Микроструктурное моделирование упругопластических слоистых композитов на основе анизотропной теории течения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Черкасова Мария Сергеевна

• Черкасова Мария Сергеевна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Черкасова Мария Сергеевна

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Развитие метода асимптотического осреднения для композиционных материалов со слоистой структурой, рассматриваемых в рамках теории пластического течения

1.1. Геометрическая модель композиционных материалов со слоистой периодической структурой

1.2. Модель теории пластического течения для слоев композита при малых деформациях

1.3. Определяющие соотношения теории течения, записанные в скоростях

1.4. Постановка задачи теории пластического течения в скоростях для композита со слоистой структурой

1.5. Постановка линеаризованной задачи теории пластического течения для композиционного материала со слоистой структурой

1.6. Асимптотические разложения для упругопластического композиционного материала со слоистой структурой

1.7. Постановка осредненной задачи на ячейке периодичности упругопластического композиционного материала со слоистой структурой

1.8. Осредненные уравнения теории пластического течения для композиционного материала со слоистой структурой

1.9. Линеаризованные эффективные определяющие соотношения упругопластического композиционного материала со слоистой структурой

1.10. Решение задачи теории течения на ячейке периодичности композита

1.11. Результаты численного моделирования напряженно-деформированного состояния композита со слоистой структурой

Глава 2. Микроструктурная модель теории пластического течения для композиционного материала

2.1. Микроструктурная модель теории пластического течения для трансверсально-изотропного упругопластического композиционного материала

2.2. Методика нахождения параметров модели трансверсально-изотропной упругопластической среды

2.3. Одноосное поперечное растяжение композита со слоистой структурой

2.4. Межслойный сдвиг композита со слоистой структурой

2.5. Сдвиг в плоскости слоя композита со слоистой структурой

2.6. Одноосное продольное растяжение композита со слоистой структурой

2.7. Постановка задачи поиска неизвестных параметров моделей

2.8. Результаты аналитического моделирования напряженно-деформированного состояния композита со слоистой структурой

Глава 3. Моделирование деформирования упругопластической анизотропной цилиндрической трубы под давлением, состоящей из композита со слоистой структурой, в рамках теории течения

3.1. Определяющие соотношения анизотропной теории пластического течения

3.2. Определяющие соотношения анизотропной теории пластического течения в скоростях

3.3. Общая постановка макрозадачи анизотропной теории пластического течения в скоростях

3.4. Задача об упругопластической анизотропной трубе под давлением

3.5. Результаты решения задачи об упругопластической анизотропной трубе толщиной 0.02 м, находящейся под монотонно возрастающим во времени давлением

3.6. Результаты решения задачи об упругопластической анизотропной трубе толщиной 0.02 м, находящейся под переменным во времени давлением

3.7. Результаты решения задачи об упругопластической анизотропной трубе толщиной 0.1 м, находящейся под монотонно возрастающим во времени давлением

3.8. Результаты решения задачи об упругопластической анизотропной трубе толщиной 0.1 м, находящейся под циклическим во времени давлением

3.9. Решение микрозадачи задачи об упругопластической анизотропной трубе толщиной 0.02 м, находящейся под монотонно возрастающим во времени давлением

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК ИЛЛЮСТРАТИВНОГО МАТЕРИАЛА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Микроструктурное моделирование упругопластических слоистых композитов на основе анизотропной теории течения»

ВВЕДЕНИЕ

Задача проектирования слоистых композиционных материалов (КМ) со сложными упругопластическими свойствами является актуальной в связи с перспективностью применения металлокомпозитов на основе титановых, алюминиевых и других матриц и углеродных, керамических и металлических волокон для двигателестроения, судостроения и других отраслей промышленности [21, 44, 82, 92, 102, 106, 111, 116]. Широкое применение композитов связано с тем, что они обладают удачным сочетанием нескольких свойств, таких как высокая износостойкость, достаточно высокие удельная прочность и предельная деформация разрушения. Но именно композиционные материалы со слоистой структурой обладают тем преимуществом, что в них слабые плоскости могут быть ориентированы желательным образом [65, 96, 100, 107].

В связи с активным применением слоистых КМ со слоистой или волокнистой структурой актуальной проблемой является разработка методов для прогнозирования упругопластических характеристик вышеописанных композитов по заранее известным свойствам их компонентов, что дает возможность для проведения расчетов конструкций и деталей, состоящих из этих композитов, с применением хорошо развитых математических методов механики деформируемого твердого тела, а также для конструирования материалов с заранее заданными свойствами.

Для расчета конструкций из упругопластических КМ необходимы определяющие соотношения анизотропной теории пластичности [103].

В настоящее время теории пластичности разделяются на два основных класса: реономные [26], или зависящие от скорости нагружения (например, теория вязко-пластичности), и склерономные, или не зависящие от скорости нагружения. Существует большое число работ в области склерономных теорий пластичности изотропных сред. Например, в области деформационных теорий пластичности наиболее известными являются труды А.А. Ильюшина [45 - 52], В.Э. Вильдемана

[22], Г.К. Генки [27], В.С. Ленского [68, 69], В.В. Москвитина [72], Д.Л. Быкова и других. Особое место занимает общая математическая теория пластичности

A.А. Ильюшина [49], развитие которой осуществлялось в трудах В.С. Ленского [68, 69], В.А. Пелешко [80], Д.Л. Быкова, В.И. Малого и других. В области теории пластического течения наиболее известными являются труды Л. Прандтля, Э. Рейсса, А.Ю. Ишлинского [53, 54], Ю.И. Кадашевича [55 - 61],

B.В. Новожилова [75 - 77], В.С. Бондаря [10 - 19, 89, 95], В. Прагера [115], Н. Оно-Ванга [113, 114, 122], Ю.М. Темиса [86], и многих других [8, 25, 31, 86, 90, 91, 97, 98, 104, 105, 115]. Существенно меньше работ посвящено теории пластичности анизотропных сред, наиболее известными в этой области являются труды Б.Е. Победри [81], В.И. Горбачева [29, 30], Хилла Р., Димитриенко Ю.И. и других.

Построение определяющих соотношений теории пластичности для композитов имеет особенности, обусловленные необходимостью учета микроструктуры композитов. Вообще говоря, решение задач пластичности для композитов приводит к необходимости решения связанной макро- и микрозадачи в силу ее нелинейности, поскольку все теории сводятся к построению диаграмм деформирования, и для решения макрозадачи деформирования конструкций из композиционных материалов необходимо построение эффективной анизотропной теории пластического течения, основанной на теории инвариантов [47]. Данное направление в механике композитов еще только формируется, поэтому в существующих теориях и моделях [5, 6, 8, 10 - 20, 31, 54, 55, 58, 86, 97 - 99, 104, 108, 110, 113 - 115, 117, 120] отсутствуют зависимости между инвариантами, а также возникает необходимость учета констант модели композиционного материала, которые обычно определяют с использованием сложного и дорогостоящего подхода - путем проведения экспериментов. Поэтому прямое решение таких связанных задач, даже с помощью современных конечно-элементных методов, оказывается очень трудоемким.

Проведенный анализ вышеописанных теорий и моделей свидетельствует о том, что проблема построения эффективных определяющих соотношений трансверсально-изотропных упругопластических композиционных материалов со слоистой структурой в рамках теории пластического течения, соответствующей модели кинематического упрочнения, является актуальной задачей.

Таким образом, актуальность темы диссертационной работы обоснована перспективностью применения упругопластических композитов со слоистой структурой в различных областях промышленности, а также отсутствием в настоящее время методов моделирования эффективных свойств упругопластических трансверсально-изотропных слоистых периодических композиционных материалов в рамках теорий течения, в которых константы моделей (материальные константы) вычисляются с помощью решения специального класса задач пластичности на ячейке периодичности.

Объектом исследования являются эффективные определяющие соотношения трансверсально-изотропных упругопластических композиционных материалов со слоистой структурой в рамках теории пластического течения.

Цель диссертационной работы состоит в разработке методики построения эффективных определяющих соотношений трансверсально-изотропных упругопластических композитов со слоистой структурой в рамках теории течения, в которой материальные константы модели вычисляются аналитически на основе решения задач теории пластичности на ячейке периодичности с использованием метода асимптотического осреднения.

Задачами настоящей работы являются:

- разработка варианта метода асимптотического осреднения композиционных материалов со слоистой периодической структурой, подчиняющихся теории пластического течения;

- получение численно-аналитического решения задач теории пластического течения на ячейке периодичности для композиционного материала со слоистой структурой;

- разработка методики построения определяющих соотношений трансверсально-изотропных упругопластических композиционных материалов со слоистой структурой на основе теории пластического течения с использованием метода асимптотического осреднения;

- разработка микроструктурной модели теории пластического течения для трансверсально-изотропного упругопластического композита со слоистой структурой;

- разработка методики решения двух-масштабных задач теории пластического течения для конструкций, состоящих из композитов со слоистой структурой, и получение численного решения задачи о расчете макро- и микронапряжений в цилиндрической многослойной упругопластической конструкции.

Методы исследования. В диссертационной работе для решения сформулированных задач использованы следующие методы исследования:

- метод асимптотического осреднения;

- методы аппроксимации и оптимизации;

- численные методы для решения СЛАУ.

Достоверность и обоснованность результатов и выводов гарантируется применением теоретически обоснованного математического аппарата.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты, выносимые на защиту:

- разработан вариант метода асимптотического осреднения для трансверсально-изотропных упругопластических композиционных материалов со слоистой структурой на основе теории пластического течения;

- разработана методика построения микроструктурных определяющих соотношений трансверсально-изотропной теории пластического течения композиционных материалов со слоистой структурой, материальные константы в которой определяются на основе численно-аналитического решения локальных задач теории пластичности на ячейке периодичности.

Практическая значимость диссертационной работы. Методика построения эффективных определяющих соотношений теории пластического течения, а также сами полученные определяющие соотношения для трансверсально-изотропных упругопластических композитов со слоистой структурой, могут быть использованы при расчетах или оптимизации конструкций, состоящих из упругопластических композиционных материалов со слоистой структурой в элементах конструкций летательных аппаратов, судов, энергетических установок и других систем.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на:

Всероссийской студенческой конференции «Студенческая научная весна», посвященная 60-летию полета Ю.А. Гагарина в космос, МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 01 - 30 апреля 2021 г.;

Всероссийской студенческой конференции «Студенческая научная весна», МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 19 апреля 2022 г.;

4-м Международном научном форуме: Ключевые тренды в композитах: наука и технологии, МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 1 - 3 декабря 2021 г.;

5-м Международном научном форуме: Ключевые тренды в композитах: наука и технологии, МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, декабрь 2022 г.;

XVI Всероссийской конференции молодых ученых и специалистов (с международным участием) «Будущее машиностроения России», секция «Математическое моделирование в технике», МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 20 сентября 2023 г.;

Международной конференции «Математическое моделирование, численные методы и инженерное программное обеспечение», МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 11-12 декабря 2023 г.;

6-й Межвузовской конференции аспирантов, соискателей и молодых ученых на английском, немецком и китайском языках и русском языке как иностранном

«Science, Engineering and Business», МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 16 - 18 апреля 2024 г.;

научных семинарах кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана (Москва, 2021 - 2024 гг.).

Публикации. По теме диссертации автором опубликованы 6 публикаций [40, 41, 43, 87, 88, 101], в том числе 3 в изданиях из списка ВАК [40, 41, 43] и 1 статья [101] в журнале, индексируемом в Scopus.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, 3 разделов, выводов и списка литературы из 122 наименований. Работа изложена на 153 листах, содержит 72 рисунка и 5 таблиц.

Глава 1. Развитие метода асимптотического осреднения для композиционных материалов со слоистой структурой, рассматриваемых в рамках теории пластического течения

1.1. Геометрическая модель композиционных материалов со слоистой периодической структурой

Рассмотрим композиционный материал (КМ) со слоистой периодической структурой, каждый слой которого является изотропным упругопластическим материалом, подчиняющимся теории пластического течения (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1 - Композиционный материал со слоистой периодической структурой

Деформация композита считается малой. Обозначим область, которая соответствует всему композиту, как V. Введем ортонормированный декартов

базис е и декартовы координаты X в этом базисе, с помощью которых можно

представить радиус-вектор каждой точки из области V по следующей формуле:

Ь

1

х = У е..

(1.1)

Полагаем, что все слои КМ имеют постоянную толщину. Тогда композиционный материал V с периодической структурой можно представить как совокупность большого числа ячеек периодичности (ЯП). ЯП V представляют

собой многослойное тело, ограниченное двумя плоскостями, перпендикулярными оси Охъ и боковой поверхностью

X : х* - 1- < х3 < 1-1, I = 1,2, (= 1,2,3, (1.2)

где I - толщина ЯП;

20 - двумерная область в плоскости Ох1х2. Для области V всего композита введем характерный размер: Ь - толщину

3

всего КМ по координате х .

1.2. Модель теории пластического течения для слоев композита при малых деформациях

Полагаем, что каждый слой композиционного материала является изотропной упругопластической средой и подчиняется склерономной теории пластического течения [13, 84]. Примем вариант теории пластического течения с кинематическим упрочнением [13, 93] со степенной зависимостью параметра упрочнения от пластической деформации. Этот вариант определяющих соотношений теории пластического течения при малых деформациях записывается следующим образом:

(1.3)

где (Ту - компоненты тензора напряжений;

£к1 - компоненты тензора полных деформаций; 8РШ - компоненты тензора пластических деформаций;

41 \р

компоненты тензора скоростей пластических деформаций;

Суы ~ компоненты тензора модулей упругости; Л - параметр нагружения;

Н - индикатор пластического нагружения материала, принимающий значение нуля или единицы

к =

\ /<0; Л />о,

(1.4)

/(^2(^7)) ~~ пластический потенциал (функция поверхности

пластичности), который зависит от второго инварианта приведенного тензора напряжений

<

а.. — а

V У

Не1

(1.5)

где

72 Ы = ^Р<1 (^)Д/ К) = Рт^Ш >

(1.6)

а р (а^.) является девиатором, который выражается через приведенный тензор напряжений а, описанный в (1.5), и символ Кронекера 8 , являющийся индикатором равенства элементов

р.. (а ) = а -1 а 8 .

У / У 2 " и

(1.7)

Через компоненты тензора-ортопроектора Г)И [32]

Г ук! = 1 ( 88VI + 88Ук ) - 1,

1К VI и ук } ^

имеющего следующую матричную форму:

(1.8)

Гук/

2222

симм.

Г Г 1133 ^2Г1123 л/2ГШ3

Г 2233 "^2Г 2223 ^Г2213 2212

Г Г 3333 ^2Г3323 ^Г3313

2Г 2323 2Г ^ 2313 2Г ^ 2312

2Г 1313 2Г 1312

2Г ^ 1212 У

(1.9)

выражаются компоненты тензора четвертого ранга 5

ук!

Ру ( аУ ) = Г ушаш,

В = Г Г

рк! ут $пк! .

(1.10) (1.11)

С учетом представления компонент тензора-ортопроектора (1.8) через дельту Кронекера тензоры четвертого ранга Г т и Вгун в матричной форме для изотропных

сред имеют вид

укI

_ — — 0 0 0

- - — 0 0 0

V

- — - 0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

п{т-1} _ Вук1

г 2 3

1

3 1 3 0

0 0

^ 2 3

1 3

1 3 0 0 0

1

3 1

3

1

3 0

0

0

— — 0 0 0

1 3 2 3

— — - 0 0 0

1 3 0 0 0

2 3 0

0 0

— 0 0 0

2 3 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0 1

(1.12)

(1.13)

Функцию пластичности / (/2) для всех слоев композита выберем в едином виде, соответствующем модели кинематического упрочнения

1 2

I(¡2 (а, )) =1 (I, - Нер )) - к2 = 0,

(114)

где к - предел текучести;

Н - параметр упрочнения, зависящий от второго инварианта тензора пластических деформаций /2 (ргр), для которого в данной работе выбирается

степенная модель

Н = Н0_, 0 < п < 1, а > 0,

1 + а1.2п

2 Р

12 =12(рр } = ВирРе

2р 2 \^гу ) ук! у I

(1.15)

(1.16)

где Н0, п , а - материальные константы модели пластичности. Слои композита являются изотропными, поэтому тензор модулей упругости имеет следующий вид:

Ск =Щ$и+2л(^А)' (1.17)

где Я, л - константы Ламе, связанные с модулем упругости и коэффициентом Пуассона известными соотношениями

з уЕ

Я = (1 + у)(1 - 2у) ' (1.18)

Е

л = 2(1+7) ■ (1Л9)

В соотношениях (1.18) и (1.19) используются модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона V .

Таким образом, в рассматриваемой модели теории изотропных упругопластических слоев композита используются следующие 6 констант:

V , Е, к, Н0, п , а. (1.20)

Эти константы различны для каждого слоя КМ.

1.3. Определяющие соотношения теории течения, записанные в скоростях

Запишем определяющие соотношения в виде явной связи между скоростями тензоров напряжений <т. и полных деформаций ¿¡,. Для этого предварительно получим явное выражение для параметра нагружения 1.

Функцию пластичности / (1.14), определяющую переход материалов из упругого состояния в пластическое, продифференцируем по времени ^

/=1

2 д/(д1„. . ы„ .Л

«=1

= 0.

(1.21)

Если функция пластичности / представлена в форме (1.14), то первая производная по времени от функции (1.21) принимает вид

8122 . 812 .. Л —2-ОЧ, + —= 0.

иик1 ы

(1.22)

С использованием формулы (1.16) квадратичное представление инварианта /2 ^^ _ Не^) можно записать иначе

/22 = II (<ти - Не*) = Вщ (стк, - Не,^ )(о, -Не?).

(1.23)

Вычисляем производные от /22 по ст. и £

гр

/

ао-..

ая

^—

V гр

(1.24)

где

(1.25)

- единичный тензор четвертого ранга [32].

Найдем частную производную параметра упрочнения Н, имеющего степенную зависимость, по тензору пластических деформаций через частные

производные параметра упрочнения по квадрату инварианта и квадратичного инварианта по пластическим деформациям

Н _ ен а/22 _ 2«Ношу11 в . _ 2аН2п(в^Ц)

К а/2,2 д< (1 + а/?р)2 ПЦ /¡Т")Но ' (*.26)

затем после подстановки полученного выражения (1.26) во вторую формулу

(1.24) и введения новых обозначений для тензоров второго ранга А и четвертого ранга ]

А _ в..н (<гн - Нер); 5 _ /¡(1-п)А .. - ■

у 1]Ы \ к к1 утр 2р тру

2а"НК £ры£р,

т-г к1тр к1 I] '

Н

(1.27)

получим следующее соотношение для выражения частной производной инварианта:

а/,

2 _

дер

тр

2

Н ]

дН ерл

К тр,

_-2АЛ,

Н

Ч ]тр т 2(1-")

(1.28)

2 р

С учетом введенных выше соотношений (1.27) производную инварианта по тензору напряжений можно представить по формуле

_ 2 А].

(1.29)

]

С использованием соотношения (1.29) вычислим частную производную

ж.

до-

функции пластичности от тензора напряжений путем дифференцирования

гп

выражения (1.23)

¿ЧёЧ^'-^Ь4-- (130)

гп гп

Полученные выражения (1.28) и (1.29) подставим в формулу (1.23)

ц

(1.31)

12р

затем в полученное соотношение подставим второе выражение системы (1.3), описывающее представление компонент тензора скоростей пластических деформаций , и введем новый тензор второго ранга Ягр

КР=АЛгР- (1.32)

Тогда уравнение (1.31) можно записать через параметр нагружения Л

. . АН д/ .

-у(1-зз)

2 р гр

Из формулы (1.33) выразим параметр нагружения А, для которого

выполняется условие Я Ф О только на поверхности пластичности материала, то есть при равенстве нулю функции пластичности f

7-2(1 -п) А

НЯ (1-34)

гр до-

гр

После проведения замены с использованием формул (1.30) и (1.32) явное представление параметра нагружения можно записать следующим образом:

Т2{\~П) А

Х = —ц, (135)

Н$к1ГрАк1Агр

Рассмотрим случай первоначальной пластичности, то есть момент первого выхода на поверхность пластичности материала , когда тензор скоростей пластических деформаций равен нулю = 0, тогда начальное значение

параметра нагружения Я в этот момент времени выражается по формулам

Л = ВШ°«> Я = Я0> = Д2Г"А«. (1.36)

Л = д~лТ*"- (137)

П0ЛгрЛгр

Для нахождения полного описания тензора скоростей пластических деформаций подставим соотношения (1.30) и (1.35) во второе выражение системы (1.3)

¿р = Нк-У— = ■—^-. (1.38)

д&ы Н^зргрАрАр

Введем еще один тензор второго ранга N¿^

у2(1 -и)

^ 8РГРЛ8РЛГР

Тогда соотношение для компонент тензора скоростей пластических деформаций (1.38) может быть записано в компактной форме

^ = (1.40)

Дифференцируя по времени первые соотношения в системе (1.3), получаем

(1.41)

Подставляя выражение (1.40), описывающее компоненты тензора пластических деформаций через тензоры второго ранга Ак1 и NiJ, в формулу (1.41),

получаем следующее уравнение:

= СуЫ (¿и - Ща^Г1АгР ) • (1.42)

Приведем подобные в этом уравнении

¿гР{\Р«+ЩкЛ1Кгр) = Ст£к1. (1.43)

И ведем обозначение для тензора Т.

утр

Тт=Ьт+Ь,СтАк]Ыгр. (1.44)

Обратный к нему тензор введем с использованием единичного тензора

Т:ХТ — Д.. . П 45)

уиу иугр угр V /

Таким образом, подставляя обратный тензор Т..^ в формулу (1.43), получаем

зависимость компонент тензора скоростей напряжении от компонент тензора скоростей полных деформаций

¿гр=Т^Суш8ш. (1.46)

Введем обозначение

С —Т С (\ 47^

грШ грптп птпЫ 5 \ )

где С к1 - тензор касательных модулей упругости, который зависит от

тензора пластических деформаций, тогда определяющие соотношения (ОС) из формулы (1.46) примут упрощенное представление «в скоростях»

°гр=СгркАг (1.48)

Переход от скоростей тензоров полных деформаций и напряжений к конечным значениям соответствующих тензоров осуществляется через интегрирование

г г

еМ=\ёАтУт> (1-49)

о

о

1.4. Постановка задачи теории пластического течения в скоростях для композита со слоистой структурой

Для каждого слоя композита имеют место уравнения равновесия (массовые силы полагаются отсутствующими), которые в единой декартовой системе координат в скоростях записываются следующим образом:

V^=0. (1.50)

Присоединим к этим уравнениям обобщенный закон Гука (1.48)

&rp=CrpkAi (1.51)

и соотношения Коши, выраженные в скоростях, которые связывают градиент вектора скорости с полным тензором скоростей малых деформаций

£"~2

\(dVk {dVt ^

(1.52)

к8*! ^к j

Vk =йк, (1.53)

где Ук и ик - компоненты векторов скорости и перемещений соответственно.

Слоистый КМ является структурно-неоднородной средой. Между отдельными компонентами (слоями) этой среды имеются границы раздела, на которых выполняются условия идеального контакта

[<т,3] = 0; [^] = о, (1.54)

где [¿У и - скачки соответствующих функций при переходе через

границу раздела между компонентами (слоями).

В качестве граничных условий (ГУ) на внешней поверхности всего

композита I задаются компоненты вектора скорости изменения усилий и вектора скорости Уг1 (на поверхностях ^ и соответственно)

= К

>

= уа. (1.55)

1.5. Постановка линеаризованной задачи теории пластического течения для композиционного материала со слоистой структурой

Разобьем рассматриваемый промежуток времени [0, tmж] на N промежутков = \Ьт_х? ], где 1т - некоторые моменты времени. На этих промежутках выразим тензоры скоростей напряжений и деформаций в соответствующих приращениях

А ст., . Д<?77

—¿н=—~ (1.56)

н А* ' * А* '

Тензоры &ы и ёш из (1.56) на каждой -итерации можно представить следующим образом

—{т} _ {т-1}

-{т} _ иМ иМ _

----, (1.57)

Лт) _ {т-1}

¿{»>=£и-(1.58)

А*

Тогда обобщенный закон Гука (1.48) может быть записан в линеаризованном

виде

(1.59)

где

(1.60)

а также и - компоненты соответствующих тензоров на и

{т -1} шагах.

После линеаризации уравнений равновесия (1.50) и соотношений Коши (1.52), с учетом обобщенного закона Гука (1.59), получаем линеаризованную систему

• {т} _ -{т} .

// //7с/ к1 5

(1.61)

¿{»О _ 1 и 2

£ + / V у

где на {ш} -итерации компоненты вектора скорости обозначаются как .

ГУ (1.54) на поверхности раздела компонентов (слоев) композита после линеаризации записываются как

[<7<Г}] = 0; [У<т>] = 0. (1.62)

Граничные условия (1.55) на внешней границе всего композита I после линеаризации принимают вид

ст.

{т}

/3

_ оМ.

Е, ^ Ук

_

Ео ^ ек '

(1.63)

где значения компонент векторов и ^ в момент времени tm в итерационном виде записываются следующим образом:

О { Ж } ГУ {/77-1}

¿{т} _ ~

А*

(1.64)

1.6. Асимптотические разложения для упругопластического композиционного материала со слоистой структурой

Следуя общей асимптотической теории периодических структур [7, 81, 83, 94], введем параметр к = 1 / Ь - отношение толщины ЯП к характерному размеру области Ь всего композита, и будем полагать, что этот параметр мал

к = 1/Ь<< 1, (1.65)

что соответствует допущению о большом числе ЯП в КМ. Следуя [7, 81, 83, 94], введем безразмерные координаты двух типов: локальную, или «быструю», координату изменяющуюся в рамках ячейки

периодичности в диапазоне -0.5 < £ <0.5; и глобальные, или «медленные», координаты X1, изменяющиеся в рамках композиционного материала в целом

—/ ,> X X Ь х

Ь к Ь I I

На рисунке 1.2 представлена ячейка периодичности в масштабе композиционного материала со слоистой периодической структурой.

-ЯП

Рисунок 1.2- Ячейка периодичности в масштабе слоистого периодического

композита

В методе асимптотического осреднения принято рассматривать координаты

3

X и £ как две независимые переменные.

Для каждого отдельного слоя композита тензор касательных модулей упругости различен, поэтому для определяющих соотношений, которые

описывают весь КМ в целом, этот тензор будем рассматривать в виде функции, зависящей от двух координат - х^ и £

уЫ

(1.67)

В соответствии с общей концепцией метода асимптотического осреднения [7, 81, 83, 94] вектор скорости, а также скорости напряжений и деформаций будем искать в виде квазипериодических функций [34], то есть функций, которые зависят как от «быстрой», так и от «медленных» координат

(1.68)

где а - приращение по «медленной» координате £.

В качестве области определения всех квазипериодических функций будем рассматривать еV, , где V - это область изменения «медленных»

координат, которая соответствует исходной области всего композита V в координатах X с точностью до масштаба 1, а V - это область изменения «быстрой» координаты % в рамках одной ячейки периодичности с точностью до масштаба I.

Поскольку в задаче присутствуют как безразмерная локальная координата %, так и безразмерные глобальные , решение этой задачи ищем в виде асимптотического разложения по малому параметру К в виде функций, зависящих от двух координат

,%) = ) + ,%) + ,%) +(1.69)

где 5 = 1,2,3; к = 1,2,3.

Для квазипериодических функций имеет место цепное правило

д д д д% д 1 д

^ — + ^- = — + ——8«. (1.70)

дхк дХ к3 д% дх3 дх^ к д% къ

Для производных скоростей по обеим координатам введем следующие обозначения:

^ = ■ ^ = V{(171)

сХ, к" ' д к =Ук/3 ' ( )

тогда формула дифференцирования сложной функции (1.70) примет вид

дV{m} 1

V- ^ + . (1.72)

ОХ„ К

С использованием цепного правила (1.72) для тензора скоростей полных деформаций справедливо асимптотическое разложение

4ж,=4",К0)+«*пт)+к2-, (1.73)

где нулевое приближение ¿,|/ш}(0) можно представить по формуле

+ (1.74)

здесь введено обозначение

^ + (175)

Прочие порядки ¿¡™Кп) можно представить в виде следующей формулы:

¿17т =\{П?(П) + ) + ^ (^з^/з К"+1> + ) - (1-76)

Так как тензор касательных модулей упругости зависит от напряжений и пластических деформаций, то для него также имеет место асимптотическое разложение, которое может быть вычислено с помощью обобщенных рядов Тейлора

= С$Г1К0)(*,,#) + + *2С5Г1>(2)(х„#) +... • (1.77)

Найдем также асимптотическое разложение для тензора скоростей напряжений путем подстановки асимптотических разложений (1.73) и (1.77) в определяющее соотношение системы (1.61)

= &{шт + + к2&^к2) + _

(1.78)

а в случае нулевого приближения справедливы определяющие соотношения упругопластичности, записывающиеся в следующем виде:

•{м}(0) __г А

°/7 ~^уМ \Л5->Ь)ЬШ

(1.79)

Для нахождения формулы в более высоких приближениях подставим в ОС системы (1.61) полученные в формулах (1.73), (1.77) и (1.78) асимптотические разложения для &{™], ё™ и

У У У

(>}(0) , ^.МО) ■ -{ш}(2) ,

'И

+ Щ, " ' + К 81,

{«-1}(0)

,н +/4г1!<1)+^"1|(2)+•••)■

у м ут ут ]

ОО ОО ОО

/7=0 /7=0 £ = 0

Е-"-;'

/7 • {т}(/г)

/7=0

/7=0

=1*1138

\\

К

V

у'Ы И

(1.80)

(1.81)

(1.82)

/у

Тогда на основании формул (1.80) - (1.82) запишем итоговую формулу тензора скоростей напряжений для любого приближения

• {т}(п)

и

уШ Ш

(1.83)

^=0

Для уравнений равновесия можно записать свои асимптотические разложения

дх,

. -М 1 .{ш}

^ иу,У ^ /з/з • к

(1.84)

оо

ОО

/7

Подставим разложение (1.84) в уравнения равновесия из (1.61) и получим

1 • {от}(0) • {„КО) Ц ■ {|И}(1) -{ш}( 1) „¿»(2) , . {т}(2) _ 0

"«3/3 ¿/>7 + "«З/З »7 >7 ¿3/3 »7 >7

1С 1С

(1.85)

Будем считать нулевыми величины, стоящие при равных степенях К, тогда локальные уравнения равновесия записываются в виде

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Черкасова Мария Сергеевна, 2025 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абашев, Д. Р. Измерение деформации тонкого паянного шва с помощью средств обработки изображений пакета LabView и бесконтактной измерительной системы Vic-2D / Д. Р. Абашев, В. Э. Апетьян, В. М. Астрединов, С. А. Владимиров, С. И. Трефилов // Космонавтика и ракетостроение. - 2013. - № 72. - С. 101-106.

2. Абашев, Д. Р. Моделирование процессов симметризации петли упругопластического гистерезиса при циклических нагружениях / Д. Р. Абашев, В. Б. Горохов, И. А. Крохин // Космонавтика и ракетостроение. - 2015. - №2 82. - С. 5-11.

3. Абашев, Д. Р. Автоматизация проведения испытаний на усталость при изгибе консольных образцов равного сопротивления / Д. Р. Абашев // Инженерные, научные и образовательные приложения на базе технологий National Instruments 2011. Сборник трудов X международной научно-практической конференции. - М.: ДМК-пресс, 2011. - С. 116-118.

4. Абашев, Д. Р. Моделирование циклического деформирования материалов с учетом его особенностей / Д. Р. Абашев, В. Б. Горохов, И. А. Крохин // Космонавтика и ракетостроение. - 2013. - Т. 71. - С. 42-47.

5. Абашев, Д. Р. Развитие модели упругопластического деформирования, критериев усталости и методик идентификации материальных параметров конструкционных сплавов : дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.02.04 / Абашев Дмитрий Рустамович. - К., 2016. - 157 с.

6. Барышев, А. Н. Разработка экспериментально-теоретического метода анализа деформационных и прочностных характеристик высокотемпературных композиционных материалов : автореф. дис. ... канд. техн. наук: 01.02.04 / Барышев Антон Николаевич. - М., 2019. - 18 с.

7. Бахвалов, Н. С. Осреднение процессов в периодических средах: математические задачи механики композиционных материалов / Н. С. Бахвалов, Г. П. Панасенко. - М.: Наука, 1984. - 352 с.

8. Бессон Ж. Нелинейная механика материалов / Ж. Бессон, Ж. Каето, Ж.-Л. Шабош, С. Форест: под ред. Л. Б. Гецова [и др.]. - СПб.: Изд-во Политехн. унта, 2010. - 397 с.

9. Бондарь, В. С. Математическая модель неупругого поведения и накопления повреждений материала / В. С. Бондарь // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения: Всесоюзн. Межвуз. Сб. / Горьк. Унт. -1987. - С. 24-28.

10. Бондарь, В. С. Математическое моделирование процессов неупругого поведения и накопления повреждений материала при сложном нагружении / В. С. Бондарь, А. Н. Фролов // Изв. АН СССР. Мех. тверд. тела. - 1990. - № 6. - С. 99-107.

11. Бондарь, В. С. Прикладной вариант теории упругопластических процессов / В. С. Бондарь, В. В. Даншин, П. В. Семенов // Изв. Тул. гос. ун-та. Естественные науки. - 2011. - Вып. 3. - С. 46-56.

12. Бондарь, В. С. Исследования малоцикловой прочности оболочек вращения при сложном теплосиловом нагружении / В. С. Бондарь, В. Б. Горохов,

B. М. Санников // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Механика деформируемых систем: Всесоюзн. межвуз. сб. / Горьк. ун-т. - 1979. - Вып. 12. -

C. 120-126.

13. Бондарь, В.С. Неупругость. Варианты теории / В. С. Бондарь. - М.: Физматлит, 2004. - 144 с.

14. Бондарь, В. С. Расчетно-экспериментальное определение материальных функций нержавеющей стали 12Х18Н10Т / В. С. Бондарь, А. А. Пролубникова, Д. Р. Абашев // Известия МГТУ «МАМИ». - 2013. - Т. 3. - № 15. - С. 24-30.

15. Бондарь, В. С. Пластичность. Пропорциональные и непропорциональные нагружения / В. С. Бондарь, В. В. Даншин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 176 с.

16. Бондарь, В. С. Некоторые новые результаты исследования пластичности материалов при сложном нагружении / В. С. Бондарь // Упругость и неупругость. - М.: Ленанд, 2006. - С. 94-109.

17. Бондарь, В. С. Математическое моделирование процессов деформирования и накопления повреждений при циклических нагружениях / В. С. Бондарь, В. В. Даншин, Д. А. Макаров // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2014. - №2 2. - С. 125-152.

18. Бондарь, В. С. Малоцикловая усталость тоностенных конструкций при повышенных температурах / В. С. Бондарь, В. М. Санников // Конструк. прочность лопаток турбин ГТД Тезисы докладов IV научн.-технич. конф. / Куйбышев. - 1976. - С. 75-76.

19. Бондарь, В. С. Математическое моделирование процессов упругопластического деформирования и разрушения материалов при циклических нагружениях / В. С. Бондарь, С. В. Бурчаков, В. В. Даншин // Проблемы прочности и пластичности. - 2010. - Вып. 72. - С. 18-27.

20. Былим, А. В. Особенности упруго-пластического деформирования двухкомпонентных композитов / А. В. Былим, Л. А. Сараев, В. А. Сахабиев // Вестник САмГУ. - 1998. - № 4(10). - С.113-119.

21. Васильев, В. В., Разин А. Ф., Никитюк В. А.; ЗАО «Центр перспективных разработок ОАО ЦНИИСМ». Панель из слоистых композиционных материалов. Патент № ЯИ 2518519, МПК В64С3/20. № 2012142495/11. Заявл. 05.10.2012; Опубл. 10.06.2014.

22. Вильдеман, В. Э. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов / В. Э. Вильдеман, Ю. В. Соколкин, А. А. Ташкинов; под ред. Ю. В. Соколкина. - М.: Наука. Физматлиб, 1997. - 288 с.

23. Владимиров, С. А. Особенности деформирования алюминиевых сплавов / С. А. Владимиров // Известия МГТУ «МАМИ»: Естественные науки. -2015. - Т. 4. - № 2 (24). - С. 44-50.

24. Влияние различных факторов на механические характеристики материалов [Электронный ресурс] // Санкт-Петербургский университет. - Режим доступа: https://teЫib.com/stroitel-ny-e-materialy/vliyanie-razlichnyh-faktorov-na-теЬашсЬевк1е-Ьагак1еп811к1-та1епа1оу/.

25. Волков, И. А. Уравнения состояния вязкоупругопластических сред с повреждениями / И. А. Волков, Ю. Г. Коротких. - М.: Физматлит, 2008. - 424 с.

26. Вуйчич, В. А. К теории реономных систем / В. А. Вуйчич, В. В. Козлов // ВМУ: математика, механика. - 1994. - № 5. - С. 79-85.

27. Генки, Г. К. Развитие и современное состояние теории пластичности / Г. К. Генки // Прикладная математика и механика. - 1940. - т. 4, вып. 3. - С. 31-36.

28. Глушак, Б. Л. Динамическое деформирование алюминиевого сплава АМг6 при нормальной и повышенной температурах / Б. Л. Глушак, О. Н. Игнатова, В. А. Пушков, С. А. Новиков, А. С. Гирин, В. А. Синицын // Прикладная механика и техническая физика. - 2000. - Т. 41. - № 6. - С. 139-143.

29. Горбачев, В. И. Метод осреднения Бахвалова-Победри в механике композитов / В. И. Горбачев // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. - 2016. - № 6. - С. 41-46.

30. Горбачев, В. И. Эффективные определяющие соотношения неупругих композитов / В. И. Горбачев // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. - 2013. - № 6. - С. 37-42.

31. Демьянушко, И. В. К построению теорий пластического течения с анизотропным упрочнением для ма-териалов, находящихся под воздействием физических полей / И. В. Демьянушко, Ю. М. Темис // Изв.АН СССР. МТТ. - 1975. - № 5. - С. 111-119.

32. Димитриенко, Ю. И. Механика сплошной среды, т.1. Тензорный анализ / Ю. И. Димитриенко. - М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2011. - 463 с.

33. Димитриенко, Ю. И. Нелинейная механика сплошной среды / Ю. И. Димитриенко. - М.: Физматлит, 2009. - 610 с.

34. Димитриенко, Ю. И. Механика композитных конструкций при высоких температурах / Ю. И. Димитриенко. - М.: Физматлит, 2019. - 448 с.

35. Димитриенко, Ю. И. Основы механики твердого тела / Механика сплошной среды. Т. 4 / Ю. И. Димитриенко. - М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2013. - 580 с.

36. Димитриенко, Ю. И. Микроструктурная модель деформационной теории пластичности трансверсально-изотропных композитов / Ю. И. Димитриенко, С. В. Сборщиков, А. Ю. Димитриенко, Ю. В. Юрин // Математическое моделирование и численные методы. - 2022. - № 1. - С. 15-41.

37. Димитриенко, Ю. И. Моделирование микроструктурного разрушения и прочности керамических композитов на основе реакционно-связанного SiC / Ю. И. Димитриенко, С. В. Сборщиков, Ю. В. Беленовская, В. А. Анискович, С. Н. Перевислов // Наука и образование. Электронный журнал. - 2013. - № 11.

38. Димитриенко, Ю. И. Моделирование вязкоупругих характеристик слоисто-волокнистых полимерных композиционных материалов / Ю. И. Димитриенко, Е. А. Губарева, С. В. Сборщиков, Н. Н. Федонюк // Наука и образование. Электронный журнал. - 2014. - № 11.

39. Димитриенко, Ю. И. Асимптотическая теория конструктивно-ортотропных пластин с двухпериодической структурой / Ю. И. Димитриенко, Е. А. Губарева, С. В. Сборщиков // Математическое моделирование и численные методы. - 2014. - № 1. - С.36-57.

40. Димитриенко, Ю. И. Моделирование деформирования слоистых периодических композитов на основе теории пластического течения / Ю. И. Димитриенко, Е А. Губарева, М. С. Черкасова // Математическое моделирование и численные методы. - 2021. - № 2. - С. 15-37.

41. Димитриенко, Ю. И. Микроструктурная модель анизотропной теории течения для упруго-пластических слоистых композитов / Ю. И. Димитриенко,

М. С. Черкасова, А. Ю. Димитриенко // Математическое моделирование и численные методы. - 2022. - № 3. - С. 47 - 70.

42. Димитриенко, Ю. И. Моделирование упругопластических характеристик монокристаллических интерметаллидных сплавов на основе микроструктурного численного анализа / Ю. И. Димитриенко, Е. А. Губарева, С. В. Сборщиков, О. А. Базылева, А. Н. Луценко, Е. И. Орешко // Математическое моделирование и численные методы. - 2015. - № 2. - С. 3-22.

43. Димитриенко, Ю. И. Моделирование деформирования слоистых упругопластических композитов на основе микроструктурной теории течения / Ю. И. Димитриенко, М. С. Черкасова // Математическое моделирование и численные методы. - 2024. - № 4. - С. 3-20.

44. Житомирский, Г. И. Конструкция самолетов: учебник для студентов вузов / Г. И. Житомирский. - М.: Инновационное машиностроение, 2018. - 416 с.

45. Ильюшин, А. А. О приращении пластической деформации и поверхности текучести / А. А. Ильюшин // ПММ. - 1960. - Т. 24. - С. 663-666.

46. Ильюшин, А. А. Вопросы общей теории пластичности / А. А. Ильюшин // ПММ. - 1960. - Т. 24. - С. 398-411.

47. Ильюшин, А. А. О постулате пластичности / А. А. Ильюшин // ПММ. -1961. - Т. 25. - С. 503-507.

48. Ильюшин, А. А. О соотношениях и методах современной теории пластичности / А. А. Ильюшин, В. С. Ленский // Успехи механ. деформ. сред. - М.: Наука, 1975. - С. 240-255.

49. Ильюшин, А. А. Об основах общей математической теории пластичности / А. А. Ильюшин // Вопросы теории пластичности. - М.: Изд-во АН СССР, 1961. - С. 3-29.

50. Ильюшин, А. А. Пластичность. Основы общей математической теории / А. А. Ильюшин. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 271 с.

51. Ильюшин, А. А. Пластичность. Часть первая. Упруго-пластические деформации / А. А. Ильюшин. - М.: ОГИЗ, 1948. - 376 с.

52. Ильюшин, А. А. Механика сплошной среды / А. А. Ильюшин. - М.: Изд-во МГУ, 1990. - 310 с.

53. Ишлинский, А. Ю. Прикладные задачи механики. Кн. I. Механика вязкопластических и не вполне упругих тел / А. Ю. Ишлинский. - М.: Наука, 1986. - 359 с.

54. Ишлинский, А. Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением / А. Ю. Ишлинский // Украин. матем. журнал. - 1954. - Т. 6. - № 3. -С. 314-325.

55. Кадашевич, Ю. И. Теория пластичности, учитывающая эффект Баушингера / Ю. И. Кадашевич, В. В. Новожилов // Докл. АН СССР. - 1957. - Т. 117. - Вып. 4. - С. 586-588.

56. Кадашевич, Ю. И. Об учете микронапряжений в теории пластичности / Ю. И. Кадашевич, В. В. Новожилов // Инж. Ж. МТТ. - 1968. - № 3. - С. 83-91.

57. Кадашевич, Ю. И. О различных вариантах тензорно-линейных соотношений в теории пластичности / Ю. И. Кадашевич // Исследования по упругости и пластичности. - 1967. - № 6. - С. 39-45.

58. Кадашевич, Ю. И. Теория пластичности, учитывающая остаточные микронапряжения / Ю. И. Кадашевич, В. В. Новожилов // ПММ. - 1958. - Т. 22. -Вып. 1. - С. 78-89.

59. Кадашевич, Ю. И. Микронапряжения в конструкционных материалах / Ю. И. Кадашевич, В. В. Новожилов. - Л.: Машиностроение, 1990. - 224 с.

60. Кадашевич, Ю. И. Об одном классе теорий пластического течения / Ю. И. Кадашевич // Пикл. пробл. прочн. и пластичн.: Всесоюзн. межву. сб. / Горьк. Ун-т. - Горький, 1979. - С. 69-72.

61. Кадашевич, Ю. И. Теория пластичности и ползучести металлов, учитывающая микиронапряжения / Ю. И. Кадашевич, В. В. Новожилов // Изв. АН СССР. Мех. тверд. тела. - 1981. - № 5. - С. 99-110.

62. Кирсанов, Н. М. Применение алюминиевых сплавов в строительстве: конспект лекций / Н. М. Кирсанов. - Воронеж: Изд-во Воронежского инженерно-строительного института, 1960.

63. Клюшников, В. Д. Математическая теория пластичности / В. Д. Клюшников. - М.: Изд-во МГУ, 1979. - 208 с.

64. Клюшников, В. Д. Физико-математические основы прочности и пластичности / В. Д. Клюшников. - М.: Изд-во МГУ, 1994. - 189 с.

65. Ковтунов, А. И. Слоистые композиционные матриалы: электронное учебное пособие / А. И. Ковтунов, С. В. Мямим, Т. В. Семистенова. - Тольятти: Изд-во ТГУ, 2017. - 75 с.

66. Концевой, Ю. В., Пастухов Э. А., Игнатьева Е. В. ФГБУН ИМЕТ УрО РАН. Способ получения слоистого композита системы сталь-алюминий. Патент № Яи 2501630, МПК В22Б 7/04, В32В 15/01, С23С 24/06. № 2012115137/02. Заявл. 16.04.2012; Опубл. 20.12.2013.

67. Концевой, Ю. В. Исследование физико-химических процессов в зоне контакта и разработка технологии получения слоистого антикоррозионного композита сталь-алюминий : автореф. дис. ... канд. техн. наук : 05.16.06 / Концевой Юрий Васильевич. - Екатеринбург, 2007. - 31 с.

68. Ленский, В. С. Лекции по теории упругости и пластичности / В. С. Ленский. - М.: Изд-во МГУ, 1964. - 204 с.

69. Ленский, В. С. Трехчленное соотношение общей теории пластичности / В. С. Ленский, Э. В. Ленский // Механика твердого тела. - 1985. - № 4. - С. 111115.

70. Маневич, Л. И. Асимптотический метод в микромеханике композиционных материалов / Л. И. Маневич, А. В. Павленко. - Киев: Вища школа, 1991. - 131 с.

71. Митенков, Ф. М. Прикладная теория пластичности / Ф. М. Митенков [и др.]. - М.: Физматлит, 2015. - 284 с.

72. Москвитин, В. В. Циклические нагружения элементов конструкций / В. В. Москвитин. - М.: УРСС, 2019. - 344 с.

73. Муравлева, Л. В. Эффективные свойства железобетонных плит при упругопластических деформациях / Л. В. Муравлева, С. В. Шешенин // Вестник Московского Университета. Серия 1: Математика. Механика. - 2004. - №23. - С. 6265.

74. Муравлева, Л. В. Эффективные свойства ортотропных композитов при упругопластических деформациях / Л. В. Муравлева // Упругость и неупругость: материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 95-летию со дня рождения А.А. Ильюшина. -Москва : Едиториал УРСС, 2006. - С. 371-378.

75. Новожилов, В. В. Микронапряжения в конструкционных материалах / В. В. Новожилов, Ю. И. Кадашевич. - Л.: Машиностроение, 1990. - 224 с.

76. Новожилов, В. В. О сложном нагружении и перспективах феноменологического подхода к исследованию микронапряжений / В. В. Новожилов // ПММ. - 1964. - Т. 28. - Вып. 3. - С. 393-400.

77. Новожилов, В. В. О перспективах построения критерия прочности при сложном нагружении / В. В. Новожилов, О. Г. Рыбакина // Прочность при малом числе циклов нагружения. - М.: Наука, 1969. - С. 71-80.

78. Образцов, И. Ф. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций / И. Ф. Образцов, Б. В. Нерубайло, И. В. Андрианов. -Москва: Машиностроение, 1991. - 429 с.

79. Песин, А. М. Моделирование остаточных напряжений в алюминиевых листах из сплава АМг6 после асимметричной прокатки / А. М. Песин, Д. О. Пустовойтов, Р. К. Вафин, О. Д. Бирюкова // Качество в обработке материалов. - 2018. - № 2 (10). - С. 10-16.

80. Пелешко, В. А. Прикладной и инженерный варианты теории упругопластических процессов активного сложного нагружения. Ч.2:

Идентификация и верификация / В. А. Пелешко // Изв. РАН. МТТ. - 2016. - № 1. -С. 110-135.

81. Победря, Б. Е. Механика композиционных материалов / Б. Е. Победря. - М.: Издательство МГУ, 1984. - 324 с.

82. Применение композитных материалов в зарубежном подводном кораблестроении [Электронный ресурс] Информационное агентство «ПРоАтом». [СПб]. - Режим доступа: http://www.proatom.ru/modu1es.php?name=News&Шe=artic1e&sid=7479.

83. Санчес-Паленсия, Э. Неоднородные среды и теория колебаний: пер. с англ. / Э. Санчес-Паленсия. - М.: Мир, 1984. - 472 с.

84. Седов, Л. И. Механика сплошной среды, т.2 / Л. И. Седов. - М.: Наука, 1970. - 568 с.

85. Скрипняк, Н. В. Динамика разрушения алюминий-магниевого сплава АМг6 / Н. В. Скрипняк // Современные проблемы науки и образования. - 2013. -№ 6.

86. Темис, Ю. М. Модель неизотермиче-ского упругопластического деформирования конструкцион-ных материалов при сложном нагружении / Ю. М. Темис, А. Д. Худякова // Математическое моделирование и численные методы. - 2017. - № 3. - С. 22-41.

87. Черкасова, М. С. Применение метода асимптотического осреднения для прогнозирования упруго-пластических свойств слоистых композитов (теория течения) / М. С. Черкасова // Всероссийская студенческая конференция «Студенческая научная весна», посвященная 60-летию полета Ю.А. Гагарина в космос. - 2021. - С.427-428.

88. Черкасова, М. С. Моделирование упругопластических свойств слоистых композитов на основе анизотропной теории течения / М. С. Черкасова // XVI всероссийская конференция молодых ученых и специалистов «Будущее машиностроения России» (с международным участием): сборник докладов. В 2-х томах. - 2024. - С. 391-397.

89. Abashev, D. R. Refinement of plasticity theory for modeling monotonic and cyclic loading processes / D. R. Abashev, V. S. Bondar // Journal of Mechanics of Materials and Structures. - 2020. - Vol. 15.

90. Abdel-Karim, M. An evaluation for several kinematic hardening rules on prediction of multiaxial stress-controlled ratchetting / M. Abdel-Karim // Int. J. of Plasticity. - 2010. - Vol. 26. - P. 711-730.

91. Abdel-Karim, M. Modified kinematic hardening rules for simulations of ratchetting / M. Abdel-Karim // Int. J. of Plasticity. - 2009. - Vol. 25. - P. 1560-1587.

92. Ajith James Cyriac. Metal Matrix Composites: History, Status, Factors And Future: Bachelor of Technology in Mechanical Engineering Cochin University of Science and Technology Cochin. - Kerala, INDIA, 2011.

93. Ansys 2021 R2. Theory Reference, ANSYS, Inc., USA, 2021. - p. 934.

94. Bensousson, A. Asymptotic analysis for periodic structures / A. Bensousson, J. L. Lions, G. Papanicolaou. - Amsterdam: North-Holland, 1978.

95. Bondar, V. S. Constitutive modeling of cyclic plasticity deformation and low-high-cycle fatigue of stainless steel 304 in uniaxial stress state / V. S. Bondar, V. V. Dansin, D. Vu. Long, D. D. Nguyen // Mechanics of Advanced Materials and Structures. - 2018. - Vol. 25(12). - P. 1009-1017.

96. Buryachenko, V. A. General Integral Equations of Micromechanics of Heterogeneous Materials / V. A. Buryachenko // Journal for Multiscale Computational Engineering. - 2015. - Vol. 13. - № 1. - P. 11-53.

97. Chaboche, J.-L. Cyclic inelastic constitutive equations and their impact on the fatigue life predic-tions / J.-L. Chaboche, P. Kanoute, F. Azzouz // Int. J. of Plasticity. - 2012. - Vol. 35. - P. 44-66.

98. Chaboche, J.-L. A review of some plasticity and viscoplasticity constitutive theories / J.-L. Chaboche // Int. J. of Plasticity. - 2008. - Vol. 24. - P. 1642-1692.

99. Choo, J. An anisotropic viscoplasticity model for shale based on layered microstructure homogenization / J. Choo, Sh. Semnani, J. White // International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics. - 2020. - 45(6).

100. Chunwang, He. A multiscale elasto-plastic damage model for the nonlinear behavior of 3D braided composites / He Chunwang, Ge Jingran, Qi Dexing, Gao Jiaying, Chen Yanfei, Liang Jun, Fang Daining // Composites Science and Technology. - 2019. - Vol. 171. - P. 21-33.

101. Dimitrienko, Yu. I. Modeling of effective elastic-plastic properties of layered composites with a periodic structure in the framework of the anisotropic flow theory 01036 / Yu. I. Dimitrienko, E. A. Gubareva, M. S. Cherkasova // E3S Web of Conferences (ERSME-2023) 2023. - 376, 01036 (2023). - P. 1-10.

102. Dimitrienko, Yu. I. Multiscale modeling of composite materials and structures: up to theory till computational technology / Yu. I. Dimitrienko, S. V. Sborshikov // Multiscale Modeling and Methods: Upscaling in Engineering and Medicine : Abstracts of the Fifth International Conference / Ed. by Yu. Dimitrienko, G. Panasenko ; Bauman Moscow State Technical University, Moscow : BMSTU, 2015. -P.16-17.

103. Gyu-Sei, Yi. Anisotropic Constitutive Model for Predictive Analysis of Composite Laminates / Yi. Gyu-Sei // Indian Journal of Science and Technology. - 2015.

- Vol 8(S1). - P. 189-193.

104. Hassan, T. Influence of non-proportional loading on ratcheting responses and simulations by two recent cyclic plasticity models / T. Hassan, L. Taleb, S. Krishna // Int. J. Plasticity. - 2008. - Vol. 24. - P. 1863-1889.

105. Kan, Q. Constitutive model for uniaxial trans-formation ratcheting of super-elastic NiTi shape memory alloy at room temperature / Q. Kan, G. Kang // Int. J. of Plasticity. - 2009. - Vol. 26(3). - P. 441-465.

106. Karl U. Kainer. Metal Matrix Composites. Custom-made Materials for Automotive and Aerospace Engineering. WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. -Weinheim, 2006. - p. 54.

107. Kvale Joki, R. Coupling of plasticity and damage in glass fibre reinforced polymer composites / R. Kvale Joki, F. Grytten, H. Osnes // EPJ Web of Conferences 26.

- 04028 (2012).

108. Mbiakop, A. On void shape effects of periodic elasto-plastic materials subjected to cyclic loading / A. Mbiakop, A. Constantinescu, K. Danas // European Journal of Mechanics A/Solids 49. - 2015. - P. 481-499.

109. Meguid, S. A. Asymptotic homogenization of elastic composite materials with a regular structure / S. A. Meguid, A. L. Kalamkarov // International Journal of Solids and Structures. - 1994. - Vol. 31, №3. - P. 303-316.

110. Micallef, K. Mesh-Insensitive Finite Element Modelling Of Elastic-Plastic Composites / K. Micallef, A. S. Fallah, D. J. Pope, P. T. Curtis, L. Iannucci, L. Raimondo,L. A. Louca // ECCM15 - 15th European Conference On Composite Materials. - 2012. - P. 7.

111. Nardone, V. C. Analysis of superalloy-toughened NiAl composites / V. C. Nardone // Composites Science and Technology. - 1994. - Vol. 52. - P. 151-161.

112. Nouailhas, D. On the constitutive equations for cyclic plasticity under nonproportional loading / D. Nouailhas, J. L. Chaboche, S. Savalle, G. Cailletaud // Int. J. Plast. - 1985. - №1. - P. 317-330.

113. Ohno, N. Kinematic hardening rules with critical state of dynamic recovery, part 1: formulations and basic features for ratcheting behavior / N. Ohno, J. D. Wang // International Journal of Plastici-ty. - 1993. - Vol. 9. - P. 375-390.

114. Ohno, N. Transformation of a nonlinear kin-ematics hardening rulle to a multisurface form under isothermal and nonisothermal conditions / N. Ohno, J. D. Wang // Int. Journal of Plasticity. - 1991. - Vol. 7. - P. 879-891.

115. Prager, W. The theory of plasticity: A Survey of Recent Achievements / W. Prager // Proc. Inst. Mech. Engrs. - London, 1955. - P. 3-19.

116. Pyka, D. Concept of a gun barrel based on the layer composite reinforced with continuous filament / D. Pyka, M. Bocian, K. Jamroziak, M. Kosobudzki, M. Kulisiewicz // AIP Conference Proceedings 2078 - 020043 (2019).

117. Schweizer, B. Periodic homogenization of Prandtl-Reuss plasticity equations in arbitrary dimension / B. Schweizer, M. Veneroni // Technische Universitat Dortmund, Germany, 2010. - P. 32.

118. Taleb, L. Experimental and numer-ical analysis about the cyclic behavior of the 304L and 316L stain-less steels at 350 °C / L. Taleb, G. Cailletaud, K. Sai // Int. J. Plasticity. - 2014. - Vol. 61. - P. 32-48.

119. Taleb, L. About the cyclic accumulation of the inelastic strain observed in metals subjected to cyclic stress control / L. Taleb // Int. J. Plasticity. - 2013. - Vol. 43. - P. 1-19.

120. Tsalis, D. Homogenization of elastoplastic composites with generalized periodicity in the microstructure / D. Tsalis, Th. Baxevanis, G. Chatzigeorgiou, N. Charalambakis // International Journal of Plasticity. - 2013. - P. 63.

121. Wu, L. A multiscale mean-field homogenization method for fiber-reinforced composites with gradient-enhanced damage models / L. Wu, L. Noels, L. Adam, I. Doghri // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -2012. - Vol. 233 - 236. - P. 164-179.

122. Zerovnik, A. The Yield-Point Phenomenon and Cyclic Plasticity of the Console Beam / A. Zerovnik, I. Prebil, R. Kunc // Strojniski vestnik - Journal of Mechanical Engineering 63. - 2017. - P. 479-488.

СПИСОК ИЛЛЮСТРАТИВНОГО МАТЕРИАЛА

1. Список рисунков

Рисунок 1.1 - Композиционный материал со слоистой периодической структурой, стр. 11

Рисунок 1.2 - Ячейка периодичности в масштабе слоистого периодического композита, стр. 27

Рисунок 1.3 - Эффективные диаграммы пластичности: напряжение <гп -деформация £п для упругопластического композита (60 % А1), алюминия и стали, стр. 51

Рисунок 1.4 - Эффективные диаграммы пластичности: напряжение <гп -деформация £п для упругопластического композита (50 % А1), алюминия и стали, стр. 52

Рисунок 1.5 - Эффективные диаграммы пластичности: напряжение <гп -деформация £п для упругопластического композита (40 % А1), алюминия и стали, стр. 52

Рисунок 1.6 - Эффективные диаграммы пластичности: напряжение <гп -деформация £п для упругопластического композита (20 % А1), алюминия и стали, стр. 53

Рисунок 1.7 - Эффективные диаграммы пластичности (напряжение <гп -деформация £и) для упругопластического композита с различным соотношением толщин его слоев, алюминия и стали: 1 - алюминий, 2 - КМ (60 % А1), 3 - КМ (50 % А1), 4 - КМ (40 % А1), 5 - КМ (20 % А1), 6 - сталь, стр. 53

Рисунок 1.8 - Эффективные диаграммы пластичности: напряжение <33 -деформация 633 для упругопластического композита (60 % А1), алюминия и стали, стр. 54

Рисунок 1.9 - Эффективные диаграммы пластичности: напряжение с33 -деформация £33 для упругопластического композита (50 % А1), алюминия и стали, стр. 54

Рисунок 1.10 - Эффективные диаграммы пластичности: напряжение с33 -деформация £33 для упругопластического композита (40 % А1), алюминия и стали, стр. 55

Рисунок 1.11 - Эффективные диаграммы пластичности: напряжение с33 -деформация £33 для упругопластического композита (20 % А1), алюминия и стали, стр. 55

Рисунок 1.12 - Эффективные диаграммы пластичности (напряжение с33 -деформация £33) для упругопластического композита с различным соотношением толщин его слоев, алюминия и стали: 1 - алюминий, 2 - КМ (60 % А1), 3 - КМ (50 % А1), 4 - КМ (40 % А1), 5 - КМ (20 % А1), 6 - сталь, стр. 56

Рисунок 1.13 - Эффективные диаграммы пластичности: напряжение с13 -

деформация £13 для упругопластического композита (60 % А1), алюминия и стали, стр. 57

Рисунок 1.14 - Эффективные диаграммы пластичности: напряжение с13 -деформация £13 для упругопластического композита (50 % А1), алюминия и стали, стр. 57

Рисунок 1.15 - Эффективные диаграммы пластичности: напряжение с13 -деформация £13 для упругопластического композита (40 % А1), алюминия и стали, стр. 58

Рисунок 1.16 - Эффективные диаграммы пластичности: напряжение с13 -деформация £13 для упругопластического композита (20 % А1), алюминия и стали, стр. 58

Рисунок 1.17 - Эффективные диаграммы пластичности (напряжение <13 -деформация £13) для упругопластического композита с различным соотношением толщин его слоев, алюминия и стали: 1 - алюминий, 2 - КМ (60 % А1), 3 - КМ (50 % А1), 4 - КМ (40 % А1), 5 - КМ (20 % А1), 6 - сталь, стр. 59

Рисунок 1.18 - Эффективные диаграммы пластичности: напряжение <12 -

деформация £12 для упругопластического композита (60 % А1), алюминия и стали, стр. 59

Рисунок 1.19 - Эффективные диаграммы пластичности: напряжение <12 -деформация £12 для упругопластического композита (50 % А1), алюминия и стали, стр. 60

Рисунок 1.20 - Эффективные диаграммы пластичности: напряжение <12 -деформация £12 для упругопластического композита (40 % А1), алюминия и стали, стр. 60

Рисунок 1.21 - Эффективные диаграммы пластичности: напряжение <12 -деформация £12 для упругопластического композита (20 % А1), алюминия и стали, стр. 61

Рисунок 1.22 - Эффективные диаграммы пластичности (напряжение <12 -деформация £12) для упругопластического композита с различным соотношением

толщин его слоев, алюминия и стали: 1 - алюминий, 2 - КМ (60 % А1), 3 - КМ (50 % А1), 4 - КМ (40 % А1), 5 - КМ (20 % А1), 6 - сталь, стр. 61

Рисунок 2.1 - Эффективные диаграммы пластичности (<33 ~ £33) композита при одноосном растяжении в поперечном направлении, стр. 84

Рисунок 2.2 - Эффективные диаграммы пластичности (<13 ~ £13) композита при межслойном сдвиге, стр. 85

Рисунок 2.3 - Эффективные диаграммы пластичности (<12 ~ £12) композита при сдвиге в плоскости слоя, стр. 86

Рисунок 2.4 - Эффективные диаграммы пластичности (с11 ~ £) композита при одноосном растяжении в продольном направлении, стр. 86

Рисунок 3.1 - Представление области V с границами Хи и , стр. 94

Рисунок 3.2 - Цилиндрическое тело в разрезе: а - поперечный разрез, б -продольный разрез, стр. 97

Рисунок 3.3 - Изменение давления ре1 во времени, стр. 99

Рисунок 3.4 - Распределение перемещений иг по радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом при отсутствии пластических деформаций (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 100

Рисунок 3.5 - Распределение осредненных радиальных напряжений сгг по радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом при отсутствии пластических деформаций (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 101

Рисунок 3.6 - Распределение осредненных кольцевых напряжений с по

радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом при отсутствии пластических деформаций (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 101

Рисунок 3.7 - Распределение осредненных радиальных деформаций £гг по радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом при отсутствии пластических деформаций (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 102

Рисунок 3.8 - Распределение осредненных кольцевых деформаций £ по

радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом при отсутствии пластических деформаций (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 102

Рисунок 3.9 - Распределение перемещений иг по радиусу трубы в

зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 103

Рисунок 3.10 - Распределение осредненных радиальных напряжений сгг по радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 104

Рисунок 3.11 - Распределение осредненных кольцевых напряжений с по

радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 104

Рисунок 3.12 - Распределение осредненных радиальных пластических деформаций £р по радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным

шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 105

Рисунок 3.13 - Распределение осредненных кольцевых пластических деформаций £р по радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным

шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 105

Рисунок 3.14 - Распределение осредненных радиальных деформаций £гг по радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 106

Рисунок 3.15 - Распределение осредненных кольцевых деформаций £ по

радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 106

Рисунок 3.16 - Изменение давления ре1 во времени, стр. 107 Рисунок 3.17 - Распределение перемещений иг по радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 108

Рисунок 3.18 - Распределение осредненных радиальных напряжений <гг по

радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 109

Рисунок 3.19 - Распределение осредненных кольцевых напряжений < по

радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 109

Рисунок 3.20 - Распределение осредненных радиальных пластических деформаций £р по радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 110

Рисунок 3.21 - Распределение осредненных кольцевых пластических деформаций б^ по радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным

шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 110

Рисунок 3.22 - Распределение осредненных радиальных деформаций £гг по радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 111

Рисунок 3.23 - Распределение осредненных кольцевых деформаций £рр по

радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 111

Рисунок 3.24 - Изменение давления ре1 во времени, стр. 112

Рисунок 3.25 - Распределение перемещений иг по радиусу трубы в

зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 113

Рисунок 3.26 - Распределение осредненных радиальных напряжений <гг по радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 113

Рисунок 3.27 - Распределение осредненных кольцевых напряжений с по

радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 114

Рисунок 3.28 - Распределение осредненных радиальных пластических деформаций £р по радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным

шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 114

Рисунок 3.29 - Распределение осредненных кольцевых пластических деформаций б^ по радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным

шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 115

Рисунок 3.30 - Распределение осредненных радиальных деформаций £ по радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 115

Рисунок 3.31 - Распределение осредненных кольцевых деформаций £ по

радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 116

Рисунок 3.32 - Изменение давления ре1 во времени, стр. 117 Рисунок 3.33 - Распределение перемещения иг по радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 118

Рисунок 3.34 - Распределение осредненных радиальных напряжений сгг по

радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 118

Рисунок 3.35 - Распределение осредненных кольцевых деформаций £ по

радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 119

Рисунок 3.36 - Распределение перемещений иг по радиусу трубы в

зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 120

Рисунок 3.37 - Распределение осредненных радиальных напряжений сгг по радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 120

Рисунок 3.38 - Распределение осредненных кольцевых напряжений с по

радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 121

Рисунок 3.39 - Распределение осредненных радиальных пластических деформаций £р по радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным

шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 122

Рисунок 3.40 - Распределение осредненных кольцевых пластических деформаций б^ по радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным

шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 122

Рисунок 3.41 - Распределение осредненных радиальных деформаций £ по радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 123

Рисунок 3.42 - Распределение осредненных кольцевых деформаций £ по

радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 124

Рисунок 3.43 - Распределение кольцевых напряжений в макро- с и

микромасштабе с(0) в момент времени , стр. 126

Рисунок 3.44 - Распределение кольцевых напряжений в макро- с и

микромасштабе св момент времени , стр. 127

Рисунок 3.45 - Распределение кольцевых напряжений в макро- с и микромасштабе в момент времени , стр. 127

Рисунок 3.46 - Распределение кольцевых напряжений в макро- с и микромасштабе по радиусу трубы в зависимости от времени с фиксированным шагом (цифры на графике соответствуют разным моментам времени), стр. 128

2. Список таблиц

Таблица 1.1 - Константы, описывающие свойства материалов, стр. 50 Таблица 2.1 - Материальные константы при растяжении слоистого КМ вдоль оси Ое3, стр. 84

Таблица 2.2 - Материальные константы при сдвиге слоистого КМ между осями Ое1 и Ое3, стр. 85

Таблица 2.3 - Материальные константы при сдвиге слоистого КМ между осями Ое1 и Ое2, стр. 87

Таблица 2.4 - Материальные константы при растяжении слоистого КМ вдоль оси Ое1 , стр. 87