Модели и методы решения многокритериальных задач нечеткой оптимизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Семенов, Борис Александрович

• Семенов, Борис Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Семенов, Борис Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. АНАЛИЗ ПОДХОДОВ К ФОРМАЛИЗАЦИИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ЗАДАЧАХ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ.

1.1. Общая структура задачи принятия решений и ее особенности.

1.1.1. Неопределенность информации и способы ее формализации в задачах принятия решений и управления.

1.1.2. Общая характеристика задач многокритериальной оптимизации.

1.2. Нечеткие и лингвистические модели представления информации.

1.2.1. Понятие нечеткого множества.

1.2.2. Нечеткие операции.

1.3. Современная информационная технология как средство обеспечения интеллектуальности информационных систем.

Выводы к первой главе.

Глава 2. РАЗРАБОТКА ПОДХОДОВ К РЕШЕНИЮ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ЧЕТКОГО И НЕЧЕТКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.

2.1. Общая конструкция задач нечеткого математического программирования.

2.2. Нечеткая логическая модель задачи многокритериальной оптимизации

2.3. Задача многокритериальной линейной оптимизации с нечеткими коэффициентами целевых функций.

2.4. Управление инвестиционным портфелем при нечетких значениях доходности и рисков.

Выводы ко второй главе.

Глава 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЦЕЛЕЙ В ЗАДАЧАХ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ.

3.1. Анализ взаимодействия целевых функций.

3.2. Алгоритм решения многокритериальной задачи, учитывающий характер взаимодействия целевых функций.

Выводы к третьей главе.

Глава 4. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ ПРИ ЧЕТКИХ И НЕЧЕТКИХ КОЭФФИЦИЕНТАХ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ

4.1. Решение четкой многокритериальной задачи о назначениях с помощью генетического алгоритма.

4.1.1. Генетический алгоритм решения многокритериальной задачи о назначениях.

4.1.2. Исследование эффективности различных способов кодирования и операторов кроссовера.

4.2. Генетический алгоритм решения многокритериальной задачи о назначениях при нечетких коэффициентах целевой функции.

4.2.1. Нечеткая многокритериальная задача о назначениях.

4.2.2. Генетический алгоритм решения задачи.

4.2.3. Выбор рекомендуемой точки среди решений, найденных ГА.

4.2.4. Эксперимент и обсуждение результатов.

4.3. Программные реализации.

Выводы к четвертой главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели и методы решения многокритериальных задач нечеткой оптимизации»

Актуальность темы. Задачи математического программирования относятся к детерминированным моделям принятия решений. Необходимо заметить, что данный раздел «составляет» классику исследования операций и в теоретическом плане является хорошо «проработанным». Однако реальные прикладные задачи оказываются намного сложнее, чем предусмотрено классическими постановками. Эта сложность обусловливается необходимостью учета многих критериев при принятии решения, порождая класс задач многокритериальной оптимизации. Исключительное значение для решения таких задач играет принцип Парето, согласно которому оптимальное решение следует выбирать среди Парето-оптимальных точек, образующих область компромисса, причем выбор окончательного решения осуществляется с учетом дополнительной информации. Среди различных подходов, который носят в основном эвристический характер, можно выделить метод последовательного сужения множества Парето, основанный на количественной информации о важности критериев (В.Д. Ногин и др.). Заметим, что принцип Парето не является универсальным и применяется только при выполнении ряда аксиом. И даже если эти аксиомы выполняются, построение множества Парето может вызывать значительные трудности. В основе другого подхода к решению проблемы многокритериальное™ лежит идея последовательных уступок, основанная на ранжировании критериев в порядке убывающей важности и решении однокритериальной задачи, в которой самый важный критерий принимает экстремальное значение, а на остальные накладываются ограничений. Недостаток данного подхода заключается в усложнении ограничивающих условий и необходимости анализа различных вариантов задачи. Переход к однокритериальной задаче возможен и при агрегировании отдельных критериев в некоторый обобщенный (интегральный) критерий с помощью подходящей свертки. При внешней привлекательности такой подход порождает ряд вопросов: неясно, как определить вид функции агрегирования; трудно или невозможно обосновать принцип оценки ее параметров (весовых коэффициентов, показателей степеней и т.п.); проблематична интерпретация полученных результатов. Кроме перечисленных, существуют подходы, ориентированные на определенные классы задач. Так, для решения задач многокритериальных математического программирования с противоречивой системой ограничений применяются комитетные конструкции (Еремин И.И., Мазуров В.Д.), которые выступают аналогом смешанных стратегий использования допустимых решений, удовлетворяющих подсистемам условий.

В последние десятилетия в рамках математически эграммирования появились направления, учитывающие особенности и ество исходной информации (нечеткое, возможностное, стохастическое, интервальное программирование). Нечеткие модели оптимизационны -?адая: отличаются разнообразием подходов к их построению (R. F' С. Carlsson, Е. Canestrelli, М. Delgado, F. Herrera, HJ. Zimmermann, С.А. Орловский, А.В. Язенин и др.) и позволяют адекватно учитывать не1 v лъ данных при принятии решений. Необходимость дальнейшей разраОолш подходов к решению многокритериальных задач нечеткого математического программирования обусловливает актуальность дисссл ч ".тонной работы. Диссертационная работа выполнена в рамках одного из основных научных направлений ВГУ «Математическое моделирование, программное и информационное обеспечение, методы вычислительной и прикладной математики и их применение к фундаментальным исследованиям в естественных науках».

Цель и задачи исследования. Цель диссертаг ионной работы заключается в разработке моделей и методов м гокритериальной оптимизации в условиях неопределенности, характеризующихся нечеткостью данных. Для достижения цели в работе решались следующие задачи.

1. Анализ подходов к формализации неопределенности и способах ее учета в моделях математического программирования.

2. Разработка оригинальных подходов к формированию моделей и методов для решения многокритериальных задач с четкими и нечеткими целевыми функциями.

3. Разработка методов оценки характера взаимодействия целевых функций в задачах многокритериальной оптимизации с целью их использования как на предварительном этапе математического моделирования, так и на этапе решения.

4. Экспериментальное исследование разрешимости четких и нечетких многокритериальных задач о назначении с помощью генетического алгоритма.

Методы исследования базируются на основных положениях теории математического программирования и векторной оптимизации, теории нечетких множеств и нечеткой логики, дискретной математики, технологии эволюционного моделирования.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной.

1. Предложены альтернативные модели для многокритериальной задачи с нечеткими целевыми функциями, построенные на основе кванторных предикатов и (если-то)-правил и отличающиеся тем, что за счет формализации нечетких логических операций могут быть получены частные модели, обеспечивающие гибкость в формировании информационной среды для построения модели конкретной прикладной задачи.

2. Предложен метод решения задачи многокритериальной оптимизации для случая линейных целевых функций с нечеткими коэффициентами, основанный на свойствах операций и сравнении нечетких (треугольных и трапециевидных) чисел.

3. Разработан подход к формализации характера взаимодействия целевых функций в многокритериальных задачах, основанный на вычислении их градиентов. Для случая линейных целевых функций введен коэффициент, позволяющий определить характер их взаимодействия (кооперация, конфликт, независимость) и на его основе осуществить переход к соответствующим нечетким целевым функциям. Предложен метод для решения задачи многокритериальной оптимизации, учитывающий эффект взаимодействия целевых функций.

4. Для многокритериальной задачи о назначениях в четкой и в нечеткой постановках предложен генетический алгоритм нахождения решения, отличающийся использованием оригинальной процедуры оценки приспособленности особей в популяции.

Содержание диссертации соответствует пунктам 1,3 специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Паспорта специальностей ВАК РФ.

Достоверность научных результатов. Научные положения, теоретические выводы и практические рекомендации обоснованы корректным использованием математического аппарата, подтверждены результатами вычислительного эксперимента.

Практическая значимость результатов работы заключается в том, что предложенный комплекс моделей (в общем случае) математического программирования позволяет учитывать такие факторы реальных прикладных задач, как многокритериальность и нечеткость, что обеспечивает высокую степень адекватности и формирует основу для обоснованного принятия решений. Предложен метод решения задачи о формировании инвестиционного портфеля при нечетких оценках рисков и доходности.

Реализация результатов исследования. Теоретические результаты диссертации в форме моделей, алгоритмов и программ используются в учебном процессе Воронежского государственного университета и Воронежского государственного технического университета при чтении спецкурсов, выполнении дипломных и курсовых работ.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и др. научных мероприятиях: Международная школа-семинар «Современные проблемы механики и прикладной математики» (2007, ВГУ), Всероссийская конференция «Интеллектуальные информационные системы» (2009, ВГТУ), VT-я всероссийская школа-семинар молодых ученых «Управление большими системами» (2009, УдГУ), 32-я международная школа-семинар «Системное моделирование социально-экономических процессов» имени академика С.С.Шаталина (2009, ЦЭМИ), ежегодные научные семинары профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов Воронежского государственного университета (г. Воронеж, 2006 — 2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 печатных изданиях, в том числе 2 — из списка изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложений. Работа содержит 140 страниц текста, включает 48 рисунков и 6 таблиц. Список используемой литературы включает 103 наименования. В первой главе рассмотрены общие проблемы моделирования процесса принятия решений. Описаны важнейшие ,

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Семенов, Борис Александрович

Основные выводы и результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

1. Существующие методы решения проблемы многокритериальное™ в задачах принятия решений отличаются значительным многообразием. Однако необходимость учета качества исходной информации обусловливает развитие новых подходов. Приближенная информация о коэффициентах целевых функций многокритериальных задач математического программирования может быть формализована с помощью нечетких чисел, а аппарат теории нечетких множеств и нечеткой логики предоставляет эффективные инструменты для обеспечения адекватности и качества соответствующих моделей и методов.

2. Разработан подход к решению задачи многокритериальной оптимизации с нечеткими целевыми функциями, основанный на представлении условий, определяющих оптимальное решение, с помощью кванторного предиката и позволяющий сформировать функцию принадлежности оптимального решения, с помощью которой можно оценить «оптимальность» каждого допустимого решения. Конкретизация моделей осуществляется на основе формализации нечетких логических операций. Построены частные модели для случая трапециевидных и треугольных нечетких чисел. В качестве примера рассмотрена задача формирования инвестиционного портфеля с двумя целевыми функциями, коэффициенты которых являются треугольными нечеткими числами.

3. Предложен подход к определению взаимодействия целевых функций в многокритериальных (четких) задачах, основанный на вычислении угла между соответствующими им градиентами. Для задач с линейными целевыми функциями введен коэффициент взаимодействия, позволяющий тип взаимодействия (кооперация, конфликт, независимость). Предложен метод решения многокритериальной задачи, основанный на специальном преобразовании целевых функций с учетом коэффициента взаимодействия.

4. Для многокритериальной задачи о назначениях и ее нечеткого аналога предложены реализации генетического алгоритма для получения оптимального решения. На основе вычислительного эксперимента проведен анализ особенностей работы генетических алгоритмов и их эффективности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Семенов, Борис Александрович, 2010 год

1. Алтунин А. Е. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях : монография / А. Е. Алтунин, М. В. Семухин. — Тюмень : Изд-во Тюмен. гос. ун-та, 2002. 265 с.

2. Баева Н. Б. Модели производственных процессов, логистики и риска / Н. Б. Баева, Т. В. Азарнова. Воронеж : ЛОП ВГУ, 2005. - 87 с.

3. Баева Н. Б. Основы теории и вычислительные схемы векторной оптимизации / Н. Б. Баева, Ю. В. Бондаренко. Воронеж : ИПЦ ВГУ, 2009. -95 с.

4. Беллман Р. Принятие решений в расплывчатых условиях / Р. Беллман, Л. А. Заде // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М. : Мир, 1976.-С. 172-215.

5. Блэк М. Метафора / М. Блэк // Теория метафоры : пер. с англ., нем., исп., пол. яз. -М. : Прогресс, 1990. С. 153-172.

6. Букатова И. Л. Эволюционное моделирование и его приложения / И. Л. Букатова. М.: Наука, 1979. - 231 с.

7. Вагнер Г. Основы исследования операций : в 3 т. / Г. Вагнер. — М. : Мир, 1973.-Т. 2.-486 с.

8. Дубов Ю. А. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем / Ю. А. Дубов, С. И. Травкин, В. Н. Якимец. М. : Наука, 1986.-294 с.

9. Дюбуа Д. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике / Д. Дюбуа, А. Прад ; пер. с фр. В. Б. Тарасова ; под ред. С. А. Орловского. М. : Радио и связь, 1990. — 286 с.

10. Емельянов В. В. Теория и практика эволюционного моделирования /

11. B. В. Емельянов, В. М. Курейчик, В. В. Курейчик. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003.-431 с.

12. Ермольев Ю. М. Методы стохастического программирования / Ю. М. Ермольев. М. : Наука, 1976. - 239 с.

13. Задачи линейной оптимизации с неточными данными = Linear optimization problems with inexact data / M. Фидлер, Й. Недома, Я. Рамик, И. Рон, К. Циммерманн ; пер. с англ. С. И. Кумкова ; под ред.

14. C. П. Шарого. — М. ; Ижевск : Ин-т компьютер, исслед. : Регуляр. и хаот. динамика, 2008. 286 с.

15. Заде Л. А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений / Л. А. Заде. М. : Мир, 1976. — 165 с.

16. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании, экономике / С. Карлин. М. : Мир, 1964. - 838 с.

17. Карманов В. Г. Математическое программирование / В. Г. Карманов. — 5-е изд., испр. М. : Физматлит, 2000. - 263 с.

18. Каширина И. Л. Генетический алгоритм решения квадратичной задачи о назначениях специального вида / И. Л. Каширина // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. Воронеж, 2003. - № 1. - С. 128-131.

19. Кашьян P. JI. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным / P. JI. Кашьян, А. Р. Рао. М. : Наука, 1983. — 384 с.

20. Корн Г. А. Справочник по математике : для науч. работников и инженеров : Определения. Теоремы. Формулы / Г. А. Корн, Т. М. Корн. -6-е изд., стер. СПб. и др. : Лань, 2003. - 831 с.

21. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств / А.Кофман. М. : Радио и связь, 1982. — 432 с.

22. Кочин Д. Ю. Метод классификации заданного множества многокритериальных альтернатив / Д. Ю. Кочин // Методы поддержки принятия решений. М. : УРСС, 2001. - С. 4-18.

23. Круглов В. В. Интеллектуальные информационные системы : компьютерная поддержка систем нечеткой логики и нечеткого вывода / В. В. Круглов, М. И. Дли. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 254 с.

24. Круглов В. В. Искусственные нейронные сети : теория и практика / В. В. Круглов, В. В. Борисов. — 2-е изд. М. : Горячая линия — Телеком, 2002.-382 с.

25. Курейчик В. М. Эволюционные алгоритмы : генетическое программирование / В. М. Курейчик, С. И. Родзин // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2002. № 1. - С. 127-137.

26. Ларичев О. И. Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в Волшебных странах / О. И. Ларичев. 2-е изд., перераб. и доп. -М. : Логос, 2002. - 390 с.

27. Левин В. И. Новое обобщение операций над нечеткими множествами /

28. B. И. Левин // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2001. - № 1. - С. 143-146.

29. Леденева Т. М. Моделирование процесса агрегирования целей в целенаправленных системах / Т. М. Леденева. — Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. тех. ун-та, 1999. — 160 с.

30. Леденева Т. М. Обработка нечеткой информации / Т. М. Леденева. — Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2006. 233 с.

31. Леденева Т. М. Операторы агрегирования в оценочных моделях / Т. М. Леденева, Т. Н. Недикова // Информ. технологии. 2003. - № 2. - С. 2-9.

32. Леденева Т. М. Особенности использования нечетких отношений в задачах многокритериального выброса / Т. М. Леденева // Системное моделирование социально-экономических процессов. — Воронеж : Воронеж, гос. ун-т, 2000. С. 144-156.

33. Лю Б. Теория и практика неопределенного программирования / Б. Лю. М. : БИНОМ. Лаб. знаний, 2005. - 416 с.

34. Малышев В. А. Метод принятия решений в условиях многообразия способов учета неопределенностей / В. А. Малышев, Б. С. Пиявский,

35. C. А. Пиявский // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010. - № 1. -С. 46-61.

36. Матвеев М. Г. Идентификация параметров нечетких продукционных правил при моделировании системы «состав-свойство» / М. Г. Матвеев, Ю. А. Полянский // Системы упр. и информ. технологии. — 2009. — № 4. — С. 43-46.

37. Матвеев М. Г. Модели и методы искусственного интеллекта. Применение в экономике / М. Г. Матвеев, А. С. Свиридов, Н. А. Алейникова. М. : Финансы и статистика : Инфра-М, 2008. — 446 с.

38. Матвеев М. Г. Статическая модель принятия решений в условиях метеорологической неопределенности / М. Г. Матвеев, В. В. Михайлов // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Систем, анализ и информ. технологии. — Воронеж, 2006. № 2. - С. 19-23.

39. Месарович М. Теория иерархических многоуровневых систем : пер. с англ. / М. Месарович, Д. Мако, И. Такахара ; под ред. И.Ф. Шахнова. — М. : Мир, 1973.-344 с.

40. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной / А. Н. Борисов и др.. — Рига : Зинатне, 1982. — 256 с.

41. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа / Н. Н. Моисеев.-М. : Наука, 1981.-488 с.

42. Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем / Н. Н. Моисеев. -М. : Наука, 1975.-528 с.

43. Мушик Э. Методы принятия технических решений / Э. Мушик, П. Мюллер ; пер. с нем. Н. В. Васильченко, В. А. Душского. — М. : Мир, 1990.-206 с.

44. Негойце К. Применение теории систем к проблемам управления / К. Негойце. -М. : Мир, 1981. 179 с.

45. Нейман Дж. Теория игр и экономическое поведение : пер. с англ. / Дж. фон Нейман, О. Моргенштейн ; под. ред. и с добавлением Н. Н. Воробьева. М. : Наука, 1970. - 707 с.

46. Нечеткие гибридные системы : теория и практика / под. ред. Н. Г. Ярушкиной. М. : Физматлит, 2007. - 208 с.

47. Нечеткие множества и теория возможностей : пер. с англ. / под ред. Р. Р. Ягера ; под ред. С. И. Травкина. М. : Радио и связь, 1986. - 405 с.

48. Ногин В. Д. Принцип Эджворта-Парето и относительная важность критериев в случае нечеткого отношения предпочтения // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2003. - Т. 43, № 11. - С. 1666-1676.

49. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений / А. Н. Борисов и др.. М. : Радио и связь, 1989. - 302 с.

50. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации / С. А. Орловский. М. : Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1981. — 208 с.

51. Оценка и анализ рисков / И. В. Орлова, А. И. Пилипенко, В. А. Половников, В. А. Кошлякова. М. : Финстатинформ, 2002. - 64 с.

52. Паклин Н. Нечеткая логика математические основы / Н. Паклин. — URL: http://www.basegroup.ru/fuzzylogic/math.htm (дата обращения: 10.05.2009).

53. Райфа Г. Анализ решений. Введение в проблему выбора в условиях неопределенности : пер. с англ. / Г. Райфа ; под ред. С. В. Емельянова. — М.: Наука, 1977.-406 с.

54. Ракитянская А. Б. Генетический алгоритм диагностики на основе нечетких отношений / А. Б. Ракитянская // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2001. - № 5. - С. 121-126.

55. Растригин JI. А. Статистические методы поиска / JI. А. Растригин. — М.: Наука, 1968.-376 с.

56. Роберте Ф. С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам : пер. с англ. / Ф. С. Роберте ; под ред. А. И. Теймана. М. : Наука, 1986. - 496 с.

57. Ротштейн А. П. Нечеткий многокритериальный анализ вариантов с применением парных сравнений / А. П. Ротштейн // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2001. № 3. - С. 150-154.

58. Ротштейн А. П. Нечеткий многокритериальный выбор альтернатив: метод наихудшего случая / А. П. Ротштейн // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2009. - № 3. - С. 51-55

59. Рутковская Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы : пер. с пол. / Д. Рутковская, М. Пилиньский, JI. Рутковский. — М. : Горячая линия Телеком, 2006. - 383 с.

60. Рыжов А. П. Элементы теории нечетких множеств и измерения нечеткости / А. П. Рыжов. М. : Диалог-МГУ, 1998. - 116 с.

61. Сю Д. Современная теория автоматического управления и ее применение : пер. с англ. / Д. Сю, А. Мейер ; под ред. Ю. И. Топчеева. — М. : Машиностроение, 1972. 552 с.

62. Фельдбаум А. А. Основы теории оптимальных автоматических систем / А. А. Фельдбаум. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Наука, 1966. 623 с.

63. Финансовая математика. Математическое моделирование финансовых операций / под ред. В. А. Половникова, А. И. Пилипенко. — М. : Вуз. учеб., 2004. 358 с.

64. Хьюбер П. Робастность в статистике : пер. с англ. / П. Хьюбер ; под ред. И. Г. Журбенко. М. : Мир, 1984. - 303 с.

65. Цыпкин Я. 3. Адаптивные методы выбора решений в условиях неопределенности / Я. 3. Цыпкин // Автоматика и телемеханика. 1976. — №4.-С. 78-91.

66. Черноруцкий И. Г. Методы оптимизации и принятия решений / И. Г. Черноруцкий. СПб.: Лань, 2001.-384 с.

67. Щитов И. Н. Введение в методы оптимизации / И. Н. Щитов. — М. : Высш. шк., 2008. 204 с.

68. Юдин Д. Б. Задачи и методы стохастического программирования / Д. Б. Юдин. -М. : Сов. радио, 1979. 391 с.

69. Ярушкина Н. Г. Основы теории нечетких и гибридных систем / Н. Г. Ярушкина. М. : Финансы и статистика, 2004. - 320 с.

70. Яхъяева Г. Э. Нечеткие множества и нейронные сети / Г. Э. Яхъяева. — М. : БИНОМ. Лаб. знаний, 2008. 320 с.

71. Яхъяева Г. Э. Основы теории нечетких множеств / Г. Э. Яхъяева // Интернет-университет информационных технологий. — http://\vww.intuit.ru/department/ds/fuzzysets/ (дата обращения: 07.12.2009).

72. Bertoluzza С. On a new class of distances between fuzzy numbers / C. Bertoluzza, N. Corral, A. Salas // Mathware & Soft Computing. 1995. - № 2.-P. 71-84.

73. Bonissone P. P. Editorial: reasoning with uncertainty in expert systems / P. P. Bonissone, R. M. Tong // International Journal of Man-Machine Studies. -1985. Vol. 22, № 3. - P. 241-250.

74. Bouchon-Meunier B. On the formulation of optimization under elastic constraints (with control in mind) / B. Bouchon-Meunier, V. Kreinovich, A. Lokshin, H. T. Nguyen // Fuzzy Sets and Systems. 1996. - Vol. 81, №. 1. -P. 5-29.

75. Brdys M. Optimal structures for steady-state adaptive optimizing control of large-scale industrial processes / M. Brdys, P. D. Roberts. // International Journal of Systems Science. 1986. - T. 17, № 10. - P. 1449-1474.

76. Cano A. A Genetic algorithm to approximate convex sets of probabilities / A. Cano, S. Moral // Proceedings of IPMU-96 : Conference. Vol. 2. - P. 859864. — (ftpV/decsai.ugr.es/pub/utai/other/acu/genetic.ps.Z ) (дата • обращения: 24.07.2009).

77. Carlsson С. Multiobjective linguistic optimization / C. Carlsson, R. Fuller // Fuzzy Sets and Systems. 2000. - Vol. 115, № 1. - P. 5-10.

78. Carlsson C. Multiple Criteria Decision Making : The Case for Interdependence / C. Carlsson, R. Fuller // Computers & Operations Research. -1995. -№ 22, № 3. P. 251-260.

79. Carlsson C. On interdependent biobjective decision problems / C. Carlsson, R. Fuller // Proceedings of the Seventh European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing (EUFIT'99). Aachen, 1999.

80. Chen S. J. Fuzzy multiple attribute decision making : methods and applications / S. J. Chen, C. L. Hwang. N.Y. ; Berlin : Springer-Verlag, 1992. - 540 p.

81. Detyniecki M. Ranking fuzzy numbers using a-weighted valuations / M. Detyniecki, R. Yager // International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems. 2001. - Vol. 8 (5). - P. 573-592.

82. Dubois D. Fuzzy sets and systems : theory and applications / D. Dubois, H. Prade. N.Y : Acad. Press, 1980. - 394 p.

83. Dubois D. Linear programming with fuzzy data / D. Dubois // Analysis of Fuzzy Information / J. C. Bezdek (ed.). Boca Raton : CRC Press, 1987. - Vol. 3 : Applications in Engineering and Science. - P. 241-263.

84. Dubois D. Systems of linear fuzzy constraints / D. Dubois, H. Prade // Fuzzy Sets and Systems. 1980. - Vol. 3, № 1. - P. 37-48.

85. Holland J. H. Adaptation in natural and artificial systems. An introductory analysis with application to biology, control, and artificial intelligence / J. H. Holland. 2nd ed. - Cambridge ; Boston : MIT Press, 1992. - 210 p.

86. Inuiguchi M. Relative modalities and their use in possibilistic linear programming / M. Inuiguchi, H. Ichihashi // Fuzzy Sets and Systems. 1990. -Vol. 35, № 3.-P. 303-323.

87. Kickert W. Application of fuzzy controller in a warm water plant / W. Kickert, H. V. N. Lemke // Automatica. 1976. - Vol. 12, № 4. - P. 301308.

88. Kim D.S. Some properties of a new metric on the space of fuzzy numbers I D.S. Kim, Y.K. Kim // Fuzzy Sets and Systems. 2004. - Vol. 145, № 3. - P. 395—410.

89. Klir G. Fuzzy sets and fuzzy logic : theory and applications / G. Klir,

90. B. Yuan. N. Y : Prentice Hall: Upper Saddle River, 1995. - 574 p.

91. Kosko B. Fuzzy Systems as Universal Approximators / B. Kosko // IEEE Transactions on Computers. 1994. - Vol. 43, № 11. - P. 1329-1333.

92. Mamdani E. H. Application of fuzzy logic to approximate reasoning using linguistic systems / E. H. Mamdani // IEEE Transactions on Computing. 1977. -Vol. 26.-P. 1182-1191.

93. Negoita С. V. On considering imprecision in dynamic linear programming /

94. C. V. Negoita, S. Minoiu, E. Stan // Economic computation and economic cybernetics studies research. — 1976. — Vol. 3. P. 83-95.

95. Nguyen H. T. Multi-criteria optimization : An important foundation of fuzzy system design / H. T. Nguyen, V. Kreinovich // Fuzzy systems design : social and engineering applications. N. Y : Phisica-Verl., 1998. - P. 24-35.

96. Orlovsky S. A. Decision-making with a fuzzy preference relation / S. A. Orlovsky //Fuzzy Sets and Systems. 1978. - Vol. 1, № 3. - P. 155-167.

97. Orlovsky S. A. Multiobjective programming problems with fuzzy parameters / S. A. Orlovsky // Control Cybernet. 1984. - Vol. 13. - P. 175183.

98. Ramik J. Inequality relation between fuzzy numbers and its use in fuzzy optimization / J. Ramik, J. Imanek // Fuzzy Sets and Systems. 1985. - Vol. 16, №2.-P. 123-138.

99. Ruan P. Fuzzy implication operators and generalized fuzzy method of cases / P. Ruan, E. E. Kerre // Fuzzy Sets and Systems. 1993. - Vol. 54, № 1. - P. 23-37.139v

100. Tanaka H. Fuzzy linear programming problems with fuzzy numbers / H. Tanaka, K. Asai // Fuzzy Sets and Systems. 1984. - Vol. 13, № 1. - P. 110.i

101. Tanaka H. On fuzzy mathematical programming / H. Tanaka, T. Okuda, K. Asai // International Journal of Cybernetics. 1974. - Vol. 3, № 4. - P. 3746.

102. Xu R. Multidimensional least-squares fitting with a fuzzy model / R. Xu, C. Li // Fuzzy Sets and Systems. 2001. - Vol. 119, №. 2. - P. 215-223.

103. Yager R. R. On ordered weighted averaging aggregation operators in multicriteria decision making / R. R. Yager // IEEE Trans. Systems Man and Cybern.- 1988.-Vol. 18,№ l.-P. 183-190.

104. Zadeh L. A. Fuzzy Sets / L. A. Zadeh // Information and Control. 1965. -Vol. 8, №3.-P. 338-353.

105. Zimmermann H.J. Description and optimization of fuzzy systems / H. J. Zimmermann // International Journal of General Systems. 1976. - Vol. 2. -P. 209-215.

106. Zimmermann H.J. Fuzzy programming and linear programming with several objective functions / H. J. Zimmermann // Fuzzy Sets and Systems. — 1978.-Vol. 1,№ l.-P. 45-55.

107. Zimmermann H. J. Fuzzy set theory and its applications / H. J. Zimmermann. Boston : Kluwer Academic Publishers, 1997. - 429 p.