Внешняя устойчивость резонансов в динамике движения космических аппаратов с малой асимметрией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.09, доктор технических наук Любимов, Владислав Васильевич

• Любимов, Владислав Васильевич
• доктор технических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор технических наук Любимов, Владислав Васильевич

ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОПИСАНИЕ ПРОБЛЕМЫ.

1.1. Аналитический обзор работ потеории резонансов в динамических системах и по методам их исследования.

1.2. Внешняя устойчивость резонансов в динамических системах.

1.3. Решаемые в работе задачи;.

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ РЕЗОНАНСНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

С МАЛОЙ АСИММЕТРИЕЙ;.50*

2.1 . Исходная нелинейная система уравнений движения.

2.2. Получение квазилинейной?системы уравнений;.592.3. Получение нелинейнотнизкочастотной^системы.уравнений*движения.

2.4- Некоторые вопросы-обоснования применимости; низкочастотных уравнений движения;.

2.5. Резонансы при движении твердого тела с малой асимметрией вокруг неподвижной; точки.75?

2.5U . Резонансы в квазилинейной системе движения твердого тела.

2.5.2. Резонансы,в нелинейной низкочастотной: системе движения твердого тела.

2.6. Основные результаты второй главы.

3. ВЫБОР ВЕЛИЧИНЫ ШАГА ПРИ ЧИСЛЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ УСРЕДНЕННЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

С МАЛОЙй АСИММЕТРИЕЙ;.

3 .1. Оценка величины шага интегрирования усредненной системы в нерезонансном случае.92:

3,2. Оценки величины шага интегрирования усредненной системы в резонансном случае.

3 ;3 . Оценки величины.шага при численном интегрировании квазилинейной системы.

3.4. Выводы по главе;.

4. ВНЕШНЯЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕЗОНАНСОВ В ДИНАМИКЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА С МАЛОЙ АСИММЕТРИЕЙ:.

4.1. Получение и анализ усредненной квазилинейной системы уравнений движения твердого тела; с малой асимметрией;.

4.2. Получение и. анализ; усредненной^ нелинейной низкочастотнойсистемы уравнений движения- твердого тела с малой асимметрией;.

413'; Вычисление вероятности -захвата в резонанс по начальным условиям движения космических аппаратовша сепаратрисе.;.

4.4. Теорема о внешней устойчивости резонанса.

4.5. Анализ условия внешней устойчивостирезотансошш'" устойчивости> стационарныхточек;в квазилинейном случае.

4.6: Анализ условия внешней устойчивости главного резонанса-в нелинейном* случае;.Л

4.7. Выводы по главе;.139'

5. ВНЕШНЯЯ УС ТОЙЧИВОСТЬ РЕЗОНАНСОВ ПРИ ДВИЖЕНИИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ С МАЛОЙ

АСИММЕТРИЕЙ В А ТМОСФЕРЕ.

5:1. Математические модели движения? космических аппаратов в атмосфере.'.140?

5.1.1. Получение приближенных нелинейных уравнений движения космического аппарата в атмосфере.

5.1.2. Квазилинейные уравнения движения космических аппаратов^ атмосфере.

5:2'. Вторичные резонансные эффекты при движении* космических аппаратов в атмосфере.

5.3. Анализ внешней устойчивости рсзонаисов при движении космических аппаратов в атмосфере.

5.4. Вычисление вероятности захвата в резонанс при движении космических аппаратов с малой асимметрией.в атмосфере.

5.4.1. Оценка вероятности захвата в резонанс при спуске в атмосфере космического аппарата^ с массовой и: аэродинамической асимметриями.

5.4.2. Оценка вероятности захвата в резонанс при спуске в атмосфере космического: аппарата с инерционной и;аэродинамической асимметриями5.

5.5: Математическое моделирование резонансных эффектов при движении спускаемых космических: аппаратов;.

5:6. Мётоды учёта'резонансных эффектов при» проектировании возвращаемых космических аппаратов.233"

5.7. Выводы по главе.

6. ВНЕШНЯЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РКЗОНАНСОВ11РИ ДВИЖЕНИИ ЛЕЕКИЖСПУСКАЕМЫХ КАПСУЛ С МАЛОЙ АСИММЕТРИЕЙ^

АТМОСФЕРЕ.245'

6.1. Сравнительный анализ движения в, атмосфере'легких ш классических: спускаемых капсул.

6:2. Влияние резонансных эффектов на вращательное движение легких спускаемых капсул в*атмосфере;.

6.3. Анализ внешней устойчивости резонансовпри;движении легких спускаемых:капсул; в; атмосфере.

6.4. Математическое моделирование резонансных эффектов-при движении легких спускаемых капсул и рекомендации по их проектированию;.

6.5. Выводы по главе;.

7. ВНЕШНЯЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕЗОНАНСОВ ПРИ ДВИЖЕНИИ НО ОРБИТЕ СПУТНИКА С МАГНИТНОЙ СИСТЕМОЙ

СТАБИЛИЗАЦИИ;.

7.1. Математические модели движения спутника с магнитом на борту.

7.1.1. Нелинейная математическая модель движения.

7.1.2. Получение приближенной нелинейной модели движения спутника.

7.1.3. Получение приближенной квазилинейной модели движения спутника.

7.2. Анализ внешней устойчивости резонансов при движении по орбите спутника с магнитом на борту.

7.2.1. Внешняя устойчивость резонансов в нелинейном случае.

7.2.2. Внешняя устойчивость резонансов в квазилинейном случае.

7.3. Рекомендации по изготовлению и эксплуатации космических аппаратов с магнитной системой ориентации.

7.4. Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Внешняя устойчивость резонансов в динамике движения космических аппаратов с малой асимметрией»

Диссертационная работа посвящена разработке математических моделей и методов исследования внешней устойчивости резонансов в динамике вращательного движения космических аппаратов (КА) с малой асимметрией.

В основе проведенных исследований внешней устойчивости резонансов лежат различные современные асимптотические и численные методы исследования динамических систем.

Актуальность работы. В динамике возмущенного движения КА различных типов- и назначения неизбежно возникают резонансные явления, связанные с реализацией целочисленных соотношений между частотами динамических систем. Влияние резонансов на движение КА значительно усиливается, если в рассматриваемых динамических системах наблюдается устойчивые околорезонансные режимы движения, когда резонансные соотношения/ между частотами поддерживаются в течение- достаточно длительного времени в силу действующих возмущений. Это приводит к дестабилизации движения КА и, как следствие, к невыполнению целевых задач-космического полета.

Под внешней устойчивостью резонанса понимается устойчивость данного резонанса вне малой резонансной зоны ширины порядка -Is, где s - малый параметр задачи. Внешняя устойчивость резонанса приводит к притяжению траекторий динамической системы к резонансным зонам и, как правило, к реализации длительных резонансных режимов движения КА. С точки зрения динамики движения КА, близких по форме и по массово-инерционным характеристикам к осесимметричным, это приводит к эволюции угловой скорости вращения вокруг продольной оси КА к ее резонансным значениям с последующей потерей устойчивости движения по углам ориентации А.

Исследованиям устойчивости резонансов при движении КА внутри малых резонансных зон (внутренней устойчивости резонансов) посвящено множество работ отечественных и зарубежных авторов. В тоже время, проблема исследования внешней устойчивости резонансов применительно к динамике движения КА до настоящего времени практически не рассматривалась. Это видимо, связано с тем, что изменение медленных переменных системы, обусловленное внешней устойчивостью резонансов проявляется в высших приближениях метода усреднения. Поэтому аналитическое исследование этого явления представляет собой достаточно сложную задачу. Однако использование современных математических пакетов с их возможностями в плане символьных преобразований позволяет существенно продвинуться в этом направлении.

В строгом виде формулируются условия внешней устойчивости резонанса для рассматриваемых систем. При этом, для- записи условий внешней устойчивости используется обобщенный второй метода Ляпунова, учитывающий применение метода усреднения в рассматриваемой системе. Функция Ляпунова рассматривается в нерезонансном случае и задается в виде квадрата резонансного соотношения частот. Анализ этих условий* позволяет обнаружить некоторые интересные результаты. В системе имеются* разнообразные возмущения, вызванные в практических задачах наличием на изделиях различных асимметрий.

Вторичные резонансные эффекты, связанные с внешней устойчивостью резонансов, проявляются во многих задачах динамики движения КА, таких как спуск в атмосфере неуправляемого космического аппарата с малой асимметрией, возмущенное вращательное движение по орбите спутника с сильным магнитом на борту и других.

Все эти задачи, относящиеся к классу задач пассивной стабилизации движения (аэродинамической, магнитной, гравитационной), естественно включают в себя оценку точности и устойчивости подобных режимов движения КА. Причем анализ известных работ и математических моделей; относящихся к этому направлению исследований, показывает, что любая задача пассивной стабилизации движения КА сводится к исследованию колебаний* в многочастотной системе при действии возмущений и неизбежно приводит к необходимости изучения эволюционных эффектов, обусловленных внутренней и внешней устойчивостью резонансов.

Вторичные резонансные эффекты проявляются в высших приближениях метода усреднения и существенно сказываются на нерезонансных эволюциях медленных переменных (при равенстве нулю предыдущих приближений). Они объясняются присутствием резонансных соотношений частот в знаменателях высших приближений метода усреднения. Влияние этих знаменателей на скорость изменения медленных переменных тем больше, чем ближе система на нерезонансном участке движения к резонансной зоне.

На практике, вторичные резонансные эффекты могут способствовать сильной раскрутке изделия или вызвать эволюцию переменных системы до значений, при которых реализуется длительной резонанс. Такие режимы движения изделия являются недопустимыми, так как они приводят к нарушению заданных ограничений на параметры движения и могут явиться причиной аварийной ситуации. Поэтому разработка методов исследования вторичных резонансных эффектов и выбор на этой основе проектных параметров космических аппаратов, обеспечивающих заданные ограничения* на изменение параметров движения, является актуальной задачей.

Состояние проблемы. Разработка Боголюбовым Н.Н. метода усреднения послужило началом активного развития асимптотических методов в двадцатом столетии. В основном, прогресс в этом направлении математики был достигнут силами отечественных ученых. Среди большого разнообразия асимптотических методов с точки зрения рассматриваемой работы представляют непосредственный интерес труды по усреднению систем с медленными и быстрыми переменными, в которых возможен резонанс. Основополагающие результаты по исследованию резонансов в динамических системах с медленными и быстрыми переменными принадлежат Боголюбову Н.Н., Аносову Д.В., Арнольду В.И., Мозеру Ю., Моисееву Н.Н., Волосову В.М., Козлову В.В., Митропольскому Ю.А., Хапаеву M'.Mi, Нейштадту А.И., Белецкому В.В., Ярошевскому В.А., Найфэ А. др. В этих работах заложены основы теории резонансных динамических систем и показано, что основными методами исследования резонансных явлений в двухчастотных и в многочастных задачах являются методы возмущений, в частности, методы усреднения. Так, например, еще в замечательной работе Арнольда В.И. «Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике» исследуется проблема малых знаменателей, которые неизбежно появляются в асимптотических решениях для динамических систем с несколькими частотами. Появление малых знаменателей, которые, по сути, представляют собой резонансные соотношения между частотами системы, связано не столько с применяемыми математическими методами, а с самой сущностью решаемых задач, в которые эволюционные изменения медленных переменных определяются возникающими резонансами. Проблема внешней устойчивости резонансов в динамике движения КА также связана с влиянием малых знаменателей, которые появляются в высших приближениях метода усреднения при построении усредненных систем дифференциальных уравнений.

Кроме того, для упрощения нелинейных уравнений используется модификация метода интегральных многообразий А.Н. Тихонова. При исследовании вопросов, связанных с устойчивостью резонансов используется обобщение второго метода Ляпунова предложенное в работах М.М. Хапаева.

В рассматриваемой работе исследуются две задачи пассивной стабилизации движения КА: аэродинамическая стабилизация спускаемых КА в плотных слоях атмосферы и магнитная стабилизация спутника в геомагнитном поле на орбите.

Задаче устойчивости движения КА в атмосфере и влиянию резонансов на их движения посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных специалистов. Здесь следует отметить работы американских ученых Платуса Д., Мерфи К., Найфэ А., Бредли Д. и других ученых, которые впервые поставили и изучали проблему резонансного движения КА в атмосфере. Параллельно с исследованиями за рубежом данная проблема активно исследовалась отечественными учеными. Основные результаты по исследованию резонансного движения космических аппаратов в атмосфере содержатся в работах Ярошевского В.А., Шилова А.А. и Гомана М.Г., Бюшгенса Г.С., Студнева Р.В., Асланова B.C., Заболотнова Ю.М., Тимбая И.А. и др. Хотя во многих этих работах исследовались эволюционные изменения медленных переменных, в частности, исследовалось возникновение нерезонансной закрутки КА вокруг своей продольной оси в атмосфере, однако, эти эволюционные изменения не связывались с появлением малых знаменателей в усредненных уравнениях в нерезонансном случае, то есть проблема внешней устойчивости резонансов не рассматривалась.

В" работе было выявлено, что при движении К А с малой асимметрией в атмосфере вторичный резонансный эффект в ряде случае переходит в длительный резонанс. Для реализации* длительного- резонансного эффекта в рассматриваемой» системе недостаточно выполнения только условия внешней устойчивости резонанса, поэтому в работе определяются условия захвата1 фазовых траекторий системы внутрь колебательной резонансной области (сепаратрисы) в вероятностной постановке, и приводится известное условие внутренней устойчивости- резонанса (устойчивость резонанса внутри малых резонансных зон). Фазовые траектории, при которых происходит захват в колебательную область, перемешаны случайным образом с траекториями прохода через сепаратрису. Следовательно, задача о нахождении величины возмущений, приводящих к захвату внутрь колебательной области должна решаться в вероятностной постановке. Для получения этих оценок вероятности в работе используются аналитические выражения для вычисления вероятности захвата фазовых траекторий в колебательную область по начальным условиям движения, описанного в трудах А.И. Нейштадта. Кроме выполнения условия внешней устойчивости и условия захвата в колебательную область для реализации длительного резонанса требуется выполнение условия внутренней устойчивости резонанса, полученное Заболотновым Ю.М. Это условие устойчивости использует производную функции Ляпунова, вычисленную с учетом действующих возмущений при движении внутри колебательной резонансной) области. При этом, в качестве функции Ляпунова используется-полная1 энергия невозмущенного колебательного движения. Совместный анализ трех условий: внешней устойчивости резонанса, попадания в резонансную область и внутренней устойчивости резонанса позволяет установить связь между ними, поскольку за. выполнение этих условий отвечают аналогичные обобщенные параметры. Кроме того, такого рода анализ позволяет определить в конкретных практических задачах область параметров,асимметрии, при которых' резонансные эффекты приводят к нарушению заданных ограничений на величины параметров,движения.

Задача' о движении по орбите спутника, с сильным магнитом на борту, включая* исследования- резонансов, рассматривалась в работах Белецкого В.В.,. Хентова А.А.,. Сарычева В'.А., Сазонова В.В., Садова Ю.А., Сидоренко В;В:, Овчинникова М.Ю., и др. Однако исследования- внешней устойчивости возникающих резонансов в этих работах также не проводилось.

Термин «внешняя устойчивость резонанса» принадлежит Ю.А. Садову. Им была, исследована; общая* двухчастотная почти гамильтонова- система- с двумя быстрыми переменными. Внешнюю устойчивость резонансов^«рассматриваемой* гамильтоновой системе Садов Ю.А. связал с появлением малых* знаменателей в, высших приближениях усредненной системы дифференциальных уравнений. Данное явление притяжения траекторий к резонансным зонам еще на нерезонансных участках движения' системы в силу появления резонансных знаменателей в методе усреднения- он связал также с проявлением вторичных резонансных эффектов, проявляющихся также лишь- в высших приближениях метода усреднения-. Проведенные им исследования имеют большое значение-для-теории внешней устойчивости резонансов, так как в них рассмотрены математические аспекты.возникновения данного явления.

Таким-образом, обзор известных работ, посвященных различным аспектам влияния* резонансов^ на- динамику движения КА, показывает, что вопросы, внешней устойчивости резонансов в рассматриваемых прикладных задачах практически не рассматривались.

В' работе подробно рассматриваются две задачи. Это задача о спуске асимметричного КА в атмосфере и задача об орбитальном движении спутника с сильным магнитом на борту, имеющего асимметричный магнитный момент.

Научная проблема, решению-которой посвящена диссертация, состоит в отсутствии методов исследования внешней устойчивости резонансов в динамике движения- КА, предназначенных для анализа и синтеза их параметров, и исключающих нарушение ограничений- на контролируемые характеристики полета КА.

Цель, работы. Целью работы является- разработка методов и математических моделей исследования- внешней устойчивости резонансов1 в, динамических системах, описывающих вращательное движение космических аппаратов, анализ закономерностей возникающих резонансных эффектов* и выбор на этой основе параметров, КА, приводящих к выполнению заданных ограничений на параметры их-движения-на-различных участках космического-полета.

Таким образом, цель диссертационной работы состоит в решении? актуальной- и крупной научной проблемы, имеющей важное теоретическое И' практическое значение.

Для достижения этой цели в диссертации решены следующие задачи:

1. Разработаны методы исследования внешней устойчивости резонансов.в динамике движения КА с малой асимметрией, основанные на применении метода усреднения и метода интегральных многообразий.

2; Построены математические модели для анализа внешней устойчивости-резонансов в динамике движения КА в рассматриваемых прикладных задачах: квазилинейные математические модели для малых углов нутации (углов атаки), нелинейные модели движения по исследуемым интегральным многообразиям.

3. Разработан метод построения резонансных кривых (кривых, определяющих положение резонансных зон) в нелинейном случае, базирующийся на применении метода интегральных многообразий.

4. Получены усредненные математические модели с учетом высших приближений для аналитического исследования внешней устойчивости резонансов в рассматриваемых динамических системах.

5. Произведен сравнительный анализ рассматриваемых резонансных эффектов с точки зрения их влияния на эволюцию медленных переменных, определяющую вращательное движение КА, и получены условия их реализации.

6. Сформулирована и доказана теорема о внешней устойчивости резонанса в системе с медленными и быстрыми переменными.

7. Определены области внешней устойчивости резонансов в рассматриваемых динамических системах при различных сочетаниях асимметрий КА.

8.Исследована внешняя устойчивость резонансов при движении в атмосфере легких спускаемых капсул.

9.Произведено сравнение условий внешней и внутренней устойчивости резонансов с условием попадания в резонансную область в задаче динамики движения спускаемых КА в атмосфере.

10. Разработаны методики учета внешней устойчивости резонансов при проектировании космических аппаратов, осуществляющих неуправляемый спуск в атмосфере и КА - спутников с магнитной системой ориентации.

11. С целью повышения' достоверности* результатов1 численного интегрирования и построенных асимптотических решений произведен выбор параметров метода интегрирования, учитывающий неизбежно возникающие погрешности численного интегрирования и методов асимптотического анализа.

Объект исследования. Объектом исследования являются резонансы, возникающие в возмущенном движении КА, условия их внешней устойчивости, и методики проектирования КА с учетом влияния рассматриваемых резонансных эффектов.

Предмет исследования. Предметом исследования является динамика возмущенного вращательного движения КА при реализации аэродинамической и магнитной систем пассивной стабилизации на различных участках его космического полета.

Текст диссертации состоит из семи глав.

Первая глава диссертации посвящается описанию проблемы исследования внешней устойчивости резонансов в динамических системах."Приводится обзор известных работ по теории резонансов в динамических системах, их устойчивости и математическим методам исследования. Обсуждаются известные и новые результаты по исследованию резонансов в задачах динамики движения КА. На рис. 1.1 представлены известные результаты и новые результаты, полученные в данной работе.

Что было:

Что сделано:

Квазистатическое решение для угловой скорости сох движения КА в атмосфере при малых углах атаки

Низкочастотное решение для угловой скорости сох движения КА в атмосфере при малых углах атаки

Решение метода с учетом высших приближений метода усреднения для угловой скорости сох движения спутника с сильным магнитом при произвольных углах ну тации (случай, близкий к случаю Эйлера-Пуансо)

Условия внешней устойчивости резонансов! при движении КА в атмосфере и спутника с сильным магнитом на борту

Решения метода усреднения с учетом высших приближений для угловой скорости сох в нелинейном случае движения КА в атмосфере и спутника с сильным магнитом на борту при произвольных углах атаки

Решения метода усреднения с учетом высших приближений для угловой скорости сох в квазилинейном случае движения КА в атмосфере и спутника с сильным магнитом на борту

Решения метода усреднения с учетом двух приближений для угловой скорости сох в линейном случае движения КА в атмосфере при малых углах атаки

Рис. 1.1 — Сравнение новых и известных результатов

Рассматривается понятия внешней и внутренней устойчивости резонансов для систем стандартного вида с двумя: быстрыми фазами. С математической точки зрения, внешнюю устойчивость резонанса определяют усредненные в нерезонансном случае уравнения, в которых появляются- малые знаменатели: в высших приближениях метода усреднения.

Перечисляются основные направления исследований, связанные с резонансами, возникающими в общих динамических системах и прикладных: задачах:

- определение резонансов^ возможных в системах;

- оценка возмущений переменныхпришрохождении системы через резонансы;.

- получение и анализ условий внутренней устойчивости резонансов;

- получение и анализ.условий внешней устойчивости^резонансов;

- оценка вероятности захвата в резонанс, то есть, вероятности! реализации; длительных резонансных режимов движения. .

Показывается* что традиционно'рассматривались первые три направления* исследований: Данная? работа посвящена в основном? исследованию: четвертого направления применительно к задачам динамики возмущенного движения: КА. Кроме- того, в работе выявляется: связь между условием внешней устойчивости резонансов^ условием захвата в резонансную область в вероятностной постановке и условием внутренней? устойчивости резонанса. В: заключение первой главы содержаться-? задачи, на которые разбивается- исследование поставленной в работе проблемы. Принципиальная-, схема решаемых в. диссертации задач изображена на рис.1.2.

Во второй главе рассматриваются приближенные математические модели, являющиеся- исходными:; для; исследований внешней устойчивости резонансов в данной работе; (квазилинейная? и нелинейная): Чтобы сначала; отвлечься от особенностей конкретных прикладных задач динамики полета КА, связанных с неинерциальностью применяемых систем; координат и со спецификой; задания; сил и: моментов, рассматривается; модельная задача; о возмущенном- движении; твердого тела (ТТ) вокруг неподвижной точки. в случае близком к случаю

Лагранжа. Определяются резонансы, возникающие в рассматриваемой модельной задаче в квазилинейной и нелинейной моделях движения.

Рисунок 1.2 - Схема решаемых задач

В третьей главе обосновывается методика выбора параметров метода интегрирования, обеспечивающих необходимую точность численного расчетов при исследовании внешней устойчивости резонансов. В качестве основного метода интегрирования используется классический метод интегрирования Рунге-Кутты с постоянным и переменным шагами.

При численном исследовании нерезонансных и резонансных движений механических систем с высокими частотами, для обеспечения необходимой точности вычислений в некоторых случаях возникает необходимость использования специальных методов интегрирования или методов высокого порядка точности. Одним из способов получения достоверных результатов, оставаясь в рамках классических методов, является применение метода усреднения. Метод усреднения позволяет изучить эволюцию медленных переменных с учетом высших приближений. Однако при численном интегрировании усредненной системы необходимо определять параметры метода интегрирования так, чтобы обеспечить согласованность погрешности, интегрирования с погрешностью высших приближений метода усреднения. При этом погрешность численного интегрирования должна быть меньше погрешности высших приближений метода усреднения, как в резонансном, так и в нерезонансном случаях. Полученные в данной главе оценки для- параметров численного интегрирования усредненной системы, позволяют повысить достоверность численных расчетов при исследовании внешней устойчивости-резонансов.

Вг четвертой главе проводится подробное- исследование внешней устойчивости резонансов и влияния связанных с ней. эффектов» на* эволюцию* медленных переменных в возмущенном движении. ТТ вокруг неподвижной, точки. Для анализа, рассматриваемых резонансных эффектов на нерезонансных участках движения? определяются асимптотические решения метода' усреднения* до второго порядка включительно. G помощью полученных усредненных уравнений определяются условия возникновения- и основные факторы, влияющие на эволюцию угловой скорости со-. р

Формулируется и доказывается теорема о внешней устойчивости отдельного резонанса для систем уравнений, описывающих возмущенное движение ТТ вокруг неподвижной точки.

В пятой- главе- исследуется внешняя устойчивость резонансов в задаче спуска космического аппарата с малой асимметрией в-атмосфере: В этой главе рассматриваются следующие вопросы:.

- вывод приближенных уравнений движения асимметричных КА в атмосфере при малых углах атаки (квазилинейные уравнения) и при произвольных углах атаки (нелинейные низкочастотные уравнения);

- построение резонансных кривых, определяющих положение резонансов в нелинейном случае при движении КА в атмосфере;

- получение усредненных уравнений движения КА на нерезонансных участках движения при малых и произвольных углах атаки и анализ эволюционных резонансных эффектов по полученным уравнениям;

- анализ влияния различных асимметрий КА на условия внешней устойчивости резонансов в рассматриваемой задаче;

- исследование внешней устойчивости резонансов при движении в атмосфере легких спускаемых капсул с малой асимметрией;

- сравнение условий внешней и внутренней устойчивости резонансов с условием попадания в резонанс в вероятностной постановке;

- разработка методики учета эволюционных резонансных эффектов при проектировании спускаемых КА с малой асимметрией.

Учитывается действие следующих возмущений: массово-инерционная асимметрия КА, аэродинамическая асимметрия, влияние демпфирования и медленного изменения параметров движения центра масс.

В шестой главе производится сравнительный анализ движения в атмосфере легких спускаемых капсул (JICK) (с баллистическим коэффициентом порядка cxvS/т =0,003.0,03м2 /кг) и классических немалых спускаемых капсул (СК) (с меньшими баллистическими коэффициентамиc^S/m<0,003) с точки зрения влияния на их движение рассматриваемых резонансных эффектов. В результате анализа усредненных уравнений для угловой скорости сох были выявлены отличия в эволюционных резонансных эффектах при движении JICK и СК в атмосфере.

В седьмой главе исследуется внешняя устойчивость резонансов в задаче движения на орбите спутника с магнитной системой ориентации и рассматривается влияние резонансных эффектов на точность ее работы. Магнитная стабилизация движения спутника обусловлена действием восстанавливающего магнитного момента, возникающего в геомагнитном поле. В седьмой главе рассматриваются следующие вопросы:

- вывод приближенных уравнений движения асимметричных спутника с магнитом при малых углах нутации (квазилинейные уравнения) и при произвольных углах нутации (нелинейные низкочастотные уравнения);

- построение резонансных кривых, определяющих положение резонансов в нелинейном случае при движении спутника по орбите;

- получение усредненных уравнений движения спутника с магнитом на нерезонансных участках движения при малых и произвольных углах нутации и анализ эволюционных резонансных эффектов по полученным уравнениям;

- анализ влияния различных асимметрий спутника на условия, внешней устойчивости резонансов в рассматриваемой задаче;

- разработка способа,уменьшения-и стабилизации продольной угловой скорости спутника, которые можно использовать, при проектировании и эксплуатации спутников с магнитной системой ориентацией.

Достоверность полученных результатов подтверждается- тем, что. разработанные методы, теоремы и построенные математические модели основаны или являются развитием известных математических положений и методов, таких как теория устойчивости А.А.Ляпунова, метод усреднения, теория возмущений динамических систем, методы численного анализа. Результаты работы не противоречат известным опубликованным результатам в этом направлении.

Практическое значение работы состоит в том, что основные результаты, описывающие влияние внешней устойчивости резонансов и резонансных эффектов на движение космических аппаратов, доведены^ до простых аналитических выражений и оценок; которые удобны «для инженерных расчетов при проектировании КА. Выявленные в работе закономерности по влиянию сложной асимметрии на устойчивость резонансов позволяют повысить качество-проектирования КА, так как ведут к исключению нерасчетных режимов его движения. Разработанные методы и методики реализованы в виде программных продуктов, удобных для практического использования'.

Публикации и апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в 40 печатных работах, в том числе одна монография и одиннадцать статей в журналах из списка ВАК для докторских диссертаций. Результаты работы докладывались на 15 всероссийских, международных и отраслевых конференциях, в числе которых, научные чтения по космонавтике (1997-1998г., 2002г.), научные чтения, посвященных разработке творческого наследия К.Э. Циолковского (1996г.), российско-европейская летняя космическая школа (2003-2004г.), российско-европейский семинар по аэрокосмическим наукам (2005г.), научно-технический семинар по управлению движением и навигацией летательных аппаратов (1997г., 1999г., 2002г., 2005г.), и другие конференции. Материалы диссертации докладывались на научном семинаре физико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова под руководством профессора В.В. Белецкого.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Методы исследования внешней устойчивости резонансов в задачах аэродинамической и магнитной стабилизации движения КА.

2. Метод построения резонансных кривых в нелинейном случае, базирующийся на применении теории интегральных многообразий.

3. Квазилинейные и нелинейные математические модели, усредненные в нерезонансном случае и предназначенные для получения условий внешней устойчивости резонансов при движении КА.

4. Теорема о внешней устойчивости резонанса в динамической системе с медленными и быстрыми переменными.

5. Общие закономерности, условия и области внешней устойчивости резонансов в рассмотренных прикладных задачах движения КА.

6. Результаты сравнительного анализа условий внешней и внутренней • устойчивости главного резонанса при движении КА в атмосфере и определение обобщенных параметров асимметрии, влияющих на оба вида устойчивости.

7. Результаты анализа условий внешней устойчивости резонансов для спускаемых капсул с большими баллистическими коэффициентами.

8. Методика определения областей допустимых значений параметров асимметрий КА, учитывающая разработанные методы исследования внешней устойчивости резонансов.

1. ОПИСАНИЕ ПРОБЛЕМЫ

Заключение диссертации по теме «Динамика, баллистика, дистанционное управление движением летательных аппаратов», Любимов, Владислав Васильевич

Основные результаты работы:

1. Разработан метод, обеспечивающий устойчивость вращательного движения КА с малой асимметрией с учетом явлений внешней устойчивости резонансов, базирующийся на использовании метода исследования внешней устойчивости резонансов в задачах о пассивной аэродинамической и магнитной стабилизации КА, также полученном в работе.

2. Разработан метод построения резонансных кривых, основанный на применении метода интегральных многообразий и позволяющий анализировать условия возникновения резонансов в рассматриваемых нелинейных системах. Данный метод может быть использован для построения резонансных кривых в задачах с произвольными моментными характеристиками КА.

3. Получены усредненные в нерезонансном случае математические модели для аналитического исследования внешней устойчивости резонансов в рассматриваемых динамических системах. Показано, что из рассмотренных видов резонансов на внешнюю устойчивость резонансов наиболее существенное влияние оказывает главный резонанс.

4. Сформулирована и доказана теорема о внешней устойчивости резонанса в системе с медленными и быстрыми переменными, в которой определены условия внешней устойчивости резонанса в общем виде. Определены и построены области внешней устойчивости резонансов в рассматриваемых динамических системах при различных сочетаниях асимметрий КА.

5. Проанализировано влияние различных сочетаний асимметрий КА на условия внешней устойчивости резонансов в рассматриваемых динамических системах. Показано, что внешняя устойчивость резонансов зависит от ряда найденных обобщенных параметров асимметрии. Показано, что влияние динамической асимметрии приводит к реализации внешне полуустойчивых резонансов.

6. Проведено сравнение условий внешней и внутренней устойчивости резонансов с условием попадания в резонансную область (вероятностная постановка задачи) в задаче динамики движения спускаемых КА в атмосфере. Показано, что для ортогональной асимметрии КА может наблюдаться одновременное выполнение этих трех условий.

7. Разработаны методики учета эволюционных резонансных эффектов при проектировании спускаемых КА и спутников с магнитной системой ориентации, совершающих движение по орбите. В результате для спускаемых в атмосфере КА разработана методика построения области допустимых значений параметров асимметрии. Для спутников с магнитной системой ориентации получены способы уменьшения и стабилизации угловой скорости сох.

8. Исследована внешняя устойчивость резонансов при движении в атмосфере легких спускаемых капсул. Проведено математическое моделирование резонансных эффектов при движении в атмосфере JICK проекта YES-2. Определена область допустимых параметров асимметрии данной сферической капсулы.

9. С целью повышения достоверности результатов численного интегрирования и построенных асимптотических решений произведен выбор параметров метода интегрирования, учитывающий неизбежно возникающие погрешности численного интегрирования и методов асимптотического анализа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Поставлена и решена крупная научно-техническая проблема внешней устойчивости резонансов в динамических системах, описывающих вращательное движение космических аппаратов при действии разнообразных возмущающих факторов. Проведен анализ закономерностей возникающих при этом резонансных эффектов и осуществлен выбор на данной основе параметров КА, обеспечивающих выполнение заданных ограничений на условия вращательного движения на различных участках космического полета.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Любимов, Владислав Васильевич, 2009 год

1. Акуленко, Л.Д. Применение методов усреднения и последовательных приближений для исследования нелинейных колебаний Текст. / Л.Д. Акуленко // Прикладная математика и механика. 1981. - Т.45, Вып. 5. -С. 771-777.

2. Акуленко, Л.Д. Возмущенные движения твердого тела, близкие к случаю Лагранжа Текст. / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, Ф.Л. Черноусько // Прикладная математика и механика. 1979. - Т. 43, Вып. 5. - С. 771778.

3. Акуленко, Л.Д. Быстрое движение вокруг неподвижной точки тяжелого твердого тела в сопротивляющейся среде Текст. / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, Ф.Л. Черноусько // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1982.-№.3. - С. 5-13.

4. Акуленко, Л.Д. Возмущенные движения твердого тела, близкие к регулярной прецессии Текст. / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, Ф.Л. Черноусько // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1986. - №. 5.-С. 3-10.

5. Алексеев, КБ. Маневрирование космических аппаратов Текст. / К.Б Алексеев, Г.Г. Бебенин., В.А. Ярошевский. М.: Машиностроение, 1970.416 с.

6. Аносов, ДВ. Осреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений с быстроколеблющимися решениями Текст. / Д.В. Аносов // Известия АН СССР. Серия математическая. 1960. - Т.24, Вып. 5. - С. 721-742.

7. Аржаников, Н.С. Аэродинамика летательных аппаратов Текст. / Н.С. Аржаников, Г.С. Садекова. М.: Высшая школа, 1983. - 359 с.

8. Арнольд, В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике Текст. / В.И. Арнольд // Успехи математических наук. 1963. - T.XVIII, Вып. 6. - С. 91-192.

9. Арнольд, В.И. Условия применимости и оценка погрешности метода усреднения для систем, которые в процессе эволюции проходят через резонансы Текст. / В.И. Арнольд // Доклады АН СССР. 1965. - Т. 161, № 1. - С.9-12.

10. Ю.Арнольд, В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений Текст. / В.И. Арнольд.- М.: Наука, 1979. -304 с.

11. Арнольд, В.И. Математические методы классической механики Текст. /

12. B.И. Арнольд. М.: Наука, 1979. - 432 с.

13. Арнольд, В.И. Теория катастроф Текст. / В.И. Арнольд.- М: Наука, 1990. -128 с.

14. Асланов, B.C. Два вида нелинейного резонансного движения асимметричного КА в атмосфере Текст. / B.C. Асланов // Космические исследования. 1988. - Т.24, Вып.2.- С. 220-226.

15. Асланов, B.C. Нелинейные резонансы при неуправляемом спуске в атмосфере асимметричных КА Текст. / B.C. Асланов // Космические исследования. 1992.- Т.30, Вып. 5.-С.608-614.

16. C.В. Мясников // Космические исследования. 1996. - Т.34, Вып.6. - С. 626-632.

17. Асланов, B.C. Переходные режимы углового движения КА на верхнем участке траектории спуска Текст. / B.C. Асланов, И.А. Тимбай // Космические исследования. 1997. - Т.35, Вып.З. - С.279-286.

18. Асланов, B.C. Канонические переменные действие-угол при движении твердого тела под действием бигармонического момента Текст. /B.C. Асланов, И.А. Тимбай // Известия РАН. Механика твердого тела. 2003. № 1.- С. 17-30. - ISSN 0572-3299.

19. Асланов, B.C. Пространственное движение тела при спуске в атмосфере Текст. / B.C. Асланов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.-160 с.

20. Асланов, B.C. Движение вращающегося тела в сопротивляющейся среде Текст. / B.C. Асланов // Известия РАН. Механика твердого тела. 2005. № 2.- С.27-39,- ISSN 0572-3299.

21. Асланов, B.C. Выбор формы космического аппарата, предназначенного для спуска в разреженной атмосфере Текст. /B.C. Асланов, А.С. Ледков // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета. — 2008. №1. - С. 9-15.

22. Аэродинамика ракет. Текст. / Под. ред. Н.Ф. Краснова М.: Высшая школа, 1968 - 772 с.

23. Бабаков, И.М. Теория колебаний Текст. / И.М. Бабаков.- М: Наука, 1968.-560 с.

24. Баркин, Ю.В. Периодические и условно-периодические решения в задаче о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки Текст. / Ю.В. Баркин // Прикладная математика и механика. 1981. - Т. 45, Вып. 3. - С. 535-544.

25. Белецкий, В.В. Магнитно-гравитационная стабилизация спутника Текст. / В.В. Белецкий, А.А. Хентов // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1973. - № 4. - С. 543-554.

26. Белецкий, В.В. Вращательное движение намагниченного спутника Текст. / В.В. Белецкий, А.А. Хентов. М.: Наука, 1985. -288 с.

27. Белег}кий, В.В. Резонансные вращения спутника при взаимодействии магнитного и гравитационного полей Текст. / В.В. Белецкий, А.Н. Шляхтин // Космические исследования. -1984. -Т.22, Вып. 4. С. 499-508.

28. Белоконов, В.М. Ускоренный расчет траекторий снижения в атмосфере неуправляемых КА с учетом их движения относительно центра масс Текст. / В.М. Белоконов, И.В. Белоконов, Ю.М. Заболотнов // Космические исследования. -1983. Т.21, Вып. 4. - С.512-521.

29. Белоконов, В.М. Расчет траектории неуправляемого движения осесимметричного тела с учетом движения центра масс Текст. / В.М. Белоконов, Ю.М. Заболотнов / Труды VI чтений Ф.А. Цандера. М.: АН СССР, 1980.-С. 68-74.

30. Белоконов, В.М. Оценка вероятности захвата в резонансный режим движения космического аппарата при спуске в атмосферу Текст. / В.М. Белоконов, М.Ю. Заболотнов // Космические исследования. 2002. -Т.40, Вып.5. - С. 1-12.- ISSN 0023-4206.

31. Бентсик, Э. Об одном виде регулярной прецессии твердого несимметричного тела в поле ньютоновского притяжения Текст. / Э.

32. Бентсик / Механика. Период, сб. перев. иностр. статей. М.: 1970. - № 2. -С. 3-8.

33. Бобылев, А.В. Оценка условий захвата в режим резонансного вращения неуправляемого тела при спуске в атмосферу Текст. / А.В. Бобылев, В.А. Ярошевский // Космические исследования. 1999. - Т.37, Вып.5. - С. 512-524.

34. Боголюбов,Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний Текст. / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. М.: Наука, 1974. - 504 с.

35. Боевкин, В.И. Ориентация искусственных спутников в гравитационных и магнитных полях Текст. / В.И. Боевкин, Ю.Г. Гуревич, Ю.Н. Павлов, Г.Н. Толстоусов. М.: Главная редакция физико-математической литературы. Наука, 1976. - 304с.

36. Бутенин, Н.В. Курс теоретической механики. Том И. Динамика Текст. / Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин. -М.: Наука, 1985. 496 с.

37. Бюшгенс, Г. С. Динамика пространственного движения самолета Текст. /Г.С. Бюшгенс, Р.В. Студнев. М.: Машиностроение, 1967. - 226 с.

38. Васильева, А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений Текст. / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. М.: Наука, 1973. - 420 с.

39. Вилъке, В.Г. Эволюция движения симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями на круговой орбите Текст. / В.Г. Вильке, А.В. Шатина // Космические исследования. 1994. - Т. 32, Вып. 4-5. - С. 51-61.

40. Вилъке, В.Г. Эволюция вращения симметричного спутника со сферической полостью, заполненной вязкой жидкостью Текст. / В.Г. Вильке, А.В. Шатина // Космические исследования. 1993. - Т. 31, Вып. 6. - С. 22-30.

41. АЪ.Волосов, В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем Текст. / В.М. Волосов, Б.И. Моргунов. М.: МГУ, 1971.-507 с.

42. Галлиулин, И. А. Регулярные прецессии твердого тела с одной закрепленной точкой Текст. / И.А. Галлиулин // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1987. - №. 5. - С. 6-18.

43. Гоман, М.Г. Анализ резонансных режимов пространственного движения летательных аппаратов, имеющих плоскость симметрии, при полете в атмосфере Текст./ М.Г. Гоман / Труды ЦАГИ. М.: 1976. - Вып. 1789. -41с.

44. Гоман, М.Г. Неустановившиеся резонансные режимы движения неуправляемого аппарата при полете в атмосфере Текст./ М.Г. Гоман // Ученые записки ЦАГИ. 1977. - Т.8, Вып.6. - С.54-59.

45. Граммель, Р. Гироскоп, его теория и применения. Текст./ Р. Граммель // М.: Изд-во иностр. лит, 1952. -Т.1.-352 с.

46. Гребенников, Е.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем Текст. / Е.А.Гребенников, Ю.А. Рябов.- М.: Наука, 1979. 432 с.

47. Губин, Ю.П. Точечный резонанс в системе двух осцилляторов Текст. / Ю.П. Губин, С.А. Ломов, В.Ф. Сафонов // Прикладная математика и механика. 1982. - Т. 46, Вып. 3. - С. 389-397.

48. Дёмин, В.Г. О периодических движениях твердого тела в центральном ньютоновском поле Текст. / В.Г. Дёмин, Ф.И. Киселёв // Прикладная математика и механика. 1974. - Т. 38, -С. 224.

49. Диментберг, М.Ф. Комбинационные резонансы в системах с периодическим параметрическим и случайным внешним возбуждением Текст. / М.Ф. Диментберг, Н.Е. Исиков // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1983. - №. 1. -С. 24-29.

50. Динамика летательных аппаратов в атмосфере. Термины, определения и обозначения Текст./ М.: ГОСТ 20058 - 80, 1981. - 115 с.

51. Журавлев, В.Ф. Прикладные методы в теории колебаний Текст./ В.Ф.Журавлев, Д.М. Климов.- М.: Наука, 1988.-328 с.

52. Заболотнов, М.Ю. Исследование колебаний вблизи резонанса при спуске КА в атмосферу Текст. / М.Ю. Заболотнов // Космические исследования. 2003. - Т.41, Вып.2. - С.186-192. - ISSN 0023-4206.

53. Заболотнов, Ю.М. Асимптотический анализ квазилинейных уравнений движения в атмосфере КА с малой асимметрией III Текст. / Ю.М. Заболотнов // Космические исследования. 1994. - Т.32, Вып.4-5. - СЛ12-25.

54. Заболотнов, Ю.М. Асимптотический метод для квазилинейных колебательных систем с непериодическим порождающим решением Текст. / Ю.М. Заболотнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1990. -Т.30, Вып.З. - С. 405-419.

55. Заболотнов, Ю.М. Метод исследования резонансного движения одной нелинейной колебательной системы Текст. / Ю.М. Заболотнов // Известия РАН. Механика твердого тела. -1999. Вып. 1. - С. 33-45.

56. Заболотнов, Ю.М. Анализ устойчивости резонансных режимов движения в атмосфере асимметричных летательных аппаратов Текст. / Ю.М. Заболотнов / Тезисы докладов 27 Научных чтений по космонавтике. М.: ИИЕТРАН, 1993.- С. 17-18.

57. Заболотнов, Ю.М. Исследование раскрутки космического аппарата вокруг продольной оси при спуске в атмосфере Текст. / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов / Тезисы докл. XXXI Научных чтений, К.Э. Циолковского.- Калуга.- 1996. -С.57.

58. Заболотнов, Ю.М. Исследование влияния возмущающих моментов на нерезонансное раскручивание КА в атмосфере Текст. / Ю.М.

59. Заболотнов, В.В. Любимов / Тезисы докл. XXI Научных чтений по космонавтике. -М.: ИИЕТ РАН, 1997. С. 105.

60. Заболотнов, Ю.М. Вторичный резонансный эффект при движении КА в атмосфере Текст. / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов // Космические исследования. 1998,- Т. 36, № 2.- С.206-214.

61. Заболотнов, Ю.М. Вторичные резонансные эффекты при вращении твердого тела вокруг неподвижной точки Текст. / Ю.М. Заболотнов,

62. B.В. Любимов // Известия РАН. Механика твердого тела. 2002. - № 1.1. C.49-59.- ISSN 0572-3299.

63. Заболотнов, Ю.М. Нелинейные резонансные эволюционные эффекты при движении твердого тела вокруг неподвижной точки Текст. / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов // Прикладная математика и механика. 2002. - Т.66, Вып. 3. - С. 410-417.- ISSN 0032-8235.

64. Заболотнов, Ю.М. Применение метода интегральных многообразий для построения резонансных кривых в задаче входа КА в атмосферу Текст. / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов // Космические исследования. — 2003.Т. 41, № 5.- С.481-487. ISSN 0023-4206.

65. Заболотнов Ю.М. Резонансные эффекты при вращательном движении космического аппарата с малой инерционной несимметрией в атмосфере Текст. /Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов, А.В. Иванов / Сб. трудов XI

66. Карапетян, А.В. Об устойчивости стационарных движений тяжелого твердого тела на абсолютно гладкой горизонтальной поверхности Текст. / А.В. Карапетян // Прикладная математика и механика.- 1981.-Т.45, Вып. 3. С. 34-39.

67. Карапетян, А.В. О перманентных вращениях тяжелого твердого тела на абсолютно шероховатой горизонтальной поверхности Текст. / А.В. Карапетян // Прикладная математика и механика 1981. -Т. 45, Вып. 5. -С.39-45.

68. Карапетян, А.В. О влиянии диссипативного и постоянного моментов на вид и устойчивость стационарных движений волчка Лагранжа Текст. / А.В. Карапетян, И.С. Лагутина // Известия РАН. Механика твердого тела.- 1998. -Вып. 5.-С. 29-33.

69. Коклей, ТЖ. Динамическая стабильность симметрично вращающихся ракет Текст. / Т.Ж. Коклей // Ракетная техника и космонавтика. 1968.- Т.6. № 11.

70. Козлов, В.В. Новые периодические решения в задаче о движении тяжелого твёрдого тела вокруг неподвижной точки Текст. / В.В. Козлов // Прикладная математика и механика. -1975. Т. 39, Вып. 3. - С. 407-410.

71. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров Текст. / Г. Корн, Т. Корн. М: Наука, 1978. - 832 с.

72. Костров, А.В. Движение асимметричных баллистических аппаратов Текст./ А.В. Костров. -М: Машиностроение, 1984.- 272 с.

73. Котляков, В.Н. К проблеме допустимости применения прецессионных уравнений гироскопических компасов Текст. / В.Н. Кошляков, В.А.

74. Соболев // Известия РАН. Механика твердого тела. 1998. - Вып. 4. - С. 17-22.

75. Кузмак, Г.Е. Динамика неуправляемого движения летательных аппаратов при входе в атмосферу Текст./ Г.Е. Кузмак.- М.: Наука, -1970. 348 с.

76. Ландау, Л Д. Механика Текст. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц.- М.: Наука, -1988.

77. Лебедев, А.А. Баллистика ракет Текст./ А.А. Лебедев, Н.Ф. Герасюта -М: Машиностроение, 1970.- 244 с.

78. Лифшиц, КМ. О явлении рассеяния заряженных квазичастиц на особых точках в р пространстве Текст. / И.М. Лифшиц, А.А. Слуцкин, В.М. Набутовский// Доклады АН СССР. -1961. -Т.137, № 3, - С. 553-556.

79. Любимов, В.В. Резонансные эффекты при вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в случаях, близких к случаю Лагранжа Текст. / В.В. Любимов // Вестник Самарского государственного технического ун-та. Серия технические науки,- 2000.- № 10. С.40-44.

80. Любимов, В.В. Внешняя устойчивость резонанса в нелинейной системе с медленно изменяющихся переменными Текст. / В.В. Любимов // Известия Рос. акад. наук. Механика твердого тела. 2002. - № 6. - С.52-58.-ISSN 0572-3299.

81. Любимов, В.В. Внешняя устойчивость резонансов при движении ИСЗ с сильным магнитом Текст. /В.В. Любимов / Тезисы докл. XXVI Академических чтений по космонавтике. -М.: ИИЕТ РАН, 2002. С. 105.

82. Любимов, В.В. Приближенная оценка устойчивости капсулы при спуске в атмосфере Текст. / В.В. Любимов // Вестник Самарского государственного технического ун-та. Серия физико-математические науки. 2005.- № 38. - СЛ71-172.- ISSN 1991-8615.

83. Любимов, В.В. Вторичные резонансные эффекты и устойчивость при движении твердого тела в атмосфере. Монография Текст. / В.В. Любимов. Самара: Изд-во Самарского научного центра РАН, 2005.166 с. - ISBN 5-93424-220-2.

84. Любимов, В.В. Влияние момента Магнуса на резонансное движение асимметричной возвращаемой капсулы в атмосфере Текст. /В.В. Любимов, А.В. Усалко/ Тезисы докладов V международной конференции. «Авиация и космонавтика-2006». -М.: 2006.- 62 с.

85. Любимов, В.В. Эволюция во вращательном движении динамически асимметричных космических аппаратов в атмосфере Текст. / В.В. Любимов // Известия Самарского научного центра РАН, 2006, - Т. 8, №3. - С. 849-856.

86. Любимов, В.В. Резонансный эффект при возмущенном вращательном движении спутника с сильным магнитом на борту Текст. /В.В. Любимов/ Сб. трудов XIII Всероссийского научно-технического семинара

87. Управление движением и навигация летательных аппаратов». Часть 1. — Самара.- 2007. С. 180-184.

88. Любимов, В.В. Об особенностях в возмущенном вращательном движении спутника с сильным магнитом на борту Текст. /В.В. Любимов // Известия вузов. Авиационная техника. 2009. - № 2. - С.29-31. - ISSN 0579-2975.

89. Любимов, В.В. Определение области допустимых значений параметров асимметрии при проектировании ЛСК «Фотино» Текст. /В.В. Любимов // Полет. 2009. - № 6. - С.36-40. - ISSN 1684-1301.

90. Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения. Текст. / A.M. Ляпунов/ Докторская диссертация и статьи. -Ленинград-Москва: ОНТИ, 1935.-386 с.

91. Ляховска, Г.В. О вращательном движении ИСЗ в магнитном поле Земли Текст. / Г.В. Ляховска, А.А. Тихонов // Космические исследования. 1994. Т32, № 4-5. - С.62-67.

92. Магнус, К. Об устойчивости движения тяжёлого симметричного гироскопа в кардановом подвесе Текст. / К. Магнус // Прикладная математика и механика. 1958. - Т. 22, Вып. 1.

93. Маринбах, М.А. О ляпуновскмих периодических движениях тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой в обобщенном случае Текст. / М.А. Маринбах // Прикладная математика и механика. 1981. - Т. 45, Вып. 5. - С. 800-807.

94. Маркеев, А.П. О плоских и близких к плоским вращениях тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки Текст. /А.П. Маркеев// Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1988. -№. 4. - С. 29-36.

95. Меркин, Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения Текст. / Д.Р. Меркин. М: Наука, 1971.- 312 с.

96. Митропольский, Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике Текст. / Ю.А. Митропольский, О.Б. Лыкова. М: Наука, 1973. -228 с.

97. Моисеев, Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики Текст. / Н.Н. Моисеев.- М: Наука, 1969. 380 с.

98. Нейштадт, А.И. О прохождении через резонансы в двухчастотной задаче Текст. / А.И. Нейштадт // Доклады АН СССР. -1975. Т.221, -Вып.2. - С.301-304.

99. Нейштадт, А.И. Прохождение через сепаратрису в резонансной задаче с медленно изменяющимся параметром Текст. / А.И. Нейштадт // Прикладная математика и механика. -1975. Т.39. - С.621-633.

100. Овчинников М.Ю. Переходные движения спутника с магнитной системой ориентации в рамках простой модели гистерезиса Текст. /М.Ю. Овчинников// Космические исследования. 2000. - Т. 38, - №1. - С.78-84.-ISSN 0023-4206.

101. Основы теории полета космических аппаратов. Текст. / Под ред. Г.С.Нариманова и М.К.Тихонравова.-М.: Машиностроение, 1972. 608 с.

102. Охоцимский, Д.Е. Основы механики космического полета Текст. / Д.Е. Охоцимский, Ю.Г. Сихарулидзе М.: Наука, 1990. - 448 с.

103. Петров, Б.Н. Управление углом атаки космического аппарата посредством изменения центровки Текст. / Б.Н. Петров, Ж.С. Агеев, Б.В. Викторов, И.С. Уколов // Космические исследования. 1970. - Т. 8., Вып. 6. - С.855-861.

104. Раус, Э. Дэ/с. Динамика системы твердых тел. Текст. / Э. Дж. Раус. М: Наука, 1983. - Т. 2.- 544с.

105. Румянцев, В.В. Об устойчивости движения гироскопа в кардановом подвесе Текст. /В.В. Румянцев // Прикладная математика и механика. -1958.-Т. 22.-Вып. 3.

106. Садов, Ю.А. Быстрое вращение спутника с магнитным демпфером. 1. Движение демпфера Текст. ЯО.А.Садов// Космические исследования. -1970. Т. 8, Вып. 4. - с.547-556 .

107. Садов, Ю.А. Быстрое вращение спутника с магнитным демпфером. 2. Движение вектора кинетического момента в консервативном приближении Текст. /Ю.А.Садов// Космические исследования. 1974. - Т. 12, Вып. 4. -С.518-526.

108. Садов, Ю.А. Быстрое вращение спутника с магнитным демпфером. 3. Учёт изменения состояния демпфера Текст. /Ю.А.Садов // Космические исследования. 1978. - Т. 16.- Вып. 3. - С.345-352.

109. Садов, Ю.А. Быстрое вращение спутника с магнитным демпфером. 4. Диссипативная эволюция. Резонансные эффекты Текст. / Ю.А.Садов // Космические исследования. 1986. - Т. 24, Вып. 4. - С.553-564.

110. Садов, Ю.А. Вторичный резонансный эффект в двухчастотной почти гамильтоновой системе с быстрыми фазами Текст. /Ю.А.Садов/ Сборник: Устойчивость движения, Новосибирск: Наука, 1985. С. 179-184.

111. Садов,Ю.А. Вторичные резонансные эффекты в механических системах Текст. /Ю.А.Садов// Известия РАН. Механика твердого тела. 1990. -Вып. 4. - С. 20-24.

112. Садов, Ю.А. Системы с медленной эволюцией и вторичные резонансные эффекты Текст. /Ю.А.Садов/ Материалы II Всероссийского семинара по классической и небесной механике. Великие Луки. 1996.

113. Сазонов, В.В. Возмущенные движения твердого тела, близкие к регулярным прецессиям Лагранжа Текст. /В.В. Сазонов, В.В. Сидоренко // Прикладная математика и механика. 1990. - Т.54, Вып. 6, - С. 951-957.

114. Сарычев, В.А. Влияние диссипативного магнитного момента на вращение спутника относительно центра масс Текст. / В.А. Сарычев, В.В. Сазонов // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1983. - № 2.

115. Сарычев, В.А. Движение спутника с постоянным магнитом относительно центра масс Текст. / В.А. Сарычев, М.Ю. Овчинников // Космические исследования. 1986. - Т.24, №4.- С.527-543.

116. Сергеев, B.C. Периодические движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, близкого к динамически симметричному Текст. /В.С.Сергеев // Прикладная математика и механика. — 1983, Т. 47, Вып. 1. -с. 163-166.

117. Сидоренко, В.В. Об эволюции движения тяжелого твёрдого тела под действием диссипативного возмущающего момента. I Текст. / В.В. Сидоренко.- М.: Институт прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН, 1991. -16 е.- Препринт. № 66.

118. Сидоренко, В.В. Об эволюции движения тяжелого твёрдого тела под действием диссипативного возмущающего момента. II Текст. // В.В.

119. Сидоренко.- М.: Институт прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН, 1991. -23 е.- Препринт. № 67.

120. Сидоренко, В.В. Разрушение адиабатических инвариантов на резонансах: пример из динамики твердого тела Текст. / В.В. Сидоренко.- М.: Институт прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН, 1995.- 24 е.- Препринт. -№76.

121. Стрыгин, В.В. Разделение движений методом интегральных многообразий Текст. / В.В. Стрыгин, В.А. Соболев. М: Наука, 1988. -256 с.

122. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Текст. / Под ред. Дж.Холла, Дж.Уатта.-М.: Мир, 1979.

123. Хазин, Л.Г. Условия устойчивости равновесия при резонансе 1:3 Текст. / Л.Г. Хазин., Э.Э. Шноль // Прикладная математика и механика. 1980. -Т. 44, Вып. 2, - С. 229-237.

124. Хапаее, М.М. Об усреднении в многочастотных системах Текст. / М.М. Хазин //Доклады АН СССР. 1974. - Т.217, Вып.5. - С.1021-1024.

125. Хапаее, М.М. Усреднение в теории устойчивости Текст. / М.М. Хапаев.- М: Наука, 1986. 191 с.

126. Хапаее, М.М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний Текст. / М.М. Хапаев.- М: Высшая школа, 1988. -184 с.

127. Хентое, А.А. Влияние магнитного и гравитационнного полей Земли на колебания спутника вокруг своего центра масс Текст. /А.А. Хентов // Космические исследования. 1967. - Т.5, №4. -С.554.

128. Хентов, А.А. Пассивная стабилизация искусственных спутников по магнитному полю Земли Текст. /А.А. Хентов// Космические исследования. 1967. - т.5. - №4.- С.563.

129. Черноусъко, Ф.Л. О движении спутника относительно центра масс под действием гравитационных моментов Текст. / Ф.Л. Черноусько // Прикладная математика и механика. 1963. - Т. 27, Вып. 3. - С. 474-483.

130. Черноусько, Ф.Л. О движении твердого тела с упругими и диссипативными элементами Текст. /Ф.Л. Черноусько// Прикладная математика и механика. -1978. Т. 42, Вып. 1.- С. 34-42.

131. Четаее, Н.Г. О достаточных условиях устойчивости вращательного движения снаряда Текст. / Н.Г. Четаев // Прикладная математика и механика. 1943. - Т. 7, Вып. 2.

132. Четаев, Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике Текст. / Н.Г. Четаев.- М: Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.

133. Шамолин, М.В. Семейство портретов с предельными циклами в плоской динамике твердого тела, взаимодействующего со средой Текст. / М.В. Шамолин // Известия РАН. Механика твердого тела. 1998. - № 6.- С. 29-37.

134. Шилов, А.А. Влияние массовой и аэродинамической несимметрии тела на характер его пространственного движения Текст. / А.А. Шилов // Доклады академии наук СССР. 1968. - Т.183, №5.- С.1028-1031.

135. Шилов, А.А. Резонансные режимы пространственного неуправляемого движения аппаратов на участке входа в атмосферу Текст. / А.А. Шилов, М.Г. Гоман // Труды ЦАГИ.- 1975.- Вып. 1624.- 44 с.

136. Шилов, А.А. Динамическая устойчивость пространственного движения летательных аппаратов на больших углах атаки при некоторых видах инерционно-аэродинамической асимметрии Текст. / А.А. Шилов, А.Ф. Васильев // Труды ЦАГИ.- 1971. Вып. 1345. - 68с.

137. Ярошевский, В.А. Определение квазистатических режимов пространственного движения неуправляемого тела Текст. / В.А. Ярошевский // Ученые записки ЦАГИ. 1970. - Т.1, - Вып.5. - С.44-55.

138. Ярошевский, В.А. Движение неуправляемого тела в атмосфере Текст. / В.А. Ярошевский. М.: Машиностроение, 1978. - 168с.

139. Ярошевский, В.А. Метод ускоренного расчета быстрых квазипериодических движений на ЦВМ Текст. /В.А. Ярошевский, В.В. Воейков// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. - Т.4, Вып.1. - С.168-171.

140. Ярошевский, В.А. Анализ автоколебаний тела, близкого к осемметричному Текст. / В.А. Ярошевский //Космические исследования. -1980. Т. 18, Вып. 6. - С. 819-831.

141. Ярошевский, В.А. Вход в атмосферу космических летательных аппаратов Текст. / В.А. Ярошевский. М.: Наука. Физ.-мат. лит., 1988. -336 с.

142. Яхъя Х.М. Качественные исследования плоских и близких к ним движений твердого тела вокруг неподвижной точки Текст. / Х.М. Яхья // Прикладная математика и механика. 1981.- Т. 45, Вып. 4. - С. 618-623.

143. Aslanov V.S. Resonance at motion of a body in the Mars's atmosphere under biharmonical moment Text. / V.S. Aslanov // WSEAS TRANSACTIONS on SYSTEMS AND CONTROL. Issue 1. - Volume 3.- P. 33-39. -ISSN: 1991-8763.

144. Aslanov V.S. Chaotic behavior of the biharmonic dynamics system Text. / V.S. Aslanov // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. IJMMS-319179.- 2009. - 12 p.

145. Bennett, M.D. Roll resonance probability for ballistic Missiles with random configurational asymmetry Text. / M.D. Bennett// Journal Guidance, Control and Dynamics. 1985. - Vol.6, № 3.- P.222-224.

146. Bentsik, E. Su di un tipo di precessioni regolari per un corpo rigido asimmetrico soggetto a forze newtoniane Text. / E. Bentsik // Rendiconti Sem. mat. Univ. Padova. 1968-1969. - V.41. - P. 252-260.

147. Bootle, W.J. Spin variation in slender entry vehicles during rolling trim Text./ W.J. Bootle // AIAA Journal. 1971. - Vol.9, No.4.- P.729-731.

148. Clare, T.A. On resonance instability for fined configuration having non-linear aerodynamic properties Text./ T.A. Clare I I Jour. Spacecraft. 1971. - Vol. 8. -№3.

149. Euleri, L. Commentationes mechanicae ad theoriam corporum rigidorum pertinents Text. / L. Euleri // Opera omnia. Ser.2 V.8. Auctoritate et impensis societiarum naturallium Helveticae. Turici: Orell Fussli., 1965. 417 p.

150. Grammel, P. Die stabilitat der Staudeschen Kreiselbewegungen Text./ P. Grammel // Math. Z. 1920. - Bd.6, H. 1/2.- S. 124-142.

151. Grioli, G. Esistenza e determinazione delle precessioni regolari dinamicamente possibili per un solido pesante asimmetrico Text. / G. Grioli // Ann. mat. pura ed appl. 1947. -Ser.4. - V.26, fsc. 3-4. -P. 271-281.

152. Gylden, H. Undersokning af fall, der rotations-problemets losning kan uttryckas medelst reelt periodiska funktioner af tiden Text./ H. Gylden // Ofversigt af Kongl. Vetensk.-Akad. forhandlingar. -1893. V. 50, № 2. -P. 63-75.

153. Hoddapp, A.E. The effects of products of inertia on the roll behavior of ballistic re-entry vehicles. Text./ A.E.Hoddapp, E.L. Clark // AIAA Paper No 70-204.

154. Jane's Spaceflight Directory Text.- London, 1987.- 796 p.

155. Lyubimov, V.V. Influence of asymmetry at rotational motion of lightweight re-entry vehicles in the atmosphere Text. /V.V. Lyubimov // Proceedings of the

156. Russian-European Sumer Space School "Future Space Technologies and Experiments in Space". European Space Agency.- Samara.- 2003. P. 167-168.

157. Maple, C.G. Aerodynamic symmetry of a projetilem Text./ C.G.Maple, J.L.Synge // Quarterly of Appleed Mathematics. Jan. 1949. -Vol. 4.

158. Murphy, C.H. Response of an asymmetric missile to spin varying through resonance Text. / C.H. Murphy // AIAA. 1971. - Vol.9, №11.

159. Murphy, C.H. Nonlinear limit motion of a slighly asymmetric re-entry vehicles Text./ C.H. Murphy, J.W. Brandley // AIAA Journal.- July 1975. -Vol.13.-P.851-857.

160. Nayfeh, A.H. An analysis of asymmetric rolling bodes with nonlinear aerodynamics Text./ A.H. Nayfeh, W.S. Saric // AIAA Journal. 1972. -Vol.10, No.8. - P.1004-1011.

161. Neishtadt, A. Averaging, capture into resonances, and chaos in nonlinear systems Text. / A. Neishtadt // Nonlinear sience. 1990. - P. 14 .

162. Nicolaides, J.D. Non-linear resonance instability in the flight dynamic of missile Text./ J.D. Nicolaides, T.A. Clare // AIAA. P. 80-970.

163. Flatus, D.H. Dispersion of spinning missiles due to lift nonaveraging Text./ D.H. Platus // AIAA Journal.- July 1977.- Vol.15.- P. 915.

164. Platus, D.H. Roll resonance control of angle of attack for re-entry vehicle drag modulation Text./ D.H. Platus // American institute of aeronautical and astronautics, 80-1574.- 1980.-P. 175-181.

165. Platus, D.H. Ballistic re-entry flight dinamics Text. / D.H. Platus // Journal of guidance and control.- 1982. Vol.5.- № 1.

166. Price, D.A. A new treatment of roll-pitch coupling for ballistic re-entry vehicles Text./ D.A. Price, L.E. Ericsson // AIAA Paper No 69-101.

167. Routh, E.J. The advantced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies. P.2. Text. / D.H. Platus // London: Macmillan, 1884.- 343 p.

168. Stephenson, W.B. The motion of high-fineness-ratio rolling stores Text. / W.B. Stephenson // TM 189-54-51. Sandia Copr.- Nov. 1954.

169. Tisserand, F. Sur le mouvementde rotationde la Terre autor de son centre de gravite Text. /F.Tisserand // C.r. Acad. Sci. 1885. -T. 101. - P. 195-199.

170. Tournaire. Memoire sur la rotation des corps pesant Text. / Tournaire // C.r. Acad. Sci. 1960. - T. 50. - P. 476-481.

171. Vaughn, H.R. Boundary conditions for persister roll resonance on re-entry vehicles Text. / H.R.Vaughn // AIAA Journal. June 1968.- Vol. 6. - P. 10301035.