Моделирование диссипативных структур в оптически нелинейных средах на основе комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Алексич Бранислав

• Алексич Бранислав
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Алексич Бранислав

Введение

Глава 1. Обоснование постановки задачи

1.1 Концепция диссипативных солитонов

1.2 Уравнение Гинзбурга-Ландау в нелинейной оптике

1.2.1 Уравнения Блоха

1.2.2 Уравнение для медленно меняющейся амплитуды поля

1.3 Приближение КУГЛ пятой степени для резонансного взаимодействия излучения со средой

1.4 Выводы к главе

Глава 2. Аналитические методы приближенного решения КУГЛ

2.1 Метод моментов

2.2 Обобщение метода Ритца Канторовича

2.3 Укороченные модели диссипативных структур

2.3.1 Модель ^-мерной фундаментальной диссипативной структуры

2.3.2 Модель вихревой диссипативной структуры

2.4 Стационарные решения и устойчивость

2.5 Выводы к главе

Глава 3. Численные методы и алгоритмы для решения КУГЛ

3.1 Семиспектральные методы

3.1.1 Семиспектральный одношаговый метод Рунге-Кутты

3.1.2 Семиспектральный метод с расщеплением операторов

3.1.3 Численный эксперимент

3.2 Метод конечных разностей

3.2.1 Дискретизация дифференциальных операторов

3.2.2 Схема с чередованием (interleaved)

3.3 Распараллеливание

3.4 Выводы к главе

Глава 4. Диссипативные структуры

4.1 Диссипативные структуры в резонансном взаимодействии лазерного излучения со средой

4.1.1 Вариационное приближение

4.1.2 Численное моделирование

4.2 Устойчивость диссипативных вихревых солитонов

4.2.1 Линейный анализ устойчивости

4.2.2 Численное моделирование устойчивых вихрей с высоким топологическим зарядом

4.3 Модуляционная неустойчивость и филаментация вихрей

4.3.1 Линейный анализ устойчивости вихрей и инкременты модуляционной неустойчивости

4.3.2 Закономерность филаментации

4.4 Формирование двумерных диссипативных структур в результате спонтанного нарушения симметрии

4.4.1 Вариационное приближение

4.4.2 Разнообразие паттернов

4.5 Выводы к главе

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование диссипативных структур в оптически нелинейных средах на основе комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау»

Введение

Актуальность темы. Исследование условий формирования и распространения временных и пространственных локализованных устойчивых дис-сипативных структур, таких как диссипативные фундаментальные солитоны, вихри или бризеры, является одной из важных задач современной прикладной математики и физики. Ее актуальность обусловлена широким спектром практического их применения, в частности в оптике при передаче и обработке информации, захвате и транспорте наночастиц, воздействии излучения на биологические ткани. Особенно сильно нелинейно-диссипативные эффекты проявляются в условиях резонансного взаимодействия излучения со средой, что ведет к необходимости их исследования в предельно малых пространственных и временных масштабах. Оптические диссипативные структуры относительно просто могут быть получены в лазерных резонаторах. В лазерах с пассивной синхронизацией мод диссипативные структуры, а среди них и солитоны, могут формироваться во временном и пространственном измерениях.

Хотя в основе большинства процессов в природе лежит сложная динамика частиц на микроскопическом уровне, многие неравновесные явления могут быть описаны относительно простым комплексным уравнением Гинзбурга-Ландау (КУГЛ). КУГЛ широко используется для описания генерации диссипатив-ных структур во множестве разнообразных систем от нелинейной оптики, нано-фотоники, плазмоники, конвекции бинарной жидкости до сверхпроводимости, сверхтекучести, а также в биологии и медицине. КУГЛ применяется для моделирования паттернов на коже морских животных, в области эволюционной науки, для определения чувствительности живых систем к возмущению, а в медицине для моделирования электрического потенциала на поверхности сердца во время сердечней аритмии. Отдельную и особо важную задачу теоретиче-

ского исследования при этом представляет нахождение условий устойчивости диссипативных структур.

Степень разработанности темы. Построение точных решений КУГЛ возможно только для одномерного КУГЛ третьей (кубическое) или пятой степени. Аналитические решения дают возможность предсказать поведение дис-сипативной структуры при произвольных начальных условиях. Аналитические локализованные решения одномерного кубического КУГЛ подробно исследовались рядом авторов в семидесятых и восьмидесятых годах прошлого века (например, Перейра, Стенфло, Нозаки и Бекки). Оказалось, что решения одномерного КУГЛ третей степени при заданном наборе параметров могут быть с фиксированной и произвольной амплитудой. Исследование решений с фиксированной амплитудой показывает что все они неустойчивые.

Одномерное КУГЛ пятой степени нелинейности рассматривалось в ряде публикаций методами численного моделирования и аналитически. Брандом и Дейслером численно было показано существование солитоноподобных решений, а в работах Хакима проведен качественный анализ областей существования локализованных решений для всей области существования коэффициентов. Аналитическим подходом, основанным на редукции одномерного КУГЛ к динамической системе третьего порядка, который был развит в работах Саарлоса и Хоенберга и Ахмедиева в девяностые годы, получены частные точные решения уравнения КУГЛ пятого порядка, некоторые из них являлись устойчивыми. Устойчивость аналитически полученных локализованных решений необходимо было устанавливать численным моделированием исходного КУГЛ.

В отличие от одномерного, многомерное КУГЛ не имеет аналитических решений, а диссипативные структуры исследовались в основном численно или использовался приближенный аналитический метод моментов. Последний особенно популярен в условиях применения метода возмущения.

Последних полтора десятилетия используется обобщение прямого вариационного метода Ритца-Канторовича на диссипативные системы для получе-

ния укороченной модели исследованной диссипативной структуры. На основе укороченных уравнений аналитически (в рамках приближения модели) можно определить область существования и устойчивости многомерных диссипатив-ных структур. Автор диссертации своими работами принимал участие в развитии этого подхода.

Объект исследования. Многомерные диссипативные структуры в оптически нелинейных средах

Предмет исследования. Аналитические и численные методы анализа и исследования устойчивости многомерных диссипативных структур, описываемых КУГЛ.

Метод исследования. В создании аналитико-численного подхода исследования диссипативных структур обобщенным методом Ритца-Канторовича получены укороченные модели диссипативных структур. Для построения численных алгоритмов использовались: семиспектральный подход и метод конечных разностей.

Целью диссертации является исследование устойчивых многомерных диссипативных структур в оптических средах на основе развиваемых аналитических методов и вычислительных экспериментов.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Сделать обзор состояния исследования диссипативных структур в оптике на основе современных моделей и методов.

2. Обосновать физическую модель КУГЛ пятой степени для резонансного нелинейного взаимодействия излучения со средой.

3. Разработать эффективные аналитические и численные методы исследования многомерных устойчивых диссипативных структур, отличающиеся возможностью выявления параметров, определяющих их формирование и устойчивое распространение.

4. Разработать численные алгоритмы повышенного порядка точности для эффективного решения КУГЛ, моделирующего диссипативную структуру.

5. На основе разработанных алгоритмов создать комплекс программ для решения КУГЛ.

6. Исследовать устойчивые многомерные локализованные диссипативные структуры типа фундаментальных и вихревых решений. Выявить возможность управления их динамикой.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Модель КУГЛ пятой степени для адекватного описания резонансного взаимодействия излучения с нелинейной средой во всей значимой области изменения интенсивности.

2. Укороченные модели фундаментальных и вихревых структур, полученные обобщением вариационного метода Ритца-Канторовича на диссипа-тивные системы.

3. Алгоритмы с повышенной устойчивостью и точностью для численного моделирования КУГЛ, разработанные на основе конечно-разностных и спектральных методов.

4. Комплекс эффективных проблемно ориентированных программ для численного решения КУГЛ при использовании современных и перспективных систем гибридной архитектуры.

5. Аналитический анализ модуляционной устойчивости фундаментальных и вихревых диссипативных структур с высокими топологическими зарядами.

6. Закономерность филаментации вихревых диссипативных структур, выявленная из укороченной модели, которая учитывает модуляционную неустойчивость.

7. Формирование диссипативных структур в результате спонтанного нарушения симметрии.

Научная новизна:

1. Разработана улучшенная модель КУГЛ пятой степени для описания резонансного взаимодействия лазерного излучения с нелинейной средой в широком интервале изменения интенсивности, а параметры КУГЛ определены физическими характеристиками среды.

2. Укороченные модели, описывающие диссипативную структуру с учетом модуляционной неустойчивости, получены обобщением вариационного метода Ритца-Канторовича на диссипативные системы. Разработаны аналитические методы анализа устойчивости локализованных решений КУГЛ.

3. Численные алгоритмы повышенного порядка точности и устойчивости, разработанные на основе конечно-разностных и спектральных методов, для решения КУГЛ общего вида. Представлена схема с чередованием, которая обеспечивает повышенную устойчивость метода.

4. На основе разработанного аналитического подхода из укороченной модели и численным моделированием исследовались конкретные диссипативные структуры и выполнено следующее:

— аналитически показана возможность формирования устойчивых фундаментальных диссипативных структур в условиях резонансного взаимодействия, когда действительной частью проницаемости можно будет пренебречь;

— проведен анализ модуляционной (не)устойчивости вихревых диссипативных структур и в пространстве параметров модельного уравнения определена область, где могут существовать вихревые диссипативные структуры с произвольным высоким топологическим зарядом;

— выявлена закономерность филаментации вихрей в аналитической форме;

— определены области в пространстве параметров, в которых проявляется спонтанное нарушение симметрии, приводящие к формированию квазиустойчивых структур в разных формах.

Теоретическая ценность Получены укороченные модели многомерных фундаментальных и вихревых диссипативных структур описываемых КУГЛ. Подход в совместном использовании аналитического приближения и численного моделирования усовершенствует методы исследования формирования и устойчивости многомерных диссипативных структур. Результаты работы связаны с получением конкретных оценочных значений управляющих параметров в модели КУГЛ, которые могут быть использованы в задаче эффективного формирования устойчивых диссипативных структур (диссипативных солитонов). Создан программный комплекс на языке Julia, реализующего разработанные численные алгоритмы в режиме параллельного вычисления на многопроцессорных системах.

Практическая значимость Результаты работы могут быть использованы при конструировании устройств и реализации нового типа высокоскоростных, устойчивых к внешним помехам каналов передачи и обработки оптической информации. Впервые предсказана возможность генерации и поддержания устойчивых режимов распространения оптических вихрей с высоким топологическим зарядом, что может иметь несомненные перспективы в управлении наночастицами в жидких и газовых средах различных геометрий (капилляры, поры, рыхлые структуры и др.). Результаты работы могут быть использованы при обучении студентов по направлениям «Прикладная математика», «Прикладная информатика», «Физика и технология наноструктур», «Лазерная техника и лазерные технологии».

Степень достоверности Достоверность результатов обусловлена корректным применением математического аппарата вариационного исчисления, адекватных и известных алгоритмов для численного моделирования. Результаты находятся в согласии с результатами, полученными другими авторами, в

соответствующих пределах и подтверждаются данными вычислительного эксперимента. Результаты исследования опубликованы в ряде статей, в рецензируемых журналах, которые входят в перечень ВАК, а также индексируются в Web of Science и Scopus

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: International School and Conference on Photonics. — (Белград, Сербия - 2011, 2013, 2015, 2019), Международной научной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем.» — (Москва, Россия - 2015, 2019, 2020), Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» —(Дубна, Россия - 2016, 2017), Qatar Foundation Annual Research Forum Proceedings. — (Доха, Катар - 2015), International Computational Science and Engineering Conference. — (Доха, Катар - 2015), TAMUQ Research Industry Partnership Showcase. — (Доха, Катар - 2014).

Соответствие паспорту специальности. Работа соответствует паспорту специальности (1.2.2) по следующим пунктам: Пункт 1, Пункт 2 и Пункт 3.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 27 печатных изданиях: одна монография, 2 статьи опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК, 10 статей индексируются в Web of Science и Scopus, 14 -в тезисах докладов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и двух приложений. Полный объём диссертации составляет 132 страницы с 25 рисунками и 0 таблицами. Список литературы содержит 101 наименование.

Глава 1. Обоснование постановки задачи 1.1 Концепция диссипативных солитонов

Парадигма устойчивых диссипативных структур (диссипативных солитонов) состоит в обобщении стандартной теории солитонов в интегрируемых системах. Теория нелинейной динамики и самоорганизация систем далеких от равновесия также являются составной частью диссипативных структур [1]. В отличие от стандартной теории солитонов где баланс между дисперсией и нелинейностью обеспечивает существование стационарных локализованных решений, для диссипативных систем к этому необходим и баланс энергии между усилением и потерями.

С другой стороны, динамику диссипативных структур можно рассматривать как эволюцию бесконечномерной нелинейной динамической системы. Свойства неподвижных точек такой системы непосредственно определяют устойчивость солитона. Изменением значений параметров системы могут происходит бифуркации. Например, неподвижные точки могут преобразоваться в предельные циклы, причем солитон становится пульсирующим образованием или бифуркации могут включать нерегулярное поведение траектории, создавая хаотические солитоны.Так как рассматриваемая динамическая система бесконечномерная есть огромное разнообразие структур и их бифуркаций.

Наконец, теория Пригожина систем далеких от равновесия говорит нам о том, что диссипативные структуры являются самоорганизованными формированиями, для которых необходим приток энергии по окончанию которой, структура прекращает существовать. На самом деле, самоорганизацией определенный набор начальных условий приводит локализованному решению системы -диссипативной структурой, которое является устойчивым для данного набора

внешних параметров. Таким образом, конечное состояние определено в основном параметрами системы а не начальными условиями. Для данного набора параметров может быть несколько устойчивых решений которые иногда могут быть очень сложным [1] .

Комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау (КУГЛ) представляет собой класс повсеместно распространенную модель для описания генерации дисси-пативных структур во множестве систем, от нанофотоники, плазмоники, нелинейной оптики, жидкостей и плазмы до сверхпроводимости, сверхтекучести, квантовой теории поля, биологических систем [2—9].

В случае конвекции бинарной жидкости, все коэффициенты линейных и некоторых нелинейных членов в КУГЛ могут быть вычислены с использованием анализа возмущений полного уравнения Навье-Стокса, описывающих конвективные движения в приближении Буссинеска [10—12].

Пионерская работа Тьюринга [13], в которой на основе уравнений реакции-диффузии объясняется морфогенез у живых существ, является основой научного направления - теоретической биологии. В работе [14], используется КУГЛ, для моделирования паттернов на коже морских животных и показано замечательное сходство между реальными паттернами, наблюдаемыми у животных и численного моделирования. В области эволюционной науки в работе [15] используется модель КУГЛ для определения чувствительности живых систем к возмущению с помощью экспериментально полученных параметров. Там же находится диапазон параметров, для которых возможны внезапные изменения, аналогичные фазовым переходам в физических системах.

В медицине, например, КУГЛ используется для моделирования паттернов электрического потенциала, который происходит на поверхности сердца во время сердечней аритмии. В статье [16] авторы используют КУГЛ для моделирования динамики спиральных волн электрического потенциала в сердце. В работе [17] изучая спиральные волны, возникающих в сердце во время фибрилляции, предлагают что, с помощью волн с частотой близкой к спиральным

волнам, можно вызвать дефибрилляцию, и таким образом сердце вернуть в нормальный режим работы. Этим открывается возможность создания низковольтного дефибриллятора, который бы способствовал предотвращению повреждения ткани сердца стандартными дефибрилляторами с импульсами большой мощности.

В оптике КУГЛ или его обобщение играет особую роль в описании существенных особенностей процессов в лазерах [18; 19], в оптических параметрических генераторах [20], в лазерах с синхронизацией мод [21], в лазерных генераторах на свободных электронах [22—24]. В теории лазеров используемой моделью является «мастер-уравнение», выведенное Хаусом в [25; 26], которое фактически представляет собой стационарное КУГЛ с кубической нелинейностью. Одномерное кубическое КУГЛ достаточно подробно исследовано. Были получены аналитические решения диссипативных структур, однако, за исключением особого класса экзотических решений с произвольной амплитудой в среде без линейных потерь и при специальных соотношениях между параметрами уравнения, все они неустойчивые [27]. Для достижения стабилизации диссипативных структур (солитонов) в модели КУГЛ был добавлен нелинейный член более высокого (пятого) порядка. Полученное уравнение называется КУГЛ пятой степени (в западной литературе - сиЫс^шПлс ССЬЕ). Уточнение модели Хауса нелинейностью пятой степени связано с разложением уравнений Блоха по интенсивности. Для соответствия модели с экспериментом Коэффициенты, которые появляются в уравнении, феноменологически связывались с физическими параметрами среды. [28].

Высокая популярность КУГЛ пятой степени связана с физической наглядностью и возможностью, в одномерном случае, найти частные аналитические решения. Подобно случаю одномерного кубического,для особых соотношений между параметрами, одномерное КУГЛ пятой степени имеет аналитические решения. Однако, в отличие от кубического, решения КУГЛ пятой степени могут представлять устойчивые диссипативные структуры [29—31] .

Рассмотрим обобщенное КУГЛ, описывающие резонансное взаимодействие лазерного излучения с двухкомпонентной средой и его адекватное приближение в виде КУГЛ пятой степени.

1.2 Уравнение Гинзбурга-Ландау в нелинейной оптике

Распространение электромагнитной волны в немагнитной среде, без свободных зарядов и токов, описывается уравнениями Максвелла

дВ

гогЕ = -—, АМ = 0, (1.1)

дЗ

гогВ = , <1тВ = 0, (1.2)

где

3 = £оЕ + Р. (1.3)

Система уравнений (1.1)-(1.3) замыкается материальным уравнением, которое определяет, в общем случае нелинейную, связь между поляризацией и напряженностью электрического поля Р = Р (Е). Представим поляризацию в виде суммы линейной Р/ и нелинейной Рп1, по полю, частей:

Р (Е ) = Р1 (Е) + Рп1 (Е). (1.4)

В линейном случае имеем

Р1 = еоХ(1)Е, (1.5)

где оператор линейной восприимчивости может быть интегральным и/или тензорным оператором в зависимости от отзыва среды. В изотропной и одно-

родной среде с временной дисперсией материальное уравнение (1.5) имеет вид

Я = I х(1) {г - г') е () М. (1.6)

Нелинейная зависимость обычно представляется в виде степенного ряда по полю

Рп1 = ео (Х(2)ЕЕ + х(3)ЕЕЁ + , (1.7)

а вид операторов %(2), ;^(3)... выражает природу отзыва среды.

В нелинейной оптике часто используется разложение поляризации в степенной ряд по полю, что допускается в случае нерезонансного взаимодействия. Существуют случаи, когда степенной ряд в материальном уравнении не сходится и не может заменить исходную зависимость. Так, например, в волоконных лазерах и оптических усилителях, в которых усиление обеспечивается накачкой уровней ионов редкоземельных элементов а материальная система резонансно возбуждается, методы возмущения не могут обеспечить адекватное описание реакции системы на приложенное оптическое поле. В таких условиях необходимо использовать другие подходы для описания нелинейных оптических эффектов.

Самое простое приближение резонансного взаимодействия электромагнитного поля со средой является система двухуровневых атомов. На самом деле, процесс взаимодействия электромагнитного поля с атомами идет по трех или четырехуровневой схеме, однако быстрая релаксация на рабочий уровень позволяет свести модель к эффективной двухуровневой схеме. Хотя двухуровневая модель игнорирует многие из особенностей, присутствующих в реальных атомных системах, все еще существует огромное богатство физических процессов, которые могут быть описаны в двухуровневом приближении.

1.2.1 Уравнения Блоха

Для замкнутой двухуровневой атомной системы уравнения для элементов матрицы плотности р имеют вид [32]:

= -11"0 + г)р21 + ъ

= - 1"0 + — р21 + Ту21 (р22 - р11) , (1.8)

Щ22 = -Р22 - 1(У21Р12 -^12р21) , (1.9)

ат г Ъ

Р11 + р22 = 1, (1.10)

Р12 = Р*1. (1.11)

где т* иг времена релаксации дипольного момента и верхнего уровня, соответственно, шо частота перехода с верхнего уровня на нижний уровень; У21 = -рЕ энергия взаимодействия диполя с полем Е, а р дипольный матричный элемент перехода. Последние два уравнения являются следствием факта сохранения суммарного числа электронов на верхнем и нижнем уровне и эрмитова свойства оператора плотности .

Уравнение для разности населенностей (р22 - р11) можно писать в виде

а(Р22~ Р") = -(Р22 ~ Р11) ~ (Р22 ~ Р")" - |(^ -^2р21) (1.12)

ат г Ъ

с учетом того что разность населенностей в тепловом равновесии может иметь некоторое значение (р22 - рп) , отличное от -1. В результате, для замкнутой двухуровневой системы, уравнения движения матрицы плотности сводятся к двум связанным уравнениям (1.8) и (1.12), которые при взаимодействии с гармоническим полем

Р

У21 = -- (8 ехр[-+ 1кх\ + 8* ехр[кш£ - \кх\) (1.13)

£

не могут быть решены точно. Однако, существует приближенное решение, известное как приближение вращающейся волны, которое состоит в следующем. В отсутствии электрического поля ( У21 = 0) и релаксаций, компонента р21 колеблется во времени как ехр[—\LOot] и поэтому, когда ш приблизительно равна , часть У21, которая колеблется как ехр[-] действует как гораздо более эффективный управляющий терм, чем часть, которая колеблется по закону ехр[кш£]. Впоследствии, вместо (1.13) приблизительно имеем

^21 = —8 ехр[—к^ + \кх], (1.14)

2

Таким образом, в приближении вращающейся волны р21 приводится в движение почти на своей резонансной частоте ш0, а разность (р22 — р11) - на нулевой частоте.

Вводя медленно меняющееся р21, определяемое соотношением

р21 = р21 ехр[кш£ — 1к г], (1.15)

имеем

Т*= — (ш° —ш) Т* + 1) р21 — (р22 — Р11) 8, (1.16) ^ (Р22— Р11) = — (р22 — рП) + (р22 — рП)Ч + ^ (^128 — р218*) • (1.17)

Систему уравнений (1.16),(1.17) запишем в форме уравнений Блоха:

Т*1й = — ^^ + 1) Г — г 08, (1.18)

Л = — д + д{) + ^(Г*8 — Г8*), (1.19)

ат а

где д = (р22 — р11)N и д0 = (р22 — р11)едN разность населённостей и её равновесное значение, соответственно; N - концентрация резонансных атомов,

Aw = (ш0 — ш) т.* - нормализованная, временем дипольной релаксации, расстройка частот, а V = Npр21.

В режиме некогерентной синхронизации, когда времена дипольной релаксации т* малые по сравнению длительностью импульса, поляризованность быстро устанавливается и как следует из уравнения (1.18) имеем

2

? = — ч 6¿, (1.20)

2П (1 + гAwГ

а уравнение для разностей населенности принимает форму

ÚQ ТТ*Р2 1С|2 01N

Тм = 60 — Н2 (1 + A£)^ (1.21)

В стационарном (безынерционном) режиме, после исчезновения переходных процессов, разность населенности и дипольный момент адиабатически изменяются с полем излучения:

= _ т*р2 (i +A) QoS = Qo (1 22)

7 2h (i + a2 )1 + \s/ес|2 и в 1 + \е/ес|2' (. )

где £с = \J^2(1 + A2)/(тт*р2) характерное поле нелинейности.

1.2.2 Уравнение для медленно меняющейся амплитуды поля

Из уравнений Максвелла (1.1)-(1.3) следует уравнение

„ 1 Я 2 / 1 Д 1

У2Е - — — Е + —Р = —дга(1(<ИуР). (1.23)

с2сЯ 2 \ го ) го

В однородной линейной среде правая часть уравнения (1.23) тождественно равна нулю, а в нелинейной среде, в первом приближении, пренебрегается. В дальнейшем будем считать что правая сторона уравнения (1.23) равна нулю.

Волновое уравнение (1.23) можно упростить в случае когда рассматривается распространение достаточно длинного (по отношению к периоду) импульса в однородной или слабо неоднородной среде. Пусть импульс распространяется в направлении ^ в немагнитной среде с временной дисперсией. Тогда электрическое поле и поляризацию можно представит в виде

Е(г,г) = ,г)ехр[[кг - Ш]} , (1.24)

Р (Ь ,г) = ^{р (г ,г)ехр[[к г- Ш]} , (1.25)

где ш - несущая частота и к - волновой вектор на несущей частоте а через Ш. обозначено взятие действительной части. Медленно меняющаяся огибающая 8 удовлетворяет условиям

д2- ,д8 ,2 ? д'2£ д£ 2 -_ << к_ <<к £, _ << <<Ш (1.26)

С учетом временной дисперсии вычислим линейную часть зависимости поляризации

Р1 (г,-) = £о ! х(1) ^ - О Е (¿,г) М = е0^ х(1) (ш) Е (ш,г) ехр[-\ш1](1ш

71 (1.27)

от поля Е(Ь,г) где

Е (ш,г) = ! Е (г,г)ехр[1= Ш^в (ш -и,г)ехр([кг)} . (1.28)

Из (1.27) и (1.28) следует что огибающая поляризации дается выражением

Ц(г,г) = х(1) (ш) £ (ш - ш,г) ехр[-1(ш - (1.29)

2 7

а вторая производная линейной части индукции по времени в (1.23) имеет вид д^ (е(Ь,Р) + 1р(Ь/)) = &{& (Ь,Р)ехр(1А;Ш)} (1.30)

где

О,(Ь,Р) =--е(ш)ш2р(ш - шр) ехр[-[(ш -ш)Ь]с1ш. (1.31)

л/2п ]

Из-за временной протяженности Е(Ь,г) спектр Е(ш -ш,г) оказывается выражено локализованным что позволяет функцию £ (ш) ш2 разложит в ряд Тейлора:

. . 2 . . 2 д(е(ш)ш2) ч 1С2 (е(ш)ш2) ч2 ,

£ (ш) ш2 = £ (ш) Ш2 + 1 (ш - ш) + --— (ш - ш)2 + ... (1.32)

дш 2 дш

и тогда выражение (1.31) приобретает вид

Р(ЬР) ()2 Р • д (ш) ш2) др 1 С2 (е (ш) ш2) д2Р + (13„. е ар = - (ш)ш р - • дш ж- 2 дш^ С2 + .•• (1.33)

Пренебрегая, высшего порядка малости, временную дисперсию в нелинейной части поляризации (д2РРп1 /дЬ2 = -ш2Р^ и производную д2р/дх2 а также учитывая квазимонохроматичность волны к2 « ^^.{е(ш)}, где к0 = (ш/с) а ^{е(ш)} действительная часть диэлектрической проницаемости е(ш) = 1 + Х(1)(ш) = £г(ш) + • £г(ш) , волновое уравнение принимает вид

дР 1дР\ д2(ш2е (ш))д2Р ^ ,ш2_ ш2

РР

2 г* + ^ж) ^ +Др+[^+ ^^ = о, (1.34)

Если перейдем к системе

^ = г', г = Ь - /ид (1.35)

где ид = (и/( к групповая скорость, окончательно имеем уравнение

„.-,98

21 к — + (а — ф) ох

О 2к О и2

О28 . -> .и2„ г , и2 —2 + А8 +1-з +

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Алексич Бранислав, 2022 год

Список литературы

1. Akhmediev, N., Ankiewicz, A. Dissipative solitons: from optics to biology and medicine. Т. 751 / N. Akhmediev, A. Ankiewicz. — Springer Science & Business Media, 2008.

2. Aranson, I. S., Kramer, L. The world of the complex Ginzburg-Landau equation / I. S. Aranson, L. Kramer // Rev. Mod. Phys. — 2002. — Февр. — Т. 74, вып. 1. — С. 99—143.

3. Akhmediev, N., Ankiewicz, A. Solitons of the Complex Ginzburg—Landau Equation / N. Akhmediev, A. Ankiewicz // Spatial Solitons / под ред. S. Trillo, W. Torruellas. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2001. — С. 311—341.

4. Saarloos, W. van, Hohenberg, P. C. Pulses and fronts in the complex Ginzburg-Landau equation near a subcritical bifurcation / W. van Saarloos, P. C. Hohenberg // Phys. Rev. Lett. — 1990. — Февр. — Т. 64, вып. 7. — С. 749— 752.

5. Malomed, B. A., Nepomnyashchy, A. A. Kinks and solitons in the generalized Ginzburg-Landau equation / B. A. Malomed, A. A. Nepomnyashchy // Phys. Rev. A. — 1990. — Нояб. — Т. 42, вып. 10. — С. 6009—6014.

6. Kivshar, Y. S., Agrawal, G. Optical solitons: from fibers to photonic crystals / Y. S. Kivshar, G. Agrawal. — Academic press, 2003.

7. Arecchi, F. T, Boccaletti, S., Ramazza, P. Pattern formation and competition in nonlinear optics / F. T. Arecchi, S. Boccaletti, P. Ramazza // Physics Reports. — 1999. — Т. 318, № 1—2. — С. 1—83.

8. Mihalache, D., Mazilu, D., Lederer, F., Kartashov, Y. V., Crasovan, L. C., Torner, L., Malomed, B. A. Stable Vortex Tori in the Three-Dimensional Cubic-Quintic Ginzburg-Landau Equation / D. Mihalache, D. Mazilu, F.

Lederer, Y. V. Kartashov, L. C. Crasovan, L. Torner, B. A. Malomed // Phys. Rev. Lett. — 2006. — Авг. — Т. 97, вып. 7. — С. 073904.

9. Skarka, V., Aleksic, N. B. Stability Criterion for Dissipative Soliton Solutions of the One-, Two-, and Three-Dimensional Complex Cubic-Quintic Ginzburg-Landau Equations / V. Skarka, N. B. AleksiC // Phys. Rev. Lett. — 2006. — Янв. — Т. 96, вып. 1. — С. 013903.

10. Kolodner, P. Collisions between pulses of traveling-wave convection / P. Kolodner // Phys. Rev. A. — 1991. — Нояб. — Т. 44, вып. 10. — С. 6466— 6479.

11. Kolodner, P. Drift, shape, and intrinsic destabilization of pulses of traveling-wave convection / P. Kolodner // Phys. Rev. A. — 1991. — Нояб. — Т. 44, вып. 10. — С. 6448—6465.

12. Normand, C, Pomeau, Y, Velarde, M. G. Convective instability: A physicist's approach / C. Normand, Y. Pomeau, M. G. Velarde // Rev. Mod. Phys. — 1977. — Июль. — Т. 49, вып. 3. — С. 581—624.

13. Turing, A. M. The Chemical Basis of Morphogenesis / A. M. Turing // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series B, Biological Sciences. — 1952. — Т. 237, № 641. — С. 37—72.

14. Morales, M., Rojas, J., Oliveros, J., S., A. H. A new mechanochemical model: Coupled Ginzburg-Landau and Swift-Hohenberg equations in biological patterns of marine animals / M. Morales, J. Rojas, J. Oliveros, A. H. S. // Journal of Theoretical Biology. — 2015. — Т. 368. — С. 37—54.

15. Torres, J.-L. Biological Power Laws and Darwin's Principle / J.-L. Torres // Journal of Theoretical Biology. — 2001. — Т. 209, № 2. — С. 223—232.

16. Danilov, V., Litvinov, R., Gerget, O. Mathematical Modeling the Electrical Activity of the Heart / V. Danilov, R. Litvinov, O. Gerget // Information

Technologies in Science, Management, Social Sphere and Medicine. — Atlantis Press, 2016/05.

17. Biktasheva, I. V., Elkin, Y. E., Biktashev, V. N. Resonant Drift of Spiral Waves in the Complex Ginzburg-Landau Equation / I. V. Biktasheva, Y. E. Elkin, V. N. Biktashev // Journal of Biological Physics. — 1999. — Июнь. — Т. 25, № 2. — С. 115—127.

18. Weiss, C. Spatio-temporal structures. Part II. Vortices and defects in lasers / C. Weiss // Physics Reports. — 1992. — Т. 219, № 3. — С. 311—338.

19. Staliunas, K. Laser Ginzburg-Landau equation and laser hydrodynamics / K. Staliunas // Phys. Rev. A. — 1993. — Авг. — Т. 48, вып. 2. — С. 1573—1581.

20. Jian, P.-S., Torruellas, W. E., Haelterman, M., Trillo, S., Peschel, U., Lederer, F. Solitons of singly resonant optical parametric oscillators / P.-S. Jian, W. E. Torruellas, M. Haelterman, S. Trillo, U. Peschel, F. Lederer // Opt. Lett. — 1999. — Март. — Т. 24, № 6. — С. 400—402.

21. Grelu, P., Akhmediev, N. Dissipative solitons for mode-locked lasers / P. Grelu, N. Akhmediev // Nature photonics. — 2012. — Т. 6, № 2. — С. 84.

22. Ng, C. S., Bhattacharjee, A. Ginzburg-Landau Model and Single-Mode Operation of a Free-Electron Laser Oscillator / C. S. Ng, A. Bhattacharjee // Phys. Rev. Lett. — 1999. — Март. — Т. 82, вып. 13. — С. 2665—2668.

23. Dunlop, A., Wright, E., Firth, W. Spatial soliton laser / A. Dunlop, E. Wright, W. Firth // Optics Communications. — 1998. — Т. 147, № 4. — С. 393—401.

24. Taranenko, V. B., Staliunas, K., Weiss, C. O. Spatial soliton laser: Localized structures in a laser with a saturable absorber in a self-imaging resonator / V. B. Taranenko, K. Staliunas, C. O. Weiss // Phys. Rev. A. — 1997. — Авг. — Т. 56, вып. 2. — С. 1582—1591.

25. Haus, H. A., Fujimoto, J. G, Ippen, E. P. Structures for additive pulse mode locking У H. A. Haus, J. G. Fujimoto, E. P. Ippen ^ J. Opt. Soc. Am. B. — 1991. — Окт. — Т. 8, № 10. — С. 20б8—207б.

26. Haus, H. A., Fujimoto, J. G., Ippen, E. P. Analytic theory of additive pulse and Kerr lens mode locking У H. A. Haus, J. G. Fujimoto, E. P. Ippen ^ IEEE Journal of quantum electronics. — 1992. — Т. 28, № 10. — С. 208б—209б.

27. Akhmediev, N. N., Afanasjev, V. V., Soto-Crespo, J. M. Singularities and special soliton solutions of the cubic-quintic complex Ginzburg-Landau equation У N. N. Akhmediev, V. V. Afanasjev, J. M. Soto-Crespo ^ Phys. Rev. E. — 199б. — Янв. — Т. 53, вып. 1. — С. 1190—1201.

28. Haus, H. A., Ippen, E. P., Tamura, K. Additive-pulse modelocking in fiber lasers У H. A. Haus, E. P. Ippen, K. Tamura ^ IEEE Journal of Quantum Electronics. — 1994. — Янв. — Т. 30, № 1. — С. 200—208.

29. Akhmediev, N., Afanasjev, V. V. Novel Arbitrary-Amplitude Soliton Solutions of the Cubic-Quintic Complex Ginzburg-Landau Equation У N. Akhmediev, V. V. Afanasjev ^ Phys. Rev. Lett. — 1995. — Сент. — Т. 75, вып. 12. — С. 2320—2323.

30. Akhmediev, N. N., Ankiewicz, A. Solitons : nonlinear pulses and beams У Nail N. Akhmediev and Adrian Ankiewicz У N. N. Akhmediev, A. Ankiewicz. — Chapman |k Hall London ; New York, 1997. — xiii, 335 p. :

31. Akhmediev, N. N., Ankiewicz, A., Soto-Crespo, J. M. Stable soliton pairs in optical transmission lines and fiber lasers У N. N. Akhmediev, A. Ankiewicz, J. M. Soto-Crespo J. Opt. Soc. Am. B. — 1998. — Февр. — Т. 15, № 2. — С. 515—523.

32. Boyd, R. W. Nonlinear optics У R. W. Boyd. — Elsevier, 2003.

33. Aleksic, B. N., Uvarova, L. A., Aleksic, N. B., Belie, M. R. Cubic quintic Ginzburg Landau equation as a model for resonant interaction of EM field with nonlinear media / B. N. Aleksic, L. A. Uvarova, N. B. Aleksic, M. R. BeliC // Optical and Quantum Electronics. — 2020. — Март. — Т. 52, № 3.

34. Kivshar, Y. S., Malomed, B. A. Dynamics of solitons in nearly integrable systems / Y. S. Kivshar, B. A. Malomed // Rev. Mod. Phys. — 1989. — Окт. — Т. 61, вып. 4. — С. 763—915.

35. Maimistov, A. I. Evolution of solitary waves which are approximately solitons of a nonlinear Schrodinger equation / A. I. Maimistov // Soviet Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 1993. — Нояб. — Т. 77. — С. 727— 731.

36. Anderson, D., Bondeson, A., Lisak, M. A variational approach to perturbed soliton equations / D. Anderson, A. Bondeson, M. Lisak // Physics Letters A. — 1978. — Т. 67, № 5. — С. 331—334.

37. Anderson, D., Bonnedal, M. Variational approach to nonlinear self-focusing of Gaussian laser beams / D. Anderson, M. Bonnedal // The Physics of Fluids. — 1979. — Т. 22, № 1. — С. 105—109.

38. Anderson, D. Variational approach to nonlinear pulse propagation in optical fibers / D. Anderson // Phys. Rev. A. — 1983. — Июнь. — Т. 27, вып. 6. — С. 3135—3145.

39. Anderson, D. High transmission rate communication systems using lossy optical solitons / D. Anderson // Optics Communications. — 1983. — Т. 48, № 2. — С. 107—112.

40. Anderson, D., Lisak, M, Reichel, T. Approximate analytical approaches to nonlinear pulse propagation in optical fibers: A comparison / D. Anderson, M. Lisak, T. Reichel // Phys. Rev. A. — 1988. — Авг. — Т. 38, вып. 3. — С. 1618—1620.

41. Karpman, V., Maslov, E. Inverse problem method for the perturbed nonlinear Schrodinger equation / V. Karpman, E. Maslov // Physics Letters A. — 1977. — Т. 61, № 6. — С. 355—357.

42. Aleksic, B. N., Aleksic, N. B., Skarka, V., Belie, M. Stability and nesting of dissipative vortex solitons with high vorticity / B. N. Aleksic, N. B. Aleksic, V. Skarka, M. Belic // Phys. Rev. A. — 2015. — Апр. — Т. 91, вып. 4. — С. 043832.

43. Skarka, V., Aleksic, N. B., Lekic, M., Aleksic, B. N., Malomed, B. A., Mihalache, D., Leblond, H. Formation of complex two-dimensional dissipative solitons via spontaneous symmetry breaking / V. Skarka, N. B. Aleksic, M. Lekic, B. N. Aleksic, B. A. Malomed, D. Mihalache, H. Leblond // Phys. Rev.

A. — 2014. — Авг. — Т. 90, вып. 2. — С. 023845.

44. Aleksic, N., Pavlovic, G., Aleksic, B., Skarka, V. Stable One-Dimensional Dissipative Solitons in Complex Cubic-Quintic Ginzburg-Landau Equation / N. Aleksic, G. Pavlovic, B. Aleksic, V. Skarka // Acta Physica Polonica A. — 2007. — Нояб. — Т. 112, № 5. — С. 941—947.

45. Aleksic, B. N., Aleksic, N. B., Skarka, V., Belie, M. R. Modulation instability of solutions to the complex Ginzburg-Landau equation / B. N. Aleksic, N. B. Aleksic, V. Skarka, M. R. Belic // Physica Scripta. — 2014. — Сент. — Т. T162. — С. 014002.

46. Aleksic, B., Zarkov, B., Skarka, V., Aleksic, N. Stability analysis of fundamental dissipative Ginzburg-Landau solitons / B. Aleksic, B. Zarkov, V. Skarka, N. Aleksic // Physica Scripta. — 2012. — Апр. — Т. T149. — С. 014037.

47. Skarka, V., Aleksic, N., Krolikowski, W, Christodoulides, D., Aleksic,

B., Belic, M. Linear modulational stability analysis of Ginzburg-Landau dissipative vortices / V. Skarka, N. Aleksic, W. Krolikowski, D.

Christodoulides, B. Aleksic, M. Belic // Optical and Quantum Electronics. — 2016. — Т. 48, № 4. — С. 1—7.

48. Алексии, Б. Анализ устойчивости чирпованных солитонов / Б. Алек-сич // Вестник МГТУ «Станкин». — 2018. — Сент. — Т. 47, № 4.

49. Kaup, D., Malomed, B. The variational principle for nonlinear waves in dissipative systems / D. Kaup, B. Malomed // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1995. — Т. 87, № 1. — С. 155—159 ; — Proceedings of the Conference on The Nonlinear Schrodinger Equation.

50. Marcq, P., Chaté, H., Conte, R. Exact solutions of the one-dimensional quintic complex Ginzburg-Landau equation / P. Marcq, H. Chate, R. Conte // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1994. — Т. 73, № 4. — С. 305—317.

51. Dutykh, D. A brief introduction to pseudo-spectral methods: application to diffusion problems / D. Dutykh // arXiv preprint arXiv:1606.05432. — 2016.

52. Багриновский, К. А., Годунов, С. К. Разностные схемы для многомерных задач / К. А. Багриновский, С. К. Годунов // Доклады Академии наук. Т. 115. — Российская академия наук. 1957. — С. 431—433.

53. Hardm, R., Tappert, F. Applications of the Split-Step Fourier Method to the Numerical Solution of Nonlinear and Variable Coefficient Wave Equations / R. Hardm, F. Tappert // SIAM Rev. Chronicle. — 1973. — Т. 15. — С. 423.

54. Uvarova, L, Burenok, Y. Modeling of propagation of transverese and longitudinal electromagnetic waves in nanostructures with nonlinear properties / L. Uvarova, Y. Burenok // International Journal of Pure and Applied Mathematics. — 2016. — Т. 109, № 3. — С. 691—708.

55. Weideman, J. A. C, Herbst, B. M. Split-Step Methods for the Solution of the Nonlinear Schrodinger Equation / J. A. C. Weideman, B. M. Herbst // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1986. — Т. 23, № 3. — С. 485—507.

56. Bandrauk, A. D., Shen, H. Higher order exponential split operator method for solving time-dependent Schrodinger equations / A. D. Bandrauk, H. Shen // Canadian Journal of Chemistry. — 1992. — Т. 70, № 2. — С. 555—559.

57. Yoshida, H. Construction of higher order symplectic integrators / H. Yoshida // Physics letters A. — 1990. — Т. 150, № 5—7. — С. 262—268.

58. Алексии, Б., Уварова, Л. Схемы расщепления с использованием спектрального метода для численного решения комплексного уравнения Гинзбурга—Ландау / Б. Алексич, Л. Уварова // Вестник МГТУ «Стан-кин». — 2018. — Сент. — Т. 46, № 4.

59. Suzuki, M. General theory of higher-order decomposition of exponential operators and symplectic integrators / M. Suzuki // Physics Letters A. — 1992. — Т. 165, № 5—6. — С. 387—395.

60. Aleksic, B., Aleksic, N., Skarka, V., Belic, M. Using graphical processing units to solve the multidimensional Ginzburg-Landau equation / B. Aleksic, N. Aleksic, V. Skarka, M. Belic // Physica Scripta. — 2012. — Т. 2012, T149. — С. 014036.

61. Nicolis, G., Prigogine, I. Self-Organization in Nonequilibrium Systems: From Dissipative Structures to Order Through Fluctuations / G. Nicolis, I. Prigogine. — Wiley, 1977. — (A Wiley-Interscience publication).

62. Malomed, B. A. Evolution of nonsoliton and "quasi-classical" wavetrains in nonlinear Schrodinger and Korteweg-de Vries equations with dissipative perturbations / B. A. Malomed // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1987. — Т. 29, № 1. — С. 155—172.

63. Aleksic, B. N., Uvarova, L. A., Aleksic, N. B. Dissipative structures in the resonant interaction of laser radiation with nonlinear dispersive medium / B. N. Aleksic, L. A. Uvarova, N. B. Aleksic // Optical and Quantum Electronics. — 2021. — Июль. — Т. 53, № 8.

64. Kalashnikov, V., Podivilov, E., Chernykh, A., Apolonski, A. Chirped-pulse oscillators: theory and experiment / V. Kalashnikov, E. Podivilov, A. Chernykh, A. Apolonski // Applied Physics B. — 2006. — Апр. — Т. 83, № 4. — С. 503.

65. Turitsyn, S. K., Rozanov, N. N., Yarutkina, I. A., Bednyakova, A. E., Fedorov, S. V., Shtyrina, O. V., Fedoruk, M. P. Dissipative solitons in fiber lasers / S. K. Turitsyn, N. N. Rozanov, I. A. Yarutkina, A. E. Bednyakova, S. V. Fedorov, O. V. Shtyrina, M. P. Fedoruk // Phys. Usp. — 2016. — Т. 59, № 7. — С. 642—668.

66. Fedorov, S. V., Vladimirov, A. G., Khodova, G. V., Rosanov, N. N. Effect of frequency detunings and finite relaxation rates on laser localized structures / S. V. Fedorov, A. G. Vladimirov, G. V. Khodova, N. N. Rosanov // Phys. Rev. E. — 2000. — Май. — Т. 61, вып. 5. — С. 5814—5824.

67. Malomed, B. A., Vladimirov, A. G., Khodova, G. V., Rosanov, N. N. Stable autosolitons in dispersive media with saturable gain and absorption / B. A. Malomed, A. G. Vladimirov, G. V. Khodova, N. N. Rosanov // Physics Letters A. — 2000. — Т. 274, № 3. — С. 111—116.

68. Desyatnikov, A. S., Kivshar, Y. S., Torner, L. Optical vortices and vortex solitons. Т. 47 / A. S. Desyatnikov, Y. S. Kivshar, L. Torner ; под ред. E. Wolf. — Elsevier, 2005. — С. 291—391. — (Progress in Optics).

69. Короленко, П. Оптические Вихри / П. Короленко // Соросовский Образовательный Журнал. — 1998. — Т. 6.

70. Зельдович Б.Я. Пилипецкий Н.Ф., Ш. В. Обращение волнового фронта / Ш. В. Зельдович Б.Я. Пилипецкий Н.Ф. — Наука Москва, 1985.

71. Н.Н., Р. Диссипативные оптические солитоны от микро- к нано- и атто- / Р. Н.Н. — ФИЗМАТЛИТ, 2011.

72. Shen, Y., Wang, X., Xie, Z, Min, C., Fu, X., Liu, Q, Gong, M, Yuan, X. Optical vortices 30 yeare on: OAM manipulation from topological cha^e to multiple singularities / Y. Shen, X. Wang, Z. Xie, C. Min, X. Fu, Q. Liu, M. Gong, X. Yuan // Light: Science & Applications. — 2019. — Т. 8, № 1. —

C. 1—29.

73. Berezhiani, V. I., Skarka, V., Aleksic, N. B. Dynamics of localized and nonlocalized optical vortex solitons in cubic-quintic nonlineaг media / V. I. Berezhiani, V. Skaika, N. B. Aleksic // Phys. Rev. E. — 2001. — Окт. — Т. 64, вып. 5. — С. 057601.

74. Davydova, T. A., Yakimenko, A. I. Stable multicha^ed localized optical vortices in cubic-quintic nonlineaг media / T. A. Davydova, A. I. Yakimenko // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. — 2004. — Т. 6, № 5. — S197.

75. Caplan, R., Hoq, Q., Carretero-Gonzalez, R., Kevrekidis, P. Azimuthal modulational instability of vortices in the nonlineaг Schг0dingeг equation / R. Caplan, Q. Hoq, R. Can-etero-Gonzalez, P. Kevrekidis // Optics Communications. — 2009. — Т. 282, № 7. — С. 1399—1405.

76. Crasovan, L. C, Malomed, B. A., Mihalache, D. Stable vortex solitons in the two-dimensional Ginzbu^-Landau equation / L. C. Crasovan, B. A. Malomed,

D. Mihalache // Phys. Rev. E. — 2000. — Дек. — Т. 63, вып. 1. — С. 016605.

77. Mihalache, D., Mazilu, D., Lederer, F., Leblond, H., Malomed, B. A. Stability of dissipative optical solitons in the three-dimensional cubic-quintic Ginzb^g-Landau equation / D. Mihalache, D. Mazilu, F. Ledere^ H. Leblond, B. A. Malomed // Phys. Rev. A. — 2007. — Март. — Т. 75, вып. 3. — С. 033811.

78. Mihalache, D., Mazilu, D., Lederer, F., Leblond, H., Malomed, B. A. Stability limits three-dimensional vortex solitons in the Ginzbu^-Landau equation with the cubic-quintic nonlinearity / D. Mihalache, D. Mazilu, F. Ledere^ H.

Leblond, B. A. Malomed // Phys. Rev. A. — 2007. — Окт. — Т. 76, вып. 4. —

C. 045803.

79. Aleksic, N. B., Skarka, V., Timotijevic, D. V., Gauthier, D. Self-stabilized spatiotemporal dynamics of dissipative light bullets generated from inputs without spherical symmetry in three-dimensional Ginzburg-Landau systems / N. B. Aleksic, V. Skarka, D. V. Timotijevic, D. Gauthier // Phys. Rev. A. — 2007. — Июнь. — Т. 75, вып. 6. — С. 061802.

80. Skarka, V., Timotijevic, D. V., Aleksic, N. B. Extension of the stability criterion for dissipative optical soliton solutions of a two-dimensional Ginzburg-Landau system generated from asymmetric inputs / V. Skarka,

D. V. Timotijevic, N. B. Aleksic // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. — 2008. — Т. 10, № 7. — С. 075102.

81. Anderson, P. W. More Is Different / P. W. Anderson // Science. — 1972. — Т. 177, № 4047. — С. 393—396.

82. Tracqui, P. Biophysical models of tumour growth / P. Tracqui // Reports on Progress in Physics. — 2009. — Апр. — Т. 72, № 5. — С. 056701.

83. Kondo, S., Miura, T. Reaction-Diffusion Model as a Framework for Understanding Biological Pattern Formation / S. Kondo, T. Miura // Science. — 2010. — Т. 329, № 5999. — С. 1616—1620.

84. Eiraku, M., Takata, N., Ishibashi, H., Kawada, M., Sakakura, E., Okuda, S., Sekiguchi, K., Adachi, T., Sasai, Y. Self-organizing optic-cup morphogenesis in three-dimensional culture / M. Eiraku, N. Takata, H. Ishibashi, M. Kawada,

E. Sakakura, S. Okuda, K. Sekiguchi, T. Adachi, Y. Sasai // Nature. — 2011. — Т. 472, № 7341. — С. 51.

85. Rosanov, N. N. Spatial Hysteresis and Optical Patterns / N. N. Rosanov. — Springer Science & Business Media, 2002.

86. Skarka, V., Aleksic, N. B., Leblond, H., Malomed, B. A., Mihalache, D. Varieties of Stable Vortical Solitons in Ginzburg-Landau Media with Radially Inhomogeneous Losses / V. Skarka, N. B. Aleksic, H. Leblond, B. A. Malomed, D. Mihalache // Phys. Rev. Lett. — 2010. — Нояб. — Т. 105, вып. 21. — С. 213901.

87. Fan, T. Y., Sanchez, A., DeFeo, W. E. Scalable, end-pumped, diode-laser-pumped laser / T. Y. Fan, A. Sanchez, W. E. DeFeo // Opt. Lett. — 1989. — Окт. — Т. 14, № 19. — С. 1057—1059.

88. Salin, F., Squier, J., Piché, M. Mode locking of Ti:Al2O3 lasers and self-focusing: a Gaussian approximation / F. Salin, J. Squier, M. Piche // Opt. Lett. — 1991. — Нояб. — Т. 16, № 21. — С. 1674—1676.

89. Yan, X., Liu, Q., Wang, D., Gong, M. Combined guiding effect in the end-pumped laser resonator / X. Yan, Q. Liu, D. Wang, M. Gong // Opt. Express. — 2011. — Март. — Т. 19, № 7. — С. 6883—6902.

90. Xiang, Z, Wang, D., Pan, S., Dong, Y., Zhao, Z, Li, T., Ge, J., Liu, C., Chen, J. Beam quality improvement by gain guiding effect in end-pumped Nd:YVO4 laser amplifiers / Z. Xiang, D. Wang, S. Pan, Y. Dong, Z. Zhao, T. Li, J. Ge, C. Liu, J. Chen // Opt. Express. — 2011. — Окт. — Т. 19, № 21. — С. 21060—21073.

91. Battle, P. R., Wessel, J. G., Carlsten, J. L. Gain-guiding effects in an amplifier with focused gain / P. R. Battle, J. G. Wessel, J. L. Carlsten // Phys. Rev. A. — 1993. — Июль. — Т. 48, вып. 1. — С. 707—716.

92. LaSala, J. E., Deacon, D. A. G., Madey, J. M. J. Optical guiding in a free-electron-laser oscillator / J. E. LaSala, D. A. G. Deacon, J. M. J. Madey // Phys. Rev. Lett. — 1987. — Нояб. — Т. 59, вып. 18. — С. 2047—2050.

93. Fill, E. E. Gain guiding of x-ray laser beams / E. E. Fill // Optics Communications. — 1988. — Т. 67, № 6. — С. 441—445.

94. Koechner, W., Bass, M. Solid-State Lasers: A Graduate Text У W. Koechner, M. Bass. — Springer Science, Business Media., янв. 2003.

95. Salin, F., Squier, J. Gain guiding in solid-state lasers У F. Salin, J. Squier ^ Opt. Lett. — 1992. — Окт. — Т. 17, № 19. — С. 1352—1354.

96. Lederer, F., Stegeman, G. I., Christodoulides, D. N., Assanto, G., Segev, M., Silberberg, Y. Discrete solitons in optics У F. Lederer, G. I. Stegeman, D. N. Christodoulides, G. Assanto, M. Segev, Y. Silberberg ^ Physics Reports. — 2008. — Т. 4б3, № 1—3. — С. 1—12б.

97. Atai, J., Malomed, B. A. Exact stable pulses in asymmetric linearly coupled Ginzburg-Landau equations У J. Atai, B. A. Malomed ^ Physics Letters A. — 1998. — Т. 24б, № 5. — С. 412—422.

98. Firth, W. J., Paulau, P. V. Soliton lasers stabilized by coupling to a resonant linear system У W. J. Firth, P. V. Paulau УУ The European Physical Journal D. — 2010. — Июль. — Т. 59, № 1. — С. 13—21.

99. Bartels-Rausch, T., Bergeron, V., Cartwright, J. H. E., Escribano, R., Finney, J. L., Grothe, H., Gutiérrez, P. J., Haapala, J., Kuhs, W. F., Pettersson, J. B. C., Price, S. D., Sainz-Diaz, C. I., Stokes, D. J., Strazzulla, G., Thomson, E. S., Trinks, H, Uras-Aytemiz, N. Ice structures, patterns, and processes: A view across the icefields У T. Bartels-Rausch, V. Bergeron, J. H. E. Cartwright, R. Escribano, J. L. Finney, H. Grothe, P. J. Gutierrez, J. Haapala, W. F. Kuhs, J. B. C. Pettersson, S. D. Price, C. I. Sainz-Diaz, D. J. Stokes, G. Strazzulla, E. S. Thomson, H. Trinks, N. Uras-Aytemiz ^ Rev. Mod. Phys. — 2012. — Май. — Т. 84, вып. 2. — С. 885—944.

100. Malomed, B. A., Mihalache, D., Wise, F., Torner, L. Spatiotemporal optical solitons У B. A. Malomed, D. Mihalache, F. Wise, L. Torner ^ Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. — 2005. — Апр. — Т. 7, № 5. — R53—R72.

101. Malomed, B. A. Spontaneous Symmetry Breaking, Self-Trapping, and Josephson Oscillations / B. A. Malomed. — 2013.