Методы решения задач возможностной оптимизации одного класса и программный комплекс их поддержки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Гордеев, Роман Николаевич

• Гордеев, Роман Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гордеев, Роман Николаевич

Введение

1 Преобразования возможностных величин и обобщение нечетких отношений

1.1 Возможностью величины.

1.2 Преобразования возможностных величин.

1.3 Обобщение нечетких отношений.

Выводы по первой главе.

2 Модели задач возможностной оптимизации и методы их решения

2.1 Общая постановка задачи математического программирования

2.2 Формализация задачи возможностного программирования

2.3 Допустимое решение задачи возможностного математического программирования с нечеткими бинарными отношениями

2.4 Свойства допустимого решения.

2.5 Оптимальное решение задачи возможностного математического программирования с нечеткими бинарными отношениями и его свойства.

Выводы по второй главе.

3 Устойчивость задач возможностной оптимизации

3.1 Метризация пространства возможностных величин.

3.2 Устойчивость в задачах возможностного математического программирования.

3.2.1 Устойчивость допустимого решения задачи возможностного математического программирования с нечеткими бинарными отношениями.

3.2.2 Устойчивость оптимального решения задачи возможностного математического программирования с нечеткими бинарными отношениями.

3.2.3 Сильная и слабая устойчивость решений задачи возможностного математического программирования с нечеткими бинарными отношениями.

Выводы по третьей главе.

4 Программный комплекс поддержки моделей и методов возможностной оптимизации

4.1 Архитектура программного комплекса.

4.2 Банк моделей возможностной оптимизации, поддерживаемых программным комплексом.

4.3 Объектная модель и функциональные подсистемы программного комплекса.

4.4 Описание работы программного комплекса и модельные расчеты

Выводы по четвертой главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы решения задач возможностной оптимизации одного класса и программный комплекс их поддержки»

Актуальность

Оптимизационные задачи возникают при формализации целенаправленного поведения человека в различных сферах его деятельности, будь то проектирование сложных технических систем, ведение экономической деятельности, прогнозирование природных явлений, исследования в биологии и физике и многое другое. Однако зачастую даже при хорошо формализованной задаче математического программирования может возникнуть вопрос о «правдоподобности» полученных в ходе ее решения результатов, поскольку предоставляемые исходные данные могут содержать ошибки, например ошибки измерений, экспертные оценки, имеющие, как правило, приближенный характер. В этих условиях оказывается важным выделение классов оптимизационных задач, на решения которых подобные факторы не оказывают существенного влияния. Такие задачи называются устойчивыми. На самом деле понятие устойчиво разрешимой задачи является одним из ключевых в определении корректной задачи, предложенном Ада-маром.

Что же касается проблемы решения задач, неустойчивых к малым возмущениям исходных данных, то первые фундаментальные принципы по их решению были сформулированы Тихоновым А. Н. [48]. Развитие его идей опровергло мнение о том, что приближенное решение некорректно поставленных задач (НПЗ), т.е. задач, неустойчивых к малым возмущениям исходных данных, является бессмысленным с математической точки зрения и совершенно неоправданной с физической. Идеи Тихонова привели к дальнейшему созданию мощного математического аппарата для устойчивого решения некорректно поставленных задач и его применению в различных математических, физических и других областях науки и техники.

В настоящее время имеется целый ряд монографий и статей, посвященных разработке проблемы регуляризации НПЗ и исследованию их устойчивости, из которых в первую очередь отметим получивших широкую известность в мировой науке авторов А.Н. Тихонова [33,48 54,59], В.Я. Ар-сенина, С.А. Ашманова [1,2], Ф.П. Васильева [3-6,31], А.Ю. Иваницкого, В.Г. Карманова, Д.А. Молодцова, В.В. Федорова, В.А. Морозова, А.Б. Ба-кушинского, А.И. Гребенникова и других авторов. В работах этих авторов можно найти как формальное определение устойчивости для задач того или иного типа, так и подходы к ее исследованию.

Проблема устойчивости остается актуальной и для задач возможност-ной оптимизации. На практике мы не знаем «истинного» распределения значений возможностных величин, моделирующих мнение эксперта, а строим для них некоторую аппроксимацию. Таким образом возникает вопрос: как сильно мы отклонимся от истинного решения, если допустим некоторые погрешности в процессе моделирования экспертного мнения. Если задача возможностного программирования является неустойчивой, мы получим значительные отклонения и будем вынуждены признать, что наша аппроксимирующая модель является неадекватной. В этом случае для решения задачи возможностного программирования необходимо применять регуляризирующие алгоритмы, предложенные В.А. Рыбкиным и А.В. Язе-ниным [40].

Наиболее широко цитируемыми работами в области исследования устойчивости задач с нечеткими параметрами являются работы Р. Фуллера [57,79,83,85,86] и М. Ковач [20,21,31]. В этих работах исследована устойчивость задач нечеткой оптимизации и систем линейных уравнений с нечеткими параметрами. Развитие этих результатов и их обобщение на класс задач возможностной оптимизации сделано В.А. Рыбкиным и А.В. Язени-ным [37,39,40,117]. В этих работах предложен единый подход к исследованию устойчивости задач возможностной оптимизации и методы регуляризации.

Следует отметить, что во всех работах, приведенных выше, рассматривались задачи, элементы которых связаны бинарными отношениями равенства или неравенства. Практический интерес представляет такая постановка задачи, в которой указанные отношения представлены нечеткими бинарными отношениями. В этом специальном случае существующие результаты в возможностной оптимизации требуют соответствующего обобщения и развития. Приведенные выше результаты не применимы, поскольку методы исследования устойчивости в указанных выше работах связаны с построением детерминированных аналогов исходной задачи возможност-ного программирования, а для данного случая эта процедура значительно отличается [12,87].

Ввиду этого разработка и исследование моделей и методов решения задач возможностного программирования с нечеткими отношениями является актуальной проблемой, поскольку ее решение позволит моделировать «мягкость» при формализации ограничений и целевого функционала и осуществлять их регуляризацию.

Обзор литературы

Вопросы устойчивости по праву занимают одно из центральных мест в теории оптимизации и исследовании операций, поскольку устойчивость, как уже было сказано выше, играет ключевую роль в определении корректности, или хорошей обусловленности задачи, что в свою очередь определяет правомерность применения того или иного метода решения задачи.

В отечественной литературе вопросам устойчивости уделено достаточное внимание, однако, при обилии публикаций (см., например, библиографию в [16]), автору известно только три русскоязычных книги, посвященных специально вопросам устойчивости оптимизационных задач, это монографии Д.А. Молодцова [26], А.Ф. Измайлова [16] и Е.С. Левитина [25]. Основной же, на сегодняшний день, как нам представляется, является книга А. Шапиро и Ф. Боннанса [76], в которой в контексте единого подхода изучается устойчивость оптимизационных задач, приводятся достаточные условия устойчивости того или иного класса задач оптимизации и даются практические рекомендации по построению их численных решений.

Важно отметить, что в той или иной мере вопросы устойчивости освещаются в литературе, посвященной вопросам оптимизации. Так, например, в книгах Ашманова [1] и Васильева, Иваницкого [6] изучается устойчивость задач линейного программирования (ЛИ) и приводятся необходимые и достаточные условия устойчивой разрешимости этих задач, там же обсуждаются методы построения регуляризирующих алгоритмов решения задач ЛП. В монографии Карманова [19] рассматриваются вопросы устойчивости для некоторого класса задач выпуклого программирования и приводятся регулярный алгоритм их решения. В монографии Федорова [56] рассматриваются как вопросы устойчивости относительно оптимальных значений целевого функционала (слабая устойчивость), так и устойчивость относительно оптимальных решений (сильная устойчивость) на основе изучения непрерывности многозначных отображений, задающих множество допустимых решений. Отдельно упомянем книгу Тихонова [51], посвященную вопросам решения некорректных задач и построению регуляризирующих алгоритмов, практическое применение результатов которой можно найти в [29,59].

Теория нечетких множеств, теория возможностей и нечеткая оптимизация достаточно полно изложены в работах А. Кофмана [24], Л. Заде [14,126,127], Р. Беллмана [73], Дж. Бакли [77,78], Д. Дюбуа и А. Пра-да [80,81], С.А. Орловского [30], А.В. Язенина [62,63,66-68,70,123,125]. И если в работах Заде показано, каким образом нечеткую, качественного характера информацию можно использовать в формализованных процедурах анализа, то в работах Беллмана, Бакли, Дюбуа, Прада, Орловского, Язенина решается проблема математической обработки той нечеткой информации, которая введена в модель, и прежде всего - проблема сужения множества альтернатив на основе этой информации. Отметим здесь работу Орловского [30], где предложен метод выбора недоминируемых альтернатив на основе введения нечеткого бинарного отношения на множестве допустимых решений и продемонстрировано применение этого метода к решению различных задач нечеткого математического программирования и решению игр в нечеткой среде. Так же надо отметить, что в работах Язенина [123,125] предложен единый методологический подход к формализации задач нечеткой оптимизации в контексте теории возможностей. Необходимые результаты, касающиеся теории нечетких мер, подробно изложены в работе Зениана Ванга и Джорджа Клира [121].

Вопросы устойчивости задач нечеткой оптимизации, которые являются специальным случаем задач принятия решений в условиях неопределенности, наиболее полно рассмотрены в работах Р. Фуллера [57, 79,83,85,86], М. Ковач [20,21,31], И. Канестрелли [79] и М. Федриззи [83,85]. В них последовательно излагаются методы исследования устойчивости систем линейных возможностных неравенств, параметры которых характеризуются трапециевидными [20] и липшицуемыми распределениями [86], задач нечеткой линейной оптимизации в классах симметричных триангулярных [85] и непрерывных распределений [83]. Из результатов, полученных в этих работах, можно выделить следующие. В работе [20] исследуются системы линейных алгебраических уравнений с нечеткими коэффициентами, характеризующимися симметричными трапециевидными нечеткими числами с зоной толерантности в > 0 и носителем а > 0 anxi + а\2х2 + . + ainxn = bh a2iXi + a22x2 + . + a2nxn = b2, am 1X1 + am2x2 + . + amnxn = b mi где ay, bi - нечеткие числа, xt = (x\,., xn) - вектор переменных. Получена оценка 8 r = sup — & (я) < min{l; —}, xeR" a где а, а5 есть функции принадлежности нечетких решений исходной и возмущенной задач соответственно, S — величина возмущения. В предположении, что множество четких оптимальных решений системы не пусто, получена оценка р{х,Х*)= inf \x-y\<Co(6 + e)(\x\i + l),xeX*(6), уех* где X — множество оптимальных решений исходной системы, Х*(<5) = {х € Rn|<TJ(£) = 1}, Со - некоторая положительная постоянная. В работе отмечен тот факт, что поскольку симметричные трапециевидные или триангулярные нечеткие числа могут быть получены сглаживанием прямоугольных или острых нечетких чисел, то такое сглаживание представляет собой некоторую регуляризацию систем, рассматриваемых на классах прямоугольных или острых нечетких чисел.

В работе [85] исследуется задача линейного программирования при нечетких ограничениях, параметры которых являются симметричными триангулярными нечеткими числами: ао,#) —► min, Ах < 6, где А = [a,ij] - матрица га х п нечетких коэффициентов, характеризующихся симметричными триангулярными функциями распределения, Ь1 = (6i,., Ьт) - вектор нечетких коэффициентов, принадлежащих классу симметричных триангулярных нечетких чисел, характеризующий уровни притязаний каждого ограничения, ао = (аоь ., аоп) - вектор коэффициентов целевого функционала (обычные числа), хь = {х\,. ,хп) - вектор переменных. Получена оценка

2 - = sup |ц{х) - iis(х)\ < 6 (- + i ) , xeR" 1 \а dj где /л, // есть степени выполнения ограничений исходной и возмущенной систем, а — коэффициент нечеткости параметров технологической матрицы, d — минимальный коэффициент нечеткости компонент вектора ресурсов.

В работе [83] для задачи возможностного линейного программирования в постановке Дж. Бакли [77] max / min Z = сх Ax*b, х>0, где А = [a,ij] - матрица т х п нечетких коэффициентов, ¥ = (6i,., bm) и с = (ci,. ,Сп) - векторы нечетких коэффициентов, х1 — (х\,., хп) -вектор переменных, а * 6 {<,>,=}• Получена оценка возмущения воз-можностного распределения целевого функционала, позволяющая сделать вывод о слабой устойчивости задачи при моделировании нечетких параметров непрерывными функциями распределения: sup I Poss[Zs = г] - Poss[Z = z]\< ш(6), xeRn oj(S) = max{(j(aij, S),u(aL 6),ш(Ьи S), cj(bf, 6),w(cj, S),w(ci S)}. hj

Здесь Poss[Z = z], Poss[Z5 = z] и a^-, Ьг) Cj, afj, bf, c5j есть возможностные распределения целевых функционалов и параметров исходной и возмущенной задач соответственно.

Упомянутые выше результаты нашли свое развитие и обобщение в работах Рыбкина и Язенина [35-40,115,117]. В данных работах, в едином контексте теории возможностей, обобщены результаты, полученные выше упомянутыми авторами, а также рассмотрены вопросы устойчивости других классов задач возможностной оптимизации. В работе [39] получены достаточные условия сильной устойчивости задач максимизации уровня и возможности достижения нечеткой цели при ограничениях по возможности. Кроме того в этих работах затрагиваются вопросы решения неустойчивых задач возможностного программирования [40], и предложен метод регуляризации для решения некоторых классов подобных задач.

В заключение упомянем работы, посвященные вопросам устойчивости в многокритериальных задачах нечеткого математического программирования. Так вопросы устойчивости многокритериальных задач нечеткого линейного программирования рассматриваются в [72]. Устойчивость многокритериальных задач нелинейного программирования при нечетких ограничения обсуждается в [96]. А обобщение работы [96] на случай, когда и целевые функционалы содержат нечеткие параметры, приведено в [71].

Цель работы

Целью настоящего диссертационного исследования является обобщение основных моделей задач возможностного программирования на случай, когда элементы задачи принятия решений связаны нечеткими бинарными отношениями, исследование свойств полученных моделей и построение для них непрямых методов решения.

Основные задачи

Поставленная в диссертации цель работы достигается путем решения следующих задач:

• определение и исследование бинарных нечетких отношений в возмож-ностном контексте;

• разработка моделей задач математического программирования с воз-можностными параметрами в нечетких отношениях;

• разработка непрямых методов решения задач, основанная на построении их эквивалентных детерминированных аналогов;

• исследование множеств допустимых и оптимальных решений полученных эквивалентных детерминированных аналогов;

• выявление необходимых и достаточных условий устойчивости задач исследуемого класса, относительно возмущений нечетких параметров;

• разработка комплекса программ поддержки методов возможностной оптимизации для формализованного в диссертационном исследовании класса задач.

Методика исследования

Для формализованного описания изучаемого класса задач используется математический аппарат современной теории возможностей, при доказательстве теорем используются методы возможностной оптимизации, математического программирования, математического и функционального анализа. Методологическую основу исследования составляют результаты классической теории устойчивости и корректности задач оптимизации. При реализации программного комплекса применялись методы объектноориентированного проектирования и паттерны проектирования, а также методы реструктуризации программного кода.

Научная новизна работы

Научная новизна состоит в учете при формализации задач возможност-ного программирования нечеткости бинарных отношений, формулировании основных свойств полученного класса задач и разработке методов их решения.

Основными результатами диссертационного исследования, выносимыми на защиту являются: i) методы обобщения нечетких отношений в возможностном контексте; и) обобщения существующих моделей задач возможностного программирования на случай, когда элементы критериев и ограничений связаны возможностными бинарными отношениями; iii) необходимые и достаточные условия выпуклости и замкнутости допустимого и оптимального решений введенных моделей задач возмож-ностной оптимизации; iv) непрямые методы решения задач возможностной оптимизации, содержащих возможностные бинарные отношения в моделях критериев и ограничений, на основе построения эквивалентных детерминированных аналогов; v) достаточные условия устойчивости допустимого и оптимального решений полученного класса задач возможностного программирования; vi) достаточные условия сильной и слабой устойчивости для обобщений основных моделей возможностного программирования; vii) программный комплекс инструментальной поддержки решения задач возможностной оптимизации.

Теоретическая и практическая значимость работы

Применение полученных результатов позволяет строить более адекватные модели принятия решений за счет введения возможностных бинарных отношений между элементами задачи. Установленные необходимые и достаточные условия устойчивости введенных моделей позволяют обосновать корректность их применения при решении задач экономико-математического планирования, моделирования реальных процессов и др. Разработанный программный комплекс может применяться в учебном процессе и при решении прикладных задач.

Достоверность и обоснованность результатов

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается строгостью проводимых математических обоснований при формулировании и доказательстве теорем, результатами численных расчетов, сравнительным анализом полученных в ходе модельных экспериментов результатов с известными.

Внедрение результатов работы

Проведенные научные исследования поддержаны грантом РФФИ, проект № 04-01-96720 «Разработка моделей и методов портфельного анализа и программной системы поддержки принятия решений», исполнителем которого диссертант являлся в 2004-2006 гг. Результаты диссертации используются также в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета.

Апробация

Основные результаты диссертационной работы докладывались автором на международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, Россия, 2005 г.), 13-ом международном коллоквиуме по нечетким вычислениям «East West Fuzzy Colloquium 13th Zittau Fuzzy Colloquium» (г. Циттау, Германия, 2006 г.), всероссийской научной конференции «Нечеткие системы и мягкие вычисления-2006» (г. Тверь, Россия, 2006 г.), IV-ой международной научно-практической конференции «Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте» (г. Коломна, Россия, 2007 г.), на научных семинарах в Тверском государственном университете.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК для представления результатов кандидатских диссертаций и 5 в остальных изданиях.

Структура работы и ее содержание

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии и приложения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Гордеев, Роман Николаевич

Выводы по четвертой главе

В ходе работы над диссертацией программный комплекс FIESTA, разработанный Сорокиным С.В. [43] был дополнен новыми модулями, позволяющими решать задачи возможностной оптимизации, содержащие в своих постановках нечеткие бинарные отношения, и соответствующими алгоритмами построения детерминированных аналогов для задач такого класса.

Кроме того в СППР FIESTA был реализован интерфейс, позволяющий использовать программную библиотеку алгоритмов решения задач математического программирования FrontLine Solver Platform SDK, что позволило существенно расширить круг решаемых этим программным средством задач и в большей степени сконцентрироваться на проблеме построения детерминированных аналогов задач возможностного программирования, нежели на реализации численных методов решения задач математического программирования.

В ходе реорганизации СППР FIESTA была изменена ее объектная модель. Ее архитектура стала более гибкой: были выделены отдельные интерфейсные классы отвечающие за построение моделей задач возможностного и четкого программирования, что позволит в дальнейшем с большей легкостью добавлять в систему новые модели. Кроме того был выделен отдельный класс для работы с внешними программными модулями, такими как Solver SDK. Таким образом в дальнейшем при замене библиотеки, отвечающей за решение задач математического программирования нам не придется изменять архитектуру всей системы, достаточно будет лишь соответствующим образом изменить реализацию этого фасада.

Свое применение СППР FIESTA может может найти в процессах принятия решений в большинстве инженерных и финансовых приложений, а также она может использоваться как вспомогательное программное средство для проведения вычислительных экспериментов на практических занятиях по курсам «нечеткая математика», «принятие решений в условиях неопределенности», «прогнозирование социальных и экономических явлений».

Заключение

В ходе проведенного диссертационного исследования был исследован новый класс задач возможностного программирования, содержащих нечеткие бинарные отношения в моделях критерия и ограничений. Были получены результаты касающиеся построения непрямых методов решения задач данного класса и исследована устойчивость данного класса задач по отношению к возмущениям возможностных параметров. Среди полученных результатов можно выделить следующие: i) Предложены обобщения основных моделей возможностной оптимизации на случай, когда элементы задачи принятия решений связаны нечеткими бинарными отношениями и разработаны непрямые их решения. Предложенная постановка задач возможностного программирования позволяет более адекватно описывать моделируемые средствами теории возможностей практические задачи. ii) Получены результаты, позволяющие установить достаточные условия замкнутости и выпуклости множеств допустимых и оптимальных решений детерминированных аналогов для задач предложенного класса. iii) Сформулированы и доказаны условия устойчивости распределений возможностей допустимого и оптимального решений исследуемого класса задач относительно возмущений нечетких параметров. iv) Сформулированы и доказаны достаточные условия сильной и слабой устойчивости задач исследуемого класса. v) Разработано программное обеспечение, позволяющее решать задачи исследуемого класса. Проведены численные эксперименты на модельных примерах, подтверждающие работоспособность разработанного комплекса программ. Корректность произведенных расчетов подтверждается численными экспериментами в среде MATLAB. Следует ответить, что разработанный программный комплекс в отличие от существующих математических пакетов предлагает интерактивный интерфейс для работы с задачами возможностного математического программирования, их решения и визуализации.

В плане дальнейшего исследования перспективным представляется рассмотрение вопроса регуляризации задач исследуемого здесь класса и численная реализация соответствующих алгоритмов. Также требуют дальнейшего исследования вопросы, касающиеся выпуклости и замкнутости исследуемого класса задач, а также вопросы построения эффективных алгоритмов решения их детерминированных аналогов. Более детального изучения заслуживают случаи взаимодействующих возможностных переменных.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гордеев, Роман Николаевич, 2007 год

1. Ашманов, С. А. Линейное программирование / С. А. Ашманов. — М.: Наука, 1981. - 340 с.

2. Ашманов, С. А. Условие устойчивости задач линейного программирования / С. А. Ашманов // ЖВМиМФ. 1981. - Т. 21, № 6. - С. 14021410.

3. Васильев, Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф. П. Васильев. — 2-е, перераб. и доп. изд. — М.: Наука, 1988. — 552 с.

4. Васильев, Ф. П. К вопросу устойчивости методов регуляризации в линейном программировании / Ф. П. Васильев // Вест. Моск. унта, Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. — 1998.— № 3. С. 19-23.

5. Васильев, Ф. П. Критерии устойчивости общей задачи линейного программирования / Ф. П. Васильев // Вест. Моск. ун-та, Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. — 1998. — № 2. — С. 1720.

6. Васильев, Ф. П. Линейное программирование / Ф. П. Васильев, А. Ю. Иваницкий.— 2-е, доп. изд. — М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2003.-352 с.

7. Гордеев, Р. Н. К задаче максимизации необходимости нечеткой цели / Р. Н. Гордеев // Вестник ТвГУ. Сер. прикладная математика. — 2005. № 6. - С. 100-107.

8. Гордеев, Р. Н. Исследование устойчивости одного класса задач возможностного программирования / Р. Н. Гордеев // Всероссийская научная конференция по нечетким системам и мягким вычислениям НСМВ-2006.— М.: Физматлит, 2006.- С. 121-132.

9. Гордеев, Р. И. Метод решения одной задачи возможностного программирования / Р. Н. Гордеев, А. В. Язенин // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2006. — № 3. — С. 121-128.

10. Дюбуа, Д. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике / Д. Дюбуа, А. Прад; Под ред. С. А. Орловский. — М.: Радио и связь, 1990. 288 с.

11. Заде, Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений / JI. Заде; Под ред. Н. Н. Моисеев, С. А. Орловский, М.: Мир, 1976.- 165 с.

12. Зангвилл, У. И. Нелинейное программирование. Единый подход / У. И. Зангвилл; Под ред. Е. Г. Голынтейн. — М.: Советское радио, 1973.-312 с.

13. Измаилов, А. Ф. Чувствительность в оптимизации / А. Ф. Измаилов. — М.: Физматлит, 2006. — 248 с.

14. Измаилов, А. Ф. Численные методы оптимизации / А. Ф. Измаилов, М. В. Солодов.- М.: Физматлит, 2005.- 304 с.

15. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов; Под ред. А. В. Бухвалов. — 4-е, испр. изд. — СПб.: Невский диалект; БХВ-Петербург, 2004. — 816 с.

16. Карманов, В. Г. Математическое программирование / В. Г. Карманов. — М.: Наука, 1980. '

17. Ковач, М. Об устойчивости нечеткого решения систем линейных алгебраических уравнений с нечеткими коэффициентами / М. Ковач, Ф. П. Васильев, Р. Фуллер // Вест. Моск. ун-та, Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. — 1989. — № 1. — С. 5-9.

18. Ковач, М. О нечетко расширенных линейных системах равенств и неравенств / М. Ковач, Р. Фуллер // Актуальные вопросы прикладной математики. М.: МГУ, 1989.- С. 73-80.

19. Колмогоров, А. Н. Основные понятия теории вероятностей / А. Н. Колмогоров. — М.: Наука, 1974.

20. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — 7-е изд. — М.: Наука, 2006.-572 с.

21. Кофман, А. Введение в теорию нечетких множеств / А. Кофман.— М.: Радио и связь, 1982. 432 с.

22. Левитин, Е. С. Теория возмущений в математическом программировании и ее приложения / Е. С. Левитин. — М.: Наука, 1992.

23. Молодцов, Д. А. Устойчивость принципов оптимальности / Д. А. Молодцов. — М.: Наука, 1987,

24. Морозов, В. А. Методы регуляризации неустойчивых задач / В. А. Морозов. М.: МГУ, 1987.

25. Морозов, В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач / В. А. Морозов. — М.: Наука, 1987.

26. Морозов, В. А. Методы решения некорректно поставленных задач: алгоритмический аспект / В. А. Морозов, А. И. Гребенников. — М.: МГУ, 1992.

27. Орловский, С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации / С. А. Орловский. — М.: Наука, 1981.

28. Оценка скорости сходимости метода невязки для задач линейного программирования с приближенными данными / Ф. П. Васильев, М. Ковач, М. М. Потапов, Ю. Н. Чеканов // ЖВМиМФ.- 1990.Т. 30, №8.-С. 1257-1262.

29. Приемы объектно-ориентированного проектирования. Паттерны проектирования. / Э. Гамма, Р. Хелм, Р. Джонсон, Д. Влисидес. — СПб: Питер, 2004. 266 с.

30. Регуляризующие алгоритмы и априорная информация / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов, А. Г. Ягола. — М.: Наука, 1983.

31. Рокафеллар, Р. Выпуклый анализ / Р. Рокафеллар.— М.: Мир, 1973.

32. Рыбкин, В. А. Исследование устойчивости одной задачи возможностного линейного программирования / В. А. Рыбкин // Ученые записки ТвГУ. 1998. - Т. 4. - С. 9-13.

33. Рыбкин, В. А. Исследование устойчивости задач возможностной оптимизации / В. А. Рыбкин // Сборник докладов научной конференции, посвященной 70-летию со дня рождения академика В.А. Мельникова. Москва: РАН, 1999. - С. 190-192.

34. Рыбкин, В. А. Вопросы корректности и устойчивости задач возможностной оптимизации: Дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Тверс. гос. университет. — Тверь, 2000.

35. Рыбкин, В. А. О специфике вопросов устойчивости в нечеткой оптимизации / В. А. Рыбкин // Моделирование сложных систем: сборник научных трудов. — Вып. 3. — Тверь: ТвГУ, 2000.

36. Рыбкин, В. А. О сильной устойчивости в задачах возможностной оптимизации / В. А. Рыбкин, А. В. Язенин // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2000. — № 2. — С. 90-95.

37. Рыбкин, В. А. Возможностная регуляризация задач линейного программирования / В. А. Рыбкин, А. В. Язенин // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2003. — № 3. — С. 80-89.

38. Сорокин, С. В. Анализ структуры задач возможностного программирования в контексте мер возможности и необходимости / С. В. Сорокин // Вестник тверского государственного университета. Серия прикладная математика. — 2003. — № 2. — С. 44-51.

39. Сорокин, С. В. Методические рекомендации по использованию программной системы поддержки моделей и методов возможностной оптимизации / С. В. Сорокин.™ Тверь: ТвГУ, 2004.— 23 е. — Учебно-методическое пособие.

40. Сорокин, С. В. Модели и методы коррекции задач возможностного программирования и программный комплекс их поддержки: Дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Тверс. гос. университет. — Тверь, 2004.

41. Сорокин, С. В. Система поддержки принятия решений на базе моделей и методов возможностной оптимизации / С. В. Сорокин,

42. A. В. Язенин // Программные продукты и системы. — 2000. — № 3. — С. 9-13.

43. Сорокин, С. В. Анализ структуры задач возможностного программирования / С. В. Сорокин, А. В. Язенин j j Сложные системы: обработка информации, моделирование и оптимизация.— Тверь: ТвГУ, 2002.-С. 120-130.

44. Сухарев, А. Г. Курс методов оптимизации / А. Г. Сухарев, А. В. Ти-мохов, В. В. Федоров. — М.: Наука, 1986.

45. Тихонов, А. Н. Об устойчивости обратных задач / А. Н. Тихонов // ДАН СССР. 1943. - Т. 39, № 5. - С. 195-198.

46. Тихонов, А. Н. О некорректных задачах оптимального планирования / А. Н. Тихонов // ЖВМиМФ. 1966. — Т. 6, № 1.— С. 81-89.

47. Тихонов, А. Н. О нормальных решениях приближенных систем линейных алгебраических уравнений / А. Н. Тихонов // Докл. АН СССР. 1980. - Т. 254, № 3. - С. 549-554.

48. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов,

49. B. Я. Арсенин. — М.: Наука, 1974.

50. Тихонов, А. Н. Нелинейные некорректные задачи / А. Н. Тихонов, А. С. Леонов, А. Г. Ягола. — М.: Наука, Физматлит, 1995.

51. Тихонов, А. Н. О задаче коррекции линейных неравенств / А. Н. Тихонов, В. А. Морозов // Сб. работ НИВЦ МГУ «Численный анализ: методы, алгоритмы, приложения». — М.: МГУ, 1985. — С. 3-13.

52. Федоров, В. В. К вопросу об устойчивости задачи линейного программирования / В. В. Федоров // ЖВМиМФ. 1975. - Т. 15, № 6. -С. 1412-1423.

53. Федоров, В. В. Численные методы максимина / В. В. Федоров. — М.: Наука, 1979.

54. Фуллер, Р. Исследование некоторых классов нечетких линейных задач: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук / Моск. гос. унив. — Москва, 1987.

55. Халмош, П. Теория меры / П. Халмош; Под ред. С. В. Фомин. — М.: Изд-во. «Факториал Пресс», 2003. — 256 с.

56. Численные методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов, А. Г. Ягола. — М.: Наука, 1990.

57. Ширяев, А. Н. Вероятность. В 2-х кн. / А. Н. Ширяев. — 3-е, перераб. и доп. изд. — М.: МЦНМО, 2004.— Т. 1: Элементарная теория вероятностей. Математические основания. Предельные теоремы. — 520 с.

58. Ширяев, А. Н. Вероятность. В 2-х кн. / А. Н. Ширяев. — 3-е, перераб. и доп. изд. — М.: МЦНМО, 2004. — Т. 2: Суммы и последовательности случайных величин стационарные, мартингалы, марковские цепи. — 408 с.

59. Язенип, А. В. Задача векторной оптимизации с нечеткими коэффициентами важности критериев / А. В. Язенин // Математические методы оптимизации и управления в сложных системах.— Калинин: КГУ, 1981.-С. 38-51.

60. Язенин, А. В. Нечеткое математическое программирование / А. В. Язенин. Калинин: КГУ, 1986. - 60 с.

61. Язенин, А. В. Гибридная экспертная система для планирования / А. В. Язенин // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. — 1989. — JV-0 5. — С. 162-167.

62. Язенин, А. В. Линейное программирование со случайными нечеткими данными / А. В. Язенин // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.— 1991. -№3.- С. 52-58.

63. Язенин, А. В. Модели возможностного программирования в оптимизации систем / А. В. Язенин // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. — 1991.- №5.-С. 133-142.

64. Язенин, А. В. Возможностное и интервальное линейное программирование / А. В. Язенин // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.— 1993. № 5. - С. 149-155.

65. Язенин, А. В. Моделирование ограничений в задачах возможностного линейного программирования / А. В. Язенин // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1994. - № 2. - С. 84-88.

66. Язенин, А. В. Методы оптимизации и принятия решений при нечетких данных: Автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук / Твер. гос. унив. — Тверь, 1995.

67. Язенин, А. В. К задаче максимизации возможности достижения нечеткой цели / А. В. Язенин // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1999. - № 4. - С. 120-123.

68. Ammar, Е. Е. Stability of multiobjective nip problems with fuzzy parameters in the objectives and constraints functions / E. E. Ammar // Fuzzy Sets and Systems. 1997. - no. 90. - Pp. 225-234.

69. Ammar, E. E. On stability analysis of multicriteria Ip problems with fuzzy parameters / E. E. Ammar, M. A. Kassem // Fuzzy Sets and Systems. — 1996.-no. 82. — Pp. 331-334.

70. Bellman, R. Decision making in a fuzzy environment / R. Bellman, L. A. Zadeh // Management Science. — 1970. — no. 17. — Pp. 141-164.

71. Bertoluzza, C. A new proof of nguyen's compatibility theorem in a more general context / C. Bertoluzza, A. Bodini // Fuzzy Sets and Systems. — 1998.-no. 95.-Pp. 99-102.

72. Bonnans, J. F. Optimization problems with perturbations: guided tour / J. F. Bonnans, A. Shapiro // SI AM Rev.- 1998.- Vol. 40, no. 2.-Pp. 228-264.

73. Bonnans, J. F. Perturbation Analysis of Optimization Problems / J. F. Bonnans, A. Shapiro: — New York: Springer-Verlag, 2000.

74. Buckley, J. J. Possibilistic linear programming with triangular fuzzy numbers / J. J. Buckley // Fuzzy Sets and Systems.— 1988,— no. 26.— Pp. 135-138.

75. Buckley, J. J. Possibility and necessity in optimization / J.J. Buckley / / Fuzzy Sets and Systems. — 1988. — no. 25. — Pp. 1-13.

76. Canestrelli, E. Stability in possibilistic quadratic programming / E. Canestrelli, S. Giove, R. Fuller // Fuzzy Sets and Systems. — 1996. — no. 82.-Pp. 51-56.

77. Dubois, D. Systems of fuzzy linear constraints / D. Dubois, H. Prade // Fuzzy Sets and Systems. 1978. - no. 3. - Pp. 37-48.

78. Dubois, D. Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applications / D. Dubois, H. Prade. — New York: Academic Press, 1980.

79. Duboise, D. Fuzzy interval analysis / D. Duboise, et al. // Fundamentals of fuzzy sets. — Dordrecht Boston - London: Kluwer Acad. Publ., 2000. — Vol. 1 of Series on fuzzy sets.

80. Fedrizzi, M. Stability in possibilistic linear programming with continuous fuzzy number parameters / M. Fedrizzi, R. Fuller // Fuzzy Sets and Systems.- 1992.- no. 47.- Pp. 187-191,

81. Fodor, J. C. Fuzzy preference modelling and multi-criteria decision support / J. C. Fodor, M. Roubens. — Dordrecht Boston - London: Kluwer Acad. Publ., 1994.

82. Fuller, R. On stability in fuzzy linear programming problems / R. Fuller // Fuzzy Sets and Systems. 1989. - no. 30. - Pp. 339-344.

83. Fuller, R. On stability in possibilistic linear equality systems with lips-chitzian fuzzy numbers / R. Fuller // Fuzzy Sets and Systems. — 1990. — no. 34.-Pp. 347-353.

84. Gordeev, R. N. On the problem of possibilistic programming with fuzzy binary relations / R. N. Gordeev, A. V. Yazenin // Proceedings. East West

85. Fuzzy Colloquium 2006. 13th Zittau Fuzzy Colloquium. — Zittau/Gorlitz. Germany: University of Applied Sciences (FH), 2006,- Pp. 256-263.

86. Henrion, R. Metric regularity and quantitative stability in stochastic programs with probabilistic constraints / R. Henrion, W. Romisch // Math. Program. 1999. - no. 84. - Pp. 55-88.

87. Henrion, R. Holder and lipschitz stability of solution sets in programs with probabilistic constraints / R. Henrion, W. Romisch // Math. Program. — 2004.- no. 100.- Pp. 589-611.

88. Inuiguchi, M. Relationships between modality constrained programming problems and various fuzzy mathematical programming problems / M. Inuiguchi, H. Ichihashi, Y. Kume // Fuzzy Sets and Systems. — 1992. — no. 49.-Pp. 243-259.

89. Inuiguchi, M. Some properties of extended fuzzy preference relations using modalities / M. Inuiguchi, H. Ichihashi, Y. Kume // Information Sciences.- 1992.- no. 61. P. 187-209.

90. Inuiguchi, M. Modality constrained programming problems: a unified approach to fuzzy mathematical programming problems in the setting of possibility theory / M. Inuiguchi, H. Ichihashi, Y. Kume // Information Sciences. 1993. - no. 67. - Pp. 93-126.

91. Inuiguchi, M. Oblique fuzzy vectors and its use in possiblistic linear programming / M. Inuiguchi, J. Ramik, T. Tanino // Fuzzy Sets and Systems. 2003. - no. 135. - P. 123-150.

92. Kaleva, 0. Fuzzy differencial equations / 0. Kaleva // Fuzzy Sets and Systems. 1987. - no. 24. - Pp. 301-317.

93. Kassem, M. A. Stability of multiobjective nonlinear programming problems with fuzzy parameters in the constraints / M. A. Kassem, E. E. Am-mar // Fuzzy Sets and Systems. — 1995. — no. 74. — Pp. 343-351.

94. Klement, E. P. Triangular norms / E. P. Klement, R. Mesiar, E. Pap. Series Trends in Logic.— Dordrecht Boston - London: Kluwer Acad. Publ., 2000.

95. Lodwick, W. Analysis of structure in fuzzy linear programs / W. Lod-wick // Fuzzy Sets and Systems. — 1990. — no. 38. — Pp. 15-26.

96. Luhandjula, M. K. Linear programming problems under randomness and fuzziness / M. K. Luhandjula // Fuzzy Sets and Systems.— 1983. — no. 10. Pp. 45-55.

97. Luhandjula, M. K. On possibilistic linear programming / M. K. Luhandjula // Fuzzy Sets and Systems. — 1986. — no. 18.— Pp. 15-30.

98. Luhandjula, M. K. Fuzzy optimization: an appraisal / M. K. Luhandjula // Fuzzy Sets and Systems. 1989. - no. 30. - Pp. 257-287.

99. Nahmias, S. Fuzzy variables / S. Nahmias // Fuzzy Sets and Systems. — 1978.-no. l.-Pp. 97-110.

100. Nahmias, S. Fuzzy variables in a random environment / S. Nahmias // Advances in fuzzy sets theory. — Amsterdam: 1979.

101. Orlovsky, S. A. Decision-making with a fuzzy preference relation / S. A. Orlovsky // Fuzzy Sets and Systems. — 1978.— no. 1.— Pp. 155— 167.

102. Orlovsky, S. A. On formalization of a general fuzzy mathematical problem / S. A. Orlovsky // Fuzzy Sets and Systems. — 1980.— no. 3.— Pp. 311-321.

103. Puri, M. L. Fuzzy random variables / M. L. Puri, D. A. Ralescu // Journal of mathematical analysis and applications. — 1986.— no. 114.— Pp. 409-422.

104. Ralescu, D. A survey of the representation of fuzzy concepts and its applications / D. Ralescu // Advances in Fuzzy Sets Theory and Applications / Ed. by M. M. Gupta, R. K. Regade, R. Yager. — North Holland, Amsterdam, 1979.- Pp. 77-91.

105. Ramik, J. Soft Computing: Overview and Recent Developments in Fuzzy Optimization. Research Report. JAIST / J. Ramik. — Listopad: Os-travska univerzita, 2001. .

106. Ramik, J. Duality in fuzzy linear programming: Some new concepts and results / J. Ramik // Fuzzy Optimization and Decision Making. — 2005. — no. 4.-Pp. 25-39.

107. Ramik, J. Generalized concavity as a basis for optimization and decision analysis. Research report IS-RR-2001-003 / J. Ramik, M. Vlach; JAIST. -Hokuriku, 2001.- 116 pp.

108. Ramik, J. Fuzzy mathematical programming: A unified approach based on fuzzy relations / J. Ramik, M. Vlach // Fuzzy Optimization and Decision Making. 2002. - no. 1. - Pp. 335-346.

109. Ramik, J. A Non-controversial Definition of Fuzzy Sets / J. Ramik, M. Vlach // Transactions on Rough Sets II. Rough Sets and Fuzzy Sets. — Berlin / Heidelberg: Springer, 2004. Vol. 3135. - Pp. 201-207.

110. Romisch, W. Stability analysis for stochastic programs / W. Romisch, R. Schultz // Annals of Operations Research.— 1991.— no. 30.— Pp. 241-266.

111. Rybkin, V. A. Regularization and stability of possibilistic linear programming problems / V. A. Rybkin, A. V. Yazenin // Proceedings of 6th European Congress on Intelligent Techniques & Soft Computing. — Vol. 1. — Aachen, Germany: 1998. Pp. 37-41.

112. Rybkin, V. A. Strong and weak stability in possibilistic linear programming / V. A. Rybkin, A. V. Yazenin // Proceedings of 7th European Congress on Intelligent Techniques & Soft Computing. — Vol. 1.— Aachen, Germany: 1999. Pp. 193-196.

113. Rybkin, V. A. On the problem of stability in possibilistic optimization / V. A. Rybkin, A. V. Yazenin // International Journal of General Systems. 2000.

114. Saad, О. M. Stability on multiobjective linear programming problems with fuzzy parameters / O.'M. Saad // Fuzzy Sets and Systems. — 1995. — no. 74.-Pp. 207-215.

115. Satisfying solutions and duality in interval and fuzzy linear programming / M. Inuiguchi, J. Ramik, T. Tanino, M. Vlach // Fuzzy Sets and Systems. 2003. - no. 135. - Pp. 151-177.

116. Tanaka, H. Fuzzy linear programming with fuzzy numbers / H. Tanaka, K. Asai 11 Fuzzy Sets and Systems. — 1984. — no. 13. — Pp. 1-10.

117. Wang, Z. Fuzzy measure theory / Z. Wang, G. J. Klir. — New York: Plenum Press, 1992.

118. Yazenin, A. V. Fuzzy and stochastic programming / A. V. Yazenin // Fuzzy Sets and Systems.- 1987.- no. 22.- Pp. 171-180.

119. Yazenin, A. V. On the problem of possibilistic optimization / A. V. Yazenin // Fuzzy Sets and Systems. — 1996.— no. 81.— Pp. 133140.

120. Yazenin, A. V. Non-dominated elements and fuzzy scalarizing functions in vector optimization / A. V. Yazenin, M. Wagenknecht // International Journal Fuzzy mathematics. — 1994. — Vol. 2, no. 3. — Pp. 565-577.

121. Yazenin, A. V. Possibilistic optimization. A measure-based approach / A. V. Yazenin, M. Wagenknecht. BUTC-UW, 1996. - Vol. 6.

122. Zadeh, L. A. Fuzzy sets / L. A. Zadeh // Information and Control.— 1965.-no. 8.-Pp. 338-353.

123. Zadeh, L. A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility / L. A. Zadeh // Fuzzy Sets and Systems. 1978. - no. 1. - Pp. 3-28.

124. Zimmermann, H.-J. Description and optimization of fuzzy systems / H.-J. Zimmermann // Internal J. General Systems.— 1976.— no. 2.— Pp. 209-215.

125. Zimmermann, H.-J. Fuzzy mathematical programming / H.-J. Zimmermann 11 Comput. Oper. Res. 1983. - no. 10.- Pp. 291-298.

126. Zimmermann, H.-J. Applications of fuzzy set theory to mathematical programming / H.-J. Zimmermann // Information Sciences.— 1985. — no. 36. Pp. 29-58.