Теоретико-игровые методы анализа случайных множеств событий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Тяглова, Елена Григорьевна

• Тяглова, Елена Григорьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тяглова, Елена Григорьевна

Общая характеристика работы

Введение

1 Постановка задачи

1.1 Постановка задачи.

1.2 Предварительные сведения из теории игр.

1.2.1 Бескоалиционные игры

1.2.2 Кооперативные игры.

1.3 Предварительные сведения из теории случайных событий

2 Решение задачи

2.1 Случайные коалиции событий как псевдоигроки и игровые модели их поведения

2.1.1 Независимое поведение псевдоигроков

2.1.2 Совместное поведение псевдоигроков.

2.2 Случайные коалиции событий как игроки и игровые модели их поведения.

2.2.1 Независимое поведение игроков.

2.2.2 Совместное поведение игроков.

2.3 Необходимое и достаточное условие случайно - коалиционного дележа по Нейману - Моргенштерну.

2.3.1 Случайно - множественный подход к формуле дележа Вилкаса.

2.3.2 Класс распределений случайных коалиций событий, управляющий функцией Шепли.

2.3.3 Проверка условия дележа для класса распределений, управляющих функцией Шепли

2.3.4 Индекс Банзафа и случайная коалиция, им управляющая.

2.3.5 Проверка условия дележа для класса распределений, управляющих индексом Банзафа

2.3.6 Задача максимизации выигрыша игрока при классическом дележе.

2.4 Случайно-множественное значение игры в играх двух случайных коалиций событий.

3 Применение полученных результатов

3.1 Моделирование товарной политики на основе трехмерной матрицы БКГ.

3.2 Эвентологическое игровое моделирование товарной политики.

3.2.1 Антагонистическая эвентологическая модель поиска товарной политики для фирмы.

3.2.2 Эвентологическая модель поиска товарной политики для фирмы на основе кооперативного поведения игроков с необязательными соглашениями.

3.2.3 Эвентологическая модель поиска товарной политики для фирмы на основе кооперативного поведения игроков.

3.2.4 Применение эвентологической игровой модели для формирования товарной политики.

3.3 Рекомендации по использованию результатов диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретико-игровые методы анализа случайных множеств событий»

Актуальность темы. Теоретико-игровые методы анализа случайных множеств событий развиваются автором для построения и обобщения математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта. Характерной особенностью рассматриваемых систем является то, что они зачастую трудно поддаются формализации. Практический интерес к изучению этой важной задачи обусловлен потенциальными возможностями наиболее полно объяснить структуру зависимостей и взаимодействий случайных событий. В большинстве случаев участники сложных системы играют несколько ролей одновременно, причем данные роли между собой взаимодействуют. На данный момент существует ограниченное количество игровых математических моделей, описывающих игру N лиц, в которой игроки участвуют в конфликте двух сторон, при этом игроки влияют на действия каждого участника конфликта.

В теории игр N лиц основной задачей является задача дележа выигрыша коалиции игроков между ее участниками. Основоположниками теории игр Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном сформулировали определение дележа. В теории коалиционных игр наиболее известны три дележа: функция Шепли, индекс Банзафа и формула Вилкаса, причем первые два являются частным случаем формулы Вилкаса. В самой формуле Вилкаса не ясно из каких условий выбирать распределения для каждого игрока, которыми описывается участие каждого игрока в кооперативной игре.

Научная проблема заключается в создании методов построения игровых математических моделей, описывающих игру N лиц, в которой игроки участвуют в конфликте двух сторон. Поскольку рассматривается игра N лиц, то возникает необходимость в том, чтобы полученное решение можно было использовать в задаче дележа. В задаче дележа теории игр необходимо обобщить формулу дележа Вилкаса, с целью устранения произвола в выборе распределений для игроков, которыми (вписывается участие игроков в кооперативной игре.

Основная идея диссертации состоит в применении теории случайных множеств событий — эвентологии для построения эвентологических теоретико-игровых моделей принятия решений в условиях конфликта и для решения задачи дележа на основе классического определения.

Таким образом, объектом исследования диссертации являются множества случайных событий и их эвентологические распределения, а методы построения зависимостей и взаимодействий случайных событий представляют собой предмет исследования.

Целью работы является развитие теоретико-игровых методов анализа случайных множеств событий, позволяющих решать задачи принятия решений в сложных системах и задачу коалиционного дележа в игре N лиц.

Данная цель достигается решением следующих задач:

• разработка теоретико-игровых методов моделирования кооперативного поведения игроков с помощью аппарата теории случайных множеств событий;

• выявление и исследование вида структуры зависимости между игроками в играх двух случайных коалиций событий;

• постановка и решение задачи распределения выигрыша случайной коалиции событий между игроками коалиции, на основе классического определения дележа теории игр (дележа по Нейману-Моргенштерну);

• разработка алгоритмов построения классов эвентологических распределений, проекции которых на любого игрока совпадают с распределением в функции Шепли, в индексе Банзафа.

Методы исследования основаны на использовании теории вероятности, математической статистики, теории случайных событий и случайных множеств, теории игр, методов оптимизации, системного анализа, управления и обработки информации.

Основные результаты диссертации

1. Разработаны теоретико-игровые методы кооперативного поведения игроков с применением теории случайных множеств событий: определена игра двух случайных коалиций событий, сформулирована и доказана теорема о существовании равновесия по Нэшу в игре двух случайных коалиций событий, сформулирована и доказана теорема о максимине для игры двух случайных коалиций событий.

2. Выявлена и исследована двухступенчатая структура зависимостей в играх двух случайных коалиций событий: введено понятие нового объекта в теории игр — псевдоигрока, установлена его связь с обычными с точки зрения теории игр игроками.

3. Поставлена и решена задача распределения выигрыша случайной коалиции событий между игроками коалиции, на основе классического определения дележа теории игр: сформулировано и доказано необходимое и достаточное условие случайно - коалиционного дележа по Нейману - Моргенштерну.

4. Предложены и теоретически обоснованы алгоритмы построения классов эвентологических распределений, проекции которых на любого игрока совпадают с распределением в функции Шепли, в индексе Бан-зафа.

Научная новизна.

• Предложенные методы построения статистических зависимостей случайных событий основаны на случайно - множественной переформулировке теоремы о существовании равновесия по Нэшу и теоремы о максимине, что позволило упростить процесс построения множественных и количественных зависимостей между случайными событиями.

• Обоснованы модели поведения игроков и псевдоигроков в антагонистической игре, в игре с равновесием по Нэшу, в игре с совместным поведением случайных коалиций событий.

• Предложен и обоснован новый алгоритм построения класса распределений случайной коалиции событий, для которого выполнено условие дележа, что позволило уточнить формулу Вилкаса, сделать вывод, что индекс Банзафа не является дележом в смысле рассматриваемого определения.

• Предложены и обоснованы новые алгоритмы построения классов распределений случайной коалиции событий, проекции которых на любого игрока совпадают с распределением в функции Шепли, с индексом Банзафа.

Теоретическая значимость. Применение эвентологических методов позволило обобщить ранее известные в теории игр формулы дележа, сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие случайно - коалиционного дележа по Нейману - Моргенштерну.

Достоверность полученных результатов. Все результаты работы подтверждены сформулированными и доказанными теоремами.

Личный вклад автора. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Практическая значимость. Предложенный в работе аналитический способ нахождения оптимальных, в смысле рассмотренных критериев, двух эвентологических распределений позволяет использовать полученные эвен-тологические распределения для решения задачи дележа.

Результаты работы были применены для формирования товарной политики двух фирм. Полученные в работе результаты используются в учебном процессе Красноярского государственного университета при преподавании следующих дисциплин: «Прикладная эвентология», «Введение в эвентологию», «Экономическая эвентология».

Результаты диссертационной работы могут быть использованы в разнообразных экономических, социальных приложениях, требующих принятия решения в условиях конфликта, а также в задачах распределения ресурсов между элементами системы, которую можно описать с помощью случайного множества событий.

Апробация работы. Основные результаты, отдельные положения, а также результаты конкретных прикладных исследований и разработок докладывались и обсуждались на следующих Всероссийских и региональных конференциях и научных семинарах: I, II, III и IV Всероссийская конференция по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (Красноярск, 2002, 2003, 2004, 2005); Межрегиональная конференция «Математические модели природы и общества» (Красноярск, 2002); I, II и III Всеси-бирский конгресс женщин - математиков (Красноярск, 2000, 2002 и 2004); Конференция молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике (ИВТ СО РАН, Новосибирск, 2000, 2001); Конференция молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 1999, 2000, 2001, 2002); V ежегодная городская конференция по Финансово-Актуарной Математике (2000); XXXVII Международная Научная Студенческая Конференция (Новосибирск, 1999); ФАМ семинар ИВМ СО РАН (Красноярск, 1998-2006); Семинар кафедры прикладной математики (Красноярск, Крас-ГУ, 1998-2006); Семинар ИВМ СО РАН (2003,2006);

Публикации. По результатам научных исследований опубликовано 12 печатных работ, из которых 1 статья в периодическом издании по перечню ВАК, 1 депонированная статья, 10 работ в трудах всероссийских конференций.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3 разделов, содержит основной текст на 127 е., 12 иллюстраций, 5 таблиц, список использованных источников из 80 наименований.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Тяглова, Елена Григорьевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации решена задача разработки теоретико-игровых методов анализа случайных множеств событий, позволяющих решать задачи принятия решений в сложных системах и задачу коалиционного дележа в игре N лиц.

Рассмотрены системы, в которых исследуется конфликт двух случайных множеств событий. Обоснованы и применены методы теории игр для двух игроков к игре двух случайных коалиций событий. В результате введено новое понятие в теории игр — псевдоигрок. Введение понятия псевдоигрока привело к возникновению двух уровневой структуры в игре. Сформулированы и доказаны теоремы о максимине для игры двух случайных коалиций, о существовании равновесия по Нэшу для игры двух случайных коалиций событий. Эти теоремы утверждают существование оптимальных случайных коалиций в смысле максимина и в смысле равновесия по Нэшу.

Для решения задачи дележа в работе предложено рассматривать игру в образование и необразование коалиций как случайное множество событий, определенное под множеством всех игроков, распределение которого показывает каким образом происходит образование коалиций игроков. Определено случайно-множественное значение игры для игрока. Указана возможность применения решения игры двух случайных коалиций событий в формуле случайно-множественного значения игры. Сформулировано и доказано необходимое и достаточное условие дележа по Нейману-Моргенштерну на распределение случайной коалиции событий. В рамках изложенного случайно-множественного подхода предложен алгоритм, с помощью которого строится класс распределений случайной коалиции событий, проекции которых на каждого игрока совпадают с распределением в функции Шепли. С помощью вышеупомянутого критерия проверено, что любое распределение из полученного класса удовлетворяет условию дележа Неймана-Моргенштерна. Предложен алгоритм, с помощью которого строится класс распределений случайной коалиции событий, проекции которых на каждого игрока совпадают с распределением в индексе Банзафа. Данный класс распределений имеет один свободный параметр. С помощью вышеупомянутого критерия проверено, что любое распределение из полученного класса удовлетворяет условию дележа Неймана-Моргенштерна лишь в случае двух игроков. Если же игроков больше двух, то индекс Банзафа не является дележом в смысле определения Неймана-Моргенштерна.

Полученные в работе результаты используются в учебном процессе Красноярского государственного университета в специальных дисциплинах. Результаты апробированы на реальной статистике двух фирм-производителей города Красноярска. Предложены рекомендации по использованию полученных результатов в системном анализе, теории случайных множеств событий, в задачах принятия решений, а также в задачах распределения ресурсов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тяглова, Елена Григорьевна, 2006 год

1. Адельсон-Вельский, Г.М., Арлазаров, B.JL, Донской, М.В. Программирование игр / Г.М. Адельсон-Вельский, B.JI. Арлазаров, М.В. Донской — М.: Наука, 1978. — 255с.

2. Ауман, Р., Шепли, J1. Значения для неатомических игр / Р. Ауман, JI. Шепли — Москва: Мир, 1977. — 359с.

3. Banzhaf, J.F. Weighted voting doesn't work: a mathematical analysis /J.F.Banzhaf //Rutgers Law Rev. 1965. - Vol. 19. - C.317 - 343.

4. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д.В. Беклемишев М.:"ФИЗМАТЛИТ", 2000. - 376с.

5. Беленький, В.З., Волконский, В.А., Иванков, С.А., Поманский, А.Б., Шапиро А.Д. Итеративные методы в теории игр и программировании / В.З. Беленький, В.А. Волконский, С.А. Иванков, А.Б. Поманский, А.Д. Шапиро — М.: Наука, 1974. 239с.

6. Берж, К.Общая теория игр нескольких лиц / К. Берж — Москва: Гос.изд.физ.мат.лит., 1961. — 127с.

7. Берн, Э. Игры, в которые играют люди. Люди, которые играют в игры / Э. Берн М.: Прогресс, 1988. — 400с.

8. Боровков, A.A. Теория вероятностей / A.A. Боровков — М.: Наука, 1986. 432с.

9. Венда, В.Ф. Системы гибридного интеллекта: эволюция, психология, информатика / В.Ф. Венда — М.: Машиностроение, 1990. — 448 с.

10. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель — М.: "Высшая школа", 1999.

11. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия /Гл.ред. О.Ю.Прохоров — М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. — 910с.

12. Вилкас, Э.Й. Оптимальность в играх и решениях / Э.Й. Вилкас — Москва: Наука, 1990. — 256с.

13. Воробьев, H.H. Основы теории игр. Бескоалиционные игры /Н.Н.Воробьев — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 496с.

14. Воробьев, H.H. Теория игр для экономистов-кибернетиков /Н.Н.Воробьев — М.: Наука, 1985. — 272с.

15. Воробьев, О.Ю. Среднемерное моделирование /О.Ю.Воробьев — М.: Наука, 1984. — 133с.

16. Воробьев, О.Ю. Теория случайных событий и ее применение /О.Ю.Воробьев Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. - 340 с.

17. Воробьев, О.Ю. Сет суммирование / О.Ю.Воробьев — Новосибирск: Наука, 1993. — 137 с.

18. Воробьев, О.Ю. Статистическая эвентология и финансово-актуарная математика / О.Ю. Воробьев // Труды I Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (март 2002, Красноярск). — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. С.5 — 12.

19. Высшая математика: Математическое программирование / A.B. Кузнецов, В.А. сакович., Н.И. Холод — Мн.: Вышейшая школа, 1994. — 286с.

20. Гермейер, Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами / Ю.Б. Гер-мейер — М.: Наука, 1976. — 327с.

21. Голденок, Е.Е. Статистическая модель потребительского выбора / Е.Е. Голденок // Труды I Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (март 2002, Красноярск). Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. - С.20 - 34.

22. Горелик, В.А., Кононенко, А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах / В.А. Горелик, А.Ф. Кононенко — М.: Радио и связь, 1982. — 144с.

23. Губко, М.В., Новиков, Д.А. Теория игр в управлении организационными системами / М.В. Губко, Д.А. Новиков — М.: Синтег, 2002. -148с.

24. Данилов, В.И. Лекции по теории игр / В.И. Данилов — М.: Российская экономическая школа, 2002. — 140с.

25. Дюбин, Г.Н. Введение в прикладную теорию игр / Г.Н. Дюбин — М.: Наука, 1981. 336с.

26. Жуковский В.И., Салуквадзе, М.Е. Некоторые игровые задачи управления и их приложения В.И. Жуковский, М.Е. Салуквадзе — Тбилиси: Мецниереба, 1998. — 462с.

27. Зинченко, В.И., Новиков, Д.А., Старостенко, В.В. Об одной теоретико-игровой модели фондового рынка /В.И. Зинченко, Д.А. Новиков,

28. B.В.Старостенко // Материалы IV Международной конференции "Современные сложные системы управления". — Тверь: ТГТУ, 2004. —1. C.294 297.

29. Young, H.P.The market value of a game. / H.P. Young // Laxenburg: IIASA working paper, 1979.

30. Kakutani, S. Generalization of Brower's Fixed Point Theorem. /S.Kakutani // Duke Math. Journal — 1941. — 8. — C.457 — 459.

31. Кантор, Г. Труды по теории множеств / Г. Кантор — М.: Наука, 1985.- 431с.

32. Караваев, А.П. Парето-эффективность игры центров в активных системах А.П. Караваев //Автоматика и Телемеханика. — 2002. — №12.

33. Карлин, С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. / С. Карлин — М.: Мир, 1964. — 838с.

34. Клайн, М. Математика. Утрата определенности / М. Клайн — М.: Мир, 1984. 447с.

35. Колмановский, В.Б. Игровые задачи управления. / В.Б. Колмановский- М.: МИЭМ, 1990. — 82 с.

36. Колмогоров, А.Н. Основные понятия теории вероятностей / А.Н. Колмогоров М.: ОНТИ, 1936. - 120 с.

37. Кузин, Б., Юрьев, В., Шахдинаров, Г. Методы и модели управления фирмой / Б. Кузин, В. Юрьев, Г. Шахдинаров — СПб.: Питер, 200. — 432с.

38. Кукушкин, Н.С., Морозов, В.В. Теория неантагонистических игр. / Н.С. Кукушкин, В.В. Морозов М.: МГУ, 1984. — 104с.

39. Кулжабаев, Н.М. Игровой анализ некоторых моделей системы «поставщик-потребитель» / Н.М. Кулжабаев // Моделирование и управление в развивающих системах. — М.: Наука, 1978.

40. Лабскер, Л.Г., Бабешко, Л.О. Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом. / Л.Г. Лабскер, Л.О. Бабешко — М.: Дело. 2001.

41. Льюс, Р.Д., Райфа, X. Игры и решения. Введение и критический обзор/ Р.Д. Льюс, X. Райфа — Москва: ИЛ, 1961. 643 с.

42. Мак-Кинси, Д. Введение в теорию игр. / Д. Мак-Кинси — М.: Физмат-гиз, 1960.

43. Мулен, Э. Теория игр с примерами из математической экономики /Э.Мулен — М.: Мир, 1985. 200 с.43. фон Нейман, Дж., Моргенштерн, О. Теория игр и экономическое поведение / Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн — Москва: Наука, 1970. 708 с.

44. Новиков, A.M. Методология игровой деятельности. / A.M. Новиков — М.: Издательство «Эгвес», 2006. — 48с.

45. Нэш, Д. Бескоалиционные игры / Д. Нэш // Матричные игры. — М.: Физматгиз, 1961. С. 205 — 221.

46. Оуэн, Г. Теория игр. / Г. Оуэн — Москва: Мир, 1971. — 232с.

47. Партхасаратхи, Т., Рагхаван Т. Некоторые вопросы теории игр двух лиц / Т. Партхасаратхи, Т. Рагхаван — М.: Мир, 1974. — 295с.

48. Петросян, JI.A., Зенкевич, H.A., Семина, Е.А. Теория игр / JI.A. Пет-росян, H.A. Зенкевич, Е.А. Семина — М.: Высшая школа, 1998. — 304с.

49. Петросян, JI.A., Кузютин, Д.В. Игры в развернутой форме: оптимальность и устойчивость / JI.A. Петросян, Д.В. Кузютин — СПб.: СПбГУ, 2000. 292с.

50. Петросян, JI.A., Гарнаев, А.Ю. Игры поиска / JI.A. Петросян, А.Ю.Гарнаев СПб: изд-во СПбГУ, 1992. - 216 с.

51. Печерский, C.JL, Беляева, A.A. Теория игр для экономистов. Вводный курс/ C.JI. Печерский, A.A. Беляева // — СП-б. Изд-во Европеского университета в СПб., 2001. — 342с.

52. Протасов, И.Д. Теория игр и исследование операций / И.Д. Протасов — Издательство: Гелиос АРВ, 2003. — 368с.

53. Робинсон, Дж. Итеративный метод решения игр / Дж. Робинсон // Матричные игры под ред. H.H. Воробьева — М.: Физматгиз, 1961. — 280с.

54. Розенмюллер, И. Кооперативные игры и рынки./ И. Розенмюллер — М.: Мир, 1974. 159с.

55. Семенова, Д.В., Голденок, Е.Е. Портфельный анализ на товарных рынках / Д.В. Семенова, Е.Е. Голденок // Всероссийская конференция «Математика, компьютер, образование»: Тез. докладов. — М.: МГУ, 1998. С.2.

56. Смольяков, Э.Р. Всегда существующее решение кооперативных игр и его применение к анализу рынков / Э.Р. Смольяков — М.: ВНИИСИ, 1978. — 52с.

57. Сорос, Дж. Алхимия финансов. Рынок: как читать его мысли. /Дж.Сорос М.: ИНФРА-М, 1996. - 416с.

58. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения / В. Фел-лер Т. 1,2 М.: Мир, 1984. - С.528 - 752.

59. Фишберн, П. Теория полезности для принятия решений / П. Фишберн М.: Наука, 1978. - 352с.

60. Харшаньи, Д., Зельтен, Р. Общая теория выбора равновесия в играх / Д. Харшаньи, Р. Зельтен — СПб.: Экономическая школа, 2001. — 405с.

61. Чхартишвили, А.Г. Теоретико-игровые модели информационного управления /А.Г. Чхартишвили — М.: ЗАО «ПМСОФТ», 2004. 227с.

62. Shapley, L.S. A value for n-person games. / L.S. Shapley // Contribution to the theory of games.— vol. II (Kuhn H. W., Tucker A.W., eds.), Annals of Mathematics Studies. — 28. Princeton: Princeton University Press. —1953. C.307 - 317.

63. Shapley, L.S., Shubik, M. A method for evaluating the distribution of power in a committee system. / L.S. Shapley, M.Shubik // Amer. Polit. Rev. —1954. Vol. 48.- C.787 - 792.

64. Shapley, L.S., Shubik, M. Quasi-cores in a monetary economy with non-convex preferences. / L.S. Shapley, M.Shubik //Econometrica. — 1966. — 34. N 4. - C.805 - 827.

65. Шикин, E.B. От игр к играм. Математическое введение Е.В. Шикин — М.: Едиториал УРСС, 2003. 112с.

66. Ширяев, А.Н. Вероятность / А.Н. Ширяев — М.: Наука, 1980. — 576с.

67. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

68. Тяглова, Е.Г. Случайные коалиции событий как псевдо игроки и их игровое поведение / Е.Г. Тяглова //Вестник Красноярского государственного университета, физико математические науки. — 2004.- № 3. - С.139 - 143.

69. Тяглова, Е.Г. Эвентологические модели товарного рынка / Е.Г. Тяглова // Труды IV Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смеэ1сным вопросам (март 2005). — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. С.452 - 458.

70. Тяглова, Е.Г. Кооперативное поведение псевдо игроков как модель товарного рынка / Е.Г. Тяглова // Труды III Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (март 2004). Красноярск: ИВМ СО РАН, 2004. - С. 254 - 260.

71. Тяглова, Е.Г. Случайные коалиции событий и коалиционный дележ в примерах / Е.Г. Тяглова // Труды II Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (март 2003). Красноярск: ИВМ СО РАН, 2003. - С. 251 - 268.

72. Тяглова, Е.Г. Игровое моделирование рынка услуг / Е.Г. Тяглова //Труды конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН. Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2001. - С. 87 - 91.

73. Воробьев, О.Ю., Тяглова, Е.Г. О теории игр случайных коалиций и коалиционном дележе / Е.Г. Тяглова, О.Ю. Воробьев. — М., 2000. — 12 с. Деп. в ВИНИТИ 08.11.00, № 2814-В00.

74. Тяглова, Е.Г. Случайно-множественная модель «компания случайный потребитель» / Е.Г. Тяглова //Труды I Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (март 2002). - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. - С.264 - 272.

75. Список обозначений и предметный указатель

76. К(х) — проекция случайной коалиции событий /С на игрока х, 53х С Т — конечное множество событий, 28 X = {х\,. х^} — множество игроков, 25 р смешанная стратегия, 24 рк — распределение вероятностей, 28