Модели и вычислительные методы в теории нейтронных полей: Упругое замедление нейтронов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Платонов, Арий Прокопьевич

• Платонов, Арий Прокопьевич
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Платонов, Арий Прокопьевич

Введение

Глава 1. Эффективный метод расчета нейтронных полей в области упругого замедления нейтронов. Дифференциальные свойства интеграла упругих столкновений.

§ 1.1.0 дифференцируемости по энергии интеграла упругих соударений в задачах замедления нейтронов

§ 1.2. Эффективный метод численного решения задачи упругого замедления нейтронов в однородной среде от моноэнергетического изотропного точечного источника. Общие вопросы.

§ 1.3. Замедление нейтронов с учетом 5 - образной зависимости индикатрисы упругого рассеяния в средах с плоской геометрией.

§ 1.4. Замедление нейтронов в одномерных средах от точечного изотропного моноэнергетического источника.

§ 1.5. Особенности решения уравнения замедления нейтронов в многокомпонентных средах от точечного изотропного моноэнергетического источника.

§ 1.6. Модели и алгоритмы расчета нейтронных полей в гетерогенных средах практические задачи ).

Глава 2. Замедление нейтронов при упругом рассеянии в бесконечных гомогенных средах. Общие свойства решений.

§ 2.1. Основная задача теории замедления нейтронов. Формы уравнения замедления.

§ 2.2. Простейшие задачи теории замедления. Метод шагов.

§ 2.3. Решение уравнения замедления в классе кусочно-непрерывных функций.

§ 2.4. Теоремы существования и единственности. Оценки роста решений.

§ 2.5. Математическая постановка задачи замедления нейтронов в бесконечных средах

Глава 3. Операционные методы. Представление решений в виде рядов.

§ 3.1. Экспоненциальные решения. Применение операционных методов.

Корни характеристического полинома.

§ 3.2. Метод Лапласа. Асимптотическое поведение решений.

Глава 4. Устойчивость. Сопряженное уравнение замедления. Теоремы Ф сравнения. Вопросы эквивалентности решений уравнения замедления в интегральной и дифференциальной формах.

§ 4.1. Основные положения.

§ 4.2. Сопряженное уравнение замедления и устойчивость.

§ 4.3. Теорема об эквивалентности решений интегральной и дифференциальной форм уравнения замедления.

§ 4.4. Теоремы сравнения.

Глава 5. Программное обеспечение и численные исследования нейтронных полей в бесконечных средах в резонансной области энергий.

§ 5.1."Обобщенный" метод Адамса.

§ 5.2. Программы СПЕКТР и ПЕРСЕЙ. Оценки вычислительной погрешности.

§ 5.3. Численные исследования полей резонансных нейтронов в гомогенных бесконечных средах.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели и вычислительные методы в теории нейтронных полей: Упругое замедление нейтронов»

Разработка эффективных численных методов решения задач теории нейтронных полей, исследование этих методов, создание на их основе вычислительных алгоритмов и программ продолжают оставаться одной из актуальных сфер деятельности математиков в связи с бурным развитием вычислительной техники.

Успехи в области вычислительной математики и математической физики, достигнутые в последние десятилетия, позволили значительно расширить и углубить теоретические представления о прохождении излучения через вещество, необходимые для решения практических задач теории ядерных реакторов и защиты, атмосферной оптики, ядерной геофизики, метрологии ионизирующих излучений, биофизики. Если на более раннем этапе развития атомной энергетики уточнение ядерных данных и разработка алгоритмов и программ обработки определяли возможность или целесообразность сооружения ядерных реакторов того или иного типа, то в настоящее время это необходимо в первую очередь для технико-экономической оптимизации объектов аюмной энергетики, качественного решения вопросов ядерной и радиационной безопасности, экологических оценок.

Разработка новых типов, внедрение безопасных ядерных реакторов, анализ аварийных состояний реакторов традиционных конструкций, использование реакторов для наработки ценных радионуклидов и, напротив, для уничтожения долгоживущих радиоактивных отходов методом трансмутации, снятие ядерных установок с эксплуатации, вопросы утилизации запасов плутония оружейного происхождения - эти и другие обострившиеся в последнее время проблемы ядерной физики и атомной энергетики значительно расширяют сферу применения высокоточных численных методов ядерно-физических расчетов и данных, полученных на их основе, и требуют постоянного их совершенствования.

В настоящее время математическая теория ядерных реакторов и, в том числе теория нейтронных полей, представляет наиболее развитую часть математической физики. Практические потребности ядерного реакторостроения явились сильным импульсом развития теории реакторов и соответствующего вычислительного аппарата для их расчета. Сейчас теория реакторов, как комплекс предложений и выводов из них, описывающих физику реакторов, практически завершена. Монографии В.С.Владимирова [ 1 ], С.Б.Шихова [ 2 ], Т.А.Гермогеновой [ 3 ], А.Д.Галанина [ 4 ], Ю.И.Ершова [ 5 ], Б.Дэвисона [ 6 ], Ю.Вигнера и А.Вейнберга [ 7 ], С.Глестона и М.

Эдлунда [ 8 ], отражающие основные положения математической теории реакторов, широко известны. Что касается вычислительных методов решеня задач теории реакторов, представленных достаточно полно в монографиях Г.И.Марчука [ 9 ], Г.И.Марчука и В.И.Лебедева [ 10 ], Г.И.Марчука и В.И.Агошкова [ 11 ], то сами методы и их реализация на современных вычислительных комплексах позволяют заключить,что отличие основных расчетных параметров ядерных реакторов от фактических значений является скорее неточностью наших знаний о ядерных константах, а не погрешностями, присущими численным алгоритмам. Однако широкое использование современных вычисленных методов в последнее время позволило провести не только количественные, но и получить новые качественные результаты в одном из фундаментельных разделов ядерной физики

- в теории замедления нейтронов в различных средах, в том числе в проблеме замедления и поглощения резонансных нейтронов. Данные разделы ядерной физики базируются на решениях кинетического уравнения Больцмана, при этом задачи замедления нейтронов в гетерогенных средах отличаются сложностью пространственной структуры и энергетической зависимостью коэффициентов. Трудности прямого численного решения таких задач настолько велики, что до настоящего времени решение их в полной постановке, т.е. с учетом реальной геометрии, энергетической зависимости сечений взаимодействия нейтронов с веществом и всех физических эффектов упругого рассеяния нейтронов ядрами среды, не представлялось возможным. При решении задач замедления нейтронов, как правило, использовались два приема разбиения полной задачи на более простые: первый - это многогрупповая аппроксимация по энергетической переменной, второй -сведение основного уравнения к задачам ( или последовательности задач ) меньшей размерности.

Первый прием выделяет как особую задачу построение системы усредненных по энергии сечений взаимодействия нейтронов с ядрами вещества - групповых констант, а второй - позволяет воспользоваться упрощенными геометрическими моделями. Однако такая постанока задачи не учитывает всего многообразия явлений при описании процессов замедления и поглощения нейтронов и поэтому параллельно с развитием численных методов решения уравнения замедления разрабатывались способы аналитического учета всех особенностей процесса замедления и поглощения, в том числе и резонансных нейтронов. Однако аналитический подход к решению практических инженерных задач во многих случаях уступает место изучению физических и других процессов на основе математического моделирования с использованем более эффективных численных методов.

Начиная с 40-х годов прошлого века проблема замедления и резонансного поглощения нейтронов является одной из центральных проблем при обосновании возможности цепной реакции деления с использованием природного урана, при этом недостаточные сведения о детальной структуре сечений урана - 238 компенсировались прямыми экспериментальными исследованиями резонансного поглощения в урановых блоках в зависимости от их диаметра, формы, температуры среды и концентрации урана в блоке и их обобщением на основе приближенных теоретических представлений об энергетической структуре как сечений, так и спектра нейтронов в резонансной области [ 12,13 ] . Решение этой проблемы связано с работами Э. Ферми, Я.Б.Зельдовича и Б.Харитона, Е.Вигнера, И.И.Гуревича и И.Я.Померанчука. К концу 60-х годов было в основном закончено построение феноменологической теории резонансного замедления и поглощения в реакторах на тепловых нейтронах, физические основы которой и практические применения были изложены в монографии Л.Дреснера "Резонансное поглощение в ядерных реакторах"( М.: Госатомиздат, 1962).

С переходом к промышленному освоению атомных реакторов на быстрых нейтронах начался новый этап в изучении прохождения излучения через вещество. Именно в реакторах на быстрых нейтронах эффекты, связанные с замедлением и поглощением нейтронов резонансных энергий, оказываются наиболее существенными [ 14,15 ]. Основные работы, выполненные в 60 - 70 годы российскими и зарубежными учеными по всем аспектам теории ядерных реакторов, в том числе по резонансному поглощению нейтронов в сложных гетерогенных системах, учету детальной структуры спектра замедляющихся нейтронов в "промежуточных" резонансах при оценке самоэкранирования, по исследованиям интерференционных особенностей нейтронных сечений и их влияния на самоэкранирование в области разрешенных и неразрешенных резонансов, систематизированы в монографии А.А.Лукьянова "Замедление и поглощение резонансных нейтронов"( М.: Атомиздат, 1974 ).

Однако разработанные до настоящего времени методы учета резонансных эффектов в теории нейтронных полей не позволяют в полной мере провести детальное исследование поведения потока нейтронов в гетерогенных средах при резонансных энергиях и оценить влияние спектра на резонансное поглощение нейтронов "промежуточными" уровнями, определить зависимость коэффициентов самоэкранирования от концентрации вещества в среде, его температуры, атомного веса замедлителя, граничных эффектов. Ответ на эти вопросы дает только детальное знание нейтронного поля в реальных средах, основанное на численном решении уравнения замедления с учетом детальной энергетической зависимости сечений в резонансной области [ 16,17 ].

В первых же попытках численного решения таких задач традиционными методами было отмечено появление погрешностей, искажающих качественную картину спектра : на участках ожидаемого монотонного изменения приближенное решение оказывалось колеблющимся и эти отклонения не всегда удавалось устранить модернизацией алгоритма или уменьшением расчетной сетки [ 18 ]. Подобные явления порождаются сложностью локальной структуры решений уравнения замедления даже для сравнительно простых ограниченных областей при достаточно гладких коэффициентах в нерезонансной области энергий.

Мощным импульсом к дальнейшему созданию расчетных комплексов и проведению аналитических исследований решения задач теории замедления нейтронов явился Всесоюзный семинар по резонансному поглощению нейтронов ( г. Москва, 21 -23 июня 1977 года), на котором не только были рассмотрены вопросы теории, методов расчета, результаты экспериментальных исследований, ядерные данные в области разрешенных и неразрешенных резонансов, но и были намечены пути дальнейшего развития методов решения задач теории замедления, включая задачу о прохождении излучения через вещество в полной постановке, т.е. с учетом всех физических эффектов, связанных с взаимодействием нейтронов с ядрами среды. Хотя основной упор при решении поставленных вопросов делается на использование численных методов,аналитические методы решения уравнения переноса применительно к задачам теории замедления нейтронов продолжают также развиваться. Однако до настоящего времени не найдено аналитического решения уравнения замедления в явном виде для бесконечной среды с тяжелым замедлителем и равномерно распределенными по пространству источниками при произвольных энергетических зависимостях нейтронных сечений рассеяния и захвата.

Развитию численных методов решения задач теории замедления способствуют достаточно высокий уровень экспериментальных результатов о резонансных параметрах основных реакторных матералов ( в частности, урана-238, плутония-239 и др. ), наличие специальных алгоритмов и программ, позволяющих с высокой точностью восстанавливать истинную энергетическую зависимость нейтронных сечений в резонансной области, а также мощный апппарат современной математической физики, адаптированный к задачам теории переноса нейтронов.

После одной из первых работ [ 17 ] по исследованию пространственно-энергетического распределения потока нейтронов для цилиндрических блоков урана в графитовой решетке при энергии резонансов урана-238 Е = 6,7 и 190 эв, численный алгоритм которой был основан на решении интегрального уравнения Пайерса, появились аналогичные исследования и разработки в нашей стране как в многогрупповом приближении, так и при детальном описании энергетической зависимости сечений [ 19 - 22 ] . Однко они, как правило, разрабатывались для интегральных по спектру величин в ограниченных энергетических интервалах решения по всем переменным и не позволяют решить задачу о замедлении нейтронов в полной постановке, в том числе и задачу о замедлении нейтронов в гетерогенных средах от точечного моноэнергетического источника единичной мощности, важную как в методическом, так и практическом плане не только в проблеме упругого замедления нейтронов, но и во всей теории нейтронных полей.

В настоящее время для исследования тонкой структуры спектра в гетерогенных системах, а также для сравнения эффективности, погрешности и областей применимости расчетных моделей описания сечений взаимодействия нейтронов с ядрами вещества с успехом используются отечественные и зарубежные коды и вычислительные комплексы,в том числе: СПЕКР [ 23,24 ], АРАМАКО [ 25,26 ], АЛЕКСА [ 19,27 ], Р.О.З. [ 28,29 ] , MUFT [ 30 ], WIMS [ 31,32 ], ПРАКТИНЕЦ-ЗФ [ 33 -37 ] и другие. ( Обзоры современных вычислительных комплексов представлены в работах [ 38 - 44 ] ). При этом большое внимание уделяется аттестации программных средств, предназначенных для расчета ядерных реакторов и защиты, опирающихся на современные библиотеки ядерных данных. Среди новых и модернизированных комплексов следует назвать программы ANISN с библиотеками констант VITAMIN -С и БНАБ, 1ST, САПФИР - ВВР95, САПФИР - ВВРТ, BMVC - Т, PC, БИПР - 8, TBC -М, SADCO, РБМК CONUKS, программые комплексы КАСКАД и ЭНЕРГИЯ. Состояние этих программных комплексов и отдельных программ, а также мероприятия по верификации их достаточно полно обсуждались на семинарах в ГНЦ РФ ФЭИ " Нейтроника -97 " и " Нейтроника - 98" [45, 46 ].

Из-за сложности локальной структуры решений в конкретных задачах, где области состоят из нескольких ( часто - из большого числа ) зон с различными свойствами, перечисленные выше алгоритмы в большинстве своем не достаточно точно учитывают фундаментальные свойства решений уравнения переноса нейтронов. Успехи в исследовании качественных представлений о поведении решений, его областей непрерывности и дифференцируемости, поведении в окрестности границ области и поверхностей разрыва как самого решения, так и его производных, гладкости решения и интеграла столкновений, дифференцируемости требуют дальнейшего развития и обоснования надежных эффективных вычислительных алгоритмов. В соответствии с общепринятой в настоящее время многогрупповой аппроксимацией уравнения переноса по энергетической переменной основу численного алгоритма обычно составляет метод решения односкоростной задачи. Учет непрерывной энергетической зависимости сечений в уравнении замедления значительно усложняет алгоритм расчета и вносит дополнительные погрешности в результаты нейтронно - физических расчетов.

Наличие хорошо разработанных и внедренных в практику численных методов решения односкоростных задач, на первом этапе потребовали создания алгортитмов решения модельной энергетической задачи, решениие которой могло бы ответить на самые принципиальные вопросы формирования и влияния спектра плотности столкновений на функционалы, зависящие от него. Попытки разработать эффективный алгоритм для исследования энергетической зависимости потока ( плотности столкновений ) нейтронов в бесконечной гомогенной среде от точечного источника как первого приближения полной задачи о распространении нейтронов в гетерогенных средах при резонансных энергиях предпринимались рядом авторов [ 13, 47 - 50 ] . Алгоритм, наиболее полно учитывающий особенности распространения нейтронов в бесконечных многокомпонентных средах, был разработан автором и явился основой широкого изучения спектров резонансных нейтронов в гомогенных бесконечных средах [ 16, 51 - 57 ]. На базе данного алгоритма был разработан полуаналитический метод решения задачи упругого замедления нейтронов в гомогенных средах, учитывающий точные связи физических свойств среды и не содержащий никаких приближений [ 58 ] . Полученные соотношения данного метода легко алгоритмизуются для проведения численных расчетов и использовались для подготовки групповых констант в комплексе программ Центра ядерных данных ГНЦ РФФЭИ [59,60].

На основании анализа уравнения замедления, свойств его решения и алгоритма численного решения уравнения замедления в бесконечной гомогенной среде автором предложен эффективный метод решения уравнения Больцмана для описания нейтронных полей в сложных гетерогенных средах в области упругих соударений нейтронов с ядрами среды, основанный на дифференцировании уравнения по энергетической переменной и сведением его к системе дифференциальных уравнений с западывающим аргументом. Повышение порядка исходного уравнения потребовало проведения достаточно полных теоретико - математических и численных исследований модельной задачи (замедление нейтронов в многокомпонентных гомогенных средах ), которые позволили бы ответить на основной вопрос о разрешимости указанного алгоритма и оценить возможную его погрешность по энергетической переменной. Постановка такой общей задачи без знания особенностей поведения решения простейшей модельной задачи упругого замедления нейтронов, становится не только затруднительной, а ее решения могут в конечном итоге приводить и к нефизическим результатам.

В основе математических задач как для гетерогенных, так и бесконечных гомогенных сред, решения которых рассматриваются в настоящей работе, лежат представления о близости математического описания процесса упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды с процессами, рассматриваемыми теорией автоматического регулирования, основными уравнениями в которой являются дифференциальные уравнения первого порядка с запаздывающим аргументом. Естественно предположить,что некоторые общие математические свойства решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и решения уравнения упругого замедления нейтронов в гомогенных бесконечных средах, преобразованного к дифференциальной форме, совпадают либо близки, а для исследования уравнения замедления в интегральной форме можно воспользоваться техникой, развитой в теории уравнения восстановления [ 61 ]. Действительно, на энергетическую задачу для уравнения замедления нейтронов в бесконечной среде в области энергий, где основной вклад вносит упругое рассеяние, удается распространить такие характерные для уравнений с запаздывающим аргументом утверждения, как теоремы существования и единственности, сравнения, устойчивости, получить оценки на основе дифференциальных неравенств с запаздывающим аргументом, определить особенности затухания решений и их асимптотическое поведение.

В работе основы теории дифференциально-разностных уравнений в представлении Р.Беллмана и К.Кука [ 61 ], А.Д.Мышкиса [ 62 ], Э.Пинни [ 63 ], С.Б.Норкина [ 64 ], Л.Э.Эльсгольца [ 65 ], В.Хана [ 66 ], А.М.Зверкина [ 67,68 ], А.Халаная [ 69 ], Н.П.Красовского [ 70 ], а также ряда авторов, работы которых представлены в Трудах семинара по теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом при Университете дружбы народов им. П.Лумумбы, применены в комплексе к модельной задаче замедления нейтронов в бесконечных многокомпонентных гомогенных средах.

В этой связи данная работа, исходя из практики теории замедления и поглощения резонансных нейтронов, направлена на создание для реальных задач в полной постановке эффективных схем численного расчета высокого порядка точности. Необходимость исследований и реализации новых подходов к задачам такого класса диктуется еще и тем обстоятельством, что более полная постановка задачи методом Монте - Крало не дает ответов на все возникающие вопросы теории нейтронных полей. Очень трудно, или даже невозможно, вычислить малые дифференциальные эффекты статистическим методом. Потребность же знания этих эффектов на практике всегда имеется, например, в теории атомных реакторов для вычисления всякого рода коэффициентов реактивности [ 7 ,8 ]. Одной из особенностей данной работы является использование для схем расчетов пространственно-углового распределения замедляющихся нейтронов хорошо разработанных численных методов ( например, метода сферических гармоник ) и алгоритмов, применяемых для решения односкоростного уравнения переноса, при этом используются, в основном, только те методы, которые реализованы в программных комплексах, прошли всестороннюю апробацию в реакторных расчетах и вошли составной частью основных монографий по теории нейтронных полей и ядерных реакторов.

Отметим, что автор не ставил своей целью вписать предложенные схемы численного решения уравнения замедления во все многообразие численных методов, схем и алгоритмов, используемых в настоящее время для решения односкоростного уравнения Больцмана, а предпринял попытку продемонстрировать возможности предложенного метода к расчетам спектров замедляющихся нейтронов с учетом всех физических эффектов, возникающих при упругом рассеянии нейтронов ца ядрах среды, на примере различных модельных задач для уравнения переноса, а также показать возможную практическую реализацию расчетных формул предложенных схем, используя конечно-разностные аналоги полученных дифференциальных уравнений. При этом, как указано в работе, схема численного решения дифференциальных уравнений первого порядка с запаздыванием по энергетической переменной, основанная на методе типа Адамса, является чисто иллюстративной и в практических расчетах с успехом может быть заменена любым методом численного интегрирования дифференциального уравнения первого порядка достаточной точности. В то же время, помимо классических конечно-разностных методов решения односкоростной задачи в работе рассмотрены возможности применения разработанных схем и для других, получивших развитие в последнее время, численных методов решения односкоростного уравнения Больцмана в гетерогенных средах, таких как метод конечных элементов и метод расщепления. Метод конечных элементов, который начал интенсивно разрабатываться с середины 60-годов, является в настоящее время наиболее эффективным способом численного решения инженерных задач и задач математической физики. Он показал свое преимущество при решении эллиптических уравнений по сравнению с конечно-разностными методами. Метод очень удобен для программирования и позволяет учитывать дополнительную информацию о решаемой задаче в тех случаях, когда удается получить теоретическое обоснование его применения [10,11,71,72 ]. Метод конечных элементов является одним из вариационно-сеточных методов, основы применения которого к задачам теории переноса нейтронов достаточно полно рассмотрены в работах Г. И. Марчука, В. И. Лебедева [ 10 ], Г.И.Марчука, В.И.Агошкова [11], где указан ряд трудностей применения численных методов,обусловленных "неприятными" особенностями этих задач - в первую очередь их существенной многомерностью. В то же время предложенные подходы к решению уравнения переноса с помощью вариационно-сеточных алгоритмов позволяют эти особенности трансформировать в положительные стороны методов. Это в полной мере относится к решению уравнения замедления нейтронов в гетерогенных средах, где кроме пространственно-угловых координат появляется еще одна переменная -энергия.

Во многих случаях, когда требуется решить сложную задачу математической физики, оказывается возможным свести ее к последовательному решению ряда более простых задач, эффективно решаемых с помощью ЭВМ. Успех такого подхода связан с именами Дугласа, Письмена и Рэчфорда [ 11,73 ], которые предложили метод переменных направлений, оказавший существенное влияние на построение алгоритмов в различных отраслях прикладной математики.

Редукция сложных задач к более простым обычно возможна в тех случаях, когда исходный положительно полуопределенный оператор задачи представим в виде суммы положительно полуопределенных простейших операторов. Такие методы получили название методов расщепления и в теории переноса нейтронов на первом этапе применялись для решения нестационарного уравнения Больцмана, однако в дальнейшем методы расщепления стали использоваться как мощный инструмент для итерационного решения стационарного уравнения переноса [ 10, 11, 73, 74 ]. Привлекательной стороной использования метода расщепления в задачах замедления нейтронов является возможность построения симметричного и положительно определенного оператора,з ависящего только от энергетической переменной. Так как в данной работе преследуются не только методические цели, но и построение необходимых для практики схем алгоритмов, то наряду с рассмотрением задачи о возможности учета тонкой структуры спектра замедляющихся нейтронов в существующих схемах реакторных расчетов методом расщепления построены схемы численных алгоритмов решения практических задач в(Х, У ) - и ( Я, Ъ)- геометрии в Рз - приближении. Значительный методический интерес представляет задача о решении уравнения замедления в самосопряженной форме как прием решения сим метризованных уравнений с использованием методов интегральных тождеств и расщепления оператора на более простые.

Данная диссертационная работа является обобщением результатов проведенных по данной проблеме исследований и разработок автора. Резюмируя изложенное,отметим следующие основные положения представленной работы.

Актуальность темы

Краткий анализ современого состояния теории упругого замедления нейтронов и резонансного поглощения их в гетерогенных средах позволяет сформулировать как одну из важнейших проблем математической теории нейтронных полей проблему создания эффективного метода численного решения возникающих в теории упругого замедления нейтронов в сложных гетерогенных средах задач, основанных на углубленном понимании закономерностей поведения искомых функций, которые могли бы быть использованы при оценках достоверности результатов и получаемой точности, используемых в настоящее время, приближенных методов численного расчета распределения нейтронов в сложных средах при их замедлении. Для определения особенностей локальной структуры и точности получаемых решений многомерной задачи теории замедления нейтронов необходимы математические и численные исследования простейших модельных задач по каждой переменной и, в том числе по энергетической переменной. В качестве такой модельной задачи для уравнения замедления нейтронов в сложных гетерогенных системах выступает задача замедления нейтронов в гомогенных бесконечных средах. Исследование вопросов существования и единственности решения, его асимптотического поведения, устойчивости, затухания, получение различных оценок областей существования физических решений, а также нахождение численными методами некоторых специфических особенностей поведения решения уравнения замедления в бесконечных средах является неотъемлемой частью проблемы построения схем численных алгоритмов расчета нейтронных полей в сложных гетерогенных системах.

Таким образом, проблема создания эффективного метода численного расчета пространственно-энергетического распределения замедляющихся нейтронов в сложных гетерогенных системах с учетом всех особенностей закона рассеяния при упругом столкновении нейтронов с ядрами среды, а также детальные исследования фундаментальных свойств спектра замедляющихся нейтронов в гомогенных бесконечных средах как основной модельной задачи теории упругого замедления нейтронов, является для атомной физики и, в том числе теории нейтронных полей, не только актуальной,но и своевременной. Цель работы

Построение на основе фундаментальных свойств уравнения Болыдмана метода численного решения уравнения замедления нейтронов с различными типами источников в сложных гетерогенных системах при 5 - образном законе рассеяния нейтронов, отвечающем полной физической модели упругого столкновения нейтронов с ядрами среды, и с использованием для нахождения пространственно - угловых зависимостей современных численных методов, а также его теоретико -математическое и численное исследование на модельной задаче замедления нейтронов в гомогенной бесконечной среде, обеспечивающее не только теоретическое обоснование метода и открывающее точные связи физических свойств среды и нейтронных полей в области резонансных энергий при упругом замедлении нейтронов в сложных системах, но и являющееся основой для непосредственного выхода в область построения конкретных вычислительных алгоритмов решения различных задач теории нейтронных полей.

Основные результаты по теме диссертационной работы опубликованы в работах [ 16,51 - 57, 75-94].

В работе принята сквозная нумерация параграфов в каждой главе. Так запись § 4.6 означает, что это параграф 6 главы 4, а запись ( 4.6 ) соответствует формуле ( 6 ) главы 4. Системы уравнений имеют один номер, но для обозначения строки применяется запись ( 31.2 ), что соответствует строке 2 формулы ( 31 ). Ссылки такого рода применяются только внутри одной главы. N

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Платонов, Арий Прокопьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем в обобщенной форме основные выводы и новые результаты, полученные в диссертации :

1. Предложен метод численного решения уравнения замедления нейтронов от моноэнергетического сосредоточенного источника единичной мощности в сложных гетерогенных системах при 5 - образном законе рассеяния нейтронов на ядрах среды при упругом столкновении.

2. Показана дифференцируемость интеграла упругих соударений по энергетической переменной в конечных средах с учетом 5 - образного закона упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды и найдены явные выражения для первой и последующих производных.

3. Сформулированы и конструктивно описаны алгоритмы численного расчета спектров замедляющихся нейтронов в Рь Рз и Рп - приближениях.

4. Сформулирован и доведен до возможного практического использования алгоритм численного расчета пространственно-энергетического распределения быстрых нейтронов в водороде и воде от изотропного моноэнергетического точечного источника единичной мощности, как одной из основных задач теории нейтронных полей.

5. Сформулирован и детально описан алгоритм на базе схем метода расщепления численного расчета тонкой структуры спектра замедляющихся нейтронов в сферической, - и X - У - геометриях, а также алгоритм решения уравнения замедления в самосопряженной форме.

6. Сформулирован и всесторонне рассмотрен алгоритм численного решения уравнения замедления в ячейках сложной формы на базе метода конечных элементов.

7. Проведен углубленный математический анализ уравнения Больцмана, описывающего модельную задачу формирования нейтронных полей в бесконечных гомогенных многокомпонентных средах ( разрешимость уравнения замедления, существование и единственность его решения, асимптотические равенства, устойчивость, оценки роста решения, методы шагов, Лапласа и Фурье, теория сопряженного уравнения в общей постановке и т.д.) на основе общей теории дифференциально - разностных уравнений первого порядка.

8. Найдены условия, сформулирована и доказана теорема эквивалентности решений уравнения замедления, записанного в интегральной ( естественной ) форме и в форме дифференциального уравнения первого порядка с запаздывающим аргументом, для модельной задачи замедления нейтронов в гомогенных бесконечных средах.

9. Кратко описаны созданные автором программы СПЕКТР и ПЕРСЕЙ, реализующие метод численного решения уравнения замедления для модельной задачи.

10. Приведены результаты численных исследований и рассмотрены основные особенности формирования нейтронных полей в многокомпонентных бесконечных средах в области резонансных энергий, а также показано влияние полученных спектров на дифференциальные характеристики среды.

Суммируя результаты данной работу автор защищает:

1. Метод численного решения уравнения замедления нейтронов при 8 - образном законе упругого рассеяния в гетерогенных средах от источников различных типов, в том числе от моноэнергетического сосредоточенного источника единичной мощности.

2. Алгоритмы численного расчета нейтронных полей в резонансной области энергий в гетерогенных средах на основе разработанного метода с учетом методов решения односкоростного уравнения Больцмана в различных координатных системах, широко внедренных в практику расчетов атомных реакторов и защиты, в том числе конечно-разностного метода, Рп- приближения, методов расщепления и конечных элементов в одномерной, сферической, Я - Ъ - и X - У - геометриях.

3. Положения и выводы математического исследования дифференцируемости по энергии интеграла упругих соударений в интегро-дифференциальном уравнении Больцмана для задач замедления нейтронов в гетерогенных средах и интегрального уравнения модельной задачи, описывающего формирование нейтронных полей в бесконечных гомогенных средах, полученные на основе общей теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом первого порядка.

4. Обоснованный и реализованный в программах СПЕКТР и ПЕРСЕЙ алгоритм численного расчета спектров плотности столкновений резонансных нейтронов при их упругом рассеянии в бесконечных гомогенных многокомпонентных средах и численные исследования спектров плотности столкновений и функционалов на их основе, обеспечившие получение новой информации о влиянии физических свойств среды на формирование нейтронных полей в области резонансных энергий.

Таким образом, в настоящей работе получила развитие и практическую реализацию, имеющая важное значение в прикладной нейтронной физике, проблема построения высокоэффективных алгоритмов численного расчета нейтронных полей в сложных гетерогенных средах с учетом всех физических особенностей упругого рассеяния нейтронов на ядрах среды, обеспечивающих простые схемы реализации на современных ЭВМ и обладающих высокой устойчивостью и достаточной точностью счета. Проведенные математические и численные исследования решений уравнения замедления нейтронов в бесконечных гомогенных средах ( модельная задача ), позволили выявить не только основные математические особенности поведения решений задач теории упругого замедления нейтронов, но и получить качественные картины поведения спектров замедляющихся нейтронов в области резонансных энергий, а также оценить эффективность и точность предложенных численных алгоритмов по энергетической переменной.

Следует отметить, что результаты настоящей работы, в частности, предложенные алгоритмы численного решения задач теории упругого замедления нейтронов в сложных гетерогенных системах, позволили также значительно расширить класс методов и приемов решения многоскоростных задач теории нейтронных полей, которые могут быть с успехом использованы для решения конкретных задач физики атомных реакторов и защиты.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Платонов, Арий Прокопьевич, 2003 год

1.Владимиров В.С.Математические задачи односкоростной теории переноса частиц// Тр. Математического института им.В.А.Стеклова. М.,1961.Т.61.

2. Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов.Линейный анализ.М.: Атомиздат,1973.

3. Гермогенова Т.А. Локальные свойства решений уравнения переноса.М.:Наука,1986.

4. Галанин А.Д.Введение в теорию ядерных реакторов на тепловых нейтронах.М.: Энергоатомиздат, 1990.

5. Ершов Ю.И.,Шихов С.Б. Математические основы теории переноса.М.: Энергоатомиздат, 1985.Т. 1,2

6. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов.М.:Атомиздат,1960.

7. Вейнберг А.,Вигнер Е. Физическая теория ядерных реакторов.М.:Изд-во иностр. лит.,1961.

8. Глесстон С.Ддлунд М. Основы теории ядерных реакторов.М.:Изд-во иностр. лит.,1954.

9. Марчук Г.И. Методы расчета ядерных реакторов.М.:Госатомиздат,1961. Ю.Марчук Г.И.Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов.М.:1. Атомиздат,1981.

10. Марчук Г.И.,Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы.М.: Наука, 1981.

11. Дреснер Л.Резонансное поглощение в ядерных реакторах.М.:Атомиздат, 1962. 1 З.Лукьянов A.A. Замедление и поглощение резонансных нейтронов.М.:1. Атомиздат,1974.

12. Н.Лейпунский А.И. и др. Исследование по физике реакторов на быстрых нейтронах.В кн.Труды Второй международной конференции по мирному использованию атомной энергии.Женева, 1958.Избранные доклады советских ученых.М.: Атомиздат, 1959.Т2.С.377.

13. Абагян Л.П. и др. Влияние резонансной структуры сечений на распространение и замедление нейтронов в средах//Материалы Третьей женевской конференции по мирному использованию атомной энергии.Нью-Йорк.:Изд-во ООН,1965.Т.2.1. С.47.

14. Платонов А.П.,Лукьянов A.A. Плотность столкновений в промежуточных резонансах//Атомная энергия, 1973.Т.35.С.56 57.

15. Lewis E.E.,Adler F.T. A Bolzman Integral Eguation Treatment of Resonanse Absorption in Lattices. //Nucl.Sci.Eng.,1968.V.31.P.l 17 126.

16. Марчук Г.И.,Михайлус Ф.Ф. Резонансное поглощение нейтронов в бесконечной однородной среде//Атомная энергия. 1958.Т.4.С.520.

17. Благоволин П.П.Многогрупповая программа вычисления эффективного резонансного интеграла отдельного резонанса в многослойной цилиндрической ячейке теплового реактора//Резонансное поглощение нейтронов

18. Материалы Всесоюзного семинара по резонансному поглощению нейтронов, Москва,21-23 июня 1977 г.).М.:ЦНИИатоминформ,1978.С.29 33.

19. Додь А.И. Пространственно- энергетическое распределение нейтронов резонансных энергий в реакторной ячейке в линейно анизотропном приближении//Там же. С. 56 - 60.

20. Додь А.И. Пространственно-энергетический расчет спектра нейтронов в реакторной ячейке и некоторых от него функционалов//Там же.С.61 65.

21. Додь А.И. Пространственно-энергетическое распределение нейтронов резонансных энергий//Весщ АН БССР,1972.Т.З.С.З.

22. Морозов А.Г.,Кузьмин В.В.,Слесарев И.С.,Зверков Ю,А„Сироткин A.M. Комплекс программ СПЕКТР-СИГМА-ПИН для расчета гетерогенных активных зон быстрых реакторов//ВАНТ,сер.Физика и техника ядерных реакторов.М.: ЦНИИатоминформ,1982.Вып.7(29).С.72 74.

23. Рязанов Б.Г.,Савоськин М.М.,Цибуля A.M.Николаев М.Н. Расчет гетерогенных эффектов в системе АРОМАКО.Комплекс программ ПОВЕСА//Резонансное поглощнение нейтронов. М.:ЦНИИатоминформ,1978.С.38 42.

24. Бурмистров А.Я.,Кочуров В.П. Решение интегрального уравнения Пайерлса в многозонной цилиндрической ячейке ( Программа МК ): Препринт ИТЭФ 49. М.,1976.

25. Гермогенова Т.А.Дектярев С.Ф.,Орлов В.В.,Суворов А.П.,Тихонов В.К.,Цыпин С.Г. Перенос быстрых нейтронов в плоских защитах.М.:Атомиздат,1971.

26. Волощенко A.M.,Костин Е.И.,Панфилов Е.И.,Уткин В.А. РОЗ 6 - система программ для решения уравнения переноса в одномерных геометриях.Версия 2. Инструкция.М.:ИПМ АН СССР, 1980.

27. ВоЫ H.,Gelbard Е.М.,Hemphill А.Р. MUFT-5-A Fast Neutron Spectrum Program for the Philco- 2000.WAPD-TM-218,February 1961 (cM.Naval Reactor Physics Handbook. USA EC.TID- 7030,1964)

28. ЗКЛалетин Н.И.,Люлька В.А. О резонансном поглощении нейтронов в U238// Нейтронная физика.Часть 4.М.:ЦНИИатоминформ,1980.С.35 42.

29. Askew I.R.,Fayers F.J.,Kemshell Р.В. A general description of the lattice code WIMS. IBWES, 1966.P.564.

30. Султанов H.B. Многогрупповая программа расчета коэффициента использования тепловых нейтронов в многозонной цилиндрической ячейке

31. МГ ПРАКТИНЕЦ): Препринт -3376/5 .М.:ИАЭ,1981.

32. Бояринов В.Ф. Программа нейтронного группового расчета цилиндрической ячейки реактора (НЕГР-Ц): Препринт ИАЭ-3377/5. М.:ИАЭ,1981.

33. Султанов Н.В. Многогрупповая программа расчета цилиндрической ячейки РАЦИЯ: .Препринт ИАЭ-3536/5.М.:ИАЭ,1982.

34. Бояринов В.Ф. Программа нейтронного группового расчета плоской периодической ячейки реактора разностным аналогом метода поверхностных псевдоисточников (НЕГР-ПР): Препринт ИАЭ-3582/5 .М.:ИАЭ,1982.

35. Султанов Н.В. Односкоростной расчет цилиндрических ячеек с сильнопоглощающей кольцевой зоной: Препринт ИАЭ-3988/4.М.:ИАЭ,1984.

36. Сборник Вычислительные методы в физике реакторов.М.:Атомиздат,1972.

37. Сборник докладов по программам и методам физического расчета быстрых реакторв/ Под ред. М.Н.Зизина. Димитровград:НИИАР,1975.

38. Васильев Б.А.,Евсеев В.И.Дарабасов А.С.,Кирюшин А.И.,Самойлов О.Б. Потребности в программном обеспечении проектных разработок реакторов на быстрых нейтронах// ВАНТ.Сер. Физика и техника ядерных реакторов. М.:ЦНИИатоминформ,1982. Вып.7 (29).С.59 64.

39. Saito Y.,Takeda Т. Development of Three-Dimensional Transport and Diffusion Codes

40. Based on Nodel Method//J.Nucl.Science and Techn.,1986.V.23(6).P.565 568. 42.Колесов В.E.,Журавлева Т.И.,Зинин А.И.,Невиница А.И.Суслов И.Р.Дуркова Е.В.,Исаков А.Г. Система алгоритмов модульного комплекса ВЕСНА//

41. Алгоритмы и программы для нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов: Сб.тр.семинара "Нейтроника 97".Обнинск:ФЭИ,1998 .- 199 с.

42. Алгоритмы и программы для нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов:

43. Сб.тр.семинара "Нейтроника 98".Обнинск:ФЭИ,1999 .- 271 с.

44. Bednarz R. Exact solution of the Slowing Down Equation//Nucl. Science Engng.,1961. V.10 P.219 222.

45. Finkelstein L. Formal Solution to the Neutron Moderation Problem in Nonhydrogeneous Infinite Homogeneous Media//Nucl. Science Engng.,1968.V.32.P.241 248.

46. Stefanovitch D. An Exact Solution of the Neutron Slowing Down Equation// Nucl. Science Engng.,I970.V.4I.P.394 398.

47. Trie-Yie Dawn Generalized Exact Solution of Slowing Down Equation//J.of Nucl.Sci.Technology,1972.V.9.P.93 96.

48. Платонов А.П.Применение метода Адамса к задаче замедления нейтронов в гомогенной бесконечной среде//Ж. вычисл.матем.и матем .физ.,1972.Т.12. С. 1325 1331.

49. Платонов А.П. ПЕРСЕЙ программа расчета спектра плотности столкновений нейтронов в многокомпонентных однородных средах//Ядерные константы.М.: Атомиздат,1973.Вып . 12.С.128 - 148.

50. Платонов А.П.,Лукьянов А.А. Влияние микроструктуры спектра плотности столкновений на групповые константы U238 в резонансной области//Ядерные константы.М.:Атомиздат, 1973.Вып. 12.С.98.

51. Платонов А.П. Лукьянов А.А. Неасимптотический спектр нейтронов в двухкомпонентной среде с энергетической зависимостью сечений//Атомная энергия, 1972. Т.ЗЗ.С.985 986.

52. Платонов А.П.Лукьянов А.А.Спектр нейтронов в гомогенной среде U:H// Ядерныеконстанты.М.:Атомиздат,1972.Вып.10.С.236 245.

53. Платонов А.П.,Лукьянов A.A. Особенности резонансного поглощения для промежуточных уровней//Атомная энергия, 1973.Т.35.Вып.С.264.

54. Платонов А.П.Лукьянов A.A. Спектры резонансных нейтронов в гомогенных средах//Атомная энергия, 1975.Т.39.Вып.З.С.213 .

55. Воротынцев М.Ф. Решение задачи замедления нейтронов в бесконечной среде с резонансным поведением нейтронных сечений//Резонансное поглощение нейтронов.М.- ЦНИИатоминформ,1978.С.10 13.

56. Воротынцев М.Ф.,Ваньков A.A.,Воропаев А.И.,Возняков В.В.,Пивоваров В.А. Детальный расчет энергетического спектра нейтронов и проблема подготовки групповых констант. В сб.ВАНТ. Серия Ядерные константы.М.:Атомиздат, 1976.Вып.21.С.147 184.

57. Воротынцев М.Ф.,Пивоваров В.А.,Ваньков A.A.,Воропаев А.И.,Возняков В.В. Оценка точности приближений постоянства плотности соударений при расчете факторов резонансной блокировки//Резонансное поглощение нейтронов.

58. М.: ЦНИИатоминформ, 1978.С.71 73.

59. Беллман Р.,Кук К.Л. Дифференциально разностные уравнения.М.:Мир, 1967.

60. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.:Наука,1972.

61. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения.М.:Изд-во иностранной лит.,1961.

62. Норкин С.Б.Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом.М.:Наука. 1965.

63. Эльсгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.:Наука, 1964.

64. Зверкин А М. Применение теорем сравнения к исследованию устойчивости уравнений с запаздыванием//Труды семинара по теории дифф.ур-ний с отклоняющимся аргументом. М.:Ун-т Дружбы народов,1969.Т.7.С.З 16

65. Халанай А. Системы с запаздыванием.Результаты и проблемы//Математика.М.: 1966. Т.10.Вып.5.С.85 102.

66. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения.М.:Физматгиз. 1959.

67. Кузнецов Ю.А.,Явушкин В.И. Итерационные решения системы метода конечных элементов для уравнения переноса нейтронов// Численные методы в математической физике. Новосибирск:ВЦ СО АН СССР.1979.С.84 105.

68. Норри Д.,де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов.М.:Мир,1981.

69. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.М.:Наука,1980.

70. Марчук Г.И. Методы расщепления.М.:Наука,1988.

71. Платонов А.П. О дифференцируемости интеграла упругих соударений по энергии // Сборник трудов.Димитровград:НИИАР,1997.Вып.2.С.З -11.

72. Платонов А.П. Численный метод решения уравнения замедления нейтронов от моноэнергетического изотропного точечного источника в однородной среде// Сборник трудов.Димитровград: НИИАР,1997.Вып.2.С.11 23.

73. Платонов А.П. О решении уравнения замедления нейтронов в плоской геометрии с учетом 5 -образной зависимости индикатрисы упругого рассеяния//Сборник трудов. Димитровград: НИИАР, 1997.Вып.2.С.24 29.

74. Платонов А.П. Особенности решения уравнения замедления нейтронов в конечных средах со сферической симметрией в Рп приближении//Сборник трудов.Димитровград: НИИАР, 1997.Вып.2.С.29 - 37.

75. Платонов А.П. Решение уравнения замедления нейтронов с моноэнергетическим протяженным источником для цилиндрической,квадратной и шестиугольной ячеек конечной высоты в Р|- и Рз приближениях//Сборник трудов. Димитровград: НИИАР, 1997.Вып.2.С.38 - 62.

76. Платонов А.П. Решение уравнения замедления в конечных средах с учетом потерь энергии нейтронами при упругом рассеянии в Рп -приближении//Сборник трудов. Димитровград:НИИАР, 1997.Вып.2.С.62 71.

77. Платонов А.П. Особенности решения уравнения замедления нейтронов методом расщепления с учетом 6 образной зависимости индикатрисы упругого рассеяния//Сборник трудов. Димитровград:НИИАР,1997.Вып.2.С.71 - 76.

78. Платонов А.П. О расчете спектра замедляющихся нейтронов в одной энергетической группе при решении уравнения переноса методом расщепления//Сборник трудов. Димитровград: НИИАР, 1997.Вып.2.С.76 83.

79. Платонов А.П. Некоторые вопросы математической реализации решения уравнения замедления нейтронов в ячейках сложной формы методом конечных элементов // Сборник трудов. Димитровград:НИИАР,1997.Вып.2.С.83 -99.

80. Платонов А.П. Метод конечных элементов в задачах односкоростной теории переноса нейтронов в гетерогенных средах//Сборник трудов.Димитровград: НИИАР.1997. Вып.2.С. 100 138

81. Платонов А.П. Сопряженное уравнение замедления нейтронов в гомогенных бесконечных средах и устойчивость //Сборник трудов.Димитровград: НИИАР,1998. Вып.2.С.40 48.

82. Платонов А.П. Решение уравнения замедления нейтронов в самосопряженной форме методом расщепления//Сборник трудов.Димитровград:НИИАР,1998.Вып.2.1. С.49 59.

83. Платонов А.П. Особенности решения уравнения замедления нейтронов в ( Л,Ъ )-геометрии методом расщепления в Рз приближении//Сборник трудов. Димитровград: НИИАР,1998.Вып.2.С. 60 - 72.

84. Платонов А.П. Об одном подходе к расчету спектров быстрых нейтронов в водороде и воде от точечного моноэнергетического источника с учетом потерь энергии при упругом рассеянии в Рп приближении//Сборник трудов. Димитровград: НИИАР,1998.Вып.2.С.73 -84.

85. Платонов А.П. Об эквивалентности решений интегральной и дифференциальной форм уравнения замедления нейтронов в бесконечных средах //Сборник трудов.Димитровград: НИИАР,1999.Вып.З.С.З 15.

86. Платонов А.П. О дифференцируемое™ по энергии интеграла упругих соударений в задачах замедления нейтронов//Ж.вычисл.матем.и матем.физ.,1999. Т.39.№4. С.663 669.

87. Платонов А.П. Численный метод расчета спектров замедляющихся нейтронов в конечных средах с учетом 5- образной зависимости индикатрисы упругого рассеяния //Атомная энергия,1998.Т.84.Вып.2.С. 102 107.

88. Платонов А.П. Решение уравнения замедления нейтронов в (х,у )- геометрии методом расщепления//Атомная энергия,1998.Т.84.Вып.З.С.216 219.

89. Платонов А.П. Об одном подходе к решению задачи упругого замедления нейтроновв однородной среде от моноэнергетического изотропноготочечного источника //Ж.вычисл.матем.и матем.физ.,2000.Т.40.№ 1 .С. 144-152.

90. Платонов А.П. Об эквивалентности решений интегральной и дифференциальной форм уравнения замедления нейтронов в бесконечных средах// Ж.вычисл. матем.и матем.физ., 2001.Т.41,№З.С.459 466.

91. Гермогенова Т.А. Интеграл столкновений в окрестности граничной поверхности// Проблемы теории и численного решения задач переноса частиц.М.:Отд. вычисл. матем.АН СССР,1983.С.10 32.

92. Николайшвили Ш.С.Прохождение гамма-излучения через плоский слой.В книге Некоторые математические задачи нейтронной физики.М.:Изд-во МГУ, 1960. С.183 198.

93. Marshak R.E. Theory of the Slowing Down of Neutrons by Elastic Collisions with Atomic Nuclei//Rev.Mod.Phys.,l947.V. 19.P. 185.

94. Кейз К.,Цвайфель П. Линейная теория переноса.М.: Мир,1972.

95. Журнал вычисл.матем.и матем.физ.,1969.Т.9.№З.С.605 -625. 102.Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.М.:Мир,1975. ЮЗ.Стренг Г.,Фикс Дж. Теория метода конечных элементов.М.:Мир,1977. Ю4.Тьюарсон Р. Разреженные матрицы.М.:Мир,1977.

96. Зенкевич О.,Морган К. Конечные элементы и аппроксимации.М.:Мир,1986. 106.Самарский А.А.,Николаев Е.С. Метод решения сеточных уравнений.М.:Наука, 1978.

97. Ю7.Марчук Г.И.,Кузнецов Ю.А. Итерационные методы и квадратичные функционалы.

98. Новосибирск:Наука, 1972. 108.3авьялов Ю.С.,Квасов В.И.,Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций.М.: Наука, 1980.

99. Ю9.Митчел Э.,Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными.М.:Мир, 1981.

100. Ю.Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности.

101. Л.'Изд-во Ленинградского Гос.ун-та,1977.1. l.Briggs L.L.,Lewis Е.Е. A Two-dimensional Constrained Finite Element Method for

102. З.Грачев В Д.Некоторые вопросы математической реализации метода конечных элементов в задачах реакторной теплофизики.М.:ЦНИИатоминформ, 1985. Препринт. НИИАР-6(652).

103. М.Николайшвили Ш.С.,Ляшенко Е.И. Расчет угловых распределений нейтронов в ядерных реакторах.В сб.Вопросы физики защиты реакторов.М.:Атомиздат, 1968.Вып. З.С.54 68.

104. Слесарев И.С.,Сироткин A.M. Вариационно-разностные схемы в теории переноса нейтронов. М.:Атомиздат,1978.

105. Briggs L.L.,Miller W.F.,Lewis Е.Е. Ray-effect Mitigation in Discrete Ordinate-Like Angular Finite Element Approximation in Neutron Transport// Nucl.Sci.Engng., 1975.V. 57.P.205.

106. Martin W.R.,Duderstadt J.J. Finite Element Solutions of the Neutron Transport Equation with Applications to Strong Heterogeneities //Nucl.Sci.Engng., 1977.V.62. P.371 390.

107. Слесарев И.С.,Сироткин A.M. Вариационно-разностные методы расчета ядерных реакторов.М.: Энергоатомиздат, 1981.

108. Ukai S. Solution of Multi-Dimensional Neutron Transport Equation by Finite Element Method.//J.of Nucl.Sci. and Techn.,1972.V.9.№6.P.366 373.

109. Miller W.F.,Reed Wm.H. Ray-Effect mitigation Methods for Two-Dimensional Neutron Transport Theory.//Nucl.Sci.Engng.,1977.V.62.P.391 -411.

110. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.М.:Наука,1967.

111. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике.М.:Наука,1976.

112. Птицын А.Р. Использование метода моментов для расчета пространственно-энергетического распределения нейтронов от плоского и точечного источника в бесконечной среде//Атомная энергия, 1961.Т.10.С. 117.

113. Басс Л.П.,Гермогенова Т.А.,Гребенникова Н.А. и др. Многогрупповая программа РАДУГА-2.Инструкция для пользователя.М.:ИПМ АН СССР, 1982.

114. Rhoades W.A.,Mynat F.R. The DOT-3-TWO-Dimensional Discrete Ordinates Transport Code.ORNL-TM-4280,1973.

115. Takeuchi R.,Sasamoto N. Fundamental Theory of the Direct Integration Method for Solving the Steady-State Integral Transport Equation for Radiation Shielding Calculation// Nucl.Sci.Engng ,1982.V.80.P.536 553.

116. Карл сон Б.,Латроп К. Теория переноса.Метод дискретных ординат// Вычислительные методы в физике реакторов.М.:Атомиздат,1972.С.102 -157.

117. Rhoades W.A.,Engle W.W. A New Weighted-Difference Formulation for Discrete Ordinates Calculations//Trans.Am. Nucl.Soc.,1977.V.27.P.776.

118. Barbucci P.,Di Pasguantonio F. Exponential Supplementary Equations for Sn-Methods.The One-Dimensional Case// Nucl.Sci.Engng., 1978.V.63.P. 176 187.

119. Волощенко A.M. О решении уравнения переноса DSn-методом в гетерогенных средах. Часть 2. Одномерные сферическая и цилиндрическая геометрии// Численные решения уравнения переноса в одномерных задачах.М.:Изд-во АН СССР, 1981 .С.64 -91.

120. Ш.Гермогенова Т.А.,Басс Л.П. О решении уравнения переноса методомхарактеристик. В сб.Вопросы физики защиты реакторов.М.:Атомиздат, 1969.Вып.З.С.69 77.

121. Бродкин Э.Б.,Кожевников А.Н.,Хрусталев A.B. Возможности и опыт применения программ для расчетов на ЭВМ задач о прохождении излучения через вещество// Радиационная безопасность АЭС.М.:Труды ВТИ,1979.Вып.26.С.ЗО 38.

122. Канторович Л.В.,Акилов Г.П. Функциональный анализ.М.:Наука, 1977.

123. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. M : Высшая школа,1967.

124. Титчмарш Е. Теория функций.М.-Л.:Гостехиздат,1951.

125. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.М.: Наука, 1967.

126. Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье.М.:Гос.изд-во физ.-мат.лит,1962.138.3абрейко П.П.,Кошелев А.И.,Красносельский М.А. и др. Интегральные уравнения.1. М.:Наука,1968.

127. Уваров В.Б. Асимптотические свойства распределения нейтронов по энергии при замедлении их в бесконечной среде// Ж.вычис.матем.и матем. физ.,1967.Т.7. С 836- 851.

128. Лаврентьев М.А.,Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз,1958.

129. Feller W. On the integral eguation of renewal theory .//Ann.Math.Statistics. 1941. V. 12.P.243 -267.

130. Эльсгольц Л.Э. Качественные методы в математическом анализе.М.:Гостехиздат, 1953.

131. ИЗ.Цыпкин ЯЗ. Устойчивость систем автоматического регулирования.М.: Гостехиздат, 1953.

132. Неймарк Ю.И. Структура D разбиения пространства квазиполиномов и диаграммы Вышеградского и Нейквиста//Доклады АН СССР,1948.Т.60. С. 1503 -- 1506

133. Малкин И.Г.Теория устойчивости движения.М.:Наука, 1966.

134. Эльсгольц Л.Э. Устойчивость решений дифференциально-разностных уравнений // УМН,1954.Т.9. С.95 112.

135. Мейман H.H.,Чеботарев Н.Г. Проблема Рауса Гурвица для полиномов и целых функций: Тр.Математического института им.В.А.Стеклова,1949.Т.26.С.1 - 331.

136. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.М.: Наука, 1967.

137. Марчук Г.И., Орлов B.B.K теории сопряженных функций.Нейтронная физика.М.:1. Госатомиздат. 1961 .С.30.

138. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений.М.:Изд-во иностранной лит., 1954.

139. Разумихин B.C. Применение метода Ляпунова к задачам устойчивости систем с запаздыванием//Авт.и телемех.,1960.Т.21.Вып.6.С.740 -748.

140. Ла-Сааль Ж. и Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.:Мир,1964.

141. Хейл Д. Асимптотическое поведение решений разностно-дифференциальных уравнений: Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям (1961). Киев.:Изд-во АН УССР, 1963.С.409 426.1.

142. Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием.М.: Наука, 1983.

143. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.М.:Наука,1967.

144. Далецкий Ю.Л.,Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.М.:Наука,1970.

145. Kozakiewicz Е. Uber die nichtschwingenden Losungen einer linearen Differentialgleichung mit nacheilendem Argument//Math.Nachr. 1966.V32:1/2.P. 107 113.

146. Мышкис А.Д. Об одном дифференциально-функциональном неравенстве //УМН. 1960.Т.15, вып.;.С. 157 161.

147. Мышкис А.Д. Об асимптотической оценке решений систем линейных однородных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом//УМН,1960.Т,15.1. ВЫП.4С.163- 167.

148. Горбунов А.Д.,Попов В.Н. О методах типа Адамса приближенного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием//

149. Березин И.С.,Жидков Н.П. Методы вычислений.М.:Физматгиз, 1959.Т. 1,2.

150. Токмалаева С.С. Ординатные формулы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка// Вычисл.математика.М.: АН СССР,1959.СЗ 57.

151. Тихонов А.Н.,Горбунов А.Д. Асимптотические разложения погрешности разностного метода решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений//Ж. вычисл.матем.и матем .физ.,1962.Т.2.С. 537 -548.

152. Абагян Л.П., Николаев М.Н., Петрова Л.В. УРАН программа расчета сечений икоэффициентов гомогенной резонансной самоэкранировки в области разрешенных резонансов. //Бюллетень информационного центра по ядерным данным. М.:Атомиздат,1966.С.418

153. Бабушка Н.,Витасек Э.,Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений.М.: Мир,1969.

154. Dunn F.E.,Becker М. Neutron Slowing Down in Mixtures Containing Scattering Resonances.//Trans.Am.Nucl.Soc. 1969.V.12.P.693-694.

155. Stacey W.M. Continuous Slowing Daun Theory Applied to Fast Reactor Assemblies.// Nucl.Sci.Engng. 1970.V.41 .P.381 -393.

156. Лукьянов А.А., Юсеф М.Ю.А. Неасимптотическая структура спектразамедляющихся нейтронов вблизи "промежуточных" резонансов.//Атомная энергия, 1969.Т.26.Вып.6.С.540.

157. Neltrup H.,Mikkelsen I. The Influence of Scattering Interference on Resonance Absorption in 23»u and 232Th.//J.of Nucl.Energy.l968.V.22.P.601.

158. Stacey W.M. Resolved Narrow Resonance Reaction Rates in Fast Reactor Mixtures.// Nucl Sci.Engng 1970.V.41 .P.455-457.

159. Абагян Л.П., Николаев М.Н., Петрова Л.В. Расчет сечений 238U по программа УРАН.// Бюллетень информационного центра по ядерным данным.М.: Атомиздат, 1967.Вып.4.С.392-419

160. Hughes D.J., Schwartz R.B. Neutron Cross Section. Second Edition.BNL-325. // Washington. US Goverment Printing Office. 1965. V.3

161. Sehgal B.R. Resonance Absorption for heavy Moderators in Homogeneous Media.//J.of

162. Nucl.Energy.Part A/B. 1965.V. 19.P.921. 175.Sehgal B.R., Goldstein R. Intermediate Resonance Absorption in Heterogenejus Media.

163. Nucl.Sci.Engng. 1966. V.25.P. 174-182. 176 Goldstein R., Cohen E.R. Theory of Resonance Absorption of Neutron. //Nucl. Sci. Engng. 1962.V13.P. 132-140.

164. Адлер Ф.,Хинман Г., Нордгейм JI. Методы количественных оценок резонансных интегралов.//Материалы 2-й международной конференции по мирному использованию атомной энергии. Избранные доклады иностранных ученых.М.: Атом издат. 1959.Т.2.

165. Wigner Е.Р. Theoretical Physics in the Metallurgies Laboratory of Chicago.// J.Appl.Phys. 1946.V.17.P.857.

166. Forti G. Evaluation of Resonance Integrals in Homogeneous and Heterogenejus Systemsand Intermediate Approximation.//Nucl.Sci.Engng.l964.V.19.P. 1449-457.

167. Goldstein R. Integration and Intermediate Resonance Absorption. //Nucl. Sci. Engng. 1967. V30.P. 146.

168. Mikkelsen J. Extrapolation and Interpolation in Calculation of the Resonance Absorption of Neutrons of Intermediate Energy. //Nucl. Sci. Engng.l970.V39.P. 403-406.

169. Goldstein R. Temperature-dependent Intermediate Neutron Resonance Integrals. //Nucl.

170. Sci. Engng. 1972.V48.P.248-254.

171. Corcuera R., Solanilla R. Operator formulation of Resonance Absorption of Neutrons. //J.of Nucl.Energy. 1969. V.23.P.643-654.

172. Samner H.M. "Eric 1. A Fortran Program for Calculating Resonance Integrals and some Examples of its use". AEEW M - 403.1963.

173. Лукьянов A.A., Орлов В.В. Влияние интерференции потенциального и резоансного рассеяния на резонансное поглощение нейтронов в веществе. Теория и методы расчета ядерных реакторов.М.:Госатомиздат. 1962.С. 179-190

174. Ахиезер А.и Померанчук И. Некоторые вопросы теории ядра.М.:ГИТТЛ.1959. С.280.

175. Kirchenmager A. Effective Resonance Integral Dependence on the Moderator Slowing Down Properties//Nucl. Sci. Engng. 1962.V14.P.312.

176. Goldstein R. Intermediate Resonance Absorption at Low Energies. //Nucl. Sci.1. Engng. 1965. V22.P.387.

177. Абагян Л.П. и др. Групповые константы для расчета ядерных реакторов.М.: Атом издат. 1964.

178. Лукьянов A.A., Орлов B.B. Влияние резонансной структуры сечений U238 на диффузию нейтронов в гомогенной среде. Нейтронная физики. М.: Госатомиздат. 1961 .С. 105.

179. Абагян Л.П., Михайлус Ф.Ф., Николаев М.Н., Орлов В В. Распространениерезонансных нейтронов вгомогенных средах.// Бюллетень информационного центра по ядерным данным. Приложение. М.: Атомиздат, 1968.