Минимаксный метод расчета экзотических и американских опционов на неполном рынке с конечным горизонтом (дискретное время) тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Шелемех Елена Александровна

• Шелемех Елена Александровна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Шелемех Елена Александровна

Введение

Глава 1 Минимаксный расчет экзотического опциона

1.1 Постановка задачи расчета экзотического опциона

1.2 Рекуррентное соотношение для минимаксного значения ожидаемого риска продавца экзотического опциона

1.3 Условия существования оптимального портфеля продавца

1.4 Опциональное разложение и суперхеджирующий портфель экзотического опциона

1.5 Существование "наихудшей" меры и свойства решения задачи (1.8) относительно этой меры

1.6 Пошаговое решение задачи (1.8)

Глава 2 Минимаксный расчет американского опциона

2.1 Постановка задачи расчета американского опциона

2.2 Связь минимаксных задач продавцов экзотического и американского опционов

2.3 Свойства решения задачи продавца американского опциона

2.4 Связь с задачей суперхеджирования американского опциона

2.5 Связь с задачей об оптимальной остановке

2.6 Пошаговое решение задачи (2.3)

Глава 3 Примеры расчета экзотических и американских опционов на неполных рынках

3.1 Описание рынка

3.2 Расчет экзотического и американского опционов на

неполном{1, 5}-рынке

3.3 Примеры расчета экзотических опционов на неполном {1,5}-рынке

3.4 Примеры расчета американских опционов на неполном {1,5}-рынке

3.5 Пример расчета опциона в системе символьных вычислений

Заключение

Указатель обозначений

Библиография

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Минимаксный метод расчета экзотических и американских опционов на неполном рынке с конечным горизонтом (дискретное время)»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования

1. Общая характеристика рынков и опционов (изложено по [34, раздел 1 главы V]). Пусть время дискретно. Имеются активы двух видов. Эволюция цен активов первого вида может быть описана предсказуемой случайной последовательностью. Такие активы называют безрисковыми. Эволюция цен активов второго вида может быть описана только согласованной случайной последовательностью, их называют рисковыми. Рынок — это набор, состоящий из конечного числа безрисковых и рисковых активов. Если на рынке перевод одного вида актива в другой не требует дополнительных затрат, то такой рынок называют рынком "без трения" или рынком без транзакционных издержек. Говорят, что на рынке отсутствуют торговые ограничения, если на нем разрешены купля-продажа и операции займа активами в любом количестве.

Опцион — это контракт между продавцом и покупателем, состоящий в: 1) реализации продавцом опциона права на совершение с ним сделки в будущем на условиях, зафиксированных в контракте в момент продажи опциона, и получении продавцом опциона от покупателя опциона за переданное право вознаграждения (стоимость опциона, примия); 2) совершении указанной сделки при поступлении требования от покупателя опциона в некоторый момент времени в будущем в соответствии с условиями контракта (исполнение опциона). Сделка может представлять собой: а) покупку или продажу рисковых активов продавцу опциона покупателем опциона (поставочный опцион), или б) осуществление расчетов на сумму разницы между стоимостью активов, по крайней мере один из которых является

рисковым (безпоставочный опцион). За счет полученной премии продавец формирует набор, состоящий из рисковых и безрисковых активов (портфель ) и управляет им таким образом, чтобы совокупная стоимость всех входящих в портфель активов (капитал портфеля) в момент исполнения опциона позволила продавцу достоверно исполнить его обязательства по контракту. Портфель, удовлетворяющий последнему требованию, называют хеджирующим.

По способу задания момента возникновения у покупателя права требовать совершения предусмотренной опционом сделки выделяют контракты европейского, экзотического и американского типов. Опционы европейского типа могут быть востребованы только в конкретную дату, зафиксированную в тексте контракта. Момент востребования экзотического опциона может быть обусловлен наступлением некоторого случайного события, о котором сказано в контракте. Например, барьерный опцион подлежит исполнению в случае достижения ценой рискового актива некоторого заданного уровня или в случае ее выхода за пределы установленного текстом договора коридора [57, раздел 24.6]. Как в случае европейского, так и в случае экзотического опционов после заключения контракта стороны не имеют возможности повлиять на наступление момента востребования. Покупатель американского опциона вправе потребовать исполнения предусмотренной контрактом сделки в любой момент времени по своему выбору: а) вплоть до наступления фиксированной даты (опцион с конечным горизонтом); б) без ограничения срока (случай бесконечного горизонта). В диссертации рассматривается только случай конечного горизонта.

При моделировании ценообразования европейского и экзотического опционов на неполном рынке стоит задача найти стоимость опциона и хеджирующий портфель ("рассчитать опцион"). Для американского опциона дополнительно необходимо найти момент его предъявления к исполнению.

Известно, что рынок полностью описывается распределением цен рисковых активов. Обычно предполагается, что оно известно лишь с точностью до эквивалентности. Кроме того, стандартным является предположение о безарбитражности рынка. Безарбитражные рынки характеризуются тем, что на них существует эквивалентная мартингальная (риск-нейтральная)

мера. Среди безарбитражных рынков выделяют "идеальные" рынки: на них любое платежное обязательство 1) имеет единственную безарбитражную цену и 2) воспроизводимо, т.е. существует такой портфель, капитал которого в момент исполнения обязательства равен величине этого обязательства. Такие рынки называют совершенными или полными. Известно, что рынок полон тогда и только тогда, когда эквивалентная мартингальная мера единственна. На полных рынках безарбитражная цена европейского опциона равна ожидаемому значению выплаты относительно единственной мартингальной меры, а задача расчета опциона американского типа сводится к классической задаче об оптимальной остановке американского платежного обязательства, причем математическое ожидание берется относительно указанной меры.

2. Актуальность темы диссертационной работы. Полный рынок — это идеальная модель. Обычно безарбитражные рынки неполны, т.е. эквивалентная мартингальная мера не единственна, и, вообще говоря, эквивалентным мартингальным мерам соответствуют различные цены опциона (они образуют множество мощности континуума) и портфели продавца [26, §5.3]. Необходимо описать и обосновать подход участников контракта к выбору безарбитражной цены и портфеля.

3. Обзор литературы. В литературе хорошо изучены два подхода к описанной выше проблеме выбора: а) максимизация ожидаемой полезности участника рынка и б) суперхеджирование. В рамках этих подходов рассматривают как статическую, так и динамическую постановки, с дискретным и с непрерывным временем. Задача максимизации ожидаемой полезности участника рынка в статической постановке заключается в нахождении вероятностной меры, доставляющей экстремум ожидаемому терминальному значению функции полезности этого участника по некоторому множеству мер. Эта задача рассматривалась в работах таких авторов как Schachermayer W., Крамков Д. О., Гущин А. А., Delbaen F., Крамков Д. О., Grandits P. и Summer Ch., Biagini S. и Frittelli M., Хасанов Р. В. и других. Для различных моделей рынка показано, что рассматриваемая задача является "двойственной" к задаче суперхеджирования [9,46], и получены условия существования решения обеих задач, которые оказалось трудно

проверить [30,41,42,48,55,56,63,64,72]. Задачу максимизации ожидаемой полезности в динамической постановке рассматривали Quenez M. C. и соавторы. В их работах для различных моделей рынков в динамической задаче максимизации полезности получены условия существования и некоторые свойства решений [50,67].

Второй подход состоит в построении портфеля (называемого супер-хеджирующим), капитал которого позволяет достоверно исполнить опцион относительно любой эквивалентной мартингальной меры (см. публикации Крамкова Д. О., Кабанова Ю.М., Föllmer H., Quenez M.C., Рохлина Д. Б., Berkaoui A., Neufeld A., Nutz M. и других). Известно, что: 1) верхняя цена хеджирования европейского (американского) опциона представима в виде верхней грани значения ожидаемой выплаты по множеству эквивалентных мартингальных мер (и моментов остановки) [26,51,69]; 2) построение суперхеджирующего портфеля опциона основано на опциональном разложении [20,26,62]. Установлены условия существования такого разложения (и, соответственно, условия существования суперхеджирующего портфеля) для супермартингалов относительно класса эквивалентных (локально) мартингальных мер [53, 54,62] и достаточно богатого класса абсолютно непрерывных мер, стабильных к бифуркации [40]. Однако, известные результаты не дают конструктивного способа построения опционального разложения, суперхеджирующего портфеля (и момента остановки).

В серии работ Хаметова В. М., Зверева О. В. и Силаева А. А. [12,13,22] описан теоретико-игровой подход (минимаксный и максиминный) к расчету европейских опционов на неполных рынках. Получены рекуррентные соотношения беллмановского типа для цены игры, установлены достаточные условия существования решения минимаксной задачи и некоторые его свойства.

Для задачи расчета американского опциона на неполном рынке в [71] Riedel F. предложил теоретико-игровой максиминный подход, отражающий точку зрения покупателя опциона. Для случая, когда рынок может быть описан слабо компактным устойчивым к склейке подмножеством эквивалентных вероятностных мер, получены: 1) рекуррентные соотношения для максиминной ожидаемой выплаты; 2) условия существования вероят-

ностной меры, доставляющей нижнюю грань ожидаемой выплате по опциону, и экстремального момента остановки. Построены примеры расчета американских опционов. Предложенный в [71] подход не включает построение хеджирующего портфеля. Также, множества эквивалентных и мартин-гальных эквивалентных вероятностных мер, с помощью которых обычно описывают неполный рынок, не являются слабо компактными.

Таким образом, остается актуальной проблема разработки конструктивных способов построения решения задач расчета экзотического и американского опционов на неполном рынке, описываемом множеством эквивалентных вероятностных мер. В диссертации впервые описан и применен минимаксный теоретико-игровой подход к решению этой проблемы для экзотических и американских опционов. Дано дальнейшее развитие упомянутым выше результатам работ Хаметова В. М. и Зверева О. В. Отсюда следует актуальность темы диссертации.

Цели и задачи

Цель диссертационной работы состоит в: 1) обосновании применимости минимаксного метода для расчета экзотического и американского опционов на неполном рынке в динамической постановке; 2) построении и исследовании модели ценообразования экзотического и американского опционов на неполном рынке "без трения" и без торговых ограничений с конечным горизонтом и дискретным временем.

Для построения модели ценообразования экзотического и американского опционов на неполном рынке в диссертации применен минимаксный теоретико-игровой метод, отражающий точку зрения продавца опциона. В соответствии с этим методом задача расчета экзотического (американского) опциона интерпретирована как игра двух (трех) лиц: продавца опциона, рынка (и покупателя опциона). Продавец управляет портфелем. Стратегии рынка — это вероятностные меры из числа эквивалентных. (Покупатель американского опциона выбирает момент предъявления контракта к исполнению.) В диссертации применение минимаксного метода отражает точку зрения продавца опциона. В отношении продавца предполагается, что: 1) он рационален; 2) его функция риска - экспоненциальная, зависит

от дефицита капитала его портфеля. Разумность продавца понимается в следующем смысле. В ситуации, когда распределение цен рисковых активов известно продавцу лишь с точностью до эквивалентности (а покупатель американского опциона волен выбрать любой момент для предъявления контракта к исполнению), продавец определяет цену опциона, исходя из "наихудшей" для себя ситуации, когда распределение цен рисковых активов (и момент предъявления контракта американского типа к исполнению) максимизирует его ожидаемый риск. При этом сам продавец выбирает такой портфель, который минимизировал бы "наихудшее" значение ожидаемого риска. Таким образом, продавцу необходимо решить задачу стохастической оптимизации (минимаксную задачу продавца): в качестве функционала качества выступает ожидаемый риск продавца, внутренняя верхняя грань берется по множеству эквивалентных вероятностных мер (и моментов остановки), а внешняя нижняя грань — по множеству портфелей. Под решением минимаксной задачи в диссертации понимается набор: 1) "наихудшая" вероятностная мера, (и экстремальный момент остановки) — доставляет внутреннюю верхнюю грань; 2) оптимальный портфель продавца — доставляет внешнюю нижнюю грань, и 3) минимаксный ожидаемый риск продавца.

В диссертации решены следующие задачи:

1) на основе минимаксного подхода сформулированы стохастические оптимизационные задачи расчета экзотического и американского опционов на неполном рынке "без трения" и без торговых ограничений, когда наблюдение ведется за конечномерными согласованными последовательностями, описывающими эволюцию цен рисковых активов, функция риска продавца опциона — экспоненциальная, платежное обязательство есть согласованная последовательность ограниченных случайных величин;

2) обоснована возможность применения стохастического варианта метода динамического программирования для нахождения решения минимаксных задач расчета экзотического и американского опционов в динамической постановке (теоремы 2, 32-34);

3) найдены условия существования решений минимаксных задач продавцов экзотического и американского опционов и исследованы их свойства (достаточные условия — по совокупности утверждений 7, 20, 32-33, критерии —- теоремы 7 и 22 в совокупности, 23, 28, свойства — теоремы 21 и 26);

4) сформулированы алгоритмы пошагового расчета экзотического и американского опционов с конечным горизонтом на неполном рынке (утверждения 28-29, 33, 44, алгоритмы 1 и 2, примеры главы 3);

5) построены новые примеры расчета экзотического и американского опционов с конечным горизонтом на неполном рынке (глава 3).

Научная новизна

Следующие результаты диссертации являются новыми:

1) обоснование возможности применения стохастического варианта метода динамического программирования и строгий вывод рекуррентного соотношения беллмановского типа, описывающего эволюцию минимаксного значения ожидаемого экспоненциального риска продавца (теоремы 2, 32-34), которое позволило:

• установить критерий существования и достаточные условия единственности оптимального портфеля продавцов экзотического и американского опционов (теоремы 6-7, 15, 33);

• дать конструктивное описание: а) опционального разложения для логарифма минимаксного значения ожидаемого риска продавца (теоремы 13 и 36); б) марковского момента, доставляющего верхнюю грань ожидаемому риску продавца американского опциона (теорема 38);

• доказать, что построенные портфели являются совершенными суперхеджирующими для экзотического и американского опционов, причем их капитал минимален (следствия 16-17, 39-41 и теорема 18);

2) достаточные условия и критерии существования решения минимаксных задач продавцов экзотического и американского опционов (достаточные условия — по совокупности утверждений 7, 20, 32-33, критерии —- теоремы 7 и 22 в совокупности, 23, 28);

3) свойства решений минимаксных задач: мартингальность и дискретность "наихудшей" вероятностной меры, возможность отождествить исходный неполный рынок относительно "наихудшей" меры с полным (теоремы 21 и 26);

4) обоснование возможности сведения задач расчета экзотического и американского опционов к семейству задач математического программирования (алгоритмы 1 и 2, утверждения 28-29);

5) обоснование утверждения о том, что относительно "наихудшей" меры задача расчета американского опциона на неполном рынке сводится к классической задаче об оптимальной остановке (следствие 43).

Теоретическая ценность и практическая значимость

Основные теоретические результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1) На неполном рынке минимаксное значение ожидаемого риска продавца экзотического и американского опционов удовлетворяет рекуррентному соотношению беллмановского типа (теоремы 2, 32-34).

2) На неизбыточном рынке "без трения" оптимальный портфель продавца экзотического и американского опциона существует тогда и только тогда, когда этот рынок безарбитражен. Оптимальный портфель продавца опциона является совершенным суперхеджирующим портфелем, его капитал минимален среди капиталов всех супер-хеджирующих портфелей. Самофинансируемый совершенный супер-хеджирующий портфель единственен с точностью до множеств нулевой меры (теоремы 6-7, 15, 18, 33, следствия 16-17, 39-41).

3) Критерий существования "наихудшей" вероятностной меры.

4) Свойства "наихудшей" меры: а) если существует "наихудшая" вероятностная мера, то она является мартингальной, б) критерий дискретности "наихудшей" меры (теоремы 21 и 26, соответственно).

5) Относительно "наихудшей" меры:

• исходный неполный рынок отождествим с полным;

• задачи расчета экзотического и американского опционов эквивалентны семейству задач математического программирования (алгоритмы 1 и 2, утверждения 28-29, 32-33);

• задача расчета американского опциона сводится к задаче об оптимальной остановке (следствие 43).

Практическую ценность имеют предложенные в диссертации алгоритмы пошагового расчета экзотического и американского опционов на неполном рынке.

Методология и методы исследования

В диссертации применен минимаксный подход к расчету экзотического и американского опционов на неполном рынке "без трения". Этот подход был реализован с помощью методов теории случайных процессов и оптимального стохастического управления, стохастического и функционального анализа, теории игр.

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие результаты.

1) Для неполного рынка с конечным горизонтом "без трения", когда цены рисковых активов эволюционируют как согласованные последовательности, доказано, что эволюция минимаксного значения ожидаемого экспоненциального риска продавца экзотического и американского опционов описывается рекуррентными соотношениями беллма-новского типа (теоремы 2, 32-34).

2) Критерий существования и достаточные условия единственности оптимального портфеля продавца экзотического и американского опционов с экспоненциальной функцией риска на неполном рынке "без трения" и торговых ограничений, совпадение оптимального портфеля продавца и суперхеджирующего портфеля с минимальным капиталом (теоремы 7, 13, 15, 18, 36, а также следствия 16-17, 39-41).

3) Условия существования решения минимаксной задачи продавца для экзотических и американских опционов (достаточные условия - по совокупности утверждений 7, 20, 32-33, критерии - теоремы 7 и 22 в совокупности, 23, 28).

4) Свойства "наихудшей" меры: мартингальность (теорема 21, 33), дискретность (теорема 26, 33), отождествимость исходного неполного рынка с полным относительно "наихудшей" меры (теорема 26, следствия 27 и 42).

5) Утверждения, связывающие минимаксные задачи для экзотических и американских опционов друг с другом (теоремы 32-33, следствие 44), минимаксные задачи с задачами суперхеджирования (следствия 16-17, 39-40) и, для американского опциона, с задачей об оптимальной остановке относительно "наихудшей" меры (следствие 43).

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность полученных результатов подтверждается приводимыми в работе подробными доказательствами соответствующих утверждений, а также публикациями в рецензируемых журналах.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на IX Московской международной конференции по Исследованию Операций (ОЯИ-2018 Сеттеует-100) (г. Москва, 22-27 октября 2018 г.), Шестой международной научной конференции "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения-У1" (г. Ростов-на-Дону, 24-29 апреля 2016 г.), VIII Московской международной

конференции по Исследованию Операций (ORM2Ü16) (г. Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 17-22 октября 2016 г.), V Международной молодежной научно-практической конференции "Математическое и компьютерное моделирование в экономике, страховании и управлении рисками" (г. Саратов, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, 9-12 ноября 2016 г.), Первой, Второй, Третьей и Четвертой Всероссийской конференции «Молодая экономика: экономическая наука глазами молодых ученых» (ЦЭМИ РАН, г. Москва, 10 декабря 2014г., 09 декабря 2015г., 7 декабря 2016 г. и 1 декабря 2017 г. соответственно), Научной конференции «Управленческие науки в современной России» (г. Москва, Финансовый Университет при Правительстве РФ, 21-22 ноября 2013г.), Втором и Третьем Российском Экономическом Конгрессе (г. Суздаль, 18-22 февраля 2013г. и г. Москва, 19-23 декабря 2016 г., соответственно), Научно-технических конференциях студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ (г. Москва, МИЭМ, 17 февраля - 02 марта 2012г., 17 февраля - 01 марта 2011г., 17 февраля - 02 марта 2010г., 24 февраля - 04 марта 2009г.) и научных семинарах Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании (ЦЭМИ РАН, 18 декабря 2012г. и 11, 18 декабря 2014г.).

Автор была удостоена второй премии им. проф. Б.Л. Овсиевича по итогам 2015 года за работу "Расчет американского опциона на неполном рынке с дискретным временем и конечным горизонтом", представляющую собой цикл статей, написанных соискателем в соавторстве с Хаметовым В. М. и Васильевым Г. А.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 134 страницы машинописного текста. Библиография содержит 72 наименования.

Статьи автора по теме диссертации

Статьи в журналах, индексируемых в базах цитирования Web of Science и Scopus:

[1] V. M. Khametov, E. A. Shelemekh On the Uniqueness of the Optional Decomposition of Semimartingales // Mathematical Notes. — 2019. — Vol. 105. — Iss. 3-4. — Pp. 478-482 (Хаметов В.М., Шелемех Е.А. О единственности опционального разложения полумартингалов // Математические заметки. — 2019. — Том 105. — № 3. — С. 476-480. (личный вклад автора — 0,3 п.л.))

[2] Khametov V. M., Shelemekh E. A. Upper and Lower Bounds of Optimal Stopping for a Random Sequence: The Case of Finite Horizon // Automation and Remote Control. — 2019. — Vol. 80. — Iss. 3. — Pp. 513530 (Хаметов В.М., Шелемех Е.А. Верхняя и нижняя границы оптимальной остановки случайной последовательности (конечный горизонт) // Автоматика и телемеханика. — 2019. — Вып. 3. — C. 152-172. (личный вклад автора — 1,5 п.л.))

[3] Khametov V. M., Shelemekh E. A. Extremal Measures and Hedging in American Options // Automation and Remote Control. — 2016. — Vol. 77. — Iss. 6. — Pp. 1041-1059 (Хаметов В.М., Шелемех Е.А. Экстремальные меры и хеджирование американских опционов // Автоматика и телемеханика. — 2016. — № 6. — С. 121-144. (личный вклад автора — 2 п.л.))

[4] Khametov V.M., Shelemekh E.A. Superhedging of American options on an incomplete market with discrete time and finite horizon // Automation and Remote Control. — 2015. — Vol. 76. — Iss. 9. — Pp. 1616-1634 (Хаметов В.М., Шелемех Е.А. Суперхеджирование американских опционов на неполном рынке с дискретным временем и конечным горизонтом // Автоматика и телемеханика. — 2015. — № 9. — С. 125-149. (личный вклад автора — 2 п.л.))

[5] Vasil'ev G. A., Khametov V. M., Shelemekh E. A. Conditions for the Discreteness of Extremal Probability Measures (the Finite-Dimensional Case) // Mathematical Notes. — 2013. — Vol. 94. — No. 6. — Pp. 963-967 (Васильев Г.А., Хаметов В.М., Шелемех Е.А. Об условиях дискретности экстремальных вероятностных мер (конечномерный случай) //

Математические заметки. — 2013. — Том 94. — № 6. — С. 944-948. (личный вклад автора — 0,3 п.л.))

Статьи в других журналах, входящих в список журналов высокого уровня, подготовленный в НИУ ВШЭ

[1] Шелемех Е.А. Расчет экзотических опционов на неполных рынках // Экономика и математические методы. — 2017. — Том 53. — № 3. — С. 78-92. (личный вклад автора — 1,6 п.л.)

[2] Хаметов В. М., Шелемех Е. А., Ясонов Е. В. Алгоритм решения задачи об оптимальной остановке с конечным горизонтом // Управление большими системами: сборник трудов. — 2014. — Вып. 52. — С. 6-22. (личный вклад автора — 1,5 п.л.)

Статьи в других рецензируемых научных журналах:

[1] Зверев О.В., Хаметов В.М., Шелемех Е.А. Математическая модель ценообразования для европейского опциона на неполном рынке без транзакционных издержек (дискретное время). Часть I. // Наноструктуры. Математическая физика и моделирование. — 2020. — Том 20. — Вып. 1. — С. 5-45. (личный вклад автора — 0,2 п.л.)

[2] Хаметов В.М., Шелемех Е.А. О единственности суперхеджиру-ющего портфеля // Вестник ЦЭМИ РАН. — 2018. — Вып. 3. (https://cemi.jes.su/index.php?dispatch=issues.archive) (личный вклад автора — 0,8 п.л.)

Публикации тезисов докладов научных конференций:

[1] Shelemekh E.A. Example calculation of exotic options in incomplete 1,S-market //IX Moscow International Conference on Operations Research (ORM 2018). Moscow, October 22-27, 2018.Proceedings. In two volumes. / Editor-in-chief F. Ereshko. — Мoscow : MAKS Press. — 2018. — V.1. — P. 168-172 (0,3 п.л.)

[2] Шелемех Е.А. Справедливая стоимость опциона с выпуклой функцией выплаты на неполном {1,S}-рынке // Молодая экономика: экономическая наука глазами молодых ученых: материалы научно-практической конференции. Москва, 1 декабря 2017 г. М.: ЦЭМИ РАН. — 2018. - С. 114-116. (0,2 п.л.)

[3] Khametov V., Shelemekh E. Superhedging of American options in an incomplete {1 ,S}-markets (discreet time, final horizon) // Proceedings of VIII Moscow International Conference on Operations Research (ORM2016). — 2016. — Volume I. — P. 96-99. (0,3 п.л.)

[4] Шелемех Е.А. Расчет экзотических опционов на неполном рынке, заданном марковской цепью с конечным числом состояний // Материалы V Международной молодежной научно-практической конференции "Математическое и компьютерное моделирование в экономике, страховании и управлении рисками". — 2016. — С. 128-133. (0,5 п.л.)

[5] Шелемех Е.А. Примеры суперхеджирования опционов на максимум цены рискового актива на неполном {1,S}-рынке // Молодая экономика: экономическая наука глазами молодых ученых. Материалы научно-практической конференции. М.: ЦЭМИ РАН. — 2016. — С. 4042. (0,2 п.л.)

[6] Vladimir M. Khametov, Elena A. Shelemekh, Evgeniy V. Yasonov. Solving Optimal Stopping Problem by Using Computer Algebra Systems // CEUR-WS, Vol. 1726. The proceedings of Proceedings of the Workshop on Computer Modelling in Decision Making (CMDM 2016), Saratov, Russia, November 10-11, 2016. Eds: T.Belkina, S.Islyev, V.Mkhitaryan, S.Sidorov. — P. 43-52. — ISSN 1613-0073. (1 п.л.)

[7] Shelemekh E. A. Calculation of exotic option in incomplete {1, S}-market with discreet measure (a finite number of states) // Материалы конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения - VI», Ростов-на-Дону, 24-29 апреля 2016 г. С. 141-142. (0,1 п.л.)

[8] Хаметов В.М., Шелемех Е.А. Критерий дискретности экстремальных вероятностных мер и его применение (конечномерный случай) // Те-

зисы докладов международной конференции КРОМШ-2015. Том 2.

— Симферополь: ДИАЙПИ. — 2015. — С. 7-8. (0,12 п.л.)

[9] Шелемех Е.А. Пример суперхеджирования экзотических опционов на неполном {1,£}-рынке // Молодая экономика: экономическая наука глазами молодых ученых. Материалы научно-практической конференции. М.: ЦЭМИ РАН. — 2015. — С. 161-163. (0,2 п.л.)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шелемех Елена Александровна, 2021 год

Библиография

[1] Андреева У. В., Данилюк Е. Ю., Демин Н. С., Рожкова С. В., Пахомо-ва Е. Г. Применение вероятностных методов к исследованию экзотических опционов купли европейского типа на основе экстремальных значений цены рискового актива // Известия Томского политехнического университета. — 2012. — Т. 321. — Вып. 6. — С. 5-12.

[2] Андреева У. В., Демин Н. С. Экзотические опционы купли с ограничением выплат и гарантированным доходом в модели Блэка-Шоулса // Проблемы управления. — 2011. — Вып. 1. — С. 33-39

[3] Андреева У. В., Демин Н. С., Ерофеева Е. В. Опционы европейского типа на основе экстремальных значений цены рискового актива // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2011. — Т. 18. — Вып. 1. — С. 3-25.

[4] Бертсекас Д., Шрив С. Стохастическое оптимальное управление: случай дискретного времени. Пер. с англ. / Под ред. А. А. Юшкевича. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 280 с.

[5] Богачев В. И. Основы теории меры. Том I. — Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2003. — 544 с.

[6] Боровков А. А. Математическая статистика. Дополнительные главы: Учебное пособие для вузов. — М.: Наука, 1984. — 144 с.

[7] Боровков А. А. Теория вероятностей. — М.: Эдиториал УРСС, 1999. — 472 с.

[8] Васильев Г. А., Хаметов В.М., Шелемех Е.А. Об условиях дискретности экстремальных вероятностных мер (конечномерный случай) // Математические заметки. — 2013. — Том 94. — № 6. — С. 944-948.

[9] Гущин А. А. Двойственная характеризация цены в задаче максимизации робастной полезности // Теория вероятностей и ее применения. — 2010. — Том 55. — Вып. 4. — С. 680-704.

[10] Дынкин Е. Б., Евстигнеев И. В. Регулярные условные математические ожидания соответствий // Теория вероятностей и ее применения. — 1976. — Том 21. — Вып. 2. — С. 334-347.

[11] Евстигнеев И. В. Теоремы измеримого выбора и вероятностные модели управления в общих топологических пространствах // Матем. сб. — 1986. — Том 131(173). — Номер 1(9). — С. 27-39.

[12] Зверев О. В., Хаметов В. М. Минимаксное хеджирование опционов европейского типа на неполных рынках (дискретное время) // ОППМ.

— 2011. — Т. 18. — Номер 1. — С. 26-54.

[13] Зверев О. В., Хаметов В. М. Минимаксное хеджирование опционов европейского типа на неполных рынках (дискретное время). II // ОППМ.

— 2011. — Т. 18. — Номер 2. — С. 193-204.

[14] Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984. — 752 с.

[15] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976. — 543 с.

[16] Крамер Г. Об одной новой предельной теореме теории вероятностей // Успехи математических наук. — 1944. — Вып. 10. — С. 166-178.

[17] Крамков Д. О., Ширяев А. Н. О расчетах рациональной стоимости «Русского опциона» в симметричной биномиальной модели (В,Б)-рынка // Теория вероятностей и ее применения. — 1994. — Том 39.

— Вып. 1. — С. 191-200.

[18] Мейер П.А. Вероятность и потенциалы. — М.: МИР, 1973. — 328 с.

[19] Мельников А. В. Финансовые рынки : Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. — М.: ТВП, 1997 — 125 с.

[20] Рохлин Д. Б. Рекуррентные формулы для границ цен платежных обязательств в моделях рынков с дискретным временем // Теория вероятностей и ее применения. — 2011. — Том 56. — Вып. 1. — С. 47-76.

[21] Рохлин Д. Б. Эквивалентные супермартингальные плотности и меры в моделях рынков с дискретным временем и бесконечным горизонтом // Теория вероятностей и ее применения. — 2008. — Т. 53. — Вып. 4.

— С. 704-731.

[22] Силаев А. А., Хаметов В. М. Максиминное хеджирование европейского опциона на неполных рынках // ОППМ. — 2010. — Т. 17. — Номер 6.

— С. 940-942.

[23] Смирнов С. Н. Гарантированный детерминисткий подход к суперхеджированию: модель рынка, торговые ограничения и уравнения Беллмана-Айзекса // МТИП. — 2018. — Том 10. — Вып. 4. — С. 59-99.

[24] Смирнов С. Н. Гарантированный детерминисткий подход к суперхеджированию: смешанные стратегии и игровое равновесие // МТИП.

— 2020. — Том 12. — Вып. 1. — С. 60-90.

[25] Смирнов С.Н., Заночкин А. Ю. Гарантированный детерминистский подход к суперхеджированию: свойства бинарного европейского опциона // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. — 2020. — № 1. — С. 29-59.

[26] Фельмер Г., Шид А. Введение в стохастические финансы. Дискретное время. — М: МЦНМО, 2008. — 496 с.

[27] Хаметов В.М., Шелемех Е.А. Суперхеджирование американских опционов на неполном рынке с дискретным временем и конечным горизонтом // Автоматика и телемеханика. — 2015. — № 9. — С. 125-149.

[28] Хаметов В.М., Шелемех Е. А. Экстремальные меры и хеджирование американских опционов // Автоматика и телемеханика. — 2016. — № 6.

— С. 121-144.

[29] Хаметов В.М., Шелемех Е. А., Ясонов Е. В. Алгоритм решения задачи об оптимальной остановке с конечным горизонтом // Управление большими системами. — 2014. — Вып. 52. — С. 6-22.

[30] Хасанов Р. В. Максимизация полезности со случайным вкладом и хеджирование платежных обязательств: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.05. — М., 2012. — 91 с.

[31] Шелемех Е.А. Расчет экзотических опционов на неполных рынках // Экономика и математические методы. — 2017. — Том 53. — № 1. — С. 104-118.

[32] Ширяев А. Н. Вероятность. Кн. 1. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: МЦНМО, 2004. — 520 с.

[33] Ширяев А. Н. Вероятность. Кн. 2. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: МЦНМО, 2004. — 408 с.

[34] Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 2. Теория. — М: ФАЗИС, 1998. — 544 с.

[35] Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. — М.: Наука, 1976. — 272 с.

[36] Эллиотт Р. Стохастический анализ и его приложения. — М.: Мир, 1986.

— 351 с.

[37] Acciaio B., Beiglbock M., Penkner F., Schachermayer W. Model-free version of the fundamental theorem of asset pricing and the super-replication theorem // Mathematical Finance. — 2016. — Vol. 26. — Issue 2. — P. 233-251.

[38] Beiglbock M., Henry-Labordere P., Penkner F. Model-independent bounds for option prices — a mass transport approach // Finance and Stochastics.

— 2013. — Vol. 17. — Issue 3. — P. 477-501.

[39] Bellini F., Frittelli M. On the existence of minimax martingale measures // Mathematical Finance. — 2002. — Vol. 12. — No. 1. — P. 1-21.

[40] Berkaoui A. On a generalized optional decomposition theorem [Электронный ресурс] // An International Journal of Probability and Stochastic Processes. — 2014. — Vol. 86. — Issue 6. — Режим доступа: http://dx.doi.org/10.1080/17442508.2014.895357.

[41] Biagini S., Frittelli M. A unified framework for utility maximization problems: an Orlicz space approach // Annals of Applied Probability. — 2008. — Vol. 18. — No. 3. — P. 929-966.

[42] Biagini S., Frittelli M. Utility maximization in incomplete markets for unbounded processes // Finance and Stochastics. — 2005. — Vol. 9. — Issue 4. — P. 493-517.

[43] Boyarchenko S.I., Levandorskii S.Z. Non-Gaussian Merton-Black-Scoles Theory // Advanced Series On Statistical Science and Applied Probability.

— 2002. — Vol. 9. — P. 1-421.

[44] Carr P., Nadtochiy S. Static Hedging under Time-Homogeneous Diffusions // SIAM Journal on Financial Mathematics. — 2011. — Vol. 2. — Issue 1.

— P. 794-838.

[45] Chen R. W., Rosenberg B. Optimal exercise of Russian options in the binomial model // WIT Transactions on Modelling and Simulation. — 2006. — Vol. 43. — P. 171-181.

[46] Cvitanic J., Schachermayer W., Wang H. Utility Maximization in Incomplete Markets with Random Endowment // Finance and Stochastics.

— 2001. — Vol. 5. — Issue 2. — P. 259-272.

[47] Delbaen F., Grandits P., Rheinlander Th., Samperi D., Schweizer M., Strieker Ch. Exponential hedging and entropic penalties // Mathematical Finance. — 2002. — Vol. 12. — Issue 2. — P. 99—123.

[48] Delbaen F., Schachermayer W. The Fundamental Theorem of Asset Pricing for Unbounded Stochastic Processes // Mathematische Annalen. — 1998.

— Vol. 312. — Issue 2. — P. 215-260.

[49] Eberlein E., Madan D., Pistorius M., Schoutens W., Yor M. Two price economies in continuous time // Annals of Finance. — 2014. — Vol. 10. — Issue 1. — P. 71-100.

[50] El Karoui N., Peng S., Quenez M.C. A dynamic maximum principle for the optimization of recursive utilities under constraints // The Annals of Applied Probability. — 2001. — Vol. 11. — No. 3. — P. 664-693.

[51] El Karoui N., Quenez M.C. Dynamic programming and pricing of contingent claims in an incomplete market // SIAM Journal on Control and Optimization. — 1995. — Vol. 33. — Issue 1. — P. 29-66.

[52] Fahim A., Huang Y. Model-independent superhedging under portfolio constraints // Finance and Stochastics. — 2016. — Vol. 20. — Issue 1.

— P. 51-81.

[53] Follmer H., Kabanov Y. M. Optional decomposition and Lagrange multipliers // Finance and Stochastics. — 1997. — Vol. 2. — Issue 1. — P. 69-81.

[54] Follmer H., Kramkov D. Optional decompositions under constraints // Probability Theory and Related Fields. — 2009. — Vol. 109. — Issue 1. — P. 1-25.

[55] Grandits P., Summer Ch. Risk averse asymptotics and the optional decomposition // Theory of probability and its applications. — 2007. — Vol. 51. — No. 2. — P. 325-334.

[56] Hugonnier J., Kramkov D., Schachermayer W. On utility-based pricing of contingent claims in incomplete markets // Mathematical Finance. — 2005. — Vol. 15. — No. 2. — P. 203-212.

[57] Hull J. C. Options, Futures And Other Derivatives. — 7th edition. — USA: Pearson Prentice Hall, 2009. — 848 p.

[58] Jonsson H., Kukush A. G., Silvestrov D. S. Threshold structure of optimal stopping strategies for american type option. I. // Theory of Probability and Mathematical Statistics. — 2005. — No. 71 — P. 93-103.

[59] Jonsson H., Kukush A. G., Silvestrov D. S. Threshold structure of optimal stopping strategies for american type option. II. // Theory of Probability and Mathematical Statistics. — 2006. — No. 72 — P. 47-58.

[60] Kabanov Y., Safarian M. Markets with Transaction Costs. — Springer, 2009. — 294 p.

[61] Kabanov Y., Stricker Ch. On the optimal portfolio for the exponential utility maximization: remarks to the six-author paper // Mathematical Finance. —2002. — Vol. 12. — Iss. 2. — P. 125-134.

[62] Kramkov D. O. Optional decomposition of supermartingales and hedging contingent claims in incomplete security markets // Probability Theory and Related Fields. — 1996. — Vol. 105. — Issue 4. — P. 459--479.

[63] Kramkov D., Schachermayer W. Condition on the Asymptotic Elasticity of Utility Functions and Optimal Investment in Incomplete Markets // The Annals of Applied Probability. — 1999. — Vol. 9. — No. 3. — P. 904-950.

[64] Kramkov D., Weston K. Muckenhoupt's (Ap) condition and the existence of the optimal martingale measure // Stochastic Processes and their Applications. — 2016. — Vol. 126. — Issue 9. — P. 2615-2633.

[65] Kudryavtsev O. E., Levendorskii S. Z. Fast and accurate pricing of barrier options under Levy processes // Finance and Stochastics. — 2009. — Vol. 13. — No. 4. — P. 531-562.

[66] Kukush A. G., Silvestrov D.S. Optimal pricing of American type options with discrete time // Theory of Stochastic Processes. — 2004. — Vol. 10(26). — No. 1-2. — P. 72-96.

[67] Lim T., Quinez M.C. Exponential utility maximization in an incomplete market with defaults // Electronic Journal of Probability. — 2011. — Vol. 16. — Paper no. 53. — P. 1434-1464.

[68] Merton R. C. Theory of rational option pricing // Bell Journal of Economics. — 1973. — Vol. 4. — Issue 1. — P. 141-183.

[69] Neufeld A., Nutz M. Superreplication under Volatility Uncertainty for Measurable Claims // Electronic Journal of Probability. — 2013. — Vol. 18.

— No. 48. — P. 1-14.

[70] Nutz M., Soner H.M. Superhedging and Dynamic Risk Measures under Volatility Uncertainty // SIAM Journal on Control and Optimization. — 2012. — Vol. 50. — No. 4. — P. 2065-2089.

[71] Riedel F. Optimal stopping with multiple priors // Econometrica. — 2009.

— Vol. 77. — No. 3. — P. 857-908.

[72] Schachermayer W. Optimisation and Utility Functions // Documenta Mathematica. — 2012. — Extra Volume ISMP. — P. 455—460.