Bachelier L. Théorie de la spéculation. // Annales de l'Ecole Normale Supérieure. 1900. V.17. P.21-86.

52. Black GF., Sholes M. The pricing of option and corporate liabilities. //Journal of Political Economy. 1973. V.81. №3. P.637-659.

53. Cox J.C., Ross R.A., Rubinstein M. Option pricing a simplified approach. // Journal of Financial Economics. 1976. V.7 (September). P.229-263.

54. Dalang R.C., Morton A., Willinger W. Equivalents martingales measures and noarbitrage in stochastic securities market models. // Stochastics and Stoch. Reports. 1990. V.29. №2. P. 181-201.

55. Hal R. Varian. Computational economics and finance. // SpringerVerlag. 1996. P.468.

56. Hansen A.T. Complete market pricing in the Wiener filtration without existence of a martingale measure. // Preprint. Aarbus University. Dept. of Operation Research. 1996.

57. Harrison J.M., Kreps D.M. Martingales and arbitrage in miltiperiod securities markets. // Journal Econom. Theor. 1979. V.20. P.381-408.

58. Harrison J.M., Pliska S.R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading. // Stochastic Process. Appl. 1981. V.11.№3.P.215-260.

59. Kendall M.G. The analysis of economic time-series. Part 1. Prices. // Journal of the Royal Statistical Society. 1953. V.96. P. 11-25.

60. Lépingle D. Orthogonalité et intégralité uniform de martingales discrètes. // Sem. De Prob. XXVI. Lecture Notes in Math. №1526. 1992. P.167-169.

61. Neveu J. Discrete-Parameter Martingales. // North-Holland Publishing Comp. 1975.P.236.

62. Samuelson P.A. Proof that properly anticipated prices fluctuates randomly. // Industrial Management Review. 1965. V.6. P.41-49.ЛИТЕРАТУРА 130

63. Schachermayer W. A Hilbert space proof of the fundamental theorem of asset pricing in finite discrete time. // Insurance: Mathematics & Economics. 1992. V. 11.

64. Schachermayer W. Martingale measure for discrete-time processes with infinite horizon. // Mathematical Finance. 1994. V.4. №1. P.25-55.

65. Strieker C. Arbitrage et lois de martingales. // Ann. Inst. H. Poincaré. 1991. V.26.№2. P.451-460.

66. Hull J.C. Options, Futures, and Other Derivative Securities. // 2nd ed., Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1993.