Переходные режимы движения спускаемого аппарата с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента на начальном участке траектории в атмосфере тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.09, кандидат технических наук Баринова, Елена Витальевна

• Баринова, Елена Витальевна
• кандидат технических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат технических наук Баринова, Елена Витальевна

Список основных обозначений.

Введение.

1 Проблема исследования неуправляемого движения спускаемых аппаратов и методы её решения.

1.1 Переходные режимы движения СА относительно центра масс.

1.2 Рассеивание траекторий.

2 Математические модели движения неуправляемого спускаемого аппарата в атмосфере.

2.1 Силы и моменты, действующие на спускаемый аппарат в атмосфере.

2.2 Уравнения движения СА.

2.3 Начальные условия углового движения.

3 Исследование переходных режимов движения спускаемого аппарата по углу атаки.

3.1 Общие основания возмущённого движения осесимметричного СА при спуске в атмосфере.

3.2 Переходные режимы движения по углу атаки в случае плоского движения.

3.2.1 Определение числа и типа особых точек фазового портрета.

3.2.2 Аналитические выражения для интеграла действия, взятого вдоль сепаратрис.

3.2.3 Характерные виды фазовых портретов.

3.2.4 Метод аналитического исследования переходных режимов движения в плоском случае.

3.3 Переходные режимы движения С А в случае пространственного движения.

3.3.1 Определение числа и типа особых точек фазового портрета.

3.3.2 Аналитические выражения для интеграла действия, взятого вдоль сепаратрис.

3.3.3 Метод аналитического исследования переходных режимов движения в пространственном случае.

3.4 Исключение переходных режимов движения СА путём выбора проектно-баллистических параметров.

4 Влияние переходных режимов движения спускаемого аппарата на рассеивание траекторий.

4.1 Влияние подъёмной силы на рассеивание траекторий.

4.2 Рассеивание траекторий в случае плоского движения.

4.3 Рассеивание траекторий в случае пространственного движения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Переходные режимы движения спускаемого аппарата с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента на начальном участке траектории в атмосфере»

V

Актуальность работы. Большое количество космических программ в, качестве заключительной фазы полёта предусматриваютхпуск неуправляемого« аппарата в.атмосферу Земли и других планет. Несмотря-на наличие обширных исследованию в-этой области, многие задачи, как теории, так и практики, в настоящее время не нашли своего разрешения. Важной задачей' является разработка качественных и. приближённых аналитических методов исследования переходных режимов движения спускаемого аппарата (СА) при входе в атмосферу, под- которыми понимаются случаи, когда в процессе-снижения СА происходит изменение характера движения относительно его центра масс: вращательное движение переходит в колебательное, «скачкообразно» изменяются характеристики, колебательного движения; меняется тип прецессионного движения и т. д. Изучение^ переходных режимов движения необходимо для определения компонент перегрузки, рационального расположения теплозащитного покрытия, определения рассеивания точек посадки, а также для назначения требований к геометрической форме и конструктивно-компоновочной схеме СА.

Движение СА в« атмосфере как твёрдого тела описывается системой-нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, общее решение которой получить * не представляется возможным. При численном интегрировании уравнений движения, во-первых, остаются скрытыми причины, обусловливающие тот или иной характер движения, во-вторых, для установления- закономерностей движения требуется значительное число расчётов, что приводит к большим затратам времени из-за наличия в правых частях уравнений быстро осциллирующих функций. При этом даже эффективные численные алгоритмы решений, экономные с точки зрения машинного времени, всегда должны использовать информацию об аналитической природе задачи. Поэтому поиск приближённых аналитических решений и разработка методов исследования, позволяющих существенно ускорить« процесс расчёта' и установить закономерности, свойственные движению СА, являются актуальной задачей.

Движение относительно центра масс осесимметричного СА в атмосфере описывается системой уравнений, представляющей собой квазиконсервативную нелинейную систему с одной степенью свободы. Характер движения СА во. многом' определяется? формой зависимости восстанавливающего момента от угла атаки, которая является нечётной функцией и в общем случае аппроксимируется нечётным рядом Фурье по углу атаки. Г. Е. Кузмаком исследованы переходные режимы движения СА с синусоидальной зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки, что характерно для СА, имеющих форму сферы или тонкого конуса. Фазовый портрет такой' системы аналогичен возмущённой колебательной системе маятникового типа. В настоящее время эксплуатируются и разрабатываются СА сегментально-конической, затупленно-конической и других форм (спускаемые модули "Союз", "Марс", многие перспективные малогабаритные грузовые капсулы) с достаточно сложной зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки, для удовлетворительной аппроксимации которой рядом Фурье необходимо удерживать не менее двух или даже трёх гармоник тригонометрического ряда в разложении. Наличие второй гармоники в моментной характеристике обусловливает возможность появления одного, а наличие третьей - двух дополнительных положений равновесия СА по углу атаки, то есть дополнительных особых точек на фазовом портрете, что приводит к появлению ряда новых случаев переходных режимов.

Переходные режимы движения тел, имеющих два устойчивых и одно неустойчивое положения равновесия, проанализированы В. А. Ярошевским. Однако интеграл действия, который является адиабатическим инвариантом для рассматриваемой системы, не выписан в явном виде, что существенно затрудняет анализ движения. В работах В. С. Асланова и И. А. Тимбая на основе полученных аналитических формул для интеграла действия разработан метод аналитического исследования переходных режимов движения СА под действием медленно меняющегося во времени бигармонического восстанавливающего момента.

В диссертационной работе разрабатываются качественные и приближённые аналитические методы исследования переходных режимов движения* СА с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента на- основе полученных аналитических выражений для. интеграла действия, вычисленного на сепаратрисах. Формулы позволяют определять времена перехода между областями фазовой плоскости не прибегая? к численному интегрированию, а также вероятности попадания в колебательные области без проведения статистических расчётов. Составлены таблицы для определения вероятности реализации колебаний с малыми углами атаки.

Наряду с исследованием переходных режимов движения* С А по углу атаки-, важным является исследование характера изменения по траектории спуска угла аэродинамического крена (угла собственного вращения) и угла скоростного крена (угла прецессии). Угол собственного вращения определяет положение боковой поверхности СА относительно набегающего потока, и, следовательно, характер обгара теплозащитного покрытия. Угол прецессии определяет положение плоскости угла атаки, и, следовательно, подъёмной силы, относительно осей траекторной системы координат. Вопросы исследования прецессионного движения и влияния его на рассеивание точек падения неуправляемых СА рассмотрены, например, в работах Д. Платуса, Т. Лина. В диссертационной работе показано влияние переходных режимов» движения СА с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента на рассеивание траекторий.

Поскольку конструкция неуправляемых СА предполагает отсутствие каких-либо систем, способных управлять угловым движением, то обеспечение-расчётных условий движения осуществляется только на этапе проектирования за счёт выбора проектно-баллистических параметров и задания начальных условий движения. В работе определены условия, накладываемые на коэффициенты моментной характеристики, зависящие от формы и положения центра масс аппарата, а также найдены аналитические условия, определяющие начальную ориентацию и величину вектора кинетического момента, которые позволяют исключить переходные режимы движения.

Объектом исследования является неуправляемый СА с тригармонической I характеристикой восстанавливающего момента.

Предметом исследования являются переходные режимы движения относительно центра масс СА с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента

Целью настоящей работы- является разработка качественных и приближённых аналитических методов исследования переходных режимов движения СА с тригармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки на начальном участке траектории спуска в атмосфере и выбор на этой основе проектно-баллистических параметров, обеспечивающих заданное движение.

Для достижения указанной цели в работе решаются следующие задачи:

Разработка качественных и приближённых аналитических методов исследования невозмущённого движения СА с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента: а) применение метода фазовой плоскости для исследования движения по углу атаки; б) получение аналитических выражений для вычисления интеграла действия на сепаратрисах, разделяющих' вращательную и колебательные области фазового портрета системы.

2. Разработка методов аналитического исследования возмущённого движения СА с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента: а) получение формул для определения времени изменения вида фазового портрета в процессе движения; б) получение формул для определения времён- переходов между областями фазового портрета на основе аналитических выражений- для интеграла действия; в) получение формул, для- определения- вероятностей* попадания в различные колебательные1 области фазового портрета.

31 Определение аналитических условий для исключения переходных^ режимов движения относительно/ центра масс СА' с тригармонической характеристикой восстанавливающего,момента.

4. Исследование влияния переходных режимов, движения С А с тригармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки на рассеивание траекторий.

5. Проверка адекватности расчётов по аналитическим формулам и результатам численного интегрирования.

Методы исследования. При разработке методов для получения аналитических формул использовались теория адиабатического инварианта, метод фазовой плоскости, а также методы и подходы, развитые в работах В. С. Асланова, В. И. Арнольда, А. И. Нейштадта, В. А. Ярошевского, Д. Платуса.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Построена номограмма для определения числа и типа особых точек фазового портрета системы в зависимости от соотношения коэффициентов тригармонической характеристики восстанавливающего момента СА в случае плоского движения.

2. Разработан метод аналитического исследования переходных режимов движения СА относительно центра масс под действием медленно меняющегося во времени тригармонического восстанавливающего момента, основанный на полученных аналитических выражениях для:

- времени изменения вида фазового портрета в случае пространственного движения; интеграла действия на сепаратрисах; выраженного через эллиптические интегралы первого, второго, третьего рода* и элементарные функции; времени перехода между различными областями фазовой плоскости; вероятности захвата в ту или иную область, когда при1 пересечении сепаратрисы фазовая точка может попадать в различные колебательные области.

3. Дня исключения переходных режимов движения СА относительно центра масс определены условия, накладываемые на коэффициенты тригармонической характеристики восстанавливающего момента, а также найдены аналитические условия, определяющие необходимую начальную ориентацию и величину вектора кинетического момента.

4. Показано влияние на рассеивание траекторий переходных режимов движения относительно центра масс на начальном участке снижения в атмосфере СА с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью принятых допущений в исходных математических моделях; применением при проведении» экспериментов с математическими моделями известных численных методов, обладающих высокой точностью.

Практическое значение работы состоит в том, что основные результаты доведены до аналитических выражений и могут непосредственно использоваться в инженерной практике при анализе движения спускаемого аппарата, а также при выборе проектно-баллистических параметров и начальных условий движения для исключения переходных режимов движения относительно его центра масс.

Результаты исследований используются в учебном процессе Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С. П. Королёва (национального исследовательского университета).

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Номограмма для определения числа и типа особых точек фазового портрета системы в случае плоского движения для осесимметричного СА с тригармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки.

2. Метод аналитического исследования переходных режимов движения СА относительно центра масс под действием медленно меняющегося во времени тригармонического восстанавливающего момента без численного интегрирования и статистического моделирования, основанный на полученных аналитических выражениях для: времени изменения вида фазового портрета в случае пространственного движения; интеграла действия на сепаратрисах; времени перехода между различными областями фазовой плоскости; вероятности захвата в ту или иную область.

3. Условия, накладываемые на коэффициенты тригармонической характеристики восстанавливающего момента, а также определяющие необходимую начальную ориентацию и величину вектора кинетического момента для исключения переходных режимов движения СА относительно центра масс.

4. Результаты численных экспериментов, показывающие влияние переходных режимов движения СА с тригармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки на рассеивание траекторий.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались на всероссийских и международных конференциях, в том числе на международной конференции «Scientific and Technological Experiments on Automated Space Vehicles and Small Satellites» (г. Самара, 2008 г.), на XXXIV академических чтениях по космонавтике (г. Москва, 2010 г.), на XIII и XIV Всероссийских научно-технических семинарах по управлению движением и навигации летательных аппаратов (г. Самара, 2007, 2009 гг.), на IX и X Королёвских чтениях (г. Самара, 2007, 2009 гг.).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в восьми печатных работах, из них одна статья в рецензируемом журнале [1], две статьи в сборниках трудов [2, 3] и пять тезисов докладов [4 — 8].

Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка использованных источников.

В первой главе даётся оценка современного состояния проблемы разработки качественных ' и приближённых аналитических методов исследования переходных режимов движения СА в атмосфере и проводится анализ известной литературы по данной теме.

Во второй главе приводится описание математической модели движения относительно центра масс осесимметричного СА. Рассматривается влияние начальных условий углового движения, которые реализуются при входе СА в атмосферу, на характер его движения относительно центра масс при спуске.

В третьей главе разрабатывается метод аналитического исследования переходных режимов движения осесимметричного СА относительно центра масс под действием медленно меняющегося во времени тригармонического восстанавливающего момента. Определяется число и ' тип особых точек фазового портрета системы. Выводятся аналитические выражения для интегралов действия на сепаратрисах, времени изменения вида фазового портрета в случае пространственного движения, времени перехода между различными областями фазовой плоскости, вероятности захвата в ту или иную колебательную область. Определяются условия для коэффициентов моментной характеристики и для начальной ориентации и величины вектора кинетического момента, исключающие переходные режимы движения.

В четвёртой главе показано влияние переходных режимов движения по углу атаки на поведение угла прецессии и на рассеивание траекторий для СА с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента. Приведены результаты численных расчётов рассеивания траекторий для плоского и пространственного случаев движения СА. .

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в данной работе.

1 Проблема? исследования неуправляемого движения спускаемых аппаратов и методы её решения

В главе даётся оценка современного состояния проблемы разработки качественных и приближённых аналитических методов ? исследования переходных режимов-движения неуправляемых СА в атмосфере и проводится анализ известной литературы по данной теме.

Заключение диссертации по теме «Динамика, баллистика, дистанционное управление движением летательных аппаратов», Баринова, Елена Витальевна

Основные результаты проведённых исследований:

1. Для невозмущённого движения осесимметричного СА с тригармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки построена номограмма для определения числа и типа особых точек фазового портрета системы в случае плоского движения в зависимости от соотношения коэффициентов, стоящих при гармониках разложения; получены аналитические выражения для интеграла действия на сепаратрисах, выраженные через эллиптические интегралы первого, второго, третьего рода и элементарные функции.

2. Для возмущённого движения осесимметричного СА с тригармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки разработан метод аналитического исследования переходных режимов движения под действием медленно меняющегося во времени восстанавливающего момента, основанный на полученных аналитических выражениях для времени изменения вида фазового портрета в случае пространственного движения, времени перехода между различными областями фазовой плоскости, вероятности захвата в ту или иную область, когда при пересечении сепаратрисы фазовая точка может попадать в различные колебательные области.

3. Для исключения переходных режимов движения определены условия, накладываемые на коэффициенты моментной характеристики, зависящие от формы и положения центра масс аппарата, а также найдены аналитические условия, определяющие начальную ориентацию и величину вектора кинетического момента.

4. Показано влияние переходных режимов движения на рассеивание траекторий при входе в атмосферу для СА с тригармонической моментной характеристикой.

Полученные в работе формулы позволяют определять времена перехода между областями фазовой плоскости не прибегая к численному интегрированию, а также вероятности попадания в колебательные области без проведения статистических расчётов.

В работе показано, что при переходных режимах движения СА относительно центра масс в верхних слоях атмосферы может возникать эффект неосреднения подъёмной силы, который вызывает рассеивание траекторий. В случае пространственного движения при реализации режима зависания рассеивание траекторий тем больше, чем ниже происходит переход от одного колебательного режима к другому. В случае плоского движения наибольшее рассеивание траекторий происходит при реализации колебательного движения относительно дополнительного положения равновесия.

Заключение

В настоящей работе разработан аналитический метод исследования переходных режимов движения СА, когда моментная характеристика представлена в виде суммы трёх первых синусоидальных гармоник, с учётом медленного изменения во времени коэффициентов моментной характеристики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Баринова, Елена Витальевна, 2011 год

1. Баринова Е.В, Тимбай И.А. Прецессионное движение спускаемой капсулы при входе в атмосферу // Тезисы докладов Международной молодёжной научной конференции «XIV Туполевские чтения». Казань. 2006. - с. 5 - 6.

2. Асланов B.C. Пространственное движение тела при спуске в атмосфере. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

3. Кузмак Т.Е. Динамика неуправляемого движения летательных аппаратов при входе в атмосферу. М.: Наука, 1970.

4. Воейков В.В., Ярошевский В.А. Определение амплитуды колебаний осесимметричного космического аппарата при неуправляемом спуске в атмосфере // Учёные записки ЦАГИ. 1970. Т. 1. № 3. с. 45.

5. Ярошевский В.А. Движение неуправляемого тела в атмосфере. М.: Машиностроение, 1978.

6. Ярошевский В.А. Аналитические оценки пиковых значений* амплитуды колебаний угла атаки неуправляемого космического аппарата на этапе входа в атмосферу в случае плоского движения // Космич. исслед. 2000. Т. 38. № 4. с. 437-442.

7. Дмитриевский A.A., Лысенко Л.Н., Богодистов С.С. Внешняя баллистика. М.: Машиностроение, 1991.

8. Ларичева В.В., Шилов A.A. Асимптотический метод определения аналога сепаратрис при движении тела около центра масс в атмосфере // Космич. исслед. 1969. Т. 7. № 1.

9. Ларичева В.В. О разрывном характере аналога сепаратрис при движении асимметричного тела около центра масс в атмосфере // Учёные записки НАГИ. 1972. Т. 3. № 3.

10. Шилов A.A. Влияние массовой; и аэродинамической несимметрии тела на. характер его?пространственного движения // ДАН СССР. 1968. Т. 183. № 5.с, 1028. ' ; '' '

11. Асланов B.C., 'Серов В.М. Вращательное: движение: осесимметричного твёрдого тела с бигармонической характеристикой восстанавливающего момента. // Изв; АЬ£ МТТ. 1995; №^3. с. 19^

12. Асланов B.C., Тимбай И.А., Бойко В.В. Пространственные колебания осесимметричного аппарата на произвольных углах атаки при снижении в атмосфере планеты // Космич; исслед. 1981. Т. 19. № 5. е.680-687.

13. Асланов B.C., Тимбай H.A. Некоторые задачи динамики неуправляемого спуска КА в атмосфере // Космич. исслед. 1995. Т. 33. № 6.x. 639-645.

14. Акуленко Л.Д., Козаченко Т.А., Лещенко Д.Д. Вращение твёрдого тела:под действием нестационарных восстанавливающего и возмущающего моментов // Механика твёрдого тела 2003. № 2 с. 3 11.

15. Лещенко Д.Д., Шамаев A.C. Возмущённые вращательные движения твёрдого тела, близкие к регулярной прецессии, в, случае Лагранжа // Изв. АН. МТТ. 1987. № 6. с. 8.

16. Сазонов В.В., Сидоренко В.В. Возмущённые движения твёрдого тела, близкие к регулярным прецессиям Лагранжа // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 6. с. 951.

17. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической и небесной механике. //Успехи мат. наук. 1963. Т. 18. Вып. 6. с. 91.

18. Нейштадт А.И. Вопросы теории; возмущению нелинейных1 резонансных систем- // Диссертация» на соискание учёной степени доктора фттзико-матеметических паук. М.: ВИНИТИ; 1988.

19. Асланов B.C., Тимбап И.А. Переходные режимы углового движения КА на верхнем участке траектории спуска // Космич. исслед. 1997. Т. 35. №3. с. 279 -286.

20. Асланов B.C., Тимбап И.А. Интеграл действия при движении твёрдого тела в обобщённом случае Лагранжа // Изв: АН: МТТ. 1998. № 2. с. 9-17.

21. Белоконов В.М., Заболотнов М.Ю. Оценка вероятности захвата в резонансный5 режим движения, космического аппарата при спуске в атмосфере//Космич. исслед. 2002 Т. 40: № 5;.с. 503-514.

22. Любимов; В.В. Вторичные резонансные эффекты и: устойчивость при движении твёрдого тела в атмосфере // Самара: СЫЩ РАН, 2005.

23. Асланов B.C., Ледков А.С. Устранение резонанса, возникающего при-спуске осесимметричного КА в разреженной атмосфере // Общероссийский научно-технический журнал "Полёт". — 2008. №7. - с. 46-50.

24. Кеньшов Е.А. Исследование перехода плоского вращательного движения космического аппарата с асимметрией к колебательному при входе в атмосферу // Аспирантский вестник Поволжья. Самара: 2003. №1. с. 31-33.

25. Кеныпов Е.А., Тимбай И.А. Переход плоского вращательного движения космического аппарата с асимметрией в колебательное при входе в атмосферу // Космич. исслед. 2004. Т. 42. № 3. с. 295-301.

26. Асланов B.C., ЛедковА.С. Особенности вращательного движения КА при спуске в атмосфере Марса // Космические исследования. — 2007. — Т. 45, №4. — с. 351-357.

27. Сихарулидзе Ю.Г., Корчагин А.Н. Анализ точности баллистического спуска с околоземной круговой орбиты // Космич. исслед. 2002. Т. 40. № 1. с. 75 87.

28. Заболотнов Ю. М., Никонова И.А. Ранжирование возмущений при спуске капсулы в атмосфере // «Известия вузов. Авиационная техника». Казань: КАИ, 2010.- № 4.- с. 67 - 78.

29. Козлов М.Д., Тимбай И.А. Оценка влияния импульсных возмущающих моментов на рассеивание точек посадки спускаемых аппаратов // Математическое моделирование систем и явлений. Межвузовский сборник научных трудов. Самара. 1995. с. 53-61.

30. Платус Д. Рассеивание по боковой дальности для вращающихся ракет вследствие остаточной подъёмной силы // Ракетная техника и космонавтика. 1977. № 7. с. 17.

31. Платус Д. Рассеивание по боковой, дальности для космических аппаратов, возвращающихся в атмосферу, вследствие начального углового рассогласования // Ракетная техника и космонавтика. 1980. № 5. с. 205.

32. Barbera F., Fuess В. Impact dispersion due to mass and aerodynamic asymmetries // Journ. Spacecraft and Rockets. 1967. V. 4. No. 10.

33. Glover L. Effect on roll rate of mass and aerodynamic asymmetries for ballistic -type bodies // Journ. Spacecraft and Rockets. 1965. No. 2. p. 220.

34. Lin Т., CrabowskyW., YelmgrenK., LandaM. Ballistic re-entry vehicle dispersion due to precession stoppage // Journ. Spacecraft and Rockets. 1984. V. 21. No. 4. p. 330.

35. Platus D.H. Ballistic re-entry vehicle flight dynamics // Journ. Guidance, Control and Dynamics. 1982. V. 5. No. 1.

36. Динамика летательных аппаратов в атмосфере. Термины, определения и обозначения. ГОСТ 20058-80, 1980.

37. Лебедев A.A., Герасюта Н.Ф. Баллистика ракет. М.: Машиностроение, 1970.

38. Бухгольц H.H. Основной курс теоретической механики. Ч. Ii. М: Наука, 1972.

39. Платус Д. Сходимость угла атаки вращающихся космических аппаратов, возвращающихся в атмосферу, и скорость поворота меридиана, расположенного с наветренной стороны аппарата // Ракетная техника и космонавтика. 1969. № 12. с. 168.

40. Аэродинамика ракет / Под. ред. Н.Ф. Краснова. М.: Высшая школа, 1968.

41. Волосов В.М. Некоторые виды расчётов в теории нелинейных колебаний, связанных с усреднением // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1963. Т. 3. № 1. с. 3.

42. Волосов В.М. Моргунов Б.И. Метод усреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд. МГУ, 1971.

43. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твёрдого тела. М.: Наука, 1977.

44. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984.

45. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.