Анализ и синтез динамики спускаемых в атмосфере Марса космических аппаратов с малой асимметрией с учетом резонансных возмущений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.09, кандидат наук Куркина Екатерина Владимировна

• Куркина Екатерина Владимировна
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Куркина Екатерина Владимировна

ВВЕДЕНИЕ

1. РЕЗОНАНСНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ПРИ СПУСКЕ КОСМИЧЕСКОГО АППРАТА В АТМОСФЕРЕ МАРСА

1.1 Спуск космических аппаратов в атмосфере Марса

1.2 Резонансные явления при движении твёрдого тела в атмосфере

1.3 Захват и проход через резонанс

1.4 Вероятность захвата в резонанс

1.5 Влияние асимметрии спускаемого аппарата на вероятность захвата в резонанс

1.6 Определение требований к геометрическим и массовым характеристикам спускаемого аппарата для предотвращения резонансных явлений

1.7 Подход Нейштадта А.И. для оценки вероятности захвата и прохода через резонанс

1.8 Обзор задач управления динамическими системами

1.9 Метод динамического программирования

1.10 Цели и задачи исследования

2. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ РЕЗОНАНСНЫХ ЯВЛЕНИЙ И ОБЕСПЕЧЕНИЕ НЕРЕЗОНАНСНОГО ДВИЖЕНИЯ КА В АТМОСФЕРЕ МАРСА

2.1 Нелинейная система дифференциальных уравнений

2.1.1 Системы координат и матрицы перехода

2.1.2 Уравнения движения КА в атмосфере

2.1.3 Нелинейные уравнения вращательного движения асимметричного КА в атмосфере планеты

2.1.4 Приближённая нелинейная низкочастотная система уравнений движения асимметричного КА в атмосфере

2.2 Уравнения движения центра масс КА в атмосфере

2.3 Определение аэродинамических характеристик спускаемого космического аппарата в атмосфере Марса

2.4 Оценка вероятности захвата и прохода через резонанс

2.4.1 Численное моделирование спускаемого КА «Mars Polar Lander»

2.4.2 Оценка достоверности формулы расчета вероятности захвата и прохода через резонанс

2.4.3 Численное моделирование спускаемой капсулы с массовой и аэродинамической асимметриями в атмосфере Марса

2.5 Оценка параметров асимметрии при захвате и проходе через резонанс

2.6 Оценка возмущений величины угла атаки при проходе и захвате в резонанс

2.7 Методика построения области допустимых значений параметров, характеризующих асимметрию КА

3. ОПТИМАЛЬНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ДВИЖЕНИЯ КА С МАЛОЙ АСИММЕТРИЕЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС В АТМОСФЕРЕ МАРСА

3.1 Квазилинейная система дифференциальных уравнений

3.2 Управление угловой скоростью КА с помощью реактивных двигателей

3.3 Дискретное управление угловой скоростью КА и его устойчивость

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Численные расчёты КА спускаемых в атмосфере Марса: «Mars Polar Lander», «Марс 3», «Insight»

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Внедрение результатов исследования

ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

ОХ ^- нормальная система координат;

ОкХъУк2к - траекторная система координат;

ОХс^а2а - скоростная система координат;

ОХУ2, О1Х17121, О1Х2Г222 - связанные системы координат;

ОХп^п2п - система координат, связанная с пространственным углом атаки;

ЯА - главный вектор аэродинамических сил;

М - вектор аэродинамического момента; ап - пространственный угол атаки;

7 а -угол крена плоскости пространственного угла;

(рп - аэродинамический угол крена;

Мо - вектор аэродинамических сил относительно центра масс; Мх, М , М2 - проекции вектора Мо;

q - скоростной напор; £ - характерная площадь; I - характерный размер;

Сх1, Су1, Сг1 - коэффициенты аэродинамической силы; тх1, ту1, тг1 - коэффициенты аэродинамического момента;

тХ, ту, т{ - коэффициенты малых аэродинамических моментов от асимметрии формы;

тпп - коэффициент восстанавливающего аэродинамического момента; т0* , т0, т^пу - коэффициенты аэродинамических демпфирующих моментов; АТп - радиус-вектор смещения центра масс КА в системе координат 01Х1У121; V - скорость КА относительно воздуха;

ох = ох1 / V, оу = о1 / V, 00>2 = о21 / V - безразмерные угловые скорости; оох, оуп, юш - проекции угловой скорости КА; М - число Маха;

Н - высота;

Vа - абсолютная скорость; g -модуль вектора гравитационного ускорения;

ох, со , ог - компоненты угловой скорости КА в системе координат ОХУ1;

у, в, р - углы прецессии, нутации и собственного вращения;

I , 1Х2, 1у2 - центробежные моменты инерции в системе координат ОХУ2 ;

1Х, Iу, 1г - осевые моменты инерции в системе координат ОХУ1;

охк, оук, 02к - проекции угловой скорости вращения системы координат, на

которую проектируется кинетический момент КА; К - вектор кинетического момента; Кх, Ку, К2 - проекции вектора К;

|| I ||к - тензор инерции в траекторной системе координат; [Ц ], [Ь2 ], [Ь3 ], [Ь4 ] - матрица перехода между системами координат; т - масса КА;

Суа - коэффициент подъёмной силы;

(1Х)к, (Iу)к,(12 )к - моменты инерции КА в системе координат коэффициент

подъёмной силы; £ - комплексный угол атаки;

£ - величина комплексно сопряженная с £; тд- - угол наклона траектории; г - вектор параметров центра масс КА; е - малый параметр;

а1, а2 - амплитуды «прямой» и «обратной» прецессии КА;

7\, 7г - фазы, соответствующие «прямой» и «обратной» прецессии КА;

Е - приведённая механическая энергия КА;

Н - гамильтониан невозмущённой системы;

а1(0), а2(0), /(0) - начальные значения соответствующих переменных;

о - частота колебаний КА при оХ = 0;

О, о2 - частоты прямой и обратной прецессии;

сор - резонансная угловая скорость оХ;

к - полная энергия маятника;

КА- космический аппарат;

ОДО - область допустимых отклонений.

ВВЕДЕНИЕ

Работа посвящена исследованию динамики спускаемых в атмосфере Марса космических аппаратов (КА) с малой асимметрией с учётом резонансных возмущений. Проводится анализ динамики спускаемых аппаратов в нелинейной постановке при проходе и захвате в главный резонанс, а также синтезируются законы оптимального управления угловой скоростью и пространственным углом атаки для стабилизации движения аппарата относительно его центра масс.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ и синтез динамики спускаемых в атмосфере Марса космических аппаратов с малой асимметрией с учетом резонансных возмущений»

Актуальность работы.

Задача обеспечения безаварийного спуска является одной из ключевых задач марсианских миссий. Марсианская атмосфера существенно отличается от земной атмосферы [1, 2]. Значительное влияние на физические характеристики атмосферы Марса оказывает время года, расположение точки измерений и наличие различных погодных возмущений [3]. Плотность атмосферы на одной и той же высоте может отличаться в несколько раз [4]. Необходимость исследования отдельных регионов Марса, в том числе наличие требований по посадке в определённые точки с требуемым рельефом местности, привели к росту требований по точности обеспечения траектории спуска. Размеры районов посадки (эллипса, ограничиваемого отклонениями 3 с) сократилась с 280 х 100 км для аппаратов Viking 1 и Viking 2 (1976 год) до 80 х 12 км для аппаратов Spirit и Opportunity (2004 год) [5]. Для обеспечения точного и успешного спуска в атмосферу особенно важным является обеспечение заданной ориентации космического аппарата.

Резонансные явления, которые могут возникать в процессе спуска КА, в ряде случаев являются причиной нарушения заданных программой полёта величин пространственного угла атаки или угловой скорости КА, что может привести к аварийной ситуации, в том числе к отказу тормозной парашютной системы. Для обеспечения безаварийного спуска КА необходима оценка вероятности захвата в резонанс по начальным условиям атмосферного движения КА относительно центра масс в малой области данного резонанса.

Понятие резонанса при движении твёрдого тела в атмосфере было представлено в работах Maple C.G., Singe J.L. [6], Stepherson W.B. [7] посвящённых исследованию движения баллистических летательных аппаратов. Vaughn H.R. [8] показал, что длительный резонансный режим движения летательного аппарата может повлиять на катастрофическое увеличение угла атаки, приводя к разрушению аппарата. Влияние асимметрии на резонансное движение рассмотрено в работах Bootle W.J. [9], Barbera P., Nayfeh A.H., Saric W.S. [10]. Основополагающие результаты исследований явления резонанса в нелинейной постановке в системах общего вида приведены в работах известных отечественных учёных: Арнольда В.И. [11, 12], Боголюбова Н.Н. [13], Моисеева Н.Н. [14], Черноусько Ф.Л. [15], Нейштадта А.И. [16, 17] и т.д. Применительно к задаче о спуске КА в атмосфере резонансные явления рассматривались Ярошевским В. А. [18], Гоманом М.Г. [19], Шиловым А. А. [20], Аслановым В.С. [21, 22, 23], Заболотновым Ю.М. [24, 25], Тимбаем И.А. [26, 27], Любимовым В.В. [28], Коряновым В.В. и Казаковцевым В.П. [29] и другими специалистами. В частности, Белоконовым В.М., Заболотновым Ю.М., Белоконовым И.В. получена низкочастотная нелинейная системы уравнений движения КА с малой асимметрией относительно центра масс в атмосфере [30]. Заболотновым Ю.М. подробно изучены вопросы оценки возмущений угла атаки при проходе через резонанс КА в квазилинейном случае (при малых углах атаки) и получил необходимые и достаточные условия внутренней устойчивости резонансов. Следует отметить, что Заболотновым Ю.М. и Любимовым В.В. рассматривалось применение низкочастотного решения для анализа условий реализации резонанса на движение космического аппарата в атмосфере. Любимовым В.В. сформулированы условия внешней устойчивости резонанса в системе общего вида с медленными и быстрыми переменными [31].

Platus D.H. [32] отмечает, что проблема реализации резонанса в динамической системе, описывающей движение аппарата, зависит от выбора геометрических и массовых характеристик самого аппарата. Асланов В.С. и Ледков А.С. [33] приводят схему выбора проектно-баллистических

характеристик неуправляемого КА, совершающего спуск в атмосфере Марса, из условия исключения возможности появления резонанса при атмосферном спуске. Обеспечение минимального уровня величин асимметрий является важной практической задачей. Любимовым В.В. рассмотрена задача об управлении нерезонансной эволюцией при вращении спускаемого КА в атмосфере и показано, что управление величиной аэродинамической асимметрии КА позволяет уменьшить угловое ускорение и обеспечить нерезонансный режим движения на протяжении всего времени спуска [34].

Важной является задача обеспечения заданных ограничений параметров движения КА относительно центра масс. Необходимо обеспечивать ограничения по угловой скорости и пространственному углу атаки при спуске космического аппарата, чтобы сохранить благоприятные условия ввода парашютной системы. Резонансные явления вносят возмущения в значения параметров ориентации КА, что делает необходимым решение задачи управления ориентацией КА как твёрдого тела с учётом возмущений от малой асимметрии при спуске в атмосфере Марса.

Основополагающие результаты в области теории оптимального управления техническими системами получены Понтрягиным Л.С. [35], Беллманом Р. [36], Болтянским В.Г. [37, 38], Гурманом В.И. [39, 40], Гамкрелидзе Р.В. [41], Моисеевым Н.Н. [14, 42], Черноусько Ф.Л. [43, 44], Летовым А.М. [45], Кротовым В.Ф. [46], Красовским Н.Н. [47, 48], Калманом Р.Е. [49] и другими учёными. Решение задач синтеза управления системами значительно упрощается использованием метода усреднения совместно с методами оптимального управления, такими как метод динамического программирования, принцип максимума Понтрягина, метод аналитического конструирования регуляторов Летова-Калмана и др. [45, 46].

Необходимость обеспечения безаварийности процесса спуска КА на поверхность Марса, повышение требований к точности приземления, нестабильность параметров атмосферы Марса, необходимость учёта резонансных явлений в процессе спуска КА при его проектировании и управлении позволяет

сделать вывод об актуальности диссертационного исследования, посвящённого анализу и синтезу динамики движения КА с малой асимметрией относительно центра масс с учётом резонанса, возникающего при его спуске в атмосфере Марса.

Объект исследования:

Космический аппарат с малой асимметрией, совершающий спуск в атмосфере Марса.

Предмет исследования:

Динамика неуправляемого и управляемого движения КА с малой асимметрией относительно его центра масс при спуске в атмосфере Марса.

Соответствие паспорту специальности.

Область исследования соответствует п.1 «Расчет траекторий движения летательных аппаратов и орбит космических аппаратов (КА) по заранее известным данным», п.2 «Баллистическое проектирование летательных аппаратов различного назначения» и п.3 «Динамическое проектирование управляемых летательных аппаратов и исследование динамики их движения» паспорта специальности 05.07.09 - Динамика, баллистика, управление движением летательных аппаратов.

Цель исследования - обеспечение заданной ориентации спускаемых КА в атмосфере Марса с помощью оценки допустимых величин малой асимметрии, позволяющей исключить влияние главного резонанса на движение КА, и разработка на этой основе законов оптимальной стабилизации углового движения КА.

Методы решения.

Использовались методы классической динамики, метод усреднения, метод стационарной фазы, метод динамического программирования, методы вычислительной математики.

Научная новизна полученных результатов.

1. Получены приближённо-аналитические выражения для оценки вероятности захвата и прохода через главный резонанс при возмущённом

движении КА с малой асимметрией в атмосфере Марса с немалыми значениями угла атаки.

2. Получены приближённо-аналитические выражения для оценки возмущений пространственного угла атаки при проходе через главный резонанс в процессе возмущённого движения КА с малой асимметрией в атмосфере Марса с немалыми значениями угла атаки.

3. Предложена методика построения области допустимых значений асимметрий КА, обеспечивающая нерезонансное движение КА в атмосфере Марса.

4. Получены оптимальные законы управления, обеспечивающие стабилизацию движения КА относительно центра масс в атмосфере Марса, учитывающие возмущения от малой асимметрии.

Практическая значимость.

Полученные приближённо-аналитические выражения и зависимости могут использоваться при разработке перспективных спускаемых КА и при проектировании системы управления ориентацией КА на этапе спуска в атмосфере Марса. Сформулированы практические рекомендации по выбору проектных параметров КА, позволяющие избежать длительных резонансных режимов движения (захватов в резонанс) при спуске КА в атмосфере Марса.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Приближённо-аналитические выражения для оценки вероятности захвата и прохода через главный резонанс нелинейной низкочастотной системы уравнений, описывающей спуск космического аппарата с малой асимметрией в атмосфере Марса.

2. Приближённо-аналитические выражения для оценки возмущений пространственного угла атаки при проходе нелинейной низкочастотной системы уравнений через главный резонанс в атмосфере Марса.

3. Методика построения области допустимых величин параметров асимметрии КА, обеспечивающая нерезонансное движение КА в атмосфере Марса.

4. Законы оптимального управления, обеспечивающие стабилизацию угловой скорости КА с малой асимметрией относительно центра масс в атмосфере Марса.

Достоверность результатов обеспечена корректным использованием известных асимптотических методов анализа динамических систем с малыми возмущениями, классического метода динамического программирования и подтверждена результатами численного моделирования.

Апробация результатов, полученных в настоящей работе, осуществлялась на различных научных конференциях: 14-ой Международной конференции «Авиация и космонавтика - 2015» (Москва, 2015); 6th Russian-German Conference on Electronic Propulsion and Their Application (Самара, 2016); Международной конференции и молодёжной школе «Информационные технологии и нанотехнологии» (Самара, 2016); Международной научно-технической конференции «Перспективные информационные технологии» (Самара, 2017); Международной молодёжной научной конференции "XIV Королёвские чтения"» (Самара, 2017); LXVIII Молодёжной научной конференции (Самарский университет, Самара, 2018); Томской международной научной конференции «Информационные технологии в промышленности и производстве» (Томск, 2018); XXI-ом Всероссийском семинаре по управлению движением и навигации летательных аппаратов (Самара, 2018); XII-ой Международной IEEE научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 2018), XXI Международной научной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах» (Самара, 2019), XIII Всероссийском совещании по проблемам управления (Москва, 2019), 18-ой Международной конференции «Авиация и космонавтика - 2019» (Москва, 2019), Семинаре ИКИ РАН «Механика, Управление и Информатика» (Москва, 2020).

Личный вклад автора.

Все результаты, выносимые на защиту, получены автором либо лично, либо при его определяющем личном участии. Автором лично проведены численные эксперименты, подтверждающие основные результаты и выводы работы.

Основные публикации.

Материалы диссертации опубликованы в 21 печатных работах: 5 статей опубликованы в журналах, входящих в список, рекомендованный Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации [50, 51, 52, 53, 54], 7 статей входящих в базу Scopus и Wos [55, 56, 57, 58, 59, 60, 61], 9 тезисов докладов [62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70]. Получено 3 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ [71, 72, 73].

Структура диссертации.

Работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка использованных источников и двух приложений.

В первой главе проведён краткий обзор работ, посвящённых исследованию неуправляемого и управляемого движения спускаемого космического аппарата, и поведению данных систем в окрестностях резонансов. Так же описываются известные методы, связанные с задачей стабилизации движения КА в атмосфере Земли и планет.

Во второй главе представлены математические модели, описывающие движение КА в атмосфере и использованные в работе. Рассмотрена низкочастотная нелинейная система дифференциальных уравнений, полученная понижением порядка исходной нелинейной системы с помощью метода интегральных многообразий. Данная глава посвящена получению оценок вероятности захвата и прохода нелинейной низкочастотной динамической системы через резонанс, описывающей движение спускаемого асимметричного КА в нелинейном случае. Получены оценки возмущений в системе при проходе через резонанс без захвата при немалых углах атаки КА. Исследуется возможность обеспечения гарантированного прохода через резонанс без захвата космического аппарата с помощью управления величиной малой массовой асимметрией. Из условия устранения резонансных явлений при спуске в атмосфере Марса разработана методика построения области допустимых значений асимметрий КА. Решена задача получения максимальных значений параметров асимметрии КА, обеспечивающих значения угловой скорости меньше

резонансных. Полученные выводы и оценки подтверждены результатами численного моделирования спускаемых КА в атмосфере Марса («Mars Polar Lander», «Марс-3», «Insight») [Приложение А].

В третьей главе приведена квазилинейная система уравнений, описывающая вращательное движение спускаемого КА в атмосфере планеты. Решается задача синтеза оптимального управления для стабилизации углового движения спускаемого КА с помощью изменения параметра асимметрии, а также с помощью реактивных двигателей, на основе метода динамического программирования Беллмана совместно с методом усреднения. Получен дискретный закон управления угловой скоростью КА, спускаемого в атмосфере Марса. Приводятся численные результаты для задач синтеза управления угловой скоростью и углом атаки в случаях спуска космических аппаратов в атмосфере Марса («Mars Polar Lander», «Марс-3», «Insight», «БсЫарагеШ», «Spirit», «Curiosity»).

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в данной работе.

Результаты исследования внедрены в учебный процесс Самарского университета [Приложение Б].

1. РЕЗОНАНСНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ПРИ СПУСКЕ КОСМИЧЕСКОГО

АППРАТА В АТМОСФЕРЕ МАРСА

1.1 Спуск космических аппаратов в атмосфере Марса

Исследование Марса с использованием спускаемых космических аппаратов - перспективное направление развития современной космонавтики [74]. Начиная с 60-х годов прошлого века, непосредственным исследованием Марса с помощью автоматических межпланетных станций занимались СССР (программы «Марс» и «Фобос»), США (программы «Mariner», «Viking», «Mars Global Surveyor» и другие), Европейское космическое агентство (программа «Mars Express») и Индия (программа «Мангальян») [75]. Миссия посадки на поверхность Марса характеризуется последовательностью трёх фаз, а именно входа, снижения и касания поверхности. Одной из основных проблем, которые встают при организации миссии, является обеспечение безаварийного спуска в атмосфере Марса. Марсианская атмосфера существенно отличается по физическим параметрам и химическому составу от земной атмосферы [1, 2]. Существенное влияние на параметры атмосферы Марса оказывает время года, расположение точки измерений и наличие различных погодных возмущений [3]. Плотность атмосферы на одной и той же высоте может отличаться в несколько раз [4]. Давление на поверхности Марса составляет менее 1% от Земного и существенно изменяется на протяжение марсианского года вследствие большого эксцентриситета орбиты Марса и сезонного обмена масс между северной и южными полярными шапками [76]. В настоящее время используются следующие модели атмосферы Марса: Mars-GRAM (Mars Global Reference Atmosphere Model, NASA) [77], MCD (Mars Climate Database, ESA) [78, 79], CMADA (Computational Martian Disturbed Atmosphere, Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН) [80]. Методика учёта неопределённости характеристик атмосферы Марса при торможении космических аппаратов в верхних слоях атмосферы планеты представлена в работе [81].

Для обеспечения точного и успешного спуска в атмосферу необходимо контролировать ориентацию космического аппарата [82]. Основные проблемы на данных этапах были описаны в известной работе американских учёных Braun R.D. и Manning R.M. [5]. В качестве основных инженерных задач, которые встают при организации миссии, они выделили:

а) атмосфера, которая имеет достаточно большую толщину, чтобы создать существенный нагрев, но не создающая достаточного торможения для обеспечения приемлемой конечной скорости снижения;

б) сложность поверхности Марса, наличие кратеров, долин, пыли, а также отсутствие точных макетов местности;

в) сложность воспроизведения окружающей среды на Марсе для квалификации космических полётов с новыми технологиями входа, снижения и посадки.

Параметры движения КА, включая максимальную перегрузку, и точность спуска существенно зависят от высоты полёта КА и начального угла входа в атмосферу [83]. Необходимость исследования отдельных регионов Марса, в том числе наличие требований по посадке в определённые точки с требуемым рельефом местности, привели к росту требований по точности обеспечения траектории спуска. Вероятная область посадки (размеры эллипса, ограничиваемого отклонениями 3 а) сократилась с 280 х 100 км для аппаратов Viking 1 и Viking 2 (1976 год) до 80 х 12 км для аппаратов Spirit и Opportunity (2004 год) [5]. Новые поколения спускаемых аппаратов нуждаются в передовых системах наведения, навигации и управления. Исследования посвященные стабилизации неустойчивых параметров движения КА при входе в атмосферу, а также направленные на улучшение их лётно-технических характеристик представлены в работах [84, 85, 86].

1.2 Резонансные явления при движении твёрдого тела в атмосфере

Резонансные явления в линейных динамических системах, обусловлены совпадением частоты возбуждающего воздействия с собственной частотой системы. Резонансы могут привести механическую систему как к разрушению, так и к другим аварийным ситуациям. Существенное увеличение угла атаки или угловой скорости КА, приводящее к аварийным ситуациям таким, как отказ тормозной парашютной системы, может быть вызвано захватом космического аппарата в длительный резонанс [34]. По этой причине актуальной задачей является оценивание вероятности захвата в резонанс по начальным условиям атмосферного движения КА относительно центра масс в малой области данного резонанса.

Впервые понятие резонанса при движении твёрдого тела в атмосфере было представлено в работах Maple C.G. и Singe J.L. [6], Stepherson W.B. [7], при исследовании движения баллистических летательных аппаратов. Vaughn H.R. показал, что длительный резонансный режим движения летательного аппарата может повлиять на катастрофическое увеличение угла атаки, приводя к разрушению аппарата [8]. Длительный резонанс зависит от типа и величины асимметрии аппарата, которая может быть результатом производственных допусков или изменений формы внешней аэродинамической поверхности, например, теплозащитного экрана в процессе полёта. В данной работе предполагается, что при выводе линейной системы уравнений учитываются линейные аэродинамические коэффициенты и малые углы атаки. При этом для устранения резонанса предложено уменьшить асимметрию и ввести управление по углу крена. Условия формирования резонансного режима вращения для случая спускаемых аппаратов с малой асимметрией представлены в работах [9, 87]. Bootle W.J. [9] изучил влияние ортогональной и компланарной балансировок на резонансное движение аппарата. Отмечено, что к устойчивому резонансу может привести ортогональная асимметрия. В статье Barbera P. [87] проводится численное исследование процесса захвата в резонанс. Показано, что переходный

режим влияет на изменение угловой скорости вращения при сочетании плоской асимметрии с асимметрией, расположенной вне рассматриваемой плоскости. В работах [10, 88] затронуты проблемы нелинейного резонанса. В работе Nayfeh A.H., Saric W.S. [10] анализируется движение асимметричных тел с нелинейными аэродинамическими моментами. Здесь возникающий резонанс соответствует малым угловым скоростям вращения. В этой работе учёт нелинейных членов в уравнениях движения КА позволяет установить существование резонанса более высокого порядка по сравнению с главным. Статья Murphy C.H., Bradley J.W. [88] посвящена исследованию системы с возможной реализацией резонанса, учитывающей влияние нелинейного демпфирования на предельное движение аппарата с малой асимметрией.

Основополагающие результаты исследований явления резонанса в нелинейной постановке приведены в работах отечественных учёных. Исследованию систем с возможной реализацией резонансов в системах общего вида посвящены работы Арнольда В.И., Козлова В.В., Нейштадта А.И. [11], Боголюбова Н.Н. [13], Моисеева Н.Н. [14], Черноусько Ф.Л. [15], и других известных учёных. Анализ нелинейных резонансных явлений при возмущённом спуске КА в атмосфере в частности, подробно рассматривался в публикациях Ярошевского В.А. [18], Гомана М.Г. и Шилова А.А. [20, 89, 90], Асланова В.С. [21], Заболонова Ю.М. [24], Тимбая А.И.[26], Любимова В.В. [121], Корянова В.В. [29], а также в других работах отмеченных авторов и в публикациях других специалистов. В работе Ярошевского В.А. [18] движение неуправляемого КА в атмосфере сводится к анализу системы нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Наличие в системе параметров малой асимметрии у летательных аппаратов приводит к появлению резонансных режимов движения. При исследовании этих режимов используется квазистатический подход. Получение приближённо аналитического решения системы уравнений проводится при использовании ряда допущений. Существенным обстоятельством, облегчающим построение приближённых решений, является разная скорость изменения параметров системы. Книга

Боголюбова Н.Н. посвящена приближённым асимптотическим методам решения задач теории нелинейных колебаний [13]. В работе Моисеева Н.Н. представлены асимптотические методы нелинейной механики, основанные на методе разделения движений. Данный подход к исследованию главного резонанса изложен в работах Гомана М.Г. и Шилова А. А. [20, 91, 92] применительно к задаче возмущённого спуска КА в атмосфере. В этих работах рассмотрены условия формирования резонансного режима вращения и проведён анализ движения в случае прохода через резонанс. Подход Гомана М.Г. и Шилова А.А. основан на асимптотическом расщеплении полного решения уравнений движения на низкочастотную и высокочастотную составляющие и использование только низкочастотной части решения, наиболее важной для описания динамики КА в околорезонансной области при условии реализации главного резонанса. В данных работах рассмотрены линейные уравнения, справедливые лишь при малых углах атаки. При этом не исследованным остался вопрос реализации длительных нелинейных резонансных режимов.

В работе Арнольда В.И., Козлова В.В., Нейштадта А.И. [11] рассмотрены методы теории возмущений. К методам теории возмущений относятся принцип усреднения и принцип разделения движения на медленную и быструю составляющие. Они позволяют исследовать эволюции медленных переменных в системе, вызванные возмущениями, присутствующими в системе. В монографии Асланова В.С. [93] отмечено, что резонанс возникает в случае, когда характерные частоты относительного движения и угловая скорость движения становятся взаимозависимыми и относятся как целые простые числа. Пространственное атмосферное движение КА в статье Асланова В. С. [21] разделяется на быстрые и медленные составляющие движения. Задача о спуске КА в атмосфере решается в нелинейной постановке. Здесь Аслановым В. С. были выявлены новые нелинейные резонансы. Нелинейная модель движения твёрдого тела в атмосфере приводится в монографии [96] к системе с двумя быстровращающимися фазами и определяется усреднённая система уравнений движений в резонансном случае. В статье Асланова В.С., Мясникова С.В. [97] рассматривается частично

усреднённая система уравнений, описывающая движение КА относительно центра масс в атмосфере в резонансном случае.

Исследования различных резонансных явлений в задаче спуска в атмосфере КА с малой асимметрией представлены в работах Заболотнова Ю.М. Заболотнов Ю.М. исследовал резонансные явления в задаче спуска КА в атмосфере как в квазилинейной, так и нелинейной постановках. Заболотновым Ю.М. были впервые получены квазилинейная и низкочастотная нелинейная системы уравнений движения относительно центра масс КА с малой асимметрией в атмосфере [101]. Низкочастотная система была получена в соавторстве с Белоконовым В.М. и Белоконовым И.В. [30]. При этом Заболотнов Ю.М. подробно изучил вопросы оценки возмущений угла атаки при проходе через резонанс КА в квазилинейном случае (при малых углах атаки) [25]. Кроме того, Заболотнов Ю.М. также получил необходимые и достаточные условия внутренней устойчивости резонансов в квазилинейном случае [101] и нелинейном случаях [152].

1.3 Захват и проход через резонанс

В фазовом пространстве существуют области захвата и прохода фазовых траекторий через неустойчивые кривые - сепаратрисы, которые разделяют фазовые траектории в граничных точках этих областей. Возмущённое движение вызывает появление фазовых траекторий, принадлежащих нескольким областям фазового портрета и пересекающим сепаратрисы. Таким образом, формируются переходные режимы движения КА, то есть режимы перехода от вращения к колебаниям или от одного колебательного режима к другому [92]. В монографии Ярошевского В .А. [18] анализируются переходные режимы движения тел, а также рассматриваются два устойчивых и одно неустойчивое положения равновесия. Так же в монографии Кузмака Г.Е. [94] проводится аналитические исследования по определению границы переходного режима. Это явление сопровождается изменениями в характере движения летательного аппарата - вращательное

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Куркина Екатерина Владимировна, 2020 год

- - дР

инерции 1Х. Напротив, на интервале 1х е(0,75; 0.9] частная производная ^^

д1х

отрицательна. В этом случае вероятность захвата Р уменьшается с увеличением моментов инерции 1Х.

2.4.2 Оценка достоверности формулы расчета вероятности захвата и прохода через резонанс

На основе методики, предложенной в работе [102] проведено сравнение результатов оценки вероятности захвата спускаемого в атмосфере Марса аппарата типа Mars Polar Lender (m = 550 кг, l = 2 м, V(0) = 3800 м/с,

H(0) = 120 км, угол наклона траектории tf(0) = -10°, сх0 = 2 рад/с, mA = m^ = к ) в линейной постановке, в нелинейной постановке и прямой статистической оценкой полученной численно.

Численное решение Линейная постановка Нелинейная постановка

■Численное решение Линейная постановка Нелинейная постановка

Рисунок 2.15 - Сравнение вероятности захвата в резонанс, рассчитанной численно и аналитически, начальный угол атаки а) а0 = 45° , б) а0 = 60°

2.4.3 Численное моделирование спускаемой капсулы с массовой и аэродинамической асимметриями в атмосфере Марса

Рассмотрим задачу о спуске в атмосфере Марса капсулы близкой по форме к конической с массовой и аэродинамической асимметриями. Толщина плотных слоёв атмосферы Марса примерно составляет 100 км [167, 168]. Учитывается разрежённость атмосферы Марса, характеризующаяся меньшей плотностью и давлением (0,7 - 1,155 кПа). На рисунке 2.16 представлен вид капсулы с компланарной асимметрией и ортогональной массово-аэродинамической асимметриями, спускаемой в атмосфере Марса.

а) б)

Рисунок 2.16 - Спускаемая капсула с компланарной (а) и ортогональной (б) сочетаниями асимметрий

На рисунке 2.16 указаны виды сочетаний асимметрий: (а) - компланарное сочетание; (б) - ортогональное сочетание. На капсуле показаны две поверхности, имеющие два рабочих положения: закрытое и открытое, применяемые для искусственного введения аэродинамической асимметрии. В случае компланарого сочетания асимметрии (рис. 2.16 а) открыта управляемая поверхность в плоскости ОХУ, а управляемая поверхность в плоскости 0X7 закрыта. В случае ортогональной асимметрии (рис. 2.16 б) в плоскости 0X7 открыта вторая управляемая поверхность, а управляемая поверхность в плоскости ОХУ остается закрытой. Массовая асимметрия заключается в асимметричном расположении

ЦМ капсулы (точка С на рис. 2.16). Переход к компланарному сочетанию асимметрий для капсулы, имеющему при входе в атмосферу ортогональную асимметрию, может быть реализован закрытием аэродинамической поверхности (рисунке 2.16 б) с одновременным открытием аналогичной поверхности, показанной на рисунке 2.16 а и представляет практический интерес.

Части li и ¡2 сепаратрисы С представлены на рисунке 2.10 пунктирной

линией показаны. Сплошной линией показана зависимость 0=0(0) в случае захвата в резонансную колебательную область и предположении о положительном значении малого вращающего момента a(ff)>0. Особая точка

0о=0 имеет тип "центр", а особые точки 0i, 02 = -п, п - "седло" (рис. 2.10).

При численном моделировании предполагалось, что капсула имеет массово-инерционные характеристики, аналогичные спускаемому космическому аппарату «Mars Polar Lander».

На рисунке 2.17 представлены изменения угловой скорости (ûx(t) (сплошная линия) и ее резонансных значений cdx (t) (пунктирная линия) при захвате в главный резонанс в случае неизменного ортогонального сочетания

— A —A

асимметрий 01 -02 =п и параметров mx =0,008 и m =0,012. Начальные условия для уравнений относительного движения: угловая скорость (ûx (0) =0.7 с-1, угол атаки а(0)=п/6 радиан, угол 0(0)=п/6 радиан. Постоянное ортогональное сочетание массовой и аэродинамической асимметрий (рис. 2.17) может привести к захвату в главный резонанс с последующей длительной реализацией главного резонанса. Конфигурация капсулы в данном расчётном случае может иметь вид, показанный на рисунок 2.16 (б) - аэродинамическая асимметрия может представлять собой неподвижную в плоскости OXZ конструктивную особенность: элемент крепления антенны, крышку люка, и. т.п. В этом случае при переходе от ортогонального к компланарному сочетанию асимметрий в плоскости OXZ может раскрываться аэродинамическая поверхность, которая создаст момент компенсирующий момент от неподвижной аэродинамической

асимметрии. Одновременно с указанной компенсирующей поверхностью в плоскости ОХУ раскрывается другая аэродинамическая поверхность.

В случае перехода от ортогонального сочетания асимметрии к компланарному сочетанию в процессе спуска в марсианской атмосфере посредством управляемых поверхностей, в системе может происходить реализация прохода через главный резонанс. В частности, оценки (2.28) показывают, что вероятность захвата в резонанс при компланарной асимметрии в точке пересечения угловой скорости с восходящей кривой согх ) близка к нулю. На рисунке 2.17 (б) представлено изменение угловой скорости (Ох (?) (сплошная кривая) и изменение резонансных значений согх ) (пунктирная кривая) при

двойном проходе через главный резонанс. Данный численный результат был получен при переходе на 50-й секунде полёта (высота 100 км) от ортогонального сочетания асимметрия асимметрий (в1 — в2 = п) к компланарному сочетанию (в1 — в2 = 0). Остальные параметры КА и начальные условия при численном интегрировании случаев спуска КА, представленных на рисунках 2.17 а 2.17 б равны между собой. При переходе от одного сочетания асимметрий к другому может возникнуть некоторое скачкообразное изменение величин угла атаки и угловой скорости КА. Таким образом, сравнение значений текущей угловой скорости капсулы и резонансного значения угловой скорости позволяет определить, наблюдается ли захват или проход через главный резонанс в каждом из рассматриваемых случаев.

На рисунке 2.18 показаны результаты оценок вероятности захвата в главный резонанс при различных значениях параметра асимметрии вх - в2 = пк при малых углах атаки (применялись оценки 2.28) и при немалых углах атаки. Все величины начальных условий движения капсулы и его массово-геометрические параметры при построении рисунка 2.18 совпадают с величинами, применяемыми при построении рисунка 2.17.

а) б)

Рисунок 2.17 - Изменение угловой скорости сох (?) и резонансных значений

согх ): а) при захвате в резонанс в случае неизменного ортогонального сочетания

асимметрий; б) при проходе через резонанс в случае управляемого перехода от ортогонального к компланарному сочетанию асимметрий;

Результаты оценки вероятности захвата в резонанс при малых углах атаки

радшн) представлены на рисунке 2.18 ромбами, они несколько выше

представленных квадратами результатов расчета вероятности захвата в резонанс

при немалых углах атаки (а0 -п/6 радиан). При этом, уменьшение величины асимметрии от 1 до 0,5 при переходе от ортогонального к компланарному сочетанию асимметрии приводит в случае немалых углов атаки к уменьшению вероятности захвата в главный резонанс от 0,35 до 0,05.

Рисунок 2.18- Вероятность захвата в резонанс при малых и немалых углах атаки в зависимости от значений параметра асимметрии вх —в2 - пк

Согласно оценкам (2.28) вероятность захвата в резонанс при немалых углах

—А _ А

атаки увеличивается с ростом величин параметров асимметрии т или тх .

Такая закономерность согласуется с результатами оценки вероятности захвата в резонанс при малых углах атаки [169].

2.5 Оценка параметров асимметрии при захвате и проходе через

резонанс

Остановимся подробнее на случае прохода через резонанс, когда Р = 0. Величину асимметрии, при которой вероятность захвата в резонанс равна нулю, можно найти из необходимого условия существования внутренне устойчивого резонанса Р(о, в) = 0. Отсюда получаем уравнение

Р (о, в) = а (о) + Ь(о) ■ вш( в) = 0 (2.30)

Поскольку Бт(в) < 1, уравнение (2.30) выполнимо в том случае, когда

|а(о)| < 1

Ь(о)

(2.31)

Подставляя выражения (2.20) в условие (2.31), получим оценку значений параметров асимметрии спускаемого космического аппарата при реализации гарантированного прохода через главный резонанс:

ЭА Эа

а d с

V Яа

dt

дА d с

дс dt

< 1

(2.32)

ЭА

(___А \

дсх

т

х 2

V 1х У

+

ЭА Эа

2тА Л Я

V а У У

+

ЭА

А

дсх

т

х1

V 1х У

+

дА да

2т

А

Я

V а У У

Учитывая, разложение момента тш и то, что

А = Сх -С1,2 = Сх - ТхСх/2+Са=Сх - ТхСх/2 + \11ХСССХ/4+ (-тСа / 1))

дЛ Ai р V2 2r — = — nr2 L да 2

г

Cn1

V v

cos actga+ —

1

sin а

- C

n 2

J

cos а

sin actga+--2—

v sin а )

л\

)

/

21

i

~72 2

Ix ® x

AlPV nr2L (Cn1 sin а + Cn2 cos а)

л

I

дЛ

ю

дЛ

2^4

дю Va-ю2 ' дю 8^//4 + (-ш^а/1)

Рассмотрим частный случай ортогонального сочетания асимметрий 91 - о2 - п . При этом условие (2.32) примет вид

ЭА да

2a>tg а d ю

V Fa

dt

+

дЛ d ю

дю dt

дЛ

дю

m

x 2

x V Ix ))

+

эа

да

A 2m2?л

F

V a ) )

2

< 1

Рассмотрим случай гарантированного захвата в резонанс, когда вероятность захвата в резонанс принимает значения единицы Pr = 1 и выполняется условие

(2.28): Q > 4пlai. Учитывая формулы (2.31), получим

Q =

_ . db dю db

24---48—

дю dt да

г юtgа dюЛ

F

V a

dt

± 16 ЭЬ

да

( A Л

m юа

F

V a )

cos 04

3^

Подставляя выражение для Q в условие (2.28), получим следующую оценку

значений параметров асимметрии спускаемого космического аппарата при реализации гарантированного захвата в главный резонанс.

, db d ю , _ db

6---12-

дю dt да

г юtgа dюЛ

F

V a

dt

± 4 db

да

( A Л

m ю

F

V a )

cos 0/

3nVb(V) | a ( a)|

> 1

(2.33)

Рассмотрим частный случай, когда наблюдается ортогональное сочетание асимметрий, а именно, 01 - 02 = п. Здесь справедливы равенства sin04 = 0, cos04 = -1. При этом условие (2.33) примет вид:

db dю дю dt

12

да

fàtg а d ю

V^T^y

± 4 ^ да

í A \ m Юа

F

V a J

> 1

Злл/b\a (o)|

В работе [170] приведены аналогичные оценки параметров асимметрии для случая малых углов атаки. В случае немалых углов атаки выражения получились более сложными. Полученные оценки представлены в виде областей на плоскости параметров асимметрии. Выделены характерные области, соответствующие захватам или проходам через резонанс для различных КА.

Рассмотрим результаты численного моделирования спускаемого КА «Mars Polar Lander». На рисунке 2.19 представлены области гарантированного прохода, гарантированного захвата и промежуточная область, как прохода, так и захвата в резонанс.

В таблице 2.1 представлены результаты численного моделирования различных выборок параметров асимметрий, приводящих к графическому результату, представленному на рисунке 2.20.

Таблица 2.1 - Результаты численного моделирования

проход захват

mA mxA mA mA

0,03 0,015 0,03 0,06

0,05 0,012 0,05 0,05

0,1 0,006 0,1 0,04

0,15 0,004 0,15 0,035

0,2 0,003 0,2 0,03

0,3 0,002 0,3 0,028

mA захват —■— проход

0,06 Г- —г- —г- —г- —г- —г- —1

0,04---

0,02 —^ЗГ-——'

0 |ш >---тА

0 ОД 0,2 0,3

I Pr II Область прохода и захвата III Р}. - 0

Рисунок 2.19 - Характерные области для параметров асимметрии спускаемого КА «Mars Polar Lander»

На рисунке 2.19 показаны характерные области для значений параметров асимметрии спускаемого космического аппарата. Представлены три области параметров асимметрии с учётом прохода и захвата в резонанс: вероятность захвата в резонанс равна нулю (ниже синей линии), гарантированный захват КА в резонанс (выше красной линии) и область вероятного прохода и захвата в резонанс между ними.

2.6 Оценка возмущений величины угла атаки при проходе и захвате в

резонанс

Низкочастотные уравнения неуправляемого спуска КА с малой массовой и аэродинамической асимметрией представлены формулой (2.13).

Введём в системе уравнений (2.13) малый параметр ц = характеризующий величину возмущающих функции Y, В и медленное время т = . В результате получим:

I

II

III х

Ж Сх

Жг Л а

-цВ(а, с, 0), = А(а, ю) + цу (а, 0, с, сх),

Жг

сх, ю)К

Ж

(2.34)

2 Ж А

где Х-1/ е - большой параметр; А - - с; 5 - ^ Бт(0 + 02);

А, Жг

1х

У--

2юат

А

■008(0 + 0!); Д-юх -о1

К

Рассмотрим получение оценки возмущений угла атаки при проходе системы (2.34) через главный резонанс Д( а, сх, ю) - 0. Метод оценки возмущений угла атаки заключается в определении решений уравнений (2.34) в виде рядов:

а(т)- а0 (х) + ца1 (т)+ц ...,

1 (2.35)

0(т) - О0 (х) + ц01 (т) + ц2....

Подставляя выражения (2.35) в систему (2.34) и приравнивая члены при равных степенях Ц, получим в нулевом приближении систему:

Ж ю х

Жг

Ж ас Жг

Ж 00 Жг

- 0,

- А(а^ ю),

-Х[ Д (а0 , юх, ю)].

(2.36)

В первом приближении система (2.34) примет вид: Ж ю х

Жг

Ж а1 _ дА

- В( а0,00,ю),

а1 + У (а^ 0 0, ю х, ю),

Ж т д а

(2.37)

Ж 01 -Жт

X

ЭА

д

■а.

Здесь производная дА / да определяется при невозмущённых а - а0 , 0- 00. Для получения оценки величины угла атаки при проходе через главный резонанс необходимо найти решение первого и второго уравнения из системы (2.37). Учитывая начальное условие а1(т0) - 0, после применения метода вариации произвольных постоянных, получаем решение уравнений (2.37) в виде:

а1 - ехр

тдА

I —Ж т да

V10

с

I

У ехр ( -[ ЦА ЖП

Ж п.

(2.38)

Функция У ( а0,00, юх, ю) является периодической по фазе 00 с периодом 2п

и имеет нулевое среднее. Следовательно, основной вклад в рассматриваемый интеграл вносят стационарные точки, в которых частота изменения фазы обращается в ноль, то есть при проходе через резонанс. В этом случае для оценки интеграла (2.38) применим метод стационарной фазы [171]. Согласно методу стационарной фазы, при учёте одной стационарной точки решение интеграла (2.38) можно записать следующем образом:

т„ +8

а1 ~ | [уехр(к(т-п)) Жг|.

(2.39)

Ч -8

Здесь У - ^ - ряд Фурье, gk - коэффициенты ряда (отличные от нуля

к

только коэффициенты: g1,g-1 Ф 0, gk ~ gk (т*)), т* - момент времени прохода через резонанс, 8 - величина, определяющая окрестность резонанса

(о(-те)), к дА

д

Оценка интеграла (2.39) для одной гармоники ряда Фурье имеет вид:

т„+8

а1к ~ gk (т* )еХР(г0(т*)) | ГехР(((й'(т*)(п-т*)2)ехр(к(т-п))

Жп,

(2.40)

Ч -8

где И - Х[юх - ю12], 0"(т*) - к'(т*).

В окончательном виде получаем следующую оценку угла атаки при проходе через главный резонанс (с учётом одной стационарной точки и одной гармоники):

Ы -

ёк(

X

I (и, К)

(2.41)

где I(и, К) - интеграл Френеля, I(и, К) = | ехр

-81

и

-К (и - и) + рп—

du.

и = Х(т -т*), и = х(П - т*), 81 =х8, р = 81ёп

d А(т*)

d А (т*)

d т

Х =

' Я dА(т*)л0,5

Я-

^ = Л'(т.), К = -К. dт X

V п d т у

При определении максимальных отклонений угла атаки интеграл Френеля будем оценивать по его первому максимуму после прохода через резонанс и = 0. Верхняя оценка интеграла Френеля при а> 0 принимает вид:

I(и,К) -тахI(и,К)

-

и

| ехр[-К (и - и)и

-81

-1/К.

(2.42)

Полная оценка (при учёте нескольких резонансных стационарных точек)

может быть записана следующим образом: а^ - а1к.

к

Проведём сравнение аналитических оценок с результатами численного моделирования. Рассмотрим спуск КА массой т=3 кг, длиной I = 0,4 м, площадью поперечного сечения £=0,015 м2 с моментами инерции IX = 0,00456 кг м2, ^ = 0,0263 кг м2, Л = 0,0263 кг м2. Начальные условия входа в атмосферу имеют вид: ¥(0) = 7700 м/с, высота Н(0) = 250 км, угол наклона траектории д (0)= - 0,017 радиан, юх (0) = 2 рад/с, а (0) = 0.44 радиан. Параметры

асимметрии спутника равны: 01 - 02 = п / 2, т = 0.02, тх = 0,01. Как следует из

численных результатов интегрирования системы (2.13), (2.16) при проходе через главный резонанс происходит возмущение угла ориентации КА составляет 30° (рисунок 2.20).

Рисунок 2.20 - Возмущения угла атаки при проходе через резонанс

На рисунке 2.21 приведено сравнение численных и приближённо аналитических результатов оценки. Для построения линии 1 использовалась верхняя оценка интеграла Френеля, т.е. Да -1/ К. Как видно из рисунка 2.21 при этой грубой оценке возмущение угла атаки может составлять более одного радиана. Линия 2 соответствует приближённо аналитической оценке (2.40). Линия 3 демонстрирует результаты численного моделирования системы. Как видно численные результаты находятся в пределах приближённой аналитической оценки и уточняют её.

Относительная погрешность аналитического решения не превышает 26%, причём полученная оценка в 2.. .6 раз точнее, чем использование верхней оценки интеграла Френеля.

А а, рад M

О Л

К

О

1

2

3

4

5

Рисунок 2.21 - Сравнение численной и аналитических оценок возмущения

Рассмотрим результаты численного моделирования спускаемого КА «Mars Polar Lander». Рассматривается движение по низкой круговой орбите асимметричного КА с двигателем малой тяги. В процессе медленного торможения микро спутника на пассивном участке полёта в верхних слоях атмосферы может произойти совпадение частот, характеризующих его вращательного движение. Известно, что наибольшее влияние на движение КА относительно центра масс оказывает главный резонанс, то есть резонанс низшего порядка. Наличие на микро спутнике малой аэродинамической асимметрии приводит к возмущениям по углу атаки, имеющим место при проходе через главный резонанс. Возмущения величины угла атаки могут привести к существенным отклонениям траекторий от номинальных траекторий на этапе активного использования двигателя или к потере устойчивости углового движения КА. Для исследования движения КА относительно центра масс применяется низкочастотная система уравнений (2.13) его движения. Данная система уравнений адекватно описывает вращательное движение КА с учётом главного резонанса при углах атаки не превышающих 90 градусов. Для оценки

угла атаки при проходе через резонанс

величины возмущений в движении аппарата при проходе через резонанс используется методика, изложенная в пункте 2.4 и основанная на методе стационарной фазы.

КА движется на высотах порядка 100 километров. Форма КА близка к форме тела вращения. Аэродинамическая асимметрия аппарата характеризуется малыми возмущающими моментами, заданными в связанной с КА системе координат. При наличии указанных асимметрий ставится задача получения оценки максимального угла атаки при проходе через главный резонанс, который возникает при совпадении характерных частот системы дифференциальных уравнений, описывающей движение аппарата верхних слоях атмосферы.

На рисунке 2.22 показана зависимость угла атаки от времени. Из результатов моделирования следует, что возникает возмущение угла атаки при проходе через резонанс, что можно видеть на рисунке 2.22.

Из численных результатов следует, что в процессе прохода через резонанс имеет место скачкообразное изменение величины угла атаки. Несмотря на то, что аэродинамическая асимметрия КА является малой величиной, при проходе через резонанс наблюдается возмущение угла атаки, достигающее нескольких десятков градусов. Указанное возмущение величины угла атаки может привести к потере устойчивости углового движения аппарата, что в свою очередь приведёт к значительным отклонениям траекторий от номинальных траекторий на этапе активного использования двигателя.

Численные результаты показывают, что величина угла атаки при однократном проходе через резонанс (с учётом вида интеграла Френеля) представляет собой точечную верхнюю оценку для величин возмущений угла атаки, найденных численными методами.

а, рад 0,6--

0 100 200 l'Q

Рисунок 2.22 - Возмущение угла атаки при проходе через резонанс КА

«Mars Polar Lander»

2.7 Методика построения области допустимых значений параметров, характеризующих асимметрию КА

В данном разделе строится область определения значений параметров асимметрии КА из условия устранения резонансных явлений при спуске в атмосфере. При разработке спускаемых КА стараются обеспечить им внешнюю осесимметричную форму и динамическую симметрию. Малые моменты от присутствия асимметрии могут привести к резонансным явлениям. При спуске в атмосфере планеты необходимо соблюдать ограничения величины угла атаки и угловой скорости [172]. Увеличение угловой скорости КА и увеличение угла атаки приводит к аварийным ситуациям [173]. Поэтому рассмотрим методику построения области определения значений параметров асимметрии, применение которой возможно при проектировании КА. Предположим малость углов атаки КА. Погрешность системы отделения аппарата от орбитального комплекса зависит от величину начальной угловой скорости вращения. Определим

максимальные значения асимметрии КА, при которых его угловая скорость юх не достигает резонансных значений югх. Ограничения по угловой скорости юх имеют вид:

тт юх - юх - тах юх = юх

При малых углах атаки а [28]:

б = ут • тА • 008(02 -01),

(2.43)

(2.44)

где

т

А _ тх

т

-А т

А

ю

ю

00Б 01

т

А

т

А

00Б 0-

т

А

х 2

т

А

б1п 01

т

А

т

А

• л тх1

Б1П 02 = - х1

т

А

, ООБ(01 -02) = 00Б 01 00Б 02 + б1П 01 Б1П0

2 •

Для квазилинейной системы дифференциальных уравнений, описывающих вращательное движение КА вокруг центра масс функции, характеризующие величины аэродинамической и массовой асимметрии имеют вид:

т

А

= \(тА) +(тА) , тА = Л(тА ) +(тА2) ,

ю2 г ~ „ Т тг =--тУо +-Сх1А -^ю

'А

т

г1

-уо

Ю „ - 2

х1А -IxzЮx,

т

2

А Ю г т2 =--т1о

т

z1

Ю ^ к— т 2

Сх1АУ +Ixy ®х,

z1

т