Меридиональная циркуляция в динамо Паркера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Попова, Елена Петровна

• Попова, Елена Петровна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Попова, Елена Петровна

Введение

Глава 1. Исследование поведения динамо волн при учете меридиональной циркуляции в случае v = const

1.1 Основные уравнения

1.2 Локальный анализ

1.3 Построение асимптотического решения

1.4 Численные оценки

1.5 Обсуждение

Глава 2. Влияние различных видов меридиональной циркуляции на распространение динамо-волн

2.1 Введение

2.2 Основные уравнения

2.3 Зависимость поведения решения от вида меридиональной циркуляции

2.4 Выводы

Глава 3. Детальное исследование поведения решения вблизи критической точки

3.1 Введение

3.2 Построение решения при V > vcrit

3.3 Асимптотическое разложение более высокого порядка

3.4 Решение вблизи точки М;2'

3.5 Решение вблизи точки М1/

3.6 Сравнение с численным решением

3.7 Обсуждение результатов 90 Заключение 91 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Меридиональная циркуляция в динамо Паркера»

Солнечный цикл представляет собой хорошо известное явление. Он описывается как распространение от средних широт к экватору волны активности, видимой прежде всего по широтно-временному распределению солнечных пятен. Природа цикла активности связывается с действием механизма солнечного динамо, который приводит к образованию и распространению где-то внутри солнечной конвективной зоны волны крупномасштабного квазистацонарного магнитного поля (динамо-волны), с которой и связано образование солнечных пятен. Это явление при анализе наблюдений иллюстрируется широтно-временными диаграммами (т.н. баттерфляй-диаграммами) для солнечных пятен.

Двадцатидвухлетний солнечный цикл является примером быстро изменяющегося магнитного поля. Такое изменение магнитного поля в наблюдаемых динамических процессах сложно объяснить только омической диффузией. Характерное время омической диффузии пропорционально произведению электропроводности на квадрат масштаба поля, так что оно велико по астрономическим меркам. Такие поля называют «вмороженными» в плазму. Столь быстрое изменение магнитного поля может объясняться движениями плазмы. С другой стороны, нельзя упускать из виду омическую диффузию. Ее влияние оказывается существенным, когда движение чрезмерно уменьшает масштабы поля.

Первые идеи о механизме динамо выдвинул Лармор для объяснения поддержания и усиления магнитных полей под действием движения проводящих жидкостей. Иными словами, он предложил концепцию динамо. Фундамент теории был заложен в середине 60-х гг. Каулингом, Паркером, Гейзенбергом, Брагинским и другими исследователями. Оказалось, что теорию динамо можно использовать для объяснения магнитного поля Земли и солнечного цикла.

Широкую известность получил цикл работ Штеенбека, Краузе и Рэдлера по теории турбулентного динамо, опубликованных в конце 60-х гг., которые стали поворотной точкой в развитии теории динамо [1].

Важным этапом для моделирования эволюции магнитного поля стали уравнения Штеенбека, Краузе и Рэдлера, которые они получили в 60-ых годах для среднего магнитного поля в турбулентно движущейся проводящей среде [2]. В астрофизических задачах такой средой является межзвездная плазма, а также плазма конвективной зоны Солнца и звезд.

С физической точки зрения механизм превращения механической энергии турбулентного движения в энергию магнитного поля основан на положительной обратной связи, которая заложена в уравнениях генерации среднего магнитного поля благодаря одновременному наличию факторов дифференциального вращения и неоднородной турбулентной конвекции (ск-эффекта). Поэтому, эти уравнения называются уравнениями динамо.

Еще до вывода уравнения для среднего поля уравнения для магнитного поля в турбулентно движущейся среде в различных конкретных приложениях были исследованы рядом ученых [3]-[17].

Впервые уравнения бегущих динамо-волн были исследованы Паркером в 1955 г [18]. Схема работы динамо Паркера состоит в следующем. Тороидальное магнитное поле получается из полоидального под действием дифференциального вращения. Обратный процесс превращения тороидального магнитного поля в полоидальное осуществляется в результате нарушения зеркальной симметрии конвекции во вращающемся теле. Сила Кориолиса при действии на поднимающиеся и расширяющиеся (опускающиеся и сжимающиеся вихри) приводит к преобладанию правых вихрей в северном полушарии (левых вихрей - в южном полушарии). В результате электродвижущая сила, возникающая в результате действия электромагнитной индукции Фарадея, после усреднения по пульсациям скорости приобретает компоненту с*В, параллельную среднему магнитному полю В. Она и замыкает цепь самовозбуждения в динамо Паркера. Напомним, что обычно электродвижущая сила и вызываемый ей ток перпендикулярны магнитному полю.

Впоследствии Баб коком и Лейтоном [19] были предложены первые модели регенерации магнитных полей на Солнце. В их модели, в отличие от схемы динамо Паркера, присутствует меридиональная циркуляция. Она играет роль фактора, заставляющего динамо-волну распространяться от полюсов к экватору.

Робертсом [20]-[21] и Йошимурой [22]-[25] были созданы первые модели генерации крупномасштабных магнитных полей для планетарного и солнечного динамо, в работах Я. Б. Зельдовича были исследованы мелкомасштабные магнитные поля, С. И. Брагинским были построены модели генерации земного магнитного поля. Уравнения динамо были всесторонне исследованы численно в работах Ивановой и Рузмайкина, Бранденбурга, Мосса и других исследователей [26]-[35]. Большой вклад в исследования уравнений динамо внесли также работы Джонса, Буссе, Стикса и других ученых [36]. В работах Соварда [37] - [39] гидродинамические течения и некоторые режимы генерации крупномасштабных магнитных полей были исследованы также и асимптотически [37]-[39].

В уравнения, к которым сводятся задачи космической магнитной гидродинамики средних полей, зачастую входят большие безразмерные параметры - магнитные числа Рейнольдса, что соответствует сильной генерации магнитных полей. Это приводит к возникновению коротковолновых и погранслойных решений и делает применение асимптотических методов весьма эффективным. Использование асимптотических разложений дает часто полезные результаты, которые проясняют физическую картину в целом и согласуются с данными наблюдений. Таким образом, асимптотические методы являются мощным дополнением численного эксперимента.

Основным методом решения задач является асимптотический метод В КБ, который развивает квазиклассический подход в квантовой механике. В отличие от сложных численных моделей, в которых учтено одновременно много факторов, такие асимптотические модели позволяют выяснить частную роль отдельно взятых эффектов, всесторонне рассмотреть их свойства, хотя и не претендуют на детальное количественное сходство с наблюдательными данными.

Методы ВКБ были существенно развиты В.П. Масловым и М. В. Федорюком [40]. Его результатами пользуются до сих пор для исследования задач, связанных с динамо.

Асимптотические методы исследования задач, связанных с генерацией и эволюцией магнитных полей были развиты во второй половине XX века Э. Совардом, М. Проктором С. Тобайсом, K.M. Кузаняном и др.

Таким образом, с помощью теории динамо можно многое сказать об астрофизических магнитных полях, но наблюдаемая действительность гораздо разнообразнее теории. Основная задача - исследовать сильные магнитные поля, энергии которых значительно превосходят энергии гидромагнитного движения.

Асимптотическое исследование модели Паркера методом ВКБ было проведено Кузаняном и Соколовым в 1995 году [4.1].

Прямое рассмотрение модели динамо Паркера предсказало слишком короткий цикл активности, равный 2-3 года. Для того чтобы разрешить возникающую трудность, можно учесть меридиональные потоки вещества. Так как в схеме Паркера условием для работы динамо является совместное действие альфа-эффекта и дифференциального вращения, то наличие меридиональной циркуляции не является решающим фактором для осуществления работы динамо. В то же время меридиональная циркуляция может влиять на скорость распространения динамо-волны. На возможность учета этого фактора указал С. И. Багинский в 1964 году [42]. Он и Х.К. Моффат [43] описали процедуру вывода уравнений Паркера с адвективным фактором. В [44] показано, что меридиональная циркуляция, направленная против распространения динамо-волны, может существенно затормозить ее распространение и приблизить период активности к наблюдаемому [4о]-[47].

Таким образом, в настоящее время влияние меридиональной циркуляции в основном изучают методами прямого численного моделирования уравнений среднего поля. До настоящего времени не вполне ясно, насколько меридиональная циркуляция совместима со схемой Паркера. Проблема состоит в том, что схема Паркера в своем классическом виде не требует полного описания эволюции магнитного поля во всей конвективной зоне, а позволяет ограничиться описанием средних широт конвективной зоны и провести усреднение по толщине этой зоны. В результате упрощения уравнения динамо становятся доступными аналитическому анализу. Возможность упрощения связана с тем, что альфа-эффект, имеющий размерность скорости, не вовлекает тем не менее магнитное поле в адвекцию, а ограничивается его закруткой. Замечательно, что дифференциальное вращение, являющееся вторым генератором магнитного поля, также не выводит его из области средних широт. В свою очередь, меридиональная циркуляция, осуществляя необходимую закрутку, перемещает магнитное поле. Если это перемещение выводит магнитное поле из области средних широт, то его дальнейшая эволюция зависит от деталей течения и требует подробного описания всей конвекции. Это не только трудно технически, но и требует таких знаний о характере меридиональных течений, которые в данный момент отсутствуют в силу более чем ограниченных знаний гидродинамики внутренних слоев Солнца.

Цель работы состоит в аналитическом исследовании влияния меридиональной циркуляции на эволюцию магнитного поля, генерируемого механизмом динамо, в рамках простейшего обобщения уравнений динамо Паркера.

В работе исследовано влияние меридиональной циркуляции на солнечную динамо-волну в приближении Паркера методами ВКБ. Показано, что меридиональная циркуляция может существенно удлинить цикл активности, однако она в рамках рассматриваемого приближения не может обратить направление распространения динамо-волны. Если скорость циркуляции слишком велика, то решение концентрируется вблизи полюса, так что его уже не удается описывать в рамках приближения Паркера. В работе показано, что поведение динамо-волны существенно зависит от широтной зависимости скорости движения вещества. Полученные результаты открывают возможность к качественному объяснению минимума Маундера. В работе проведено построение решения уравнений динамо Паркера для случаев слабой и интенсивной меридиональной циркуляции с помощью одной из разновидностей метода

ВКБ. Показано, как строить решение при переходе от режима бегущей волны к режиму стоячей конфигурации магнитного поля. Получено решение уравнения Гамильтона-Якоби для задачи динамо, содержащее тройную точку на комплексной плоскости волнового вектора.

Основные результаты диссертации докладывались:

- на XIV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2007секция "Физика";

- на XI Пулковской международной конференции по физике Солнца "Физическая природа солнечной активности и прогнозирование ее геофизических проявлений ГАО РАН, Пулково, Санкт-Петербург (2007);

- XV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2008секция "Физика";

- на XII Всероссийской ежегодной конференции по физике Солнца "Солнечная и солнечно-земная физика ГАО РАН, Пулково, Санкт-Петербург (2008);

- на XVI Зимней школе по механике сплошных сред, "Механика сплошных сред как основа современных технологий Пермь, (2009);

- на VI Конференции молодых ученых, посвященной Дню космонавтики, "Фундаментальные и прикладные космические исследования ИКИ РАН, Москва, (2009);

- на Всероссийской ежегодной конференции по физике Солнца "Солнечная и солнечно-земная физика - 2009 ГАО РАН, Пулково, Санкт-Петербург, (2009);

- на Международной конференции " Natural Dynamos Старая Лесна, Словакия, 2009;

- на Конференции "Физика плазмы в солнечной системе ИКИ РАН, г. Москва, (2010);

- на Международном семинаре "Палеомагнетизм и магнетизм горных пород Борок, (2009);

- на Nordita Winter School on "Dynamos: above, below, and in the laboratory Стокгольм, Швеция, (2010);

- на научном семинаре группы В. Ф. Бутузова (кафедра математики, физический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова) в 2008 и 2009 гг.;

- на научном семинаре группы А. В. Борисова (кафедра теоретической физики, физический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова) в 2009 г;

- на научном семинаре группы Б. В. Сомова (ГАИШ МГУ имени М.В. Ломоносова) в 2010 г.

Материалы, представляющие содержание диссертации, опубликованы в [48]- [57].

Диссертация состоит из трех глав. В первой главе рассматривается модель Паркера с меридиональной циркуляцией, не зависящей от широты. В главе показано как строить асимптотическое решение для системы уравнений, описывающих модель. Полученные результаты сравниваются с наблюдательными данными, и обсуждаются отличия результатов рассматриваемой модели со схемой Паркера без меридиональной циркуляции.

Во второй главе рассматривается модель Паркера с меридиональной циркуляцией, зависящей от широты. Показано, как в таком случае учет меридиональной циркуляции влияет на длительность цикла солнечной активности и конфигурацио динамо-волн. Полученные результаты открывают возможность к качественному объяснению минимума Маундера.

В третьей главе проведено построение решения уравнений динамо Паркера для случая интенсивной меридиональной циркуляции. Для этого была развита одна из разновидностей метода ВКБ. Показано, как строить решение при переходе от режима бегущей волны к режиму стоячей конфигурации магнитного поля. Обнаружено решение уравнения Гамильтона-Якоби для задачи динамо, содержащее тройную точку на комплексной плоскости волнового вектора.

Работа была выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ, гранты 06-05-64619 и 07-0200127) и фонда ШТАЭ (грант N03-51-5807). РФФИ (гранты 09-02-01010, 10-02-00960-а).

В заключение автор считает приятным долгом выразить признательность своему научному руководителю Соколову Д. Д. за постоянную поддержку в работе, внимательный разбор и ценные замечания.

1 Исследование поведения динамо волн при учете меридиональной циркуляции в случае v = const

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Попова, Елена Петровна

Заключение

Показано, что описание меридиональной циркуляции, пусть и в ограниченном объеме оказывается совместимой с приближением Паркера. Меридиональная циркуляция может существенно увеличить период солнечного цикла и при определенных условиях удлинить его на порядок. Меридиональные потоки вещества, направленные против движения динамо-волны, замедляют ее распространение. В диссертации показано, при каких диапазонах значений величины меридиональной длительность цикла солнечной активности составляет 11 лет. Также проведено сопоставление теоретических величин меридиональной циркуляции с наблюдаемыми на Солнце и обнаружено, что теоретические значения лежат в пределах наблюдаемых величин.

Модель динамо была исследована для разных широтных профилей меридиональной циркуляции. В диссертации показано, как широтный профиль влияет на конфигурацию динамо волн.

В результате исследования данной модели, было обнаружено, что локальный анализ динамо при учете меридиональной циркуляции далеко не полно описывает свойства решения в неоднородной среде. В частности, локальный анализ предсказывает, что существенное (в несколько раз) увеличение периода цикла требует практически точного совпадения по величине (и противоположности по направлению) скорости волны и циркуляции. Для Солнца подобное совпадение выглядело бы как реализация маловероятной возможности. Вместо этого задача, рассматриваемая в диссертации обнаруживает целый интервал значений циркуляции, в котором волна практически останавливается, а цикл радикально удлиняется.

Отметим, что в рамках рассмотренного приближения меридиональная циркуляция не позволяет повернуть направление распространения динамо-волны. При увеличении циркуляции волна может остановиться, а потом решение становится неосциллирующим и далее затухающим.

Полученные результаты также интересны для теории геодинамо. Как уже упоминалось выше, остановка волны в рамках линейного анализа при V = V* казалось ранее маловероятной. Поэтому для объяснения устойчивого дипольного поля в двумерных (осесимметричных) ао;-моделях предлагалось два подхода: либо повышение амплитуды динамо-числа, либо изменение формы альфа-эффекта. Однако изменение амплитуды динамо-числа сложно оправдать в свете современных представлений об общей динамики геофизических процессов в ядре Земли, а использование специфической формы альфа-эффекта также требует дополнительных предположений. В диссертационной работе удалось удовлетворить требованиям стационарности поля в рамках простой модели Паркера.

Исследование поведения решения в окрестности критической точки показало, что слишком интенсивная циркуляция приводит к образованию стационарных структур магнитного поля. С точки зрения методов построения решения рассматриваемая задача представляет собой своеобразный вариант классической асимптотики, который ранее не встречался в иных задачах.

Разработанный метод построения решения, может быть интересен и в других разделах теории динамо (например, галактическом динамо и геодинамо), где тоже приходится учитывать влияние адвективных потоков, не сводящихся к дифференциальному вращению.

Дальнейшее развитие диссертационной работы состоит в следующем. Необходимо исследовать модель Паркера с меридиональной циркуляции в приполярных и приэкваториальных областях. Изучить как широтный профиль меридиональной циркуляции влияет на конфигурацию динамо-волн в таком случае. На основании результатов, полученный в диссертации можно исследовать, как меридиональная циркуляция влияет на спиральность. Следующим этапом развития диссертационной работы является решение задачи динамо в двухслойной среде. В данном случае можно будет учесть не только движение вещества конвективной зоны Солнца к полюсам, но и возвращение вещества к экватору.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Попова, Елена Петровна, 2011 год

1. Ya. Zeldovich , A. Ruzmaikin , D. Sokoloff Magnetic Fields in Astrophysics, Gordon and Breach, New York, (1983).

2. Ф. Краузе, K.-X. Рэдлер, Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо (М.: Мир, 1984).

3. G.E. Hale, On the probable existence of a magnetic field in sunspots, As-trophys.J., 28, 315-343 (1908).

4. H. W. Babcock, Zeeman effect in stellar spectra, Astrophys.J., 105, 105-191 (1947).

5. H. W. Babcock, The topology of the Sun's magnetic field and the 22-year cycle, Astrophys.J., 133, 572-587 (1961).

6. H. Alfven, On the origin of the solar system, Univ. Press, Oxford (1954).

7. H. Alfven, Electric currents in cosmic plasmas, Rev. Geophys. Space Phys. 15, 271-287 (1977).

8. B. Jl. Гинзбург, Происхождение космических лучей и радио-астрономия, УФН, 51 343 (1953)

9. В. JI. Гинзбург, О магнитных полях коллапсирующих масс и приро- де сверхзвезд, ДАН СССР, 156, 43-46 (1964).

10. V. L. Ginzburg, The propagation of electromagnetic waves in plasmas, Pergamon Press (1970).

11. В. JI. Гинзбург, Л. М. Озерной, О гравитационном коллапсе магнитной звезды, ЖЭТФ 47, 1030-1040 (1964).

12. В. Л. Гинзбург, С. И. Сыроватский, Происхождение космических лучей, Москва (1963).

13. В. Л. Гинзбург, В. В. Усов, Об атмосфере магнитных нейтронных звезд (пульсаров), Письма в ЖЭТФ 15, 280-282 (1972).

14. В. Л. Гинзбург, V.V. Zheleznyakov, On pulsar emission mechanisms, An-nu. Rev. Astron. Astrophys. 13, 511-535 (1975).

15. J. Larmor, How could a rotating body such as the Sun become magnetic, Rep. Brit. Assoc. Adv. Sci. 159-160 (1919).

16. S. I. Braginsky, Magneticwaves in the Earth's core, Geomagn. Aeron. 7, 1050-1060 (1967).

17. W. M. Elsasser, Induction effects in terrestrial magnetism, Phys. Rev. 69, 106-116 (1946).

18. E. N. Parker, Hydromagnetic dynamo models, Astrophys.J., 122, 293 (1955).

19. R. B. Leighton, A magneto-kinematic model of the solar cycle, Astrophys. J. 156, 1-26 (1969).

20. P.H. Roberts, «Dynamo theory», in Mathematical problems in the geophysical sciences, Lectures in applied mathematics, vol. 14 (ed. W.H.Reid), Providence, R.hode Island, pp. 129-206 (1971).

21. RH. Roberts, and A. M. Soward, A unified approach to mean field electrodynamics, Astron. Nachr. 296, 49-64 (1975).

22. H.A. Yoshimura, A model of the solar cycle driven by the dynamo action of the global convection in the solar convection zone, Astrophys. J. Suppl. 29, 467-494 (1957a).

23. H.A. Yoshimura, Solar-cycle dynamo wave propagation, Astrophys. J. 201, 740-748 (1975b).

24. H.A. Yoshimura, Nonlinear astrophysical dynamos: multiple-period dynamo wave oscillations and long-term modulations of the 22-year solar cycle, Astrophys J. 226, 706-719 (1978).

25. H.A. Yoshimura, The solar-cycle period-amplitude relation as evidence of hysteresis of the solar-cycle nonlinear magnetic oscillations and the long-term (55 years) cyclic modulation, Astrophys. J. 227, 1047-1058 (1979).

26. Я. Б. Зельдович, Предельные законы свободно восходящий конвективных потоков, ЖЭТФ 7, 1466-1469 (1937).

27. Я. Б. Зельдович, Магнитное поле в проводящей турбулентной жидкости при двумерном движении, ЖЭТФ 31, 154-156 (1956).

28. Я. Б. Зельдович, Магнитная модель Вселенной, ЖЭТФ 48, 986-988 (1965).

29. Я. Б. Зельдович, Распад однородного вещества на части под действием тяготения, Астрофизика, 6, 319-335 (1970).

30. Уа. В. Zeidovich, S.A. Molchanov, А.А. Ruzmaikin, D.D. Sokoloff, Kinematic dynamo problem in linear velocity fields, J. Fluid Mech., (1983).

31. Я. Б. Зельдович, А. А. Рузмайкин, Магнитное поле в проводящей жидкости движущейся в двух измерениях, ЖЭТФ 78, 980-986 (1980).

32. Уа. В. Zeidovich, А.А. Ruzmaikin, Dynamo problems in astrophysics, Sov. Sci. Rev., New York (1982).

33. Т. С. Иванова, А. А. Рузмайкин, Магнитогидродинамическая динамо-модель солнечного цикла, Астрон. Ж., 53, 398-410 (1976).

34. Т. С. Иванова, А. А. Рузмайкин, Нелинейная магнитогидродинамическая модель солнечного динамо, Астрон. Ж., 54, 846-858 (1977).

35. Т. С. Иванова, А. А. Рузмайкин, Роль дифференциального вращения в солнечном динамо, Астрон. Ж., 57, 127-130 (1980).

36. P. Н. Roberts, М. Stix, Alpha-effect dynamos by the Bullard-Gellman formalism, Astron. and Astrophys., 18, 453 (1972).

37. A.M. Soward, A thin disc model of the Galactic dynamo, Astron. Nachr., 299, 25 (1978)

38. A.M. Soward, Thin disc kinematic acu-dynamo models I. Long length scale modes, Geophys. Astrophys. Fluid Dyn., 64, 163 (1992).

39. A.M. Soward, Thin disc kinematic acu-dynamo models. II. Short length scale modes, Geophys. Astrophys. Fluid Dyn., 64, 201 (1992).

40. В. П. Маслов, M. В. Федорюк, Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики (М.: Наука, 1976).

41. К. М. Kuzanyan, D. D. Sokoloff, A Dynamo Wave in an Inhomogeneous Medium, Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 81, 113 (1995).

42. С. И. Брагинский, Теория гидромагнитного динамо, ЖЭТФ, 48, 2178 (1964).

43. X. К. Моффат, Возбуждение магнитного поля в проводящей среде (М.: Мир, 1980).

44. R. Hollerbach, R. Rüdiger, The Magnetic Universe, Weinheim: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co.KGaA, 2004.

45. A. R. Choudhuri, M. Schussler, M. Dikpati, The solar dynamo with meridional circulation, 303, L29 (1995).

46. M. Dikpati, P. A. Gilman, Flux-transport dynamos with alpha-effect from global instability of tachocline differential rotation; a solution for magnetic parity selection in the Sun, Astrophys.J., 559, 428 (2001).

47. M. Dikpati, G. Toma, P. A. Gilman, Predicting the strength of solar cycle 24 using a flux-transport dynamo-based tool, Geophys. Res. Let., 33, L05102 (2006).

48. E. П. Попова, M. Ю. Решетняк, Д. Д Соколов, Динамо-волны при учете меридиональной циркуляции, Зимняя школа по механике сплошных сред, Екатеринбург: УрО РАН, Сборник статей в 3-х частях, Часть 3, 113 -116 (2007).

49. Е. П. Попова, Влияние меридиональной циркуляции на распространение динамо-волн, Материалы XIV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "ЛомоносовМосква СП "МысльТ. 2, 133 (2007).

50. Е. П. Попова, Влияние меридиональной циркуляции на распространение динамо-волн, Сборник тезисов, "Ломоносов-2007 Физический Факультет МГУ, 72 (2007).

51. Е. П. Попова, Д. Д. Соколов, Влияние меридиональной циркуляции на солнечное динамо, Тезисы докладов, ГАО РАН, Пулково, Санкт-Петербург, 118 (2007).

52. Д. Д. Соколов, Е. П. Попова, М. Ю. Решетняк, Динамо с меридиональной циркуляцией, Труды Всероссийской астрономической конференции ВАК-2007, Казань, 168-169 (2007).

53. Е. П. Попова, М. Ю. Решетняк, Д. Д. Соколов, Меридиональная циркуляция и распространение динамо-волн, Астрономический журнал, 1, 183-190 (2008).

54. Н. Popova, D. Sokoloff, Meridional circulation and dynamo waves, As-tron.Nachr., 329, 7, 766-768 (2008).

55. E. П. Попова, Поведение динамо-волны при интенсивной меридиональной циркуляции, Вестник МГУ, Серия 3, Физика, Астрономия, 6, 9-13 (2010).

56. Е.П. Попова, Влияние различных видов меридиональной циркуляции в Солнце на распространение динамо-волн, Астрономический журнал, 9, 928-934 (2009).

57. Д. Д. Соколов, М. Фьок, Э. Нем-Риб, Асимптотические свойства динамо-волн, Магнитная гидродинамика, 31, 1, 19 (1995).

58. V. M. Galitski, D. D. Sokoloff, Kinematic dynamo wave in the vicinity of the solar poles, Geophys. Astrophys. Fluid Dyn., 91, 147, (1999).

59. В. M. Галицкий, К. M. Кузанян, Д. Д. Соколов, Динамо-волна вблизи солнечного экватора, Астрон. журн., 82, 378 (2005).

60. JI. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика (нерелятивистская теория) (М.: Наука, 1989).

61. А. А. Рузмайкин, Д. Д. Соколов, В. И. Турчанинов, Астрон. журн., 57, 311 (1980).

62. A. Bardou, В. von Rekowski, W. Dobler, A. Brandenburg, and A. Shukurov, The effects of vertical out ows on disk dynamos, Astron. and Astrophys., 370, 635 (2001).

63. P. J. Fox, M. R. E. Proctor, The effects of distant boundaries on pattern forming instabilities, Phys. Rev. E, 57, 491 (1998).

64. G. M. Belvedere, К. M. Kuzanyan, D. D. Sokoloff, A two- dimensional asymptotic solution for a dynamo wave in the light of the solar internal rotation, Mon. Not. R. astr. Soc., 315, 778 (2000).

65. Ed. R. Priest and A. W. Hood., Advances in sollar system magnetohydro-dynamics (Cambridge: Cambridge University Press, 1991).

66. M. Ю. Решетняк, В. Э. Павлов, О различных режимах генерации геомагнитного поля за последние 165 млн.лет, ДАН (Геофизика), 372, 683 (2000).

67. S. I. Braginsky, P. H. Roberts, P. H., A model-Z geodynamo, Geophys. Astrophys. Fluid Dyn., 38, 327 (1987).

68. J. Tuominen, I. Tuominen, J. Kyrolainen, Eleven-year cycle in solar rotation and meridional motions as derived from the positions of sunspot groups, MNRAS., 205, 691 (1983).

69. R.W. Komm, R.F. Howard, J.W. Harwey, Meridional flow of small photospheric magnetic features, Solar Phys., 147, 207 (1993).

70. J. Zhao, A. Kosovichev, Torsional oscillation, meridional flows, and vorticity inferred in the upper convection zone of the sun by time-distance helioseismology, Astrophys. J., 603, 776 (2004).