Оценивание погрешности решения линейных некорректных задач на компактных множествах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Титаренко, Валерий Николаевич

• Титаренко, Валерий Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Титаренко, Валерий Николаевич

Введение

Глава 1. О сходимости приближенных решений линейных некорректных задач на некоторых компактных множествах

1.1 Одномерные функции.

1.1.1 Монотонные функции.

1.1.2 Выпуклые функции.

1.1.3 Функции с известными константами Липшица.

1.2 Многомерные функции

1.2.1 Функции выпуклые или вогнутые вдоль осей координат

1.2.2 Выпуклые функции.

Глава 2. Общая схема нахождения погрешности решения линей-9 ных некорректных задач на некоторых компактных множествах

2.1 Конечномерная аппроксимация.

2.2 Априорная оценка погрешности решения.

2.3 Метод отсечения выпуклых многогранников.

2.4 Метод расширяющихся компактов и обратная задача катодо-люминесцентной микротомографии

2.5 Одномерные функции.!.

2.5.1 Монотонные функции.

2.5.2 Выпуклые функции.

2.5.3 Функции с известными константами Липшица.

2.6 Многомерные функции

2.6.1 Функции выпуклые или вогнутые вдоль осей координат

2.6.2 Выпуклые функции.

Глава 3. Примеры решения линейных некорректных задач на некоторых компактных множествах

3.1 Задача Коши для уравнения Лапласа.

3.1.1 Декартова система координат.

3.1.2 Задача Коши в кольце.

3.2 Первая обратная задача для уравнения теплопроводности

3.3 Вторая обратная задача для уравнения теплопроводности

3.4 Реконструкция симметричных профилей скорости в многоплоскостных измерительных модулях.

3.5 Программный комплекс.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценивание погрешности решения линейных некорректных задач на компактных множествах»

Актуальность темы диссертации. Многие задачи современной физики являются обратными задачами. К сожалению, все реальные задачи зависят от погрешностей входных данных. Более ста лет назад считалось, что только задачи с решениями, устойчивыми по отношению к возмущениям входных данных, имеют физический смысл. Все же остальные задачи — просто математические абстракции. Именно поэтому для различия "реальных" и "искусственных" задач Ж. Адамар ввел понятие корректной (корректно поставленной) задачи как задачи, решение которой существует, единственно и устойчиво к ошибкам входных данных [1]. Задача, не удовлетворяющая хотя бы одному из этих трех условий, называется некорректной.

В дальнейшем было показано, что некорректные задачи не только существуют, но и составляют значительную часть всех обратных задач. Типичным примером некорректной задачи является линейное операторное уравнение первого рода с вполне непрерывным оператором. В этом случае могут нарушаться все три условия корректности.

Академиком А. Н. Тихоновым в 60-х годах прошлого века была заложена теория решения некорректных задач, основанная на понятии регуляризи-рующего алгоритма [2,3] как способа приближенного решения некорректной задачи. После основополагающих работ А. Н. Тихонова [2-7], М. М. Лаврентьева [8,9] и В. К. Иванова [10-13] теория некорректных задач была развита многими учеными в применении к разным областям науки и техники. Некоторые результаты работы отечественных и зарубежных ученых представлены в [14-41].

Некорректные задачи по своей сути являются недоопределенными задачами. Поэтому информация о структуре решения, естественных ограничениях на его поведение, применяющаяся при решении корректных задач, становится крайне важной при решении некорректных задач. Если же такой информации крайне мало, то для решения задачи регуляризирующий алгоритм не может быть построен.

Рассмотрим линейную некорректную задачу, записанную в виде операторного уравнения

Az = u, z£Z,ueU, (Bl) где Z, U — линейные нормированные пространства, а А : Z —» U — линейный непрерывный оператор. Вместо точных оператора А и правой части й уравнения (В1) имеются приближенные оператор А^ и правая часть щ такие, что ||А^ — А\\ < h, ||г^ — г£|| < S, г) = (h,6). По входным данным {Аь,щ,г}} необходимо построить регуляризирующий алгоритм R{Ah,u&, 77), т. е. указать правило нахождения приближенного решения z^ = R(Ah,us,r)) такое, что ||^ — г|| —> 0 при 77 —> 0, где z — точное решение уравнения (В1).

При практическом решении задач интересно не только приближенное решение zv, построенное с помощью регуляризирующего алгоритма, но и оценка его близости к точному решению. Приведем некоторые результаты, полученные В. А. Винокуровым в работах [42,43]. Для простоты считаем, что оператор в (В1) известен точно, т. е. А^ = А. Точность приближенного решения z$ = R(u$,5) задачи (Bl) рассматриваем как некоторую функцию погрешности 6: z5-z\\^K^z), (В2) где К не зависит от <5, а функция <p(S, z) определяет скорость сходимости z§ к z. Следует различать точечные и равномерные оценки погрешностей решений. Неравенство (В2) записано для случая точечной оценки. В случае равномерной оценки функция <р(6, z) в неравенстве (В2) должна быть заменена функцией </?(£), зависящей от некоторого множества М точных решений z.

Пусть А : Z —► U — линейный непрерывный инъективный оператор, Z — банахово пространство, a U — линейное нормированное пространство. Предположим, что обратный оператор Л-1 неограничен на области определения D(A~1). Считаем, что <р(6) — некоторая положительная функция такая, что ф(8) —> 0 при 8 —> 0. Пусть R — некоторой метод решения задачи. Тогда следующее равенство выполняется для всех элементов z кроме, быть может, множества первой категории в пространстве Z:

Здесь A(R, S, z) = supdl-R^, £) — z\\ : щ G U,\\Az — щ\\ < <5} —точечная характеристика погрешности для метода R. Видно, что равномерная оценка погрешности может существовать только на множестве первой категории в Z.

Примером множества первой категории является компактное множество в банаховом пространстве. В этом случае можно использовать специальные регуляризирующие алгоритмы для нахождения приближенного решения [31,38,44] и становится возможным построение равномерной погрешности решения.

Из написанного выше следует, что равномерная оценка погрешности решения существует только для задач, по своей сути являющимися корректными. Для некорректных задач в общем случае невозможно не только построить погрешность приближенного решения но и даже оценить скорость его сходимости к точному z.

Целью диссертации являются:

1. создание новых математических методов для оценки апостериорной и априорной погрешностей решения на множествах специальной структуры (на множествах монотонных, выпуклых функций и функций с известными константами Липшица — для ограниченных функций с одномерными областями определения; на множествах функций, выпуклых на всей области определения, и функций, выпуклых или вогнутых вдоль всех прямых, параллельных осям координат, — для ограниченных функций с многомерными областями определения);

2. обобщение результатов, полученных ранее для одномерных выпуклых функций, на многомерные функции, выпуклые на всем множестве определения или вдоль осей координат;

3. создание программного комплекса для нахождения приближенных решений одномерных и двумерных уравнений Фредгольма первого рода и для оценки погрешностей найденных решений на множествах функций, перечисленных ранее;

4. применение разработанных алгоритмов к задаче реконструкции симметричных профилей скорости в многоплоскостных измерительных модулях в акустике, к обратной задаче катодолюминесцентной микротомографии, к обратной задаче для уравнения теплопроводности, к задаче Коши для уравнения Лапласа.

Методика исследования базируется на основных положениях теории решения некорректных задач, функционального анализа, выпуклого анализа, • математического программирования.

Научная новизна и практическая значимость. Равномерная сходимость приближенного решения к точному для множества монотонных функций впервые доказывается для счетного числа отрезков, не содержащих концы области определения точного решения и его точек разрыва. Также впервые доказывается равномерная сходимость приближенных решений и строятся условия на сеточные значения для функций, выпуклых или вогнутых вдоль осей координат, а также для выпуклых функций на многомерных областях определения. Разработанные в работе алгоритмы оценивания погрешностей решения некорректных задач на компактных множествах могут быть использованы в широких областях (например, в томографии, геофизике, астрофизике, спектроскопии), так как рассматриваемые компактные множества очень часто встречаются при решении обратных задач. Функции, ограничивающие множества приближенных решений сверху и снизу, позволяют гарантировано найти область, которой принадлежит точное решение, если оно существует. В связи с развитием вычислительной техники обобщение использованных ранее методов решения некорректных задач с одномерных на многомерные области определения позволяет численно решать многомерные задачи, решение которых ранее было технически невозможно.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, заключаются в следующем.

1. Предложен и реализован в виде комплекса программ алгоритм для решения и оценки априорных погрешностей решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода при условии, что точное решение является

• ограниченной монотонной, выпуклой функцией или функцией с известными константами Липшица на отрезке [а, 6];

• ограниченной функцией, выпуклой или вогнутой вдоль осей координат, или ограниченной выпуклой функцией на всей многомерной области определения.

2. Для рассматриваемых функций доказана равномерная сходимость последовательности приближенных решений к точному решению на некоторых подмножествах области определения решения при стремлении погрешностей входных данных к нулю. В случае, если точное решение является

• монотонной ограниченной функцией на отрезке [а, Ь], то сходимость имеет место на произвольном множестве, являющемся конечным или счетным объединением замкнутых отрезков, не содержащих точек разрыва функции z(x), а также точек а и Ь;

• ограниченной функцией, заданной на открытом ограниченном множестве Q С Mn, п ^ 2, и являющейся выпуклой или вогнутой вдоль осей координат (или выпуклой на всем множестве).

3. Предложен и обоснован алгоритм для нахождения неравенств, определяющих множество априорных ограничений на сеточные значения для двумерных выпуклых функций.

4. Предложенный алгоритм применен для нахождения решения и оценки погрешностей в задаче реконструкции симметричных профилей скорости в многоплоскостных измерительных модулях в акустике, в обратной задаче катодолюминесцентной микротомографии, в обратной задаче для уравнения теплопроводности, в задаче Коши для уравнения Лапласа.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинаре "Обратные задачи математической физики", проводящемся в НИВЦ МГУ под руководством профессоров А. Б. Бакушинского, А. В. Тихонравова и А. Г. Яголы, на конференциях "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, факультет ВМиК МГУ, 20-21 июня 2000 г., 26-28 июня 2001 г., 10-11 июня 2003 г.), "Ill-posed and non-classical problems of mathematical physics and analysis" (Узбекистан, Самарканд, 11-15 сентября 2000 г.), "Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2001». Секция «Физика»" (Москва, физический факультет МГУ, 11 апреля 2001 г.), "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, Байкал, 24 июня - 1 июля 2001 г.), "Ill-posed and Inverse Problems" (Новосибирск, 5-9 августа 2002 г.), "International Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics 2003" (Япония, Нагано, 18-21 февраля 2003 г.), на семинарах программы "Inverse Problems: Computational Methods and Emerging Applications" (Institute for Pure and Applied Mathematics, University of California at Los Angeles, Лос-Анджелес, США, 8 сентября - 12 декабря 2003 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 22 печатных работы (из них 16 статей в журналах и трудах конференций, 6 тезисов конференций). Ссылки на работы приведены в списке литературы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, введения, трех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе рассматривается решение уравнения (В1) при условии, что точное решение z принадлежит компактному множеству. Предполагается, что имеется некоторая последовательность приближенных решений такая, что ||zm — z\\lp(Q) -> 0 ПРИ га —> оо (р > 1, fi С Rn — ограниченное множество). В качестве компактных множеств рассматриваются одномерные (монотонные, выпуклые, с известными константами Липшица на отрезке [а, Ь] = Q) и многомерные (выпуклые и вогнутые вдоль осей координат, выпуклые на всей области определения О) функции. Доказывается равномерная сходимость приближенных решений на некоторых подмножествах областей определения решений. Для монотонных функций — это конечное или счетное объединение всех отрезков, не содержащих концы области определения точного решения и его точек разрыва. Для выпуклых функций — любой замкнутый отрезок, не содержащий концов области определения решения. Для функций с известными константами Липшица — вся область определения. В многомерном случае в качестве области определения решения рассматривается ограниченное открытое множество. Доказывается, что для упомянутых выше подмножеств любое замкнутое подмножество области определения можно рассматривать как область равномерной сходимости.

Во второй главе диссертации предлагается алгоритм для решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода и оценки априорной (обычной и максимальной) погрешностей его решения. В результате конечномерной аппроксимации переходим к задаче нахождения минимальных и максимальных значений приближенного решения в точках сетки или к задаче нахождения диаметра выпуклого множества. При этом ограничения на сеточные значения образуют выпуклый многогранник. Указывается алгоритм построения неравенств, определяющих многогранник априорных ограничений для компактных множеств из первой главы. Для построения данного многогранника предлагается метод отсечения выпуклых многогранников (МОВМ), позволяющий строить пересечения выпуклых многогранников с полупространствами. Рассматривается обратная задача катодолюминесцентной микротомографии, для которой находится апостериорная погрешность решения с использованием метода расширяющихся компактов и МОВМ.

В третьей главе предложенный алгоритм для решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода применяется к решению некоторых задач (задачи Коши для уравнения Лапласа, обратных задач для уравнения теплопроводности, задачи реконструкции симметричных профилей скорости в многоплоскостных измерительных модулях). Для рассматриваемых задач находятся приближенные решения, априорные (обычные и максимальные) погрешности, изучаются зависимости этих погрешностей от входных данных и параметров конечномерной аппроксимации. В конце главы приводится описание программного комплекса и его многопроцессорной реализации.

Объем диссертации —112 е., рисунков —30, наименований в списке литературы — 93.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Титаренко, Валерий Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация посвящена созданию алгоритмов, их теоретическому обоснованию, численной реализации и практическому применению для решения некорректных задач при наличии априорной информации о том, что точное решение принадлежит компактному множеству функций специального вида. Для компактных множеств можно не только построить приближенное решение, но и найти его апостериорные и априорные погрешности (как по норме, так и в каждой точке области определения). Нахождение функций, ограничивающих сверху и снизу все приближенные решения, а также погрешностей решений при численном решении обратных задач для уравнения теплопроводности, задач Коши для уравнения Лапласа и задачи реконструкция симметричных профилей скорости в многоплоскостных измерительных модулях продемонстрировало данное утверждение.

Доказательство равномерной сходимости приближенных решений к точному на некоторых подмножествах показывает, что функции, ограничивающие приближенные решения, стремятся к точному решению при стремлении погрешностей входных данных и аппроксимации к нулю. Построение же априорной погрешности и исследование ее зависимости от параметров задачи также подтверждает последнее утверждение.

Использование метода отсечения выпуклых многогранников позволяет находить погрешность решения не только для задач, решаемых на компактных множествах, но и для задач с информацией об истокообразной представимости точного решения.

Экстраполяция априорной погрешности на область большого числа точек сеток позволяет эффективно найти не только априорную погрешность, но и построить область допустимых решений для найденного приближенного решения. Такой способ нахождения погрешности решения более выгоден с вычислительной точки зрения, чем непосредственное построение функций, ограничивающих область допустимых решений.

Программный комплекс, основанный на алгоритмах, предложенных в диссертации, позволяет решать интегральные уравнения Фредгольма первого рода на компактных множествах функций с одномерными и двумерными областями определения. Модификация данного комплекса позволяет также решать задачи и на многопроцессорных компьютерах, что дает возможность уменьшить время решения задачи в несколько раз.

Автор хотел бы выразить свою искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Григорьевичу Яголе за постоянное внимание к работе и совместное обсуждение полученных результатов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Титаренко, Валерий Николаевич, 2004 год

1. Hadamard J. Le probleme de Cauchy et les equations aux derivers particlee linearies hyperbolique. Paris: Hermann, 1932.

2. Тихонов A. H. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Доклады Академии наук СССР, 1963, т. 151, № 3, с. 501-504.

3. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно посталвенных задач // Доклады Академии наук СССР, 1963, т. 153, № 1, с. 49-52.

4. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Доклады Академии наук СССР, 1943, т. 39, № 5, с. 195-198.

5. ТихоновА. Н. О решении нелинейных интегральных уравнений первого рода // Доклады Академии наук СССР, 1964, т. 156, № 6, с. 1296-1299.

6. Тихонов А. Н. О нелинейных уравнениях первого рода // Доклады Академии наук СССР, 1965, т. 161, № 5, с. 1023-1026.

7. Тихонов А. Н. О методах регуляризации задач оптимального управления // Доклады Академии наук СССР, 1965, т. 162, № 4, с. 763-765.

8. Лаврентьев М. М. Об интегральных уравнениях первого рода // Доклады Академии наук СССР, 1959, т. 127, № 1, с. 31-33.

9. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

10. Иванов В. К. О линейных некорректных задачах // Доклады Академии наук СССР, 1962, т. 145, № 2, с. 270-272.

11. Иванов В. К. О некорректно поставленных задачах // Математический сборник, 1963, т. 61, № 2, с. 211-223.

12. Иванов В. К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1966, т. 6, № 6, с. 1089-1094.

13. Иванов В. К. Некорректные задачи в топологических пространствах // Сибирский математический журнал, 1969, т. 10, № 5, с. 1065-1074.

14. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

15. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

16. Танана В. П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981.

17. Лаврентьев М. М., Резницкая К. Г., Яхно В. Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1982.

18. Вайникко Г. М. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. Тарту: Изд-во Тарт. гос. ун-та, 1982.

19. Федотов А. М. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1982.

20. Бухгейм А. Л. Операторные уравнения Вольтерра. Новосибирск: Наука,1983.

21. Гласко В. Б. Обратные задачи математической физики. М.: Изд-во МГУ,1984.

22. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

23. Гончарский А. В., Черепащук А. М., Ягола А. Г. Некорректные задачи астрофизики. М.: Наука, 1986.

24. Вайникко Г.М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986.

25. ТихоновА. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

26. Гилязов С. Ф. Методы решения линейных некорректных задач. М.: Изд-во МГУ, 1987.

27. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

28. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

29. Бухгейм А. Л. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988.

30. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989.

31. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.

32. Федотов А. М. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1990.

33. Васин В. В., Агееев А. Л. Некорректные задачи с априоорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993.

34. Groetsch С. W. Inverse problems in the mathematical sciences. Braunschweig: Vieweg, 1993.

35. Кочиков И. В., Курамшина Г. М., Пентин Ю. А., Ягола А. Г. Обратные задачи колебательной спектроскопии. М.: Изд-во МГУ, 1993.

36. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994.

37. Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Физматлит, 1995.

38. Тихонов А. Н., Леонов А. С., Я гол а А. Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995.

39. EnglH.W., Hanke М., NeubauerA. Regularization of inverse problems. Dordrecht: Kluwer, 1996.

40. Лаврентьев M.M., Савельев Л. Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999.

41. Осипов Ю. С., Васильев Ф. П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ, 1999.

42. Винокуров В. А. Регуляризуемые функции в топологических пространствах и обратные задачи // Доклады Академии наук СССР, 1979, т. 246, № 5, с. 1033-1037.

43. Винокуров В. А. О порядке погрешности вычисления функции с приближенно заданным аргументом // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1973, т. 13, № 5, с. 1112-1123.

44. Leonov A. S., Yagola A. G. Special regularizing methods for ill-posed problems with sourcewise represented solutions // Inverse Problems, 1998, v. 14, № 6, pp. 1539-1550.

45. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. СПб.: Лань, 1999.

46. Титаренко В. И., Ягола А. Г. Равномерное приближение к точному решению некорректных задач на множестве монотонных функций // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 2001, № 6, с. 25-27.

47. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

48. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть 1. М.: Наука, 1982.

49. Гончарский А. В., Ягола А. Г. О равномерном приближении монотонного решения некорректных задач // Доклады Академии наук СССР, 1969, т. 184, № 4, с. 771-773.

50. Гончарский А. В., Степанов В. В. Алгоритмы приближенного решения некорректно поставленных задач на некоторых компактных множествах // Доклады Академии наук СССР, 1979, т. 245, № 6, с. 1269-1299.

51. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1993.

52. Titarenko V. N., Yagola A. G. The problems of linear and quadratic programming for ill-posed problems on some compact sets // J. of Inverse and Ill-posed Problems, 2003, v. 11, № 3, pp. 311-328.

53. Дорофеев К. Ю., Титаренко В. Н., Ягола А. Г. Алгоритмы построения апостериорных погрешностей для некорректных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2003, т. 43, № 1, с. 12-25.

54. Васильев Ф. П., Иваницкий А. Ю. Линейное программирваоние. М.: Изд-во "Факториал", 1998.

55. Карманов В. Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1986.

56. Титаренко В. Н., Ягола А. Г. Метод отсечения выпуклых многогранников и его применение к некорректным задачам / / Вычислительные методы и программирование, 2000, т. 1, № 1, с. 10-15.т108

57. Yagola A. G., Leonov A. S., Titarenko V. N. Data errors and an error estimation for ill-posed problems // Inverse Problems in Engineering, 2002, v. 10, № 2, pp. 117-129.

58. Dorofeev K. Yu., Nikolaeva N. N., Titarenko V. N., Yagola A. G. New approaches to error estimation to ill-posed problems with applications to inverse problems of heat conductivity j j J. of Inverse and Ill-posed Problems, 2002, v. 10, № 2, pp. 155-170.

59. Titarenko V. N., Yagola A. G. Cauchy problems for Laplace equation on compact sets // Inverse Problems in Engineering, 2002, v. 10, № 3, pp. 235254.

60. Титаренко В. Н., Ягола А. Г. Два подхода к оценке погрешности линейных некорректных задач на компактных множествах специальной структуры.

61. В «Ill-posed and non-classical problems of mathematical physics and analysis. Programme and Book of Abstracts. Samarkand, Uzbekistan, September 1115, 2000», Самарканд, 2000, с. 80-81.

62. Yagola A. G., Titarenko V. N. Numerical methods and regularization techniques for the solution of ill-posed problems. In «Inverse Problemsin Engineering: Theory and Practice (ed. Orlande H. R. B.)», v. 1, Rio de Janeiro, El-papers, 2002, pp. 49-58.

63. Ягола А. Г., Дорофеев К. Ю. Метод расширяющихся компактов решения некорректных задач при условии истокопредставимости // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 1999, № 2, с. 64-66.

64. Домбровская И. H., Иванов В. К. К теории некоторых линейных уравнений в абстрактных пространствах // Сибирский математический журнал, 1965, т. 6, № 3, с. 499-508.

65. Винокуров В. А., Гапоненко Ю.Л. Апостериорные оценки решений некорректных обратных задач // Доклады Академии наук СССР, 1982, т. 263, № 2, с. 277-280.

66. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

67. Дорофеев К. Ю., Pay Э. И., Сеннов Р. А., Ягола А. Г. О возможности като-долюминесцентной томографии // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 2002, № 2, с. 73-75.

68. Dorofeev К., Yagola A., Rau E. Inverse problems of cathodoluminescence microtomography. In «Abstracts. ISIP 2003. International Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics 2003. 18-21 February 2003, Nagano City. Japan», 2003, pp. 11-12.

69. Дорофеев К. Ю. Метод решения некорректно поставленных задач при условии истокообразной представимости точного решения и его применение к задаче катодолюминесцентной микротомографии. Дис. . канд. физ.-мат. наук, М., 2004.

70. Reinhardt H.-J., Houde Han, Dinh Nho Нёо. Stability and regularization of щ a discrete approximation to the Cauchy problem for Laplace's equation //

71. SIAM J. Numer. Anal., 1999, v. 36, № 3, pp. 890-905.

72. Berntsson F., Elden L. Numerical solution of a Cauchy problem for the Laplace equation, Tech. rep., Department of Mathematics, Linkoping University, 2000, technical report LiTH-MAT-R-2000-22.

73. Титаренко В. H., Ягола А. Г., Николаева Н. Н. Оценка погрешности некоторых задач Коши для уравнения Лапласа // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 2001, № 1, с. 21-24.

74. Lynnworth L. С. Ultrasonic measurements for process control. New York: Acadimic Press, 1989.

75. Рычагов M.H. Ультразвуковые измерения потоков в многоплоскостных измерительных модулях // Акустический журнал, 1998, т. 44, № 6, с. 829-836.

76. Rychagov М., Tereshchenko S. Multipath flowrate measurements of symmetric and asymmetric flows // Inverse Problems, 2000, v. 16, № 2, pp. 829-504.

77. Николаева H. H., Титаренко В. H., Ягола А. Г. Оценка погрешности решения уравнения Абеля на множествах монотонных и выпуклых функций // Сибирский журнал вычислительной математики, 2003, т. 6, № 2, с. 171-180.

78. Nikolaeva N. N., Titarenko V. N., Yagola A. G. A posteriori error estimation for a solution of an Abel equation on some compact sets // Numerical Functional Analisys and Optimization, 2004, v. 25, № 3-4, pp. 259-269.

79. Фортран 90. Международный стандарт. M.: Финансы и статистика, 1998, официальное описание международного стандарта языка Фортран 90.

80. Бартеньев О. В. Современный Фортран. М.: Диалог-МИФИ, 1999.

81. Штыков В. В. Fortran & Win32 API: Создание программного интерфейса для Windows средствами современного Фортрана. М.: Диалог-МИФИ, 2001.

82. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. СПб.: БХВ-Петербург, 2002.

83. MPI: A Message-Passing Interface Standard. The Message Passing Interface Forum, Version 1.1, June 12, 1995, http://www.mpi-forum.org.