Графические параметрические методы анализа и синтеза линейных систем управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Тремба, Андрей Александрович

• Тремба, Андрей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тремба, Андрей Александрович

Обозначения

Введение

1 Робастное .О-разбиение для полиномов

1.1. Введение.

1.2. Классическое Д-разбиение

1.3. Непрерывная и дискретная устойчивость.

1.4. Робастное .О-разбиение

1.4.1. Принцип исключения нуля.

1.4.2. Разделяющее множество.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Графические параметрические методы анализа и синтеза линейных систем управления»

2.2. Аффинное семейство неопределенных полиномов . 26

2.2.1. /^-ограниченные неопределенности.29

2.2.2. Особые случаи.32

2.3. Робастное .О-разбиение для комплексного параметра . . 36

2.4. Примеры .40

2.5. Заключение.42

3 Синтез регуляторов низкого порядка по критерию Н^ 45

3.1. Введение.45

3.2. Постановка задачи.47

3.3. Синтез Яоо-регуляторов низкого порядка.50

3.3.1. Допустимые множества.51

3.3.2. Аналог .О-разбиения.54

3.4. Примеры .58

3.5. Заключение.65

Выводы Литература

Обозначения

М, С — множества вещественных и комплексных чисел. j — мнимая единица j2 = —1. модуль числа х. sign ж — знак числа х Е М.

Мп — пространство n-мерных векторов с вещественными компонентами. Сп — пространство n-мерных векторов с комплексными компонентами, sign ж — вектор с компонентами signa^, где х = ., хп)т Е Мп. X — число, комплексно сопряженное к X Е С, либо дополнение множества X, в зависимости от контекста. х,у) — скалярное произведение векторов из Rn или С", (х,у) = хту. ||ж||р — /p-норма вектора: \\х\\р = (]Г™= 1 \х{\р)р.

-1 !с\ с|| — евклидова норма вектора х Е К?г: ||ж|| = \хг\2) a;||i — 1-норма вектора: ||:r||i = Yli=i \хг\

Ц^Цоо — интервальная норма вектора х Е Кп: ||ж|| = maxi<i<n

Штхп — пространство т х п матриц с вещественными элементами. I — единичная матрица. Т — транспонирование.

Аг(А) — г-е собственное значение матрицы А Е Кпхтг. det А — определитель матрицы А.

8F — граница множества F. clF — замыкание множества F.

F\G — разность множеств F и G. -- «по определению», используется для вводимых обозначений.

Введение

Диссертация посвящена развитию графических методов анализа устойчивости линейных систем с аффинной неопределенностью и методов синтеза параметрических регуляторов, удовлетворяющих критерию Н^ т.е. ограничивающих значение #00-нормы передаточной функции.

Устойчивость системы является базовым, фундаментальным свойством для ее успешного и стабильного функционирования. Для линейной стационарной системы устойчивость определяется корнями ее характеристического полинома.

Поэтому изучение и синтез стабилизирующих регуляторов для линейных динамических систем, заданных передаточной функцией, можно проводить в терминах устойчивости полинома (характеристического).

Если все параметры системы, а значит, и коэффициенты характеристического полинома, известны точно, то, найдя корни полинома и проверив их расположение на комплексной плоскости, можно судить об устойчивости. Полином будем называть устойчивым, если все его корни лежат в левой полуплоскости для систем непрерывного времени и внутри единичного круга для дискретной системы. Можно проверить устойчивость, не прибегая к вычислению корней полинома, с помощью табличных (А. Гурвиц, Э. Раус, И. Шур, А. Кон) или графических (Ш. Эрмит, Ш. Билер, A.B. Михайлов и Г. Найквист) критериев.

Дальнейшее исследование устойчивости велось в двух направлениях: в первом ставилась задача описания всех регуляторов, стабилизирующих систему, причем эти регуляторы могут быть как произвольные (параметризация Юлы-Кучеры, работы JI.H. Волгина), так и ограниченные параметрическим семейством.

Для параметрического случая оказалась удачной идея разбиения всего пространства параметров на области, внутри которых число устойчивых корней полинома фиксировано. Подобный подход встречался в работах И.А. Вышнеградского, Р. Фрэйзера и В. Дункана, A.A. Соколова, A.A. Андронова и А.Г. Майера, а в 1948-49 гг. Ю.И. Неймарком этот метод был сформулирован в законченном виде и под названием «D-разбиение» вошел в учебники по автоматическому управлению.

Основное применение этот метод нашел для синтеза регуляторов, зависящих от двух параметров, в этом случае .D-разбиение обладает наглядным геометрическим представлением: некоторыми кривыми плоскость параметров разделяется на области. Одна из этих областей соответствует всем стабилизирующим регуляторам.

В западной литературе этот метод применялся в работах Д. Мит-ровича, Д. Шильяка, 3. Лехника, Ш. Бхаттачарии, Ю. Аккермана, Я. Фуджисаки, входя в группу под общим названием parameter space methods.

Недавно многие исследователи вновь обратились к тематике D-разбие-ния, так, были получены новые результаты о его структуре, выделены семейства полиномов (и регуляторов), для которых D-разбиение удается осуществить для большего числа параметров а также изучалось D-разбиение в пространстве матриц (Р. Темпо, Я. Оиши, Б.Т. Поляк, Ю.П. Николаев, П.С. Щербаков, E.H. Грязина).

Вторым направлением было изучение параметрической робастности системы, т.е. анализ, останется ли система (или полином) устойчивой, если некоторые ее параметры неизвестны и принадлежат некоторому множеству. Эти параметры не изменяются во времени и на них часто ссылаются как на «неопределенности». Бурный всплеск работ по робастности вызвала теорема В.Л. Харитонова, в которой показано, что для проверки на устойчивость всего семейства полиномов, коэффициенты которых лежат в некоторых интервалах, достаточно проверить устойчивость всего четырех специальных (впоследствии названных «ха-ритоновскими») полиномов.

Робастные постановки задач систематизированы Я.З. Цыпкиным, Б. Бармишем, Ю.И. Неймарком, Б.Т. Поляком, П.С. Щербаковым, Ш. Бхаттачария, Ю. Аккерманом. Следует отметить отличие такой постановки от задач оценивания и управления в условиях неопределенности (работы H.H. Красовского, А.Б. Куржанского, А.И. Овсеевича, Ф.Л. Черноусько).

Однако в более сложных случаях, таких, как задача об устойчивости аффинного семейства полиномов, аналитическое решение усложняется и важную практическую роль стали играть графические методы, такие, как построение и анализ специальных кривых (напр. годографа Цыпкина-Поляка) или множества значений (value sets). Последней проблемой занимались Ш. Бхаттачария, Б. Бармиш, Б.Т. Поляк, А.Н. Вишняков, Р. Тсмпо, К. Холлот, Д. Хинриксен, Э. Чапеллат и др.

В 1991 г. эти два направления были объединены Б.Т. Поляком и Н.П. Петровым, и была сформулирована и в частных случаях решена задача о синтезе двупараметрических робастных регуляторов.

С точки зрения характеристического полинома с неопределенностями, эта задача об отыскании области на плоскости двух параметров, такой, что для любых допустимых неопределенностях этот полином является устойчивым. От классического .D-разбиения задача отличается наличием ограниченных в некотором множестве дополнительных параметров, и сам метод получил название робастного jD-разбиеиия.

В настоящее время параметрический подход к синтезу регуляторов в условиях неопределенности — активно развивающаяся область в управлении. Повышенный интерес к ней обуславливается большим количеством прикладных задач, требующих простых регуляторов, удовлетворяющих заданным спецификациям и сохраняющих эффективность при неточно известных параметрах, что объясняет актуальность темы диссертации.

Другая задача синтеза регуляторов низкого порядка заключается в нахождении не просто стабилизирующего регулятора, а такого, что замкнутая система удовлетворяет некоторым дополнительным критериям качества. Одним из важным критериев качества является Hqq-критерий, возникающий, помимо прочего, в задаче синтеза робастно стабилизирующих регуляторов для систем с частотной (непараметрической) неопределенностью.

Причина интереса к регуляторам низкого порядка в том, что несмотря на глубокое развитие аналитических теорий синтеза регуляторов, таких как Яоо-теория, ¿i-подход, QFT-yioj\xoд, ¿¿-синтез и др. (Дж. Зеймс, М. Далех, Дж. Пирсон, М. Сафонов, Ш. Бхаттачария, К. Зу, Дж. Дойл, К. Гловер, И. Горовиц) в промышленных приложениях зачастую по-прежнему используются простейшие регуляторы, пропорционально-интегрирующие, пропорционально-интегрирующие-дифференцирующие (ПИД), регуляторы первого порядка и пр. Эти регуляторы просты по своей структуре, их работа основана на понятных физических принципах, что, возможно, и обусловило их популярность и широкую применимость в задачах управления (К. Острем, А. Датта, М. Хо, И.Б. Ядыкин,

В.Я. Ротач).

Цель работы. Главная цель дайной работы заключается в построении и обосновании эффективных графических алгоритмов синтеза стабилизирующих регуляторов для линейных динамических систем с неопределенными параметрами (как непрерывного времени, так и дискретных), на основе анализа характеристического полинома системы. С этой целью требуется распространить метод робастного £>-разбиения на класс аффинных по параметрам полиномов.

Помимо этого, в задачи диссертационной работы входит описание регуляторов низкого порядка, таких, что замкнутая система удовлетворяет критерию вида Н^ (#оо-норма передаточной функции не превосходит заданного уровня). Графическое представление таких регуляторов в пространстве параметров позволяет эффективно осуществлять их синтез.

Методы исследования. В работе использовались методы линейной алгебры, математического анализа, дифференциальной геометрии, теории управления и вычислительной математики.

Научная новизна. В диссертации получен ряд новых научных результатов, касающихся анализа линейных динамических систем с неопределенностью. В частности, рассмотрен класс моделей линейных динамических систем с параметрами, входящими аффинным образом в характеристический полином системы. Использованный для решения задачи метод робастного /^-разбиения расширен со случая неопределенных коэффициентов на случай аффинной параметрической неопределенности с вектором параметров, ограниченным в /р-ыорме. Продемонстрировано применение предложенного метода в синтезе регуляторов низкого порядка для систем с неопределенностью.

Также рассмотрен класс моделей линейных динамических систем, заданных передаточной функцией, с аддитивной, либо мультипликативной неопределенностью, ограниченной в 7/оо-норме. Предложены численно эффективные алгоритмы построения множеств робастно стабилизирующих регуляторов в двумерном пространстве параметров.

Сформулированы и доказаны теоремы о границах (в пространстве регулируемых параметров) полинома, являющегося робастно устойчивым, и о границах множества параметров регулятора стабилизирующих систему с гарантированным показателем качества. Доказано, что в обоих случаях эти границы параметризуются в явном виде как решение системы алгебраических уравнений (в некоторых случаях это решение найдено в явном виде).

Личный вклад. Результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно. Личным вкладом соискателя в совместно опубликованных работах явл5ются доказательства утверждений, разработка алгоритмов и проведение численных экспериментов.

Практическая значимость. Предложенные методы позволяют решать две важные задачи: первая задача — синтез ПИ-, ПИД-регулято-ров, регуляторов первого порядка и других регуляторов низкого порядка, робастно стабилизирующих линейную динамическую систему. Вторая задача — описание всего множества регуляторов заданного вида (например, ПИД-регуляторов), удовлетворяющих критерию Н^.

Такие методы важны, поскольку даже если удается пайти аналитическое описание множества регуляторов, решающих ту или иную задачу (например, параметризация Юлы-Кучеры всех оптимальных регуляторов в Яоо-теории), то ее практическое применение сопряжено с трудностями из-за сложности описания и побочных эффектов. Так, было показано, что полученные в рамках Лоо-теории оптимальные регуляторы часто крайне чувствительны к изменениям параметров системы.

Использование же графических методов в пространстве параметров не только позволяет формально описывают все множество требуемых регуляторов, но и дает наглядное представление о них, позволяя, например, легко осуществлять синтез регуляторов, отвечающих сразу нескольким критериям.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: XLVIII научная конференция Московского физико-технического института «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва-Долгопрудный, 2005), 37 региональная молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики», (Екатеринбург, 2006), 11 международная студенческая олимпиада по автоматическому управлению (Санкт-Петербург, 2006), IX международный семинар им. Е.С. Пятницкого (Москва, 2006), XIV международный семинар по динамике и управлению (Звенигород, 2007), II научной школе-семинаре по проблемам управления большими системами (Воронеж, 2007), а также на научных семинарах под руководством проф. Б.Т. Поляка (ИПУ РАН), А.П. Курдюкова (ИПУ РАН), Р. Темпо (IEIIT, Турин).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы (128 источника), а также содержит 11 рисунков. Общий объем диссертации составляет 67 страниц.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Тремба, Андрей Александрович

Выводы

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты, выносимые автором на защиту.

1. Проведен анализ робастной устойчивости систем, обладающих характеристическим полиномом с аффинной параметрической ^-ограниченной неопределенностью, в пространстве двух вещественных параметров или одного комплексного. Анализ основан на обобщении метода робастного /^-разбиения на данный класс неопределенностей. Доказано, что это множество параметров, при которых полипом робастно устойчив, ограничено кривыми, удовлетворяющих параметрической системе двух уравнений не выше второго порядка.

2. На основе анализа характеристического полинома предложен метод описания множества двухпараметрических стабилизирующих регуляторов для линейных непрерывных и дискретных динамических систем с параметрической ^-ограниченной неопределенностью в описании модели.

3. Предложен метод нахождения всех регуляторов заданной структуры, удовлетворяющих Яоо-критерию качества (Яоо-регуляторов), на основе пересечения специальных «допустимых» множеств. Доказано, что для двух регулируемых параметров допустимые множества ограничены кривой второго порядка.

4. Разработан прямой метод нахождения всех Дод-регуляторов заданной структуры, зависящих от двух параметров. Он базируется на графическом методе построения множества параметров таких регуляторов, аналогичных методам робастного 1)-разбиения для характеристического полинома. Использован оригинальный подход к определению особенностей такого построения. Изучены особенности построения множеств Яоо-ПИД-регуляторов.

5. Все предложенные методы и алгоритмы реализованы программно на языке Ма1;1аЬ и представляют интерес не только с теоретической, но и с практической точки зрения.

3.5. Заключение

В третьей главе предложены два подхода для нахождения множества регуляторов заданной структуры, которые удовлетворяют Я,^-критерию В первом подходе это множество представлено в пространстве параметров как пересечение допустимых множеств, в то время как во втором подходе с помощью идей ^-разбиения можно найти его границу. Оба подхода позволяют получить удобное графическое представление и не требуют трудоемких вычислений. Основное ограничение состоит в том, что рассматриваются только системы с одним входом и од

Рис. 3.9. Допустимы? множества для 7 = 0,66. мим выходом. Тем не менее эти методы работают как в задачах с Н^0-критериями, включающих функции чувствительности, дополнительной чувствительности или чувствительности по входу, так и в задачах стабилизации объекта с частотной неопределенностью. Существенной особенностью предложенных графических методов является возможность одновременного учета нескольких критериев, накладываемых на регулятор, построением пересечения множеств, соответствующих каждому критерию в отдельности.

Вследствие доминирования па практике регуляторов низкого порядка полученные результаты представляют собой важный шаг к использованию регуляторов, удовлетворяющих критерию Н^, в промышленности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тремба, Андрей Александрович, 2008 год

1. Андронов A.A., Майер А.Г. Простые линейные системы с запаздыванием // АиТ. 1946. № 7. С. 95-106.

2. Бендриков Г.А., Теодорчик К.Ф. Траектории корней линейных автоматических систем. М.: Наука, 1964.

3. Горовиц И. Синтез систем с обратной связью. М.: Сов. радио, 1970.

4. Грязина E.H. К теории ^-разбиения // АиТ. 2004. № 12. С. 15-28.

5. Грязина E.H., Тремба A.A. Параметрический метод синтеза регуляторов но критерию Ноо // Сборник докладов II школы-семинара молодых ученых «Управление большими системами» / ВГАСУ. Т. 1. Воронеж: Научная книга, 2007. С. 79-83.

6. Грязина E.H., Поляк Б. Т., Тремба A.A. Синтез регуляторов низкого порядка по критерию Н00: параметрический подход // АиТ. 2007. № 3, С. 93-105.

7. Грязина E.H., Поляк Б. Т. Многомерная область устойчивости полиномиальных семейств специального вида // АиТ. 2007, № 12, С. 38-52.

8. Джури Э.И. Инноры и устойчивость динамических систем. М.: Наука, 1979.

9. Джури Э.И. Робастность дискретных систем // АиТ. 1990. № 5. С. 3-28.

10. Киселев О.Н., Поляк Б. Т. Синтез регуляторов низкого порядка по критерию Ноо и по критерию максимальной робастности // АиТ. 1999. № 3. С. 119-130.

11. Лузин H.H. Дифференциальное исчисление. М.: Высш. шк., 1960.

12. Неймарк Ю.И. Об определении параметров, при которых система автоматического регулирования устойчива // АиТ. 1948. Т. 9, № 3. С. 190-203.

13. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем. Ленинград: ЛКВВИА, 1949.

14. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978.

15. Неймарк Ю.И. Робастная устойчивость и D-разбиение // АиТ. 1992. № 7. С. 10-18.

16. Несенчук A.A. Анализ и синтез робастных динамических систем на основе корневого подхода. Минск: ОИПИ HAH Беларуси, 2005.

17. Николаев Ю.И. О симметрии и других свойствах многомерной области асимптотической устойчивости линейных дискретных систем // АиТ. 2001. № 11. С. 109-120.

18. Николаев Ю.П. К исследованию геометрии множества устойчивых полиномов линейных дискретных систем // АиТ. 2002. № 7. С. 44-54.

19. Николаев Ю.П. Анализ геометрии D-разбиения двумерной плоскости произвольных коэффициентов характеристического полинома дискретной системы // АиТ. 2004. № 12. С. 49-61.

20. Пет,ров Н.П., Поляк Б.Т. Робастное D-разбиение // АиТ. 1991. № И. С. 41-53.

21. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Частотные критерии робастной устойчивости и апериодичности линейных систем // АиТ. 1990. № 9. С. 45-54.

22. Поляк Б. Т., Цыпкин Я.З. Робастная устойчивость линейных дискретных систем // Доклады АН СССР. 1991. Т. 316. № 4. С. 842-846.

23. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Робастная апериодичность // Доклады РАН. 1994. Т. 335. № 3. С. 304-307.

24. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

25. Поляк Б.Т., Щербаков П. С. Техника D-разбиения при решении линейных матричных неравенств // АиТ. 2006. № 11. С. 159-174.

26. Ротач В.Я. Теория автоматического управления. М.: МЭИ, 2004.

27. Соколов А.А. Критерий устойчивости линейных систем регулирования с распределенными параметрами и его приложения // Инженерный сборник, под ред. Н.А. Талицких. Москва-Ленинград: Изд-во Академии наук СССР, 1946. Т. II. вып. 2. С. 3-26.

28. Тремба А.А. Робастное D-разбиение при /^-ограниченных параметрических неопределенностях // АиТ. 2006. N2 12. С. 21-36.

29. Тремба А.А. Робастное D-разбиение при эллиптической неопределенности // Тезисы докладов IX международного семинара им. Е.С. Пятницкого / ИПУ РАН. Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. М.: 2006. С. 264-266.

30. Харитонов В. Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 14. № 11. С. 2086-2088.

31. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

32. Ackerrnann J. Robust Control: the Parameter Space Approach. London: Springer, 2002.

33. Ackerrnann J., Kaesbauer D. Stable polyhedra in parameter space // Automática. 2003. V. 39. C. 937-943.o

34. Bhattacharyya, S.P., Chapellat, H., Keel, L. Robust Control: the Parametric Approach. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1995.

35. Bhattacharyya S.P., Tantaris R.N., Keel L.H. Stabilization of discrete-time systems by first-order controllers // IEEE Transactions on Automatic Control. 2003. V. 48, No. 5. P. 858-861.

36. Blanchini F., Lepschy A., Miani S., Viaro U. Characterization of PID and lead/lag compensators satisfying given Hoo specifications// IEEE Trans. Automat. Control. 2004. V. 49, No. 5, P. 736-740.

37. Chen J., Fan M.K.H., Nett C.N. Structural singular value and stability of uncertain polynomials, II: a missing link // Syst. Contr. Lett. 1994. V. 23, No. 2. P. 97-109.

38. Datta A., Ho M. T. Bhattacharyya S. P. Structure and Synthesis of PID Controllers. New-York: Springer-Verlag, 2002.

39. Delansky, J.F., Bose, N.K. Real and complex polynomial stability and stability domain construction via network realizability theory // International Journal of Control. 1988. V. 48, No. 3. P. 1343-1349.

40. Delansky, J.F., Bose, N.K. Scliur stability and stability domain construction // International Journal of Control. 1989. V. 49, No. 4. P. 1175-1183.

41. Evans W.R. Control System Dynamics. McGraw-Hill, 1954.

42. Francis B. A Course in H°° Control Theory. Berlin: Springer, 1987.

43. Frazer R.A., Duncan W.J. On the criteria for stability for small motions /1 Proc. Royal Society Ser. A. 1929. V. 124. P. 642-654.

44. Fujisaki Y., Oishi Y., Tempo R. A mixed probabilistic/deterministic approach to fixed order Hqq controller design // Proc. of the 45th CDC, 2006. P. 3554-3559.

45. Gryazina E.N., Polyak D.T. Stability regions in the parameter space: ^-decomposition revisited // Automatica. 2006. V. 42, No. 1. P. 13-26.

46. Guvenc L., Ackermann J. Links between the parameter space and frequency domain methods of robust control. // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 2001. No. 11. P. 1435-1453.

47. Hinrichsen D., Pritchard A. Stability radius for structured perturbations and the algebraic Riccati equation // Syst. Control Lett. 1986. V. 8. P. 105-113.

48. Ho M. T., Synthesis of H^ PID controllers: a parametric approach // Automatica. 2003. V. 39, P. 1069-1075.

49. Ho M. T., Lin C. Y. PID controller design for robust performance // IEEE Transactions on Automatic Control. 2003. Vol. 48, No. 8, P. 14041409.

50. Ho M.-T., Datta A., Dhattacharyya S.P. A new approach to feedback stabilization // Proc. of the 35th CDC, 1996. P. 4643-4648.

51. Ho M.T., Datta A., Bhattacharyya S.P. An elementary derivation of the Routh-Hurwitz criterion // IEEE Transactions on Automatic Control. 1998. V. 43, No. 3. P. 405-409.

52. Horowitz I. Survey on quantitative feedback theory (QFT) // Int. J. Control. 1991. No. 53, P. 255-291.

53. Keel L., Bhattacharyya S. P. Robust, fragile or optimal? // IEEE Transactions on Automatic Control. 1997. V. 42. No. 6. P. 1098-1105.

54. Keel L.H., Rego J.I., Bhattacharyya S. P. A new approach to digital PID design 11 IEEE Transactions on Automatic Control. 2003. V. 48. No. 4. P. 687-692.

55. Keel L. H., Bhattacharyya S. P., Hoo design with first order controllers 11 Proc. 42nd CDC. 2003. P. 2282-2287.

56. Keel L.H., Bhattacharyya S.P. PID controller synthesis free of analytical models // Proceedings of the 16th IFAC World Congress. Prague, Czech Republic. 2005.

57. Kogan J. Robust stability and convexity. London: Springer, 1995.

58. Lehnigk S. H. Stability Theorems for Linear Motions with an Introduction to Liapunov's Direct Method. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1966.

59. Lin, H., Hollot, C. V. Results on positive pairs of polynomials and their application to the construction of the stability domains // International Journal of Control. 1987. V. 45, No. 3. P. 153.

60. Mitrovic D. Graphical analysis and synthesis of feedback control systems. I Theory and analysis, II - Synthesis, III - Sampleddata feedback control systems / / AIEE Transactions (Application and Industry). 1959. V. 77. P. 476-496.

61. Othental D., Blue P. Mapping of H^ design specifications into parameter space. // Proceedings of the 11th IFAC Symposium on Robust Control Design, Prague. 2000.

62. Panagopoulos H., Astróm K. J., Hágglund T. Design of PID controllers based on constrained optimization // Proc. Amer. Control Conf. 1999. P. 3858-3862.

63. Panagopoulos H., Ástróm K. J. PID control design and H0Q loop shaping //Int. J. Robust and Nonlinear Control. 2000. Vol. 10, No. 15, P. 1249-1261.

64. Polyak B.T. Robust linear algebra and robust aperiodicity / A.Rantzer, C.I.Byrnes (eds.) // Directions in Mathematical Systems Theory and Optimization. Springer, 2003. P. 249-260.

65. Polyak B.T., Scherbakov P.S., Shmulyian S.B. Construction of value set for robustness analysis via circular arithmetic // Int. J. Robust Nonlinear Control. 1994. V. 4. P. 371-385.

66. Qiu L., Bernhardsson B., Rantzer A., Davison E.J., Young P.M., Doyle J. C. A formula for computation of the real stability radius // Automatica. 1995. V. 31, No. 6. P. 879-890.

67. Saadaoui K., Ozguler A.B. A new method for the computation of all stabilizing controllers of a given order // International Journal of Control. 2005. V. 78, No. 1. P. 14-28.

68. M. Saeki and K. Aimoto, PID controller optimization for H-infinity control by linear programming, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 2000, V. 10, P. 83-99.

69. Saeki M. Fixed structure PID controller design for standard Hœ control problem // Proceedings of the 16th IFAC World Congress, Prague, Czech Republic. 2005.

70. Saeki M. Fixed structure PID controller design for standard H-infinity control problem // Automatica, 2006, V. 42, P. 93-100.

71. Schweppe F. Uncertain dynamic systems Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, Inc., 1973.

72. Siljak D. Analysis and synthesis of feedback control systems in the parameter plane. I Linear continuous systems, II - Sampled-data systems // AIEE Transactions (Application and Industry). 1964. V. 83. P. 449-466.

73. Siljak D. Generalization of the parameter plane method // IEEE Transactions on Automatic Control. 1966. AC-11. No. 1. P. 63-70.

74. Siljak D. Nonlinear systems: the parameter analysis and design. New York: Wiley, 1969.

75. Spelta C., Gryazina E. Describing the H-m{-sct in the controller parameters space // Proc. of the European Control Conference, Kos, Greece, July 2-5, 2007, P. 816-823.

76. Soylemez M.T., Munro N., Baki H. Fast calculation of stabilizing PID controllers // Automatica. 2003. V. 39. P. 121-126.

77. Gryazina E. N., Trernba A. A. Synthesis of Hqq low-order controllers: parameter space approach // Preprints of 11th International Student Olympiad on Automatic Control. Saint-Petersburg: 2006. P. 46-50.

78. Vishnegradsky I. Sur la theorie generale des régulateurs // Compt. Rend. Acad. Sci. 1876. V. 83. P. 318-321.

79. Zhou K., Doyle J.C., Glover K. Robust and Optimal Control. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996.