Модели и методы исследования переходных режимов движения твердого тела в атмосфере тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, доктор технических наук Тимбай, Иван Александрович

• Тимбай, Иван Александрович
• доктор технических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор технических наук Тимбай, Иван Александрович

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕНОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ И МЕТОДЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ

1.1. Переходные режимы движения осесимметричных тел

1.2. Переходные режимы движения тел с малой асимметрией

1.3. Современные способы обеспечения заданного движения неуправляемых летательных аппаратов

1.4. Асимптотические методы в задачах неуправляемого движения тела в атмосфере

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ НЕУПРАВЛЯЕМОГО ТЕЛА В АТМОСФЕРЕ

2.1. Исходные системы уравнений движения

2.2. Начальные условия углового движения

2.3. Критерий применимости асимптотических методов в задачах спуска неуправляемого тела в атмосфере

ГЛАВА 3. ПЕРЕХОДНЫЕ РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ

3.1. Аналитические выражения для интеграла действия при движении тела с бигармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки

3.2. Переходные режимы движения тела с бигармоническим восстанавливающим моментом при входе в атмосферу

3.3. Усредненные уравнения возмущенного движения тела произвольной конфигурации при спуске в атмосфере

3.4. Усредненные уравнения возмущенного движения тела с зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки близкой к синусоидальной

3.5. Влияние момента от эффектов вязкости на продольную угловую скорость тела

ГЛАВА 4. ПЕРЕХОДНЫЕ РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ С МАЛОЙ АСИММЕТРИЕЙ

4.1. Аналитическая оценка изменения угла атаки и продольной угловой скорости тела при переходе через резонанс

4.2. Анализ переходных режимов прецессионного движения

тела

ГЛАВА 5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭФФЕКТА РЕЗОНАНСА ДЛЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЗАДАННОГО ДВИЖЕНИЯ НЕУПРАВЛЯЕМЫХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

5.1. Алгоритм выбора величины малой искусственной асимметрии ЛА, обеспечивающей стабилизацию угловой скорости крена

5.2. Летательные аппараты с искусственной малой асимметрией

5.3. Стохастическая модель движения ЛА в атмосфере

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели и методы исследования переходных режимов движения твердого тела в атмосфере»

ВВЕДЕНИЕ

Большое количество космических программ, осуществляемых в интересах развития техники, науки и обороны страны, в качестве заключительной фазы предусматривают неуправляемый спуск летательного аппарата (ЛА) в атмосферу Земли и других планет. Несмотря на наличие обширных исследований в этой области, многие проблемы, как теории, так и практики, в настоящее время не нашли своего завершения. Важной проблемой является разработка математических моделей и методов исследования переходных режимов движения ЛА в атмосфере, под которыми понимаются случаи, когда в процессе снижения аппарата происходит изменение характера движения относительно его центра масс: вращательное движение переходит в колебательное, скачкообразно изменяются характеристики колебательного движения и т. д. Изучение переходных режимов движения необходимо для определения компонент перегрузки, рационального расположения теплозащитного покрытия, определения рассеивания точек посадки, а также для назначения требований к геометрической форме и конструктивно-компоновочной схеме ЛА.

Движение ЛА в атмосфере как твердого тела описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, общее решение которой получить не представляется возможным. При численном же интегрировании уравнений движения, во-первых, остаются скрытыми причины, обуславливающие тот или иной характер движения, во-вторых, для установления закономерностей движения требуется значительное число расчетов, а это даже с использованием современных быстродействующих ЭВМ приводит к большим затратам времени из-за наличия в правых частях уравнений быстро осциллирующих функций. Поэтому поиск приближенных аналитических решений и разработка математических моделей и методов исследования, позволяющих существенно

ускорить процесс расчета и установить закономерности, свойственные движению тела, является актуальной задачей.

В работе рассматриваются переходные режимы движения осесимметричных тел, возникающие на верхнем участке траектории спуска в атмосферу и обусловленные медленным изменением во времени формы зависимости восстанавливающего аэродинамического момента от угла атаки, и переходные режимы движения тел с малой асимметрией, вызванные резонансными явлениями, возникающими при движении в плотных слоях атмосферы.

Движение осесимметричного тела в атмосфере описывается системой уравнений, представляющей собой квазиконсервативную нелинейную систему с одной степенью свободы. Характер движения тела во многом определяется формой зависимости восстанавливающего момента от угла атаки, который является нечетной функцией и в общем случае аппроксимируется нечетным рядом Фурье по углу атаки. Г.Е. Кузмаком исследованы переходные режимы движения тела с синусоидальной зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки, когда фазовый портрет системы аналогичен возмущенной колебательной системе маятникового типа. В настоящее время эксплуатируются и разрабатываются ЛА (спускаемые модули "Союз", "Марс", многие перспективные малогабаритные грузовые капсулы) с достаточно сложной зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки, для удовлетворительной аппроксимации которой рядом Фурье необходимо удерживать не менее двух гармоник. При этом возможно появление дополнительного положения равновесия по углу атаки - дополнительной особой точки на фазовом портрете системы. Переходные режимы движения тел, имеющих два устойчивых и одно неустойчивое положения равновесия, анализируются в монографии В.А. Ярошевского. Однако интеграл действия, который является адиабатическим инвариантом для рассматриваемой системы, не выписан в

явном виде, что весьма существенно затрудняет анализ движения. В диссертационной работе на основе полученных аналитических формул для интеграла действия разработан метод аналитического исследования переходных режимов движения тела под действием медленно меняющегося во времени бигармонического восстанавливающего момента. Для описания эволюции движения внутри колебательных областей с учетом действия малых демпфирующих моментов и моментов от сил вязкости получены усредненные уравнения движения для тела с полигармоническим восстанавливающим моментом.

Движение тела с малой асимметрией в атмосфере в общем случае описывается двухчастотной системой уравнений. Если частоты (собственная частота и частота внешнего периодического воздействия) относятся как целые малые простые числа, то возникает резонанс. Исследованию резонансов при движении неуправляемого тела в атмосфере посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных ученых, в которых, как правило, рассматриваются вопросы, связанные с изучением поведения угла атаки и продольной угловой скорости вращения. В диссертационной работе анализируется влияние малой асимметрии тела на прецессионное движение, определяющее положение вектора подъемной силы, а следовательно, оказывающее большое влияние на рассеивание точек посадки. Получены аналитические зависимости, связывающие изменения угла атаки, продольной угловой скорости и прецессионного движения при переходе тела через резонанс, с начальными условиями движения, с видом и величиной асимметрии. Предлагается использовать эффект прохода через резонанс для стабилизации продольной угловой скорости ЛА с целью выполнения требований к атмосферному рассеиванию точек посадки. Для этого в конструкцию аппарата может вводится рассчитываемая по аналитическим формулам малая искусственная инерционная или аэродинамическая асимметрия, которая дает в сравнении с известными системами стабилизации

улучшение массово-геометрических и функционально-эксплуатационных характеристик ЛА.

Цель работы. Целью настоящей работы является разработка математических моделей и методов исследования переходных режимов движения твердого тела в атмосфере и выбор на этой основе малой искусственной асимметрии ЛА, обеспечивающей заданные условия его движения.

Для достижения указанной цели в работе решаются следующие задачи:

- вывод исходных уравнений вращательного движения твердого тела в атмосфере, обеспечивающих построение на основе асимптотических методов математических моделей, необходимых для решения поставленных задач;

- исследование переходных режимов движения при входе в атмосферу осесимметричного тела с бигармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки на основе аналитических формул для интеграла действия;

- исследование характера изменения угла атаки, продольной угловой скорости и прецессионного движения тела с учетом влияния малой асимметрии при прохождении через резонанс;

-построение усредненных уравнений возмущенного нерезонансного движения осесимметричного тела для анализа участков движения между переходными режимами;

- разработка алгоритма выбора величины малой искусственной асимметрии ЛА, обеспечивающей стабилизацию угловой скорости крена в определенных пределах, и конструктивная её реализация;

-разработка на основе полученных математических моделей стохастической модели движения для проведения поверочных расчетов.

Методы исследования. При разработке методов, для получения математических моделей, аналитических формул, оценок использовались

методы и подходы развитые В.И. Арнольдом, В.М. Волосовым, А.И. Нейштадтом, В.А. Ярошевским и др.

Научная новизна работы заключается в следующем.

1. Найден критерий применимости асимптотических методов в задачах спуска неуправляемого тела в атмосфере, характеризующий медленность изменения параметров системы, учитывающий условия входа, диапазон высот полета, баллистические и динамические свойства тела.

2. Получены для всех возможных движений осесимметричного тела с бигармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки аналитические формулы для интеграла действия, выраженные через полные эллиптические интегралы или элементарные функции.

3. Разработан метод аналитического исследования переходных режимов движения осесимметричного тела под действием медленно меняющегося во времени бигармонического восстанавливающего момента. Для случаев, когда при пересечении сепаратрисы фазовая точка может попадать в различные колебательные области фазового портрета системы, найдены формулы для определения вероятности попадания в ту или иную область движения.

4. Построены усредненные уравнения возмущенного движения осесимметричного тела с полигармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки в интегро-дифференциальной форме без введения ограничений, накладываемых на характер движения. В случае, когда восстанавливающий момент имеет зависимость от утла атаки близкую к синусоидальной, правые части усредненных уравнений сведены к полным эллиптическим интегралам. Численное интегрирование усредненных уравнений дает значительное сокращение времени определения параметров движения по сравнению с исходными уравнениями.

5. Выявлено влияние малой асимметрии твердого тела на характер изменения прецессионной скорости при прохождении через резонанс.

Получены формулы для определения критических величин асимметрии, гарантирующих заданный вид прецессионного движения.

6. Предложен графо-аналитический метод определения диапазонов изменения скоростей прецессии и собственного вращения твердого тела, вида прецессионного движения по амплитудным характеристикам угла атаки.

7. Получены аналитические зависимости для определения изменения угла атаки в процессе перехода через резонанс твердого тела, имеющего малую динамическую и аэродинамическую асимметрию, с учетом изменения продольной угловой скорости и начальных условий по углу атаки. Выведена формула для определения изменения продольной угловой скорости твердого тела при переходе через резонанс.

8. Найдены формулы для определения величины малой искусственной асимметрии тела, обеспечивающей стабилизацию продольной угловой скорости при действии возмущающего момента, вызванного эффектами вязкости. Малая искусственная асимметрия ЛА может быть реализована в виде перекоса главной продольной оси инерции конструктивной компоновкой или размещением балансировочных грузов на днище аппарата, а также установкой специальных малых аэродинамических поверхностей из легкоуносимого материала.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью принятых допущений в исходных математических моделях; применением при проведении экспериментов с математическими моделями известных асимптотических и численных методов, обладающих высокой точностью; соответствием результатов математического моделирования неуправляемого движения его физической сущности и результатам летных испытаний.

Практическое значение работы заключается в следующем.

Основные результаты доведены до простых аналитических формул и оценок и могут непосредственно использоваться в инженерной практике при анализе движения ЛА. Разработанные методы, алгоритмы и программы

внедрены в практику проектирования в Государственном ракетном центре "Конструкторское Бюро имени академика В.П. Макеева" (г. Миасс), где продолжительное время работал автор. Результаты работы используются, при решении задач выбора проектных параметров, предполетного анализа, послеполетного восстановления движения летательных аппаратов коммерческого назначения и обеспечивают снижение в условиях существующего процесса проектирования сроков разработки и повышения качества новых и модифицированных ЛА. Результаты работы также используются в учебном процессе в Самарском государственном аэрокосмическом университете, что подтверждается соответствующими актами внедрения.

Основные положения работы, научные и практические результаты докладывались на 17 всероссийских и международных конференциях, в том числе на Научных чтениях, посвященных разработке научного наследия и развитию идей Ф.А. Цандера (1979 г.), К.Е. Циолковского (1979 г.); на Гагаринских чтениях (1979 г.); на Научных чтениях по космонавтике (1993, 1994, 1995 гг.); на Российско-Китайско-Украинском Симпозиуме по космической науке и технике (1994, 1996 гг.); на Всероссийском научно-техническом семинаре по управлению движением и навигации летательных аппаратов (г. Самара, 1985, 1987, 1989, 1993, 1995, 1997 гг.); на Научных чтениях, посвященных творческому наследию Н.Е. Жуковского (1997 г.) и других.

Результаты исследований публиковались в печати /13-23, 48, 62, 81-86, 95, 96/. Предложенные технические решения по теме диссертации защищены двумя авторскими свидетельствами на изобретение, программа расчета параметров движения ЛА по стохастической модели сдана в отраслевой фонд алгоритмов и программ (ОФАП).

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Тимбай, Иван Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе разработаны математические модели и методы исследования переходных режимов движения твердого тела в атмосфере. На основе установленных закономерностей переходных режимов, полученных математических моделей разработан алгоритм выбора малой искусственной асимметрии летательного аппарата, обеспечивающей заданные условия его движения. Предложены варианты конструктивной реализации искусственной асимметрии ЛА.

Основными результатами проведенных исследований являются:

1. Найден критерий применимости асимптотических методов в задачах спуска неуправляемого тела в атмосфере, характеризующий медленность изменения параметров системы, учитывающий условия входа, диапазон высот полета, баллистические и динамические свойства тела.

2. Выписан в явном виде интеграл действия для всех возможных движений осесимметричного тела с бигармоническим восстанавливающим моментом, который имеет вид нечетного ряда Фурье по углу атаки с двумя первыми гармониками.

3. Разработан метод аналитического исследования переходных режимов движения осесимметричного тела под действием медленно меняющегося во времени бигармонического восстанавливающего момента. Для случаев, когда при пересечении сепаратрисы фазовая точка может попадать в различные колебательные области фазового портрета системы, найдены формулы для определения вероятности попадания в ту или иную область движения.

4. Получено без введения ограничений, накладываемых на характер движения, семейство усредненных уравнений возмущенного движения осесимметричного тела, использование которых позволяет значительно снизить объем вычислений по сравнению с интегрированием исходных уравнений при сохранении высокой точности решений.

5. Выявлено влияние малой асимметрии твердого тела на характер изменения прецессионной скорости при прохождении через резонанс. Получены формулы для определения критических величин асимметрии, гарантирующих заданный вид прецессионного движения. Предложен графоаналитический метод определения диапазонов изменения скоростей прецессии и собственного вращения твердого тела, вида прецессионного движения по амплитудным характеристикам угла атаки.

6. Получены аналитические зависимости для определения изменения угла атаки в процессе перехода через резонанс твердого тела, имеющего малую динамическую и аэродинамическую асимметрию, с учетом изменения продольной угловой скорости и начальных условий по углу атаки. Выведена формула для определения изменения продольной угловой скорости твердого тела при переходе через резонанс.

7. Разработан алгоритм выбора величины малой искусственной асимметрии летательного аппарата, обеспечивающей заданные условия его движения.

8. Предложены конструктивные решения реализации искусственной асимметрии. Малая искусственная асимметрия ЛА может быть реализована в виде перекоса главной продольной оси инерции конструктивной компоновкой или размещением балансировочных грузов на днище аппарата, а также установкой специальных малых аэродинамических поверхностей из легкоуносимого материала.

9. Разработана на основе полученных математических моделей стохастическая модель движения.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Тимбай, Иван Александрович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Акулеико Л Д., Лещенко Д.Д., Черноусько Ф.Л. Возмущенные движения твердого тела, близкие к случаю Лагранжа // ПММ. 1979. Т. 43. Вып. 5. С. 771.

2. Акулеико Л.Д., Лещенко Д.Д., Черноусько Ф.Л. Быстрое движение вокруг неподвижной точки тяжелого твердого тела в сопротивляющейся среде // Изв. АН. МТТ. 1982. № 3. С. 5.

3. Акулеико Л.Д., Лещенко Д.Д., Черноусько Ф.Л. Возмущенные движения твердого тела, близкие к регулярной прецессии // Изв. АН. МТТ. 1986. № 5. С. 3.

4. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической и небесной механике. // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18. Вып. 6. С. 91.

5. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : Наука, 1978.

6. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.

7. Асланов B.C. О вращательном движении баллистического осесимметричного аппарата при спуске в атмосфере // Космич. исслед. 1976. Т. 14. №4. С. 491.

8. Асланов B.C. Определение амплитуды пространственных колебаний баллистического аппарата с малой асимметрией при спуске в атмосфере // Космич. исслед. 1980. Т. 18. № 2. С. 178.

9. Асланов B.C., Бойко В.В. Нелинейное резонансное движение асимметричного космического аппарата в атмосфере // Космич. исслед. 1985. Т. 23. № 3. С. 408.

10. Асланов B.C. Нелинейные резонансы при неуправляемом спуске в атмосфере асимметричных КА // Космич. исслед. 1992. Т. 30. № 5. С. 608.

11. Асланов B.C., Серов В.М. Вращательное движение осесимметричного твердого тела с бигармонической характеристикой восстанавливающего момента // Изв. АН. МТТ. 1995. № 3. С. 19.

12. Асланов B.C., Мясников С.В. Устойчивость нелинейных резонансных режимов движения космического аппарата в атмосфере // Космич. исслед. 1996 Т. 34. №6. С. 626.

13. Асланов B.C., Мотцулев Б.И., Тимбай И.А. О методе расчета пространственного движения спускаемого аппарата произвольной формы под действием нелинейного момента // Труды VI Научных чтений Ф.А. Цандера. ИИЕТ АН СССР. 1980. С. 75-81.

14. Асланов B.C., Тимбай И.А., Бойко В.В. Пространственные колебания осесимметричного аппарата при нестационарных режимах движения в атмосфере планеты // Труды XIV Научных чтений К.Э. Циолковского. ИИЕТ АН СССР. 1980. С. 75-81.

15. Асланов B.C., Тимбай И.А., Бойко В.В. Пространственные колебания осесимметричного аппарата на произвольных углах атаки при снижении в атмосфере планеты //Космич. исслед. 1981. Т. 19. № 5. С. 680-687.

16. Асланов B.C., Бойко В.В., Тимбай И.А. Об одном методе расчета пространственного движения осесимметричного аппарата в атмосфере // Научные чтения по авиации и космонавтике. М.: Наука, 1981. С. 199.

17. Асланов B.C., Тимбай И.А. Выбор формы уравнений вращательного движения и разделение переменных в задачах динамики спуска КА в атмосфере // Труды XVIII Научных чтений по космонавтике. - ИИЕТ РАН, 1994. С. 13-14.

18. Асланов B.C., Тимбай И.А. Анализ переходных режимов движения КА при спуске в атмосфере // Труды XIX Научных чтений по космонавтике. -ИИЕТ РАН, 1995. С. 17.

19. Асланов B.C., Тимбай И.А. Некоторые задачи динамики неуправляемого спуска КА в атмосфере // Космич. исслед. 1995. Т. 33. № 6. С. 639-645.

20. Асланов B.C., Тимбай И.А. Определение границы перехода вращения в колебания летательных аппаратов с нелинейными моментными характеристиками // Сб. тр. VII Всерос. научн.-техн. семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов. Ч. I -Самар. гос. аэрокосм. ун-т. Самара, 1996. С. 21-24.

21. Асланов B.C., Тимбай И.А. Переходные режимы углового движения КА на верхнем участке траектории спуска // Космич. исслед. 1997. Т. 35. № 3. С. 279-286.

22. Асланов B.C., Тимбай И.А. Движение бигармонического маятника // Научные чтения, посвященные творческому наследию Н.Е. Жуковского. Тезисы докладов. - Москва, 1977. С. 4-5.

23. Асланов B.C., Тимбай И.А. Интеграл действия при движении твердого тела в обобщенном случае Лагранжа // Изв. АН. МТТ. 1998. № 2. С. 9-17.

24. Аэродинамика ракет / Под. ред. Н.Ф. Краснова. М.: Высшая школа, 1968.

25. Барбера Ф. Аналитический метод изучения аномального движения по крену входящего в атмосферу космического аппарата // Ракетная техника и космонавтика. 1970. № 2. С. 220.

26. Белоконов В.М., Белоконов КВ., Заболотнов Ю.М. Ускоренный расчет траекторий снижения в атмосфере неуправляемых КА с учетом их движения относительно центра масс // Космич. исслед. 1983. Т. 21. № 4. С. 512.

27. Боголюбов H.H., Митрополъский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1958.

28. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986.

29. Бутл В. Влияние балансировки по крену на вращательное движение входящего в атмосферу космического аппарата с большим удлинением // Ракетная техника и космонавтика. 1971. № 4. С. 240.

30. Бухгольц H.H. Основной курс теоретической механики. Ч. II. М: Наука, 1972.

31. Бюшгенс Г.С., Студнев Р.В. Динамика пространственного движения самолета. М.: Машиностроение, 1967.

32. Васильева А.Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

33. Воейков В.В., Ярошевский В.А. Определение амплитуды колебаний осесимметричного космического аппарата при неуправляемом спуске в атмосфере // Ученые записки ЦАГИ. 1970. Т. 1. № 3. С. 45.

34. Волосов В.М. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук. 1962. Т. 17. № 6. С. 3.

35. Волосов В.М. Некоторые виды расчетов в теории нелинейных колебаний, связанных с усреднением // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1963. Т. 3. №1.С. 3.

36. Волосов В.М. Моргунов Б.И. Метод усреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд. МГУ, 1971.

37. Вон Г. Граничные условия устойчивого резонанса по крену летательных аппаратов, входящих в плотные слои атмосферы // Ракетная техника и космонавтика. 1968. № 6. С. 47.

38. Голъдштейн Ю.М., Пеня В.Н. К исследованию движения асимметричного твердого тела при произвольных углах атаки с использованием метода усреднения // Динамика и управление движением. - Киев: Наукова думка, 1978. С. 43.

39. Роман М.Г. Анализ резонансных режимов пространственного движения летательных аппаратов, имеющих плоскость симметрии, при полете в атмосфере // Труды ЦАГИ. 1976. Вып. 1789.

40. Роман М.Г. Неустановившиеся резонансные режимы движения неуправляемого аппарата при полете в атмосфере // Ученые записки ЦАГИ. 1977. Т. 8. № 6.

41. Гребенников Е.А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука, 1979.

42. Гребенников ЕА. Метод усреднения в прикладных задачах. М.: Наука, 1986.

43. Динамика летательных аппаратов в атмосфере. Термины, определения и обозначения. ГОСТ 20058-80, 1980.

44. Дмитриевский A.A., Лысенко Л.Н., Богодистов С.С. Внешняя баллистика. М.: Машиностроение, 1991.

45. Заболотнов Ю.М. Асимптотический анализ квазилинейных уравнений движения в атмосфере КА с малой асимметрией. I // Космич. исслед. 1993. Т. 31. №6. С. 39.

46. Заболотнов Ю.М. Асимптотический анализ квазилинейных уравнений движения в атмосфере КА с малой асимметрией. П // Космич. исслед. 1994. Т. 32. № 6. С. 22.

47. Заболотнов Ю.М. Асимптотический анализ квазилинейных уравнений движения в атмосфере КА с малой асимметрией. Ш // Космич. исслед. 1994. Т. 32. №4-5. С. 112.

48. Козлов М.Д., Тимбай И.А. Оценка влияния импульсных возмущающих моментов на рассеивание точек посадки спускаемых аппаратов // Математическое моделирование систем и явлений. Межвузовский сборник научных трудов. Самара. 1995. С. 53-61.

49. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984.

50. Костров A. B. Движение асимметричных баллистических аппаратов. М.: Машиностроение, 1984.

51. Краснов Н.Ф. Кошевой В. Н. Управление и стабилизация в аэродинамике. М.: Высшая школа, 1978.

52. Крусъель. Исследование поведения возвращающегося в атмосферу космического аппарата в режиме перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный // Ракетная техника и космонавтика. 1969. № 12. С. 168.

53. Кузмак Г.Е. Динамика неуправляемого движения летательных аппаратов при входе в атмосферу. М.: Наука, 1970.

54. Кузнецов A.A. Оптимизация параметров баллистических ракет по эффективности. М.: Машиностроение, 1986.

55. Ларичева В.В., Шипов A.A. Асимптотический метод определения аналога сепаратрис при движении тела около центра масс в атмосфере // Космич. исслед 1969. Т. 7. № 1.

56. Ларичева В.В. О разрывном характере аналога сепаратрис при движении асимметричного тела около центра масс в атмосфере // Ученые записки ЦАГИ. 1972. Т. 3. №3.

57. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М: Наука, 1988.

58. Лебедев A.A., ГерасютаН.Ф. Баллистика ракет. М.: Машиностроение, 1970.

59. Лещенко Д.Д., ШамаевА.С. Возмущенные вращательные движения твердого тела, близкие к регулярной прецессии в случае Лагранжа // Изв. АН. МТТ. 1987. № 6. С. 8.

60. Лифшиц И.М., Слуцкин А.А, Набутовский В.М. Об особенностях движения заряженных квазичастиц в переменном и неоднородном электромагнитном поле // Журн. эксперим. и теорет. физики. 1961. Т. 41. Вып. 3. С. 939.

61. Лохов Г.М., Подзоров С.И. Численное исследование движения твердых в атмосфере // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1987. Т. 27. № 2. С. 272.

62. Мешков В.В., Тимбай И. А. Исследование движения J1A при переходе через резонанс // Труды XVII Научных чтений по космонавтике. - ИИЕТ РАН, 1993. С. 21-22.

63 .Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. - М.: Наука, 1981.

64. Мороз А.П., Пеня В.Н. Колебательно-вращательное движение асимметричного твердого тела в атмосфере планеты // Динамика и управление движением. - Киев: Наукова думка, 1978. С. 33.

65. Мэрфи Н. Нелинейное движение снаряда с малыми конструктивными асимметричностями // Ракетная техника и космонавтика. 1971. № 3. С. 202.

66. Найфе А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976.

67. Найфе А. Введение в методы возмущений. М. : Мир, 1984.

68.НайфеА., СарикВ. Исследование асимметричных вращающихся тел с нелинейными аэродинамическими характеристиками // Ракетная техника и космонавтика. 1972. № 8. С. 38.

69. Нейштадт А.И. Вопросы теории возмущений нелинейных резонансных систем // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-матеметических наук. М.: ВИНИТИ, 1988.

70. Нейштадт А.И. Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису// Физика плазмы. 1986. Т. 12. Вып. 8. С. 992.

71. Остославский И.В., Стражева И.В. Динамика полета. Устойчивость и управляемость летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1965.

72. Пеня В.Н., Мороз А.П., МадатовГ.Д. Нестационарные пространственные колебания асимметричного летательного аппарата при движении в атмосфере // Космические исследования на Украине. 1976. Вып. 8. С. 82.

73. Платус Д. О резонансе по крену аппаратов, входящих в плотные слои атмосферы // Ракетная техника и космонавтика. 1967. № 7. С. 214.

74. Плату с Д. Сходимость угла атаки вращающихся космических аппаратов, возвращающихся в атмосферу, и скорость поворота меридиана, расположенного с наветренной стороны аппарата // Ракетная техника и космонавтика. 1969. № 12. С. 168.

75. Плату с Д. Рассеивание по боковой дальности для вращающихся ракет вследствие остаточной подъемной силы // Ракетная техника и космонавтика. 1977. № 7. С. 17.

76. Плату с Д. Рассеивание по боковой дальности дня космических аппаратов, возвращающихся в атмосферу, вследствие начального углового рассогласования // Ракетная техника и космонавтика. 1980. № 5. С. 205.

77. Сазонов В.В., Сидоренко В.В. Возмущенные движения твердого тела, близкие к регулярным прецессиям Лагранжа // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 6. С. 951.

78. Серое В.М. Вращательное движение динамически симметричного твердого тела под действием нелинейного момента // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. №5. С. 26.

79. Справочник по специальным функциям / Под. ред. М. Абрамовича и И. Стигана. М.: Наука, 1979.

80. Суслов Г.К. Теоретическая механика. М.: Гостехиздат, 1944.

81. ТимбайИ.А. Нелинейные колебания осесимметричного ЛА относительно центра масс // Сб. тр. VI Всерос. научн.-техн. семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов. Ч. 2 - Самар. гос. аэрокосм. ун-т. Самара, 1994.С. 108-111.

82. Тимбай И.А. Использование эффекта резонанса для стабилизации угловой скорости крена космического аппарата при спуске в атмосфере // Математическое моделирование систем и процессов. Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции. Пермь, 1995. С. 47-48.

83. ТимбайИ.А. Аналитическая оценка изменения угла атаки и продольной угловой скорости летательного аппарата при переходе через резонанс // Сб. тр. УП Всерос. научн.-техн. семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов. Ч. 2 - Самар. гос. аэрокосм. ун-т. Самара, 1996. С. 33-36.

84. ТимбайИ.А., ВостряковВ.А., ПалагичеваЕ.С. Исследование переходных режимов движения вокруг центра масс космических аппаратов при входе в атмосферу // Математическое моделирование физико-математических процессов. Тезисы докладов Всероссийской конференции молодых ученых. Пермь, 1996. С. 36-37.

85. Тимбай И.А. Аналитическое исследование углового движения твердого тела при переходе через резонанс // Межвузовский сборник. Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы. - ПГТУ. Пермь, 1997. С. 160-174.

86. Тимбай И.А. Влияние момента от сил вязкости на угловую скорость крена спускаемого аппарата // Сб. тр. VIII Всерос. научн.-техн. семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов. Самар. гос. аэрокосм. ун-т. Самара, 1998. С. 188-191.

87. Шилов А.А. Влияние массовой и аэродинамической несимметрии тела на характер его пространственного движения // ДАН СССР. 1968. Т. 183. № 5. С. 1028.

88. Шилов А.А, Васильев А.Ф. Динамическая устойчивость пространственного движения летательных аппаратов на больших углах атаки при некоторых видах инерционно-аэродинамической асимметрии // Труды ЦАГИ. 1971. Вып. 1345.

89. Шилов А.А, Гоман М.Г. Резонансные режимы пространственного неуправляемого движения аппаратов на участке входа в атмосферу // Труды ЦАГИ. 1975. Вып. 1624.

90. ЭрдейиА.А. Асимптотические разложения. М.: Физматгиз, 1962.

91. Янке Е., Эмде Ф., Лёщ Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977.

92. Ярошевский В.А. Определение квазистатических режимов пространственного движения неуправляемого тела // Ученые записки ЦАГИ. 1970. Т. 1. № 5. С. 44.

93. Ярошевский В.А. Движение неуправляемого тела в атмосфере. М.: Машиностроение, 1978.

94. Allen Н., Eggers A. A study of the motion and aerodynamic heating of ballistic missiles entering the earth's atmosphere // NACA Report. 1958. No. 1381.

95. Aslanov V.S., Timbai I. A. Mathematical models of rotary motion in problems of the re-entry vehicles dynamics // Proceeding of third China-Russia-Ukraine symposium on space science and technology. China, 1994. C. 531-533.

96. Aslanov V.S., Timbai I.A. Definition of transitions regimes of the re-entry vehicle around center-of-mass motion during the Atmospheric entry // Proceeding of fourth Ukraine-Russia-China symposium on space science and technology. Ukraine, 1996. V. 1. C. 382-384.

97. Barbera F., Fuess B. Impact dispersion due to mass and aerodynamic asymmetries // Journ. Spacecraft and Rockets. 1967. V. 4. No. 10.

98. Glover L. Effect on roll rate of mass and aerodynamic asymmetries for ballistic - type bodies // Journ. Spacecraft and Rockets. 1965. No. 2. P. 220.

99. Hodapp A., Clark E. The effects of products of inertia on the roll behavior of ballistic re-entry vehicles // AIAA. Paper. 1970. No. 204.

100. LeduJ., Pollak C. Flight testing results on a hypersonic re-entry nose cone // Journ. Spacecraft and Rockets. 1969. V. 6. No. 9.

101 .Lin Т., Crabowsky W., Yelmgren K., Landa M. Ballistic re-entry vehicle dispersion due to precession stoppage // Journ. Spacecraft and Rockets. 1984. V. 21. No. 4. P. 330.

102. Nicolaides J. On the free flight motion of missiles having slight configurational asymmetries // IAS Preprint. 1953. No. 395.

103. PettusJ. Slender entry vehicle roll dynamics // AIAA. Paper. No. 70-560.

104. Platus D.H. Ballistic re-entry vehicle flight dynamics // Journ. Guidance, Control and Dynamics. 1982. V. 5. No. 1.

105. Platus D.H. Angular motion influence on reentry vehicle ablation of eposion asymmetry formation // AIAA. Paper. 83-2111.

106. Tolosko R. Re-entry dynamics of a trimmed body with constant spin // Journ. Spacecraft and Rockets. 1971. V. 8. No. 11.