Моделирование дисперсионного транспорта носителей заряда в материалах с энергетическим беспорядком и перколяционной структурой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Морозова, Екатерина Владимировна

• Морозова, Екатерина Владимировна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Морозова, Екатерина Владимировна

Оглавление

Введение 5

1 Дисперсионный транспорт в неупорядоченных полупроводниках 10

1.1 Дисперсионный транспорт электронов и дырок..........10

1.2 Механизмы переноса в разупорядочеппых полупроводниках . . 15

1.3 Модель случайных блужданий с непрерывным временем .... 18

1.4 Интегральное уравнение многократного захвата.........21

1.5 Эредитарное уравнение Фоккера-Планка.............24

1.6 Выводы к главе 1...........................27

2 Совместный учёт энергетического и структурного типов беспорядка 29

2.1 Элементы на основе разупорядоченных наноструктур......29

2.2 Суперпозиция распределений времен локализации........32

2.3 Многократный захват на гребешковой структуре.........34

2.4 Кинетика переходного тока.....................37

2.5 Иерархия уравнений дисперсионного переноса..........42

2.6 Выводы к главе 2...........................49

3 Дисперсионный транспорт в полимерных слоях 51

3.1 Уравнения дисперсионного переноса в полимерах........52

3.2 Переходный ток в двухслойной структуре.............53

3.3 Переходный ток в многослойных структурах...........61

3.4 Алгоритм Монте-Карло для расчета переходного тока......63

3.5 Диод в условиях ДТ.........................67

3.6 Частотные свойства диода на основе материалов с энергетическим беспорядком и перколяционной структурой.........72

3.7 Выводы к главе 3...........................73

4 Эффекты памяти в процессах зарядки-разрядки ионистора 77

4.1 Структура исследуемых ионисторов................77

4.2 Электрохимический импеданс при дисперсионном переносе ... 78

4.3 Модель линейного отклика ионистора...............81

4.4 Экспериментальные исследования заряда-разряда ионистора . . 87

4.5 Выводы к главе 4...........................93

5 Заключение 95

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование дисперсионного транспорта носителей заряда в материалах с энергетическим беспорядком и перколяционной структурой»

Исследования транспорта носителей заряда в неупорядоченных нанострук-турированных материалах актуальны как с теоретической, так и с технологической точек зрения [50, 21]. В представляемой диссертации моделируется дисперсионный транспорт электронов, дырок и ионов в консолидированных полупроводниковых наноматериалах и полимерных гетерогенных системах. К первому классу относятся компактные твердофазные материалы, состоящие из связанных фиксированных в пространстве наночастиц (нанокри-сталлические материалы, нанокомпозиты, нанопористые материалы и др.). Второй класс подразумевает двухкомпонентные полимерные системы, применяемые в солнечных элементах на основе трехмерного гетероперехода из органических полупроводников. Рассматриваемые системы являются неупорядоченными структурами, в которых часто наблюдается аномальная кинетика носителей заряда (электронов, дырок, ионов), при описании которой не применимо классическое уравнение диффузии-дрейфа [9, 7]. Яркое проявление такой кинетики - дисперсионный транспорт (ДТ). Этот нефиковский тип переноса имеет место во многих материалах со структурным беспорядком и различающейся микроскопической структурой [12, 13].

ДТ может быть обусловлен одним из следующих механизмов: многократным захватом электронов и дырок на распределенные по энергии локализованные состояния (ЛС), туннелированием с участием фононов (т.е. прыжковым транспортом), перколяцией и др. [9, 13]. Актуальной проблемой является необходимость учета структурного беспорядка материала при описании электронного транспорта, например, в сенсибилизированных красителем фотоэлементах [50, 21]. Существует также возможность параллельного функционирования нескольких механизмов переноса. Традиционные аналитические модели к описанию дисперсионного переноса (модели Шера-Монтролла, Архипова-Руденко и др.) не учитывают перколяционный тип траекторий,

обусловленный структурным беспорядком, и параллельное функционирование нескольких механизмов. Модели на основе нелокального уравнения Фоккера-Планка восполняют этот пробел.

Цель диссертационной работы: разработать теоретическую модель совместного учета энергетического беспорядка и перколяционной структуры для описания дисперсионного транспорта в неупорядоченных нанострукту-рированных материалах (консолидированных полупроводниках, полимерных смесях и др.). Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

1. Рассмотреть многократный захват носителей заряда на гребешковых структурах, моделирующих перколяционные кластеры наноструктурирован-ного полупроводника.

2. Проанализировать совместное влияние перколяции и энергетического беспорядка на кривые переходного тока в условиях время-пролетного эксперимента. Сравнить решения с результатами моделирования методом Монте-Карло и экспериментальными данными.

3. Применить модель к расчету частотных характеристик диодов, иони-сторов и др. элементов на основе неупорядоченных наноструктурированных полупроводников при условиях дисперсионного транспорта.

4. Обобщить модели электрохимического импеданса на случай аномальной диффузии ионов в пористом электроде, характеризующемся энергетическим беспорядком и перколяционной структурой.

Научная новизна полученных автором результатов:

1. Произведен совместный учет структурного и энергетического беспорядка на основе представления о многократном захвате на гребешковой структуре, моделирующей перколяционный характер траекторий.

2. Действие параллельных механизмов транспорта описано в рамках случайных блужданий со смесью распределений времен ожидания. Получены интегральные уравнения переноса с производными дробного порядка для произвольной плотности локализованных состояний.

3. Предложен эффективный алгоритм расчета переходного тока в неоднородных структурах в условиях время-пролетного эксперимента, основанный на стохастической интерпретации тока в качестве случайного процесса восстановления.

Практическая значимость.

1. В рамках новой модели дано более точное описание характеристик дисперсионного транспорта в сенсибилизированных красителем нанострук-турных солнечных элементах.

2. Модель дисперсионного переноса с учетом перколяционной структуры образца позволяет уточнить алгоритмы восстановления плотности локализованных состояний полупроводников по кривым переходного тока с учетом перколяционной структуры материала.

3. Рассчитаны переходные процессы в диоде на основе наноструктуриро-ванных полупроводников с учетом перколяционной структуры образца. Получены частотные зависимости диффузионной емкости и koi пикта ilea диода.

4. Представлены результаты экспериментальный исследований ионисто-ров GoldCapacitor фирмы Panasonic с помощью нескольких экспериментальных методик: измерения зависимостей токов заряда и разряда от времени, циклического заряда постоянным током и циклической вольт-амперометрии. Определены величины внутреннего сопротивления, статической и динамической емкости, а также их зависимости от приложенного к конденсатору напряжения. Результаты проинтерпретированы в рамках обобщенной модели аномально-диффузионного электрохимического импеданса.

Положения, выносимые на защиту:

1. Модель дисперсионного переноса в неупорядоченных наноструктуриро-ванных материалах, учитывающая перколяционную структуру образца и распределение локализованных состояний по энергии. Совместный учёт топологического и энергетического беспорядка произведён в рамках моделей многократного захвата и прыжкового транспорта на гре-бешковых структурах, моделирующих перколяционный характер траекторий.

2. Формула, связывающая переходный ток при дисперсионном переносе в условиях время-пролетного эксперимента с решением стандартного

уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Вывод формулы основан на представлении транспорта с локализацией носителей в виде случайного подчиненного процесса.

3. Модель подчиненного процесса блужданий со смесью распределений времен локализации для описания дисперсионного транспорта носителей заряда, управляемого действием параллельных механизмов

4. Обобщенная модель многократного захвата в многослойной структуре на основе органических полупроводников на случай произвольной плотности локализованных состояний.

5. Обобщенная модель электрохимического импеданса Варбурга на случай демпфированной субдиффузии ионов в пористом электроде.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы были представлены на Международной молодежной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 2013, 2014, 2015), Международной научно-технической конференции «Нигматуллинские чтения» (Казань, 2013), Четвертой международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (Самара, 2014), Международной конференции «Физика диэлектриков» РГПУ им. А. И. Герцена (Санкт-Петербург, 2014), IX Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2014), Международной конференции «Опто-, наноэлектро-ники,нанотехнологии и микросистемы» (Ульяновск, 2015), Международной научно-технической конференции «Технологии микро- и наноэлектроники в микро и наносистемной технике» (Москва, 2016), Международной научно-технической конференции «Математическое и компьютерное моделирования естественно-научных и социальных проблем» (Пенза, 2016).

Личный вклад автора. Теоретические положения разработаны в соавторстве с научным руководителем д.ф,- м.н. Р. Т. Сибатовым. Аналитические решения, численное моделирование, сравнение с экспериментальными данными, выполнены Е.В.Морозовой самостоятельно.

Достоверность результатов. Основные решения апробированы с помощью моделирования методом Монте-Карло. Достоверность основных результатов подтверждена согласием с экспериментальными данными.

Публикации. В ходе выполнения исследований по теме диссертации опубликовано 21 научных работ, 7 из которых - в журналах из списка ВАК.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения. Общий объём работы: 114 страниц, включая 50 рисунков, список литературы из 162 наименований.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Морозова, Екатерина Владимировна

Заключение

В заключение перечислим основные результаты и выводы.

1. Сформулирована модель дисперсионного переноса в неупорядоченных наноструктурированных полупроводниках, учитывающая перколяцп-онную структуру образца и совместное действие нескольких механизмов. Совместный учет структурного и энергетического беспорядка произведен в рамках модели МЗ на гребешковой структуре, моделирующей перколяционный характер траекторий. Модель полезна для объяснения ряда экспериментальных фактов в пористых наноструктурированных материалах, применяемых, например, в сенсибилизированных красителем нанокристаллических солнечных элементах. Так классическая модель МЗ объясняет основные особенности дисперсионного переноса, однако терпит неудачу при объяснении температурных зависимостей коэффициента диффузии и дисперсионного параметра в нано-пористых полупроводниках. Статичная гребешковая модель перколя-ционной структуры материала приводит к температурно независимым дисперсионному параметру и коэффициенту диффузии. Сочетание с моделями МЗ или прыжковой проводимости позволяет варьировать параметры температурных зависимостей в более широком диапазоне.

2. Модель случайных блужданий со смесью распределений времен локализации для описания ДТ, управляемого действием параллельных механизмов. Получено уравнение ДТ с распределенным дисперсионным параметром.

3. Рассмотрен ДТ в многослойных полимерных структурах на основе

интегро-дифференциального уравнения эредитарной диффузии и метода Монте-Карло. Обобщена модель МЗ в бислое на случай произвольной ПЛС. В случае МЗ на состояния с экспоненциальной ПЛС наши расчеты подтверждают результаты работы [141]. С помощью эффективного алгоритма Монте-Карло рассчитан переходный ток в бислое для произвольной ПЛС и функции генерации. Повышенная концентрация ловушек в приповерхностном слое приводит к появлению выступа на кривых переходного тока, который объясняется проявлением колокол ообразной формы I2(t) j связанной с формой плотности распределения времени достижения границы слоев носителем, инжектированным в первый слой.

4. Произведено обобщение классической модели Варбурга электрохимического импеданса на случай демпфированной субдиффузии ионов в пористом электроде. Построены соответствующие диаграммы Найквиста, демонстрирующие переход от нормальной диффузии на малых частотах к субдиффузии в высокочастотной области. Переход управляется параметром демпфирования 7.

5. В работе представлены результаты исследований ионисторов фирмы Panasonic с помощью нескольких экспериментальных методик: измерения зависимостей токов заряда и разряда от времени, циклического заряда постоянным током и циклической вольтамперометрии. Определены величины внутреннего сопротивления, статической и динамической емкости, а также их зависимости от приложенного к конденсатору напряжения. Проведен анализ полученных результатов и проведено их сопоставление с моделями ионисторов, описанных в литературе. Сделан вывод, что наблюдаемые особенности процессов зарядки-разрядки суперкондесаторов, обусловленные их сложной микроструктурой, не могут найти адекватное описание на основе эквивалентных схем с конечным числом пассивных элементов. Обратное преобразование Фурье дробно-степенных аппроксимаций частотного представления передаточной функции приводит к уравнениям с интегро-дифференциальными операторами. Предложен эффективный алгоритм решения методом Монте-Карло уравнений заряда-разряда ионисторов с конечным числом дробно-дифференциальных операторов. Алгоритм

заключается в вычислении действия обратного оператора к распределенной дробной производной и основан на определении Бохнера для дробного инфинитезимального оператора.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Морозова, Екатерина Владимировна, 2016 год

Литература

[1] Архинчеев, В. Е. Аномальная диффузия и дрейф в гребешковой модели перколяционных кластеров / В. Е. Архинчеев, Э. М. Баскин // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1991. — Т. 100. - С. 292300.

[2] Архинчеев, В. Е. Обобщенный закон Фика для аномальной диффузии в многомерной гребешковой модели / В. Е. Архинчеев // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2007. — Т. 86, № 8. - С. 580-583.

[3] Архипов, В. И. Влияние многократного захвата носителей на переходные фототоки в аморфных полупроводниках / В. И. Архипов, Ю. А. Попова, А. И. Руде! 1 ко // Физика и техника полупроводников. — 1983. - Т. 17, № 2. - С. 1817-1822.

[4] Бонч-Бруевич, В. Л. Физика полупроводников : учеб. пособие для вузов / В. Л. Бонч-Бруевич, С. Г. Калашников. — Москва : Наука, 1977. - 672 с.

[5] Гаман, В. И. Физика полупроводниковых приборов / В. И. Гаман. — Томск : Изд-во науч.-техн. лит., 2000. 425 с.

[6] Гольданский, В. И. Туннельные явления в химической физике / В. И. Гольданский, Л. И. Трахтенберг, В. Н. Флеров ; отв. ред. М. Д. Франк-Каменецкий ; АН СССР, Нн-т хим. физики. - Москва : Наука, 1986. -294 с.

[7] Диэлектрические свойства полимеров в полях ионизирующих излучений / А. П. Тютнев [и др.] ; отв. ред.: А. П. Тютнев, Н. С. Костюков. — Москва : Наука, 2005 (ГУП Тип. Наука). - 453 с. - ISBN 5-02-033650-5.

[8] Дыхне, А. М. Перенос примеси в перколяционных средах / А. М. Дыхне, П. С. Кондратенко, Л. В. Матвеев // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2004. — Т. 80, № 6. — С. 464-467.

[9] Звягин, И. П. Кинетические явления в неупорядоченных полупроводниках / И. П. Звягин. — Изд. Московского университета Москва. — 1984. _ с. 400.

[10] Казакова, Л. П. Переходный фототок в структурах аморфный, пористый полупроводник-кристаллический полупроводник / Л. П.Казакова, Э. А. Лебедев // Физика и техника полупроводников. — 1998_ _ Т 32? ^ 2. - С. 187-191.

[11] Лубашевский, И. А. Континуальное описание аномальной диффузии по гребешковой структуре / И. А. Лубашевский, А. А. Земляпов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1998. — Т. 114, Л" 4. - С. 1284-1312.

[12] Нестационарные инжекционные токи в неупорядоченных твердых телах / В. И. Архипов, [и др.] ; отв. ред. С. И. Радауцан. — Кишинев : Штиинца, 1983. — 175 с.

[13] Никитенко, В. Р. Нестационарные процессы переноса и рекомбинации носителей заряда в тонких слоях органических материалов [Текст] : учеб. пособие для студ. высш. учеб. завед. / В. Р. Никитенко. — Москва : НИЯУ «МИФИ», 2011. — 316 с. — (Библиотека ядерного университета / М-во образования и науки Российской Федерации, НИЯУ «МИФИ»), - ISBN 978-5-7262-1563-1.

[14] Никитенко, В. Р. Переходный ток в тонких слоях неупорядоченных органических материалов в режиме неравновесного транспорта носителей заряда / В. Р. Никитенко, А. П. Тютнев // Физика и техника полупроводников. - 2007. - Т. 41, № 9. - С. 1118-1125.

[15] Сибатов, Р. Т. Дробно-дифференциальный подход к описанию дисперсионного переноса в полупроводниках / Р. Т. Сибатов, В. В.Учайкин // Успехи физических наук. — 2009. — Т. 179, № 10. — С. 1079-1104.

[16] Учайкин, В. В. Дробно-дифференциальная кинетика дисперсионного переноса как следствие его автомодельности / В. В. Учайкин, Р. Т. Сибатов // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, _ 2007. - Т. 86, № 8. - С. 584-588.

[17] Учайкин, В. В. Метод дробных производных / В. В. Учайкин. — Ульяновск: Артишок, 2008. — 510 с.

[18] Федер, Е. Фракталы / Е. Федер ; пер. с англ. Ю. А. Данилова, А. Шу-курова. - Москва : Мир, 1991. - 260 с. - ISBN 5-03-001712-7.

[19] Шкилев, В. П. Обобщение модели многократного захвата / В. П. Шки-лев // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2012. — Т. 142, № 1. - С. 181-189.

[20] Anomalous diffusion models and their properties: non-stationarity, non-ergodicity, and ageing at the centenary of single particle tracking / R. Metzler [et al.] // Physical Chemistry Chemical Physics. — 2014. — Vol. 16. № 44. - P. 24128-24164.

[21] Ansari-Rad, M. Conditions for diffusion-limited and reaction-limited recombination in nanostructured solar cells / M. Ansari-Rad, J. A. Anta, E. Arzi //The Journal of chemical physics. — 2014. — Vol. 140, № 13. — P. 134702.

[22] Aroutiounian, V. M. Fractal model of a porous semiconductor / V. M. Aroutiounian, M. Z. Ghoolinian, H. Tributsch // Applied surface science. _ 2000. - Vol. 162. - C. 122-132.

[23] Averkiev, N. S. Carrier transport in porous silicon / N. S. Averkiev, L. P. Kazakova, N. N. Smirnova // Semiconductors. — 2002. — Vol. 36 № 3. — P. 336-339.

[24] Optical and electrical properties of porous gallium arsenide / N. S. Averkiev [et al.] // Semiconductors. - 2000. - Vol. 34, № 6. - P. 732-736.

[25] Barkai, E. Fractional Fokker-Planck equation, solution, and application / E. Barkai // Physical Review E. - 2001. - Vol. 63, № 4. - P. 046118.

[26] Barkai, E. From continuous time random walks to the fractional Fokker-Planck equation / E. Barkai, R. Metzler, J. Klafter // Physical Review E. _ 2000. - Vol. 61, № 1. - P. 132.

[27] Baskin, E. Superdiffusion on a comb structure / E. Baskin, A. Iomin // Physical review letters. - 2004. - Vol. 93, № 12. - P. 120603.

[28] Bassler, H. Charge transport in disordered organic photoconductors a Monte Carlo simulation study / Bassler H // Physica status solidi (b). — 1993. — Vol. 175, № 1. - P. 15-56.

[29] Belhachemi, F. A physical based model of power electric double-layer supercapacitors / F. Belhachemi, S. Rael, B. Davat // Industry Applications Conference. Conference Record of the 2000 IEEE. — 2000. — Vol. 5. — P. 3069-3076.

[30] Bisi, O. Porous silicon: a quantum sponge structure for silicon based optoelectronics / O. Bisi, S. Ossicini, L. Pavesi // Surface science reports. _ 2000. - Vol. 38, № 1. - P. 1-126.

[31] Bisquert, J. Fractional diffusion in the multiple-trapping regime and revision of the equivalence with the continuous-time random walk // Physical Review Letters. - 2003. - Vol. 91, № 1. - P. 602-605.

[32] Bisquert, J. Interpretation of a fractional diffusion equation with nonconserved probability density in terms of experimental systems with trapping or recombination / J. Bisquert // Physical Review E. — 2005. — Vol. 72, № 1. - P. 011109.

[33] Boden, N. Mechanism of quasi-one dimensional electronic conductivity in discotic liquid crystals / N. Boden, R. J. Bushby, J. Clements // The Journal of chemical physics. - 1993. - Vol. 98, № 7. - P. 5920-5931.

[34] Borsenberger, P. M. Charge transport in disordered molecular solids / P. M. Borsenberger, L. Pautmeier, H. Bassler // The Journal of chemical physics. _ 1991. _ v0i. 94. ^ 8. _ P. 5447-5454.

[35] Broadbent, S.R. Proc. Cambridge / S.R. Broadbent, J.M. Hammersley // Phil.Soc. - 1957. - Vol. 53, № 629.

[36] Charge carrier mobility in an organic-inorganic hybrid nanocomposite / K. R. Choudhury [et al.] // Applied physics letters. - 2003. - Vol. 82, № 3.

- P. 406-408.

[37] Charge Transport in Disordered Organic Materials and Its Relevance to Thin? Film Devices: A Tutorial Review / N. Tessler [et al.] // Advanced Materials. - 2009. - Vol. 21, № 27. - P. 2741-2761.

[38] Chekunaev, N. I. Electron diffusion in bond-disordered media / N. I. Chekunaev, Y. A. Berlin, V. N. Fleurov // Journal of Physics C: Solid State Physics. - 1982. - Vol. 15, № 6. - P. 1219.

[39] Chekunaev, N. I. Kinetics of electron scavenging in bond-disordered media / N. I. Chekunaev, Y. A. Berlin, V. N. Fleurov // Journal of Physics C: Solid State Physics. - 1983. - Vol. 16, № 13. - P. 2569.

[40] Chekunaev, N. I. Hopping dispersive transport in site-disordered systems / N. I. Chekunaev, V. N. Fleurov // Journal of Physics C: Solid State Physics. _ 1984. _ v0i. 17. .\o. 16. - p. 2917.

[41] Chen, Y. Principles and applications of supercapacitors / Y. Chen, Y. Li, M. Deng // Electronic Components and Materials. — 2008. — Vol. 27, № 4. _ p. 06.

[42] Comparison between multiple trapping and multiple hopping transport in a random medium / B. Hartenstein [et al.] // Physical Review B. — 1996.

- Vol. 54, № 12. - P. 8574.

[43] Conway, B. E. Electrochemical capacitors based on pseudocapacitance / B. E. Conway // Electrochemical Supercapacitors. — 1999. — C. 221-257.

[44] Conway, B. E. Power limitations of supercapacitor operation associated with resistance and capacitance distribution in porous electrode devices / B. E. Conway, W. G. Pell // Journal of Power Sources. - 2002. - Vol. 105, № 2.

- P. 169-81.

[45] Dielectric spectroscopy in time and frequency domain applied to diagnostics of power transformers / U. Gafvert [et al.] // Properties and Applications

of Dielectric Materials. Proceedings of the 6th International Conference on. _ 2000. - Vol. 2. - P. 825-830.

[46] Dispersive electron transport in polycrystalline films of CdTe / R. Ramirez-Bon [et al.] // Physical Review B. - 1993. - Vol. 48, № 4. - P. 2200.

[47] Dzielinski, A. Comparison and validation of integer and fractional order ultracapacitor models / A. Dzielinski, G. Sarwas, D. Sierociuk // Advances in Difference Equations. - 2011. - Vol. 2011, № 1. - P. 1.

[48] Dzielinski, A. Ultracapacitor modelling and control using discrete fractional order state-space model / A. Dzielinski, D. Sierociuk // Acta Montanistica Slovaca. - 2008. - Vol. 13, № 1. - P. 136-145.

[49] Effect of annealing temperature on the optical and electrical properties of aluminum doped ZnO films / V. Shelke [et al.] // Journal of Non-Crystalline Solids. - 2009. - Vol. 355, № 14. - P. 840-843.

[50] Electron diffusion in trap-contained 3D porous nanostructure: simulation and experimental investigation / N.Abdi [et al.] // Journal of nanoparticle research. - 2014. - Vol. 16, № 3. - P. 1-8.

[51] Evidence for exponential band tails in amorphous silicon hydride / T. Tiedje [et al.] // Physical Review Letters. - 1981. - Vol. 46, № 21. - P. 1425.

[52] Extracting microscopic device parameters from transient photocurrent measurements of P3HT: PCBM solar cells / MacKenzie R. C. I. [et al.] // Advanced Energy Materials. - 2012. - Vol. 2, №. 6. - P. 662-669.

[53] Feldman, Y. Non-Debye dielectric relaxation in complex materials / Feldman Y., Puzenko A., Ryabov Y. // Chemical Physics. — 2002. — Vol. 284, № 1. - P. 139-168.

[54] Feller, W. An Introduction to Probability Theory and its Applications / W. Feller // John Wiley & Sons. - 2008. - Vol. 2. - 541 p.

[55] Frackowiak, E. Carbon materials for supercapacitor application / E. Frackowiak // Physical chemistry chemical physics. — 2007. — Vol. 9, № 15. - P. 1774-1785.

[56] Fractional integrals and derivatives / S. G.Samko et al. // Theory and Applications, Gordon and Breach, Yverdon. — 1993.

[57] Fractional model of electron diffusion in dye-sensitized nanocrystalline solar cells / R. T. Sibatov [et al.] // Proceedings of the 2014 International Conference on Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. — 2014. - P. 118-121.

[58] Fractional non-linear modelling of ultracapacitors / N. Bertrand [et al.] // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2010. - Vol. 15, № 5. - P. 1327-1337.

[59] Schmidlin, F. W. Theory of multiple trapping / F. W. Schmidlin // Solid State Communications. - 1977. - Vol. 22, № 7. - P. 451-453.

[60] Galiyarova, N. M. Fractality and dielectric spectra of ferroic materials / N. M. Galiyarova, S. V. Gorin, L. I. Dontsova // Material Research Innovations. _ 1999. _ v0i. 3. ^ i. _ P. 30-41.

[61] Glockle, W. G. Fox function representation of non-Debye relaxation processes / W. G. Glockle, T. F. Nonnenmacher // Journal of Statistical Physics. - 1993. - Vol. 71, № 3-4. - P. 741-757.

[62] Grain morphology and trapping effects on electron transport in dye-sensitized nanocrystalline solar cells / M. J. Cass [et al.] // The Journal of Physical Chemistry B. - 2005. - Vol. 109, № 11. - P. 5100-5107.

[63] Grasser, T. Dispersive transport and negative bias temperature instability: Boundary conditions, initial conditions, and transport models / T. Grasser, W. Gos, B. Kaczer // IEEE Transactions on Device and Materials Reliability. - 2008. - Vol. 8, № 1. - P. 79-97.

[64] Giines, S., Neugebauer H., Sariciftci N. S. Conjugated polymer-based organic solar cells / S. Gunes, H. Neugebauer, N. S. Sariciftci // Chemical reviews. - 2007. - Vol. 107, № 4. - P. 1324-1338.

[65] Abramowitz, M. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables / M. Abramowitz, , I. A. Stegun. - U.S. Government Printing Office, 1964. - 1046 p.

[66] Hierarchical TiO2 photoanode for dye-sensitized solar cells / F. Sauvage [et al.] // Nano letters. - 2010. - Vol. 10, № 7. - P. 2562-2567.

[67] Highly conductive and porous activated reduced graphene oxide films for high-power supercapacitors / Zhang L. L. [et al.] // Nano letters. — 2012. - Vol. 12, № 4. - P. 1806-1812.

[68] Hvam, J. M. Dispersive transport and recombination lifetime in phosphorus-doped hydrogenated amorphous silicon / J. M. Hvam, M. H. Brodsky // Physical Review Letters. - 1981. - Vol. 46, № 5. - P. 371.

[69] Imry, Y. Introduction to mesoscopic physics / Y. Imry. — Oxford, 1997. — 264 p.

[70] Influence of the percolation network geometry on electron transport in dye-sensitized titanium dioxide solar cells / K. D. Benkstein [et al.] // The Journal of Physical Chemistry B. - 2003. - Vol. 107, № 31. - P. 77597767.

[71] Isichenko, M. B. Percolation, statistical topography, and transport in random media / M. B. Isichenko // Reviews of modern physics. — 1992. — Vol. 64, № 4. - P. 961.

[72] Jonscher, A. K. Dielectric relaxation in solids / A. K. Jonscher // Journal of Physics D: Applied Physics. - 1999. - Vol. 32, № 14. - P. R57.

[73] Jonscher, A. K. Universal relaxation law: a sequel to Dielectric relaxation in solids / A. K. Jonscher; Chelsea Dielectrics Press, 1996. — 415 p.

[74] Jurlewicz, A. Generalized Mittag-Leffler relaxation: Clustering-jump continuous-time random walk approach / A. Jurlewicz, K. Weron, M. Teuerle // Physical Review E. - 2008. - Vol. 78, №. 1. - P. 011103.

[75] Kazakova, L. P. Carrier drift mobility in porous silicon carbide / L. P. Kazakova, M. G. Mynbaeva, K. D. Mynbaev // Semiconductors. — 2004. — Vol. 38, № 9. - P. 1081-1083.

[76] Klafter, J. Models for dynamically controlled relaxation / J. Klafter, A. Blumen // Chemical physics letters. — 1985. — Vol. 119, № 5. — P. 377382.

[77] Klages, R. Anomalous transport: foundations and applications / R. Klages, G. Radons, I. M. Sokolov; John Wiley & Sons, 2008. - 584 p.

[78] Kolomietz, B. T. Features of charge carrier transport in glassy As^e3 / B. T. Kolomietz , E. A. Lebedev, L. P. Kazakova // Semiconductors. — 1978. _ yol. 12. _ p. 1771.

[79] Küchler, A. Research note: Dielectric diagnosis of water content in transformer insulation systems / A. Küchler, T. Bedel // European transactions on electrical power. — 2001. — Vol. 11, № 1. — P. 65-68.

[80] Lebon, G. Understanding non-equilibrium thermodynamics / G. Lebon, D. Jou, J. Casas-Vázquez. — Berlin : Springer, 2008. — 196 p.

[81] Le Comber, P. G. Electronic transport in amorphous silicon films / P. G. Le Comber, W. E. Spear // Physical Review Letters. — 1970. — Vol. 25, № 8. - P. 509.

[82] Lévy statistics and anomalous transport in quantum dot arrays / D. S. Novikov [et al.] // Physical Review B. - 2005. - Vol. 72, № 7. - P. 075309.

[83] Long-range electron transport in a self-organizing n-type organic material / V. Duzhko [et al.] // Applied Physics Letters. - 2008. - Vol. 92, № 11. - P. 113312.

[84] Lungoci, C. M. Comparative analysis for the supercapacitors packaging characteristics / C. M. Lungoci, I. D. Oltean // Design and Technology in Electronic Packaging (SIITME), IEEE 16th International Symposium for. - 2010. - P. 93-98.

[85] Margolin, G. Application of continuous time random walks to transport in porous media / G. Margolin, B. Berkowitz // The Journal of Physical Chemistry B. - 2000. - Vol. 104, № 16. - P. 3942-3947.

[86] McNeill, C. R. Morphology of all-polymer solar cells / C. R. McNeill // Energy Environmental Science. — 2012. — Vol. 5, № 2. — P. 5653-5667.

[87] Merrett, G. V. Supercapacitor leakage in energy-harvesting sensor nodes: Fact or fiction? / G. V. Merrett, A. S. Weddell // Networked Sensing Systems (INSS), Ninth International Conference on. — 2012. — P. 1-5.

[88] Metzler, R. Anomalous diffusion and relaxation close to thermal equilibrium: a fractional Fokker-Planck equation approach / R. Metzler, E. Barkai, J. Klafter // Physical review letters. - 1999. - Vol. 82, № 18.

- P. 3563.

[89] Metzler, R. Anomalous transport in external fields: Continuous time random walks and fractional diffusion equations extended / R. Metzler, J. Klafter, I. M. Sokolov // Physical Review E. - 1998. - Vol. 58, № 2. - P. 1621.

[90] Metzler, R. The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach / R. Metzler, J. Klafter // Physics reports. - 2000. -Vol. 339, mi. P. 1-77.

[91] Metzler, R. The restaurant at the end of the random walk: recent developments in the description of anomalous transport by fractional dynamics / R. Metzler, J. Klafter // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 2004. - Vol. 37, № 31. - P. R161.

[92] Microscopic simulations of charge transport in disordered organic semiconductors / V. Riihle [et al.] // Journal of chemical theory and computation. - 2011. - Vol. 7, № 10. - P. 3335-3345.

[93] Modeling the dynamic behavior of supercapacitors using impedance spectroscopy / S. Buller [et al.] // Industry Applications Conference. Thirty-Sixth IAS Annual Meeting. Conference Record of the 2001 IEEE. - 2001. _ v0i. 4. _ p. 2500-2504.

[94] Montroll, E. W. Random walks on lattices. II / E. W. Montroll, G. H. Weiss // Journal of Mathematical Physics. - 1965. - Vol. 6, № 2. - P. 167-181.

[95] Multiple trapping model: approximate and exact solutions / V. I. Arkhipov [et al.] // Solid state communications. - 1987. - Vol. 62, № 5. - P. 339-340.

[96] Nigmatullin, R. R. On the theory of relaxation for systems with "remnant" memory / R. R. Nigmatullin // Physica status solidi (b). - 1984. — Vol. 124, ..VI. P. 389-393.

[97] Nigmatullin, R. R. To the theoretical explanation of the "universal response" / R. R. Nigmatullin // Physica status solidi (b). - 1984. - Vol. 123, № 2.

- P. 739-745.

[98] Noolandi, J. Equivalence of multiple-trapping model and time-dependent

random walk / J. Noolandi // Physical Review B. — 1977. — Vol. 16, № 10. _ p. 4474.

[99] Noolandi, J. Multiple-trapping model of anomalous transit-time dispersion in a-S e / J. Noolandi // Physical Review B. - 1977. - Vol. 16, № 10. -P. 4466.

[100] Oldham, K. The fractional calculus theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order / K. Oldham, J. Spanier // Elsevier — 1974. - Vol. 111.

[101] Optical and electrical properties of porous gallium arsenide / N. S. Averkiev [et al.] // Semiconductors. - 2000. - Vol. 34, №. 6. - P. 732-736.

[102] Pandolfo, A. G. Carbon properties and their role in supercapacitors / A. G. Pandolfo, A. F. Hollenkamp // Journal of power sources. — 2006. — Vol. 157, № 1. - P. 11-27.

[103] Pfister, G. Dispersive low-temperature transport in a-selenium / G. Pfister // Physical Review Letters. 1976. - Vol. 36, № 5. - P. 271.

[104] Photoconductivity measurements of the electronic structure of organic solar cells / R. A. Street [et al.] // Physical Review B. - 2011. - Vol. 83, № 16. - P. 165207.

[105] Photocarrier drift-mobility measurements and electron localization in nanoporous silicon / P. N. Rao [et al.] // Chemical physics. — 2002. — Vol. 284, № 1. - P. 129-138.

[106] Podlubny, I. Fractional differential equations: an introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications / I. Podlubny // Academic press — 1998. — Vol. 198.

[107] Pollakon, M. dispersive transport by hopping and by trapping / M. Pollakon // Philosophical Magazine. - 1977. - Vol. 36, № 5. - P. 1157-1169.

[108] Quintana, J.J. Identification of the fractional impedance of ultracapacitors / J. J. Quintana, A. Ramos, I. Nuez // IFAC Proceedings Volumes. — 2010.

- Vol. 39, №. 11. - P. 432-436.

[109] Raghib, M. Multiscale analysis of collective motion and decision-making in swarms: an advection-diffusion equation with memory approach / M. Raghib, S. A. Levin, I. G. Kevrekidis // Journal of theoretical biology. — 2010. - Vol. 264, № 3. - P. 893-913.

[110] Rutman, R. S. On physical interpretations of fractional integration and differentiation / R. S. Rutman // Theoretical and Mathematical Physics. _ 1995. _ v0i. 105, № 3. - P. 1509-1519.

[111] Rutman, R. S. On the paper by RR Nigmatullin "Fractional integral and its physical interpretation" / R. S. Rutman // Theoretical and Mathematical Physics. 1994. - Vol. 100, № 3. - P. 1154-1156.

[112] Saha, T. K. Investigation of polarization and depolarization current measurements for the assessment of oil-paper insulation of aged transformers / T. K. Saha, P. Purkait // IEEE Transactions on Dielectrics and Electrical Insulation. - 2004. - Vol. 11, № 1. - P. 144-154.

[113] Saha, T. K. Investigations of temperature effects on the dielectric response measurements of transformer oil-paper insulation system / T. K. Saha, P. Purkait // IEEE Transactions on Power Delivery. — 2008. — Vol. 23, № 1.

- P. 252-260.

[114] Saha, T. K. Understanding the impacts of moisture and thermal ageing on transformer's insulation by dielectric response and molecular weight measurements / K. Saha, P. Purkait // IEEE Transactions on Dielectrics and Electrical Insulation. - 2008. - Vol. 15, № 2. - P. 568-582.

[115] Schein, L. B. Charge Transport in Molecularly Doped Polymers: Tests of the Correlated Disorder Model / L. B. Schein, A.P. Tyutnev // The Journal of Physical Chemistry C. - 2011. - Vol. 115, № 14. - P. 6939-6947.

[116] Scher, H. Anomalous transit-time dispersion in amorphous solids / H. Scher, E. W. Montroll // Physical Review B. - 1975. - Vol. 12, № 6. - P. 2455.

[117] Schneuwly, A. Properties and applications of supercapacitors: From the state-of-the-art to future trends / A. Schneuwly, R. Gallay // Rossens, Switzerland. — 2000.

[118] Shape-engineerable and highly densely packed single-walled carbon nanotubes and their application as super-capacitor electrodes / D. N. Futaba [et al.] // Nature materials. - 2006. - Vol. 5, № 12. - P. 987994.

[119] Sharma, P. A review on electrochemical double-layer capacitors / P. Sharma, T. S. Bhatti // Energy Conversion and Management. — 2010. — Vol. 51, № 12. - P. 2901-2912.

[120] Shelke, V. Opto-electrical characterization of transparent conducting sand dune shaped indium doped ZnO nanostructures / V. Shelke, M. P. Bhole, D. S. Patil // Journal of Alloys and Compounds. — 2013. — Vol. 560. — P. 147-150.

[121] Shkilev, V. P. An extension of the multiple-trapping model / V. P. Shkilev // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 2012. — Vol. 115, ..V" 1. P. 164-170.

[122] Shkilev, V. P. Subdiffusion in a time-dependent force field / V. P. Shkilev //Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 2012. — V. 114, №. 5. - P. 830-835.

[123] Shutov, S. D. The drift mobility of holes in thin films of glassy arsenic trisulfide / S. D. Shutov, M. A. Iovu, M. S. Iovu // Semiconductors. —

1979. _ v0i. 13. _ p. 956.

[124] Sibatov, R. T. Dispersive transport of charge carriers in disordered nanostructured materials / R. T. Sibatov, V. V. Uchaikin // Journal of Computational Physics. - 2015. - Vol. 293. - P.409-426.

[125] Sibatov, R. T. Fractional diffusion in pn-junction at dispersive transport conditions / R. T. Sibatov, V. V. Uchaikin// Herald of the Voronezh State Technical University - 2006. - Vol. 2, № 8. - P. 136-142.

[126] Sibatov, R. T. Fractional differential approach to dispersive transport in semiconductors / R. T. Sibatov, V. V. Uchaikin // Physics-Uspekhi. — 2009. - Vol. 179, № 10. - P. 1079-1104.

[127] Sibatov, R. T. Fractional differential kinetics of charge transport in unordered semiconductors / R. T. Sibatov, V. V. Uchaikin // Semiconductors. - 2007. - Vol. 41, № 3. - P. 335-340.

[128] Sibatov, R. T. Fractional wave equation for dielectric medium with Havriliak-Negami response / R. T. Sibatov, V. V. Uchaikin, D. V. Uchaikin // Fractional Dynamics and Control. - 2012. - Chap. 25 - P. 293-301.

[129] Sibatov, R.T. Multiple trapping on a comb as a model of electron transport in disordered nanostructured semiconductors / R.T. Sibatov, E.V. Morozova // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 2015. — Vol. 120, № 5 _ P 860-870.

[130] Sibatov, R.T. Tempered Fractional Model of Transient Current in Organic Semiconductor Layers / R.T. Sibatov, E.V. Morozova // Theory and Applications of Non-integer Order Systems. — 2016. — Vol. 407. — P. 287-295.

[131] Sibatov, R. T. Truncated Lévy statistics for transport in disordered semiconductors / R. T. Sibatov, V. V. Uchaikin // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2011. — Vol. 16, № 12. — P. 4564-4572.

[132] Sibatov, R. T. Statistical interpretation of transient current power-law decay in colloidal quantum dot arrays / R. T. Sibatov // Physica Scripta. — 2011. - Vol. 84, № 2. - P. 025701.

[133] Sokolov, I. M. Fractional kinetics / I. M. Sokolov, J. Klafter, A. Blumen // Physics Today. - 2002. - Vol. 55, № 11. - P. 48-54.

[134] Stanislavsky, A. Subordinated random walk approach to anomalous relaxation in disordered systems / A. Stanislavsky // Acta Physica Polonica B. - 2003. - Vol. 34. - P. 3649.

[135] Supercapacitor devices based on graphene materials / Wang Y. [et al.] // The Journal of Physical Chemistry C. - 2009. - Vol. 113, № 30. - P. 13103-13107.

[136] Technical guide of electric double layer capacitors. Edition 7.4 / Panasonic Electronic Devices Co. Ltd. — 2011.

[137] Temperature dependence of the electron diffusion coefficient in electrolyte-filled TiO 2 nanoparticle films: evidence against multiple trapping in exponential conduction-band tails / N. Kopidakis [et al.] // Physical Review B. - 2006. - Vol. 73, № 4. - P. 045326.

[138] Tiedje, T. The Physics of Hydrogenated Amorphous Silicon II. Electronic and Vibrational Properties / T. Tiedje, J. D. Joannopoulos, G. Lucovsky // Topics in Applied Physics. — Vol 56. — P. 357-360.

[139] Tiwari, S. Charge mobility measurement techniques in organic semiconductors / S. Tiwari, N. C. Greenham // Optical and quantum electronics. - 2009. - Vol. 41, № 2. - P. 69-89.

[140] Transient photocurrent and photoluminescence in porous silicon / N. S. Averkiev [et al.] // Semiconductors. - 2003. - Vol. 37, № 10. - P. 12141216.

[141] Two-Layer Mutiple Trapping Model for Universal Current Transients in Molecularly Doped Polymers / D. H. Dunlap [et al.] //The Journal of Physical Chemistry C. - 2010. - Vol. 114, № 19. - P. 9076-9088.

[142] Uchaikin, V. V. Anomalous kinetics of charge carriers in disordered solids: Fractional derivative approach / V. V. Uchaikin , R. T. Sibatov //International Journal of Modern Physics B. — 2012. — Vol. 26, № 31. — P. 1230016.

[143] Uchaikin, V. V. Chance and stability: stable distributions and their

applications / V. V. Uchaikin, V. M. Zolotarev - Walter de Gruyter, 1999. _ 594 p.

[144] Uchaikin, V. V. Fractional Boltzmann equation for multiple scattering of resonance radiation in low-temperature plasma / V. V. Uchaikin, R. T.

Sibatov //Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2011. — Vol. 44, № 14. - P. 145501.

[145] Uchaikin, V. V. Fractional derivatives for physicists and engineers / V. V. Uchaikin. — Berlin : Springer, 2013.

[146] Uchaikin, V. V. Fractional differential kinetics of dispersive transport as the consequence of its self-similarity / V. V. Uchaikin, R. T. Sibatov // Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters. — 2007. — Vol. 86, № 8. - P. 512-516.

[147] Uchaikin, V. V. Fractional Kinetics in Solids: Anomalous Charge Transport in Semiconductors, Dielectrics and Nanosystems / V. V. Uchaikin, R. T. Sibatov. - World Scientific, 2012. - 257 p.

[148] Uchaikin, V. V. Fractional theory for transport in disordered semiconductors / V. V. Uchaikin, R. T. Sibatov // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. - 2008. - Vol. 13, № 4. - C. 715-727.

[149] Uchaikin, V. Memory regeneration phenomenon in dielectrics: the fractional derivative approach / V. Uchaikin, R.Sibatov, D. Uchaikin // Physica Scripta. - 2009. - Vol. 2009, № T136. - P. 014002.

[150] Uchaikin, V. V. Self-similar anomalous diffusion and Levy-stable laws / V. V. Uchaikin // Physics-Uspekhi. - 2003. - Vol. 46, № 8. - P. 821.

[151] Uchaikin, V. V. Subdiffusion and stable laws / V. V. Uchaikin // Journal of experimental and theoretical physics. — 1999. — Vol. 88, № 6. — P. 11551163.

[152] Uchaikin, V. V. On the problem of nondestructive diagnosis for quality assessment of electric insulation: A fractional calculus approach / V. V. Uchaikin, R. T. Sibatov, S. A. Ambrozevich // Fractional Differentiation and Its Applications (ICFDA), International Conference on. — 2014. — P. 1-6.

[153] Verification of the dispersive charge transport in a hydrazone: polycarbonate molecularly doped polymer / A. P. Tyutnev [et al.] // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2009. - Vol. 21, № 11. - P. 115107.

[154] Vermillion, R. E. Nonlinearity in high-C capacitors / R. E. Vermillion // European journal of physics. — 1998. — Vol. 19, № 2. — P.

[155] Wang, G. A review of electrode materials for electrochemical supercapacitors / G. Wang, L. Zhang, J. Zhang // Chemical Society Reviews. - 2012. - Vol. 41. P. 797-828.

[156] Weiss, G. H. Aspects and Applications of the Random Walk / G. H. Weiss. — Amsterdam : North Holland Press, 1994.

[157] Weiss, G. H. Some properties of a random walk on a comb structure / G. H. Weiss, S. Havlin //Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. _ 1986. _ v0i. 134. ^ 2. _ p. 474-482.

[158] Westerlund, S. Capacitor theory / S. Westerlund, L. Ekstam // IEEE Transactions on Dielectrics and Electrical Insulation. — 1994. — Vol. 1, № 5. - P. 826-839.

[159] Westerlund, S. Dead matter has memory! / S. Westerlund // Physica Scripta. - 1991. - Vol. 43, № 2. - P. 174.

[160] Winter, M. What are batteries, fuel cells, and supercapacitors? / M. Winter, R. J. Brodd // Chemical reviews. - 2004. - Vol. 104, № 10. - P. 4245-4270.

[161] Yu, A. Electrochemical supercapacitors for energy storage and delivery: fundamentals and applications / A. Yu, V. Chabot, J. Zhang; CRC Press, 2013. - 373 p. - ISBN 13: 978-1-4398-6990-1

[162] Zon, B. A. Nonlinear Model of non-Debye Relaxation / B. A. Zon // Solid State Communications. - 1973. - Vol. 13, № 8. - P. 1039-1044.