Методы синтеза адаптивных моделей и алгоритмов оценки параметров движения подвижных объектов в информационных системах комплексов управления железнодорожными переездами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Пеньков Антон Сергеевич

• Пеньков Антон Сергеевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Пеньков Антон Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ ДИНАМИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ ПРИ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ КОМПЛЕКСОВ УПРАВЛЕНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫМИ ПЕРЕЕЗДАМИ

1.1 Роль и значение информационных систем комплексов управления железнодорожными переездами в задачах оценки параметров движения подвижных объектов

1.2 Системный анализ алгоритмов оценки параметров движения в информационных системах комплексов управления железнодорожными переездами

1.3 Анализ существующего научно-методического аппарата синтеза алгоритмов оценки в условиях неопределенности

1.4 Метод обратных задач динамики в процедуре построения моделей при синтезе алгоритмов оценки параметров движения подвижных объектов

1.5 Выбор критериев эффективности алгоритмов оценки параметров движения подвижных объектов и обоснование требований, предъявляемых к информационным системам комплексов управления железнодорожными переездами

1.6 Формализация и постановка общей научной задачи и частных научных задач исследования

1.7 Выводы по главе

ГЛАВА 2. СИНТЕЗ МОДЕЛЕЙ ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ С АДАПТАЦИЕЙ К ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ

ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ И УСЛОВИЯ МАКСИМУМА ФУНКЦИИ ОБОБЩЕННОЙ МОЩНОСТИ

2.1 Метод синтеза адаптивных моделей подвижных объектов на основе решения обратной задачи динамики и условия максимума функции обобщенной мощности

2.2 Метод синтеза адаптивных моделей подвижных объектов с использованием разработанного научно-методического аппарата и формирующего фильтра

2.3 Выводы по главе

ГЛАВА 3. СИНТЕЗ АДАПТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ

3.1 Разработка структуры адаптивных алгоритмов оценки параметров движения подвижных объектов

3.2 Синтез адаптивных алгоритмов оценки параметров движения подвижных объектов с использованием предложенных моделей на основе аналитического решения векторно-матричного дифференциального уравнения

3.3 Синтез адаптивных алгоритмов оценки параметров движения подвижных объектов с использованием предложенных моделей на основе разложения матричной экспоненты в ряд Тейлора

3.4 Выводы по главе

ГЛАВА 4. РАЗРАБОТКА КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ ДЛЯ АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ АДАПТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ В ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ ТРАНСПОРТНОЙ ИНФРАСТРУКТУРЫ

4.1 Программа анализа эффективности адаптивных алгоритмов оценки в информационной системе комплекса управления железнодорожными переездами

4.2 Практические рекомендации по адаптации предложенных алгоритмов к траектории движения подвижного объекта и пример технической реализации устройства адаптации

4.3 Практические рекомендации по реализации адаптивных алгоритмов оценки и комплекс программ для определения углового положения и пространственной конфигурации подвижных объектов

4.4 Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А. АКТЫ РЕАЛИЗАЦИИ

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ПРОГРАММА АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ АДАПТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ

ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ НА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОМ ПЕРЕЕЗДЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ В. ПРОГРАММА АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ АДАПТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ В ЗАДАЧАХ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ

БПЛА

ПРИЛОЖЕНИЕ Г. ПРОГРАММА АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ АДАПТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНКИ ТРАЕКТОРИИ

МАНЕВРИРУЮЩЕГО ОБЪЕКТА

ПРИЛОЖЕНИЕ Д. ПРОГРАММА АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ АДАПТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ

ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ПОДВИЖНОГО ОБЪЕКТА

ПРИЛОЖЕНИЕ Е. ПРОГРАММА АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ АДАПТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ПОДВИЖНОГО ОБЪЕКТА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы синтеза адаптивных моделей и алгоритмов оценки параметров движения подвижных объектов в информационных системах комплексов управления железнодорожными переездами»

ВВЕДЕНИЕ

Железнодорожный переезд является одним из наиболее аварийно-опасных участков железной дороги. Вопросы, касающиеся безопасности движения на железнодорожных переездах неоднократно поднимались на заседании Государственного Совета по вопросам обеспечения безопасности дорожного движения, а также на заседании секции «Комплексные проблемы транспорта» научно-технического совета ОАО «РЖД», где особое внимание уделялось проблеме прогнозирования поведения подвижных объектов вблизи железнодорожных путей. «Важнейшая задача - повысить безопасность на дорогах, до минимума снизить смертность в результате дорожно-транспортных происшествий» - из послания президента федеральному собранию от 1 марта 2018 года.

Несмотря на то, что эксплуатация железнодорожных переездов жестко регламентирована Приказом Министерства транспорта Российской Федерации №402 от 5 октября 2022 г., на них ежедневно фиксируется множество нарушений правил дорожного движения (ПДД), что приводит к дорожно-транспортным происшествиям, в том числе с летальными исходами.

В целях снижения количества дорожно-транспортных происшествий (ДТП), автоматизации процесса управления железнодорожной автоматикой, а также оперативного информирования аварийных служб об экстренной ситуации разработаны программно-аппаратные комплексы управления переездом (ПАКУП). Они обеспечивают безлюдное интеллектуальное управление железнодорожным переездом с целью предупреждения ДТП и осуществляют контроль соблюдения ПДД. Анализ дорожной сцены производится с использованием измерительного модуля (ИМ), который

включает в себя оптические датчики и радар миллиметрового диапазона длин волн, что обусловлено требованием функционирования комплекса в условиях недостаточного освещения и ограниченной видимости, вызванной атмосферными явлениями, такими как дождь, снег, туман.

ОАО «РЖД» в соответствии с ГОСТ Р 57144-2016 предъявляет строгие требования к точности определения параметров движения подвижных объектов в границах переезда независимо от метеоусловий и времени суток, поскольку они определяют вероятность возникновения аварийной ситуации. Кроме того, регламентируются минимальные габаритные размеры обнаруживаемого комплексом управления железнодорожным переездом подвижного объекта - 0,5х0,5х1м, что говорит о том, что в качестве подвижных объектов подразумеваются различные виды транспортных средств (ТС) (мотоциклы, легковые и грузовые автомобили, автобусы). Практическая проблема (противоречие в практике) заключается в том, что существующие информационные системы (ИС) комплексов управления железнодорожными переездами не всегда удовлетворяют предъявляемым к ним требованиям (среднеквадратическая погрешность определения скорости движения ТС не более 2 км/ч; среднеквадратическая погрешность определения положения движения ТС не более 0,7 м) в условиях недостаточной освещенности и ограниченной видимости на переездах со сложной конфигурацией подъездных путей. Важность проблемы диктуется растущим из года в год количеством ДТП на переездах, значительная доля которых происходит в ночное время и при плохих погодных условиях.

Целью исследования является повышение точности оценки параметров движения подвижных объектов для достижения требуемых характеристик информационных систем комплексов управления железнодорожными переездами.

Проведенный в работе анализ показал, что наиболее существенной причиной неудовлетворительной эффективности функционирования комплекса в целом являются ошибки определения текущих параметров

движения подвижных объектов. За их оценку в ПАКУП отвечает информационная система (ИС), которая является объектом исследования.

Декомпозиция ИС ПАКУП позволяет выделить блок анализа дорожной сцены, содержащий алгоритмы оценки параметров движения подвижных объектов. Качество их функционирования определяется математической моделью движения, которые существенно влияют на эффективность функционирования ИС в целом. При использовании модели, учитывающей всю полноту и детализацию поведения подвижного объекта алгоритмы оценки становятся слишком сложными и не могут быть реализованы в реальном масштабе времени. Традиционная модель прямолинейного движения не позволяет с достаточной точностью описать поведение объекта на переездах со сложной конфигурацией подъездных путей.

Это позволяет сделать вывод о наличии научной проблемы (противоречии в науке) между требованием максимальной детализации математической модели и требованием ее конструктивности, поэтому эффективные алгоритмы оценки состояния подвижных объектов, как правило, являются компромиссом между сложностью и точностью оценивания. Существенный вклад в развитие методов разрешения данной проблемы внесли Р. Калман, Р. А. Зингер, А. Н. Тихонов, Г. Л. Ван Трис, А. Н. Колмогоров, Э. Сейдж, Я. Бар-Шалом.

Алгоритмы оценки параметров движения могут быть построены на основе кинематических или динамических моделей движения. Известно, что применение кинематических моделей при определении параметров движения подвижных объектов на переездах со сложной конфигурацией подъездных путей приводит к возникновению динамических ошибок оценки. Сложная траектория движения к переезду может быть описана динамической моделью с априорно неизвестными воздействиями.

Таким образом, наличие указанного противоречия в науке определяет предмет исследования - научно-методический аппарат синтеза моделей и алгоритмов оценки параметров движения подвижных объектов в условиях

неопределенности, которая характеризует слабоструктурированную ИС ПАКУП.

Анализ существующего научно-методического аппарата синтеза алгоритмов оценки в условиях неопределенности относительно поведения объекта приводит к заключению, что эта задача в общей постановке не разрешена по настоящее время. Одна из основных причин неудовлетворительного качества оценивания - априорная неопределенность относительно характера поведения подвижного объекта, которая возникает при обработке информации о параметрах его движения. Кроме того, нелинейность моделей состояния и наблюдения вносит дополнительные трудности в процесс разработки эффективных по критерию точности алгоритмов оценки.

На этапе разработки ИС ПАКУП конфигурация подъездных путей, как правило, заранее известна, что позволяет использовать в их основе алгоритмы оценки на базе адаптивных моделей подвижных объектов. Адаптация производится на множестве доступных траекторий движения различных ТС при движении в различных условиях, что обеспечивает достижение требуемых показателей эффективности ИС комплекса управления железнодорожными переездами.

Задача синтеза адаптивных моделей движения состоит в поиске структуры неизвестных сил по результатам измерений, что, с точки зрения причинно-следственных связей, является обратной задачей динамики, которые в большинстве случаев являются некорректными. Получить общее решение обратной задачи можно с помощью развитого в рамках теории оптимального управления метода с использованием условия максимума функции обобщенной мощности.

Таким образом научной задачей исследования является разработка методов синтеза адаптивных моделей и алгоритмов оценки параметров движения подвижных объектов на основе решения обратных задач динамики, обеспечивающих повышение точности функционирования информационных

систем комплексов управления железнодорожными переездами и достижение ими требуемых характеристик.

Для решения научной задачи проведена ее декомпозиция на следующую совокупность взаимоувязанных частных научных задач:

1. Разработка метода синтеза адаптивных моделей подвижных объектов на основе решения обратной задачи динамики и условия максимума функции обобщенной мощности, обеспечивающих повышение точности в сравнении с традиционными моделями.

2. Разработка метода синтеза адаптивных моделей подвижных объектов с использованием разработанного научно-методического аппарата и формирующего фильтра учета маневренных свойств, обеспечивающих повышение точности в сравнении с традиционными моделями в условиях преднамеренного интенсивного маневрирования.

3. Синтез адаптивного алгоритма оценки параметров движения подвижных объектов с использованием предложенных моделей на основе аналитического решения векторно-матричного дифференциального уравнения.

4. Синтез адаптивного алгоритма оценки параметров движения подвижных объектов на основе предложенных моделей с разложением матричной экспоненты в ряд Тейлора.

Научная новизна представленных в диссертации результатов состоит в разработке новых методов синтеза адаптивных моделей и алгоритмов оценки параметров движения подвижных объектов на основе решения обратных задач на базе условия максимума функции обобщенной мощности и принципа декомпозиции.

Новые научные результаты, выдвигаемые для защиты:

1. Впервые предложен метод синтеза адаптивных моделей подвижных объектов, отличающийся процедурой построения решения обратной задачи динамики с использованием условия максимума функции обобщенной мощности и принципа декомпозиции.

2. Впервые предложен метод синтеза адаптивных моделей подвижных объектов, отличающийся применением метода формирующего фильтра в совокупности с условием максимума функции обобщенной мощности и принципом декомпозиции при построении решения обратной задачи динамики.

3. Разработан новый адаптивный алгоритм оценки параметров движения подвижных объектов, отличающийся от традиционных алгоритмов оценки калмановского типа структурой переходной матрицей состояния и вектором возмущения.

4. Разработан новый адаптивный алгоритм оценки параметров движения подвижных объектов, отличающийся от традиционных алгоритмов оценки калмановского типа структурой переходной матрицей состояния и вектором возмущения, полученными с расширением пространства состояний и введением дополнительных параметров адаптации.

Новые научные положения, выдвигаемые для защиты:

1. Применение нового метода синтеза адаптивных моделей подвижных объектов на основе принципа декомпозиции и условия максимума функции обобщенной мощности дает возможность получить структуру динамической модели движения с гладкой одноэкстремальной зависимостью функционала невязки от параметра адаптации, что позволяет использовать ее для построения адаптивного алгоритма оценки параметров движения калмановской структуры.

2. Применение нового метода синтеза на основе формирующего фильтра в совокупности с принципом декомпозиции и условием максимума функции обобщенной мощности позволяет получить адаптивную модель подвижного объекта с учетом регулярной составляющей случайного процесса.

3. Разработанные новые алгоритмы оценки параметров движения подвижных объектов с адаптацией модели отличаются от известных структурой переходной матрицы состояния и вектора возмущения, что позволяет обеспечить повышение точности оценки положения объекта на

железнодорожных переездах и подъездных путях в среднем на 3% и скорости на 9% в сравнении с традиционными алгоритмами. При этом обеспечивается гарантированное соответствие комплекса предъявляемым требованиям.

Теоретическая значимость заключается: в развитии методов решения обратных задач динамики на основе условия максимума функции обобщенной мощности; в развитии нового подхода к синтезу алгоритмов оценки параметров движения подвижных объектов с адаптацией модели к априорно неизвестным воздействиям.

Практическая значимость результатов работы:

- использование разработанных адаптивных алгоритмов оценки в информационной системе комплекса управления железнодорожным переездом обеспечивает повышение точности определения параметров движения ТС и достижение характеристик ПАКУП, соответствующих требованиям ОАО «РЖД»;

- разработанные адаптивные алгоритмы оценки параметров движения могут быть использованы в составе системы сопровождения летательных аппаратов на основе данных радиолокационных измерений, и обеспечить повышение точности оценки траектории летательного аппарата до 30% при сопровождении целей, совершающих агрессивное маневрирование;

- разработанные адаптивные алгоритмы оценки могут быть использованы в программно-аппаратном комплексе для отладки алгоритмов оценки и управления угловым положением беспилотного летательного аппарата в режиме стабилизации, обеспечивая повышение точности определения углов ориентации в среднем на 8 - 10%, а в отдельных случаях, при высокой интенсивности внешних воздействий, на 25 - 30%.

Область исследования. Тематика работы соответствует паспорту научной специальности 2.3.1. «Системный анализ, управление и обработка информации, статистика»:

- пункту 1 «Теоретические основы и методы системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений, обработки информации и искусственного интеллекта»;

- пункту 2 «Формализация и постановка задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений, обработки информации и искусственного интеллекта»;

- пункту 4 «Разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений, обработки информации и искусственного интеллекта»;

Методы исследования включают применение научно-методического аппарата системного анализа, методов аналитической механики, теории нелинейной стохастической фильтрации, теории управления, теории случайных процессов. Для получения динамических моделей движения использовались методы обратных задач и методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Оценка точности разработанных алгоритмов проводилась на основе численного моделирования и данных эксперимента.

Степень достоверности результатов проведенных исследований определяется адекватной логикой исследования, проработанной теоретико-методической базой, совпадением модельных и эмпирических данных, корректностью математических моделей. Результаты теоретических и экспериментальных исследований сопоставлялись с результатами других исследователей, работающих в данной области. Выводы, сделанные по результатам работы, являются обоснованными, научные положения аргументированными и прошли апробацию на Международных и Всероссийских конференциях.

Реализация результатов работы.

Основные результаты диссертации реализованы в:

- АО «Донтехмаш» при выполнении НИОКР «Разработка системы безопасности транспортных средств на железнодорожных переездах «ЗАГРАДИТЕЛЬ-Т» с использованием интеллектуального анализа дорожной

сцены на базе методов структурной адаптации моделей движения (Договор 468ГРНТИС5/45570 от 11.04.2019), в виде алгоритмов оценки параметров движения (отчет о НИР «Исследование методов структурной адаптации моделей движения в задачах обработки радиолокационной информации» №570 от 06 мая 2019) (акт прилагается);

- ФГУП «Ростовский-на-Дону научно-исследовательский институт радиосвязи» Федеральном научно-производственном центре при разработке Стенда построения радиолокационных изображений и измерения радиолокационных характеристик («Стенд РЛИ - М») в виде алгоритмов динамической оценки данных вторичной обработки информации с адаптацией модели в составе системы сопровождения летательных аппаратов (акт прилагается);

- ФГБОУ ВО РГУПС при реализации НИР «Разработка элементов беспилотных технологий на базе методов объединенного принципа максимума» в виде адаптивных алгоритмов оценки углового положения летательного аппарата в режиме стабилизации (договор о предоставлении гранта ФГБОУ ВО РГУПС от 02 июля 2018 г. № 328) (акт прилагается);

- учебном процессе ФГБОУ ВО РГУПС по дисциплине: «Теория передачи сигналов» специальности 23.05.05 Системы обеспечения движения поездов, специализация № 3 «Телекоммуникационные системы и сети железнодорожного транспорта» (специалитет) (акт прилагается).

Отдельные вопросы диссертационной работы поддержаны грантами:

- РФФИ 18-08-01494 А - Синтез информационно-управляющих систем в условиях структурной неопределенности на основе вариационных принципов;

- РФФИ 19-38-90273 Аспиранты - Синтез алгоритмов оценки ориентации подвижных объектов с текущей адаптацией модели экстраполятора;

- РНФ 23-29-00812 - Синтез квазиоптимальных законов управления на основе редукции задачи Лагранжа к изопериметрической задаче.

Результаты исследований использованы при выполнении работ в рамках научной темы «Разработка беспилотных технологий на основе комплексной поэтапной оптимизации с редукцией экстремальных задач и инструментов нейронечёткого моделирования (FZNE-2022-0006)».

Публикации. Результаты диссертационного исследования опубликованы в 35 публикации, из них работ, опубликованных в рецензируемых научных журналах (из перечня ВАК по специальности 2.3.1. Системный анализ, управление и обработка информации, статистика) - 7; изданиях, включенных в наукометрические базы данных Scopus и Web of Science - 6; 18 статей в других изданиях, 3 программы для ЭВМ, 1 патент на изобретение.

Личный вклад соискателя в опубликованных в соавторстве работах состоит в следующем:

В работах [28, 29, 65, 68, 91] авторский вклад состоит в синтезе адаптивной динамической модели движения на основе методологии объединенного принципа максимума, а также проведении анализа их эффективности на основе численного моделирования. Участие автора в работах [2, 17, 32, 35, 47, 93, 95] заключается в синтезе адаптивной модели движения на базе принципа декомпозиции и условия максимума функции обобщенной мощности, разработке алгоритма оценки углов ориентации БПЛА на основе предложенной модели, а также проведении анализа точности и устойчивости функционирования полученного алгоритма на основе экспериментальных исследований и численного моделирования. При подготовке работ [46, 50-52] автором проведено полунатурное моделирование процесса оценки углов ориентации БПЛА. Личный вклад автора в работах [18, 27, 30, 31, 96] состоит в синтезе адаптивного фильтра и постановке задачи идентификации параметров модели движения. В работе [92] авторский вклад состоит в проведении численного моделирования процесса вторичной обработки информации РЛК. В работах [33, 34] автором решена задача синтеза адаптивной модели движения на базе принципа декомпозиции и условия

максимума функции обобщенной мощности, разработан алгоритм вторичной обработки информации РЛК на основе предложенной модели, а также проведен численный эксперимент для определения эффективности предложенного алгоритма. Личный вклад соискателя в работу [23] заключается в синтезе алгоритма оценки плоского движения ЛА в условиях маневра и проведенном численном моделировании для оценки эффективности предложенного решения. В работах [3, 94] автором произведен синтез модели движения маневрирующей цели на базе принципа декомпозиции и условия максимума функции обобщенной мощности с использованием расширения пространства состояний и уравнением формирующего фильтра; синтез алгоритма вторичной обработки информации РЛК; а также численное моделирование процесса сопровождения ЛА. Соискателем при подготовке работы [44] выполнен синтез алгоритма оценки плоского движения объектов в границах железнодорожного переезда, а также анализ результатов моделирования процесса функционирования программно-аппаратного комплекса управления переездом «Заградитель - Т». Вклад автора в работах [48, 49] заключается в сравнительном анализе линейного и нелинейного решений обратной задачи динамики БПЛА на основе численного моделирования. Автору также принадлежит математическая постановка обратной задачи динамики и решение частной оптимизационной задачи, связанной с синтезом адаптивной математической модели измерительного процесса с использованием объединенного принципа максимума, опубликованные в работе [16].

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных конференциях: Международных научных конференциях «Транспорт» (2018-2023) (г. Ростов-на-Дону); Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы и перспективы развития транспорта, промышленности и экономики России» («Транспромэк-2019») (г. Ростов-на-Дону, 2019 г); Международных научно-практических конференциях «Цифровизация и современные технологии:

инновационное развитие образования, науки и бизнеса» (2020-2022) (г. Ростов-на-Дону); Международной научной конференции «Системный анализ, управление и обработка информации» (г. Ростов-на-Дону, 2019 г); Международной научной конференции «Innovative technologies in science and education, ITSE-2020» (г. Ростов-на-Дону, 2020 г); Всероссийской национальной научно-практической конференции «Современное развитие науки и техники (Наука-2020)» (г. Ростов-на-Дону, 2020 г.); Всероссийской научно-технической конференции для молодых ученых и студентов с международным участием «Инновации технических решений в машиностроении и транспорте» (г. Пенза, 2021 г).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Содержит 187 страниц, в том числе 6 приложений, 42 рисунка и 7 таблиц. Список литературы содержит 114 наименований.

ГЛАВА 1. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ ДИНАМИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ ПРИ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ КОМПЛЕКСОВ УПРАВЛЕНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫМИ ПЕРЕЕЗДАМИ

1.1 Роль и значение информационных систем комплексов управления железнодорожными переездами в задачах оценки параметров движения

подвижных объектов

По статистике, приведенной международным союзом железных дорог, большую опасность несут железнодорожные переезды. На долю происшествий на переезде приходится около 13% от общего количества инцидентов на железной дороге. На данный момент, безопасность на них регулируется приказом Министерства транспорта Российской Федерации от 31 июля 2015 г. №237 «Об утверждении условий эксплуатации железнодорожных переездов».

Проблемы безопасности движения на железнодорожном переезде неоднократно поднимались на заседании Государственного Совета по вопросам обеспечения безопасности дорожного движения, в том числе и 26 июня 2019 года. «Важнейшая задача - повысить безопасность на дорогах, до минимума снизить смертность в результате ДТП» - из послания президента федеральному собранию от 1 марта 2018 года.

Согласно анализу аварийности, проведённому государственной инспекцией безопасности дорожного движения (ГИБДД), в период с января по ноябрь 2019 года по России зафиксировано более 200 ДТП на

железнодорожных переездах, в которых погибло 47 человек и более 168 ранено. Помимо человеческих жертв, в результате ДТП на железнодорожных переездах (рисунок 1.1) повреждается железнодорожное полотно, подвижной состав, железнодорожная инфраструктура, что влечёт за собой расходы на их восстановление и сбой в расписании движения поездов.

Рисунок 1.1 - Последствия ДТП на железнодорожных переездах

По статистике основной причиной ДТП на железнодорожных переездах является нарушение водителями транспортных средств ПДД. В ряде субъектов Российской Федерации регулярно проводятся оперативно-профилактические мероприятия «Переезд» с целью выявления нарушителей и профилактики нарушений ПДД на железнодорожных переездах, в ходе которых, за один день выявляется не менее 50 фактов нарушения ПДД.

В целях снижения количества ДТП, автоматизации процесса управления заградительными устройствами, а также оперативного информирования аварийных служб о возникновении экстренной ситуации разработаны программно-аппаратные комплексы управления переездами (ПАКУП) (Рис. 1.2). Комплексы обеспечивают безлюдное интеллектуальное управление железнодорожными переездами и осуществляют контроль соблюдения ПДД. Их оптические системы позволяют обнаружить подвижные объекты, находящиеся в пределах ограниченной площади (на переездах, на пути,

стрелочном переводе, тормозной позиции и т.п.), а также препятствия, представляющие опасность для движения поездов.

Рисунок 1.2 - Схема программно-аппаратного комплекса управления

переездом

В соответствии с ГОСТ Р 57144 - 2016 и при анализе результатов НИОКР (договор 468ГРНТИС5/45570 от 11.04.2019) определены требования ОАО «РЖД» к характеристикам информационных систем комплексов управления железнодорожными переездами (таблица 1.1), которые определяют критерии эффективности функционирования алгоритмов обработки информации.

Таблица 1.1 - Требования ОАО «РЖД» к ИС ПАКУП

Наименование характеристики Значение

1 Диапазон измеряемой скорости движения ТС 5 - 250 км/ч

2 Среднеквадратическая погрешность определения положения ТС 0.7 м

3 Среднеквадратическая погрешность определения скорости движения ТС в диапазоне до 100 км/ч 2 км/ч

4 Контролируемая зона железнодорожного переезда не менее 150 м

5 Минимальные габаритные размеры обнаруживаемого объекта, (ДхШхВ), мм 500х500х1000

Перечисленные требования должны выполняться в любое время суток и при любых погодных условиях (туман, атмосферные осадки и т.п.), однако оптические средства анализа дорожной сцены не могут быть использованы в условиях недостаточной видимости и в темное время суток. Задача соответствия предъявляемым требованиям осложняется тем, что в соответствии с п.5 (Табл.1.1) под подвижными объектами рассматриваются ТС, в том числе мотоциклы, легковые и грузовые автомобили, автобусы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Пеньков Антон Сергеевич, 2023 год

и - Ч

5 -/л

1, п,

(47)

Iа \ = \\а 1Х 1 Ь -а ,

| 1 5 | \ 55 | 5 1 5 |

-1

а

Ч з

Чз

+ N -1 ( ^ з - Ч з)

,5=1, П,

<

а*Л = + (л -О'5

Ч, = + яГМ'Х?(г3 -^=1,п.

Положив =Х-1а~1^-1, 5 = 1,п, получим уравнение модели движения,

аппроксимирующее реальное движение в режиме декомпозиции по целевому функционалу [35], в форме

= я (48)

Полученная модель требует адаптации по параметру X, и может быть использована для построения адаптивного фильтра оценки состояния калмановской структуры, при этом зависимость СКО оценки выражением (48) является гладкой с явно выраженным минимумом.

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 X

Рисунок 2.2 - Зависимость СКО оценки от параметра адаптации

Адаптация модели может быть проведена по заданной типовой траектории движения с учетом априорно неизвестных воздействий в контексте решаемой задачи по критерию (24). В результате получим уравнение модели

л *

для заданного параметра X*, что при учете удачного выбранного приближения позволит рассматривать случай, когда величину ^ (^) = ^ ) - ^ ) можно

считать белым гауссовским шумом. Таким образом, модель (48) представляет собой адаптацию исходной модели (22) по заданной типовой траектории с декомпозицией по целевому функционалу.

Рассмотрим вариант построения модели движения для объекта с п степенями свободы. Поскольку уравнения (48) справедливы для любых обобщенных главных координат, имеем следующую модель динамической системы

я. (0=(0+\А*)>"=(49)

где w - белый гауссовский шум с интенсивностью у и локальными характеристиками

М [ w(t )] = 0, М [ w2 (t )] = у8( t -т).

Воспользуемся процедурой расширения пространства состояния:

5 = 1...П.

х

(t ) =

\5 (t) *2,5 (t)

г =

, ^1,5 =

0 Ч5

5 = 1...П,

(50)

(51)

< _

Д, М = (0 + 4X0

Или в векторно-матричном виде:

хДО=(0+=^

О 1

о

где х (^) - расширенный вектор состояния, Г ^ - переходная матрица состояния, ^ л - вектор возмущения. Уравнение наблюдения имеет вид:

25 ^ ) = Н х5 ^ ) + V5 (t), 5 = 1

где ъ3 ^) = [^ 5 (t) ^ 5 (t)] - вектор наблюдения,

Н -матрица наблюдения, определяемая доступным набором измерительных средств,

(52)

V (/) = [V * (/) V ^ (/)]Т - вектор шума наблюдения.

Таким образом решением первой частной научной задачи является предложенный метод синтеза М1 в виде решения обратной задачи по определению новой структуры обобщенных сил О с точностью до параметра адаптации. Предложенный метод позволяет сформировать множество альтернативных вариантов новых моделей движения (50), отличающихся от известных структурой переходной матрицы состояния ^ и вектора

возмущения ^ •

Синтез модели движения заключается в определении значения параметра адаптации в матрицах (51), обеспечивающего минимизацию критерия (24), что приводит к выбору единственного из альтернативных вариантов модели для каждой конкретной конфигурации железнодорожного переезда и его подъездных путей, и производится на этапе проектирования ИС ПАКУП.

Полученная модель движения может быть использована для синтеза адаптивного алгоритма оценки, обеспечивающего повышения точности определения параметров движения подвижных объектов в сравнении с традиционными.

2.2 Метод синтеза адаптивных моделей подвижных объектов с использованием разработанного научно-методического аппарата и

формирующего фильтра

Вторая частная научная задача базируется на решении ЧНЗ 1:

Дано: Метод синтеза адаптивных моделей движения Мх и полученная в ходе решения обратной задачи динамики структура обобщенных сил О; метод формирующего фильтра Мф; линейная модель движения 0{:\уД,) , определяемая переходной матрицей состояния ^ :(М, ^, О) и вектором возмущения ^ :(М, ^, О; полученный в результате адаптации случайный процесс ^ (V), такой, что соу{^ (V),^ (т)} ф 0 для т ф V •

Требуется разработать метод синтеза адаптивных моделей движения М2 М1, Мф) , который позволит получить линейную модель движения

02\1^2,С2,\у,Х2) , определяемую переходной матрицей состояния

:{М2, ,0 и вектором возмущения 02М2, Х2, ^. Полученная модель

движения должна обеспечивать минимизацию критерия (24) при ограничениях (16) - (18) для класса подвижных объектов, совершающих преднамеренное интенсивное маневрирование.

Рассмотрим решение задачи для случая, когда шум ^ (V) марковского типа. Модель системы и наблюдения записываются аналогично (23), (49)

Ч, (О = -ТЧА (0 + ЧЛЬ (')>•* = (53)

^ (() = Ч ^) + V (*), 5 = й, (54)

однако в данном случае мы предполагаем, что ^ (V) образуется на выходе линейной динамической системы, на которую воздействует также белый шум w( V):

= + * = (55)

где - параметр формирующего фильтра, связанный с длительностью маневра подвижного объекта.

Предположим, что среднее ц (¿0) и дисперсия а^ (?0) начального

состояния ч (?0) известны и дополнительно к этому начальное значение

переменной состояния ) является случайной величиной с нулевым

средним значением и дисперсией стм . При этом стм в рамках поставленной задачи является дисперсией ускорения подвижного объекта, которое возникает с вероятностью р^, и может принимать любое значение между

максимально (атах) и минимально (ат1Т1) возможным для заданного класса объектов:

2

,_2 _ атах °М _ ~

[1 + 4Рм - Р,],

где р - вероятность отсутствия маневра.

С учетом вышесказанного получаем следующую модель системы:

I (0="ТЧА (0+Члъ (0' г-

^ ( * ) = К*, (* ) + Уя (* ), 5 = 1, П. Или в векторно-матричном виде:

,( * ) = Н 5 Х5 ( * ) + V 5 (* ), 5 = й,

, п,

(56)

(57)

(58)

ъ

( * ) (*)

X 5 ( * ) = Х2,5 ( * ) = <К0 *2,5 (*)

_Х3,, (*)_ _л(0_ _*з,, (*)_

" 0 1 0 " "0"

г = 0 2,5 , ^ 2,5 = 0

0 0 -а5 _ 1

, 5 = 1, П.

(59)

Таким образом решением второй частной научной задачи является предложенный метод синтеза М2:(М1, Мф), заключающийся в расширении

пространства состояний модели Ох: (^С^лу,)^) за счет уравнения

формирующего фильтра, и введением в структуру матриц (59) дополнительных параметров адаптации а и ам, связанных соответственно с длительностью и интенсивностью маневра наблюдаемого объекта.

Предложенный метод М2М1,Мф) позволяет сформировать множество альтернативных вариантов моделей движения 02\(^2,С2,\у,Х2), выбор одного из которых осуществляется в процессе адаптации параметров Х2 :(X,а,ам) по критерию (24) для известной конфигурации

железнодорожного переезда и его подъездных путей на этапе разработки ИС ПАКУП.

Полученная модель движения может быть использована при синтезе адаптивного алгоритма оценки для повышения точности определения параметров движения подвижных объектов в условиях преднамеренного интенсивного маневрирования ТС, вызванного возникновением аварийно-опасной ситуации и достижения требуемых характеристик функционирования ИС ПАКУП.

2.3 Выводы по главе 2

1. Предложенный метод синтеза адаптивных моделей движения на основе решения обратных задач на основе условия максимума функции обобщенной мощности [26] позволяет получить структуру модели с точностью до нелинейной синтезирующей функции. Однако при его применении возникают существенные сложности (многоэкстремальность зависимости функционала невязки от параметра адаптации), что особенно критично в случае оценки состояния подвижных объектов с большим числом степеней свободы, а также при высокой интенсивности априорно неизвестных воздействий.

2. Полученный в результате решения ЧНЗ 1 метод синтеза адаптивных моделей подвижных объектов отличается от известных применением принципа декомпозиции и условия максимума функции обобщенной мощности для получения структуры динамической модели движения.

3. Использование метода формирующего фильтра в ЧНЗ 2 приводит к модели движения с учетом регулярной составляющей случайного процесса.

4. Совокупность математических приемов и операций, являющихся решением ЧНЗ 1 и ЧНЗ 2 позволяют получить адаптивные модели в необходимой форме для синтеза алгоритмов оценки параметров движения подвижных объектов калмановского типа.

ГЛАВА 3. СИНТЕЗ АДАПТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ

Выполним постановку третьей и четвертой частных научных задач исследования:

Полученные значения при решении ЧНЗ 1 и ЧНЗ 2 ^ :(М, ^, О, ¥2 : ( М2, Х2,0 , ^ '■(М1, ^, 0, 02: (М2, Х2,0 определяют модели движения Ох: (^С^лу,^) и 02:(¥2,02,\у,'к2} соответственно. Важно, что модель 02: (Р2,С2,\у,Х2) получена с расширением пространства состояний и требует

использования способа дискретизации не связанного с аналитическим решением дифференциального уравнения. Этот факт позволяет сформулировать ЧНЗ 3 и ЧНЗ 4: Формулировка ЧНЗ 3:

Дано: адаптивная линейная модель движения Ох полученная в ходе решения ЧНЗ 1; модель наблюдения в форме

(23).

Требуется: синтезировать алгоритм А1\{01,2,,'к^1, обеспечивающий

повышение точности оценки параметров движения при заданных ограничениях (16) - (18).

Формулировка ЧНЗ 4:

Дано: адаптивная линейная модель движения 02: (Р2,С2,\у,Х2), полученная в ходе решения ЧНЗ 2; модель наблюдения в

форме (23).

Требуется: без применения аналитического решения векторно-матричного дифференциального уравнения модели движения

02: (Р2, С2, Х2) синтезировать алгоритм А2:(02,2,Х2^, повышение

точности оценки параметров движения при заданных ограничениях (16) - (18) в условиях агрессивного маневрирования.

Полученные модели движения (50) и (58) позволяют синтезировать адаптивные фильтры калмановского типа (адаптивность заключается в наличии коэффициентов ^ и Х2, каждый из которых связан с динамическими характеристиками и режимом движения подвижного объекта.

Реализация ИС с использованием ЦЭВМ подразумевает функционирование алгоритмов оценки в дискретном времени. Этот факт определяет необходимость проведения конечномерной аппроксимации выражений (50) и (58) с получением переходных матриц для синтеза алгоритма оценки калмановского типа

3.1 Разработка структуры адаптивных алгоритмов оценки параметров

движения подвижных объектов

Переход от векторно-матричного дифференциального уравнения к дискретному разностному векторно-матричному уравнению основан на получении решения дифференциального уравнения (50).

Предположим, что *0, х(*0), w(t) известны, причем последние две функции непрерывны и ограничены для всех ? > .

Общее решение уравнения = Рх, будем искать в виде

х (*) = Х(*) С (60)

где X(t) - неизвестная матрица размера n х n, с - столбцевая матрица постоянных интегрирования высотой п.

Частное решение уравнения x(i) = Fx имеет вид:

t

x (t) = X (t) J X-1 (г) G (г) w (г) dr (61)

t0

Получим решение уравнения (50):

t

x (t) = X (t) X-1 (t0) x (t0) + X (t) J X-1 (г) G (г) w (г) dr (62)

to

Здесь матрица X (t) называется фундаментальной матрицей системы и зависит только от матрицы состояния F. Обозначим

Ф (t ,г) = X (t) X-1 (г) (63)

Перепишем уравнение (62) в виде

t

x (t ) = Ф (t,t0) x (t0 ) + J Ф (t ,г) G (г) w (г) dг (64)

t

Предположим, что векторы возмущения и управления являются кусочно-постоянными функциями времени, причем оба они изменяют свои значения в одни и те же моменты времени, что допустимо при малых значениях периодов поступления измерительных данных [42]. Далее предположим, что измерения проводятся в те же моменты времени и рассмотрим интервал времени tM < t < t. для некоторого i = 0,1....

Предположим, что x(tiA) известно, w(t) = w(i) = const для интервала

tM < t < t . Тогда из уравнения (64) следует

x (t ) = Ф (ti, ti-1) x (ti-1) + Обозначив

|ф (ti_1, г) G (г) d г

w

(i -1) (65)

x(ti ) = x(i ) (66)

:(t/ ) = x (i -1) (67)

ч

| Ф(V,т)G(т)<т = Г (68)

ч-1

уравнение (65) можно переписать в виде

х (г) = Фх (г -1) + ГЦг -1) (69)

Матрица Г (г, I -1) размера п х р называется переходной матрицей возмущения.

Последовательность {^(0), ^(1) ,...,} называется возмущающей последовательностью. Зная ее и вектор х(0), можно с использованием уравнения (69) вычислить последовательность состояния {х (1), х (2) ,...,}. Уравнение измерений принимает вид

ъ (г ) = Нх (г) + V (г) (70)

Последовательность {ъ(1),ъ(2),...,| называется последовательностью измерений или выходной последовательностью системы, а {у(1),V(2),...,} -

последовательностью ошибок измерения.

Алгоритм дискретного фильтра калмановской структуры. В теории оценивания дискретных процессов также используются обозначения с двумя аргументами, например X(/|у) где г - шаг формирования

оценки вектора состояния,у - шаг приема измерений. Если г > У, то это задача предсказания, если г = У - это задача фильтрации, если г < У - задача сглаживания.

Оптимальная текущая оценка X (г) описывается рекуррентным

соотношением, определяющими структуру алгоритма оценки калмановского типа (рис. 3.1)

X(г) = Фх(г -1) + К(г)[х(г) - НФХ(г -1)] (71)

для г = 0,1,...., где Х (0|0 ) = 0,

X (г) - оценка состояния системы,

X(г | г -1) - одношаговое предсказание,

Ф - дискретная переходная матрица состояния, Г - дискретный вектор возмущения,

К(г) - матрица размера пхт, определяемая с помощью следующих соотношений

К (г) = Р (¡\( -1) НГ [НР (г|г -1) Нг + Я Р (ф" -1) = ФР (г -1)Фг + Г0Гг

-1

(72)

(73)

Р(г) = [I - К(г)Н] Р(1\1 -1) (74)

где Р (г | г -1) - априорная дисперсия, Р (г) - дисперсия ошибки оценки,

Q, Я - матрицы интенсивности шумов состояния и наблюдения соответственно,

I - единичная матрица размера п х п, а начальное условие для уравнения (73) имеет вид Р (0|0) = Р (0).

Рисунок 3.1 - Структурная схема дискретного адаптивного алгоритма оценки

калмановского типа

3.2 Синтез адаптивных алгоритмов оценки параметров движения подвижных объектов с использованием предложенных моделей на основе аналитического решения векторно-матричного дифференциального уравнения

Для получения конечномерной аппроксимации выражения (50) запишем его как векторное дифференциальное уравнение первого порядка [30]

\Д0 «2, ДО

X,

X

5 )" (г)

+

0

к

И

(г)

^ =

Г 1,5

> С 1,5 =

0

К *

0 1 0

"0 1

_ 0 -К;

Уравнение наблюдения имеет вид

^ (г ) = Н х* (г ) + V ^ (г ),

где ъ8 (г) = [(г), 228 (г)] - вектор наблюдения,

V (г) = [V * (/) V ж (/)] - вектор шума наблюдения. Уравнением, описывающим движение цели (в дискретном времени),

является

X* ^ ) = ф1,Д 0 -1) + ^ -1)>

где ц ^ - возбуждение на входе

Поскольку

г+Лг

Х„

(г + Лг) = АЛх (г)+ | ег-(г+Лг-т)Сии(т)¿т,

то

г

Ф„ = Л"4', и,„ (г -1)= | Л-^ЧХт) <т

(г-1)А

Для определения матрицы Ф^ необходимо найти собственный числа матрицы ^ я:

1 " 0 -р-ДГ_

(-ре )=-р(-р-х ),

Р = 0, Р2 =

(75)

Решение будем искать в виде:

' АеР А^Р'

Ф

1,«

Б.е^ Б2ерА

Из (75) и (76) получаем соотношения для первого собственного числа:

ГД = 0

(76)

Ар = А,

Б1р1 =-у[Х^Б1.

А = в1

А1 = ,

Р1

В1 (Р1 -ДГ ) = 0.

* 0 НА1 = Б1 = "-П=. IБ1 = 0.

0-X'

Аналогично для второго собственного числа:

Б,

_ А =-

А2р2 = Б2,

Б2р2 =-у[Х^Б2.

Б2 =

0

Примем Б2 = -^Х ,тогда А = 1, откуда:

Б

А2 = 2

Б2 - любое число.

Фи =

1

0 X

А

(77)

Вектор и входа удовлетворят равенству

<

<

<

ш

ц,. (' -1)= I

(г -1)Лг

И-т]

_0 К

[гЛг-т]

0

К *

И

(т) йт

гЛг

I

(г-1)Л

Г-К [гЛг-т]

гЛ

И

(т) йт = |

(г-1)Л/

1 (т)"

2 (т)

И

[гЛг-т]

В соответствии с этим переходной вектор возмущения

(т) йт

гЛг

Г. = I

(г -1)Лг

1 (т)

п

П2 (т)

йт =

К * (е

- е

Б = 1, П

(78)

Поскольку шум состояния и (г) в данном случае является скалярной

величиной, то матрица интенсивности шума состояния О также будет

п 1 скаляром Ц = —.

Лг

Таким образом решением третьей частной научной задачи является дискретный алгоритм Д, представленный на рис. 3.1 и заданный выражениями (71) - (74), а также определяющие его дискретная переходная матрица состояния ф (77) и дискретный вектор возмущения Г (78).

Отличие алгоритма Д от ранее известных заключается в структуре Ф, и Г, которая содержит параметр адаптации, связанный с динамическими характеристиками подвижного объекта при движении по подъездным путям железнодорожного переезда. Выбор параметра адаптации минимизирующего критерий (24), позволяет получить значения составляющих алгоритма Д,

обеспечивающего повышение точности оценки параметров движения подвижного объекта на переездах со сложной конфигурацией подъездных путей. При этом, как показано при решении ЧНЗ 1, зависимость ошибки оценки от параметра адаптации является гладкой и одноэкстремальной, что положительно влияет на устойчивость полученного алгоритма в условиях зашумленных измерений.

3.3 Синтез адаптивных алгоритмов оценки параметров движения подвижных объектов с использованием предложенных моделей на основе разложения матричной экспоненты в ряд Тейлора

х

■(')

\ * (()

Х2,. (()

Г

' 0

В случае нескольких степеней свободы аналитическое решение системы (50) связано с большим количеством вычислений и неудобно с практической точки зрения [34]. Менее громоздкое решение можно получить методом разложения матричной экспоненты в ряд Тейлора. В качестве примера определим дискретные переходные матрицы для системы (50)

О 1

о

Для дискретного алгоритма оценки необходимо получить решение системы (50), которое представляет собой сумму общего решения однородной системы

= (79)

и любого частного решения неоднородной системы (50)

t

Хобщ,* (t) = Ф1, (г ) х* ( 0) +{ фи (Г - т) * (т) йт,

Ч/2

х Гп ^

где Ф1,* (t) = = I+ Х=

п=1 п •

1

0 1

Частное решение системы (50) имеет вид

ч * (t-т)-^

/ ф1., (t — т) с (т)й т = /

-К. (t+

*

(т) й т.

Рассмотрим интервал времени tM < t < t., для некоторого i = 0,1.... Предположим, что xs (ti) известно, w(t) = w(i) = const для интервала tM < t < ti. Тогда

x s (ti ) = фи (t, t-1) x s (t-1) +

J фи (t,x)GudX

w

(t-1).

(80)

Обозначим

Xs (t ) = Xs (i), Xs (ti-1 ) = Xs (i - 1),

Jф (ti, x) Gd x = Г.

ti-1

Дискретная модель состояния и наблюдения

Xs (i ) = Ф1А (i -1) + r1,sw(i -1), z„

(81)

(i ) = HXs (i) + Vs (i).

Положим At = const, тогда i соответствует моменту времени i At, а i -1 ■ моменту (i - 1)At. Получим выражения для адаптивной модели движения:

—1, s At2

Ф1, s =

At -

0 1 -^—1> +

4 s At2

, Г1, s =

—At2 At3 2 6

J—3

— At Atz + At 1,s 2 6

12

s Л v.2 , —1, si Л

Считая шумы w( £) и V (t) некоррелированными между своими степенями свободы [42], имеем для дискретного времени:

е=R At

а,,

0

о а2

Воспользуемся решением системы дифференциальных уравнений (58), которое, как показано ранее, представляет собой сумму общего решения однородной системы.

Рассмотрим интервал времени tM <t <t., для некоторого i = 0,1....

Предположим, что Xs (ti) известно, w(t) = w(i) = const для интервала

tM < t < t.. Тогда

X, (* ) = Ф^(| - 1) + Г2,ХI - 1),

"ф11 ф12 ф13 " >1 _

ф2,, = 0 ф22 ф23 , Г2,, = У 2

0 0 фзз _ _У3 _

(82) (83)

где фп = 1, Ф12 = Аг-0.5л/Х7Аг2, фш = 0.5^2, ,А?2,

Ф22 = 1 - + 0.5^ 2,,А ф23 = Х2,,А? - 0.5А 2 + «,Х2,, ) ,

X 1 л пс л 2 X 2, А*3 X 2,А?2 X 3 а,X 2 ,А?3

Фзз = 1 -а,А? + 0.5а,А?2, У1 = , у2 = ---— + ,

6 2 6 6

А12 а А?3

у3 = А? - а,-+ —-.

3 4 2 6

Считая шумы w( ?) и V (?) некоррелированными между своими степенями

свободы [42], имеем для дискретного времени:

0 0

И =

а,

0 а

0

0 а2

, о, =