Методы системного анализа робастной устойчивости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор физико-математических наук Зеленков, Геннадий Анатольевич

• Зеленков, Геннадий Анатольевич
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Зеленков, Геннадий Анатольевич

Введение

Глава 1. Анализ методов исследования асимптотической устойчивости линейных систем управления и их обобщение для исследования

1.2 Методы исследования устойчивости и неустойчивости непрерывных линейных систем управления.

1.3 Методы исследования устойчивости и неустойчивости дискретных полиномов, разностных уравнений и их систем.

1.4 Методы локализации и оценки спектров линейных операторов для исследования устойчивости и неустойчивости матриц систем управления.

1.5 Методы исследования знакоопределенности квадратичных форм и их приложение к исследованию устойчивых систем управления.

1.6 Методы вычисления характеристического полинома.

Глава 2. Аналитические методы исследования робастного поведения семейств интервальных полиномов.

2.1 Введение.

2.2 Критерии принадлежности классам (п,к)-эквивалентности семейств интервальных полиномов с вещественными коэффициентами.

2.3 Критерии принадлежности классам (п,к)-эквивалентности семейств интервальных полиномов с комплексными коэффициентами.

2.4 Робастное поведение дискретных интервальных полиномов.

Глава 3. Графические критерии исследования робастного поведения семейств интервальных полиномов.

3.1 Введение.

3.2 Графические критерии робастной устойчивости семейств интервальных полиномов с вещественными коэффициентами.

3.3 Графические критерии робастной устойчивости семейств интервальных полиномов с комплексными коэффициентами.

3.4 Графические критерии принадлежности семейств интервальных полиномов классам (п,к)-эквивалентности. асимптотической неустойчивости. 1.1 Введение.

Глава 4. Методы исследования робастного поведения семейств полиномов с неинтервальными описаниями неопределенности.

4.1 Введение.

4.2 Критерии робастного поведения непрерывных и дискретных аффинных семейств полиномов и семейств полиномов с неинтервальными описаниями неопределенности коэффициентов.

4.3 Исследование робастного поведения семейств полиномов методом допустимых линейных преобразований.

4.4 Критерии существования выпуклых множеств устойчивых и неустойчивых полиномов.

4.5 Робастная ^-стабилизация для объектов, описанных одномерными передаточными функциями.

4.6 Вероятностный подход к исследованию робастного поведения семейств полиномов.

Глава 5. Методы исследования робастного поведения матричных семейств.

5.1 Введение.

5.2 Робастное поведение семейств матриц с k-диагональным преобладанием.

5.3 Робастное поведение семейств матриц с неопределенностью заданной матричными нормами.

5.4 Условия существования выпуклых областей робастной устойчивости в пространстве коэффициентов нестационарных линейных систем управления.

5.5 Условия существование робастной экспоненциальной устойчивости нестационарных линейных систем управления.

5.6 Достаточные условия отрицательной определенности нестационарных линейных систем управления.

5.7 Вероятностный подход к проблеме робастного поведения матриц. 210 Заключение. 216 Литература. 218 Приложение.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы системного анализа робастной устойчивости»

Стремительное развитие науки, техники и технологий на современном этапе является причиной ускорения фундаментальных исследований в области моделирования, управления, качественного и количественного анализа динамики сложных систем. Поэтому, необходимо разрабатывать новые качественные и количественные методы исследования поведения решений динамических систем, построения программных управлений, поиск условий устойчивого, надёжного и безопасного функционирования сложных динамических систем, имеющих различные особенности. В настоящее время создание новых технологий, сложных информационных и технических систем не может обойтись без развития фундаментальной науки в различных отраслях знаний.

Анализ направлений развития науки, существующие научные публикации и тематика международных научных конференций, убедительно говорят о том, что приоритетными задачами, стоящими перед цивилизацией в XXI веке является следующий неполный перечень:

- создание новых космических технологий и ракетно-космических систем;

- создание нетрадиционных энергетических технологий;

- создание общемировой системы связи с использованием спутниковых и лазерных систем;

- глобальное решение транспортной проблемы;

- создание новых биотехнологий;

- создание многофункциональных гибких автоматизированных систем;

- создание нанотехнологий;

- создание глобальных систем прямого влияния на климат. Следствием этих глобальных задач является необходимость разработки управления для контроля и минимизации негативных последствий развития цивилизации. Создание управления и технологий для защиты и противодействия глобальным угрозам, таким как климатические, 4 биологические, сверхточное ракетно-космическое и психотропное оружие. Сюда можно отнести и терроризм, который может воспользоваться любым достижением новых технологий.

Решение этих проблем не может быть осуществлено без серьёзной научной проработки, создания математических моделей и методов исследования динамики функционирования сложных систем с учётом надёжности и безопасности, исследования взаимных соотношений между отказоустойчивостью и эффективностью.

В настоящее время, в промышленно развитых странах, развитие современных средств производства и транспорта, в первую очередь, характеризуется созданием всё более сложных технических систем и технологических процессов. При эксплуатации этих технических систем и технологических процессов, в связи с увеличением числа составляющих их элементов и усложнением взаимосвязи между ними, естественным образом, на практике, увеличивается интенсивность отказов, что приводит к увеличению числа крупных технических и техногенных катастроф [79, 119]. В последнее время это практически подтверждается увеличением числа различных аварий и катастроф в развитых странах (отказы на АЭС, массовое отключение электричества, аварии на транспорте и т.д.). В связи с этим возникает задача обеспечения безопасности динамики функционирования технических систем и технологических процессов зависящих от многих параметров и характеризуемых нелинейными связями.

Таким образом, одной из важнейших проблем современного производства, является развитие фундаментальных научных исследований в области обеспечения динамической безопасности функционирования сложных технических систем и технологических процессов. В первую очередь, это касается использования, в качестве объекта исследования, адекватных динамических моделей и создания математических методов исследования их динамической безопасности.

Сделаем небольшой исторический экскурс к постановке и выбору тематики, рассмотренной автором в диссертационном исследовании.

Теория автоматического управления находится в процессе интенсивного развития. При этом существенно меняются взгляды как на предмет, так и основные проблемы этой теории, также как и используемый математический аппарат.

В XIX веке главным объектом исследования были автоматические регуляторы производственных процессов, такие как регулятор Уатта для паровой машины. Было введено важнейшее понятие устойчивости регулируемого процесса и получены первые критерии устойчивости линейных систем, выражаемые в терминах характеристического полинома (Максвелл, Раус, Вышнеградский, Гурвиц, Стодола, [95, 109, 111, 116]). В работах A.M. Ляпунова были получены первые результаты по устойчивости нелинейных систем, опирающиеся на фундаментальную идею введения функции Ляпунова [94].

В 30-е годы XX века, с появлением телефонии и радиосвязи, основным аппаратом теории становятся частотные методы и соответствующие частотные критерии устойчивости (Найквиста, Михайлова, [109, 111]). Эти методы в 1940-50-е годы распространяются на импульсные и дискретные системы (Цыпкин, Джури, [32, 133]) - такие системы приобретают особую роль в связи с появлением цифровой вычислительной техники и некоторых классов нелинейных систем (Лурье, Айзерман, Попов, [1, 93, 113]).

Однако в конце 1950-х годов вновь происходит обновление в теории управления. В связи с развитием ракет и космонавтики возникает совершенно новый аппарат описания систем управления - описание в пространстве состояний. Иначе говоря, движение системы подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению (вообще говоря, нелинейному), в правой части которого стоит функция, которая может выбираться проектировщиком (управление). Более того, возникла фундаментальная идея оптимальности -выбор управления должен оптимизировать некоторый показатель качества. Был разработан принцип максимума Понтрягина [109], который дал необходимое условие оптимальности управляемой системы. Работы специалистов по управлению (Калман, Беллман, Летов, [12, 80, 107]) показали важность и продуктивность созданной теории оптимального управления.

В то же время постепенно выяснилось, что такая теория адекватно описывает лишь сравнительно узкий круг практических задач, таких как управление космическим полётом или наведение ракет. В остальных ситуациях имеется масса факторов, препятствующих применению красивой математической теории оптимального управления. Во-первых, в каждой задаче имеется неизбежная неопределённость, связанная либо с наличием внешних возмущений, либо с невозможностью точно определить параметры модели. Во-вторых, в теории оптимального управления решение ищется в виде функции от времени (программное управление). Ясно, что необходимость строить стратегию управления заранее является крайне нежелательной. Для инженера гораздо более естественно выбирать управление в форме обратной связи, как функцию от выхода системы в текущий момент (задача синтеза).

Эта критика вызвала очередную переоценку теории управления в 1970-е годы. В инженерной практике происходит возврат к классическим способам регулирования с помощью простых регуляторов (типа ПИД) и к простым методам их настройки. В теории восстанавливается интерес к частотным методам: они обобщаются на случай многомерных систем (Розенброк, [177]). Однако настоящие революционные изменения произошли в 1980-е годы.

Возникла так называемая Я* -теория (Зеймс, Френсис, Дойл, Гловер, [110, 155, 157, 161, 189]); она позволила объединить частотные методы и методы пространства состояний и по-новому ставить оптимизационные задачи. Эта же постановка позволила рассматривать задачи с неопределённостью (робастное управление), именно задачи, в которых частотная характеристика объекта имеет неопределённость, ограниченную в Н -норме. Появились и другие постановки задач робастного управления, в которых неопределённость может быть задана иначе - либо как параметрическая, либо как ограниченная в матричной норме при описании в пространстве состояний. При этом были найдены многие красивые решения отдельных задач; например, задача о робастной устойчивости интервального полинома допускает очень простой ответ (теорема Харитонова, [131]). Был создан математический аппарат, позволяющий единообразно исследовать различные виды неопределённостей

- //-анализ (Дойл, [100, 155]). Помимо -теории и робастности, новое решение получил ряд других разделов теории управления. Так, задача о подавлении внешних возмущений привела к появлению так называемой оптимизации (Барабанов-Граничин, Пирсон-Далех, [100, 111, 152]). Новый математический аппарат, оказавшийся чрезвычайно удобным, связан с линейными матричными неравенствами. Эти неравенства возникли ещё в 1960-е годы в ряде задач управления (Якубович, Виллемс, [97, 138, 183]); позже выяснилось (Бойд, [149]), что они представляют собой очень общий метод анализа и синтеза линейных систем. Наличие эффективных программ решения линейных матричных неравенств сделало этот аппарат весьма эффективным с вычислительной точки зрения.

Таким образом, за последние 20 лет теория управления претерпела очень большие изменения, расширившись за счёт новых направлений проблем инициированных новейшим этапом развития человечества в XXI веке.

Важнейшим из новых направлений является теория робастной устойчивости, получившая развитие буквально в последние 20-25 лет. Вернёмся опять к истокам.

В очерках истории автоматического управления [109] Ю.П. Петров приводит интересный факт, заключающийся в том, что регуляторы Д. Уатта для паровых машин переставали устойчиво работать при повышении их мощности и имели тенденцию к неустойчивой работе и самораскачиванию. Выдающийся английский физик Д.К. Максвелл поставил задачу исследования «странного» поведения этих устройств. Однако, в своей работе «О регуляторах» (1868) не дал чётких практических рекомендаций для обеспечения устойчивости работы этих устройств. Только спустя 20 лет русский инженер И.А. Вышнеградский сумел решить эту проблему. Он построил первую математическую модель всех регуляторов подобного вида. С его работы «О регуляторах прямого действия» берет начало современная инженерная теория автоматического регулирования [95]. Фактически, он нашёл те параметры конструкций регулятора, которые существенным образом влияют на устойчивость его работы. Более того, И.А. Вышнеградскому удалось найти допустимые границы изменения этих параметров, в рамках которых работа регулятора должна носить устойчивый характер. Эти фундаментальные исследования можно считать «предтечей» нового направления в теории устойчивости, а именно робастной устойчивости. Заметим, что впервые ввел аналогичное понятие (устойчивость грубых систем) по А.А. Андронов еще в 1937г. Конечно, базой развития новой (робастной) теории являются достижения классической теории устойчивости динамических систем.

Основные подходы к созданию аналитических методов устойчивости и её приложений были разработаны (см. литературу) такими учёными как A.M. Ляпунов, Н.Н. Красовский, Н.Г. Четаев, А.Н. Крылов, К.П. Персидский, Е.А. Барбашин, А.А. Андронов, А.А. Марков, В.В. Румянцев, Н.П. Еругин, JT.A. Эсгольц, В.И. Зубов, Ю.А. Митропольский, В.М. Матросов, А.Н. Тихонов, В.В. Степанов, Н.Н. Боголюбов, В.В. Немыцкий, Н.М. Крылов, Б.С. Разумихин, А.Д. Мышкис, С.Н. ИГиманов, М.Г. Крейн, А.А. Воронов, Б.Г. Болтянский, И.Г. Малкин, Б.П. Демидович, A.M. Летов, В.В. Семенов, А.А. Первозванский, Р. Беллман, Дж. Хейл, Т. Йошидзава, Ж.П. Ла-Салль и другими крупными отечественными и зарубежными математиками и их научными школами. Методы исследования нелинейных динамических систем управления по первому линейному приближению получили наиболее полное развитие трудами Э. Рауса, А. Гурвица, А.В. Михайлова, Найквиста, Е.П. Попова, Л.С. Понтрягина, всех перечислить невозможно (многие остались неизвестными из-за режима секретности в период холодной войны).

Однако, математические модели учёта неопределённости в динамических системах управления появились гораздо позже новаторских работ И.А. Вышнеградского - почти через сто лет.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. При моделировании систем управления учет неопределенности всегда являлся одной из основных задач. Одна из первых моделей неопределенности (нелинейная) была предложена в работах А.П. Лурье ([93], 1951), М.А. Айзермана и Ф.Р. Гантмахера ([1], 1963). Модели параметрической неопределенности в линейных системах появились позднее. Их систематическое изучение начал И. Горовиц ([28], 1970). Важное направление в анализе неопределенности связано с моделью неизвестных, но ограниченных возмущений. Большой вклад в это направление внесли А.Б. Куржанский и Ф. Л. Черноусько [89, 135]. Модели частотной неопределенности интенсивно разрабатывались в 1980 гг., вероятностный подход к робастности получил большое развитие в последние 10-15 лет [111, 150, 172,182,185].

Задачу об устойчивости интервального семейства полиномов впервые подробно рассмотрел S. Faedo ([156], 1953). Однако, он получил только достаточные условия робастной устойчивости, основанные на интервальном аналоге алгоритма Рауса. Более ранний результат по робастной устойчивости получили Л. Заде и Ч. Дезоер [39]. Затем В.Л. Харитонов доказал критерий устойчивости интервального семейства полиномов, что являлось большим продвижением в этой области ([131], 1978). Далее, в этом направлении, в качестве наиболее известных результатов, можно отметить реберную теорему - полученную в 1988 г. (А.С. Bartlett, C.V. Hollot, Н. Lin) и графический критерий робастной устойчивости полиномов доказанный - в 1990 г. (Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин, [111]).

Основными задачами робастной устойчивости, с одной стороны, являлось определение границ устойчивости в пространстве параметров системы первого приближения (И.А. Вышнеградский [95]), а с другой, получение оценок области асимптотической устойчивости расчетных режимов исходных систем.

Исследование устойчивости систем управления при наличии неопределенности в пространстве параметров (робастная теория) является весьма важным и актуальным направлением научных исследований, т.к. позволяет, на этапе проектирования, определить, является ли устойчивым весь класс рассматриваемых систем. Это позволяет обеспечить безопасное функционирование управляемого объекта, несмотря на то, что в процессе изготовления и эксплуатации его параметры хотя и могут отличаться от расчетных, но гарантировано будут отвечать устойчивому поведению этого объекта, т.к. они принадлежат области робастной устойчивости. Заметим, что разработка методов решения задач робастной устойчивости, является весьма сложной проблемой. Например: устойчивость всех вершинных и реберных матриц семейства не обеспечивает робастной устойчивости всего этого семейства и, поэтому на практике, усилия инженеров и конструкторов направлены на решение конкретных задач. Для робастной устойчивости матриц вопросов еще много, например, задача о робастной устойчивости интервальных матриц и т.д. >

Методы расчета робастной устойчивости систем управления (робастное управление) включают в себя как известные подходы, например, теорию возмущений [132], так и новые: //-анализ (J.C. Doyle, A. Packard, Б.Т. Поляк, [111, 155]) и вероятностный подход к робастности (R.F. Stengel, L.R. Ray, R.Tempo [182, 185] и др.).

Разработке и созданию методов исследования различных задач робастной устойчивости посвящено множество работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как И.А. Вышнеградский, Я.З. Цыпкин, Б.Т. Поляк, В.Л. Харитонов, П.С. Щербаков, А.С. Немировский, Ю.П. Петров, М.Г. Сафонов, B.R. Barmish, J. Ackermann, V. Blondel, J. Kogan, R. Tempo, D.D. Siljak и др (см. литературу).

Актуальность исследований робастной устойчивости в системах управления диктуется, во-первых, современными потребностями науки и техники и ее приложениями в практических задачах, связанных с конструированием и моделированием процессов управления в технике, экономике, биологии и т.д.; во-вторых, наличием большого числа нерешенных задач, прямо связанных с инженерной практикой. Фактически, результаты, полученные в теории робастной устойчивости, позволяют обеспечивать динамическую безопасность управляемых систем на этапе их конструирования и эксплуатации.

Однако до сих пор в научных исследованиях и инженерной практике избегали объектов с неустойчивыми режимами эксплуатации. Поэтому в теории эти случаи рассматривались редко и мало [171, 188]. Развитие техники и новых технологий показали, что явление неустойчивости является не только пограничным явлением к устойчивым режимам, но и, как показали математические исследования, является преобладающим с ростом размерности систем. С другой стороны, неустойчивость может быть полезной во многих случаях - это давно замечено в природе и использовалось человеком ещё до промышленной эры: переход человека в вертикальное положение (неустойчивое состояние) упростило передвижение (ходьба) и быстрое перемещение (бег); использование уже в древности различных балансиров («журавль» для подъема воды и грузов, качели, шлагбаумы, шест для хождения по канату или бревну); управление телом спортсмена упрощается в свободном полете (батутист, парашютист, движения бойцов боевых искусств, прыжки с вышки в воду); неустойчивые (беспорядочные) движения противника мешают другой стороне быстро строить свою стратегию (теория игр); при игре в городки или боулинг надо сообщать палке или мячу неустойчивое (хаотичное) движение, чтобы произвести максимальные разрушения.

Перечислим несколько технических примеров, когда можно использовать неустойчивость объекта или процесса при переходе из одного устойчивого режима на другой устойчивый режим через промежуточное неустойчивое состояние: выход катера из воды на подводные крылья; старт экраноплана с водной поверхности с переходом на полет над водой; посадка и взлёт самолёта; подъём подлодки из глубины на поверхность.

Понятие устойчивости по части переменных даёт примеры в целом неустойчивого движения или режима эксплуатации: юла и гироскопы; кручение снаряда в плоскости перпендикулярной движению; кувыркание пули или ножа со смещённым центром тяжести вдоль траектории полёта; движение ракет и космических беспилотных аппаратов часто не требует устойчивости по всем фазовым переменным.

Ещё несколько примеров из военной области: маневрирование военного истребителя и уход объекта от преследования удобнее выполнять на неустойчивых режимах; чтобы сбить ракету или самолёт с траектории (что равносильно уничтожению) надо перевести их в неустойчивый режим полёта.

Управление в чрезвычайных ситуациях в условиях угрозы техногенных катастроф или глобальных природных катаклизмов может потребовать быстрой смены состояния системы при минимальных затратах энергии. Это возможно когда переход (осуществляется, по выше приведенной схеме, т.е. устойчивое движение --> неустойчивое движение --> устойчивое движение. Гипотетически, можно предположить, что по такому сценарию придётся отклонить движение астероида или крупного метеорита от Земли. Для быстрой смены состояния катастрофического размножения вирусов, грызунов, саранчи и т.д., нужно перевести биологическую популяцию в неустойчивое состояние (например, подавление иммунитета или потеря ориентации) с целью успешного управления развитием в нужном направлении.

Примеры из области социологии и политологии: приведение общества в неустойчивое положение обычными средствами (голод, гиперинфляция, безработица, беззаконие) даёт возможность лёгкого манипулирования (управления) поведением населения; создание неустойчивости на бирже может быть следствием управления в чьих-то целях и спровоцировать переход рынка в другое состояние. Пример из новейшей истории: можно назвать политическую систему в СССР до перестройки, хотя и не привлекательной (для одних), но, в целом, устойчивой в своей стагнации, а время перестройки даёт пример более привлекательного (для других) режима, но неустойчивого на тот период состояния России.

Таким образом, необходимость исследований неустойчивых процессов в природе, технике и в обществе диктуется следующими причинами: в известном смысле устойчивость это значительно более редкое явление, чем неустойчивость; хотя неустойчивые режимы в технике всегда избегали, но знание областей параметров неустойчивых режимов позволит их обойти; имеется довольно много примеров в технике, когда управление объектами в неустойчивом режиме значительно легче и удобнее, когда критерием качества управления является минимизация времени и энергозатрат; в науке давно известно, что с ростом порядка системы её устойчивость становится редким явлением (вероятность получить устойчивую случайную матрицу стремится к нулю с ростом порядка см. приложение); в условиях противодействия движение устойчивой системы легче прогнозируется противником, а движение неустойчивых объектов мало предсказуемо, что может быть благом для первой стороны; перевод объекта или процесса из одного устойчивого состояния в другое устойчивое состояние за минимальное время и при минимальных затратах энергии возможен через неустойчивое промежуточное состояние; изучение только устойчивых систем является однобоким, т.к. устойчивость и неустойчивость - две стороны одного явления -асимптотического поведения динамических систем; устойчивая система (объект, процесс) обладает большой инерционностью к смене состояния (что не всегда хорошо) и хуже поддаётся управлению в чрезвычайных ситуациях, когда минимизация времени и энергозатрат являются главными.

Резюмируя вышесказанное, можно сказать, что исследование неустойчивости динамических систем является востребованным и этому посвящена настоящая работа.

Исследование проводится с единых позиций - системного анализа робастного поведения управляемых систем в целом, при этом робастная устойчивость этих систем рассматривается как частный случай робастной неустойчивости.

Целыо диссертационного исследования является разработка и развитие аналитических и вычислительных методов исследования устойчивости и неустойчивости систем управления, включающих методы исследования, как робастной устойчивости, так и робастной неустойчивости этих систем.

Областью исследования являются теоретические основы и прикладные методы системного анализа робастной устойчивости и неустойчивости управляемых динамических систем рассматриваемых в первом приближении.

Методы исследований. В работе применяются как классические методы теории устойчивости (при точном описании систем управления), так и методы робастной теории устойчивости (при неопределенности в описании этих систем). Кроме того, используются методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, алгебры, математического анализа и математического программирования.

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, основаны на известных достижениях в теории устойчивости, робастной теории и корректности поставленных задач. Все доказательства утверждений являются строгими и основаны на выводах фундаментальных наук, таких как математический анализ, теория функций и функциональный анализ, дифференциальные уравнения, алгебра, выпуклый анализ, теория матриц, теория вероятности.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в комплексном исследовании робастной устойчивости и неустойчивости линейных стационарных и нестационарных систем управления, результатом которого стало, создание новых и развитие наиболее известных критериев робастного поведения непрерывных и дискретных систем, как в пространстве коэффициентов характеристического многочлена, так и в пространстве параметров самой системы. Этот подход является продвижением в развитии методов системного анализа, исследования робастной устойчивости и робастной неустойчивости нелинейных систем по первому приближению, что позволяет установить границы допустимых отклонений параметров исходной системы от расчетных, при которых система остается устойчивой или остается неустойчивой. Фактически, разработанные методы исследования робастной неустойчивости позволяют проводить исследование робастной устойчивости, как частного случая робастной неустойчивости.

Практическая значимость. На основе результатов диссертации созданы новые эффективные критерии исследования робастной устойчивости и неустойчивости систем первого приближения, позволяющие проводить системный анализ робастного поведения динамических систем для различных типов неопределенности, как в пространстве параметров самих систем, так и в пространстве коэффициентов их характеристических многочленов. Причем, эти результаты обобщены и на комплексный случай. Комплекс критериев и условий, а также разработанных на их основе алгоритмов позволяет исследовать и решать проблему динамической безопасности объектов системно, т.е. исследовать не только границы изменения параметров сохраняющих устойчивость, но и совокупность параметров оставляющих систему неустойчивой. Полученные автором новые прикладные методы системного анализа позволяют разрабатывать более эффективные системы управления, что дает возможность значительно снизить затраты ресурсов, средств и времени на разработку современных систем. Кроме того, отдельные теоретические положения, полученные в диссертации, являются существенным вкладом в теорию робастной устойчивости, а также представляют новые возможности при решении матричных уравнений и неравенств. Результаты работы использованы для разработки новых спецкурсов по теории устойчивости в условиях неопределенности и чтении общих курсов, таких как дифференциальные уравнения, теория управления и методы численного анализа.

Реализация результатов. Результаты диссертации использованы в научно-производственном объединении «Машиностроение», а так же в научно-исследовательской работе, проводящейся в Кубанском ГУ и МГА им. адмирала Ф.Ф. Ушакова. По результатам диссертации планируется издание нескольких учебных пособий и монографий, из которых два учебных пособия и одна монография были опубликованы.

Личный вклад автора в проведенные исследования. В диссертацию вошли только те результаты, которые получены лично автором. Все результаты других авторов, упомянутых в диссертации, носят справочный характер и имеют соответствующие ссылки. Всем соавторам принадлежит рассмотрение технических вопросов и частных случаев.

Апробация работы. По результатам работы автором были сделаны доклады на 7-ми международных, 1-ой всероссийской и 2-х региональных конференциях, проходивших в Москве, Санкт-Петербурге, Саранске, Самаре, Новосибирске, Чебоксарах, Ростове - на - Дону, Новороссийске. Результаты также обсуждались на научных семинарах в Вычислительном центре имени А.А. Дородницына РАН, Московском физико-техническом институте, Институте системного анализа РАН, а так же на семинарах КубГУ и МГА им. адмирала Ф.Ф. Ушакова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 34 научных работы, включая 1 монографию и 2 учебных пособия.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Главы состоят из параграфов. В каждой главе используется своя автономная нумерация формул и теорем. Объем диссертации 249 страниц. Список литературы содержит 189 наименований.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Зеленков, Геннадий Анатольевич

Заключение

Исследования и результаты, полученные в диссертации, являются системными. Во-первых, они направлены на получение новых и усиление известных методов исследования робастной устойчивости. Во-вторых, они реализуют системный подход к анализу самой робастной устойчивости, ранжируя ее по порядку системы, по способу описания неопределенности, по особенностям задачи, по числовым полям принадлежности коэффициентов и параметров, по удобству использования тех или иных критериев и подходов и т.д. В-третьих, полученные результаты использованы для создания общего подхода к проблеме робастности, а именно, исследования, как робастной устойчивости, так и робастной неустойчивости. Точнее, разработаны критерии принадлежности ро-бастных линейных систем классам (n,k) - эквивалентности, в которых при к = О получим устойчивость семейства матриц, а при к = \,п — неустойчивость. В-четвертых, получены отдельные результаты, относящиеся не только к теме исследования, но и имеющие значение выходящее за его рамки.

1. Сделан обзор и проведен анализ методов исследования робастной устойчивости для различных типов неопределенности при описании линейных систем. Приведены новые доказательства известных результатов и сделаны обобщения некоторых аналитических и графических критериев.

2. Сформулирован и доказан новый графический критерий для комплексных интервальных полиномов. Сняты ограничения в графическом критерии Ципкина-Поляка в вещественном случае.

3. В рамках нового подхода, исследования робастной устойчивости семейств полиномов принадлежащих классу (n,k) - эквивалентности, получены новые аналитические и графические критерии, для которых известные критерии робастной устойчивости являются частным случаем.

4. Для робастных одномерных систем управления введено понятие к-стабилизации, и доказаны обобщения известных теорем по робастной стабилизации открытых систем с помощью единичной обратной связи.

5. Введено новое понятие ^-диагональной матрицы и доказаны обобщения теорем о робастной сверхустойчивости и сверхнеустойчивости матричных семейств.

6. Получены условия экспоненциальной устойчивости робастных нестационарных систем управления и показана их прямая связь с асимптотическим поведением чисел спектра матриц возле мнимой оси.

7. Показано, что метод допустимых линейных преобразований коэффициентов характеристического полинома, сохраняющих их устойчивость и позволяющий строить новые устойчивые выпуклые множества Гурвица можно использовать для построения выпуклых множеств неустойчивых полиномов, т.е. классов (n,k) - эквивалентности.

8. Получены аналитические и графические критерии существования и методы построения устойчивых выпуклых множеств, как в пространстве коэффициентов характеристических полиномов, так и в пространстве параметров самой системы первого приближения в нестационарном случае.

9. Доказано, что при некоторых условиях имеется взаимнооднозначная связь между собственными числами нестационарной матрицы первого приближения с отрицательной определенностью ее квадратичной формы.

10. С помощью метода понижения порядка получены эффективные критерии знакоопределенности квадратичных форм, удобные для программной реализации.

11. С помощью квадратичных форм получено простое доказательство неравенств для спектров вещественных и комплексных матриц.

12. Получено обращение теоремы Кэли-Гамильтона-Фробениуса.

13. Построены алгоритмы и проведено большое количество численных экспериментов, подтверждающих теоретические результаты.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Зеленков, Геннадий Анатольевич, 2007 год

1. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М.: Издательство АН СССР, 1963.

2. Александров А.Ю., Александрова Е.Б., Екимов А.В., Смирнов Н.В. Сборник задач и упражнений по теории устойчивости. СПб.: СПбГУ, 2003. - 164с.

3. Александров А.Ю., Жабко А.П. Устойчивость разностных систем СПб.: Изд. СпбГУ, 2003.- 112 с.

4. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.

5. Андриевский Б.Р., Фрадков A.JI. Избранные главы теории автоматического управления. СПб.: Наука, 1999.

6. Андриевский Б.Р., Фрадков A.J1. Элементы математического моделирования в программных средах Matlab 5. Scilab. СПб.: Наука, 2001.

7. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998.

8. Барабанов А.Т. Полное решение проблемы Рауса в теории регулирования, Доклады АН СССР, 1988. Т. 301, № 5, с. 1061-1065.

9. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. - 223 с.

10. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. - 352с.

11. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954.-215 с.

12. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О. Некоторые вопросы математической теории процессов управления. М.: ИЛ, 1962.

13. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1966.

14. Блистанова Л.Д., Зеленков Г.А., Косюг В,И. Построение систем непрерывной стабилизации. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. Выпуск 7. М.: ВЦ РАН, 2005, с. 44-50.

15. Блистанова Л.Д., Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Косюг В.И. Критерий матричной устойчивости для систем с последействием. Сборник трудов международной конференции «Устойчивость и процессы управления». Т. 1. СПб.: НИИ Химии СПбГУ. 2005, с. 330 338.

16. Блистанова Л.Д., Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Косюг В.И. Непрерывная стабилизация в системе с постоянным запаздыванием. Сборник трудов международной конференции «Устойчивость и процессы управления». Т. 1. СПб.: НИИ Химии СПбГУ. 2005, с. 335 338.218

17. Блистанова Л.Д., Зубов И.В., Зубов Н.В., Северцев Н.А. Конструктивные методы теории устойчивости и их применение к задачам численного анализа: Учебное пособие. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2002. - 119 с.

18. Булгаков Б.В. О накоплениях возмущений в линейных колебательных системах с постоянными параметрами // Докл. АН СССР. 1946. Т.5, вып. 5. С. 339342.

19. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2002.

20. Вишняков А.Н., Поляк Б.Т. Синтез регуляторов низкого порядка для дискретных систем управления при наличии неслучайных возмущений // Автом. телемех. 2000. №9. С. 112-119.

21. Воеводин В.В., Кузнецов В.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

22. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем. М.: Энергия, 1980.

23. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979.

24. Гантмахер Ф.Д. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 576с.

25. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.

26. Горовиц И. Синтез систем с обратной связью. М.: Сов. Радио, 1970.

27. Гребенников Е.А., Митропольский Ю.А., Рябов Ю.А. Методы усреднения в резонансной аналитической динамике. М.: Янус, 1999. 301 с.

28. Дедков В.К. Методы прогнозирования индивидуальных показателей надежности. М.: ВЦ РАН, 2003.

29. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Высшая школа, 1967. - 472с.

30. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования. М.: Физ-матгиз, 1963.

31. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем: перев. с англ. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1979. - 304 с.

32. Дивеев А.Н., Северцев Н.А. Метод выбора оптимального варианта технической системы. М.: ВЦ РАН, 2003. 105с.

33. Дикусар В.В., Зеленков Г.А., Зубов Н.В. Определение местоположения собственных чисел матрицы с помощью квадратичных форм. Труды Института системного анализа РАН «Динамика нелинейных систем». Выпуск 17(1). СПб.: «Мобильность плюс», 2005, с. 108-111.

34. Егоров А.И. Основы теории управления. М.: Изд-во "Физико-математическая литература", 2004. - 503 с.

35. Жабко А.П., Прасолов B.J1., Харитонов B.JI. Сборник задач и упражнений по теории управления: стабилизация программных движений. М.: Высшая школа, 2003. - 285с.

36. Заде JL, Дезоер Ч. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970. 704 с.

37. Зеленков Г.А. Вычислительные матричные методы исследования переходных процессов. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. Выпуск 6(2). М.: ВЦ РАН, 2004, с. 46 49.

38. Зеленков Г.А. Критерий «сверхустойчивости» для систем с последействием по первому приближению. Сборник статей ВЦ РАН «Вопросы Теории безопасности и устойчивости систем». Выпуск 7. М.: ВЦ РАН. 2004, с. 37 43.

39. Зеленков Г.А. Матричные критерии робастной устойчивости. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 9(2). М.: Изд-во «КомКнига», 2005, с. 126 135.

40. Зеленков Г.А. Асимптотическое поведение целых функций. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 9(2). М.: Изд-во «КомКнига», 2005, с. 113 125.

41. Зеленков Г.А. Робастная устойчивость в системах первого приближения. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. Выпуск 7(2). М.: ВЦ РАН, 2005, с. 13-15.

42. Зеленков Г.А. Устойчивость нестационарной матрицы системы первого приближения и ее Жорданова форма. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. Выпуск 7(2). М.: ВЦ РАН, 2005, с. 16-19.

43. Зеленков Г.А. О графических критериях робастной устойчивости интервальных полиномов. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем», № 10(2), с. 181 187,2006.

44. Зеленков Г.А. Критерии (п,^-эквивалентности неустойчивых полиномов. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем», № 10(2), с. 165 174,2006.

45. Зеленков Г.А. О графических критериях устойчивости комплексных интервальных полиномов. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем», № 10(2), с. 175-180, 2006.

46. Зеленков Г.А. Аналитические и численные методы построения характеристического многочлена: Монография. Новороссийск: МГА им. адм. Ф.Ф. Ушакова, 2007. - 128 с.

47. Зеленков Г.А. Обобщение принципа исключения нуля для неустойчивых полиномов. Материалы XV международной конференции «Математика. Образование». Чебоксары: Изд-во Чувашского университета, 2007, 234 с.

48. Зеленков Г.А., Зубов И.В. Необходимые и достаточные условия существования аттрактора для нелинейной системы. Известия ВУЗов СевероКавказский регион. Технические науки. Приложение № 3. Ростов-на-Дону. РГУ, 2006, с. 9-11.

49. Зеленков Г.А., Зубов И.Н. Решение обратной задачи Гамильтона-Кэли -Фробениуса. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 10(1). М.: Изд-во «КомКнига», 2005, с. 163- 165.

50. Зеленков Г.А. Зубов И.Н. Критерии робастной неустойчивости для полиномов различных классов. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем», № 10(2), 2006, с. 188 190.

51. Зеленков Г.А., Зубов Н.В. О связи локализации спектров произвольной матрицы и ее эрмитовых составляющих. Труды МГА им. адм. Ф.Ф. Ушакова. Том 11. Новороссийск, 2006, с. 25 26.

52. Зеленков Г.А. Зубов И.Н. О робастной неустойчивости полиномов. Труды четвертой Всероссийской научной конференции. Часть 4. Самара: СГТУ, 2007, с. 44-46.

53. Зеленков Г.А., Зубов Н.В. О границах спектра матрицы линейного оператора в унитарном пространстве. Труды XIII международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Москва-Пущино, Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007.

54. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Косюг В.И. Критерии существования систем непрерывной стабилизации при постоянных запаздываниях. Сборник статей ВЦ РАН «Вопросы Теории безопасности и устойчивости систем». Выпуск 7. М.: ВЦ РАН. 2004, с. 50-56.

55. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Мухин А.В. Критерии устойчивости систем с последействием на конечном интервале времени. Известия ВУЗов СевероКавказский регион. Технические науки. Спецвыпуск.Часть 2. Ростов-на-Дону. РГУ, 2006, с. 49-51.

56. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Мухин А.В. Оценки устойчивости систем с последействием на конечном интервале времени. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. Выпуск 8. М.: ВЦ РАН, 2006, с. 92 97.

57. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Неронов В.Ф. Критерии существования выпуклых множеств неустойчивых многочленов. Труды Института системного анализа РАН «Динамика нелинейных систем». Выпуск 17(1). СПб.: «Мобильность плюс», 2005, с. 145 148.

58. Зеленков Г.А., Лопатин М.С. Оптимальная локализация спектров линейных операторов в системе MATLAB. Труды четвертой Всероссийской научной конференции. Часть 4. Самара: СГТУ, 2007, с. 46 48.

59. Зеленков Г.А., Стрюк Е.В. О существовании выпуклых областей устойчивости в пространстве коэффициентов системы первого приближения. Сб. научных трудов. Выпуск 9. Новороссийск. РИО НГМА. 2004, с. 12 14.

60. Зеленков Г.А., Стрюк Е.В. О методах построения характеристического многочлена. Труды Института системного анализа РАН «Динамика нелинейных систем». Выпуск 17(1). СПб.: «Мобильность плюс», 2005, с. 149-165.

61. Зеленков Г.А., Стрюк Е.В. О робастной устойчивости матриц линейных динамических систем первого приближения. Известия ВУЗов СевероКавказский регион. Приложение. №2. Естественные науки. Ростов-на-Дону: РГУ, 2006, с 6-9.

62. Зубов В.И. Проблема устойчивости процессов управления. СПб.: СПбГУ, 2001.-353с.

63. Зубов И.В. Методы анализа динамики управляемых систем. М.: Физматлит, 2003.-223с.

64. Зубов Н.В. Математические методы исследования динамической безопасности. М.: ВЦ РАН, 2007. - 772 с.

65. Зубов Н.В., Зеленков Г.А. Оценка спектра матрицы линейного оператора в унитарном пространстве. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем», № 10(2), 2006, с. 191 198.

66. Зубов И.В., Зеленков Г.А., Мухин А.В. Единая система вычислительных алгоритмов. Известия ВУЗов Северо-Кавказский регион. Технические науки. Приложение № 3. Ростов-на-Дону. РГУ, 2006, с. 11 15.

67. Зубов Н.В., Зеленков Г.А., Мухин А.В. Критерии устойчивости систем с последействием на конечном интервале времени. Известия ВУЗов СевероКавказский регион. Технические науки. Спецвыпуск.Часть 2. Ростов-на-Дону. РГУ, 2006, с. 48-51.

68. Зубов Н.В., Русакова Я.А., Стрюк Е.В. О методе «понижения порядка» в вычислительной практике. Сборник трудов международной конференции «Устойчивость и процессы управления». СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2005, с. 374-377.

69. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984.

70. Ильичев А.В., Северцев Н.А. Эффективность сложных систем. Динамические модели. -М.: Наука, 1989. 311 с.

71. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971.-400с.

72. Карманов В.Г., Федоров В.В. под ред. Третьякова А.А. Моделирование в исследовании операций. М.: Твема, 1996. - 102с.

73. Кац A.M. Определение параметров регулятора по желаемому характеристическому уравнению системы регулирования // Автом.телемех. 1955. №3. С. 269-272.

74. Каштанов В.А., Медведев А.И. Алгоритм вычисления характеристик безотказности резервированной системы. Сборник трудов «Вопросы теории безопасности и устойчивости систем». М.: ВЦ РАН, 2002. С. 3 14.

75. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

76. Краснощекое П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: МГУ, 1983.-83с.

77. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Физматгиз,1968- 475 с.

78. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения- М.: Физ.мат., 1959. -212с.

79. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. -М.: Наука, 1976, т. 1. -303с.

80. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. -М.: Наука, 1977.

81. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. - 280 с.

82. Ларин В.М., Науменко К.И., СунцевВ.Н. Спектральные методы синтеза линейных систем с обратной связью. Киев: Наук. Думка, 1971.

83. Ла-Сапль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.:ИЛ, 1964.

84. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1951.

85. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Наука, 1950.

86. Максвелл Д.К., Вышнеградский И.А., Стодола А. Теория автоматического регулирования. М.: АН СССР, 1949.

87. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1952. 432 с.

88. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972.-232с.

89. Мейлахс A.M. О стабилизации линейных управляемых систем в условиях неопределенности // Автолом, телемех. 1975. № 2. С. 182 184.

90. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1976.

91. Миронов В.В., Северцев Н.А. Методы анализа устойчивости систем и управляемости движением. М.: Изд-во РУДН, 2002. 166 с.

92. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управлемые процессы. М.: Наука, 1978.

93. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем. Л.: ЛКВВИА, 1949.

94. Немировский А.С., Поляк Б.Т. Необходимые условия устойчивости полиномов и их использование // Автом. телемех. 1994. № 11. С. 113-119.

95. Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах. М.: Высшая школа. 2003. - 583 с.

96. Патрушева М.В. Качественный анализ матричных уравнений движения. Проблемы устойчивости и численные методы. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2000. 148 с.

97. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986.

98. Петров Н.П., Поляк Б.Т. Робастное D-разбиение // Автом. телемех. 1991. № 11.С. 41-53.

99. Петров Ю.П. Очерк истории автоматического управления. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2004. 270 с.

100. Поздняк А.С., Серебряков Г.Г., Семенов А.В., Федосов Е.А. Нл теория управления: феномен, достижения, перспектиы, открытые проблемы. М.: ГосНИИАС, 1990.

101. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление М.: Наука, 2002. - 303 с.

102. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Сверхустойчивые линейные системы управления I, II // Автоном. телемех. 2002. № 8, 9.

103. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учебное пособие для втузов. М.: Наука, 1989. 304 с.

104. Постников М.М. Устойчивые многочлены. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы. 1981,- 176с.

105. Ракчеева Т.А. Приближение кривых: фокусы или гармоники. // Математика. Компьютер. Образование. Тез. докл. Вып. XIV Пущино, 2007. - С. 16.

106. Раус Э. Об устойчивости заданного состояния движения. Москва Ижевск: Институт компьютерных исследований., 2002, - 199с.

107. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978. 395 с.

108. Садыхов Г.С. и др. Устойчивость расходования ресурса в подсистемах с параллельно соединенными элементами. Сборник трудов «Вопросы теории безопасности и устойчивости систем». Выпуск 5. М.: ВЦ РАН. С. 3 15.

109. Северцев Н.А., Дедков В.К. Системный анализ и моделирование безопасности. М.: Изд-во "Высшая школа", 2006. - 464 с.

110. Семенов В.В. Формы математического описания линейных систем. М.: Изд-во МАИ, 1980.

111. Соколов В.Ф. Стабилизация линейных непрерывных систем. Сыктывкар: СыктГУ, 2001.

112. Солодов А.В., Петров Ф.С. Линейные автоматические системы с переменными параметрами. М.: Наука, 1971.

113. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красов-ского. М.: Наука, 1987.

114. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления. М.: Наука, 1985.

115. Стренг Г. Линейная алгебра и ее приложения. -М.: Мир, 1980. -456с.

116. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.

117. Уланов Г.М. Динамическая точность и компенсация возмущений в системах автоматического управления. М.: Машиностроение, 1971.

118. Уонэм М. Линейные многомерные системы управления. М.: Наука, 1980.

119. Фаддеев Д.К. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1984. - 416с.

120. Фомин В.Н. Методы управления линейными дискретными объектами. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

121. Харитонов В.Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. №11, С.2086-2088.

122. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. - 665.

123. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977.

124. Цыпкин Я.З., Поляк Б.Т. Робастная устойчивость линейных систем // Итоги науки и техники, сер. Технич. киберн. Т. 32. М.: ВИНИТИ, 1991. С. 3-31.

125. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978.

126. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. - 207с.

127. Шевцов Г.С. Линейная алгебра. Теория и прикладные аспекты. М.: Финансы и статистика, 2003. - 575с.

128. Якубович В.А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования // Докл. АН СССР. 1962. Т. 143, вып. 6. С. 1304-1307.

129. Якубович Е.Д. Решение задачи оптимального управления для линейных дискретных систем // Автом. телемех. 1975. № 9. С. 73-79.

130. Abrishamchian М., Barmish В. Reduction of robust stabilization problem to standard IT0 problems for classes of systems with unstructured uncertainty // Auto-matica. 1996. V.32, No 8. P.l 101-1115.

131. Ackermann J. Robust control: systems with uncertain physical parameters/ New York: Springer-Verlag, 1993.

132. Barmish B.R. New tools for robustness of linear systems. New York: MacMillan, 1995.

133. Barmish B.R., Corless M., Laitmann G. A new class of stabilizing controllers for uncertain dynamikal systems // SIAM J. Control Optimiz. 1983. V.21, No 2. P.246-255.

134. Barmish B.R., Hollot C.V., Kraus F.G., Tempo R. Extreme point results for robust stabilization of interval plants with first-order compensators // IEEE Trans. Autom. Control. 1992. V. 37, No. 6. P. 707 714.

135. Barmish B.R., Polyak B.T. A new approach to open robustness problems based on probabilistic prediction formulae // Proc. 13th World Congress of IF AC. 1996, San Francisco CA. V.H. P. 1 6.

136. Bhattacharyya S.P. Robust stabilization against structured parameters. Berlin: Springer-Verlag, 1987.

137. Bhattacharyya S.P., Chapellat H., Keel L.H. Robust control: the parametric approach. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1995.

138. Blondel V. Simultaneous stabilization of linear systems. London: Springer, 1995.

139. Boyd S.L., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in systems and control theory. Philadelphia: SIAM, 1994. 253 p.

140. Calafiore G., Polyak B.T. Stochastic algorithms for exact and approximate feasibility of robust LMIs //IEEE Trans. Autom. Control. 2001. V.46, No 11. P.1755-1759.

141. Chen M.J., Desoer С.A. Necessary and sufficient condition for robust stability of linear distributed feedback systems // Intern. J. Control. 1982. V.35, No 9. P.255-267.

142. Dahleh M., Diaz-Bobillo I.J. Control of uncertain systems: a linear programming approach. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1995.

143. Dicusar V.V., Zelenkov G.A., Zubov N.V. Quadratic Form for Evalution of Location the Eigenvalues of Matrix. 4-th International Workshop, CASTR 2007. Poland, Siedlce: 2007, p. 87-89.

144. Djaferis Т.Е. Robust control design: a polynomial approach. Boston: Kluwer, 1995.

145. Doyle J.C., Francis B.A., Tannenbaum A.R. Feedback control theory. Englewood Cliffs, NJ: MacMillan, 1992.

146. Faedo S. Un nuova problema di stabilita per le equazione algebriche a coefficienti reali // Ann. Scuola Norm. Super. Piza, Ser. sci. fis. e mat. 1953. V. 7, No. 1 2. P. 53 -63.

147. Francis B.A. F course in H00 control theory. Berlin: Springer-Verlag, 1987.

148. Frequency-response methods in control systems / Ed. A.G.J. MacFarlane/ New York: IEEE Press, 1979.

149. Glover K. Robust stabilization of linear multivariable systems: relations to approximation // Intern. J. Control. 1986. V.43, No 3. P. 741-766.

150. Green M., Limebeer D.J.N. Linear robust control. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1995.

151. Helton J.W., Merino O. Classical control using H00 methods. Philadelphia: SIAM, 1998.

152. Kailath T. Linear systems. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1980.

153. Kaszkurevich E., Bhaya A. Matrix diagonal stability in systems and computation. Boston: Birkhauser, 2000.

154. Kogan J. Robust stability and convexity. London: Springer-Verlag, 1995.

155. Kucera V. Discrete linear control. New York: John Wiley, 1979.

156. Kuo В. C. Automatic control systems. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1991 (sixth edition).

157. Marden M. Geometry of polynomials. Providence, RI: amer. Math. Soc., 1966.

158. McFarlane D.C., Glover K. Robust controller design using normalized coprime-factor plant description. New York: Springer-Verlag, 1990.

159. Morari M., Zafirou M. Robust process control. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1989.

160. Nemirovskii A.A. Serial NP- hard problems arising in robust stability analysis // Math. Contr. Sig. Syst. 1994, No. 6. P. 99 -105.

161. Padmanabhad P., Hollot C.V. Complete instability of a box of polynomials // IEEE Trans. Autom. Control. 1992. V.37. No. 8. P. 1230-1233.

162. Polyak B.T., Tempo R. Probabilistic robust design with linear quadratic regulators //Syst. Control Lett. 2001. V.43. P. 343-353.

163. Pujara L.R. Some necessary and sufficient conditions for low-order interval polytopes to contain a Hurwitz polynomial // Proc.Conf.Dec.Control. Phoenix, AZ, 1999. P. 5024-5029.

164. Recent advanced in robust control / Eds. P. Dorato, R. Yedavalli. New York: IEEE Press, 1990.

165. Robust Control /Ed. P. Dorato. New York: IEEE Press, 1987.

166. Robustness of dynamic systems with parameter uncertainties / Eds. M. Mansour et al. Monte Verita: Birkhauser, 1992.

167. Rosenbrock H.H. Computer-aided control system design. London: Academic Press, 1974.

168. Safonov M.G. Stability and robustness of multivariable feedback systems. Cambridge, Ma: MIT Press, 1980.

169. Sanchez-Pena R., Sznaier M. Robust systems: theory and applications. New York, Wiley, 1998.

170. Schweppe F.C. Uncertain dynamic systems. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1973.

171. Siljak D.D. Large-scale Dynamic systems: stability and structure. New York: North-Holland, 1978.

172. Stengel R.F., Ray L.R. Stochastic robustness of linear time invariant control systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1991. V. 36. P. 82 87.

173. Systems and control encyclopedia / Ed. M. G. Singh. V. 1 8. Pergamon Press, 1987.

174. Taussky O. Bibliography of Bounds for Characteristic Roots of Finite Matrices // National Bureau of Standarts, September 1951. Rept. 1162.

175. Tempo R. Bai E.W., Dabbene F. Probabilistic robustness analysis: explicit bounds for the minimum number of samples // Syst. Control Lett. 1997. V.30. P.237-242.

176. Vidyasagar M. Control system synthesis: a factorization approach. Boston, MA: MIT Press, 1985.

177. Weinmann A. Uncertain models and robust control. Wien: Springer, 1991.

178. Younhee Ко, The Instability for Delay Differential Equations, 2001, Nonlinear Anal., 47, 4049-4057.

179. Zhou K., Doyle J.C., Glover K. Robust and optimal control. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996.