Методы вейвлет-анализа в задачах обработки экспериментальных данных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.01, кандидат физико-математических наук Борисенко, Никита Андреевич

• Борисенко, Никита Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Борисенко, Никита Андреевич

Краткая характеристика работы

1 Введение

1.1 Проблемы обработки экспериментальных данных.

1.2 Вейвлеты для обработки сигналов.

1.3 Обзор обработанных экспериментов.

1.3.1 Экспериментальное определение потерь энергии пучка ионов в веществе: времяпролетная методика

1.3.2 Эксперименты по измерению сечений рождения вторичных радиоактивных ядер, образующихся при прохождении пучка ионов через вещество

1.3.3 Эксперименты по определению динамики торможения пучка ионов в аэрогелях.

1.3.4 Дифракция лазерного излучения на двух щелях

1.3.5 Электрокардиограмма человека

2 Обзор используемого математического аппарата

2.1 Преобразование Фурье.

2.2 Принцип неопределенности.

2.3 Непрерывное вейвлет-преобразование.

2.4 Дискретное вейвлет-преобразование.

2.5 Скейлинг-функция и кратномасштабный анализ.

2.6 Простейший пример.

2.7 Нулевые моменты материнского вейвлета.

2.8 Алгоритмы быстрого вейвлет-преобразования

2.9 Вейвлет-преобразование изображений.

3 Фильтрация сигналов и изображений

3.1 Введение.

3.2 Эквивалентные фильтры вейвлет-преобразования.

3.3 Фильтрация сигналов от белого шума.

3.4 Разделение двух сигналов на основе частотно-временного анализа.

3.5 Оценка ошибок, вносимых в экспериментальные данные при использовании методов вейвлет фильтрации.

3.6 Удаление из сигнала искусственно сгенерированной помехи

3.6.1 Фильтрация от белого шума.

3.6.2 Фильтрация от высокочастотного и низкочастотного шумов

3.7 Применение методов вейвлет-фильтрации к экспериментальным данным.

3.7.1 Фильтрация сигналов с пояса Роговского в экспериментах по определению сечений рождения вторичных радиоактивных ядер при облучении мишени пучком ионов.

3.7.2 Фильтрация медицинских сигналов

3.7.3 Фильтрация спектров с пространственным разрешением

3.7.4 Фильтрация сигналов априори известного вида

3.8 Выводы.

4 Выделение пиков сигнала

4.1 Постановка задачи.

4.2 Выбор вейвлета для параметризации сигнала.

4.3 Квадратичный сплайновый вейвлет.

4.4 Точка пересечения вейвлет-преобразования с нулем

4.5 Анализ сингулярностей сигнала на основе вейвлет-преобразования

4.6 Алгоритм обработки одиночного пика.

4.7 Оценка ошибки метода.

4.8 Применение алгоритмов параметризации сигналов.

4.8.1 Обработка сигналов с пояса Роговского в экспериментах по определению сечений рождения вторичных радиоактивных ядер при облучении мишени пучком ионов.

4.8.2 Обработка медицинских сигналов

4.9 Выводы.

5 Обработка квазипериодических сигналов

5.1 Введение.

5.2 Вейвлет Морле.

5.3 О применимости непрерывного вейвлет-преобразования к цифровым сигналам.

5.4 Анализ сигналов с помощью псевдовейвлета Морле

5.5 Вычисление ошибок.

5.6 Алгоритм обработки квазипериодических сигналов

5.7 Применение методики обработки квазипериодических сигналов

5.7.1 Анализ модулированного квазипериодического сигнала с искусственно сгенерированным шумом

5.7.2 Обработка экспериментов по измерению потерь энергии пучка ионов в плазме, основанных на времяпролетной методике.

5.7.3 Анализ интерферограмм.

5.8 Выводы.

6 Обработка гауссовых кривых и поиск источников

6.1 Введение.

6.2 Вейвлет мексиканская шляпа.

6.3 Методика обработки гауссовых сигналов

6.4 Аппроксимация функций вида / ~ .^g

6.5 Алгоритм обработки гауссовых сигналов.

6.6 Алгоритм поиска источников.

6.7 Применение метода к анализу спектрометрических данных в экспериментах по определению сечений рождения вторичных радиоактивных ядер при облучении мишени пучком ионов.

6.8 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы вейвлет-анализа в задачах обработки экспериментальных данных»

Настоящая работа представляет набор современных методов вей-влет-обработки цифровых сигналов и изображений, непосредственно готовых к применению. Некоторые из описываемых методик [89, 127] уже успешно зарекомендовали себя в применении к тем или иным областям науки, и лишь подверглись незначительной модернизации или обоснованию. Другие [7, 8] являются оригинальными и открывают альтернативные возможности решения задач обработки сигналов по сравнению с традиционно используемыми методами.

С помощью предлагаемых методик в ряде исследований удалось существенно улучшить качество результатов, применяя лишь программные методы обработки экспериментальных данных. Таким образом, открывается возможность значительного повышения точности измерений на действующих экспериментальных установках без модернизации аппаратной части путем лишь программной обработки получаемых данных с помощью вейвлетов. В то же время большинство предлагаемых в настоящей диссертации алгоритмов довольно просты в использовании и имеют наглядную интерпретацию, позволяющую избежать трудностей математического и практического характеров, что позволяет применять их в повседневной экспериментальной практике.

В настоящей работе сделан шаг к созданию общедоступных алгоритмов математической обработки больших массивов данных, цифровых кривых и изображений, пригодных для массового применения в естественнонаучных и технических приложениях. Стремительное развитие фундаментальных исследований, включающих в себя технику вейвлет-преобразования, показывает перспективность этого направления.

Цели и задачи исследования

В связи с отсутствием доступного специализированного программного обеспечения, пригодного для качественной автоматической обработки экспериментов по взаимодействию пучков ионов с веществом, основной целью работы являлось создание надежных и математически обоснованных методов решения задач обработки экспериментальных данных с последующей их программной реализацией. Конкретные задачи, поставленные перед диссертантом, приведены ниже. 1. Разработка, тестирование и внедрение в экспериментальную практику алгоритмов автоматизированной обработки токовых сигналов с пояса Роговского.

2. Разработка, тестирование и внедрение в экспериментальную практику методов автоматического анализа сигналов со стоп-детектора для времяпролетной методики.

3. Разработка, тестирование и внедрение в экспериментальную практику методов автоматического поиска и параметризации источников гауссовой формы, необходимых для обработки экспериментов по радиационной безопасности.

Научная новизна работы

1. Разработан и применен новый метод анализа токовых сигналов с пояса Роговского, позволяющий проводить надежную обработку за-шумленных данных в автоматическом режиме. Предлагаемая методика состоит из двух этапов. Сначала исходный сигнал при помощи вейвле-тов подвергается очистке от шумов. Для этого применяется оригинальный алгоритм разделения сигнала и шума с использованием дискретного вейвлет-преобразования, основанный на частотно-временном анализе сигнала. Обоснован простой рецепт выделения полезного сигнала из набора данных на основании априори известного приблизительного спектрального состава сигнала. Предложенная схема фильтрации в отличие от методов Фурье-анализа, практически не искажает полезный сигнал, восстанавливая его с точностью до константы в заданном интервале времени. Для реализации второго этапа предложен алгоритм для автоматического выделения пиков полезного сигнала из зашумлен-ных данных, основанный на применении дискретного вейвлет-преобразования с квадратичным сплайновым вейвлетом в качестве базиса. На основе данного алгоритма создан пакет программ, позволяющий автоматизировать процесс анализа экспериментальных кривых для широкого круга исследований.

2. Разработан и применен новый метод автоматической обработки сигналов со стоп-детектора для экспериментов по измерению потерь энергии в холодном веществе и в плазме взрывного генератора, использующих времяпролетную методику. Обоснована методика обработки квазипериодических сигналов, основанная на применении непрерывного вейвлет-преобразования и псевдовейвлета Морле. В частности, методика расширена до применения к осциллирующим сигналам, основная частота которых является функцией времени, и выведены ограничения, в рамках которых схема обработки может успешно применяться. Предлагаемый метод используется в настоящее время при обработке экспериментов, ведущихся в ИТЭФ и GSI.

3. Разработан и применен новый метод обработки спектрометрических сигналов. Для сигналов, имеющих форму нормального распределения, предложена оригинальная методика разложения сигнала на гаус-сиану и шум, основанная на минимизации нормы разности анализируемой и тестовой функций в вейвлет-домене. Математически обоснована возможность восстановления функции с точностью порядка одного процента по ее вейвлет-преобразованию в узком диапазоне масштабов а и параметров сдвига 6, что определяет практическую ценность данной методики. Схема была успешно применена к анализу спектров в экспериментах по радиационной безопасности.

Научная и практическая значимость

Предложенные в настоящей работе методы анализа цифровых сигналов применяются в течение нескольких лет в экспериментальных программах по высокой плотности энергии в веществе, созданной пучком тяжелых ионов, ведущихся на ТераВаттном Накопителе в Институте Теоретической и Экспериментальной Физике (ИТЭФ) в Москве и на ускорителях SIS-18 и UNILAC, входящих в состав ускорительного комплекса Gesellschaft fur Schwerionenforschung (GSI) в Дармштадте в Германии. К ним относятся серии экспериментов по измерению тормозной способности газов и плазмы, эксперименты по определению зарядового распределения пучка ионов в веществе, эксперименты по измерению сечений рождения вторичных радиоактивных ядер в элементах линии пучка.

Помимо ускорительной тематики, разработанные автором схемы используются и в медицине в рамках опытно-конструкторских разработок, проводимых в ГУП "Распределенные Информационные Системы и Технологии для Медицины" совместно с НИИ Нормальной Физиологии РАМН, где предложенные алгоритмы реализуются в виде пакета прикладных программ обработки медицинских сигналов электрокардиограммы (ЭКГ) и реовазограммы человека.

С помощью защищаемых методик проводилась тестовая обработка экспериментальных данных по анализу интерферограмм при дифракции Фраунгофера лазерного излучения на двух взаимно перпендикулярных щелях (Физический Институт им. Лебедева Российской Академии Наук) и динамике торможения ионов в аэрогелях (GSI). Было установлено, что предлагаемые схемы решения задач обработки сигналов и изображений одинаково эффективно работают в применении к весьма широкому спектру прикладных задач. В результате выполненной работы можно сделать вывод о необходимости введения вейвлет-преобразования в повседневную практику физических измерений.

Подготовлена для направления в печать серия статей в журналах естественнонаучной и технической тематики, предназначенных вниманию широкого круга пользователей, заинтересованных во внедрении новейших технологий и математических методов для рутинной обработки и анализа цифровых сигналов и изображений.

Личный вклад автора

Настоящая работа является результатом научных исследований, проведенных лично Н. А. Борисенко. Автор принимал участие на всех этапах работы — от постановки задач и их математического решения, до программной реализации разработанных схем и подготовки статей к публикации.

Основные защищаемые положения

1. Развиты методы фильтрации цифровых сигналов на основе дискретного вейвлет-преобразования. Указан выбор вейвлет-коэффициен-тов, значимых для восстановления сигнала с заданной точностью. Предложенные алгоритмы фильтрации применены для удаления помех из токовых сигналов с пояса Роговского в серии экспериментов по радиационной безопасности (ИТЭФ-ТВН, GSI). Методика обобщена на случай двумерных сигналов и использована для обработки изображений спектров ионов пучка с пространственным разрешением при изучении динамики торможения ионов в аэрогелях (GSI).

2. На основе дискретного вейвлет-преобразования построен алгоритм автоматического анализа цифровых сигналов. Метод позволяет определять характерные параметры цифровой кривой, такие как положение и амплитуды пиков полезного сигнала, начала фронта нарастания и конец спада сигнала даже в случае присутствия сильных помех различного вида и артефактов. Предложенный метод использовался для нахождения полного тока пучка ионов при облучении мишеней в экспериментах по радиационной безопасности (ИТЭФ-ТВН, GSI).

3. Новый метод обработки сигналов со стоп-детектора для времяпро-летной методики, основанный на использовании непрерывного вейвлет-преобразования и вейвлета Морле. Метод позволяет отследить изменение основной частоты сигнала в зависимости от времени и восстановить последовательность пиков банчевой структуры пучка даже в случае сильных шумов, сравнимых по мощности с полезным сигналом. Предлагаемый метод используется в настоящее время при обработке экспериментов, ведущихся на ускорителе GSI.

4. Разработана оригинальная методика обработки сигналов гауссовой формы, на базе непрерывного вейвлет-преобразования с вейвлетом "мексиканская шляпа". Метод основан на минимизации нормы разности тестовой и анализируемой функций в вейвлет-домене. Построен новый алгоритм поиска гауссовых источников. Предложенная схема обработки сигналов применена к автоматическому анализу спектрометрических данных в экспериментах по радиационной безопасности (ИТЭФ, GSI).

Объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения, изложенных на 192 страницах текста с 47 рисунками, 6 таблицами и 141 наименованием библиографии.

Заключение диссертации по теме «Приборы и методы экспериментальной физики», Борисенко, Никита Андреевич

6.8 Выводы

Рассмотрено применение непрерывного вейвлет-преобразования к анализу гауссовых сигналов. Показан способ разделения сигнала на гаус-сиану и шум на основании минимизации функционала F с точностью до величины порядка нормы шума.

Доказано, что функция, имеющая форму нормального распределения и рассматриваемая лишь в конечном интервале времен, может быть восстановлена из вейвлет-преобразования с использованием вейвлета "мексиканская шляпа" с точностью до константы в узком диапазоне изменения масштабов а и параметров сдвига Ь.

Создан алгоритм разложения сигнала на гауссиану и шум, выделяющий из сигнала гауссову кривую, определяя ее параметры, считающий норму шума и исходя из этого вычисляющий ошибку в определении параметров.

Разработан алгоритм автоматического поиска источников нормально распределенных данных, основное преимущество которого, по сравнению с используемыми в настоящее время, заключается в отсутствии необходимости задания пороговых значений вейвлет-преобразования, эмпирически определяемых исследователем, для отделения полезных кривых от шума.

Заключение

Итогом настоящей работы стала разработка и систематизация современных методов анализа цифровых сигналов и изображений, основанных на математическом аппарате вейвлет-анализа. Использование описанных методик позволяет быстро и качественно проводить обработку экспериментальной информации в автоматическом режиме с экономией времени и человеческих ресурсов. Основные результаты работы перечислены ниже.

1. Разработан комплексный метод очистки сигналов и изображений от шумов с помощью дискретного вейвлет-преобразования, базирующийся на уже существующем подходе к удалению белых шумов и на впервые предложенном методе, использующем приблизительные частотно-временные характеристики сигнала. Методика фильтрации применена к обработке сигналов с пояса Роговского при измерении тока пучка ионов в серии экспериментальных работ по измерению остаточной радиоактивности в элементах линии пучка на ускорителях и к фильтрации медицинских сигналов.

2. Предложена методика автоматической параметризации цифровых сигналов с использованием дискретного вейвлет-преобразования, позволяющая без участия исследователя находить параметры и характерные точки экспериментальной кривой даже в случаях присутствия сильных помех различного спектрального состава. Методика была успешно применена при обработке предварительно очищенных от шумов токовых и медицинских сигналов.

3. Развиты методы анализа квазипериодических сигналов, основанные на применении непрерывного вейвлет-преобразования. Общая схема решения была адаптирована для обработки сигналов времяпролетной методики, с возможностью переложения на любой другой вид экспериментальных сигналов с ярко выраженной периодической структурой, основной задачей обработки которых является выявление зависимости основной частоты от времени. Также алгоритмы были применены для анализа интерферограмм при дифракции Фраунгофера лазерного излучения на двух взаимно перпендикулярных щелях.

4. Разработана оригинальная методика обработки сигналов, имеющих форму нормального распределения, на основе анализа их непрерывного вейвлет-преобразования. Центральным звеном метода является возможность восстановления функции с точностью до константы и ошибки порядка одного процента в некотором конечном интервале времени при интегрировании вейвлет-преобразования не в бесконечных пределах, а лишь в очень узкой области, ограниченной как по параметру а так и по параметру b. Итогом явилось написание и тестирование программы автоматического поиска всех гауссовых кривых, содержащихся в сигнале, ошибки в определении математических ожиданий и дисперсий которых не превосходят заданную исследователем величину. Данный код используется в настоящее время для обработки спектрометрических данных в ИТЭФ.

Автор признателен сотрудникам лаборатории 118 ИТЭФ: д.ф.-м.н. проф. Б.Ю.Шаркову и к.ф.-м.н. А.А.Голубеву за поддержку, д.ф.-м.н. М.М.Баско за внимание, проявленное к работе и ценные замечания, к.ф.-м.н. А.Д.Фертману за техническую помощь при написании работы и обсуждение результатов, А.Л.Канцыреву, В.И.Туртикову и к.ф.-м.н. Руд-скому И.В. за полезные обсуждения.

Отдельно хочется поблагодарить ст.н.сотр. МИФИ, к.т.н. И.Н.Швецова-Шиловского за постановку задачи и помощь на начальном этапе работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Борисенко, Никита Андреевич, 2004 год

1. астафьева н.м. Вейвлет-анализ: основы теории и некоторые приложения, УФН, N. 11, с. 1145-1170, 1996.

2. Баско М.М. Предварительный разогрев тяжелоионных мишеней вторичными частицами, Препринт ИТЭФ, Москва 1990.

3. Баско М.М. Диссертация, ИТЭФ, Москва, 1995.

4. Борисенко Н.А. Кулоновское торможение пучка ионов в веществе с учетом эффекта ядерной фрагментации, Физический Факультет МГУ им. Ломоносова, кафедра Атомной Физики, Физики Плазмы и Микроэлектроники, Дипломная работа, январь 2001.

5. ВОРОБЬЕВ В.И., ГРИВУНИН В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования, СПб, ВУС, 1999.10. градштейн И.е., Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм рядов и произведений, М., Физматгиз, 1963.

6. Кормен Т., ЛбЙЗЕРСОН Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ, МЦНМО, М., 2001. Перевод: Cormen Т.Н. et al. Introduction to algorithms, MIT press, Cambridge, 1990.

7. СПИРИДОНОВ В.П. Самоподобие, всплески и квазикристаллы, Компьютерра, N. 8, с.38, 1998.

8. ХАРАТИШВИЛИ Н.Н. Пирамидальное кодирование, М., Мысль, 1997.

9. AkAY M. Wavelet applications in medicine, IEEE Spectrum, May 1997.26. allan J.B., Rabiner L.R. A unified approach to short-time Fourier transform analysis and synthesis, Proc. of IEEE, v. 65, pp. 1558-1564, November 1977.

10. ANTONINI M., BARLAUD M., MATHIEU P., DAUBECHIE I. Image coding using wavelet transforms, IEEE Trans. Image Process, v. 1, pp. 205-220, 1992.

11. Argoul F., Arneodo A., Elezgaray J., Grasseau G.,murenzi r. Wavelet transform of two-dimensional fractal aggregates, Phys. Let. A, v. 135, pp. 327-336, 1989.

12. Argoul F., Arneodo A., Grasseau G., Gagne Y., Hopfinger j., frisch u. Wavelet analysis of turbulence reveals the multifractal nature of the Richardson cascade, Nature, v. 338, pp. 51-53, 1989.

13. Borisenko N.G., Gromov A.I., Merkulyev Yu.A. Microhetero-geneous targets — a new challenge in technology, plasma physics, and laser interaction with matter, J. Moscow Phys. Soc., v. 4, pp. 247-273, 1994.

14. Box G.E.P, muller m.E. A note on the generation of random normal deviates, Annals Math. Stat, v. 29, pp. 610-611, 1958.

15. BURT P., Adelson H. The Laplacian pyramid as a compact image codec, IEEE Trans, on Communications, v. 4, pp. 23-38, 1983.41. calderon A.P. Intermediate spaces and interpolation, the complex method, Stud. Math., v. 24, pp. 113-190, 1964.

16. Casazza P.G., christensen О., К alton N.J. Frames of translates, Collect. Math., v. 52, N. 1, pp. 35-54, 2001.

17. Chambolle A., DeVore R.A., Lee N.Y., Lucier B.J. Nonlinear wavelet image processing: Variational problems, compression, and noise removal through wavelet shrinkage, IEEE Trans. Image Processing, v. 7, N. 33, pp. 319-335, 1998.

18. Christensen 0., Jensen Т.К. An introduction to the theory of bases frames and wavelets, Technical University of Denmark, Department of mathematics, 1999.

19. CHUI Ch.K. An introduction to wavelets, Academic press, N.Y., 1992. Перевод: Чуй К. Введение в вейвлеты, М., Мир, 2001.48. chui С.К. Wavelets: A tutorial гп theory and applications, Academic press, New York, 1992.

20. Chui C.K., schumaker L.L. Wavelets and multilevel approximation, New Jersy, World Scientific, 1995.50. chui c.k. Wavelets: A mathematical tool for signal analysis, Philadelphia, SIAM, 1997.

21. Cohen A., Daubechie I., Feauveau J.C. Biortogonal bases of compactly supported wavelets, Comm. Pure Appl. Math., pp. 485-560, 1993.

22. Cohen A., Daubechie I., Vial P. Wavelets on the interval and fast wavelet transforms, Applied and Computational Harmonic Analysis, v. 1, pp. 54-58, 1993.

23. Criminal Justice Information Services. WSQ grayscale fingerprint image compression specification. Federal Bureau of Investigation, Feb. 1993.

24. Damiani F., Maggio G., Micela G., Sciortino S. A Method Based on Wavelet Transforms for Source Detection in Photon-counting Detector Images. I. Theory and General Properties, The Astrophysical Journal, v. 483, pp. 350-369, 1997

25. Damiani F., Maggio G., Micela G., Sciortino S. A Method Based on Wavelet Transforms for Source Detection in Photon-counting Detector Images. II. Application to ROSAT PSPC Images, The Astrophysical Journal, v. 483, pp. 370-389, 1997.

26. DeVore R.A., lucier B.J. Wavelets, Acta Numerica, Cambridge University Press, v. 1, pp. 1-56, 1992.

27. DONOHO D. Denoising by soft thresholding, IEEE, Trans. On Inform. Theory, v.41, N. 3, pp. 613-627, 1995.

28. Donoho D., Johnstone I., Kerkyacharian G., Pigard D. Wavelet shrinkage: asymptotia. Jour. Roy. Stat. Soc., series B, v. 57, N. 2, pp. 301-369, 1995.

29. Freeman P.Б., Kashyap V., Rosner R., Nichol R.,Holdem В., lamb D.Q. X-Ray Source Detection Using the Wavelet Transform, ASP Conference Series, v. 101, 1996.

30. Goedecker S., ivanov O.V. Frequency localization properties of the density matrix and its resulting hypersparsity in a wavelet representation, Phys. Rev. B, v. 59, N. 11, pp.7270-7273, 1999.

31. Goswami J.C., Chan A.K., Chui C.K. On solving first-kind integral equations using wavelets on a bounded interval, IEEE Trans. Antenna Propag., v. 43, pp. 614-622, 1995.

32. Goswami J.C., Chan A.K. Fundamentals of wavelets, N.Y., John Willey and Sons, 1999.

33. ISO. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement. International Organization for Standardization (ISO) and the International Committee on Weights and Measures (CIPM): Switzerland, 1993.

34. Jawerth В., Sweldens W. An overview of wavelet based multiresolution analyses, SIAM Review, v. 36, N. 3, 1994.82. kaiser G. A friendly guide to wavelets, Birkhauser, 1994.

35. Kowalewicz R., Boggasch E., Hoffmann D.H.H., Laser and Particle Beams, v.14, N. 5, pp. 599-, 1995.

36. LEWALLE J. Tutorial on continuous wavelet analysis of experimental data, available on internet: http://www.ecs.syr.edu/faculty/lewalle/ tutor/tutor.html.

37. Lewis A., Knowles G. Image compression using 2D wavelet transform, IEEE Trans, on Image Process., v. 2, pp. 244-250, 1992.

38. Li C., Zheng Ch., Tai Ch. Detection of ECG characteristic points using wavelet transforms, IEEE, Trans, on Biomedical Engineering, v. 42, N. 1, pp. 21-28, 1995.

39. MAJANI E. Biorthogonal wavelets for image compression, Proc. SPIE Visual Communications and Image Processing, 1994.

40. MALLAT S. Multiresolution approximation and wavelets, Trans. Amer. Math. Soc., v. 315, pp. 69-88, 1989.

41. MALLAT S. A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation, IEEE Trans, on PAMI, v. 11, pp. 674-693,1989.

42. MALLAT S. Zero-crossings of wavelet transform, IEEE, Trans.on Inform. Theory, v. 37, N. 4, pp. 1019-1033, 1991.

43. MALLAT S., ZHONG S. Characterization of signals from multiscale edges, IEEE Trans, on PAMI, v. 14, N. 7, pp. 710-732, 1992.

44. MALLAT S., HWANG W.L. Sigularity detection and processing with wavelets, IEEE Trans on Inform. Theory, v. 38, pp. 617-643, 1992.

45. MALLAT S. A wavelet tour of signal processing, New York: Academic Press, 1998.

46. MANDEL J. On multi-level iterative methods for integral equations of the second kind and related problems, Numer. Math., v. 46, pp. 147-157, 1985.

47. McCandless D.A., Rogers S.K., Hoffmeister J.W., Ruck D.W., Raines R.A., Suter B.W. Wavelet detection of clustered microcalcification, Proc. SPIE Wavelet Appl., v. 2762, pp. 388-399, 1996.

48. Morlet J., Arens G., Fourgeau I., glard D. Wave propagation and sampling theory, Geophysics, v. 38, pp. 608-616, 1982.

49. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical Recipes in C. The Art of Scientific Computing. Second Edition, Cambridge University Press 1992.

50. Pan J., Tompkins W.J. A real time QRS detection algorithm, IEEE Trans. Biomed. Eng., v. 32, pp. 230-236, 1985.

51. PlETKA E. Feature extraction in computerized approach to the ECG analysis, Pattern Recog., v. 24, pp. 139-146, 1991.

52. Restrepo J.M., Leaf G.K. Wavelet-Galerkin discretization of hyperbolic equations,109. rloul o., duhamel p. Fast algorithms for discrete and continuous wavelet transforms, IEEE Trans. Inform. Theory, v. 38, pp. 569-586, 1992.

53. Robertsson J.O.A., Blanch J.O., Symes W.W., Burrus C.S. Galerkin-wavelet modeling of wave propagation: Optimal finite-difference stencil design, TRIP, 1994.111. rosmej O.N. et al. NIM A, v. 495, p. 29, 2002.

54. ROSMEJ O.N. et al. Direct observation of ion stopping dynamics in solid matter, Phys. Rev. Let., to appear.113. ruskai m.b., beylkin G., Coifman r., Daubechies I. Wavelets and their applications, Jones and Barlett, Boston, 1992.

55. SAID A., Pearlman W.A. A new, fast, and efficient image codec based on set partitioning in hierarchical trees, IEEE Trans. Circuits Syst. Video Technol., v. 6, pp. 234-250, 1996.

56. SAID A. An image multiresolution representation for lossless and lossy compression, IEEE Trans. Image Process., v.4, pp.1303-1310, 1996.

57. SMITH S.W. The scientist and enineer's guide to digita signal processing, 2nd edition, California Technical Publishing, 1999.

58. SHAPIRO J.M. Embedded image coding using zerotrees of wavelet coefficients, IEEE Trans. Signal Process., v. 41, pp. 3445-3462, 1993.

59. Sharkov B.Yu., koshkarev D.G., Churazov M.D., Alexeev N.N., Basko M.M., Golubev A.A., Zenkevich P.R. Heavy-ion fusion activities at ITEP, NIM A, v. 415, pp. 20-26, 1998.

60. Sharkov B.Yu., Alexeev N.N., Churazov M.D., Golubev A.A., Koshkarev D.G., Zenkevich P.R. Heavy ion fusion energy program, in Russia, NIM A, v. 464, pp. 1-5, 2001.

61. Simoncelli е., Adelson E. Subband transforms in Woods J. Subband image coding, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA, 1990.

62. Stark J.L., Donoho D.L., С andes E.J. Very high quality image restoration by combining wavelets and curvelets, Wavelet Applications in Signal and Image Processing IX, A. Aldroubi, A. F. Laine, M. A. Unser eds., Proc. SPIE 4478, 2001.

63. Stark J.L., Donoho D.L., Candes E.J. Astronomical image representation by the curvelet transform, Astronomy and Astrophysics, to appear.

64. Strang G., Nguyen T. Wavelets and filter banks, Wellesley, Mass.: Wellesley-Cambridge Press, 1996.

65. VOLKMER H. On the regularity of wavelets, IEEE Trans. Inform. Theory, v. 38, pp. 872-876, 1992.

66. Wetzler H., Tauschwitz A., Hoffmann D.H.H. Laser and Particle Beams, v. 15, N. 3, p. 449, 1997.

67. XlANG Z., Lu Y. An effective matrix transform approach for efficient solutions of electromagnetic integral equations, IEEE Trans. Antennas Propag., v. 45, pp. 1332-1339, 1997.

68. XlE Q.Z., Ни Y.H., TOMPKINS W.J. Neutral-network based adaptive matched filtering of QRS detection, IEEE Trans. Biomed. Eng., v. 39, pp. 317-329, 1992.

69. Xu J., SHANN W. Galerkm-wavelet methods for two-point bounary value problems, Numer. Math., v. 63, pp. 123-144, 1992.