Многомерные области устойчивости линейных непрерывных и дискретных систем управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор физико-математических наук Николаев, Юрий Павлович

• Николаев, Юрий Павлович
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Николаев, Юрий Павлович

Общая характеристика работы Введение

Часть I. Непрерывные системы управления

Глава 1. Интервальный критерий устойчивости, анализ полиномов Эрмита-Билера

§ 1. Интервальный критерий устойчивости

§2. Анализ полиномов Эрмита-Билера. Постановка задачи

§3. Точные верхние границы коэффициентов полинома

§4. Точные верхние границы корней полинома

§5. Полином с точными граничными значениями всех коэффициентов

§6. Трехмерная область устойчивости для п = 5,6. Исходные данные

§7. Геометрия граничной поверхности области устойчивости (п = 5,6)

Выводы по главе

Глава 2. Анализ основных геометрических (частотных) характеристик многомерных областей устойчивости

§ 8. Исходные данные. Постановка задачи

§9. Точные верхние границы коэффициентов устойчивых полиномов

§10. Характерные точки многомерной области устойчивости

§11. Наибольшее значение граничной частоты

§12. Аппроксимация многомерной области устойчивости

§13. Примеры

Выводы по главе

Глава 3. Сечение многомерной области устойчивости линейным многообразием

§14. Сечение области устойчивости плоскостью общего положения

§15. Сечение области устойчивости плоскостью Р]

§16. Сечение области устойчивости плоскостью Р,

Выводы по главе

Глава 4. Условие ограниченности (неограниченности) области устойчивости

§17. Ограниченность области устойчивости

§18. Примеры

Выводы по главе

Часть И. Дискретные системы управления

Глава 5. Анализ расположения вершин выпуклой оболочки и метрических характеристик многомерной области устойчивости

§19. Исходные данные. Постановка задачи

§20. О вершинах выпуклой оболочки области устойчивости

§21. Построение габаритного параллелепипеда для области устойчивости

§22. Сравнительный анализ объемов области устойчивости и ее габаритного параллелепипеда

§23. Выпуклость по направлению области устойчивости

§24. Пример

Выводы по главе

Глава 6. Анализ геометрии D- разбиения двумерной плоскости произвольных коэффициентов характеристического полинома

§25. Исходные данные. Постановка задачи

§26. Предварительный анализ параметрических уравнений D- кривой

§27. Свойства кривой D - разбиения плоскости двух произвольных коэффициентов характеристического полинома. Локальные Dk -кривые

§28. Критические гиперплоскости в пространстве коэффициентов характеристического полинома

§29. Примеры

Выводы по главе

Глава 7. Симметрия области устойчивости дискретных систем

§30. Симметрия области устойчивости

§31. Симметрия сечений области устойчивости

§32. Примеры

Выводы по главе

Глава 8. Анализ кривых D- разбиения и области устойчивости для конкретных классов характеристических полиномов

§33. Многогранник Кона. Сечение многогранника координатной плоскостью

§34. Сечение области устойчивости координатной плоскостью

§35. Асимптотическая устойчивость разностного уравнения с двумя запаздываниями

§36. Трехмерная область устойчивости для одного класса полиномов

§37. Контрпримеры для теорем Харитонова

Выводы по главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многомерные области устойчивости линейных непрерывных и дискретных систем управления»

Актуальность проблемы. Для современного состояния теории управления характерно стремление к разработке регуляторов в условиях неопределенности состояния объекта и внешней среды, дефицита ресурсов и возникновения непредвиденных критических ситуаций. Такой подход соответствует реальной ситуации, когда точные математические модели изучаемых объектов (процессов, явлений) и свойства действующих на них возмущений на самом деле неизвестны.

В настоящее время расширяется множество объектов исследования, куда входят объекты различной физической природы: технические, организационные, технологические, экономические, биологические, экологические и т.д. Источниками возникновения неопределенностей в таких системах являются дефицит материальных, информационных, временных, энергетических и других видов ресурсов, непредсказуемость поведения внешней среды, где функционирует система, а также случайные изменения в структуре и поведении самой системы.

Сложность систем управления также постоянно возрастает. Вследствие усложнения систем анализ их устойчивости, тем более с учетом неопределенности параметров, становится все более трудной задачей, так как «стандартные» понятия запасов устойчивости по фазе и амплитуде не являются для них столь очевидными, как для простых одноконтурных систем. В таких условиях практически единственным источником достоверной количественной информации об устойчивости системы становится параметрическая область устойчивости, т.е. область устойчивости, построенная в пространстве исследуемых параметров системы.

Таким образом, построение и анализ геометрии параметрических областей устойчивости различных типов систем управления является в настоящее время актуальной проблемой теории и практики управления. Исследования в этом направлении базируются на известных работах Эрмита, Выпшеградского, Рауса, Гурвица, Кона, Найквиста, Михайлова, Неймарка, Фама и других ученых.

Целью настоящей работы является разработка эффективных методов исследования геометрии областей устойчивости линейных непрерывных и дискретных систем управления и установление с их помощью основных геометрических характеристик областей, инвариантных относительно порядка исследуемой системы.

Методы исследования. На основе использования метода D- разбиения Ю.И. Неймарка решается задача анализа геометрии многомерной области устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического полинома линейных непрерывных и дискретных систем управления. Исследование свойств многомерных областей устойчивости проводится с помощью аппарата аналитической геометрии, высшей алгебры, математического анализа, теории устойчивых полиномов, теории матриц, теории множеств, элементов топологии, дифференциальной геометрии, теории симметрии. При решении иллюстративных примеров широко используются средства системы МАТЛАБ (в том числе двумерная и трехмерная графика), символьная алгебра (операции с полиномами).

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные научные результаты.

1. Предложена общая концепция исследования геометрии многомерных областей устойчивости непрерывных и дискретных линейных систем управления, основанная на использовании сечений пространства коэффициентов характеристического полинома линейными многообразиями определенного типа с последующим анализом их структуры (метод D-разбиения и др.).

2. Предложен интервальный критерий устойчивости непрерывных систем, установлены точные верхние границы для коэффициентов и для корней устойчивых полиномов Эрмита - Билера, детально проанализирована геометрия трехмерной области устойчивости для полиномов с п < 6.

3. Определены основные параметры и свойства многомерных областей устойчивости непрерывных систем: получены компактные формулы для точных верхних границ коэффициентов множества устойчивых полиномов и для наибольшего значения граничной частоты; доказано, что область устойчивости на плоскости двух четных или двух нечетных коэффициентов - выпуклый многоугольник; установлено, что необходимым и достаточным условием ограниченности области устойчивости в пространстве коэффициентов т<п, полинома p(s) является выполнение неравенства п-т>Ъ.

4. Определены основные параметры и свойства многомерных областей устойчивости дискретных систем: показано, что линейный размер габаритного параллелепипеда по оси а0 («высота» области устойчивости) сравнительно мал (Да0 = 2) и не зависит от порядка п системы; при этом линейные размеры параллелепипеда по другим осям существенно больше (например, Аа5 = 504 при я = 10) и они увеличиваются с ростом п, т.е. область устойчивости может рассматриваться как многомерная фигура, относительная высота которой уменьшается с ростом п и в пределе, при п-><», стремится к нулю; показано, что все вершины выпуклой оболочки области устойчивости расположены или на гиперплоскости а0 =1 или на гиперплоскости а0=-1; установлено наличие в пространстве коэффициентов некоторых критических гиперплоскостей, определяющих существенное изменение геометрических характеристик сечений области при сколь угодно малом изменении параметров; показано на основе сравнения сечений многогранника Кона (Cohn) и области устойчивости координатной плоскостью а0,ап,, / = 1,2,.,n-1, что эти сечения при п>1 практически совпадают; доказано, что область устойчивости обладает фундаментальным свойством симметрии.

5. Установлены особенности геометрии областей устойчивости конкретных классов характеристических полиномов дискретных систем, в частности, подробно исследована геометрия области устойчивости в пространстве коэффициентов о0,ап2,ап.полинома вида p(z) = а0 + an2z"'2 + anAznA + z" произвольной степени п. Показано, что двумерная область устойчивости на плоскости коэффициентов о0,аи обладает уникальным свойством: при ап2 = 1 + е, О <е <п/(п-2) она распадается на п-\ односвязных области.

6. Приведены контрпримеры для дискретных аналогов теорем Харитонова, основанные на использовании установленных особенностей конфигурации области устойчивости на плоскости а0,апА для систем произвольного порядка.

7. Для множества всех стабилизирующих ПИД-регуляторов непрерывных систем предложен метод стратификации, основанный на использовании частотных запасов устойчивости.

Рекомендации по использованию научных результатов

Предложенные в диссертации методы разработаны с учетом существующих потребностей практики и позволяют в условиях неопределенностей решать задачи построения устойчивых линейных непрерывных и дискретных систем управления, когда классические методы оказываются неприменимыми.

Апробация работы и публикации

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях и совещаниях:

• III Международная конференция по проблемам управления, Москва, 2006 г.;

• IX Международный семинар «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», Москва, 2006г.

• II Всесоюзная конференция «Системы автоматического управления JIA», Москва, МАИ, 1988;

• XVI научно-техническая конференция памяти Н.Н. Острякова, Ленинград, 1988 г.;

• X Всесоюзное совещание по проблемам управления (Алма-Ата, 1986 г.);

• VII Всесоюзное совещание по проблемам управления (Минск, 1977г.).

По результатам выполненных исследований опубликована одна монография и 15 печатных работ, получено (с соавторами) пять авторских свидетельств, выданных Государственным комитетом Совета Министров СССР по делам изобретений и открытий.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, двух частей по четыре главы каждая, заключения, списка литературы, содержащего 167 наименований, и приложения. Главы, в свою очередь, разбиты на параграфы.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Николаев, Юрий Павлович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

В диссертации в рамках решения проблемы Рауса-Гурвица -Вышнеградского разработаны новые методы исследования геометрии областей устойчивости линейных непрерывных и дискретных систем управления и установлены с их помощью неизвестные ранее геометрические характеристики областей, инвариантные порядку исследуемой системы:

1. Предложена общая концепция исследования геометрии и структуры многомерных областей устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического полинома непрерывных и дискретных систем управления.

2. Предложен интервальный критерий устойчивости непрерывных систем.

3. Установлены точные верхние границы для коэффициентов и для корней устойчивых полиномов Эрмита - Билера непрерывных систем.

4. Детально проанализирована геометрия трехмерной области устойчивости для полиномов с п < 6 непрерывных систем.

5. Определены*' основные параметры и свойства многомерных областей устойчивости непрерывных систем: получены компактные формулы для точных верхних границ коэффициентов множества устойчивых полиномов и для наибольшего значения граничной частоты, найдено необходимое и достаточное условие ограниченности области устойчивости и т.д.

6. Определены основные параметры и свойства многомерных областей устойчивости дискретных систем: доказано, что область устойчивости обладает фундаментальным свойством симметрии; показано, что все вершины выпуклой оболочки области устойчивости расположены или на гиперплоскости а0= 1 или на гиперплоскости а0=-1, а сама область расположена в слое между этими гиперплоскостями; доказано существование критических гиперплоскостей и др.

7. Установлены особенности геометрии областей устойчивости конкретных классов характеристических полиномов дискретных систем. Показано, что область устойчивости на плоскости двух коэффициентов для одного го исследованных классов полиномов обладает уникальным свойством: при малом изменении третьего коэффициента относительно его критического значения она распадается на п -1 односвязных области.

8. Приведены контрпримеры для дискретных аналогов теорем Харитонова.

9. Для множества всех стабилизирующих ПИД-регуляторов непрерывных систем предложен метод стратификации, основанный на использовании частотных запасов устойчивости.

Приведенные результаты позволяют сделать вывод о том, что в диссертации на основании выполненных автором исследований разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное научное достижение в теории устойчивости линейных систем управления.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [3-7], [67-76]. В работах, выполненных в соавторстве, автору принадлежат: [3] - анализ геометрии области устойчивости для системы управления пятого порядка; [4] -исследование геометрии областей устойчивости; [5] - теоретическое обоснование метода синтеза системы автоматического управления с помощью ЦВМ в реальном масштабе времени; [6] - анализ устойчивости многорежимных систем управления; [7] - доказательство критерия асимптотической устойчивости линейных дискретных систем; [67,68] -постановка задачи и вывод основных теоретических положений.

По результатам выполненных работ получено (с соавторами) пять авторских свидетельств, выданных Государственным комитетом Совета Министров СССР по делам изобретений и открытий: №№ 25620, 25734, 282478, 343540, 57033; одно из них (№ 282478) выдано на изобретение «Адаптивный автопилот».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На защиту выносятся следующие основные результаты диссертации.

1. Общая концепция исследования геометрии многомерных областей устойчивости непрерывных и дискретных линейных систем управления, основанная на использовании сечений пространства коэффициентов характеристического полинома линейными многообразиями определенного типа с последующим анализом их структуры (метод D - разбиения и др.).

2. Интервальный критерий устойчивости: теорема 1.1 и следствие 1.2 §1; точные верхние границы для коэффициентов и для корней устойчивых полиномов Эрмита- Билера: теорема 1.4 §3 и теорема 1.6 §4; геометрия трехмерной области устойчивости для полиномов п = 5,6: §6 и §7.

3. Основные геометрические характеристики многомерных областей устойчивости непрерывных систем управления (точные верхние границы коэффициентов множества устойчивых полиномов: теорема 2.1 §9; координаты характерных точек многомерной области устойчивости: теоремы 2.2, 2.3 §10; наибольшее значение граничной частоты для точек граничной поверхности: теорема 3.1 §11; сечение многомерной области устойчивости плоскостью Р] - выпуклый многоугольник: теорема 3.1 §15; область устойчивости на плоскости коэффициентов a2r,a2r+l - выпуклое множество: теоремы 3.2,3.3 §16; ограниченность области устойчивости: теорема 4.1 §17).

4. Основные параметры и свойства многомерных областей устойчивости дискретных систем управления (расположение вершин выпуклой оболочки области устойчивости: теоремы 5.1, 5.2 §20; особенности метрических характеристик габаритного параллелепипеда области устойчивости: утверждение 5.5 §21; сравнительный анализ объемов области устойчивости и ее ограничивающего параллелепипеда: утверждение 5.6 §22; выпуклость по направлению области устойчивости: теорема 5.7 §23; свойства кривых!)-разбиения плоскости коэффициентов: утверждения 6.1-6.4 §26, утверждения 6.5-6.8 §27; критическая гиперплоскость в пространстве коэффициентов: теорема 6.9, леммы 6.10 §28; симметрия области устойчивости и ее сечений: теорема 7.1, леммы 7.2, 7.3 §30).

5. Особенности геометрии областей устойчивости конкретных классов характеристических полиномов дискретных систем управления (свойство кривых D-разбиения и область устойчивости для четырехчлена: лемма 8.3, теорема 8.4 §34; теорема 8.6 §36 о распадении области устойчивости на п-1 односвязных области).

6. Геометрия и стратификация множества всех стабилизирующих ПИД регуляторов непрерывных систем (геометрическое место точек с постоянной частотой среза:'теоремы П1, П2; РМ -эллипсы и их свойства: леммы ПЗ-П5; П8 приложения).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Николаев, Юрий Павлович, 2006 год

1. Айзермаи М.А. Краткий очерк становления и развития классической теории регулирования в управлении//АиТ, 1993. С.6-18.

2. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М.: Мир, 1994.

3. Александров А.Д., Николаев ЮЛ. Подпространство асимптотической устойчивости линейных стационарных систем // АиТ. 1974. №4. С.5-13.

4. Александров А.Д., Николаев ЮЛ. Характеристическая область асимптотической устойчивости линейных стационарных систем произвольного порядка//АиТ. 1977. №6. С.192-198.

5. Александров А.Д., Николаев ЮЛ. Метод синтеза системы автоматического управления с помощью ЦВМ в реальном масштабе времени // Труды VII Всесоюзного совещания по проблемам управления. Тезисы докладов, том II -Минск, 1977.

6. Александров А. Д., Николаев ЮЛ. Анализ устойчивости и синтез многорежимных систем управления // Многорежимные и нестационарные системы автоматического управления М.: Машиностроение, 1978. С.93-118.

7. Александров А. Д., Николаев ЮЛ. Критерий асимптотической устойчивости линейных дискретных систем // АиТ. 1981. №4. С.57-65.

8. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968.

9. Алиев Ф.А., Бордюг Б.А., Ларин В.Б. Н2 оптимизация и метод пространства состояния в задаче синтеза оптимальных регуляторов. Баку: Элм, 1991.

10. Андронов А.А., Майер А.Г. Простые линейные системы с запаздыванием // АиТ.1946.№7. С.95-106.

11. Андронов А.А., ПонтрягинЛ.С. Грубые системы //ДАН СССР. 1937. Т. 14. №5. С.247-249.

12. Арнольд В.И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах // Успехи мат.1972.Т.27. Вып.5. С. 119-184.

13. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990.

14. Барабанов А.Е., Первозванский А.А. Оптимизация по равномерно-частотным показателям (Ях теория) // АиТ. 1992. № 9. С.3-32.

15. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975.

16. Бимбиреков Б.Л. Определение параметров регулятора для линейной системы по частотным критериям // АиТ. 1993. №5. С.3-10.

17. Бобков А.Н., Николаев Ю.П. Спектральный состав и форма незатухающих колебаний в линейных системах с БЦВМ // М.: ОЦАОНТИ. 1986. Вып. 139. С. 12-20.1 &.Боде Г. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью. М: Изд. ин.лит.,1948.

18. Брейдо И.В. Экстремальные оценки коэффициентов характеристического полинома произвольного порядка при вещественных и комплексных корнях //АиТ. 1992. №4. С. 19-22.

19. Булгаков Б. В. Колебания. М.: Гостехиздат, 1954.21 .Брус Дж, Джиблин П. Кривые и особенности. М.: Мир, 1988.

20. Вишняков А.Н., Поляк Б. Т. Синтез регуляторов низкого порядка для дискретных систем управления при наличии неслучайных возмущений // АиТ. 2000.№9. С. 112-119.

21. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979.

22. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем. М.: Энергия, 1980.

23. Воронов А.А., Титов В.К., Новогранов Б.Н. Основы теории автоматического регулирования и управления . М.: Высш. шк., 1977.

24. Вышнеградский И.А. О регуляторах прямого действия // Известия С.П.Б. Практического Технологического института. Т. 1. 1877.

25. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, 5-е изд. М. : Физматлит, 2004.2%.Горовиц И. Синтез систем с обратной связью. М.: Сов. радио, 1970.

26. Грэхем Р., Кнут Д., Поташник О. Конкретная математика. М.:Мир,1998.

27. Грязина Е.Н. К теории D разбиения // АиТ. 2004. № 12. С. 15-28.31 .Джеймс X., Николъс Н., Филлипс Р. Теория следящих систем. Пер. с англ. Под ред. Я.3. Цыпкина. М.: ИЛ, 1953.

28. Ъ2.Джури Э.И. Инноры и устойчивость динамических систем. М.: Наука, 1979.

29. ЪЪ.Джури Э.И. Робастность дискретных систем // АиТ. 1990.№5. С.3-28.

30. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. Пер. с англ. М.: ЛБЗ, 2004.

31. Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи. М.: Наука, 1997.

32. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970.

33. Квакернаак X, Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

34. Киселев О.И., Поляк Б.Т. Синтез регуляторов низкого порядка по критерию Н-А и по критерию максимальной робастности // АиТ. 1999. №3. С.113-119.

35. A3.Киселев О.И. , Поляк Б.Т. Минимизация перерегулирования в линейны дискретных системах регуляторами низкого порядка // АиТ. 2001. №4.С.98-108.

36. Клепцын А.Ф. Об одном достаточном условии устойчивости многочлена // АиТ. 1984. №10. С. 175-176.

37. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функциональногоанализа. М.: Наука, 1976, 4Ь.Левантовский Л.В. Особенности границы области устойчивости // Функц. анализ и его прилож.1982. Т. 16. Вып.1. С.44-48.

38. Левантовский Л.В. О границе множества устойчивых матриц //УМН. 1980. Т.35. Вып.2(212).С.213-214.

39. Левицкая И.С. Область устойчивости линейного дифференциального уравнения с двумя запаздываниями // Изв. Челябинского науч. центра УрО РАН. Математика. 2004. Вып. 2(23). С.6-11.

40. Левицкая И.С. Область устойчивости линейного разностного уравнения с двумя запаздываниями // Изв. Челябинского науч. центра УрО РАН. Математика. 2004. Вып. Вып. 3(24). С. 12-16.

41. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов //АиТ. 1960. „\«4. С.436-441. №5. С.561-568. №6. С.661-665. 1961. Ж4.С.425-435.51 .Липатов А.В. О параметрах, характеризующих качество линейной системы.

42. М.: Труды .МАИ. 1972. вып.240. С.31-38. Ы.Липатов А.В. Некоторые необходимые и некоторые достаточные условия гурвицевости полиномов /7 Диффференц. уравнения. 1976. Т.Х11.№12. С. 22692270.

43. Липатов А.В. , Соколов Н.И. О некоторых достаточных условиях устойчивостии неустойчивости линейных непрерывных стационарных систем // АиТ. 1978.г9. С. 30-37.

44. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Докторская диссертация. Харьков, 1892.55 .Майлыбаев А.А. Об устойчивости полиномов, зависящих от параметров // Изв.

45. РАН. Теория и системы управления. 2000. №2. С.5-12. 5в.Майлыбаев А.А., Сейранян А.П. О границах областей устойчивости гамильтоновых систем // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 4. С. 568-579.

46. Масленников В.В. Гипотеза о существовании простого аналитического достаточного условия устойчивости // АиТ. 1984. №2. С. 160-161.

47. Марков А.А. О функциях, получаемых при обращении рядов в непрерывные дроби // Записки Акад. Наук. 1894. Т.74. №2. С. 1 -30.

48. Мееров М.В. Синтез структур систем автоматического управления высокой точности. М.: Наука, 1967.

49. Михайлов А.В. Гармонический метод в теории регулирования // АиТ. 1938. №3. С.27-38.

50. Многорежимные и нестационарные системы автоматического управления. Под. ред. акад. Б.Н. Петрова. М.: Машиностроение, 1978.

51. Ы.Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем. JL: ЛКВВИА, 1949.

52. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М. Наука, 1978.

53. Неймарк Ю.И. Робастная устойчивость и D разбиение // АиТ. 1992. №7. С.25-31.

54. Немировский А.С., Поляк Б.Т. Необходимые условия устойчивости полиномов и их использование // АиТ. 1994.№11.С. 113-119.

55. Нигматулин Р. М. Глобальная устойчивость дискретной модели динамики популяции с двумя запаздываниями // АиТ. 2005. №12. С. 105-111.

56. Николаев Ю.П., Бобков А.Н. Полный частотный анализ систем с ЦВМ в контуре управления /У Трусцы X Всесоюзного совещания по проблемам управления. Тезисы докладов. Том I. С. 114-115 Алма-Ата, 1986.

57. Ю.Николаев ЮЛ. «Мягкие вычисления» в интеллектуальных системах управления // Аэрокосмическое приборостроение России. Серия 2. Авионика. Выпуск 3. С. 72-87. СПб, 1999.

58. Николаев ЮЛ. Запас устойчивости по фазе и пространство параметров непрерывной линейной системы // АиТ. 2000. №3. С. 102-113.

59. Николаев Ю.П. О симметрии и других свойствах многомерной области асимптотической устойчивости линейных дискретных систем // АиТ. 2001. №11. С.109-120.

60. Николаев ЮЛ. К исследованию геометрии множества устойчивых полиномов линейных дискретных систем // АиТ.2002. №7. С.44-54.

61. А.Николаев Ю.П. Анализ геометрии Z)-разбиения двумерной плоскости произвольных коэффициентов характеристического полинома дискретной системы // АиТ. 2004. №12. С. 49-61.

62. Николаев ЮЛ. Построение и стратификация областей устойчивости динамических систем с ПИД регуляторами // Тезисы докладов IX Международного семинара «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления».С. 194-195. Москва, 2006.

63. Николаев Ю.П. Многомерные области устойчивости линейных непрерывных и дискретных систем // Тезисы докладов III Международной конференции по проблемам управления. T.l. С.42. Москва, 2006.

64. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М.: Гостехиздат,1949.18.0стрем К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ. М.: Мир, 1987.

65. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. М.: Мир, 1982.

66. Ш.Первозванскж А.А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986.81 .Платонова О.А. Особенности взаимного расположения поверхности и прямой //Успехи мат. наук. 1981.Т.36.вып.1.С.248-249.

67. Платонова О.А. Особенности взаимного расположения поверхности и прямой //Успехимат. наук. 1984.Т.39.вып.1.С. 149-150.

68. ЪЪ.Петров Н.П., ПолякБ.Т. Робастное D-разбиение//АиТ. 1991. №11. С.41- 53.

69. Позняк А.С., Серебряков Г.Г., Семенов А.В., Федосов Е.А. Нх теория управления: феномен, достижения, перспективы, открытые проблемы. М.: ГосНИИАС, 1990.

70. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. М.: Наука, 1978 (3-е изд.).

71. Поляк Б. Т., Цыпкин Я.З. Робастная устойчивость линейных дискретных систем //Докл. АН СССР. 1991. Т.316. №4. С.842-846.

72. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

73. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к решению // АиТ. 2005.№5. С.

74. Понтрягин J1.C. Дифференциальные уравнения и их приложения, 2-е изд. М.: УРСС, 2004.

75. Постников М.М. Устойчивые многочлены. М.: Наука, 1981; УРСС, 2004.

76. Попов Е.П. Теория линейных систем регулирования и управления, 2-е изд. М.: Наука, 1989.

77. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия. Пер. с англ. М.:Мир, 1989.

78. Соболев O.K. Выбор обобщенных параметров при исследовании устойчивости линейных систем//Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1970. №5. С. 191-198.

79. Соколов А.А. Критерий устойчивости линейных систем регулирования с распределенными параметрами // Инженерный сборник. 1946. Вып. 2. №2. С.З-26.

80. Соколов В.Ф. Стабилизация линейных непрерывных систем. Сыктывкар: СыкГУ, 2001.

81. Соколов Н.И., Липатов А.В. О необходимых условиях устойчивости линейных систем//Тр. МАИ. 1972. Вып.240. С.26-30.

82. Стильтьес Т.Н. Исследования о непрерывных дробях. М.: ОНТИ, 1936.

83. Сушкевич А.К. Основы высшей алгебры. М.: ГОНТИ, 1937.

84. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.

85. Фельдбаум А.А., Бутковский А.Г. Методы теории автоматического управления. М.: Наука, 1971.

86. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии. М.: Наука, 1966

87. Харди Г.Г., Литтлвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948; КомКнига,2006.

88. Харитонов В.Л. Асимптотическая устойчивость положения равновесия семейства систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1978. № 11. С. 2086-2088.

89. Харитонов В.Л. Проблема Рауса-Гурвица для семейств полиномов и квазиполиномов. Дисс. на соис. уч. степ, доктора физ.-мат. наук. М.,1989.

90. Харитонов В.Л., Хинрисчен Д. О выпуклых направлениях для устойчивых полиномов //АиТ. 1997. №3. С. 81-82.

91. Цыпкин ЯЗ. Теория линейных импульсных систем. М.: Физматгиз, 1963.

92. Цыпкин Я.З. Робастность в системах управления и обработки данных // АиТ. 1990. №1. С. 165-169.

93. Цыпкин Я.З., Поляк Б.Т. Робастная устойчивость линейных дискретных систем//ДАН СССР. 1991. Т.316. №4. С842-846.

94. Цыпкин Я.З., Поляк Б. Т. Робастная устойчивость линейных систем // Итоги науки и техники, сер. Технич. киберн. Т.32. М.: ВИНИТИ, 1991. С.3-31.

95. Цянь Сюэ-Сэнь. Техническая кибернетика. М.:ИЛ, 1956.

96. Чезаро Э. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых. Л., М.: ОНТИ, 1936.

97. Ackermann J. Robust control. The Parameter Space Approach. Second edition. New York. Springer, 2002.

98. Ackermann J., Kaesbauer D. Stable Polyhedra in parameter Space // Automatica. 2003. V.39. No 5. P.937-943.

99. Barmish B.R. New tools for robustnessof linear systems. New York: MacMillan, 1995.

100. Bartlett A.C., Hollot C.V., Lin H. Root location of an entire polytope of polynomials: it suffices to check the edges // Mat. Contr. Sig. Syst.l988.V.l.P.61-71.

101. Bhattacharyya S.P. Robust stabilization against structured parameters. Berlin: Springer Verlag, 1987.

102. Bhattacharyya S.P., Cappelat H, Keel L. H. Robust control: the parametric approach. Upper Saddle River, NY: Prentice Hall, 1995.

103. Bose N.K., Zeheb E. Kharitonov's theorem and stability test of multidimensional digital filters // IEE Proc.Pt.G.1986.V.133.No.4.P. 187-190.

104. Bryson A.E. New Concepts in Control Theory, 1959-1984 // J. of Guidance, Control, Dynamics. 1985. V. 8. No.4. P. 417-425.

105. Chang C.H. , Han K.W. Gain Margins and Phase Margins for Control Systems with Adjustable Parameters 11 J. of Guidance, Control, and Dynamics. 1990. V.13. No.3. P.404- 408.

106. Chin J., Chakon V., Gera J. X-29 flight control system performance during flight test // AIAA Pap., 1987, No. 2878, P. 1-12.

107. Clark C.W. A Delayed-Recruitment Model of Population Dynamics, with an Application to Baleen Whale Populations //J. of Math. Biology. 1976. No.3. P.381-391.

108. Cohn A. Uber die Anzahl der Wurzeln einer algebraischen Gleichung in einem Kreise // Math. Zeitschrift. 1922. Vol. 14. P. 110-148.

109. Cook R.P. Gain and Phase Boundary Routine for Two-Loop Feedback Systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1966. V.ll. No.3. P.573-577.

110. Daley S. (ed). PID tuning methods (special edition) // Computing end Control Engineering J. 1999. Vol. 10. No.2. P.42-69.

111. Dannan F.M. The Asymptotic Stability of x(n+k) + ax(n) + bx(n-l) = 0 // J. of Diff. Equation and Application. 2004.V. 10. No. 6. P. 589-599.

112. Dannan F.M., Elaydi S. Asymptotic stability of linear difference equation of advaced type // J. Comput. Anal. Appl. To appear. 2004.

113. Datta A., Ho A., Bhattacharya S. Structure and syntesis of PID controllers. London: Springer, 2000.

114. Faedo S. Un nuova problema di stabilitia per le equazione algebriche a coefficienti reali // Ann. Scuola Norm. Super. Piza, Ser. sci. fis. e mat. 1953. V.7. No. 1-2. P.53- 63.

115. Fam А. Т., Medich J.S. A canonical parameter space for linear systems design // IEEE Trans. Automat. Control. 1978.V.AC-23. №3. P.454-458.

116. Fam A.T. The volume of the coefficient space stability domain of monic polynomials // IEEE Int. Symp. on Circuits and Systems. 1989. V.2. Portland, Oregon. P. 1780-1783.

117. Frazer R.A., Duncan W.J. On the criteria for stability of small motions // Proc. Roy Soc., Ser. A. 1929. V.124. P.642-654.

118. Gryazina E.N., Polyak В. T. Stability Region in the parameter Space: D -decomposition revisted// Automatica. 2006. vol. 42 Nol. P. 13-26.

119. Hermite C. Sur le nombre des racines d'une equation algebrique comprise entre des limites donnees // J. Reine AngevandteMathematik. 1852. vol.52. P.39-51.

120. Ho M., Datta A., & Bhattacharyya S. Design of P,PI and PID controller for interval plants // Proceedings of the American control conference, Philadelphia. 1998. P.2496-2501.

121. Ho M, Datta A., & Bhattacharyya S. A new approach to feedback stabilization // Conference on decision contr. 1996. P.4643-4648. Kobe, Japan: IEEE.

122. Но М., Datta А.,& Bhattacharyya S. A linear programming characterization of all stabilizing PID controllers // Proceedings of the Amer. contr. conf. 1997. P.3922-3928. Albuquerque, NM: IEEE.

123. Ho M., Datta A.,& Bhattacharyya S. Control system design using low order controllers: Constant gain, PI and РШ // Proceedings of the Amer. contr. conf. 1997. P.571-578. Albuquerque, NM: IEEE.

124. Hurwitz A. Oher die Bedingungen, unter welcher eine Gleichung nur Wurzeln mit negattiven reelen Teilen bezitzt // Mathematische Annalen.1895. V.XLVI. P.273-284.

125. Keel L.H, Bhattacharyya S.P. Robust, fragile or optimal? // IEEE Trans. Automat. Control. 1997. V.42. No.6. P.1098-1105.

126. Keel L.H, Rego S.P., Bhattacharyya S.P. Digital PID design for maximally deadbeat and time-delay tolerance // 2002 IFAC 15th Triennial World Congress, Barcelona, Spain.

127. Kuruklis S.A. The asymptotic stability of x(n+1)- ax(n) + bx(n-k) = 0 // J. Math. Anal. Appl. 1994. V.188.P.719-731.

128. Lehnigk, S.H. Stability Theorems for Linear Motions with an Introductions to Liapunov's Direct Method. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1966.

129. Levin S.A., May R. A note on difference-delay equations // Theor. Pop.Biol.1976. V.9. P. 178-187.

130. LienardA., M.H. Chipart M.H., Sur la signe de la partie reelle des racines d'une equation algebrique, J. Math. Pures Appl. 1914. V.10. P. 291--346; C.R.Acad. Sci. Paris. 1913. V.157. P. 691-694; 837--840.

131. Marden M. Geometry of polynomials. N.Y.: Amer. Math. Soc., 1989 (4th edition).

132. Mitrovic D., Graphical analysis and synthesis of feedback control systems, parts I, II, III AIEE Trans. (Pt. II) 77 (1958--59) 476--503.

133. Mitrovic D., Graphical conditions for all roots of an algebraic equation to have negative real parts, C.R. Acad. Sci. Paris . 1955. V.240. 1177--1179.

134. Munro, N. & Soylemez, M.T. Fast calculation of stabilizing РГО controllers for uncertain parameter systems // Proceedings of ROCOND'2000. Prague: IF AC.

135. Nyquist H. Regeneration theory // Bell System Techn. J. 1932. V.ll. P. 126-147.

136. Oldenburg R., Trans. ASME, 1954, 76, № 8, P. 1155-1169.

137. Polyak B.T., Halpern M.E. Optimal design for discrete-time linear systems via new performance index // Int. J. of Adapt. Contr. and Signal Proc. 2001. V. 15. №2. P. 129- 152.

138. Routh E.J. A treatise on the stability of a given state of motion, particular steady motion, London, 1877, XII.

139. Schur I. Uber Potenzreien, die im Inneren des Einheitskreises beschrankt sind // J. Math. 1917.V.147.P. 205-232. 1918. P.122-145.

140. Shafiei, Z, & Shenton, A.T. Tuning of PID-type controllers for stable and unstable systems with time delay // Automatica. 1994. V.30. No. 10. P.1609-1615.

141. Shafiei, Z., & Shenton, A.T. Frequence-domain design of РШ controllers for stable and unstable systems with delay // Automatica. 1997. V. 33. No. 12. P. 22232232.

142. Siljak D.D. Analysis and synthesis of feedback control systems in the parameter plane // IEEE Trans. Appl. Industry. 1964.V.83. P.449-473.

143. Siljak D. D. Parameter space methods for robust control design: a guided tour // IEEE Trans. Automat.Control.l989.V.AC-34. No7. P.674-688.

144. Siljak D.D. A robust control design in the parameter space // Robustness of Dynamic Systems with Parameter Uncertainties. Basel: Birkhauser, 1992, P.229-240.

145. Soh C.B., Berger C.S., Dabke K.R. On the stability propertiesof polynomials with perturbed coefficients // IEEE Trans. AC-30. 1985. P. 1033-1036.

146. Soylemez M.T., Munro N.,& Baki H. Fast calculation of stabilizing PID controllers // Automatica. 2003. vol. 39. p. 121-126.

147. Shenton A.T.& Shafiei Z. Relative Stability for Control Systems with Adjustable Parameters // J. of Guidance, Control, and Dynamics. 1994. V.17, No.2. P.304-310.

148. Stodola A. Uber die Regulierung von Turbinen. I,II. Schvveizerische Bauzeitung. 1893-1894. V. XXII-XXIII.

149. Wyschnegradskii I.A. Sur la theorie generale des regulateurs // Comptes rendus hebdomadaires des seances de l'Academie des Sciences, 1876.

150. Whitbeck R.F., Didaleusky D.G.J., Hoffman L.G. Frequency Response of Digitally Controlled Systems // J. of Guidance and Control. 1981. V.4. No. 4. P. 423-427.