Методы описания кросс-корреляций в неравновесных распределенных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Панищев Олег Юрьевич

• Панищев Олег Юрьевич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Панищев Олег Юрьевич

Введение

1 Сложные системы. Особенности динамики распределенных сложных систем

1.1 Вводные замечания. Представления, модели и методы

исследования сложных систем

1.1.1 Временные серии

1.1.2 Методы нелинейной динамики

1.1.3 Распределенные системы

1.2 Фазовая синхронизация

1.3 Обобщенная синхронизация

1.4 Синхронизация временньгх масштабов

1.5 Детрендированный кросскорреляционный анализ

2 Перекрестные корреляции

в формализме функций памяти

2.6 Временная кросскорреляционная функция

2.7 Геометрическое описание векторов состояния

2.8 Вывод кинетического уравнения для временной кросскорреляционной функции

2.9 Динамические ортогональные переменные

и вывод цепочки конечно-разностных кинетических

уравнений для функций памяти п-го порядка

Выводы по второй главе

3 Описание перекрестных корреляций в рамках метода фликкер-шумовой спектроскопии

3.10 Вводные замечания

3.11 Основные соотношения

3.12 Разделение сигнала на составляющие по частотам

3.13 Кросскорреляционная функция

Выводы по третьей главе

4 Исследование перекрестных корреляций в реальных системах

4.1 Перекрестные корреляции в сигналах магнитоэнцефалограмм . . 53 4.1.1 Условия регистрации нейромагнитной активности

коры головного мозга человека

4.2 Анализ перекрестных корреляций в вызванной нейромагнитной активности мозга человека

на основе формализма функций памяти

4.2.1 Исходные временные серии

4.2.2 Стратификация фазовых портретов динамических переменных при фоточувствительной эпилепсии

4.2.3 Спектральные кросс-корреляционные особенности нейромагнитных откликов человека

4.2.4 Степень проявления статистической памяти при фоточувствительной эпилепсии

4.3 Анализ вызванной нейромагнитной активности мозга человека на основе фликкер-шумовой

спектроскопии

4.3.1 Предварительный анализ отдельных сигналов

4.3.2 Проявление эффектов частотно-фазовой синхронизации нейромагнитной активности

4.4 Анализ перекрестных корреляций и динамических особенностей электрической активности

коры головного мозга человека

4.4.1 История вопроса исследований в психиатрии

4.4.2 Экспериментальные данные

4.4.3 Параметризация сигналов электроэнцефалограмм

4.4.4 Частотно-фазовая синхронизация сигналов

с пространственно разнесенных электродов

4.4.5 Дифференциация сигналов в зависимости

от характера частотно-фазовой синхронизации

Выводы к четвертой главе

Заключение

Благодарности

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы описания кросс-корреляций в неравновесных распределенных системах»

Актуальность темы исследования

Природные распределенные неравновесные системы содержат отдельные взаимосвязанные компоненты, каждый из которых обладает собственной динамикой и находится во взаимодействии с остальными частями. Поэтому существенную роль здесь играют коллективные явления, которые могут быть описаны как перекрестные корреляции или эффекты синхронизации, проявляющиеся в определенном характере взаимодействия отдельных компонентов и формирующие обобщенную временную эволюцию. Другим важнейшим фактором, определяющим динамику природных систем, являются эффекты статистической памяти - степень зависимости текущего состояния системы от ее предыдущих состояний. Без учета данных эффектов невозможно проводить адекватное описание временной эволюции подобных объектов.

Описание коллективных явлений в сигналах генерируемых отдельными составными частями неравновесных распределенных систем как эффектов синхронизации, в большинстве случаев происходит на основе выявления характерных частот и разности фаз динамических переменных, обнаруживаемых с помощью преобразований Фурье, Гильберта [1] и вейвлет-преобразования [2]; анализа и сравнения топологической структуры аттракторов, описывающих динамику нелинейных взаимодействующих подсистем [3]; обнаружения "обобщенной синхронизации" [4], которая также использует топологический метод, но является самостоятельным развитием данного подхода, а также оценки синхронизации временных масштабов, во многом обобщающей поня-

тия фазовой хаотической и обобщенной синхронизации [5, 6].

Методы, построенные на основе кросс-корреляционного анализа [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14] с использованием соответствующих параметров и функций, с одной стороны, характеризуются высокой информативностью и наглядностью получаемых характеристик, с другой, - универсальностью, поскольку могут применяться для исследования систем самой разной природы, в том числе, например экономической [10, 11, 12] и биологической [13, 14].

Вместе с тем, указанные методы имеют ряд недостатков, главными из которых являются:

1. довольно малый набор получаемых в рамках отдельного метода параметров, описывающих, как правило, только определенные особенности коллективных эффектов;

2. невозможность учета с помощью указанных методов эффектов статистической памяти.

Представленные в работе методы на основе обобщения формализма функций памяти и фликкер-шумовой спектроскопии на случай анализа перекрестных корреляций позволяют получить широкий набор параметров, описывающих динамические, статистические и стохастические особенности динамики неравновесных распределенных систем различной природы.

Среди многообразия объектов, в сигналах которых в равной степени проявляются как коллективные эффекты, так и эффекты статистической памяти, одним из наиболее интересных является головной мозг человека. По современным представлениям, он содержит ~ 1011 нейронов, на каждый из которых приходится в среднем ~ 104 связей с другими нейронами. Исследование эффектов синхронизации и статистической памяти в сигналах электрической и магнитной активности ансамблей нейронов коры головного мозга позволяет наиболее ярко и наглядно продемонстрировать возможности изложенных в работе методов.

Объектом исследования являются неравновесные распределенные системы различной природы.

Предметом исследования являются перекрестные корреляции, эффекты согласования и самоорганизации в неравновесных распределенных системах, методы их описания, а также алгоритмы определения различных параметров указанных процессов.

Цель работы Разработка методов для описания динамики кросс-корреляций и эффектов статистической памяти в одновременно измеряемых сигналах неравновесных распределенных систем на основе формализма функций памяти Цванцига-Мори и фликкер-шумовой спектроскопии. Проверка возможностей разработанных методов на примере сигналов распределенных неравновесных биологической природы.

Поставленная цель предполагает решение следующих задач:

• Разработка метода описания кросс-корреляций и эффектов статистической памяти в сигналах на основе формализма функций памяти;

• Разработка методов параметризации и описания кросс-корреляций сигналов на основе фликкер-шумовой спектроскопии;

• Исследование одновременно измеряемых сигналов, продуцируемых неравновесными распределенными системами биологической природы с помощью разработанных методов.

Методы исследования Разработаны методы описания эффектов статистической памяти и перекрестных корреляций сигналов на основе формализма функций памяти и фликкер-шумовой спектроскопии. Первый из них базируется на технике проекционных операторов Цванцига-Мори, второй -

полу-феноменологический подход, в рамках которого вводится иерархия временных масштабов флуктуацнй и динамика системы рассматривается как совокупность перегулярпостей различного типа.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Впервые получено обобщение формализма функций памяти на случай анализа перекрестных корреляций, получены системы конечно-разностных уравнений типа Цванцига-Мори для кросс-корреляционных функций памяти, выражения для динамических ортогональных переменных, кинетических и релаксационных параметров, описывающих эффекты синхронизации в сигналах распределенных неравновесных систем.

2. На основе полученного обобщения формализма функций памяти реализована параметризация эффектов согласования сигналов сложных распределенных неравновесных систем биологической природы.

3. На основе фликкер-шумовой спектроскопии впервые разработан метод определения меры частотно-фазовой синхронизации одновременно измеряемых сигналов неравновесных распределенных объектов.

4. Установлены количественные взаимосвязи, проявляющиеся в динамики распределенных неравновесных биологических систем. Показаны возможности создания новых, более точных методов определения некоторых их состояний.

Научная ценность и практическая значимость Разработанные статистические радиофизические методы анализа и параметризации кросс-корреляционных взаимосвязей и эффектов статистической памяти могут применяться для систем одновременно измеряемых сигналов при изучении и описании процессов в неравновесных распределенных объектах различной природы. Они позволяют детально и подробно описывать различные аспекты

взаимодействия их отдельных компонентов, а также более подробно рассматривать их совокупную динамику.

Обоснованность и достоверность полученных результатов, выводов и рекомендаций подтверждается использованием базовых методов статистической радиофизики, соответствием применяемых подходов свойствам и параметрам рассматриваемых систем и объектов, согласием произведенных теоретических расчетов и прикладных наработок с известными в научной литературе данными. Отдельные результаты диссертации были включены в проект "Разработка информационных технологий живых систем на основе универсальных проявлений хаоса" (РНП.2.1.1.741) аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы" (2006-2008 гг), гранта РФФИ 12-02-31044 мол_а, в которых автор был исполнителем.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Получено обобщение формализма функций памяти для описания кросс-корреляций в системах одновременно измеряемых сигналов.

2. На основе реализованного метода проведена параметризация перекрестных корреляций и эффектов статистической памяти индуцированных сигналов неравновесной распределенной системы биологической природы.

3. Разработан фликкер-шумовой метод описания частотно-фазовой синхронизации одновременно измеряемых сигналов неравновесных распределенных систем.

4. На основе анализа фликкер-шумовых двух-параметрических кросс-корреляторов и их проекций, разработан количественный метод анализа реализации частотно-фазовой синхронизации в двух-канальных сигналах, продуцируемых пространственно разнесенными компонентами неравновесных распределенных систем живой природы.

Соответствие диссертации научной специальности. Представленные в диссертационной работе результаты соответствуют п.4 Паспорта специальности "1.3.4. Радиофизика (физико-математические пауки)": "Исследование флуктуации, шумов, случайных процессов и полей в сосредоточенных и распределенных стохастических системах (статистическая радиофизика). Создание новых методов анализа и статистической обработки сигналов в условиях помех. Разработка статистических основ передачи информации. Исследование нелинейной динамики, пространственно-временного хаоса и самоорганизации в неравновесных физических, биологических, химических и экономических системах."

Апробация работы Основные результаты и выводы работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: II, III и IV Всероссийском се-

минаре "Флуктуации и шумы в сложных системах" (г. Казань, КГПУ, ТГГПУ, КГТУ им. А.Н. Туполева, 2003, 2005, 2007); III Международной конференции "Фундаментальные проблемы физики" (г. Казань, КГУ им. В.И. Ленина, 2005); III и IV Всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике" (г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005, 2007); XI Международной научной конференции "Современные техника и технологии" (г. Томск, ТПУ, 2005); XI и XII Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-11 (г. Екатеринбург, 2005), ВНКСФ-12 (г. Новосибирск, 2006); Всероссийском конкурсном отборе инновационных проектов "Живые системы", (г. Киров, ВятГУ, 2005); IV Межвузовской конференции молодых ученых (г. Санкт-Петербург, СПбГУ ИТМО, 2007); Международной научно-практической конференции (г. Наб. Челны, 2007); I Международной конференции "Физико-химические методы исследования нанообъектов в химии, биологии и медицине" (г. Туапсе, КубГУ, 2007); Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по физике (г. Владивосток, ДВГУ, 2007); III Троицкой конференции "Медицинская физика и инновации в медицине» (г. Троицк, МОНИКИ, 2008); 17th International Laser Physics Workshop "Laser Physics-2008" (Norway, Trondheim, Norwegian University of Science and Technology, 2008); 7th International Symposium "Photodynamic Therapy and Photodiagnosis in Clinical Practice" (Italy, Brixen/Bressanone, University of Padova, 2008); 18th International Laser Physics Workshop "Laser Physics-2009" (Spain, Barselona, Institute of Photonic Sciences, 2009); III Евразийском конгрессе по медицинской физике и инженерии "Медицинская физика - 2010"; XVII и XVIII Международной научной конференции FANS & ANPh - 2014 и FANS & ANPh - 2016 (БГУ, Минск, Беларусь), а также на научных семинарах кафедры теоретической физики ТГГПУ (2004 - 2011 гг), кафедры оптики и нанофотоники КГУ им. В.И. Ульянова-Ленина (2004-2007 гг), кафедры радиоэлектронных и квантовых устройств КГТУ им. А.Н. Туполева (2004-2008

гг), кафедры радиофизики КФУ (2016-2022 гг), на ежегодных отчетных конференциях КФУ (2011-2022 гг).

Некоторые результаты диссертации были включены в отчеты по грантам Аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 гг)" № РНП.2.1.1.741. Российского фонда фундаментальных исследований (№ 05-02-16639-а, № 08-02-00123-а), Российского гуманитарного научного фонда (№ 03-06-00218а).

Публикации По теме диссертации опубликованы 35 печатных работ, из них 1 коллективная монография, 16 статьей в российских журналах, входящих в список ВАК РФ и ведущих международных журналах, входящих в список рекомендованных ВАК РФ, 19 тезисов докладов на всероссийских и зарубежных конференциях.

Личный вклад автора Автор принимал активное участие во всех этапах выполнения представленной работы. В частности:

• в формулировании и постановке задачи диссертационного исследования;

• вывод соотношений для обобщения формализма функций памяти на случай перекрестных корреляций и его программная реализация на языке МаШЬ;

• участие в разработке алгоритмов для выделения низко- и высокочастотных составляющих временных сигналов, вычисления трехмерных двух-параметрических кросс-корреляторов и их программной реализации на языке МаШЬ;

• проведение практических исследований вышеуказанными методами динамики распределенных неравновесных биологических систем;

• разработка параметра "частота глубины синхронизации" при решении практической задачи разделения массива пар сигналов на группы.

Реализация результатов работы Методы, предложенные в работе, а также используемые экспериментальные данные, активно использовались при подготовке курсовых и выпускных квалификационных работ с 2008 г. по настоящее время, а также в рамках преподавания дисциплины "Перспектирв-ные методы исследования сложных систем" и курсов по выбору на физическом факультете КГПУ и на научно-педагогическом отделении Института физики КФУ.

Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (104 наименования). Диссертация изложена на 121 странице машинописного текста, содержит 31 рисунок и 3 таблицы.

Содержание работы

Ведение содержит обзор основных существующих методов и подходов к анализу и описанию коллективной динамики сложных систем. Обосновывается необходимость учета коллективных эффектов при описании динамики неравновесных распределенных систем. Обсуждаются более ранние результаты кросс-корреляционного анализа, теоретических подходов к исследованию фазовой и частотно-фазовой синхронизации. Во второй главе представлено обобщение конечно-разностного формализма функций памяти и приводится вывод цепочки кинетических уравнений немарковского типа Цванцига-Мори для одновременно фиксируемых дискретных сигналов сложных распределенных систем. В третьей главе представлены основные положения метода фликкер-шумовой спектроскопии и приведены разработанные математические алгоритмы выявления и параметризации кросс-корреляционных взаимосвязей в системе одновременно регистрируемых сигналов. В четвертой главе представлены расчеты по приложению развитых методов к анализу одновременно измеряемых реальных сигналов, генерируемых отдельными частями распределенных систем. В Заключении изложены результаты диссертацион-

ной работы, сформулированы выводы, а также описаны возможные перспективы дальнейших исследований по проблематике исследования распределенных сложных систем.

1 Сложные системы. Особенности динамики распределенных сложных систем

1.1 Вводные замечания. Представления, модели и методы исследования сложных систем

Несмотря на значительные успехи последнего времени в "науках о сложном" [15] вряд ли когда-нибудь удастся дать точное определение понятию "сложная система". Одним из наиболее удачных можно считать следующее: сложной называется такая система, для которой невозможно определить гамильтониан и записать уравнения движения. Т.е., чаще всего изучение эволюции сложных систем сводится к задаче "черного ящика", когда выводы строятся на основе анализа какого-либо сигнала (-ов), генерируемого им, а информация о строении системы оказывается недостаточной для построения точной физической модели, основанной на взаимодействии между ее элементами [16]. К тому же, зачастую и сама информация, получаемая с помощью измерительных приборов, крайне скудна и недостаточна для описания всех имеющихся независимых переменных и степеней свободы системы. Количественные и качественные методы, разработанные ранее, позволяют построить концептуальную схему анализа динамики сложной системы [17]. Это дает возможность, в принципе, развивать новые методики исследования и анализа и предсказывать определяющие факторы эволюции системы [18].

1.1.1 Временные серии

Временные серии представляют собой записи сигналов, генерируемых сложной системой и отражающих ее эволюцию. На их основе анализируются свойства и характеристики сложных систем. Так как обычно измерение проводится с определенным шагом по временной шкале (определяемым частотой дискретизации), измеряемый набор значений параметра получается дискретным. Благодаря развитию измерительной техники и методов измерения в настоящее время можно получать временные серии с достаточно высокой точностью, проводить исследования динамических состояний системы [19] на основе разнообразных теоретических концепций [20, 21, 22, 23, 24, 25, 26] и предсказывать ее дальнейшую эволюцию [27]. Дискретность и нестационарность [29, 30] измеряемого параметра налагает ряд существенных ограничений при теоретическом описании динамики системы, что вынуждает отказаться от хорошо разработанной техники интегро-дифференциального исчисления. Поэтому возникает серьезная проблема теоретического анализа динамики дискретных стохастических систем негамильтоновой природы.

1.1.2 Методы нелинейной динамики

В последние десятилетия в анализе динамики сложных систем особую популярность приобрели методы детерминированного хаоса и нелинейной динамики [28]. Приведем основы теории детерминированного хаоса.

Представим возможные состояния системы точками в конечномерном фазовом пространстве В?. Предположим, переход системы из точки х(1\) (в момент времени ¿1) в состояние х(р2) (в момент времени ¿2) происходит по определенному правилу х(Ь2) = (ж(^1)). Тогда динамика сложной системы в фазовом пространстве Г € В3' может быть представлена дифференциальным уравнением в случае непрерывного времени

^ = Р (*(0). (1.1)

В случае дискретного времени последнее уравнение принимает вид

Хп+1 = / (Хп). (1.2)

Набор правил перехода Т^ или их представления в форме (1.1) или (1.2) называется динамической системой. Определенные выборы функции Р(х(р)) приводят к различным типам решений от неподвижной точки и предельных точек до иррегулярности.

Детерминированный подход не всегда используется при объяснении иррегулярности во временных сериях. Для этих целей традиционно используется влияние внешних флуктуаций, воздействующих на динамику сложной системы. Внешняя хаотичность позволяет объяснить иррегулярность. В наиболее общем случае можно рассматривать ауторегрессивный процесс

М N

Хп = ^2 а*Х™-1 + ^ (1.3)

¡=1 %=0

где Гауссово распределенные некоррелированные случайные приращения. Последствием формулировки динамики в векторном виде при анализе временных серий является то, что мы всегда имеем недостаточную информацию. В эксперименте постоянно пытаются увеличить количество переменных, измеряемых одновременно. Однако в большинстве исследований наблюдается динамика только одного параметра. Опыт показывает, что даже в случае измерений одновременно нескольких переменных, они не описывают все степени свободы, характерные для данной системы. Однако недостающая информация может быть получена с помощью метода задержек (так называемый метод Такенса [31]). Теоретическое описание этого подхода основывается на нескольких теоремах, которые определяют условия, при которых аттрактор в пространстве вложения эквивалентен аттрактору реальной динамической системы в фазовом пространстве.

Пусть ж(£) представляет собой траекторию динамической системы в В?, а = з(х(Ь)) есть результат измерения этой скалярной переменной. Тогда векторы фазового пространства формируются из скалярных значений дискретных измерений: = (зп-(т-1)т,8п-(т-2)т,...,зп), где ш-размерность фазового пространства вложения. Согласно известной теореме Такенса [31] в общем случае фазовое пространство, построенное из векторов при достаточно больших т полностью описывает динамику стохастической системы. Построенные таким образом фазовые портреты позволяют вычислить различные численные параметры, характеризующие динамику системы. Наиболее известными среди них являются разнообразные размерности (корреляционная, фрактальная и информационная), показатель Ляпунова, энтропии Кульбака [32], Фишера, Реньи, Шеннона [33], Цаллиса [34] и др.

1.1.3 Распределенные системы

Задача исследования сложных объектов еще более усложняется, если изучаемая система содержит несколько отдельных подсистем, с одной стороны, ведущих себя довольно обособлено и имеющих собственную динамику, а с другой стороны, находящихся в тесном взаимодействии с окружением и выступающих с ним как единое целое. В этом случае, без учета коллективных эффектов, возникающих в результате взаимодействия или перераспределения связей между частями составного объекта, оказывается невозможным проведение адекватного анализа функционирования указанных систем и описания их эволюции.

Среди огромного многообразия подходов к изучению коллективных явлений в сложных системах, в первую очередь следует выделить концепцию фазовой и частотной синхронизации [1, 35, 37, 38, 2], которая основана на выявлении характерных частот и анализе разности фаз динамических переменных сложных систем полученных с помощью преобразований Фурье,

Гильберта [1, 35, 38] или вейвлет-преобразования [2]; модель стохастической синхронизации, суть которой заключается в сопоставительном анализе топологической структуры аттракторов, описывающих динамику нелинейных взаимодействующих осцилляторов [3]; "обобщенную синхронизацию" [4], которая также использует топологический метод, но является самостоятельным развитием данного подхода, а также синхронизацию временных масштабов, во многом обобщающую понятия фазовой хаотической и обобщенной синхронизации [5, 6].

Иной способ изучения коллективных эффектов - описание коллективной динамики с использованием понятия перекрестных корреляций, т.е. вероятностной связи между последовательностями случайных величин. Это направление, с одной стороны, характеризуется простотой используемого математического аппарата, с другой стороны, обладает высокой информативностью и наглядностью получаемых характеристик и успешно используется для описания коллективных явлений в разнообразных системах (сейсмические объекты [39], головной мозг [35, 36, 37], сердечно-сосудистая система [14]). Примерами использования данного подхода являются: метод случайных матриц [11], который был создан для изучения спектров составных ядер и широко используется в финансовых системах [11], детрендированный кросс-корреляционный анализ, впервые представленный в [11, 13] для исследования проявления степенных зависимостей в перекрестных корреляциях между нестационарными временными сериями различной природы, который также используется в финансах [8, 12, 7]. Существует также группа методов кросс-корреляционного анализа, использующая непосредственно кросс-корреляционные функции [37, 9, 10], а также не уступающие по своим возможностям нелинейные меры [37], позволяющие исследовать взаимодействия нейронов в крупных нейронных сетях, включающих несколько высокосвязанных субпопуляций [9], и, на основе модели фрактального броуновского

движения и показателя Херста описывать нестационарные сигналы с долговременными корреляциями.

1.2 Фазовая синхронизация

Впервые научное описание фазовой синхронизации было сделано в XVII в. Г. Гюйгенсом [40], который исследовал взаимную подстройку двух маятниковых часов, подвешенных к общей балке. Существенная роль в изучении синхронизации взаимодействующих периодических осцилляторов при наличии исчезающе малых связей принадлежит также фундаментальным работам А. Пуанкаре [41] и A.M. Ляпунова [42], фундаментальные результаты с точки зрения качественной теории дифференциальных уравнений и теории бифуркаций были получены Арнольдом [43].

Вообще, поскольку явление синхронизации имеет множество разнообразных проявлений в системах различной природы, ему трудно дать достаточно строгое и полное определение. Наиболее удачным представляется определение [44]: "синхронизацию можно определить как свойство материальных объектов самой различной природы вырабатывать единый ритм совместного существования, несмотря на наличие индивидуальных ритмов и на подчас крайне слабые совместные связи". Выработка единого ритма заключается в том, что при синхронизации:

1) происходит "захват собственных частот" автоколебаний, когда система N осцилляторов, каждый из которых имеет свою индивидуальную частоту Wi (i = 1, 2,..., N), при наложении связей начинает колебаться с некоторой единой частотой ш, inf{ш1,ш2,... , ^n} ^ ^ ^ supj^i, ш2,..., ^n};

2) устанавливаются определенные стационарные значения разностей текущих фаз между колебаниями осцилляторов: <£¡(1) — (I) = Д^ = const, не зависящие в от начальных условий ("захват мгновенных фаз").

Ясно, что пункты (1) и (2) не являются независимыми, поскольку из захвата фаз автоматически следует захват частот, обратное в общем случае не верно. Поэтому, ключевым пунктом при определении синхронизации является захват фаз колебаний. В большинстве случаев фазу труднее измерить, а в случае колебаний, далеких от гармонических, ее достаточно непросто корректно определить, поэтому для обнаружения синхронизации чаще всего используют именно подстройку собственных частот осцилляторов. Однако, несмотря на указанные трудности, существуют подходы, позволяющие рассчитывать мгновенные фазы для негармонических сигналов [35].

Условие захвата мгновенных фаз для двух осциллирующих систем а и Ь можно записать в следующем виде:

1фп,т1 = пфа(Ъ) — тфъ(Ъ) = сош!, (1.4)

где п и т - целые, фая фь ~ фазы соответствующих систем а и а ~ их относительная фаза.

Одним из методов определения фазовой синхронизации двух систем, является использование аналитического представления исходного сигналах(Ъ) [45, 46, 47], в рамках которого вводятся выражения для определения фазовых переменных фаы фъ'-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Панищев Олег Юрьевич, 2024 год

Литература

[1] Rosenblum М. Phase synchronization of chaotic oscillators / M. Rosenblum, A. Pikovsky, J. Kurths // Phys. Rev. Lett.. - 1996. - Vol. 76, No 11. - P. 1804-1807.

[2] Lachaux J.-P. Measuring phase synchrony in brain signals / J.-P. Lachaux, E. Rodriguez, J. Martinerie, F.J. Varela // Hum. Brain Mapp.. - 1999. -Vol. 8, No 1. - P. 194-208.

[3] Афраимович B.C. Стохастическая синхронизация колебаний в дисси-пативных системах / B.C. Афраимович, Н.Н. Веричев, М.И. Рабинович // Известия Высших Учебных Заведений, серия Радиофизика. - 1986. -Т. 29. - С.1050-1060.

[4] Rulkov N.F. Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems / N.F. Rulkov, M.M. Sushchik, L.S. Tsimring, H.D.I. Abarbanel // Phys. Rev. E. - 1995. - Vol. 51, No 1. - P. 980-994.

[5] Короновский А.А. Анализ хаотической синхронизации динамических систем с помощью вейвлетного преобразования / Короновский А.А., Храмов А.Е. // Письма в ЖЭТФ. - 2004. - Т. 79 (7). - С.391-395.

[6] Короновский А.А. О механизме разрушения полной хаотической синхронизации / Короновский А.А., Трубецков Д.И., Храмов А.Е. // Докл. РАН. - 2004. - Т. 395 (3). - С.143-145.

[7] Podobnik В. Quantifying cross-correlations using local and global detrending approaches / B. Podobnik, I. Grosse, D. Horvatic, S. Ilic, P.Ch. Ivanov, H.E. Stanley // Eur. Phys. J. B. - 2009. - Vol. 71, - P. 243-250.

[8] Zhou W.-X. Multifractal detrended cross-correlation analysis for two nonstationary signals / W.-X. Zhou // Phys. Rev. E. - 2008. - Vol. 77, -P. 066211-1-4.

[9] Ginzburg I. Theory of correlations in stochastic neural networks / I. Ginzburg, H. Sompolinsky // Phys. Rev. E. - 1994. - Vol. 50, - P. 31713191.

[10] Arianos S. Cross-correlation of long-range correlated series / S. Arianos, A. Carbone // J. Stat. Mech.: Theory and Experiment. - 2009. - Vol. , P03037

[11] Plerou P. Universal and nonuniversal properties of cross correlations in financial time series / V. Plerou, P. Gopikrishnan, B. Rosenow, L.A.N. Amaral, H.E. Stanley // Phys. Rev. Lett.. - 1999. - Vol. 83, - P. 1471-1474.

[12] Podobnik B. Cross-correlations between volume change and price change / B. Podobnik, D. Horvatic, A.M. Petersen, H.E. Stanley // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. - 2009. - Vol. 106, - P. 22079-22084.

[13] Podobnik B. Detrended cross-correlation analysis: a new method for analyzing two nonstationary time series / B. Podobnik, H.E. Stanley // Phys. Rev. Lett.. - 2008. - Vol. 100, - P. 084102-1-4.

[14] Liseth O.E. Power-efficient cross-correlation beat detection in electrocardiogram analysis using bitstreams / O.E. Liseth, D. Mo, H.A. Hjortland, T.S. Lande, D.T. Wisland // Biomedical Circuits and Systems. - 2010. - Vol. 4, - P. 419-425.

[15] Пригожин И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с Природой / И. Пригожин, И. Стенгерс. - Москва: Эдиториал УРСС, 2000. - 310 с.

[16] Badii R. Complexity: Hierarchical structures and scaling in physics / R. Badii, A. Politi. - Cambridge Univ. Press, 1997. - 332 p.

[17] Yaneer B.-Y. Dynamics of complex systems / B.-Y. Yaneer. - Addison-Wesley, 1991. - 848 p.

[18] Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов / И. Пригожин. - Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. - 199 с.

[19] Бендат Д.С. Прикладной анализ случайных данных / Д.С. Бендат, А.Д. Пирсол. - Москва: Мир, 1989. - 540 с.

[20] Bezruchko В. Role of transient processes for reconstruction of model equations from time series / Bezruchko В., Dikanev T., Smirnov D. // Phys. Rev. E.. - 2001. - Vol. 64, No 3. - P. 036210.

[21] Yulmetyev R.M. Dynamics of the information entropy in random processes / R.M. Yulmetyev, F.M. Gafarov // Physica A. - 1999. - Vol. 273, No 1. -P. 416-438

[22] Yulmetyev R.M. Markov and non-Markov processes in complex systems by the dynamical information entropy / R.M. Yulmetyev, F.M. Gafarov // Physica A. - 1999. - Vol. 274, No 1. - P. 381-384

[23] Yulmetyev R.M. Dynamical behavior and frequency spectra of the short-time human memory / R.M. Yulmetyev, F.M. Gafarov // Nonlin. Phenom. in Complex Systems. - 2000. - Vol. 3, No 1. - P. 49-54

[24] Yulmetyev R.M. Dynamical and frequency peculiarities of the Shannon entropy for the chaotic dynamics of RR-intervals in human EC G / R.M. Yulmetyev, D.G. Yulmetyeva, F.M. Gafarov // Nonlin. Phenom. in Complex Systems. - 2000. - Vol. 3, No 3. - P. 284-288

[25] R.M. Yulmetyev Intensity approximation of random fluctuation in complex systems / R.M. Yulmetyev, F.M. Gafarov, D.G. Yulmetyeva, N.A. Emeljanova // Physica A. - 2002. - Vol. 303, No 3-4. - P. 427-438

[26] Abarbanel H. The analysis of observed chaotic data in physical systems / H. Abarbanel // Reviews of Modern Physics. - 1993. - Vol. 65, No 4. - P. 1331-1388

[27] M. Ragwitz Markov models from data by simple nonlinear time series predictors in delay embedding spaces / M. Ragwitz, H. Kantz // Phys. Rev. E. - 2002. - Vol. 65, No 5. - P. 056201

[28] Заславский Г. M. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса / Г.М. Заславский, Р.З. Сагдеев. - М.: Наука, 1988.

- 368 с.

[29] Belashov V.Yu. Testing the time series for stationarity in systems for processing of experimental data / Belashov V.Yu., Belashova E.S., Asadullin

A.I. // Radiophysics and Quantum Electronics. - 2013. - Vol. 55, No 9. - P. 587-592

[30] Белашов В.Ю. Тестирование временных рядов на стационарность в системах обработки и анализа экспериментальных данных / Белашов

B.Ю., Белашова Е.С., Асадуллин А.И. // Изв. вузов. Радиофизика. -2013. - Т. LV (9). - С.651-656.

[31] Takens F. Detecting strange attractors in turbulence. Lecture Notes in Math / F. Takens. - Spinger, New York, 1981. - 898 p.

[32] Quian Quiroga R. Kulback-Leibler and renormalized entropies: Applications to electroencephalograms of epilepsy patients / R. Quian Quiroga, J. Arnhold, K. Lehnertz, P. Grassberger // Phys. Rev. E. - 2000.

- Vol. 62, No 6. - P. 8380

[33] Shannon C.E. A Mathematical Theory of Communication / C.E. Shannon // The Bell System Technical Journal. - 1948. - Vol. 27, No 1. - P. 379

[34] Tsallis C. Nonextensive statistics: theoretical, experimental and computational evidences and connections / C. Tsallis // Brazilian Journal of Physics. - 1999. - Vol. 29, No 1. - P. 1-34

[35] Mormann F. Mean phase coherence as a measure for phase synchronization and its application to the EEG of epilepsy patients / F. Mormann, K. Lehnertz, P. David, С. E. Elger // Phys. D. - 2000. - Vol. 144, No 1. -P. 358-369.

[36] Mormann F. Automated detection of a preseizure state based on a decrease in synchronization in intracranial electroencephalogram recordings from epilepsy patients / F. Mormann, R.G. Andrzejak, Th. Kreuz, Ch. Rieke, P. David, Ch.E. Elger, K. Lehnertz // Phys. Rev. E. - 2003. - Vol. 67, No 1. - P. 021912-1-10.

[37] Quiroga R.Q. Performance of different synchronization measures in real data: A case study on electroencephalographic signals / R.Q. Quiroga, A. Kraskov, T. Kreuz, P. Grassberger // Phys. Rev. E. - 2002. - Vol. 65, No 4.

- P. 041903-1-14.

[38] Rossberg A.G. Phase synchronization from noisy univariate signals / A.G. Rossberg, K. Bartholome, H.U. Voss, J. Timmer // Phys. Rev. Lett.. - 2004.

- Vol. 93, No 1. - P. 154103-1-4.

[39] Tenenbaum J.N. Earthquake networks based on similar activity patterns / J.N. Tenenbaum, Sh. Havlin, H.E. Stanley // Phys. Rev. E. - 2012. - Vol. 86, No 1. - P. 046107-1-7

[40] Гюйгенс X. Три мемуара по механике / X. Гюйгенс. - Москва: Изд. АН СССР, 1951. - 380с.

[41] Poincare H. Les metodes nouvelles de la mecanique celeste / H. Poincare. - Paris : Gauthier-Villars et fils, 1892. - 422 p.

[42] Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения / A.M. Ляпунов. - Москва-Ленинград.: ГИТТЛ, 1950. - 472с.

[43] Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В.И. Арнольд. - Москва.: Наука, 1978. - 304с.

[44] Блехман И.И. Синхронизация динамических систем / И.И. Блехман. -Москва.: Наука, 1971. - 896с.

[45] Badii R. Complexity: Hierarchical structures and scaling in physics / R. Badii, A. Politi. - Cambridge Univ. Press, 1997. - 332 p.

[46] Gabor D. Theory of communication / D. Gabor // Proc. IEE London. -1946. - Vol. 93, - P. 429-457.

[47] Panther P. Modulation, Noise, and Spectral Analysis / P. Panther. -McGraw-Hill, New York, 1965. - 759 p.

[48] Abarbanel H.D.I. Generalized synchronization of chaos: The auxiliary system approach / H.D.I. Abarbanel, N.F. Rulkov, M. Sushchik // Phys. Rev. E.. - 1996. - Vol. 53, No 5. - P. 4528-4535.

[49] Hramov A.E. Intermittent generalized synchronization in unidirectionally coupled chaotic oscillators / A.E. Hramov, A.A. Koronovskii // Europhys. Lett.. - 2005. - Vol. 70, No 2. - P. 169-175.

[50] Pyragas K. Weak and strong synchronization of chaos / K. Pyragas // Phys. Rev. E.. - 1996. - Vol. 54, No 5. - P. R4508-R4511.

[51] Panischev O.Yu. Cross-correlation markers in stochastic dynamics of complex systems / Panischev O.Yu., Demin S.A., Bhattacharya J. // Phys. A. - 2010. - Vol. 389, - P. 4958-4969.

[52] Yulmetyev R. Stochastic dynamics of time correlation in complex systems with discrete time / R. Yulmetyev, P. Hanggi, F. Gafarov // Phys. Rev. E.. - 2000. - Vol. 62, - P. 6178-6194.

[53] Yulmetyev R. Quantification of heart rate variability by discrete nonstationary non-Markov stochastic processes / R. Yulmetyev, P. Hanggi, F. Gafarov // Phys. Rev. E.. - 2002. - Vol. 65, - P. 046107-1-15.

[54] Yulmetyev R.M. Strong memory in time series of human magnetoencephalograms can identify photosensitive epilepsy / R.M. Yulmetyev, D.G. Yulmetyeva, P. Hanggi, S. Shimojo, J. Bhattacharya // JETP. - 2007. - Vol. 104, - P. 644-650.

[55] Gaspard P. Noise, chaos, and (e, r)-entropy per unit time / P. Gaspard, X.-J. Wang // Phys. Rep.. - 1993. - Vol. 235, - P. 291-343.

[56] Годунов O.K. Введение в теорию разностных схем / Годунов С.К., Рябенький B.C.. - Москва.: Физматгиз, 1962. - 440с.

[57] Гельфорд А.О. исчисление конечных разностей / Гельфонд А.О.. -Москва.: Физматгиз, 1952. - 480с.

[58] Watanabe К. Neuromagnetic responses to chromatic Flicker: implications for photosensitivity / K. Watanabe, T. Imada, K. Nihei, S. Shimojo // Neurorep.. - 2002. - Vol. 13, - P. 2161-2165.

[59] Bhattacharya J. Nonlinear dynamics of evoked neuromagnetic responses signifies potential defensive mechanisms against / J. Bhattacharya, K. Watanabe, S. Shimojo // Int. J. Bifur. Chaos. - 2004. - Vol. 14, - P. 27012719.

[60] Привес М.Г. Анатомия человека / Привес М.Г., Лысенков Н.К., Буш-кович В.П.. - СПб.: Гиппократ, 1998. - с.

[61] Shurygin V.Yu. Physical criterion of the degree of non-Markovity of relaxation processes in liquids / V.Yu. Shurygin, R.M. Yulmetyev, V.V. Vorobjev // Phys. Lett. A. - 1990. - Vol. 148, - P. 199-203.

[62] Shurygin V.Yu. The space dispersion of the structure relaxation in simple liquids / V.Yu. Shurygin, R.M. Yulmetyev // ZhETF. - 1991. - Vol. 99, - P. 144-154.

[63] Тимашев С.Ф. Фликкер-шумовая спектроскопия: информация в хаотических сигналах / Тимашев С.Ф.. - Москва.: Физматлит, 2007. - 248с.

[64] Демин С.А. Параметризация эффектов синхронизации в сигналах биоэлектрической активности мозга испытуемых с разной степенью риска проявления психиатрических расстройств на основе фликкер-шумовой спектроскопии / С.А. Демин, В.А. Юнусов, О.Ю. Панищев, С.Ф. Тимашев, Н.Ю. Демина // Письма в Журнал технической физики (*англ. Technical Physics Letters). - 2023. - Т. 49. - 0.4-7.

[65] Timashev S.F. Analysis of biomedical signals by flicker-noise spectroscopy: Identification of photosensitive epilepsy using magnetoencephalograms / S.F. Timashev, Yu.S. Polyakov, R.M. Yulmetyev, S. A. Demin, O. Yu. Panischev, S. Shimojo, J. Bhattacharya // Las. Phys.. - 2009. - Vol. 19, No 4. - P. 836-854.

[66] Timashev S.F. Frequency and phase synchronization in neuromagnetic cortical responses to flickering color stimuli / S.F. Timashev, Yu.S. Polyakov, R.M. Yulmetyev, S. A. Demin, O. Yu. Panischev, S. Shimojo, J. Bhattacharya // Las. Phys.. - 2010. - Vol. 20, No 3. - P. 1-4.

[67] Timashev S.F. Analysis of cross-correlations in electroencephalogram signals as an approach to proactive diagnosis of schizophrenia / S.F.

Timashev, O.Yu. Panischev, Yu.S. Polyakov, S.A. Demin, A.Ya. Kaplan // Phys. A. - 2012. - Vol. 391, - P. 1179-1194.

[68] Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение / Шустер Г. / Пер. с англ. Ф.М. Израйлева, М.И. Малкина, A.M. Реймана; под ред. А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича. - Москва.: Мир, 1988. - 253с.

[69] Котельников В.А. Теория потенциальной помехозащищенности / Котельников В.А.. - Москва.: Госэнергоиздат, 1956. - 152с.

[70] Timashev S.F. Analysis of discrete signals with stochastic components using flicker noise spectroscopy / S.F. Timashev, Yu.S. Polyakov // IJBC. - 2008. - Vol. 18, No 9. - P. 2793-2797.

[71] Тимашев С.Ф. Информационная значимость хаотических сигналов: фликкер-шумовая спектроскопия и ее приложения / Тимашев С.Ф. // Электрохимия. - 2006. - Т. 45 (5). - С.480-524.

[72] Timashev S.F. Review of flicker noise spectroscopy in electrochemistry / S.F. Timashev, Yu.S. Polyakov // Flue, and Noise Lett.. - 2007. - Vol. 7, No 2. - P. R15-R47.

[73] Timashev S.F. A review of flicker-noise spectroscopy: information in chaotic signals / S.F. Timashev, Yu.S. Polyakov // Simultaneity: Temporal Structures and Observer Perspectives. Eds. S. Vrobel, O.E. Rossler, T. Marks-Tar low.: Сб. науч. тр.- Singapore: World Scientific, 2008. - C. 270285.

[74] Тимашев С.Ф. Фликкер-шумовая спектроскопия в анализе хаотических потоков в распределенных динамических диссипативных системах / Тимашев С.Ф. // Журнал физической химии. - 2001. - Т. 75 (10). -С.1900-1908.

[75] Timashev S.F. What Information is hidden in chaotic signals of biological systems? / S.F. Timashev, G.V. Vstovsky, A.Y. Kaplan, A.B. Solovieva // In: Noise and Fluctuations - ICNF (2005). Eds. T. Gonzalez, J. Mateos, D. Pardo. Melville, New York: AIP Conference Proceedings. - 2005. - Vol. 780, - P. 579-582.

[76] Rissling A. Neurophysiologic markers of abnormal brain activity in schizophrenia / Rissling A., Makeig S., Braff D., Light G. // Curr. Psychiatry Rep.. - 2010. - Vol. 12, - P. 572-578.

[77] John J. Fronto-temporal dysfunction in schizophrenia: A selective review / John J. // Indian J. Psychiatry. - 2009. - Vol. 51, - P. 180-190.

[78] Basar E. A review of brain oscillations in cognitive disorders and the role of neurotransmitters / Basar E., Guntekin B. // Brain Res.. - 2008. - Vol. 1235, - P. 172-193.

[79] Uhlhaas P.J. The role of oscillations and synchrony in cortical networks and their putative relevance for the pathophysiology of schizophrenia / Uhlhaas P.J., Haenschel C., Nikoli D., Singer W. // Schizophr. Bull.. - 2008. - Vol. 34, - P. 927-943.

[80] Кип.urn А.Я. Классификация ЭЭГ подростков по спектральным м сегментным характеристикам в норме и при расстройствах шизофренического спектра / Кип.тн А.Я., Борисов С.В., Желиговский В.А. // Журнал высшей нервной деятельности. - 2005. - Т. 55. - С.478-486.

[81] Groom M.J. Event-related potentials in adolescents with schizophrenia and their siblings: A comparison with attention-deficit/hyperactivity disorder / Groom M.J., Bates A.T., Jackson G.M., Calton T.G., Liddle P.F., Hollis C. // Biol. Psychiatry. - 2008. - Vol. 63, - P. 784-792.

[82] Simmonite M. Reduced event-related low frequency EEG activity in early onset schizophrenia patients and their unaffected siblings / Simmonite M., Bates А.Т., Groom M.J., Das D., Jackson G.M., Hollis C., Liddle P.F. // Schizophr. Res.. - 2010. - Vol. 117, - P. 481.

[83] Борисов С. Структурная организация альфа-активности ЭЭГ подростков, страдающих расстройствами шизофренического спектра / Борисов С.В., Каплан А.Я., Горбачевская Н.Л., Козлова И.А. // Журнал высшей нервной деятельности. - 2005. - Т. 55. - С.329-335.

[84] Костюшенко И.Г. Структурная организация альфа-активности ЭЭГ подростков, страдающих расстройствами шизофренического спектра / Борисов С.В., Каплан А.Я., Горбачевская Н.Л., Козлова И.А. // Журнал высшей нервной деятельности. - 2005. - Т. 55. - С.329-335.

[85] Singer W. Synchronization of cortical activity and its putative role in information processing and learning / Singer W. // Ann. Rev. Physiol..

- 1993. - Vol. 55, - P. 349-374.

[86] Varela F. The brainweb: Phase synchronization and large-scale integration / Varela F., Lachaux J.P., Rodriguez E., Martinerie J. // Nat. Rev. Neurosci..

- 2001. - Vol. 2, - P. 229-239.

[87] Ward L.M. Stochastic resonance modulates neural synchronization within and between cortical sources / Ward L.M., MacLean S.E., Kirschner A. // PLoS ONE. - 2010. - Vol. 5, - P. el4371.

[88] Hornero R. Variability, regularity, and complexity of time series generated by schizophrenic patients and control subjects / Hornero R., Abásolo D., Jimeno N., Sánchez C.S., Poza J., Aboy M. // IEEE Trans. Biomed. Eng..

- 2006. - Vol. 53, - P. 210-218.

[89] Fernández A. Complexity analysis of spontaneous brain activity in attention-deficit/hyperactivity disorder: diagnostic implicationsariability, regularity, and complexity of time series generated by schizophrenic patients and control subjects / Fernández A., Quintero J., Hornero P.Z.R, Navas M., Gómez C., Escudero J., Garcia-Campos N., Biederman J., Ortiz T // Biol. Psychiatry J.. - 2009. - Vol. 65, - P. 571-577.

[90] Tass P. Detection of n:m phase locking from noisy data: application to magnetoencephalography / Tass P., Rosenblum M., Weule J., Kurths J., Pikovsky A., Volkmann J., Schitzler A., Freund H. // Phys. Rev. Lett.. -1998. - Vol. 81, - P. 3291-3294.

[91] Bhattacharya J. Enhanced phase synchrony in the electroencephalograph 7 band for musicians while listening to music / Bhattacharya J., Petsche J. // Phys. Rev. E. - 2001. - Vol. 64, - P. 012902-1-4.

[92] Panischev O.Yu. Studying Properties of Abnormal Human Brain Activity in Photosensitive Epilepsy Caused by Light Stimulation / Panischev O.Yu., Demin S.A., Rusanova I.A. // Biomed. Engin.. - 2015. - Vol. 49, - P. 236239.

[93] Panischev O.Yu. The study of frequency behaviour and effects of statistical memory of eeg-signals of a man with bipolar affective disorder / Panischev O.Y., Demin S.A., Bhattacharya J., Demina N.Y. // Int. J. of App. Engin. Res.. - 2015. - Vol. 10, - P. 44636-44641.

[94] DeLisi L.E. Schizophrenia as a chronic active brain process: a study of progressive brain structural change subsequent to the onset of schizophrenia / DeLisi L.E, Sakuma M., Tew W., Kushner M., Hoff A.L., Grimson R. // Psychiatry Res.: Neuroimaging. - 1997. - Vol. 74, No 3. - P. 129-140.

[95] Gur R.E. A follow-up magnetic resonance imaging study of schizophrenia: relationship of neuroanatomical changes to clinical and neurobehavioral measures / Gur R.E., Cowell P., Turetsky B.I., Gallacher F.. Cannon T., Bilker W., Gur R.C. // Arch. Gen. Psychiatry. - 1998. - Vol. 55, No 2. - P. 145-152.

[96] Nair T.R. Progression of cerebroventricular enlargement and the subtyping of schizophrenia / Nair T.R., Christensen J.D., Kingsbury S.J., Kumar N.G., Terry W.M., Garver D.L. // Psychiatry Res.: Neuroimaging. - 1997. - Vol. 74, No 3. - P. 141-150.

[97] Rapoport J.L. Progressive cortical change during adolescence in childhood-onset schizophrenia. A longitudinal magnetic resonance imaging study / Rapoport J.L., Jay M., Giedd N., Blumenthal M.J., Hamburger M.S., Zijdenbos A., Paus P.T., Evans P.A., Fernandez B. // Arch. Gen. Psychiatry. - 1999. - Vol. 56, - P. 649-654.

[98] Heuser M. Neurological signs and morphological cerebral changes in schizophrenia: An analysis of NSS subscales in patients with first episode psychosis / Heuser M., Thomann P.A., Essig M., Bachmann S., Schroder J. // Psychiatry Res.: Neuroimaging. - 2011. - Vol. 192, - P. 69-76.

[99] Ivanov P.Ch. Multifractality in Human Heartbeat Dynamics / Ivanov P.Ch., Amaral L. A. N., Goldberger A.L., Havlin S., Rosenblum M.G., Struzik Z., Stanley H.E. // Nature. - 1999. - Vol. 399, - P. 461-465.

[100] Peng C.-K. Long-range anticorrelations and non-Gaussian behavior of the heartbeat / Peng C.-K., Mietus J., Hausdorff J.M., Havlin S., Stanley H.E., Goldberger A.L. // Phys. Rev. Lett.. - 1993. - Vol. 70, - P. 1343-1346.

[101] Goldberger A.L. Fractal dynamics in physiology: Alterations with disease and aging / Goldberger A.L., Amaral L.A.N., Hausdorff J.M., Ivanov P.C.,

Peng C.-K., Stanley H.E. // Proc. Natl. Acad. Sci.. - 2002. - Vol. 99, - P. 2466-2472.

[102] Peng C.-K. Quantification of scaling exponents and crossover phenomena in nonstationary heartbeat time series / Peng C.-K., Havlin S., Stanley H.E., Goldberger A.L. // Chaos. - 1995. - Vol. 5, No. 1 - P. 82-87.

[103] Boccaletti S. The control of chaos: theory and applications / Boccaletti S., Grebogi C., Lai Y.-C., Mancini H., Maza D. // Phys. Rep.. - 2000. - Vol. 329, - P. 103-197.

[104] Yulmetyev R.M. How chaosity and randomness control human health / Yulmetyev R.M., Yulmetyeva I).. Gafarov F.M. // Phys. A. - 2005. - Vol. 354, - P. 404-414.

[105] Yulmetyev R.M. Manifestation of Chaos in Real Complex Systems: Case of Parkinson's Disease / Yulmetyev R.M., Demin S.A., Hanggi // The Logistic Map and the Route to Chaos: From the Beginnings to Modern Applications. Eds. M. Ausloos, M. Ditrikx.: Сб. науч. тр.- Beriln: Springer-Verlag, 2006. - C. 175-196.