Математические модели и методы отыскания квазиэффективных портфелей в условиях неопределенности комбинированного типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Шефова, Наталья Александровна

• Шефова, Наталья Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шефова, Наталья Александровна

Введение.

ГЛАВА 1. Разработка исчисления нечетких случайных величин для решения задач портфельного анализа.

1.1. Основные понятия теории возможностей.

1.1.1. Возможностное пространство и его свойства.

1.1.2. Определение и свойства нечеткой случайной величины.

1.1.3. Агрегирование и обработка нечеткой информации.

1.1.4. Классы параметризованных распределений.

1.2. Нечеткая случайная величина и её характеристики.

1.3. Расчет числовых характеристик нечетких случайных величин в классах параметризованных распределений.

1.4. Числовые характеристики взвешенной суммы нечетких случайных величин.

1.5. Выводы по первой главе диссертации.

ГЛАВА 2. Исследование двумерной модели портфеля минимального риска в условиях гибридной неопределенности.

2.1. Двумерный портфель ценных бумаг.

2.2. Влияние коэффициента корреляции на множество инвестиционных возможностей для двумерного портфеля ценных бумаг.

2.3. Двумерный портфель ценных бумаг в нечеткой случайной среде.

2.4. Исследование влияния коэффициентов корреляции на множество инвестиционных возможностей в случае двумерной возможностно-необходимостной модели портфеля.

2.5. Демонстрация влияния коэффициентов корреляции на множество инвестиционных возможностей при реальных числовых данных.

2.6. Выводы по второй главе диссертации.

ГЛАВА 3. Исследование возможностно-вероятностной модели портфеля минимального риска.

3.1. Портфель ценных бумаг.

3.2. Модель портфеля минимального риска при ограничении по возможности (необходимости) на уровень ожидаемой доходности.

3.3. Модель портфеля минимального риска в нечёткой случайной среде при ограничении по возможности (необходимости) и вероятности на уровень доходности.

3.4. Исследование поведения множества инвестиционных возможностей в зависимости от уровня вероятности.

3.5. Исследование поведения множества инвестиционных возможностей в зависимости от уровня возможности.

3.6. Выводы по третьей главе диссертации.

ГЛАВА 4. Система поддержки принятия инвестиционных решений в условиях гибридной неопределенности и модельные расчеты.

4.1. Основные положения.

4.2. Архитектура программного комплекса.

4.2.1. Модуль ввода и обработки исходных данных.

4.2.2. Модуль интеллектуального анализа данных.

4.2.3. Модуль построения возможностно-вероятностной модели портфеля минимального риска.

4.2.4. Модуль инвестиционных возможностей.

4.2.5. Модуль визуализации данных.

4.3. Модельный пример построения множества инвестиционных возможностей в нечеткой случайной среде с применением методики интеллектуального анализа данных.

4.4. Модельные расчеты.

4.4.1. Задача возможностно-вероятностной оптимизации при ограничении по Блеху.

4.4.2. Задача возможностной оптимизации при ограничении по Марковичу.

4.4.3. Задача возможностно-вероятностной оптимизации при ограничении по Марковичу.

4.5. Выводы по четвертой главе диссертации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели и методы отыскания квазиэффективных портфелей в условиях неопределенности комбинированного типа»

Актуальность

На фоне стремительного развития экономики и постоянно повышающегося интереса к фондовому рынку особую актуальность приобрела проблема оптимизации фондовых портфелей и прогнозирования фондовых индексов. В условиях участившихся кризисов, принесших за последние два десятилетия миллиарды убытков инвесторам по всему миру, появилась необходимость в ревизии существующих методов фондового менеджмента и последующей модернизации моделей и методов портфельной оптимизации.

Задача выбора оптимальной структуры портфеля ценных бумаг была впервые комплексно изучена Г. Марковичем в 1952 году [90]. Предложенная им методика и модель портфельной оптимизации, основанные на понятии ожидаемой доходности и риска ценных бумаг, стала ядром исследований и основой развития современной теории принятия инвестиционных решений.

Однако на фондовый рынок оказывает влияние не только внешняя среда, но и экспертные прогнозы, что совместно с ограниченной способностью инвестора распознавать и прогнозировать состояния фондового рынка, порождает фактор субъективной неопределенности. В результате рыночная неопределенность не обладает только классически понимаемой стохастической природой, а носит комбинированный (гибридный) характер, что ставит под сомнение возможность применения чисто классических методов теории вероятностей при построении инвестиционного портфеля.

В итоге, инвестор, отказываясь от классического вероятностного подхода, вынужден применять для анализа и прогнозирования состояния рыночной среды экспертные, минимаксные и другие детерминистские подходы, которые не в состоянии учитывать неопределенность фондовых рынков надлежащим образом.

В XX веке произошла революция, в результате которой наука вышла за пределы привычной двоичной логики и начала оперировать нечеткими понятиями. Основоположником данного направления около полувека назад стал профессор Калифорнийского университета Лотфи А. Заде, который выдвинул гипотезу о том, что «человек мыслит не числами, а нечеткими понятиями». Теория нечетких множеств нашла свое применение во многих отраслях знаний, таких как философия, психология, лингвистика и т.д. Более того, эта относительно молодая теория нашла практическое приложение при создании технологий нового поколения, обладающих искусственным интеллектом, начиная от бытовых приборов и компьютерных технологий и заканчивая системами управления сложными промышленными процессами.

Использование достижений теории нечетких множеств и теории возможностей в экономических исследованиях открыло новые горизонты для развития моделей и методов оптимизации инвестиционных портфелей ценных бумаг и прогнозирования фондовых индексов. Это позволяет более адекватно учитывать при моделировании неопределенности присущие знаниям эксперта проблемы и строить множества квазиэффективных (эффективных с заданной возможностью/необходимостью и вероятностью) оценок инвестиционных возможностей.

Для широкого применения данного подхода необходимо дальнейшее развитие моделей, позволяющих комбинированный гибридный) типы неопределенности, обоснование соответствующих принципов принятия решений и методов оптимизации. Более того, на сегодняшний день существует необходимость создания соответствующего программного обеспечения, которое позволит оперативно обрабатывать большие объемы данных и выдавать объективные рекомендации для принятия решений инвестором.

Ввиду этого диссертационная работа, направленная на разработку моделей и методов отыскания квазиэффективных (эффективных с некоторой возможностью и вероятностью) портфелей в условиях неопределенности комбинированного типа, является актуальной.

Обзор литературы

Впервые теория нечетких множеств была предложена профессором Калифорнийского университета Беркли Лотфи А. Заде. Его работа «Fuzzy sets» [112], появившаяся в 1965 году, заложила основы моделирования интеллектуальной деятельности человека и явилась начальным толчком к развитию новой математической теории.

JI. Заде расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция может принимать не только значения 0 либо 1, но и любые значения в интервале [0, 1 ], характеризуя таким образом степень принадлежности элемента нечеткому множеству. Впоследствии диапазон применимости теории нечетких множеств существенно расширился. Сам JI. Заде определил нечеткие множества как основу для построения теории возможностей [113]. С тех пор научные категории случайности и возможности получили теоретическое разграничение.

Следующим достижением теории нечетких множеств является введение понятия нечеткой переменной, которое в дальнейшем трансформировалось в такое важное понятие как возможностная (нечеткая) величина. Данное понятие в 1978 году ввел Стефан Намиас в своей работе «Fuzzy variables» [92], где, наряду с JI. Заде [113], заложил «аксиоматическую базу, являющуюся основой для построения строгой теории возможностей». Также в этой основополагающей статье Намиас ввел понятие несвязанности нечетких величин и аксиоматически определил бинарные операции над несвязанными нечеткими величинами, тем самым заложив теоретические основы современного исчисления возможностей. i >

Исследования несвязанных (или минисвязанных) нечетких случайных величин были опубликованы также в совместной работе Pao и Рашеда [97]. Фундаментальные исследования в области операций над нечеткими числами были предприняты Д. Дюбуа и Г. Прадом [71], Р. Фуллером [73], X. Нгуеном [95]. С введением нечетких величин оказалось возможным прогнозировать будущие значения параметров, которые ожидаемо меняются в установленном расчетном диапазоне.

В дальнейшем была установлена взаимосвязь теории нечетких множеств и теории вероятностей, рядом авторов было введено понятие нечеткой случайной величины: Г. Квакернаком в статье «Fuzzy random variables - 1. Definitions and theorems» [83], Р.Крузе в работе «Foundations of Fuzzy Systems» [82]. Различные подходы к определению и исследованию нечетких случайных величин представлены в работах М. Пури и Д. Ралеску [96], Ю. Фенга [72], и A.B. Язенина [107]. В работах ученых особое внимание уделялось получению характеристик нечетких случайных величин, и, в частности, расчету моментов второго порядка. Было предложено два альтернативных способа расчета дисперсии и ковариации нечетких случайных величин. Первый способ предполагал, что моменты второго порядка являются нечеткими. Данный подход был заложен в работах М.Ю. Хохлова и A.B. Язенина [49, 50] и был использован в работах И.А. Язенина [64-67] применительно к портфельной теории. Другой способ основан на предположении, что моменты второго порядка являются четкими величинами. Основоположником данного подхода является Ю. Фенг [72]. Данный способ расчета моментов второго порядка нашел свое применение как в работах A.B. Язенина и E.H. Гришиной [10, 74-77], так и в рамках данного диссертационного исследования.

Первой работой в области нечеткой оптимизации стала работа Р. Беллмана и JT. Заде «Decision making in fuzzy environment» [68]. Значительную роль в развитии данного направления сыграли работы Г. Циммермана [114], X. Танака [103], М. Луханджулы [85-87], Д. Дюбуа и А. Прада [11], Дж. Бакли [69, 70], С.А. Орловского [37], Р. Фуллера [48], Дж. Рамика [98], A.B. Язенина и М.Вагенкнехта [105, 107].

Интерпретация функции принадлежности как распределения возможностной величины, позволила сформировать новое научное направление: возможностная оптимизация. Развитию этого научного направления посвящены работы A.B. Язенина [57], Дж. Бакли [69, 70]. Непрямые методы возможностной оптимизации были получены A.B. Язениным в работах [57-62, 106, 108, 110], а также в совместных с М.Вагенкнехтом работах [105, 107]. Эти методы основаны на построении эквивалентных детерминированных аналогов исходных задач.

На базе возможностно-вероятностных величин получили развитие теории и методы оптимизации при гибридной неопределенности. В данном направлении фундаментальные исследования велись М. Луханджулой [88] и A.B. Язениным [62]. Полученные A.B. Язениным результаты были успешно применены Е.Н.Гришиной [10, 74-77] для решения задач портфельной оптимизации, когда неопределенность нечеткого типа моделировалась как возможность. В рамках решаемых задач доходности финансовых активов моделировались нечеткими случайными величинами, имеющими сдвиг-масштабное распределение. Однако при расчете числовых характеристик и построении моделей возможностной оптимизации разделения нечеткой и случайной составляющей не велось.

Цель работы

Целью диссертационной работы является исследование и развитие математического аппарата обработки нечеткой случайной информации в контексте портфельной теории, разработка моделей и методов возможностно-вероятностной оптимизации, ориентированных на поддержку принятия инвестиционных решений в условиях неопределенности комбинированного (гибридного) типа.

Основные задачи

Для достижения целей диссертационной работы решаются следующие задачи: разработка исчисления характеристик нечетких случайных величин с учетом сдвиг-масштабной экспликации неопределенности комбинированного типа; теоретическое обоснование и построение обобщённых возможностно-вероятностных моделей портфеля минимального риска при ограничении по возможности и вероятности на уровень ожидаемой доходности; разработка непрямых методов решения сформулированных задач возможностно-вероятностной оптимизации; исследование влияния взаимосвязи между нечеткими случайными переменными на степень диверсификации портфеля; обоснование влияния уровня возможности и вероятности на множество инвестиционных возможностей участников рынка; разработка архитектуры и реализация программного комплекса поддержки принятия решений для задач портфельной оптимизации в рамках возможностно-вероятностного подхода.

Методика исследования

Для формализованного описания проблемы принятия решений в нечеткой случайной среде используется математический аппарат современной теории возможностей, нечеткой случайной переменной и теории вероятностей. Построение эквивалентных детерминированных аналогов поставленных задач базируется на методах возможностной оптимизации, математического программирования, математического и функционального анализа. Методологическую основу исследования составляют современная портфельная теория и базовые принципы принятия инвестиционных решений. Разработка программного комплекса выполнена на языке высокого уровня Borland Delphi.

Теоретическая и практическая значимость работы

Разработанные в диссертации модели принятия инвестиционных решений в условиях неопределенности комбинированного типа дополняют современную теорию портфельного анализа. Представленное в работе исследование влияния параметров модели на множество инвестиционных возможностей позволяет проводить сравнительное изучение разработанных моделей и методов принятия решений при различных уровнях возможности и вероятности. Полученные в работе методы могут быть использованы для «интеллектуального» анализа фондовых индексов. Разработанная на базе диссертационного исследования система поддержки принятия решений может быть применена для практического решения задач портфельного анализа в режиме реального времени.

Внедрение результатов

Проведенные научные исследования поддержаны грантом РФФИ: проект №10-01-00052а «Модели и методы оптимизации и принятия решений при гибридной неопределенности» и проектом №01201168129 «Разработка математических моделей и методов возможностно-вероятностного программирования и их реализация в прикладных программных системах». Результаты диссертации внедрены в учебный процесс на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета. Кроме того, с целью овладения практическими навыками анализа и оценки информации в условиях неопределенности комбинированного типа на базе теоретических знаний, получаемых в рамках курсов «Теория неопределенностей» и «Неклассические логики», разработаны «Методические рекомендации по использованию программного комплекса поддержки моделей и методов принятия инвестиционных решений в условиях гибридной неопределенности».

Апробация

Основные результаты исследования были представлены на 17-м Международном коллоквиуме (Zittau East-West Fuzzy Colloquium 2010, Циттау, Германия) и на конференции с международным участием для молодых ученых «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Тверь, 2010), международной научно-практической конференции «Факторы развития экономики России» (Тверь, 2011), , а также на семинарах в Тверском государственном университете. Кроме того, на базе полученных в рамках диссертационного исследования результатов были разработаны и внедрены в учебный процесс методические рекомендации по использованию программного комплекса поддержки моделей и методов принятия инвестиционных решений в условиях гибридной неопределенности, предназначенные для студентов факультета прикладной математики и кибернетики.

Структура работы и ее содержание

Диссертация состоит из введения, четырех глав основного содержания, заключения и библиографии.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Шефова, Наталья Александровна

4.5. Выводы по четвертой главе диссертации

Четвертая глава посвящена созданию программного комплекса поддержки принятия инвестиционных на основе разработанных в диссертации методов портфельного анализа в условиях гибридной неопределенности. В четвертой главе представлены следующие результаты:

1. Представлены цели и общее описание разработанного программного комплекса, обоснована актуальность его разработки.

2. Разработана архитектура программного комплекса, описаны общие схемы работы каждого из модулей программного комплекса.

3. Осуществлено тестирование и проверка работоспособности программного комплекса путем сравнения результатов расчетов, проведенных аналитически с последующим применением системы Maple и результатов, полученных с использованием разработанной компьютерной модели.

4. Проведены модельные расчеты с использованием информации о ценах финансовых активов для различных вариантов формирования инвестиционного портфеля.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках диссертационного исследования получила развитие проблема возможностно-веротностной оптимизации. Наряду с обоснованием существующих моделей возможностно-вероятностной оптимизации в диссертационный работе были рассмотрены вопросы представления и агрегирования комбинированной (гибридной) неопределенности возможностно-вероятностного типа. Разработанные в исследовании модели и методы возможностно-вероятностного программирования были реализованы и протестированы в рамках программного комплекса поддержки принятия решений, предназначенного для оценки эффективности инвестиционных возможностей при решении задач портфельного анализа.

Таким образом, в качестве основных результатов диссертационной работы можно выделить следующие:

1) разработано исчисление характеристик нечетких случайных величин с учетом сдвиг-масштабной экспликации неопределенности комбинированного (гибридного) типа;

2) построена обобщённая возможностно-вероятностная модель портфеля минимального риска в условиях гибридной неопределенности при ограничении по возможности/необходимости и вероятности на уровень доходности;

3) установлена взаимосвязь полученной модели с моделью портфеля минимального риска при ограничении по возможности/необходимости на уровень ожидаемой доходности;

4) разработан непрямой метод решения задачи возможностно-вероятностной оптимизации, основанный на построении эквивалентных детерминированных аналогов;

5) проведено комплексное исследование возможностно-вероятностной модели портфеля минимального риска на уровне эквивалентного детерминированного аналога для различных значений параметров, а именно: исследовано влияние уровня вероятности на множество инвестиционных возможностей для возможностно-вероятностной модели при уровне возможности а = 0.5 ; изучено влияние уровня возможности на множество допустимых и эффективных решений для возможностной модели портфеля минимального риска; обосновано влияние коэффициентов корреляции на множество инвестиционных возможностей в случае двумерной возможностно-необходимостной модели портфеля ценных бумаг, установлено, что полученные результаты согласуются с классическими;

6) реализован программный комплекс поддержки принятия решений, основанный на разработанных методах портфельного анализа в условиях гибридной неопределенности, который является практическим инструментом инвестора при оценке эффективности портфелей ценных бумаг.

Результаты диссертационной работы позволяют не только расширить теоретическую базу оснований теории возможностей, портфельного анализа и непрямых методов решения оптимизационных задач в условиях неопределенности гибридного типа, но также предоставляют инструментарий для исследования практических задач, решаемых в рамках возможностно-вероятностного программирования.

В плане дальнейших исследований проблемы возможностно-вероятностной оптимизации можно выделить два основных направления. Во-первых, представляется важным провести обобщение построенной модели на случай, когда моменты второго порядка нечетких случайных величин определяются в нечеткой форме. Во-вторых, возможно развитие модели для ситуации, когда агрегирование возможностной информации осуществляется на основе слабой 1:-нормы, описывающей взаимодействие нечётких факторов.

147

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шефова, Наталья Александровна, 2012 год

1. Ашманов С. А. Линейное программирование — М.: Наука, 1981.

2. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987.

3. Барбаумов В.Е. Финансовые инвестиции / В.Е.Барбаумов, И.М.Гладких, А.С.Чуйко. М.: Финансы и статистика, 2003. - 542 с.

4. Буренин А.Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов. М. : НТО им. академика С.И. Вавилова, 2008. -418 с.

5. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

6. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. М.: Факториал, 1998.

7. Гибсон Р., Формирование инвестиционного портфеля: управление финансовыми рисками, «Альпина», 2005.

8. Гордеев Р. Н. К задаче максимизации необходимости нечеткой цели // Вестник, ТвГУ. Сер. прикладная математика 2005 - №6 - с. 100107

9. Гордеев Р. //. Язенин А. В. Метод решения одной задачи возможностного программирования // Известия РАН. Теория и системы управления 2006 - №3 - с.121-128

10. Гришина E.H. Об одном подходе к определению и расчету числовых характеристик нечетких случайных величин, Сложные системы: обработка информации, моделирование и оптимизация. ТвГУ, Тверь, 2004. с.39-45.

11. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. М.: Радио и связь, 1990.

12. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.

13. Ермольев Ю. М. Методы стохастического программирования — М.: Наука, 1976.-240 с.

14. Заде JI.A. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976.

15. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1980.

16. Касимов Ю.Р. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. М.: Филинъ, 1998. - 144 с.

17. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М: Наука, 1974.

18. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г.Корн, Т.Корн.-М.:Наука, 1970.-720 с.:ил.

19. Кофман А. Введение в теорию нечетких подмножеств: Пер. с франц. М.: Радио и связь, 1982.-432 е.: ил.

20. Крушвиц JI. Инвестиционные расчеты СПб: Питер, 2001 - 432 е.: ил.

21. Линейное и нелинейное программирование. / И.Н. Ляшенко, Е.А. Карагодова, Н.В. Черникова и др. Киев: Издательское объединение «Вища школа», 1975. - 372 с.

22. Малыхин В.И. Финансовая математика. М: Юнити, 2000.

23. Мину М. Математическое программирование. М.: Наука, 1990.

24. Мищенко A.B. Оптимизационная модель формирования инвестиционного портфеля // Финансовый менеджмент. 2005, -№5. - с.80-88.

25. Моисеев H.H., Иванилов Ю.П., Столярова E.H. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978.

26. Молодцов Д.А. Устойчивость принципов оптимальности. М.: Наука, 1987.

27. Муртаф М. Современное линейное программирование. М.: Мир, 1984.

28. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. / А.Н. Аверкин, И.З. Батыршин, А.Ф. Блишун и др.; под ред. Д.А. Поспелова. М.: Наука, 1986. - 312 с.

29. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения: Пер. с англ./Под ред. Р.Р.Ягера; пер. с англ. В.Б. Кузьмина под ред. Травкина С.И.-М.: Радио и связь, 1986. 408 е.: ил.

30. Новикова В.Н., Турлаков А.П. Задача максимизации возможности достижения нечеткой случайной цели // Вестник Тверского государственного университета/ Сер. Прикладная математика 2009 №17 - с. 79-95.

31. Новикова В.Н. О методе решения одной задачи возможностно-вероятностной оптимизации // Вестник Тверского государственного университета/ Сер. Прикладная математика — 2010 —№16 —с. 95-110.

32. Новикова В.Н., Язенин A.B. Прямой метод решения одной задачи возможностно-вероятностного программирования // Труды Всероссийской научной конференции «Нечеткие системы и мягкие вычисления» — Тверь, М.: Физматлит, 2006, с. 132-139.

33. Новикова В.Н. О методе решения одной задачи возможностно-вероятностного программированя // Нечеткие системы и мягкие вычисления, ТвГУ — Том 2, № — 2007 — с.73-82.

34. Новикова В.Н. Нечеткая стохастическая транспортная задача // Нечеткие системы и мягкие вычисления, ТвГУ — Том 4, №1 — 2009 с.63-73.

35. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений / А.Н.Борисов, А.В.Алексеев, Г.В.Меркурьева и др. М.: Радио и связь, 1989.-304 е.: ил.

36. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. М.: Наука, 1979.

37. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука, 1981.

38. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.

39. Рыбкин В.А., Язенин A.B. О сильной устойчивости в задачах возможностной оптимизации // Известия РАН. Теория и системы управления. 2000. № 2. С. 90-95.

40. Рыбкин В.А., Язенин A.B. Возможностная регуляризация задач линейного программирования // Известия РАН. Теория и системы управления. 2003. №3. С. 80-89.

41. Солдатенко И.С., Язенин A.B. Задача возможностной оптимизации с взаимно t-связанными параметрами: сравнительное изучение, Известия РАН. Теория и системы управления, 2008, № 5, с.87-98.

42. Сорокин C.B., Язенин A.B. Система поддержки принятия решений на базе моделей и методов возможностной оптимизации // Программные продукты и системы. 2000, №2, с. 9-13.

43. Сорокин C.B. Методические рекомендации по использованию программной системы поддержки моделей и методов возможностной оптимизации. Учебно-методическое пособие. Тверь: ТвГУ. 2004. 23 с.

44. Сухарев А.Г., Тимохов A.B., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986.

45. Тихонов А.Н. О некорректных задачах оптимального планирования//ЖВМиМФ. 1966. Т. 6. № 1. С. 81-89.

46. Трухаев Р.И. Модели принятия решений в условиях неопределенности. М.: Наука, 1981.

47. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979.

48. Фуллер Р. Исследование некоторых классов нечетких линейных задач. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Москва, 1987.

49. Хохлов М.Ю. Нечеткие случайные величины и их числовые характеристики // Методы и алгоритмы исследования задач оптимального управления. Тверь, 2000.

50. Хохлов М.Ю., Язенин A.B. Расчет числовых характеристик нечетких случайных величин // Вестник ТвГУ, №2, Серия «Прикладная математика», выпуск 1, 2003г., с.39-43.

51. ЧубуковаИ.А. Data Mining: учебное пособие. М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, ИНТУИТ.РУ. 2006.

52. Шарп У.Ф. Инвестиции // У. Ф. Шарп, Г. Дж. Александер, Дж. В. Бэйли. М.: Инфра-М, 2001 г. 1035 с.

53. Шефова H.A., Язенин A.B. Исследование двумерной модели портфеля ценных бумаг в условиях гибридной неопределенности // Нечеткие системы и мягкие вычисления. Тверь: ТвГУ, 2011, том 6, №2, 2011, с. 123-143.

54. Шефова H.A., Язенин A.B. Модель портфеля минимального риска в условиях неопределенности комбинированного типа // Вестник Тверского государственного университета, №8. Серия «Прикладная математика», выпуск 1(20), 2011 г., с.89 -103.

55. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981.

56. Юдин Д.Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. М.: Советское радио, 1974.

57. Язенин A.B. Нечеткое математическое программирование. Калинин, 1986. 60 с.

58. Язенин A.B. Линейное программирование со случайными нечеткими данными // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1991. № 3. С. 52-58.

59. Язенин А. В. Возможностное и интервальное линейное программирование // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1993. № 5. с. 149-155.

60. Язенин A.B. Методы оптимизации и принятия решений при нечетких данных. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Тверь, 1995.

61. Язенин A.B. К задаче максимизации возможности достижения нечеткой цели // Изв. АН СССР. Теория и системы управления. 1999. №4. С.120-123.

62. Язенин A.B. О методе решения одной задачи линейного программирования со случайными нечеткими данными, Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. №5, с. 91-95.

63. Язенин A.B., Шефова H.A. Об одной возможностно-вероятностной модели портфеля минимального риска // Вестник Тверского государственного университета, №14. Серия «Прикладная математика», выпуск 2 (17), 2010 г., с. 85 95.

64. Язенин И.А. Портфели минимального риска и максимальной эффективности в условиях нечетких случайных данных //Сложные системы: моделирование и оптимизация, Тверь, ТвГУ, 2001 г. с. 59-63.

65. Язенин И.А. О методах оптимизации инвестиционного портфеля в нечеткой случайной среде, Сложные системы: обработка информации, моделирование и оптимизация, Тверь, ТвГУ, 2002 г. -с. 130-135.

66. Язенин И.А. Об одной модели оптимизации инвестиционного портфеля, Вестник Тверского государственного университета, №2. Серия «Прикладная математика», выпуск 1, 2003 г. с. 102105.

67. Язенин И.А., Хохлов Ю.С. Меры возможности и необходимости в портфельном анализе //Сложные системы: обработка информации, моделирование и оптимизация. Тверь. ТвГУ. 2004. Вып.2. С.32-38.

68. Bellman R., Zadeh L.A. Decision making in a fuzzy environment//Management Science. 1970. №17. P. 141-164.

69. Buckley J.J. Possibility and necessity in optimization // Fuzzy Sets and Systems. 1988. №25. P. 1-13.

70. Buckley J.J. Possibilistic linear programming with triangular fuzzy numbers // Fuzzy Sets and Systems. 1988. №26. P. 135-138.

71. Dubois D., Prade H. Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applications. New York:Academic Press, 1980.

72. Y.Feng, L.Hu, H.Shu, The variance and covariance of fuzzy random variables and their applications //Fuzzy Sets and Systems, 2001, pp. 487-497.

73. R. Fuller and T. Keresztfalvi. On generalization of Nguyen's theorem // Fuzzy Sets and Systems. 1991. №41. pp. 371-374.

74. Grishina E.N. On One Method of Portfolio Optimization with Fuzzy Random Data //Proceedings of International Conference on Fuzzy Sets and Soft Computing in Economics and Finance. Saint-Petersburg, Russia. 2004. pp.493-498.

75. Grishina E.N., Yazenin A.V. About one approach to portfolio optimization //Proceedings of 11 Zittau Fuzzy Colloquium, Zittau, Germany, 2004, pp.219-226.

76. Grishina E.N., Yazenin A.V. Bivariate Portfolio with Fuzzy Random Data //Proceedings of 12 Zittau Fuzzy Colloquium, Zittau, Germany, 2005, pp.265-270.

77. Inuiguchi M., Ramik J. Possibilistic linear programming: a brief review of fuzzy mathematical programming and a comparison with stochastic programming in portfolio selection problem, Fuzzy sets and systems. 2000. №111. pp.3-28.

78. Inuiguchi M., Tanino T. Portfolio selection under independent possibilistic information, Fuzzy sets and systems. 2000. №115. pp.8392.

79. Inuiguchi M., Ramik J.; Tanino T. Oblique fuzzy vectors and its use in pos-siblistic linear programming // Fuzzy Sets and Systems 2003 -no. 135-pp. 123-150

80. Inuiguchi M., Ramik J.,Tanino T., Vlach M. Satisfying solutions and duality in interval and fuzzy linear programming // Fuzzy Sets and Systems -2003 no. 135 — pp. 151-177.

81. R. Kruse et.al., Foundations of Fuzzy Systems. John Wiley and Sons. Chichester. 1994.

82. Kwakernaak H. Fuzzy random variables 1. Definitions and theorems // Information Sciences. 1978. №15. pp. 1-29.

83. Kwakernaak H. Fuzzy random variables II. Algorithms and examples for the discrete case // Information Sciences. 1979. №17. pp. 253-278.85,86,87,88,89