Обработка данных финансового рынка и принятие решения о структуре европейского опциона тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Данилюк, Елена Юрьевна

• Данилюк, Елена Юрьевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Данилюк, Елена Юрьевна

Оглавление

Введение

Глава 1 Опционы продажи с заданной вероятностью успешного хеджирования в случае выплаты дивидендов по рисковому активу

1.1 Некоторые предварительные результаты и постановка задачи

1.2 Стандартный опцион продажи с выплатой дивидендов по

рисковому активу

1.3 Экзотический опцион продажи с выплатой дивидендов по рисковому активу

1.4 Свойства решений

1.5 Выводы

Глава 2 Опционы купли с заданной вероятностью успешного хеджирования в случае выплаты дивидендов по рисковому активу

2.1 Стандартный опцион купли с выплатой дивидендов по

рисковому активу

2.2 Экзотический опцион купли с выплатой дивидендов по

рисковому активу

2.3 Свойства решений

2.4 Выводы

Глава 3 Опционы продажи барьерного типа в случае выплаты дивидендов по рисковому активу

3.1 Барьерный опцион продажи в случае выплаты дивидендов по рисковому активу

3.2 Барьерный опцион продажи с уступкой в случае выплаты дивидендов по рисковому активу

3.3 Свойства решений

3.4 Выводы

Глава 4 Опционы купли барьерного типа в случае выплаты

дивидендов по рисковому активу

4.1 Барьерный опцион купли в случае выплаты дивидендов по рисковому активу

4.2 Барьерный опцион купли с уступкой в случае выплаты

дивидендов по рисковому активу

4.3 Свойства решений

4.4 Выводы

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список использованной литературы

Приложение А Доказательство Замечания 1.2

Приложение Б Доказательство Замечания 2.2

Приложение В Доказательство Замечания 3.3

Приложение Г Доказательство Замечания 4.3

Приложение Д Акт о внедрении результатов кандидатской

диссертации в учебный процесс НИ ТГУ

4

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обработка данных финансового рынка и принятие решения о структуре европейского опциона»

Введение

0.1. Актуальность темы исследования. На сегодняшний день одной из динамично развивающихся сложных систем является финансовый рынок, инструменты которого, как структурные элементы системы, весьма разнообразны и требуют исследования с помощью строгого математического аппарата. С момента появления в 70-х гг. XX в. рынка вторичных ценных бумаг неуклонно растет спрос на его продукты, исследуются вопросы их классификации, популяризации, правового регулирования операций с деривативами, перспективы развития производных финансовых инструментов [10, 12, 13, 24, 27, 29, 30, 44, 45, 61, 100]. Основы современной теории финансовых рынков в предположении наличия вторичных ценных бумаг (опционов, фьючерсов, форвардов, свопов) и стохастической природы первичных рисковых ценных бумаг (акций, облигаций, курс валют) были заложены в работах [77, 79, 105] и получили развитие и обобщение, например, в [41,47,48,59, 65,69-71,73,87, 89-91,94, 96-99, 101, 104, 107, 111, 118].

В диссертации изучается рынок опционов как сегмент срочного рынка торговли и хеджирования рисков, представляющий особый интерес для инвесторов благодаря многообразию видов платежных схем по опционам [46]. Однако, несмотря на ряд преимуществ опционов перед, например, фьючерсами (возможность выбора в предъявлении к исполнению опциона, гибкие схемы управления финансовым риском), рынок последних уже достаточно сформирован по сравнению с опционным рынком [57, 110]. Сложившаяся ситуация обусловлена, прежде всего, недостаточной разработанностью теории опционов, отсутствием строгой формализации процедуры принятия инвестиционных решений и является объектом внимания стохастической финансовой математики [67-70, 114], как раздела прикладной математики, представляя интерес для научного сообщества. Изыскания в этой области активно поддерживаются многочисленными грантами, поскольку в результатах исследований заинтересованы многие сферы (например, биржи, индустрия страхования и пр.)

Опционный контракт, или опцион (option), - договор, по которому потенциальный покупатель или потенциальный продавец актива (товара, ценной бумаги) получает право, но не обязательство, совершить покупку (опцион купли, call option) или продажу (опцион продажи, put option) данного актива по заранее оговоренной цене (страйковая цена, страйк, strike price, цена исполнения, exercise price)

в определенный договором момент в будущем (для опциона Европейского стиля) или на протяжении определенного отрезка времени (для опциона Американского стиля). При этом продавец опциона несет обязательство совершить ответную продажу или покупку актива в соответствии с условиями проданного опциона. Предлагаемое исследование посвящено опционам Европейского стиля на акции, по которым выплачиваются дивиденды. Получить представление об опционах Американского стиля можно в работах [30, 36, 37, 59, 64, 66-70].

Пионерными формами опционов были контракты, характеристиками которых выступали вид базисного актива, объем контракта, цена исполнения, тип и стиль. Такие деривативы получили название стандартные {standard) или «ванильные» опционы {plain vanilla option) [7-9, 52, 53, 69, 70, 118].

С развитием финансовых рынков базисных активов потребовались более сложные инвестиционные продукты, включающие дополнительные условия, вносимые обеими сторонами опционной сделки. Так возник обширный класс экзотических опционов {exotic options) [34, 63, 112, 120]. Согласно приведенной в [34] классификации, принято выделять три основных группы экзотических опционов: 1) зависящие от ценовой истории {path-depend or history-depend derivatives) - азиатские {Asian options), барьерные {Barrier options), бинарные {Binary options), экстремумы {options on extremes), лестничные {Ladder option), ступенчатые {Step Option); 2) зависящие от выбора покупателя {choice-depend derivatives) - сложные {Compound Options), растянутые {Installment Options), выборные {Chooser Options), «крик-опционы» {Shout Options)-, 3) зависящие от корреляции активов (correlation-depend derivatives) - мультиактивные опционы, - и прочие опционы, например, бостонские {Boston Options), бермудские {Bermuda Options), свопционы {Swaptions), реальные опционы {Real Options). Исследованию экзотических опционов посвящены работы [1-5, 7-9, 14, 15, 16, 20, 21, 25, 28, 31-34, 39, 55, 60-64, 85, 86, 95, 102, 106, 108, 112, 115, 116, 120].

При заключении опционного контракта держателем (владельцем, покупателем, holder) опциона продавцу (эмитенту, writer) выплачивается премия за право совершить покупку или продажу базисного актива в будущем. Именно в определении справедливой стоимости финансовых инструментов, зная которую инвестор принимает решение об оптимальном управлении капиталом, состоит основная прикладная задача стохастической финансовой математики. Математический аппарат, позволяющий вычислить премию опциона на основе стоимости базисного актива и его вероятностных свойств (волатильности, доходности, в частности -

дивидендной доходности для акций), т.е. вычислить теоретическую стоимость опциона, представлен широким спектром моделей. Так, математическая модель определения теоретической стоимости опциона Европейского стиля на полном, безарбитражном и рискнейтральном рынке двух активов (рискового и безрискового) с непрерывным временем была впервые предложена в 1973 г. Ф. Блэком (F. Black) и М. Шоулзом (M. Scholes) в статьях [77, 79] с учетом работ JI. Башелье (L. Bachelier), Дж. Трейнора (J. Trainor), П. Самуэльсона (P. Samuelson), Ш. Кассофа (Sh. Kassouf), Э. Торпа (Е. Thorp). Параллельно в 1973 г. Р. Мертоном (R. Merton) была предложена методика оценивания Европейского опциона при отличающихся от модели Блэка-Шоулза предположениях, но идея постановки задачи и результаты дают ту же формулу при совпадении предположений [105]. Популярным аналогом формулы Блэка-Шоулза, но для дискретного времени, является формула Кокса-Росса-Рубинштейна, полученная в 1976, 1979 гг. для биномиальной модели рынка базисных активов [82-84]. На основе этих моделей были предложены подходы к оцениванию различных деривативов [72, 74-76, 78, 80, 95, 102, 119]. Например, в [81] представлены консервативные стратегии ценообразования как вариации модели Кокса-Росса-Рубинштейна, в [56] описываются модели, которые аппроксимируются биномиальными моделями, также в информационно емком труде [10] сказано о разработке модели на основе биномиального дерева.

Разработанная базовая теория Блэка-Шоулза позволяла также строить хеджирующую стратегию (формировать оптимальный портфель ценных активов и управлять им таким образом, чтобы снизить риски или трансформировать их [11, 65]), однако рассматривала только совершенное хеджирование (perfect hedging, super hedging) стандартных опционов.

При совершенном хеджировании опционов выплата по ним могла быть достаточно высокой, так как совершенное хеджирование предполагает воспроизведение выплат по деривативу в полном объеме, при этом стоимость производной бумаги не зависела от предпочтений ее обладателя и характеристик эмитента. Описанная ситуация представляла существенный риск невыполнения платежного обязательства для эмитента и породила требование ограничения этого риска. Возникла необходимость построения хеджа с учетом возможности потерь, или задача несовершенного хеджирования (imperfect hedging), включающего в себя хеджирование в среднеквадратическом, квантильное хеджирование (quantile hedging) и хед-

жирование ожидаемых потерь. Развитие методологии несовершенного хеджирования можно проследить в работах [6, 38, 40, 50, 51, 54, 88, 102, 93, 103, 109, 113].

В диссертации решается задача:

1) квантильного хеджирования Европейских стандартных опционов купли и продажи. Как и суперхеджирование, стратегия квантильного хеджирования минимизирует капитал оптимального портфеля ценных бумаг, но при заданной (меньше 1) вероятности успешного хеджирования. Задача совершенного и квантильного хеджирования «ванильных» опционов решена в [69, 70, 77, 103] с учетом всех предположений модели Блэка-Шоулза, в частности, предположения об отсутствии дивидендов по базисному активу в течение всего срока действия опциона. Настоящее исследование рассматривает обобщение на случай выплаты дивидендов по акции (для совершенного хеджирования обобщение на случай выплаты дивидендов по акции представлено в [49, 59,117]);

2) квантильного хеджирования Европейских экзотических опционов купли и продажи с ограничением выплат для продавца и гарантированным доходом для покупателя дериватива. Результаты совершенного хеджирования данных опционов приведены в [3,4, 26, 60];

3) совершенного хеджирования барьерных опционов купли и продажи Европейского стиля. Барьерные опционы появились еще в 60-х годах и представляют собой вторичную ценную бумагу, выплаты по которой зависят от достижения ценой базисного актива определенного ценового порога - барьера. Данный уровень может рассматриваться как триггер, «включающий» (knock-in) или «выключающий» (knock-out) опцион (поэтому одно из альтернативных названий барьерных опционов - Trigger Options) [28, 33, 34, 62, 106, 112]. В диссертационной работе рассматриваются двухбарьерные опционы купли и продажи (Double Barrier Options), обобщающие опционы knock-in и knock-out, и опционы knock-out с «уступкой» (Rebates), представляющую собой компенсацию владельцу опциона, если дериватив не вступит в силу в период жизни опциона [34]. На сегодняшний день «барьеры» являются одними из самых распространенных инструментов в силу их низкой стоимости.

В общепринятом понимании барьерные опционы есть стандартные европейские опционы, в условиях выплаты по которым учитываются ограничения в виде барьеров. В этом смысле хеджирование данных деривативов схоже с квантиль-ным хеджированием в силу ограниченности множества успешного хеджирования, поэтому барьерные опционы стали предметом настоящего исследования. Автор

дополнил класс барьерных опционов деривативом, базовая платежная функция выплат которого есть платежная функция экзотического опциона с ограничением выплат и гарантированным доходом.

Подводя итог проведенному анализу, можно утверждать об актуальности исследования, которая обусловлена, во-первых, необходимостью разработки методологии принятия решения, руководствуясь которой агент финансового рынка, обрабатывая и анализируя поступающую с фондовых рынков информацию (цены активов), смог бы управлять экономическими процессами (эволюцией капитала, инвестиционного портфеля). Во-вторых, потребность в изучении опционов как средства управления капиталом объясняется тем, что объемы торгов ими довольно высоки и превышают объемы торгов многими финансовыми инструментами на срочном и спотовом рынках [57, 110]. Однако большинство операций представлено торговлей стандартными опционами ввиду отсутствия математически обоснованного исследования экзотических опционов, являющихся более гибкими инструментами по сравнению со стандартными. Результаты настоящей диссертации представляют решение задачи хеджирования некоторых экзотических опционов. В-третьих, наряду с совершенным хеджированием рассмотрено квантильное хеджирование деривативов, что позволяет учитывать непредвиденные риски при оценивании дериватива. Стоит отметить, что исследование проводилось при условии выплаты дивидендов по рисковому активу, тем самым была учтена значимая компонента реального финансового рынка.

0.3. Цели и задачи диссертационной работы. Целью работы является аналитическое и численное исследование стандартных и некоторых экзотических опционов Европейского стиля на диффузионном финансовом рынке акций, по которым выплачиваются дивиденды, для последующего принятия решения о размере премии по опциону и об условиях опционного договора на основании цен рассматриваемых деривативов. Класс экзотических опционов представлен: опционами с ограничением выплаты для продавца дериватива и гарантированным доходом для покупателя; двухбарьерными опционами; «выключающими» опционами с уступкой. В рамках сформулированной цели были предложены этапы алгоритма принятия решения о структуре опционного контракта и решены следующие задачи:

1. Определить рациональную (справедливую) стоимость Европейского опциона, модифицировав модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза предположением о выплате дивидендов по базисному активу (акции).

2. Рассчитать инвестируемый капитал продавца опциона, а также состав оптимального формируемого портфеля, обеспечивающего капитал.

3. Осуществить хеджирование опционов, задав уровень риска, связанного с неисполнением или частичным исполнением опциона. Если уровень риска равен нулю, применить методологию суперхеджирования. Если уровень риска больше нуля, использовать квантильное хеджирование, предварительно определив множество успешного хеджирования.

4. Аналитически и численно исследовать полученные решения, сформулировать и дать экономическую интерпретацию влияния параметров договора на решение задачи.

5. Решить задачи 1-4 для стандартных и экзотических опционов Европейского стиля. Сравнить стоимости деривативов с целью принятия решения о структуре опционного контракта.

0.4. Научная новизна работы. Новизна исследования заключается в решении задач: квантильного хеджирования стандартных опционов купли/продажи и экзотических опционов купли/продажи с ограничением выплат для продавца опциона и гарантированным доходом для владельца опциона; а также совершенного хеджирования двойных барьерных опционов купли/продажи и барьерных опционов купли/продажи с уступкой, - как этапа обработки данных финансового рынка и принятия решения о структуре Европейского опциона на акции, по которым выплачиваются дивиденды.

0.5. Теоретическая значимость работы. Результаты глав 1, 2 могут служить теоретической основой для изучения возможностей квантильного хеджирования иных представителей широкого класса экзотических опционов на рынке акций, например, опционов барьерного типа, опционов на экстремумы. Результаты глав 3, 4 представляют собой необходимый этап решения задачи анализа квантильного и совершенного видов хеджирования барьерных опционов Европейского стиля.

0.6. Практическая значимость работы заключается в возможности использования аналитических выражений справедливых цен предложенных в работе опционов на рынках вторичных ценных бумаг при заключении биржевых и внебиржевых опционных договоров, когда в качестве первичного актива выступают акции и по ним выплачиваются дивиденды. Результаты диссертации могут быть предложены для создания автоматизированной системы выработки общих рекомендаций инвесторам с учетом их целей и возможностей.

Работа выполнялась в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (мероприятие 1.5) в 20102011 гг.: «Аналитические и алгебраические методы обработки информации, теория групп и управление в стохастических системах», номер госрегистрации ГК 10.347.с.2010; в 2012-2013 гг.: «Современные методы оптимизации и анализа, теории групп и их приложения в обработке информации, математических моделях физики и экономики», номер госрегистрации 0.1109.2012 Б; в рамках Программы повышения конкурентоспособности ТГУ на 2014-2015 гг. Результаты диссертации используются в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета при чтении курса «Математические методы и модели в экономике» (раздел «Модели финансового рынка») для магистрантов (Приложение Д).

0.7. Методология и методы исследования. Для реализации поставленных в диссертационной работе задач был применен аппарат теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, теории дифференциальных уравнений, математического анализа, стохастического анализа, системного анализа, а также тематической теории финансов. Численные расчеты и анализ результатов компьютерного моделирования проведены с помощью системы Mathcad.

0.8. Положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритм принятия решения о заключении опционного контракта (о размере премии по опциону и об условиях опционного договора на основании цен рассматриваемых деривативов);

2. Аналитическое решение задачи нахождения стоимостей стандартных и экзотических (с ограничением выплат для продавца и гарантированным доходом для покупателя) опционов купли и продажи Европейского стиля, текущих значений минимальных портфелей ценных бумаг (хеджирующих стратегий) и обеспечивающих хеджи капиталов с выплатой дивидендов по рисковому активу в случае квантильного хеджирования;

3. Аналитическое решение задачи нахождения стоимостей Европейских барьерных опционов купли и продажи, текущих значений минимальных портфелей ценных бумаг (хеджирующих стратегий) и обеспечивающих хеджи капиталов с выплатой дивидендов по рисковому активу в случае совершенного хеджирования;

4. Результаты исследования свойств решений и их экономическая интерпретация с помощью аналитических и численных исследований;

5. Результаты сравнения цен опционов в зависимости от класса и вида опциона и вида хеджирования, рекомендации для принятия решения при заключении опционного контракта.

0.9. Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечена строгими математическими доказательствами с использованием аппарата теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, теории дифференциальных уравнений, математического анализа, стохастического анализа, системного анализа, теории финансовой математики и численными исследованиями.

0.10. Апробация результатов. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

1. VII Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», Томск, 20-23 апреля 2010 г.;

2. XIII Российская конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур», Томск, 5-8 октября 2010 г.;

3. IX Международная научно-практическая конференция студентов, молодых ученых и предпринимателей в сфере экономики, менеджмента и инноваций «ИМПУЛЬС - 2012», Томск, 22-23 ноября 2012 г.;

4. X Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», Томск, 23-26 апреля 2013 г.;

5. I Всероссийская молодежная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем», Томск, 17-18 мая 2013 г.;

6. The International Academic Conference on Social Sciences, Turkey, Istanbul, 25-27 June, 2013;

7. VI Международная научно-практическая конференция «Физико-технические проблемы атомной науки, энергетики и промышленности» (ФТПА-НЭП-2014), Томск, 5-7 июня 2014 г.;

8. X Российская конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур», Алтайский край, 9-13 июня 2014 г.;

9. XIII Международная научно-практическая конференция имени А.Ф. Тер-пугова «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ-2014), Анжеро-Судженск, 20-22 ноября 2014 г.

0.11. Публикации. Основные результаты проведенных исследований опубликованы автором в 15 печатных работах, 7 из которых опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК.

1. Данилюк, Е. Ю. Квантильное хеджирование опциона купли на диффузионном (В, в) - финансовом рынке в случае выплаты дивидендов по рисковому активу / Е. Ю. Данилюк, Н. С. Демин // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2010. - № 4 (13). - С. 61-71.

2. Данилюк, Е. Ю. Хеджирование опциона купли с заданной вероятностью на диффузионном (В, Б) - рынке в случае выплаты дивидендов по рисковому активу/ Е. Ю. Данилюк, Н. С. Демин // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2011. - № 1 (14). - С. 22-30.

3. Андреева, У. В. Применение вероятностных методов к исследованию экзотических опционов купли Европейского типа на основе экстремальных значений цены рискового актива / У. В. Андреева, Е. Ю. Данилюк, Н. С. Демин, С. В. Рожкова, Е. Г. Пахомова // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 321, № 6. - С. 5-12.

4. Андреева, У. В. Европейский опцион купли Лукбэк с плавающим страйком / У. В. Андреева, Е. Ю. Данилюк, Н. С. Демин, С. В. Рожкова, Е. Г. Пахомова // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 321, №6.-С. 13-15.

5. Данилюк, Е. Ю. Математические методы в задаче квантилыюго хеджирования экзотического Европейского опциона купли / Е. Ю. Данилюк, С. В. Рожкова // Известия Томского политехнического университета. - 2014. -Т. 324, № 2: Математика и механика. Физика. - С. 5-10.

6. Данилюк, Е. Ю. Физико-математические методы в задаче квантиль-ного хеджирования экзотического Европейского опциона продажи / Е. Ю. Данилюк, С. В. Рожкова // Известия высших учебных заведений. Физика. -2014. - Т. 57, № 11/2. - С. 344-351.

7. Данилюк, Е. Ю. Двухбарьерный опцион купли и выключающий опцион купли с уступкой как объекты квантильного хеджирования / Е. Ю. Данилюк, С. В. Рожкова // Известия высших учебных заведений. Физика. -2014. - Т. 57, № 11/2. - С. 352-359.

8. Данилкж, Е. Ю. Хеджирование опциона продажи с заданной вероятностью в случае выплаты дивидендов по рисковому активу / Е. Ю. Данилкж, Н. С. Демин // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2009. - № 4 (9). - С. 32-42.

9. Данилюк, Е. Ю. Исследование опциона продажи с заданной вероятностью на диффузионном (В, S) - финансовом рынке [Электронный ресурс] / Е. Ю. Данилюк, Н. С. Демин // Перспективы развития фундаментальных наук : сборник научных трудов VII Международной конференции студентов и молодых ученых, Томск, 20-23 апреля 2010 г. - Томск : Национальный исследовательский Томский политехнический университет. - С. 466-468. - URL: http://science-persp.tpu.ru/Previous%20Materials/Konf 2010.pdf, свободный. - Загл. с экрана (дата обращения: 02.02.2011).

10. Данилюк, Е. Ю. Квантильное хеджирование опциона купли на диффузионном (В, S) -рынке в случае выплаты дивидендов по рисковому активу / Е. Ю. Данилюк, Н. С. Демин // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : тезисы докладов Восьмой российской конференции с международным участием, Томск, 5-8 октября 2010 г. - Томск : Изд-во HTJI, 2010. - С. 116.

11. Куницына, А. А. Поиск наиболее выгодной стратегии Европейского опциона купли барьерного типа для ОАО «Норильский Никель» / А. А. Куницына, Е. Ю. Данилюк // ИМПУЛЬС-2012 : труды IX Международной научно-практической конференции студентов, молодых ученых и предпринимателей в сфере экономики, менеджмента и инноваций / Томский политехнический университет, 22-23 ноября 2012 г. - Томск : Изд-во ТПУ, 2012. - С. 191-194.

12. Данилюк, Е. Ю. Исследование Лукбэк-опционов продажи Европейского типа [Электронный ресурс] / Е. Ю. Данилюк, С. В. Рожкова, У. В. Андреева // Перспективы развития фундаментальных наук : сборник научных трудов X Международной конференции студентов и молодых ученых, Томск, 23-26 апреля 2013 г. - Томск : Национальный исследовательский Томский политехнический университет, 2013. - С. 525-527. - URL: http://science-persp.tpu.ru/Previous%20Materials/Konf 2013 .pdf, свободный. - Загл. с экрана (дата обращения: 30.10.2013)

13. Daniliuk, Е. Quantile Hedging in Diffusion (В, S) - Market for European Call Option [Electronic resource] / E. Daniliuk, S. Rozhkova // Proceedings of the International Academic Conference on Social Science, Istanbul, Turkey, 25-27 June, 2013. -Istanbul [s. п.], 2013. - P. 302-306. - URL:

http://iacss2013.files.wordpress.corn/2013/08/iacss-2013-proceedings-book2.pdf. free. -Tit. from the screen (usage date: 15.10.2013).

14. Данилюк, E. 10. Барьерный опцион продажи на акции энергетической отрасли [Электронный ресурс] / Е. Ю. Данилюк, С. В. Рожкова // Физико-технические проблемы атомной науки, энергетики и промышленности : сборник тезисов докладов VI Международной научно-практической конференции, Томск, 5-7 июня 2014 г. / Томский политехнический университет - Томск [б. и.], 2014. -С. 153. - URL: http://portal.tpu.ru/science/lconf/atom/itog, свободный. -Загл. с экрана (дата обращения: 17.07.2014).

15. Daniliuk, Е. Yu. Mathematical methods in the problem of a barrier put option hedging / E. Yu. Daniliuk, S. V. Rozhkova // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2014): материалы XIII Международной научно-практической конференции им. А.Ф. Терпугова, Анжеро-Судженск, 20-22 ноября, 2014. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2014. - Ч. 3. - С. 3-7.

0.12. Личный вклад автора. Постановка задач, представленных в диссертации, была сделана автором совместно с научными руководителями д.ф.-м.н, проф.

Н.С. Деминым) и д.ф.-м.н, доцентом C.B. Рожковой. Полученные результаты, изложенные в исследовании и выносимые на защиту, принадлежат лично соискателю. В опубликованных работах основные результаты теоретического исследования и численного моделирования выполнены автором. Соавтор публикации [11], представленной в трудах конференции, является студентом, научной работой которого руководил автор диссертации. С соавторами публикации [3], [4] обсуждались постановка задачи и полученные результаты.

0.13. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, пяти приложений. Общий объем работы составляет 176 страниц, из которых 134 страницы основного текста, иллюстративный материал представлен 54 рисунками; список литературы содержит 120 наименований.

Используется двойная нумерация параграфов: первая цифра соответствует номеру главы, вторая - номеру параграфа. Формулы имеют тройную нумерацию: первая цифра - номер главы, вторая - номер параграфа, третья - последовательный номер формулы в рамках параграфа. Рисунки имеют сквозную нумерацию в рамках главы: первая цифра указывает на номер главы, вторая цифра - номер рисунка. Нумерация теорем, утверждений, следствий, замечаний двойная: первая цифра - номер главы, вторая - номер теоремы, утверждения, следствия, замечания соответственно.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Данилюк, Елена Юрьевна, 2014 год

Список использованной литературы

1. Андреева, У. В. Применение вероятностных методов к исследованию экзотических опционов купли Европейского типа на основе экстремальных значений цены рискового актива / У. В. Андреева, Е. Ю. Данилюк, Н. С. Демин, С. В. Рож-кова, Е. Г. Пахомова// Изв. Том. политехи, ун-та. -2012. - Т. 321, № 6. - С. 5-12.

2. Андреева, У. В. Европейский опцион купли Лукбэк с плавающим страйком / У. В. Андреева, Е. Ю. Данилюк, Н. С. Демин, С. В. Рожкова, Е. Г. Пахомова // Там же. - С. 13-15.

3. Андреева, У. В. Экзотический опцион продажи с ограничением выплаты по опциону и наличием выплаты дивидендов по рисковому активу / У. В. Андреева // Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычисл. техника и информатика. - 2010. -№4(13).-С. 31-39.

4. Андреева, У. В. Экзотические опционы европейского типа с ограничением выплат по опционам / У. В. Андреева, Н. С. Демин, А. В. Ерлыкова, Е. А. Пань-шина // Автоматика и телемеханика. - 2010. - № 9. - С. 136-151.

5. Аникина, А. В. Исследование Европейского опциона продажи с последействием в случае выплаты дивидендов / А. В. Аникина, Н. С. Демин // Вестн. Том. гос. ун-та. - 2006. - № 290. - С. 216-220.

6. Антонов, П. Ю. Экономическая эффективность методов несовершенного хеджирования финансовых опционов : дис. ... канд. экон. наук : 08.00.10 / Антонов Павел Юрьевич. - М., 2004. - 187 с.

7. Буренин, А. Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов / А. Н. Буренин. - М.: НТО, 2011. - 394 с.

8. Буренин, А. Н. Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные производные / А. Н. Буренин. - М.: НТО, 2011. - 465 с.

9. Буренин, А. Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки / А. Н. Буренин. - 3-е изд., перераб. и доп. - М. : Науч.-техн. о-во им. акад. С. И. Вавилова, 2003.-339 с.

10. Вайн, С. Опционы. Полный курс для профессионалов / С. Вайн. - 2-е изд., испр. и доп. - М. : Альпина Бизнес Букс, 2007. - 466 с.

11. Васильев А. В. Хеджирование на срочных рынках [Электронный ресурс] / А. В. Васильев // Bullion.ru : сайт. - [Bullion.ru], 2002-2014. - URL:

http://bullion.ru/theory/dipll/, свободный. - Загл. с экрана (дата обращения: 25.05.2011).

12. Галанов, В. А. Производные финансовые инструменты / В. А. Галанов. -М. : ИНФРА-М, 2011. - 208 с.

13. Ганкин, Г. Перспективы развития российского срочного рынка [Электронный ресурс] / Г. Ганкин // Рынок цен. бумаг. - 2007. - № 14 (344). - URL: http://www.rcb.ru/rcb/2007-17/8640/?print=Y, свободный. - Загл. с экрана (дата обращения: 14.07.2011).

14. Данилюк, Е. Ю. Барьерный опцион продажи на акции энергетической отрасли [Электронный ресурс] / Е. Ю. Данилюк, С. В. Рожкова // Физико-технические проблемы атомной науки, энергетики и промышленности : сб. тез. докл. VI Междунар. науч.-практ. конф., Томск, 5-7 июня 2014 г. / Том. политехи, ун-т-Томск [б. и.], 2014. - С. 153. - URL: http://portal.tpu.ru/science/konf/atorn/itog, свободный. - Загл. с экрана (дата обращения: 17.07.2014).

15. Данилюк, Е. Ю. Двухбарьерный опцион купли и выключающий опцион купли с уступкой как объекты квантильного хеджирования / Е. Ю. Данилюк, С. В. Рожкова // Изв. высш. учеб. заведений. Физика. - 2014. - Т. 57, № 11/2. - С. 352-359.

16. Данилюк, Е. Ю. Исследование Лукбэк-опционов продажи Европейского типа [Электронный ресурс] / Е. Ю. Данилюк, С. В. Рожкова, У. В. Андреева // Перспективы развития фундаментальных наук : сб. науч. тр. X Междунар. конф. студентов и молодых ученых, Томск, 23-26 апр. 2013 г. - Томск : Нац. исслед. Том. политехи, ун-т, 2013. - С. 525-527. - URL: http://science-pcrsp.tpu.ru/Previous%20Materials/Konf 2013.pdf, свободный. - Загл. с экрана (дата обращения: 30.10.2013)

17. Данилюк, Е. Ю. Исследование опциона продажи с заданной вероятностью на диффузионном (В, S) - финансовом рынке [Электронный ресурс] / Е. Ю. Данилюк, Н. С. Демин // Перспективы развития фундаментальных наук : сб. науч. тр. VII Междунар. конф. студентов и молодых ученых, Томск, 20-23 апр. 2010 г. - Томск : Нац. исслед. Том. политехи, ун-т. - С. 466-468. - URL: http://science-persp.tpu.ru/Previous%20Materials/Konf 2010.pdf, свободный. - Загл. с экрана (дата обращения: 02.02.2011).

18. Данилюк, Е. Ю. Квантильное хеджирование опциона купли на диффузионном (В, S) - финансовом рынке в случае выплаты дивидендов по рисковому активу / Е. Ю. Данилюк, Н. С. Демин // Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вы-числ. техника и информатика. - 2010. - № 4 (13). - С. 61-71.

19. Данилюк, Е. Ю. Квантильное хеджирование опциона купли на диффузионном (В, S) -рынке в случае выплаты дивидендов по рисковому активу / Е. Ю. Данилюк, Н. С. Демин // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : тез. докл. Восьмой рос. конф. с междунар. участием, Томск, 5-8 окт. 2010 г. - Томск : Изд-во НТЛ, 2010. - С. 116.

20. Данилюк, Е. Ю. Математические методы в задаче квантильного хеджирования экзотического Европейского опциона купли / Е. Ю. Данилюк, С. В. Рожкова // Изв. ТПУ. - 2014. - Т. 324, № 2 : Математика и механика. Физика. - С. 5-10.

21. Данилюк, Е. Ю. Физико-математические методы в задаче квантильного хеджирования экзотического Европейского опциона продажи / Е. Ю. Данилюк, С. В. Рожкова // Изв. высш. учеб. заведений. Физика. - 2014. - Т. 57, № 11/2. - С. 344-351.

22. Данилюк, Е. Ю. Хеджирование опциона продажи с заданной вероятностью в случае выплаты дивидендов по рисковому активу / Е. Ю. Данилюк, Н. С. Демин // Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычисл. техника и информатика. - 2009. - № 4 (9). - С. 32-42.

23. Данилюк, Е. Ю. Хеджирование опциона купли с заданной вероятностью на диффузионном (В, S) - рынке в случае выплаты дивидендов по рисковому активу/ Е. Ю. Данилюк, Н. С. Демин // Там же. - 2011. - № 1 (14). - С. 22-30.

24. Дарушин, И. Срочные сделки или производные инструменты? К вопросу о терминологии рынка деривативов [Электронный ресурс] / И. Дарушин // Рынок цен. бумаг. - 2005. - № 5. - URL: http://www.rcb.ru/rcb/2005-05/6739/?print=Y. свободный. - Загл. с экрана (дата обращения: 08.12.2009).

25. Демин, Н. С. Европейский опцион с произвольным числом типов рисковых ценных бумаг в случае дискретного времени / Н. С. Демин, М. Ю. Шиширин // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 2. - Т. 9, № 1. - С. 3-20.

26. Демин, Н. С. Опционы на диффузионном (В, Р) - рынке облигаций в случае HJM-модели / Н. С. Демин, В. В. Толстобоков // Вестн. Том. гос. ун-та. Управление, вычисл. техника и информатика. - 2008. - № 4. - С. 41-50.

27. Деривативы : курс для начинающих : пер. с англ. - 2-е изд. - М. : Аль-пина Паблишер, 2009. - 200 с. - (Сер. «Reuters для финансистов»).

28. Дмитриева, И. Н. Использование экзотических производных финансовых инструментов при реализации инвестиционных стратегий / И. Н. Дмитриева // Мир соврем, науки. - 2012. - Т. 4. - С.55-65.

29. Иванов, М. Инструменты срочного рынка для УК. Торговые идеи для институциональных инвесторов на рынке фьючерсов и опционов [Электронный

ресурс] / M. Иванов // Рынок цен. бумаг. - 2008. - № 7 (358). - URL: http://www.rcb.ru/rcb/2008-07/13 SOô^print^Y, свободный. - Загл. с экрана (дата обращения: 12.07.2011)

30. Инглис-Тейлор, Э. Производные финансовые инструменты : словарь / Э. Инглис-Тейлор. - М. : ИНФРА-М, 2007. - 224 с.

31. Калашникова, Т. В. Нахождение справедливой цены производных ценных бумаг при модели изменения цены в виде процесса, возвращающегося к среднему / Т. В. Калашникова, А. Ф. Терпугов // Стат. обраб. данных и упр. в слож. системах. - 2001. - Вып. 3. - С. 79-93.

32. Калашникова, Т. В. Оценивание опционов европейского типа с учетом коррелированности приращений цен / Т. В. Калашникова, А. Ф. Терпугов // Вестн. Том. гос. ун-та. - 2000. - № 271 (июнь). - С. 146-147.

33. Канева, М. А. Экзотические опционы как инструмент управления валютными и другими рисками / М. А. Канева, М. В. Лычагин // Вестн. НГУ. Сер. : Соц.-экон. науки. -2006. - Т. 6, вып. 2. - С. 3-12.

34. Кожин, К. Все об экзотических опционах // Рынок цен. бумаг. - 2002. -№ 1 (15). - С. 53-57; № 2 (16). - С. 61-64; № 3 (17). - С. 68-73.

35. Колясникова, Е. Р. Математическое моделирование (B,S,F) - рынков : афтореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук : 05.13.18 / Колясникова Елена Рифовна. -Уфа, 2010.- 19 с.

36. Крамков, Д. О. Интегральный опцион / Д. О. Крамков, Э. Мордецки // Теория вероятностей и ее применение. - 1994. - Т. 39, № 1. - С. 201-210.

37. Крамков, Д. О. О расчетах рациональной стоимости «Русского опциона» в симметричной биномиальной модели (B,S) - рынка / Д. О. Крамков, А. Н. Ширяев // Там же. - С. 191-200.

38. Кубатько, О. И. Методы несовершенного хеджирования опционов на полных рынках : автореф. дис. ... канд. экон. наук : 08.00.13 / Кубатько Олег Игоревич. - М., 2007. - 23 с.

39. Куницына, А. А. Поиск наиболее выгодной стратегии Европейского опциона купли барьерного типа для ОАО «Норильский Никель» / А. А. Куницына, Е. Ю. Данилюк // ИМПУЛЬС-2012 : тр. IX Междунар. науч.-практ. конф. студентов, молодых ученых и предпринимателей в сфере экономики, менеджмента и инноваций / Том. политехи, ун-т, 22-23 нояб. 2012 г. - Томск : Изд-во ТПУ, 2012. -С. 191-194.

40. Ламбурт, В. Г. Сравнение некоторых стратегий хеджирования платежных обязательств, использующих и не использующих мартингальную меру / В. Г. Ламбурт // Обозрение приклад, и пром. математики. - 2001. - Т. 8, № 1. - С. 20-27.

41. Люу, Ю.-Д. Методы и алгоритмы финансовой математики / Ю.-Д. Люу. - М. : Бином. Лаборатория знаний, 2010. - 752 с.

42. Липцер, Р. III. Статистика случайных процессов / Р. Ш. Липцер,

A. Н. Ширяев. - М. : Наука, 1974. - 696 с.

43. Липцер, Р. Ш. Теория мартингалов / Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев. - М. : Наука, 1986.-514 с.

44. Логинов, П. Финансово-правовое регулирование кредитных деривативов [Электронный ресурс] / П. Логинов // Рынок цен. бумаг. - 2008. - № 2 (353). -URL: http://www.rcb.ru/rcb/2008-02/8549/?print=Y. свободный. - Загл. с экрана (дата обращения: 12.07.2011).

45. Лоран, Ж. Опасные игры с деривативами. Полувековая история провалов от Citibank до Barings, Société Generale и AIG / Ж. Лоран. - M. : Альпина Паблишер, 2012. - 342 с.

46. МакМиллан, Л. Дж. Опционы как стратегическое инвестирование / Л. Дж. МакМиллан. - М. : ЕВРО, 2003. - 1232 с.

47. Малыхин, В. И. Финансовая математика: учеб. пособие для вузов / В. И. Ма-лыхин. - М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 237 с.

48. Маршалл, Дж. Ф. Финансовая инженерия : учеб. / Дж. Ф. Маршалл,

B. К. Бансал. - М. : ИНФРА-М, 1998. - 784 с.

49. Медведев, Г. А. Математические основы финансовой экономики : учеб. пособие : в 2 ч - Минск : БГУ, 2003. - Ч. 1. - 287 с.

50. Мельников А. В. К вопросу о хеджировании платежных обязательств в среднеквадратическом / А. В. Мельников, М. Л. Нечаев // Теория вероятностей и ее применения. - 1998. - Т. 43, № 4. - С. 672-691.

51. Мельников, А. В. Квантильное хеджирование и его применение к расчетам контрактов страхования жизни, основанных на рисковых активах финансового рынка / А. В. Мельников // Обозрение приклад, и пром. математики. - 2006. -Т. 13, вып. 6.-С. 993-1004.

52. Мельников, А. В. Математические методы финансового анализа / А. В. Мельников, Н. В. Попова, В. С. Скорняков. - М. : Анкил, 2006. - 440 с.

53. Мельников, А. В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг / А. В. Мельников. - М. : ТВП, 1997. - 130 с.

54. Мельников, А. В. Формула Маргрейба и квантильное хеджирование контрактов страхования жизни / А. В. Мельников, Ю. В. Романюк, В. С. Скорня-кова // Докл. Акад. наук. - 2005. - Т. 400, № 2. - С. 153-156.

55. Михайлов, Д. М. Мировой финансовый рынок: тенденции развития и инструменты. - М.: Экзамен, 2000. - 767 с.

56. Рачев, С. Т. Модели и расчеты контрактов с опционами / С. Т. Рачев, JI. Ру-шендорф // Теория вероятностей и ее применения. - 1994. - Т. 39, № 1. - С. 150-190.

57. Рынки Московской Биржи [Электронный ресурс] / Московская Биржа : [сайт]. - [М., 2011-2014]. - URL: http://moex.com/s4, свободный. - Загл. с экрана (дата обращения: 25.04.2014).

58. Рынку деривативов - качество! [Электронный ресурс] // Рынок цен. бумаг. - 2006. - № 1. - URL: http://www.rcb.ru/rcb/2006-01/7393/?print=Y. свободный.

- Загл. с экрана (дата обращения: 18.02.2010).

59. Терпугов, А. Ф. Математика рынка ценных бумаг : учеб. пособие. -Томск : Изд-во НТЛ, 2004. - 164 с.

60. Толстобоков, В. В. Экзотические опционы с гарантированным доходом и ограничением выплат на диффузионном рынке облигаций : дис. ... канд. физ.-мат. наук : 05.13.01 / Вячеслав Васильевич Толстобоков. - Томск, 2010.- 153 с.

61. Фельдман, А. Б. Производные финансовые и товарные инструменты / А. Б. Фельдман. - М. : Финансы и статистика, 2003. - 304 с.

62. Халл Дж. К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты / Дж. К. Халл. - М. [и др.] : Вильяме, 2008. - 1024 с.

63. Чекулаев, М. Экзотические опционы или опционная экзотика? [Электронный ресурс] / М. Чекулаев // ForTrader.ru : он-лайн журн. для трейдеров : сайт.

- ForTrader.ru, 2008-2014. - URL: http://fortrader.ru/learn/ekzoticheskie-opciony-ili-opcionnaya-ekzotika.html, свободный. - Загл. с экрана (дата обращения: 11.09.2013).

64. Чекулаев, М. Финансовые опционы. Справочник-путеводитель. - Ростов н/Д, 2013.- 164 с.

65. Шапкин, А. С. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций : моногр. / А. С. Шапкин. - М.: Дашков и К0, 2003. - 544 с.

66. Шепп, Л. А. Новый взгляд на расчеты «русского опциона» / Л. А. Шепп, А. Н. Ширяев // Теория вероятностей и ее применения. - 1994. - Т. 39, № 1. - С. 130-149.

67. Ширяев, А. Н. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. II. Непрерывное время / А. Н. Ширяев, Ю. М. Кабанов, Д. О. Крам-ков, А. В. Мельников // Там же. - С. 80-129.

68. Ширяев, А. Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики / А. Н. Ширяев // Там же. - С. 5-22.

69. Ширяев, А. Н. Основы стохастической финансовой математики : в 2 т. / А. Н. Ширяев. - М.: Фазис, 1998. - Т. 1. - 512 с.

70. Ширяев, А. Н. Основы стохастической финансовой математики : в 2 т. / А. Н. Ширяев. - М.: Фазис, 1998. - Т. 2 - 544 с.

71. Aase, К. К. Contingent claims valuation when the security price is a combination of an Ito process and a random point process. // Stochastic Processes and their Applications. - 1988. - Vol. 28, № 2. - P. 185-220.

72. Angelous, B. Option pricing for Inventory Management and Control / B. An-gelous, M. Heasley, J. Humpherys // Appl. Math. Finance. - 2010. - Vol. 16, № 1. - P. 413-419.

73. Bachelier, L. Louis. Bachelier's Theory of Speculation: the Origins of Modern Finance / L. Bachelier, P. A. Samuelson, M. Davis, A. Etheridge. - Princeton NJ : Princeton Univ. Press, 2006. - 208 p.

74. Baxter, M. W. Financial Calculus. An Introduction to Derivative Pricing / M. W. Baxter, A. J. O. Rennie. - Cambridge : Cambridge Univ. Press, 2001. - 241 p.

75. Black, F. Living up to the model / F. Black // RISK mag. - 1990. - March. -P. 11-13.

76. Black, F. The pricing of commodity contracts / F. Black // J. Financ. Econ. -1976.-Vol.3.-P. 167-179.

77. Black, F. The pricing of options and corporate liabilities / F. Black, M. Scho-les // J. Polit. Econ. - 1973. - Vol. 81, № 3. - P. 637-659.

78. Black, F. The holes in Black Scholes / F. Black // RISK mag. - 1988. -March. - P. 27-29.

79. Black, F. The Valuation of Options Contracts and a Test of Market Efficiency / F. Black, M. Scholes // J. Financ. - 1972. - Vol. 27, № 2. - P. 389-417.

80. Bones, A. J. Elements of a theory of stock-option value / A. J. Bones // J. Polit. Econ. - 1984.-Vol. 72.-P. 163-175.

81. Constantinides, G. M. Variations of the Cox - Ross - Rubinstein model -conservative pricing strategies / G. M. Constantinides, S. Perrakis // Rev. Financ. -2007. -№ 11.-P. 71-115.

82. Cox, J. С. Option pricing: a simplified approach / J. C. Cox, R. A. Ross, M. Rubinstein // Speculation and Financial Markets / eds. L. Gallagher, M. P. Taylor. -Cheltenham : Edward Elgar, cop. 2002. - Vol. 2. - P. 461-495. - (Int. Libr. of Critical Writings in Economics ; vol. 143).

83. Cox, J. C. Options markets / J. С. Cox, M. Rubinstein. - New York ; London : Prentice Hall, 1985.-498 p.

84. Cox, J. C. The valuation of options for alternative stochastic processes / J. C. Cox, R. A. Ross // J. Financ. Econ. - 1976. - Vol. 3. - P. 145-166.

85. Daniliuk, E. Quantile Hedging in Diffusion (B, S) - Market for European Call Option [Electronic resource] / E. Daniliuk, S. Rozhkova // Proc. Int. Acad. Conf. on Soc. Sci., Istanbul, Turkey, 25-27 June, 2013. - Istanbul [s. п.], 2013. - P. 302-306. -URL: http://iacss2013.files.wordpress.com/2013/08/iacss-2013-proceedings-book2.pdf, free. - Tit. from the screen (usage date: 15.10.2013).

86. Daniliuk, E. Yu. Mathematical methods in the problem of a barrier put option hedging / E. Yu. Daniliuk, S. V. Rozhkova // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2014): материалы XIII Междунар. научн.-практич. конф. им. А.Ф. Терпугова, Анжеро-Судженск, 20-22 ноября, 2014. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 2014. - Ч. 3. - С. 3-7.

87. Duffie, D. Dynamic asset pricing theory / D. Duffie. - Princeton : Princeton Univ. Press, 2010.-488 p.

88. Duffie, D. Mean variance hedging in continuous time / D. Duffie, H. R. Richardson // Ann. Appl. Probab. - 1991. - Vol. 1. - P. 1-15.

89. Dothan, M. V. Prices in financial markets / M. V. Dothan. - Oxford : Oxford Univ. Press, 1990.-342 p.

90. Elliott, R. Mathematics of Financial Markets / R. Elliott, P. E. Корр. - New York : Springer, 1999. - 292 p. - (Springer Finance).

91. Fabozzi, F. J. Estimating risk-neutral density with parametric models in interest rate markets / F. J. Fabozzi, R. Tunaru, G. Albota // Quant. Financ. - 2009. - Vol. 9, № l.-P. 55-70.

92. Follmer, H. Quantile hedging / H. Follmer, P. Leukert // Financ. Stoch. -1999. - Vol. 3, № 3. - P. 251-273.

93. Follmer, H. Efficient hedging: cost versus shortfall risk / H. Follmer, P. Leukert // Ibid. - 2000. - Vol. 4, № 2. - P. 117-146.

94. Gerber, H. U. An Introduction to mathematical risk theory / H. U. Gerber. -Philadelphia : S. S. Huebner Found., Wharton School, 1979. - 164 p.

95. Geske, R. The Valuation of Compound Options / R. Geske // J. Finan. Econ. -1979.-Vol. 7.-P. 63-81.

96. Harrison, M. J. Martingales and arbitrage in multiperiod securities market / M. J. Harrison, D. M. Kreps // J. Econ. Theory. - 1979. - Vol. 20. - P. 381-408.

97. Harrison, M. J. A stochastic calculus model of continuous trading: complete markets / M. J. Harrison, S. R. Pliska// Stoch. Proc. Appl. - 1983. - Vol. 15. - P. 313-316.

98. Harrison, M. J. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading / M. J. Harrison, S. R. Pliska // Ibid. - 1981. - Vol. 11. - P. 215-260.

99. Heath, D. Understanding the Implied Volatility Surface for Options on a Diversified Index / D. Heath, E. Platen // Asia-Pacific Financ. Markets. - 2005. - № 11. - P. 55-77.

100. Hirsa, A. An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives / A. Hirsa, S. N. Neftci. - 3rd. ed. - Academic Press, 2013.-480 p.

101. Hull, J. Risk Management and Financial Engineering / J. Hull. - New Jersey : Prentice Hall, 2003. - 520 p.

102. Kemna, A. Pricing Method for Options Based on Average Asset Values / A. Kemna, A. A Vorst // J. Banking Financ. - 1990. - Vol. 14. - P. 113-129.

103. Melnikov, A. V. Mathematics of financial obligations / A. V. Melnilcov, S. N. Volkov, M. L. Nechaev. - Providence, R. I. : Amer. Math. Soc., 2002. - 194 p. -(Translations of Mathematical Monographs ; vol. 212).

104. Merton, R. C. Continuous-Time Finance / R. C. Merton. - Oxford : Basil-Blackwell, 1992.-334 p.

105. Merton, R. C. Theory of rational option pricing / R. C. Merton // Bell J. Econ. Manag. Sei. - 1973.-№4.-P. 141-183.

106. Morimoto, M. On pricing exponential square barrier knockout European options / M. Morimoto, H. Takahashi // Asia-Pacific Financ. Markets. - 2002. - Vol. 9. - P. 1-21.

107. Musiela, M. Martingale methods in financial modeling / M. Musiela, M. Rut-kowski. - New York : Springer, 2005. - 638 p.

108. Nelken, I. The Handbook of Exotic Options. Instruments, Analysis and Applications /1. Nelken. - New York : McGraw-Hill, 1996. - 362 p.

109. Novikov, A. A. Hedging Options with a Given Probability / A. A. Novikov // Prob. Theory and Appl.- 1999.-Vol 43, iss. l.-P. 135-143.

110. Prices and Markets [Electronic resource] / London Stock Exchange : [site]. -London, 2014. - URL: http://www.londonstockexchange.com/prices-and-markets/markets/prices.htm, free. - Tit. from the screen (usage date: 20.04.2014).

111. Ross, S. M. An introduction to mathematical finance / S. M. Ross. - Cambridge : Cambridge Univ. Press, 1999. - 200 p.

112. Rubinstein, M. Exotic options / M. Rubinstein // Financ. working pap. - 1991. -№220.-P. 5^3.

113. Sekine, J. On a Robustness of Quantile Hedging: Complete Market's Case / J. Sekine // Asia-Pacific Financial Markets. - 1999. - Vol. 6, № 2. - P 195-201.

114. Shiryaev, A. N. Essentials of Stochastic Finance: Facts, Models, Theory / A. N. Shiryaev. - Hackensack, N. J. : World Sci. Publ. Co., 1999. - 834 p.

115. Stromilo, A.A. Pricing Discrete Percentage Lookback Option via Integral Transforms of Measure / A. A. Stromilo // Вестн. ВолГУ. Сер. 1, Математика. Физика. - 2009. - № 12. - С. 64-69.

116. Turnbull, S. М. A Quick Algorithm for Pricing European Average Options / S. Turnbull, L. M. Wakeman // J. Financ. Quant. Anal. - 1991. - Vol. 26, № 3. - P. 377-389.

117. Veiga, C. Closed formula for options with Discrete Dividends and Its Derivatives / C. Veiga, Y. Wystup // Appl. Math. Financ. - 2009. - Vol. 16, № 6. - P. 517-531.

118. Wilmott, P. Derivatives: the theory and practice financial engineering / P. Wilmott. - New York : John Willey, 1998. - 768 p.

119. Zakamouline, V. I. European option pricing and hedging with both fixed and proportional transactional costs / V. I. Zakamouline // J. Econ. Dyn. Control. - 2006. -Vol. 3.-P. 1-25.

120. Zhang, P. G. An introduction to exotic options / P. G. Zang // Europ. Financial Manag. - 1995. - Vol. 1, № 1. - P. 87-95.

Доказательство Замечания 1.2. С учетом формулировки Замечания 1.2 последовательно сравним цены стандартных и экзотических опционов продажи при квантиль-ном и совершенном хеджировании. Проведем доказательство при следующих допущениях: К{= К, так как КХ,К являются страйковыми ценами, и Ь7~р'" = ЬеТх~рШ.

1) сравнение стоимостей Р/', Р" стандартных опционов продажи при кван-тильном и совершенном хеджировании соответственно.

С учетом (1.2.12), (1.4.1) рассмотрим разность - Рт", обозначив ее через А

А = Ке~'т[ф(у*-рш(Т,89))-ф(ь;->ш т)-

-ф{(ъ«-рм т)-о Т^-Ке-гТф(у*-ри%Т,8,))+ 8,е-ьтф(у°;-рм(Т,80)-<5 т) =

= 80е-ьтф([ъ«-рм г)-о Т)- Ке-гТф(ь;'-""' т)

Так как (ь;'-рш т)-с .Т т), а значит т)-а т)<

< ф{ь°'-ри' т), а по условию задачи 5 < г, тогда А < 0 (или Рт" < Р;') при < К. Если > К, то аналитически однозначно знак разности А установить нельзя.

2) сравнение стоимостей , Ргех~' экзотических опционов продажи при квантильном и совершенном хеджировании соответственно.

С учетом (1.3.13), (1.4.31) рассмотрим разность Р.™-' - Ртех-!, обозначив ее через А.

Причем (Ьетх-рш т)< уе0х-рш (ГД)< уех-рш (ГД0), таким образом, получаем

А = К2е-Т [ф (Г, 50)) - ф{ъетх-рш Т) - Ф (у"-рш (Т, ))\ + + кхегТ [ф(у?-р"< (т, )) - ф(у;*-р"' (:т, )) - ф(у'г-"- (т, б0 ))+ф(у;х-р'" (Г, л;))] -

- [Ф:х-Р1" )) - Ф:-рш (т, ^о)) - ф{у1х-рш сТ, ¿>0)) + ф (у:-ри! (г, ))]=

= -К2е"7 ф{ьетх-рш Т) Очевидно, что А < 0, а значит, Р*х~' < Ртех-!.

3) сравнение стоимостей Р™-", экзотических опционов продажи при квантильном и совершенном хеджировании соответственно.

С учетом (1.3.14), (1.4.32) рассмотрим разность Ртех~" -Ртех-", обозначив ее через

А. Причем уех-рш (ГД) < {Щх-рш т)< уех-рш (Т,80), таким образом, получаем

А = КхегТ [ф(у?-рш СГ, )) - ф(ьегх-рш Т)-Ф(у:(-рш (Т, ))] -

-[фСрг-""(т,))- ф{ъ;х-рш т)-Ф(у[х-рм(:Г,))]=

= 50е"5г ф(/;/1 Т)- Кхе~гТ ф(ьетх~рш т)

Так как {Ветх-рш т)<(ьетх-рм т), а значит ф{ъ;х-рш т)<ф{ь;х-рш т), а по условию задачи 8 < г, тогда А < 0 (или Р*х-" < Ртех-") при 80 < АГ. Если £0 > АГ, то аналитически однозначно знак разности А установить нельзя.

4) сравнение стоимостей экзотического Р"-' и стандартного Рт" опционов продажи при квантильном и совершенном хеджировании соответственно.

С учетом (1.3.13), (1.4.1) рассмотрим разность Р^-1 -Рт", обозначив ее через А.

Причем {Ъетх~рш т)<у1х-рш(т,8й)<уе;-р,"{т,8 0), и согласно (1.2.11), (1.3.8) у8'-р1"(Т,8,) = уех-р,"(Т,80) при Кх = К. Таким образом, получаем

А = 80е-5Т Ф(Г; (Г, )) - Кхе~гт ф{У;х-р"' (Т, ))+ + к2е'гТ [ф(у™-рш (:т, )) - ф(ь;х-рм т)]

Аналитически однозначно знак разности А установить нельзя.

5) сравнение стоимостей экзотического Ртех-' и стандартного Р/' опционов продажи при совершенном и квантильном хеджировании соответственно.

С учетом (1.4.31), (1.2.12) рассмотрим разность Ртех~' - Р*', обозначив ее через А.

Причем (ь;х-рш т)<у;х-рш{Т,80)<ус1х-р"'{Т,80), и согласно (1.2.11), (1.3.8) уо-рш(т,5о) = уг-рш(та) при Кх= К. Таким образом, получаем

А = 5>_5ГФТ)-о Г)]-Кхел [ф(у0в-'"(ГЛ))-

- ф(ь;>-р>" Г)]+ .К2е'гТ Ф(у1х-рш (Г,50))

Аналитически однозначно знак разности А установить нельзя.

6) сравнение стоимостей экзотического Р.и стандартного Рт" опционов продажи при квантильном и совершенном хеджировании соответственно.

С учетом (1.3.14), (1.4.1) рассмотрим разность Р™-" - Рт", обозначив ее через А.

Причем уе0х-рш(Т,80)<(ьетх-рш т)< уехх~р"'(Т,80), и согласно (1.2.11), (1.3.8) у'0'-рш(Т,80) = у'хх-рш(Т,80) при Кх= К. Таким образом, получаем

А = 80е~&1 ф(ь;х-рш т)-Кхе~гТ ф(ь;х-рш т)

Так как (Б?-рш т)<(ь;х~р1" т), а значит ф(В;х-рш т)<ф(ьетх~рш т), а по условию задачи 8<г, тогда Д<0 (или Р"-" <РТ") при Б0<К. Если Б0> К, то аналитически однозначно знак разности А установить нельзя.

7) сравнение стоимостей экзотического Ртех~" и стандартного Р/' опционов продажи при совершенном и квантильном хеджировании соответственно.

С учетом (1.4.32), (1.2.12) рассмотрим разность Ртех-" - Р/', обозначив ее через А.

Причем уе0х-р,"(Т,Б0)<(ь^-рш т)<у^ри'(т,80), и согласно (1.2.11), (1.3.8) /;-р'"(Т,8{)) = у1х-р1"(Т,8й) при К, = К. Таким образом, получаем

А = К1е~гТф(ь5]!~р1" Т)- 80е-&тф((ь;'-рш г)-с т)

Так как (ь;'-рш т)-а Т <(ь;'-р"' Т), а значит ф((ь;'-рш т)-а т)< <ф{р*-рш т), а по условию задачи 8<г, тогда А>0 (или Ртех-">Р*!) при 80< К. Если ^ > К, то аналитически однозначно знак разности А установить нельзя.

8) сравнение стоимостей экзотического Р*х~" и стандартного Р" опционов продажи при квантильном хеджировании.

С учетом (1.3.14), (1.2.12) рассмотрим разность Регх-Ц - Рг", обозначив ее через А.

Причем у;х-ри'(Т,30)<(ь;х-р'" т)<у;х-р"'(т,80), и согласно (1.2.11), (1.3.8) у;'-р,"(т,30) = у'х-р"'(т,80) при КХ=К. Таким образом, получаем Д = 0, а значит Р"-" = Р/ при сделанных допущениях.

Используя результаты сравнения цен 1) - 8), запишем

Р;х-" > р;' > р;х-п > р;'.

Как видно из полученного неравенства, совершенное хеджирование дороже квантильного, так как подразумевает выполнение платежного обязательства в полном объеме с вероятностью 1, в то время как квантильное - с вероятностью меньшей 1. В рамках одного вида хеджирования экзотический опцион дороже стандартного, так как дополнительные условия контракта увеличивают вероятность получения ненулевых выплат.

Доказательство Замечания 2.2. С учетом формулировки Замечания 2.2 последовательно сравним цены стандартных и экзотических опционов купли при квантильном и совершенном хеджировании. Для удобства обозначим цены стандартных call опционов CjiX и Cj>x при [(p-r + 8) о2]< 1 и [(p-r + 5) о2]> 1 соответственно. Проведем доказательство при следующих допущениях: Кх= К, так как Kt,K являются страйковыми ценами, и Ь;'-сЫ! =b\"-eatt =bVTx-ca", b2s;-cu" = Ь2етх~сЫ1.

1) сравнение стоимостей C*'sl, стандартных опционов купли при квантильном хеджировании.

С учетом (2.1.8), (2.1.25) рассмотрим разность С*ы - С"~1, обозначив ее через А

д = s0e~ar[ф((ы*'-"'" т)-а т)-ф(у^-са"[t,s())-g т)+ф(-(ьт;-с"" г)+о г)]- Ке-'т [ф(ьг;-с"" т)-<S>(ys0'-ca" (Г, S0)) + ф(- (b2s;-ca" т))] --50<г8г[ф((&;'-ыг т)-о т)-ф(у5'-са"(т,80)-а г)]+ Ке~гТ[ф(ъ?-с"и т)~ -ф{у''-Ы1(г,S0))] = S0e~s' [ф((ы;.'-£'и// Т)-с т)+ф(-(ь2°;-са" т)+ а т)--ф((bsT'-ia" т)-<5 т)}-Ке-гТ[ф(ьг;-са" т)+Ф(-(ьт;-са" т))-Ф{ь;'-са" т)]

Учитывая допущение, что Ь*-Ы1 = b\"-ca" < Ъ2"-Са", получаем

А = [ьт;-са" т)+<5 т)- Ке-гТф{-(р2у" ,г))

Так как (- (Ь2*-Са" т)+а f)>(-(bT;-ca" т)), а значит ф(- (b2s;-ca" f)+a т)> >ф(-(ьт; Ы1 Г)), а по условию задачи 5<г, тогда А>0 (или С;ы >Cf) при S0> К. Если S0 < К, то аналитически однозначно знак разности А установить нельзя.

2) сравнение стоимостей стандартного С*'"1 и экзотического Сопционов купли при квантильном хеджировании.

С учетом (2.1.8), (2.2.10) рассмотрим разность С^ - CeTXJ, обозначив ее через А.

Причем y{x-caU(Т,S,)< {Ъ\е;-са" т)<ye2x-caU(Т,S0)< (b2"-ca" т), и согласно (2.1.7), (2.2.5) y:--!l(T,S0)=y:x--"(T,S0) при К, =К

А = 50е"8Г[ф((^'-Ы/ т)-а f)— ф{у^'-сЫ1 (T,S0)-G f)\- Ке~гТ[ф(ьлт'-са11 т)-

- Ф (уо-са" А ))]-V"57' [ф{ь\ех-саП т)-ф{уехх-са" (Г,£0))]+ Кхе~гТ [ф{ъ\ех-саП т)- ф(уех-са"(ГД0))]- К2е~гТ ф(- Ъ2ех-Са" т)=80е-&г[ф{{ь*'-са11< т)-а т)- ф(Ъ\ех~ы' т)]-Ке-гТ[ф(ь?~са" т)-ф{ь\ех-са" т)]-К2е~гТф(-Ь2ех-са!1 т).

Так как Ъ«-ы1 =Ь\е;-са" < Ь2етх-Са", то А = -К2е'гТ ф(- Ь2ех-Са" т) Очевидно, что А < 0, а значит, С^ <Сетх~'.

3) сравнение стоимостей стандартного С^1 и экзотического Ссх-' опционов купли при квантильном хеджировании.

С учетом (2.1.25), (2.2.10) рассмотрим разность Сг'>1 - С"-1, обозначив ее через А.

Причем уехх-са"{Т,80)<{ьГтх-са" т)< уех-саП(Т,80)< (Ь2е;-сЫ! Т), и согласно (2.1.7), (2.2.5) ^^АЬ-УГ'^А) при Кх =К.

А = 50еГёг ф(- (ЪТ; са" Т)+ о Т)-(КХ+К2)е~гТ ф(- ЪТт-саП Т} Так как (- {Ь2"-саП т)+(5 т)>(-(Ь2;са" т)), азначит ф(- {ьт;~Ы1 т)+<5 т)> > ф(- (Ь2!;-са" Т)), а по условию задачи 5 < г, тогда А < 0 (или С">х < С7" ').

4) сравнение стоимостей стандартного С^'"1 и экзотического С"-" опционов купли при квантильном хеджировании.

С учетом (2.1.8), (2.2.11) рассмотрим разность - , обозначив ее через А.

Причем у^х-са"(Т,50)<(Ь2е;-са" т)=уех ""'(^А). и согласно (2.1.7), (2.2.5) Уо~са"СТ,) = Уехх-си"сТ,) при кх= к.

А = 80е-*т[ф((ь;'-1а" т)-а т)-ф(у;х-си"(т,80))]-кхе-гг[ф(ь;'-са" т)- ф(у2-"ш (Г,))]- К2егТ ф(- уех-саи СТ,)) = 50е-6г [ф(ьГтх-с«" т)-

-ф(В2"~са" г)]-£1е"'т[ф(ы?-св// т)-ф(Ь2ех~са" К2е~гТ ф{-Ъ2е;-са" Т).

Так как Ы" са" < Ь2е;~са", то А < 0, а значит, С"41 < С"-".

5) сравнение стоимостей стандартного С">х и экзотического Сетх~" опционов купли при квантильном хеджировании.

С учетом (2.1.25), (2.2.11) рассмотрим разность Ссх~" - , обозначив ее через А.

Причем уе;-ы'(Т,80)<(Ь2е;-ш" т)= уех-са" {Т ), и согласно (2.1.7), (2.2.5) у1-п(Т,8,) = у;х-Ы1(Т,80) при кх=к.

А = 80е'5т \2ф{р2ех-са" т)-ф{Б\е; са" т)-\)~ К^^Ф^-™" т)--ф{ьг;-са" т)-\} + К2е'гТ ф(- Ь2ех-Си" т)

Так как Ь\ех-сЫ' < Ь2е;-си", то А > 0 при > К,, а значит, Сех-п > С*ты.

6) сравнение стоимостей С*', С">1 стандартных опционов купли при совершенном и квантильном хеджировании соответственно.

С учетом (2.3.1), (2.1.25) рассмотрим разность С" - С">1, обозначив ее через А

А = ^ое-5г[ф((^2;''а// т)-а т)-ф((ьг;-са" т)+а г)]--ке-гТ[ф{ът;-са" т)-Ф(ьг;-са" г)]

Учитывая, что Ь\^~са" < Ь2^-Са", а по условию задачи 5<г, тогда А>0 (или С " > Ст>[) при Б0> К. Если 5"0 < К, то аналитически однозначно знак разности А установить нельзя.

7) сравнение стоимостей стандартного С" и экзотического Сех-' опционов купли при совершенном и квантильном хеджировании соответственно.

С учетом (2.3.1), (2.2.10) рассмотрим разность С" - Сетх-', обозначив ее через А. Используя у«-1аП (Т, ) = у"~Ы1 (71,) при К, = К, получаем

А = £0е~8гф(- Е\ех~са"' г)- Кхе'гТф{- Ъ\"-саП т)-К2е'гТф(-ЬТтх-са" > т)> >^0е"8/ф(-ь\е;-ы' т)-(кх+к2)е~гТФ{-ьг;-са" т)

Так как 8 < г, тогда А < 0 (или Сг" < Сех~!) при Б0<К{+К2.

8) сравнение стоимостей экзотических С"-7, Сетх~' опционов купли при квантильном и совершенном хеджировании соответственно.

С учетом (2.3.19), (2.2.10) рассмотрим разность Сех~' - Сетх-', обозначив ее через А.

& = К{е-гТф(ъ\е;-са" т)+К2егТф(ъг;-ы' ,т)-К2е-гТ - 30е-ьтф(Б1етх-са" т)> > СК, + К2 )е-гтф(ьг;-са" т)- 80е-ьтф{ь\е;-са" т)-К2е'гТ. Так как 5 < г, тогда А > 0 (или С?-' > Сегх-') при <КХ+К2. Используя результаты сравнения цен 1) - 8), запишем

се;-' > с;х-! > С;' > с;ы > с;'51.

Как видно из полученного неравенства, совершенное хеджирование дороже квантильного в пределах одного класса опционов, так как подразумевает выполнение платежного обязательства в полном объеме с вероятностью 1, в то время как квантильное - с вероятностью меньшей 1. В рамках одного вида хеджирования экзотический опцион дороже стандартного, так как дополнительные условия контракта увеличивают вероятность получения ненулевых выплат. V

Доказательство Замечания 3.3. С учетом формулировки Замечания 3.3 последовательно сравним цены барьерных опционов продажи с ценами стандартного опциона продажи и экзотического опциона продажи с ограничением выплат, лежащих в основе барьерных опционов.

1) сравнение стоимостей стандартного Р" опциона продажи и барьерного 1 опциона? основанного на стандартном опционе продажи (случай

НХ<Н2<К). Причем, согласно (3.1.2), (1.2.11) = ""'(Г,^).

С учетом (3.1.8), (1.4.1) рассмотрим разность Р" - Рты"'--:<'-1, обозначив ее через А

А = Ке~гТ [Ф (у*ум (Т, Б0)) - Ф (у?-*->* (Г, )) + Ф (у?-*-" (Т, ))] -

= Ке-гТ [Ф ¡у?-"-*" {Т,Б0))- ф(у?-«-*« (Г, 5 0))+ Ф {у?-»-" (Т,Б0 ))]-

- 50е-5Г (:Г, )) - (:т, ))+(Т,Б0 ))]

Так как Н1<Н2<К, то у^-*'-"1'(т,)<у*"-»-"•'(т,)<(т,) и Ф (г,50))<ф{у'2г~$'~р'"(Г Д,))<ф{уь0«'~"->""(Т,)), и по условию задачи

5 < г, тогда А > О (или Рт" > РтЬаг-*'-1) при 30<К. Если Б0 > К, то аналитически однозначно знак разности А установить нельзя.

2) сравнение стоимостей стандартного Рг*' опциона продажи и барьерного рь«г-«-2 опциона, основанного на стандартном опционе продажи (случай Н,<К<Н2).

С учетом (3.1.8), (1.4.1) рассмотрим разность Р" - РЬаг'"-2, обозначив ее через А

А = Ке" [Ф(у*0'-рш (Т Д)) - Ф (у?-"-*" (Т, Б0)) + Ф (Г, ))] -

- ¿"Д57' [ф(у:-рш (Т,) - а Т)- Ф(у?-"-*" (Г, 50)) + Ф(Т, 50))]=

= Ке-гТф(уь°г-5'-рш (Т, 5"0)) - 8Г ф(у^-"-рш (т, )).

Так как у^-"->"« (т,£0)< у\г~и рш (Г,) и Ф(у-»->»" (ГД))< Ф (у {Т, )), и 8<г, тогда А>0 (или Р" >РтЬаг~'"-2) при 30<К. Если 30>К, то аналитически однозначно знак разности А установить нельзя.

3) сравнение стоимостей экзотического Ртех-! опциона продажи и барьерного рЬ"г-ех опциона, основанного на экзотическом опционе продажи (случай

т)< <y<;-pt"{T,Sa)<ylx-pu,{T,S0)). Согласно (3.2.2), (1.3.8) y?-p'"(T,S0) = y^-p'"(r,S0), согласно (3.2.3), (1.3.7) уе0х-ри'[Т ,S0) = уь2г-ех-рш (Т ,SQ). Учитывая (1.4.31), (3.2.8), найдем разность Ртех~' - Pbar-ex, обозначив ее через А

А = к2е-гт [ф(ус;-рш (т, s0)) - Ф(уГ-"Л-"'" {т, S0))+ф(уГ(т, s0))]+ + К,е-гТ [ф(у:х-рш(Т,80 ))■- ф(уе;-рш(Т, S0 ))■-Ф^-^^А ))■+ ))]"

- -So^ [ФО>Г-^ (У, fi'o)) - ФСяГ-"- (З'» )) - (Т'^о)) + )) -

- ф(Т,S0))]- Не~'т Ф(у?-«-" (Т,S0)) = К2егТ [ф{У;-рм (Г,S0))-

- Ф{уь2аг-с'х-рш (Т, SQ)) + Ф (yf(Г, S0))] - КхегТ [Ф(уе0х-рш (Т, S0)) -

- ф(уь2аг-ех-рш (т, s0))] + S0e~5T [ф(уе;-рш (г, )) - (:т, S0)) +

+ ф(уь-(г,S0))]- Не'гТ ф(уь;г(т,s„)) = К2е~'т (т,s0)) +

+ S0e-sr Ф(у*(Г,s0))- Не"т ф(уь;г-"-рш (Т,s0)) = = S0e-6T Ф(yh;r-ex-p'"(t,sq))+ (К2 - Н)е~гТ Ф(y^-*"-»"'(Т,s0)\

Так как 5<г, тогда А>0 (или PTexJ >PThar-ex) при Н<К2. Если Н>К2, то аналитически однозначно знак разности А установить нельзя.

4) сравнение стоимостей стандартного Рт" опциона продажи и барьерного Pibar-ex опциона, основанного на экзотическом опционе продажи. Согласно (3.1.2), (3.2.2) yh;'-p,"(T,S0) = y^-ex-p"l(T,S0) при К = КХ.

С учетом (1.4.1), (3.2.8) рассмотрим разность Рт" - РЬаг~ех, обозначив ее через А

А = Кхе'т ф(у?г-ех- ""(:Т,S0))- S0e~5T [ф(уь2аг-ех-рШ (Т,S0))- Ф[у\аг-ех рШ (Т,S0))]-

- К2е-'г[ф(у1иг-ех-рш(Т,80))-ф(у1аг ех-ри,(Т,80))}-Не"т Ф(уь;г-ех-рш(Т,S0)).

Так как уь"г-ех-'л" (T,SQ)< уь2аг-ех-рш(T,S0) и Ф(yf"--(Г A)) < Ф{y2'r-e< (Т,S0)), и б < г, тогда А < О (или Рт" < PhTar~").

5) сравнение стоимостей барьерных Pb"r-S'-2, РтЬаг-ех опционов продажи.

С учетом (3.1.9), (3.2.8) рассмотрим разность Pbar-S'-2 - Pbar, обозначив ее через А

А = Кхе'т ф{у^"-"-р"> (;ГА))- [Кхе"т ofo4--"-" (Г A ))-S0e'&T Ф[у?-*-" (T,S0))]-- S^e" [ф(уь2"г-"-ри< (Г, )) - ф{у'Г^~рш (Т, S0))] -

- К2е-гТ[ф(уь2а'-ех-рш(ТА0))-ф(уь;г-ех-р"'(Т,30))}-Не'гТ ф(уь3аг-'!х-рш{T,SQ)).

Так как fx"r-s,-p"'(Т,S0)< yb;r-«-p'" (T,S0), ybar-"-p"'(T,S0)< ybar-"p,"{T,S0) и фСуГ-5'-^" {T,S0 ))< ofo4"-"-"" (T,S0)), Ф^"-""' (T,S0 ))<ф(уЬа" (r,S0)), и 5<r, тогда A < О (или Pba,-S'-2 < Pbar-ex) при S0<KX. Если S0>KX, то аналитически однозначно знак разности А установить нельзя.

Используя результаты сравнения цен 1) - 5), запишем

рех I pbar _ех ^ pst ^ pbar it

Как видно из полученного неравенства, барьерные опционы продажи дешевле опционов продажи, лежащих в основе барьерных. При этом экзотические опционы дороже стандартных, так как дополнительные условия контракта увеличивают вероятность получения ненулевых выплат. V

Доказательство Замечания 4.3. Используя формулировку Замечания 4.3, последовательно сравним цены барьерных опционов купли с ценами стандартного опциона купли и экзотического опциона купли с ограничением выплат, лежащих в основе барьерных опционов. Пусть далее Н =Н2, при этом Н > Кх + К2.

1) сравнение стоимостей стандартного С" опциона купли и барьерного Стаг~"-Х опциона, основанного на стандартном опционе купли (случай К<Н,<Н2). Причем, согласно (2.1.7), (4.1.2) у^-са" {Т,80) = уь0аг-"-са" (Т,80).

С учетом (2.3.1), (4.1.8) рассмотрим разность - , обозначив ее через А

А = %-6гф(- (уь;г-"-саи (Г,) - а Г))- Ке~гТф(- у^-«-«" (г,)) -

- 80е'&т [ф{уь:г-5,'сЫ1 (:Т, 50)) - ф(у']шг-"-са" (т, 50))] + Ке'гТ [ф(уь2г-са" (Т, Б,)) -

_ ф ^))] = ^-»г ф(_ (т, )) - Ке"тф{- (Г, )).

Так как уь2аг-!'-Ы! (Т,80)< уь2аг-!,-ы'(Т,80) и ф(уь2аг-"-Ы1(г,))< ф(у^-а-са"(Т,)), и по условию задачи 5 < г, тогда А > О (или С*' > Сьтаг~8'-Х) при 80>К. Если 5"0 < К, то аналитически однозначно знак разности А установить нельзя.

2) сравнение стоимостей стандартного С" опциона купли и барьерного С^-"'1-2 опциона, основанного на стандартном опционе купли (случай Нх <К<Н2).

С учетом (2.3.1), (4.1.9) рассмотрим разность С*' - Сьтаг-"-2, обозначив ее через А

А = 50е"87ф(- Ке-гТф(-у";г-°'-ы1(Т,80))-

- 5(1е-5г [Ф(:Г,))- ф(у(Т,80))] + Ке"т (Г,^))-

- ф{уТ-*'-са"(Т,80 ))]= ф(- ""'(^Д))-.Ке'гТф{- у^-я,-еаВ{Т^)\

Аналогично случаю 1) получаем А>0 (или С? > Сьтаг-3'2) при 89>К. Если 8й<К, то аналитически однозначно знак разности А установить нельзя.

3) сравнение стоимостей экзотического Сех-п опциона купли и барьерного С*аг-ех опциона, основанного на экзотическом опционе купли (случай у;х-са11{Т,80)< <{ът;-са" т)=уе*-са"(т,8й)). Согласно (2.2.5), (4.2.2) у," 'а"(Т>80) = у^-ех-са"(Т,80), согласно (2.2.4), (4.2.3) у;х--'г(Т,80) = у^-са"(Т,30).

Учитывая (2.3.20), (4.2.8), найдем разность - СЬаг~ех, обозначив ее через А

А = (К2+ Н)егт Ф(-уь;г-"-са!,(Т,80))-80е-ьт ф(-у?-'-"*1(ТАа)\

Так как 5<г, тогда А>0 (или Сех-И >при 30<К2+Н. Если > К2 + Я, то аналитически однозначно знак разности А установить нельзя.

4) сравнение стоимостей стандартного С" опциона купли и барьерного Сьтаг~ех опциона, основанного на экзотическом опционе купли. Согласно (4.1.2), (4.2.2) ^-^(ГАЬ^-'-'^А) пРи К = К1-

С учетом (2.3.1), (4.2.8) рассмотрим разность €" - Сьт"г~ех, обозначив ее через А

А = 30е~ьт [ф(уь;г-ех-(Г, )) - {Т, Б0))] ~{Н-КХ )е~гТ +

+ (Кх + К2)егТ ф(у'2г-"-са"(:Т,Б0))-(Кх + Н)егТ ф(уь;г-ех-са"(ТА0)).

Так как уь;г-ех-са"(Т,80)> у2г-ех-са"(Т,30) и ф{уь3аг-ех-са"(Т,30))> ф(уь2аг-ех-'а"(ТА0)), Н >Кх + К2,и 8 < г, тогда А < 0 (или Сг" <Сьтаг~ех).

5) сравнение стоимостей барьерных Сьт"г-5'-2, Сътаг~ех опционов купли.

С учетом (4.1.9), (4.2.8) рассмотрим разность Сьтаг~"'-2 - С*т"г-ех, обозначив ее через А

А = Зйе-ът[ф(уь2ог-^саП{Т,80))-ф(уь2г-ех-са1,{ТА0))-ф(- у»«'(т А <,))]-- Кхе-'т [ф(_у2—(Г, )) - Ф (у*—" (г, <>0))] -- К2е'г1 \ф(уь;г-ех-са"(Т,))- ф(уь2' ^-саИ(Г,))] + Не"т ф(- (т,)).

Так как Я = Н2, Я > К{ + К2, то у2Л"г-(Т,) > уь2«г-™-ы1 (т,), (т, ) >

> уь2аг~ех-са11(ТАо), Ф^-"-""(Г,50))> ф(уГ-^а//(Г,<>0)), ф(уьъаг-ех~сЫ'(ТА о))> >ф{у^г-ех-са"(ТА0)), и 8<г, тогда А<0 (или С^-*'-2 < Сьтаг-ех) при < Кх. Если 50 > Кх, то аналитически однозначно знак разности А установить нельзя. Используя результаты сравнения цен 1) - 5), запишем

Как видно из полученного неравенства, барьерные опционы купли дешевле опционов купли, лежащих в основе барьерных. При этом экзотические опционы дороже стандартных, так как дополнительные условия контракта увеличивают вероятность получения ненулевых выплат. V

При 1е Д

УТВЕРЖДАЮ

АКТ

о внедрении результатов кандидатской диссертации Данилюк Е. Ю.

в учебный процесс НИ ТГУ

Настоящим подтверждается, что результаты диссертации Данилюк Е. Ю. "Алгоритмы обработки данных финансового рынка и принятие решения о структуре Европейского опциона", представленной на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 05.13.01 - "Системный анализ, управление и обработка информации", используются в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета при подготовке курса "Математические методы и модели в экономике» (раздел 7 "Модели финансового рынка") в объеме 72 часа для магистрантов, обучающихся по направлению 01.04.02 "Прикладная математика и информатика" в соответствии с магистерской программой "Математическое и информационное обеспечение экономической деятельности" и по направлению 38.04.01 "Экономика" в соответствии с магистерской программой "Математические методы анализа экономики". Результаты диссертационной работы использовались и используются при выполнении курсовых и выпускных квалификационных работ студентами специальности 080116 "Математические методы в экономике" и направления 38.03.01 "Экономика" (профиль "Математические методы в экономике").

Декан факультета прикладной математики и

кибернетики НИ ТГУ, д.т.н., профессор

А.М. Горцев

/

Зав. кафедрой прикладной математики ФПМК НИ ТГУ, д.т.н., профессор

Ю.И. Параев