Хаотическая динамика гравитационного дрейфа компактных тел в жидкостях и газах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Рыбкин, Константин Анатольевич

• Рыбкин, Константин Анатольевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Рыбкин, Константин Анатольевич

Оглавление

Введение

1 Хаотическая динамика процессов в нелинейных диссипа-

тивных системах

1.1 Анализ процессов в открытых нелинейных динамических системах

1.2 Построение математических моделей но временным рядам

1.3 Динамический хаос и фундаментальные ограничения в области прогноза

1.4 Топологические характеристики аттрактора

1.5 Сценарии перехода к хаосу

1.6 Исследования эффектов возникновения стохастического резонанса

1.7 Фликкер-эффект

1.8 Значимость проблемы; степень её изучения на данном этапе. Цели и задачи исследования

2 Методика и модели исследования

2.1 Эксперименты по гравитационному дрейфу симметричных

твердых тел в вязкой жидкости

2.2 Эксперименты по гравитационному дрейфу воздушных пузырей

2.3 Визуализация вихрей методом PIV

2.4 Дрейф пластинок и полых цилиндров

3 Основные результаты проведённых исследований

3.1 Переход к хаосу по сценарию Помо-Манневиля при гравитационном дрейфе пузырей

3.2 Стохастическая синхронизация при всплывании пузырей в жидкости

3.3 Возникновение неравновесных фазовых переходов, индуцированных шумами

3.4 Фликкер-шум при свободном падении лёгких цилиндров в воздухе

3.5 Эксперименты по дрейфу эллипсоидов

4 ВЫВОДЫ

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Хаотическая динамика гравитационного дрейфа компактных тел в жидкостях и газах»

Введение

Актуальность проблемы. Дрейф компактных тел —один из самых распространённых процессов на Земле. Его экспериментальное исследование и математическое моделирование началось ещё в XIX столетии. При решении классических задач по обтеканию шаров (Стоке), цилиндров (Карман), пластин (Кирхгоф), а также устойчивости струй (Рэлей) были предложены модели течений и сформулированы основные уравнения для описания этих медленных динамических процессов. Параллельно и в значительной мере независимо развивалось стохастическое (или статистическое) направление, с самого начала ориентированное на описание развитой турбулентности (Рейнольде, Колмогоров). Но только с работы Э. Лоренца (1963 г.) заканчивается долгое противостояние двух фундаментальных научных направлений и начинается активное изучение «пограничных процессов» на пересечении динамической и стохастической теорий. Если полвека назад экспериментатор отбрасывал сложные апериодические колебания в полученных временных рядах как брак, то сейчас многим ясно, что эти процессы могут генерироваться самой системой, а сам эффект хаотиза-ции движений в детерминированных нелинейных системах с образованием диссипативных структур представляется как научно обоснованное явление фундаментальной значимости.

В настоящее время интерес к эффектам хаотизации движений в детерминированных нелинейных системах продолжает нарастать, о чём сви-

детельствует увеличивающийся ноток научной информации, большое количество конференций и школ. Причинами столь многолетней популярности проблемы динамического хаоса являются, помимо всего прочего, междисциплинарный характер этого явления и широкий спектр экспериментальных приложений теории детерминистического хаоса в различных областях знаний.

Овладев теорией стохастичности, экспериментаторы и инженеры качественно улучшают работу радиотехнических устройств, упрощают медицинскую диагностику, интенсифицируют процессы в металлургической, нефтяной, химической отраслях промышленности. Особое внимание уделяется гидродинамическим течениям, поскольку именно для них, благодаря исключительным возможностям визуализации, получены удивительные результаты, иллюстрирующие существование диссипативных структур не только в области перехода, но и в уже развитой турбулентности. Однако в литературе практически нет специальных исследований влияния упорядоченных, так называемых диссипативных структур в жидкостях и газах на свободно дрейфующие в них тела. Между тем создание моделей многофазных систем невозможно без детального анализа «элементарных» задач о поведении компактных тел, свободно дрейфующих в жидкостях и газах в поле тяжести. Этим вопросам посвящена данная работа.

Цель работы. Работа посвящена экспериментальному исследованию процессов динамической стохастизации автоколебаний при свободном гравитационном движении компактных тел различной симметрии в жидкостях и газах. Основной задачей работы является идентификация и классификация бифуркационных механизмов возникновения диссипатив-

ных структур и типичных свойств маломерного хаоса в этих процессах.

Научная новизна. Подавляющее большинство работ по термодинамике неравновесных процессов в открытых нелинейных системах с детерминированным хаосом выполнялось на радиофизических приборах или численными методами на модельных примерах [1]. Между тем гидродинамический эксперимент может служить не только проверкой на грубость полученных такими способами результатов, но может выступить и в качестве самостоятельной методики исследования сложной динамики автостохастических систем [2]. Новым в данном исследовании является, кроме того, смещение акцента с изучения турбулентных течений в распределённых средах на анализ влияния вихревых течений на помещённые в них компактные тела различной геометрической формы. В работе впервые:

1. экспериментально получена апериодическая смена почти регулярных колебаний хаотическими и обратно (сценарий Помо - Манневиля);

2. экспериментально зарегистрирован эффект «насыщения размерности» вдоль цепочки всплывающих пузырей в воде при определённой величине степени связи;

3. зарегистрированы режимы стохастического резонанса ;

4. в экспериментах по свободному гравитационному дрейфу лёгких цилиндрических тел в воздухе получен 1// - шум (фликкер-шум);

5. на основе анализа полученных временных рядов с помощью различных методик (алгоритм Грассбергера и Прокачиа, метод фазовой рандомизации) показано, что фазовые траектории исследуемых объектов

имеют динамическое происхождение (размерность пространства вложение конечна) и располагаются на странном аттракторе (дробное значение корреляционной размерности); последний вывод подтверждён расчётом спектров Ляпунова;

6. определены энтропии Колмогорова-Синая, с помощью которых сделаны оценки «временных горизонтов» И.Пригожина;

7. экспериментально исследован эффект авторотации дрейфа эллипсоидальных капсул и пластинок;

8. экспериментально определены плотности вероятности отклонения шаров и струй от прямой траектории в сторону и сделаны оценки соответствующих функций распределения;

9. в задачах по дрейфу полых цилиндров и листочков обнаружен неравновесный фазовый переход, индуцированный мультипликативным шумом;

10. при экспериментальном изучении дрейфа всплывающих попарно пузырьков зарегистрирован эффект стохастической синхронизации.

Достоверность результатов работы обеспечивается:

• апробированными методами измерения и обработки данных;

• совпадением данных, полученных разными методами;

• совпадением полученных результатов с данными других исследователей в смежных областях.

Научная и практическая значимость результатов диссертационной работы

Теория неравновесных процессов в открытых нелинейных системах стала успешным подходом к решению проблем в естественных науках - от физики лазеров и твердого тела, химии и метеорологии до моделей биологического, нейронного и экологического развития. Во всех этих случаях самоорганизация означает неравновесный фазовый переход, происходящий в закритических условиях. Вместе с тем специалисты, работающие в социальных, гуманитарных, экономических науках и политике, сознают, что основные проблемы человечества также отличаются глобальностью, сложностью и нелинейностью. Линейное мышление хорошо работает лишь в ограниченных условиях. Общность возникновения диссипативных структур и равновесных фазовых переходов привела к возникновению синергетики [3] - нового междисциплинарного научного направления. Его цель - выявление и коллекционирование общих идей, общих методов и общих закономерностей в самых различных областях знаний.

Данная работа даёт несколько новых примеров самоорганизации с образованием диссипативных структур в разнообразных по физическому содержанию задачах. Её научная и практическая значимость заключается в практическом применении полученных результатов в научно-исследовательской работе в Пермском государственном национальном исследовательском университете, Пермском гуманитарно-педагогическом университете, Институте механики сплошных сред УРО АН. Результаты диссертации включены в учебные пособия по курсам «Межфазная гидродинамика» и «Гидромеханика невесомости».

Диссертационная работа выполнялась в рамках разрабатываемой кафедрой общей физики Пермского государственного национального исслед-

вательского университета темы «Конвекция и теплообмен в ламинарном, переходном и турбулентном режимах; влияние осложняющих факторов на конвективную и гидродинамическую устойчивость». Исследования являются также составной частью Государственной программы поддержки ведущих научных школ (гранты №96-15-96084 и №00-15-00112), Международного научно-технического проекта «Конвективные явления и процессы тепломассопереноса в условиях невесомости и микрогравитации, программы «Университеты России» (направление II, «Неравновесные процессы в макроскопических системах»)», работы выполнялись при финансовой поддержке грантов РФФИ № 09-01-00846, № 12-01-31024 и гранта СРШЕ РЕ-009-0.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались на конференциях и семинарах: Всероссийской Научной Конференции Студентов Физиков, 2008, 2009, 2010 Уфа. Кемерово, Волгоград, Россия; Всероссийской молодежной конференции «Физика и прогресс», 2008 СПб, Россия; Межвузовской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Физика для Пермского края» 2008 Пермь, Россия; XVI Зимняя школа по механике сплошных сред 2009 Пермь, Россия; Всероссийской конференции молодых учёных «Неравновесные переходы в сплошных средах» 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012 Пермь, Россия; неоднократно на Пермском городском гидродинамическом семинаре им. Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого; научном семинаре Института механики Уфимского научного центра РАН. Уфа.

Публикации.

Основные результаты исследований опубликованы в 10 печатных ра-

ботах - из них 3 статьи в российских журналах, входящих в перечень ВАК и 7 работ в других печатных изданиях.

1. Макарихин И.Ю., Макарихина О.М., Макаров С.О., Рыбкин К.А. О меандрировании струй, стекающих по наклонной плоскости // Изв. РАН. МЖГ. 2010. № 4. С. 35-42.

2. Братухин Ю.К., Макарихин И.Ю., Макаров С.О., Рыбкин К.А. Гравитационный дрейф эллипсоидов в вязкой жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 2011. № 5. С. 52-64.

3. Рыбкин К. А. , Фликкер-шум при свободном падении цилиндров в воздухе // Нелинейная динам., 8:3 (2012), С. 629-639.

4. Братухин Ю. К., Рыбкин К. А., Юдин Р. С., Хаотическая динамика дрейфа сферических тел в вязкой жидкости // Вестник Пермского универ-ситета. Серия: Физика. 2012. № 4. С. 15-18.

5. Макарихин И. Ю., Рыбкин К. А., Меандрирование стекающих струй // материалы Всероссийской Научной Конференции Студентов Физиков-14. Уфа. 2008. С. 521-522.

6. Рыбкин К. А., Гравитационный дрейф эллипсоидов в вязкой жидкости // тезисы докладов Всеросийской конференции молодых ученых «Неравновесные переходы в сплошных средах». Пермь. 2010. С. 76.

7. Рыбкин К. А.. Эффект эредитарности в экспериментах по меандри-рованию и падению капель жидкости // материалы Всероссийской

Научной Конференции Студентов Физиков-16. Волгоград. 2010. С. 624.

8. Рыбкин К.А., Хаотическая динамика дрейфа цилиндров и прямоугольных пластин в воздухе // тезисы докладов Всеросийской конференции молодых ученых «Неравновесные переходы в сплошных средах». Пермь. 2011. С. 64.

9. Рыбкин К. А., Лаптева Ю. А.. Гидродинамические аспекты процесса флотации //' материалы краевой научно-практической конференции Физика для Пермского края. Пермь. 2012. С. 16.

10. Рыбкин К. А., Экспериментальное исследование хаотической динамики дрейфа тел различной симметрии //X Международная конференция молодых ученых «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидродинамики». Новосибирск. 2012. С. 96.

Личный вклад автора. В перечисленных выше работах автору принадлежат изготовление и настройка экспериментальных установок, проведение измерений, участие в аналитических и численных расчетах, обработке экспериментальных результатов и их интерпретации.

\

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав с изложением результатов, заключения и списка цитированной литературы, включающего 123 наименования. Общий объем диссертации 156 с.

Автор благодарен Ю.К. Братухину, И.Ю. Макарихину и С. О. Макарову за постоянное внимание к работе, полезные обсуждения и советы.

1. Хаотическая динамика процессов в нелинейных

диссипативных системах

1.1. Анализ процессов в открытых нелинейных динамических системах

Задачи, решённые в диссертации, относятся к нелинейной динамике хаотических и стохастических процессов в открытых системах. Это сравнительно молодое научное направление: в 1996 году Ю. Л. Климонтович назвал физику открытых систем «новым научным междисциплинарным направлением» [4]. Благодаря сложности открытых систем в них возможно образование временных, пространственных и пространственно-временных структур, в формировании которых существенную роль играет диссипация. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство И.Пригожин вёл термин «дис-сипативные структуры» [5,6].

Изучение и анализ процессов в открытых нелинейных динамических системах проводится с применением единого геометрического подхода, позволяющего рассматривать с общих позиций нелинейные системы, описываемые как дискретными отображениями, так и обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных. Интенсивное применение геометрического подхода к анализу динамических систем началось со знаменитых работ Ф. Такенса [7] и С. Смейла [8]. Было показано, что устойчивым предельным множеством (аттрактором) дис-

кретной динамической системы может быть вовсе не гладкое многообразие целой размерности, какими являются, например, устойчивый предельный цикл или тор, а всюду дырявое, самоподобное фрактальное множество дробной размерности. Кроме того, было показано, что поведение траекторий динамической системы на таком «странном» в терминологии Д. Рю-эля и Ф. Такенса [9| аттракторе является довольно сложным, сочетая в себе глобальную устойчивость по Пуассону (траектория не уходит из некоторой области фазового пространства) с локальной неустойчивостью по Ляпунову (близкие траектории экспоненциально быстро разбегающихся со временем).

В настоящее время сформировались два основных подхода к реконструкции и анализу хаотических систем и процессов. Первый подход достаточно традиционен и базируется на изучении модели динамической системы в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая может быть получена на основе представлений о физической природе процесса. Этим путем воспользовался Э. Лоренц [10]. Для более сложных процессов образования упорядоченных структур [5,6], был развит второй подход к идентификации хаотических систем, основанный на наблюдении хаотических процессов и на построении аттрактора в так называемом псевдофазовом пространстве Такенса. Иногда для анализа и управления сложными нелинейными динамическими системами применяют методику, предложенную впервые в [11-13]. Все эти подходы позволили осуществить классификацию нерегулярных аттракторов по сценариям их возникновения и решить задачу управления сложными нелинейными динамическими системами, описываемыми как обыкновенными дифференци-

альными уравнениями, так и дискретными отображениями.

Дальнейшее развитие теория нелинейной динамики открытых систем получила после работ Рюэля и Такенса [7], Грассбергера и Прокачиа [14,15]. Был предложен алгоритм определения размерности пространства вложения и фрактальной размерности аттрактора с помощью построения псевдофазового пространства. Простота и доступность вычисления этих важнейших параметров по экспериментальным данным вызвала широкий поток публикаций с морфологическими описаниями различных процессов в физике [16-21], биологии [22,23], химии [24,25], медицине [26-29], математике [30-36] и даже в музыке [37]. В литературе последнего десятилетия разнообразные физические явления часто интерпретируются как процессы в динамических системах с детерминированными или стохастическими переходами между различными состояниями. Под переходами понимается выход из одной области состояний с переходом в другую область. С формальной, математической точки зрения такие переходы связаны с прохождением потенциального барьера.

Общие условия возникновения хаотических переходов в системах с одной степенью свободы при периодическом возбуждении были получены в основополагающей работе В. К. Мельникова [38], в которой была введена функция, названная позднее именем автора. Согласно условиям, сформулированным в работе [38], хаотические переходы возникают, если функция Мельникова обращается в нуль. Однако этот результат получен был слишком рано. В то время теория хаотической динамики была ещё недостаточно развита, чтобы связать один из типов поведения системы с детерминированным хаосом. И только после того, как М.Фрай и Э.Симиу [39,40] пред-

дожили обобщение метода Мельникова для стохастических систем удалось установить, что условия существования простых корней функции Мельникова для детерминированной системы с несколькими устойчивыми положениями равновесия определяет необходимое условие возникновения не только переходов, но и хаоса.

В настоящее время метод Мельникова нашёл применение в самых различных областях науки и техники: для анализа работы электронных устройств [41], при моделировании бортовой качки и остойчивости корабля [42], в задачах строительной механики (например, при расчёте упругой устойчивости стойки, нагруженной поперечной силой [43]), при расчётах динамики прибрежных течений под действием ветра при волнистом рельефе океанского дна [44], в управляющих системах, предназначенных для модификации хаотических движений [45,46] или подавления хаотических колебаний в системе фазовой синхронизации [47,48], в теории стохастического резонанса [48-51] для оценки роли спектральных составляющих шума и многих других задачах.

1.2. Построение математических моделей по временным рядам

Среди задач, которые возникают при реконструкции динамических систем, большое внимание уделяется методическим вопросам. Среди наиболее удачных учебных пособий, посвящённым современным методам анализа сложных сигналов, следует отметить работы [52-55]. Наряду с классическими методами исследования структуры сигналов (корреляционный и спектральный анализы) используются специальные методики исследования процессов с меняющимися характеристиками (флуктуационный ана-

лиз, вейвлет-анализ, мультифрактальный анализ). Реконструкция динамических систем но экспериментальным данным содержит как необходимый этап расчётов построение корреляционны интегралов Грассбергера и Про-качиа [14,15,56,57] .

Часто расчет спектров не дает возможности отличить хаотическую динамику в системах с малым числом степеней свободы от динамики многомерных систем. Определенные преимущества имеет исследование траекторий в фазовом пространстве с помощью сечений Пуанкаре [31]. Но при этом удается получать только качественную информацию, причем для наглядного представления о геометрии анализируемых объектов размерность фазового пространства не должна быть больше трех.

Образом хаотического режима колебаний в фазовом пространстве является странный аттрактор - геометрически очень сложный объект [58].Особенности его геометрии можно количественно охарактеризовать с помощью фрактальных размерностей О0. которые, однако, не зависят от вероятности посещения тех или иных областей фазового пространства, то есть не учитывает статистические свойства потока, обусловленные динамикой системы. Поэтому на практике вместо емкостной размерности предпочитают вычислять корреляционную размерность и, которую можно легче и быстрее оценить численно с помощью корреляционного интеграла С(е, ТУ"), определённого просто как доля пар векторов, нормированное расстояние между которыми \xj — а;Д < е.

Для определения у строят зависимость 1пС(£, Аг) от 1п£ в широком диапазоне по е и проводят поиск линейного участка, наклон которого определяет искомое значение размерности. Кроме того, при исследовании ска-

лярных временных рядов анализируют зависимость V от выбора т. Если размерность исходного аттрактора является конечной, то при увеличении т значение г/ испытывает насыщение.

Для практической реализации этой программы необходимо выбрать так называемое время задержки. Время задержки определяют по временным зависимостям переменной х^, представляющему собой дискретизован-ную с шагом временную зависимость одной из «наблюдаемых» переменных динамической системы : с = с(гД£) = а^(гД£), г = 1,... N, в качестве недостающих координат вектора состояния используется тот же самый ряд с, взятый с запаздыванием в соответствии с найденным временем задержки.

Существует множество способов выбора оптимальной задержки. В качестве г можно взять, например, время достижения первого нуля автокорреляционной функцией. Можно пользоваться более сложными критериями, такими как минимум функции взаимной информации. Но для практических целей т часто подбирают менее строгим образом, «на глаз», исходя из геометрии реконструируемого множества (чтобы аттрактор не был слишком вытянут ни в одном из направлений). Если анализируется сигнал, у которого наблюдается характерный период Т, то лучше всего рассматривать значение т = Т/4 [59].

1.3. Динамический хаос и фундаментальные ограничения в области прогноза

В 70-е годы прошлого века было понято, что существует очень важный класс процессов, которые формально описываются динамическими си-

стемами, но их поведение может быть предсказано только на небольшой промежуток времени. А дальше исследователи будут вынуждены иметь дело со статистикой [60]. То, что непериодическое движение в детерминированных системах, где будущее однозначно определяется прошлым, имеет конечный горизонт прогноза, доказал впервые в 1963 г. американский метеоролог Э. Лоренц, проведя компьютерный анализ системы обыкновенных динамических уравнений [9].

Задача прогноза имеет целью предсказать по данным наблюдений будущие значения измеряемых параметров вперёд на некоторый отрезок времени, называемый временным горизонтом [6]. В литературе горизонт событий определяют по старшему коэффициенту Л] Ляпунова [6,61].

Показатели Ляпунова определяются расширением либо сжатием по различным направлениям выбранной в фазовом пространстве бесконечно малой сферы. Иногда ляпуновские показатели анализируют в терминах информации. Для этого вычисляют скорость разбегания соседних траекторий не по экспоненциальному закону, а по закону 2Хь. Например, если старший показатель Ляпунова хаотического аттрактора Лоренца равен 2.16 бит в единицу времени, а начальные условия определены с точностью до одной миллионной части ( ~ 20 бит), то дальнейшее поведение может быть предсказано только на 9 единиц безразмерного времени (20/2.16). Спустя этот отрезок времени малая начальная неопределенность будет покрывать весь аттрактор, и фазовая точка может оказаться, где угодно.

Для режима динамического хаоса характерно наличие экспоненциальной неустойчивости траекторий, количественной мерой которой является положительный ляпуновский показатель Ах , характеризующий степень

чувствительности системы к выбору начальных условий.

Число положительных экспонент в спектре ляпуновских характеристических показателей определяется количеством неустойчивых направлений периодических орбит, встроенных в хаотический аттрактор, хотя в принципе возможны и более сложные ситуации, состоящие в сосуществовании периодических орбит с различным числом неустойчивых направлений.

Известны случаи, когда дискретные модели демонстрировали очень длительные переходные процессы (до 1500000 итераций динамика оказывалась «хаотической», после чего сменялась регулярной [52,53]). С точки зрения вычисления ляпуновского показателя это соответствует тому, что величина Ах в течение переходного процесса сходится к некоторому положительному значению и только на очень длительных временах спадает до нуля.

В теории динамических систем количественное определение сложности процессов с точки зрения их упорядоченности (или предсказуемости) основывается на таких характеристиках как энтропия Колмогорова-Синая, показатели Ляпунова, обобщенные фрактальные размерности, взаимная информация и т.д.

Алгоритмическая сложность характеризуется минимальным числом правил, генерирующих данную последовательность. Энтропия источника соответствует энтропии Колмогорова-Синая, характеризующая предсказуемость поведения траектории в фазовом пространстве. Ответы на основные вопросы при изучении временных рядов (время предсказуемости; инвариантные характеристики; отличие шума от хаоса) даёт энтропия. Термодинамическая энтропия 5 - мера беспорядка. Уменьшение беспорядка может

быть связано с ростом нашего знания о состоянии системы: собрав молекулы в половине объёма, мы больше узнаём о расположении молекул. Вывод Шенона: беспорядок связан с понятиями информации [62].

1.4. Топологические характеристики аттрактора

Для случайных процессов достаточно типичны степенные зависимости в поведении автокорреляционной функции или функции спектральной плотности. Точная характеристика закономерностей потери корреляций важна при проведении анализа различных систем, так как она позволяет делать выводы о наличии и особенностях «длительной памяти» в их динамике. Как следствие, на больших временах возможность отслеживать закономерности спада корреляций просто отсутствует (в рамках классического корреляционного анализа). Обычно считается, что статистические свойства наблюдаемых постоянны во времени или медленно меняются.

Однако, иногда необходимо обнаружить разладку - резкое изменение свойств наблюдаемого ряда, происходящего в неизвестный заранее момент времени. Проблема обнаружения моментов изменения свойств случайных процессов возникает при решении многих прикладных задач: нарушение нормального хода производственного процесса, появление «цели» в радиолокации, возникновение землетрясений и т. д. Изменение вероятностных характеристик наблюдаемого процесса принято называть разладкой. Вопросы обнаружения разладки случайных процессов исследуются с начала 50-х годов прошлого века. Впервые такая задача рассматривалась Пей-джем [17] для обнаружения момента изменения среднего в последовательности независимых нормально распределенных случайных величин (ano-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Рыбкин, Константин Анатольевич, 2013 год

Литература

1. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. / В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Вадивасова et al. — Москва-Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003. — С. 535.

2. Рабинович М. И., Сущик М. М. Регулярная и хаотическая динамика структур в течениях жидкости // Успехи физических наук. — 1990. — Т. 160, №. I. — С. 3-64.

3. Хакен Г. Синергетика. — М. : Мир, 1989.

4. Климонтович Ю. Л. Критерии относительной степени упорядоченности открытых систем // УФН. - 1996. - Т. 11, №. И. - С. 1232-1243.

5. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. - М. : Мир, 1979.

6. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. — М. : Прогресс, 1986.

7. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence. // Dynamical Systems and Turbulence. — 1981. — P. 366-381.

8. Смейл С. Математические проблемы следующего столетия. Современные проблемы хаоса и нелинейности. Сборник. — Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2002. — С. 304.

9. Lorenz E. N. Deterministic Nonperiodic Flow. //J. Atmos. Sci. — 1963. — Vol. 20.- P. 130-141.

10. Mackey M., Glass L. Oscillations and chaos in physiological control systems // Science. - 1977. - Vol. 197. - P. 287-289.

11. Берже П. Помо И. Видаль К. Порядок в хаосе. — Мир., 1991. — С. 366.

12. Лоскутов А. Ю, Михайлов А. С. Введение в синергетику.— Наука, 1990.- С. 122-127.

13. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новый взгляд на аттрактор Лоренца // Дифференциальные уравнения. — 2001. — №. 11. — С. 1491-1506.

14. Grassberger Р, Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors // Physica D. - 1983. - Vol. 9. - P. 189-208.

15. Grassberger P., Procaccia I. On the Characterization of Strange Attractors, // Phys. Rev. Lett. - 1983. - Vol. 50. - P. 346-354.

16. Демидов В. E., Ковшиков Н. Г. Некоторые особенности перехода к хаосу при автомодуляции поверхностных спиновых волн / / Письма в ЖЭТФ. - 1997. - Т. 66, №. 4. - С. 243-146.

17. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка / В. С. Анищенко, А. Б. Нейман, Ф. Мосс, Л. Шиманский-Гайер // УФН. - 1999. - Т. 169, №. 1. - С. 7-39.

18. Кадомцев Б. Б. Динамика и информация. // УФН. — 1994,— Т. 164, №. 5.

19. Хаотическая динамика в системе электроконвекции нематического жидкого кристалла / В. А. Делев, О. А. Скалдин, Э. С. Батыршин, Е. Г. Аксельрод // Журнал техн. физики. — 2011.— Т. 81, №. 1,— С. 11-18.

20. Владимиров С. Н., Штраух А. А. Управление энтропией динамических систем с дискретным и непрерывным временем // Журнал техн. физики. - 2004. - Т. 74, №. 7. - С. 1-5.

21. Безручко Б. П., Смирнов Д. А., Сысоев И. В. Оценка параметров динамических систем по хаотическим временным рядам при наличии скрытых переменных /'/ Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. - 2004. - Т. 12, №. 6.

22. Быстрай Г. П., Ворох А. С., Андреев С. В. Детерминированный хаос в динамике тока одиночных ионных каналов биомембран // Биофизика. - 2005. - Т. 50, №. 5. - С. 851-861.

23. Исследование фрактальных свойств «воротного» механизма одиночных ионных каналов методом быстрого Фурье-преобразования / В. Н. Казаченко, К. В. Кочетков, О. В. Асланиди, А. А. Гриневич // Биофизика. - 2001. - Т. 46, №. 6. - С. 1062-1070.

24. Быстрай Г. П. Детерминированный хаос при химических реакциях в межфазном слое при высоких температурах // ТВТ. — 2004. — Т. 42, №. 1,- С. 81.

25. Химические неустойчивости при окислении 1,4-нафтодиола в гомоген-

ной среде. / У. Г. Магомедбеков, X. М. Гасанова, У. Г. Гасангаджиева et а1. // Вестн. Моск. ун-та. - Т. 48, №. 3. - С. 221-216.

26. Майоров О. Ю., Н. Фенченко В. О вычислении параметров детерминированного хаоса при исследовании биоэлектрической активности мозга. // Ж. Клип. Ииформ. и Телемед. - 2006. - Т. 3, №. 4. - С. 37-46.

27. Анигценко В. С., Янсон Н. В., Павлов А. Н. Может ли режим работы сердца здорового человека быть регулярным? // Радиотехника и электроника. - 1997. - Т. 42, №. 8. - С. 1005-1010.

28. Анищенко В. С., Сапарин П. И. Нормированная энтропия как диагностический признак реакции сердечно-сосудистой системы человека на внешнее воздействие. // Изв. вузов. Прикладная нелинейная дина-ка. - 1993. - Т. 1, №. 3-4. - С. 54-64.

29. Майоров О. Ю., Фенченко В. Н. Повышение надежности исследований детерминированного хаоса в биоэлектрической активности (ЭЭГ, ЭКГ и вариабельности сердечного ритма) методами нелинейного анализа. // Клиническая информатика и Телемедицина. — 2009. — Т. 5, №. 6. - С. 10-17.

30. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. — М. : Наука., 1972.

31. Пуанкаре А. О науке. - М. : Наука.. 1983. - С. 128.

32. Колмогоров А. Н. Асимптотические характеристики некоторых вполне ограниченных метрических пространств // Докл АН СССР. — 1956. - Т. 108, №. 3. - С. 585-589.

33. Чернявский Д. С. Синергетика и информация (динамическая теория информации). — 2004.

34. Учайкин В. В. Метод дробных производных. — 2008. — С. 512.

35. Лукьянов Г. Н. Идентификация параметров хаотических процессов в экспериментальных исследованиях. // Вестник Академии Технического Творчества. - 1998. - №. 2. - С. 13-49.

36. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. — Наука., 1982.

37. Скляров О. П. Фракталы и крупномасштабная временная структура акустического речевого сигнала и музыки // Техническая акустика. — 2004.— С. 21.

38. Melnikov V. К. On the stability of the center for time periodic perturbations. // Transactions of the Moskow Mathematical Association. - 1963. - Vol. 12. - P. 1-57.

39. Frey M., E. Simiu. Noise-induced chaos and phase space flux // Physica D. - 1993. - Vol. 63. - P. 321-340.

40. Симиу Э. Хаотические переходы в детерминированных и стохастических системах. Применение метода Мельникова в технике, физике и нейрофизиологии. — Физматлит, 2007.— С. 208.

41. Genchev Z., Ivanov Z.. Todorov В. Effect of periodic perturbation on radio frequency model of Josephson junction // IEEE Transactions on Circuits and Systems. - 1983. - P. 633-636.

42. Falzarano J. M., Shaw S. W., Troesch A. W. Application of global methods for analyzing dynamical systems to ship rolling motions and capsizing // International Journal of Bifurcation and Chaos.— 1992.— Vol. 2.— P. 101-116.

43. Holmes P., Marsden J. A partial differential equation with infinitely many periodic orbits: Chaotic oscillations of a forced beam // Archive for Rational Mechanics Analysis. - 1981. - Vol. 76. - P. 135-166.

44. Allen J. S., Samelson R. M., Newberger P. A. Chaos in a model of forced quasi-geostrophic flow over topography: an application of Melnikov's method // Journal of Fluid Mechanics.- 1991,- Vol. 226,- P. 511547.

45. Cicogna G., Fronzoni L. Effects of parametric perturbations on the onset of chaos in the Josephson-junction model: Theory and analog experiments // Physical Review A. - 1990. - Vol. 42. - P. 1901-1906.

46. Larson H. J., Shubert В. O. Probabilistic models in engineering sciences. — New York : Wiley, 1979.

47. Bishop S., Thompson J. Stability of phase-locked loops. — London : Centre for Nonlinear Dynamics and its Applications,University College, 1999.

48. Booker S. M., Smith P. D. Optimal modulations for forcing a PLL FM demodulator into chaotic behavior. — Dundee. : Dept. of Mathematics, University of Dundee, 1999.

49. Анищенко В. С. Нейман А. Б. Стохастический резонанс и стохастиче-

екая синхронизация // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 1997. - Т. 5, №. 1. - С. 5-14.

50. Moss F. Stochastic resonance: From the ace ages to the monkey ear // Some problems in statical physics,. — SIAM: Philadelphia, 1994. — P. 205253.

51. McNamare В., Wiesenfeld K. Theory of stochastic resonance // Physical Review A. - 1989. - Vol. 39. - P. 4854-4869.

52. А. Ю. Лоскутов. Анализ временных рядов. — Физфак МГУ.

53. Витязев В. В. Вейвлет-анализ временных рядов. — ППб. : изд-во С-Петерб. Ун-та, 2001.

54. Павлов А. Н. Методы анализа сложных сигналов. — Саратов : Научная книга, 2008.

55. Павлов А. Н., Филатова А. Е., Храмов А. Е.. Частотно- временной анализ нестационарных процессов: концепции вейвлетов и эмпирических мод // Известия вузов «ПНД». - 2011. - Т. 19, №. 2. - С. 141-156.

56. Головко В. А. Нейросетевые методы обработки хаотических процессов // «2 научная сессия МИФИ-2005. VII Всероссийская научно-техническая конференция «Нейромнформатика - 2005»: Лекции по нейроинформатик.» / МИФИ. — М., 2005. — С. 214.

57. Программы для обработки временных рядов TISEAN 2.1. — URL: http://www.mpipks-dresden.mpg.de/~tisean.

58. Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности. — Мир., 1981.

59. Скоков В. H., Селезнёв В. В. Введение в физику неравновесных процессов. - Екатеринбург. : УГТИ - УПИ, 2008. - 232 С.

60. Малинецкий Г. Г., Курдюмов С. П. Нелиейная динамика и проблемы прогноза // Вестник РАН. - 2001. - Т. 71, №. 3. - С. 210-232.

61. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. — Черновцы, 2000.

62. Шеннон К. Э. Работы по теории информации и кибернетике. — М., 1963.

63. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. — М. : Наука, 1986. — Т. 4. Гидродинамика. — С. 736.

64. Шустер Г. Детерминированный хаос. — М. : Мир., 1988. — С. 240.

65. Кузнецов С. П. Динамический хаос. — Физматлит., 2001.— С. 286.

66. Шарковский А. Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя // Укр. мат. журн. — 1964. — С. 61-71.

67. Rossler О. Е. An Equation Continuous Chaos. // Pliys. lett. A. — 1976. — Vol. 57, №. 5,- P. 397-398.

68. Магницкий H. A., Сидоров С. В. Стабилизация неустойчивых периодических решений в уравнениях с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. - 2000. - Т. 35, №. 11. - С. 1488-1492.

69. Магницкий H.A., Сидоров C.B. Распределенная модель саморазвивающейся рыночной экономики // Нелинейная динамика и управление. Сборник статей. - 2002. - Т. 2. - С. 243-262.

70. Климонтович Ю. Л. Энтропия и информация открытых систем // УФМ. - 1999. - Т. 169, №. 4. - С. 443-452.

71. Benzi A., Sutera A., Vulpiani J. The mechanism of stochastic resonance // Phys. A: Math. Gen. - 1981. - Vol. 14. - P. 453-457.

72. Статистические свойства динамического хаоса / В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасова, Г. А. Окрокверцхов, Г. И. Стрелкова // Успехи физических наук. - 2005. - Т. 175, №. 2. - С. 163-179.

73. Гинзбург С. А., Пустовойт М. А., Геращенко О. В. Подавление шума динамической системы внешним шумом и периодическим сигналом // Письма ЖЭТФ. - 2001. - Т. 73, №. 11. - С. 672-676.

74. Домбровский А. Н., Решетняк С. А. О стохастической фильтрации сигналов в нелинейных электрических системах. // Радиотехника и электроника. - 2009. - Т. 54, №. 11. - С. 1369-1373.

75. Понтрягин Л., Андронов А., Витт А. О стохастическом рассмотрении динамических систем. // ЖЕТФ. - 1933. - Т. 3. - С. 168-180.

76. Intrawell stochastic resonance versus interwell stochastic resonanct on underdamped bistable systems. / L. Alfonsi, L. Gammaitoni. S. Santucci, A. R. Bulsaga // Phys. Rev. E. - 2000. - Vol. 62, №. 1. - P. 299-302.

77. Kang Y. M., Xu J. X., Xie Y. Observing stochastic resonance in an underdamped bistable Duffing oscillator by the method of moments. // . Phys. Rev. E. - 2003. - Vol. 68, №. 3.

78. Makra P., Gingl Z.. Fulei T. Signal-to-noise ratio gain in stochastic

resonators driven by coloured noises. // Fhys. Lett. — 2003. — Vol. 317. — P. 228-232.

79. Rowe A, Etchegoin P. Experimental observation of stochastic resonance in a linear electronic array. // Phys. Rev. E. — 2001. — Vol. 64, №. 3.

80. Franaszek M., Simiu E. Stochastic resonance: A chaotic dynamics approach // Physical Review E. - 1996,- Vol. 54,- P. 1288-1304.

81. Манита А. Д. Стохастическая синхронизация в большой системе однотипных частиц // ТВП. — 2008.— С. 162-167.

82. Климонтович Ю. JI. Проблемы статистической теории открытых систем: критерии относительной степени упорядоченности состояний в процессах самоорганизации // УФН. — 1989. — Т. 158, Вып.1. — С. 5991.

83. Макарихин И. Ю. Диссипативные структуры и нестационарные процессы в межфазной гидродинамике.— Пермь. : Перм. ун-т, 2009.— С. 337.

84. Арнольд В. И. Теория катастроф. — Наука, 1990. — С. 128.

85. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. — М., 2000.

86. Толедано Ж. К, Толедано П. Теория Ландау фазовых переходов.— М. : Мир, 1994.

87. Гольдштик М. А., Штерн В. Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. — Новосибирск : Наука, 1977. — С. 366.

88. Жаботинский А. М. Концентрационные автоколебания. — Наука, 1974.

89. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. —• М. : Наука, 1990.

90. Олемской А. И. Теория стохастических систем с сингулярным мультипликативным шумом /7 УФН. - 1998. - Т. 168, №. 3. - С. 287-321.

91. Климонтович Ю. Л. Новый подход к статистической теории открытых систем. - М. : Наука, 1990. - С. 320.

92. Мандельброт Б. Б. Фрактальная геометрия природы. — М. : Институт компьютерных исследований, 202.

93. Белоусов Л. В. Методология биологии: новые подходы. Синергетика, семиотика, коэволюция, — М. : УРРС, 2001.— С. 74-82.

94. Олемский А. И.. Харченко Д. О. Самоорганизация самоподобных стохастических систем. — ЗХД, 2007. — С. 296.

95. Дарвин. Ч. Происхождение видов пз'тём естественного отбора. — 1939. - Т. 3 о( Соч.

96. Капица С. П. Синергетика и прогнозы будущего. — М. : Наука, 1997.

97. Коверда В. П., Скоков В. Н. Низкочастные флуктуации в стохастических процессах с 1/ ^спектром // Журнал технической физики.— 2009,- №. 6.- С. 8.

98. Низкочастотные колебания интенсивности лазерного луча, прошедшего через систему кавитационных кластеров воды / В. Н. Скоков, В. П. Коверда, А. В. Виноградов, А. В. Решетников // Теплофизика и аэромеханика. - 2010. — №. 1. - С. 109-118.

99. Коверда В. П., Скоков В. Н., Скрипов В. П. l/f-шум в критическом неравновесном фазовом переходе // Письма в ЖЭТФ. — 1996. — Т. 63, №. 9. - С. 739-742.

100. Коверда В. П., Скоков В. Н., Скрипов В. П. 1/f — шум при неравновесном фазовом переходе. Эксперимент и математическая модель // ЖЕТФ. - 1998. - Т. ИЗ, №. 5. - С. 1748-1757.

101. Бак П., Чен К. Самоорганизованная критичность. // В мире науки. — 1991.- №. 3,- С. 16-24.

102. Weissman М. В. 1/F noise and other slow, non-exponential kinetics in condensed matter // Rev.Mod.Phys. - 1988. - Vol. 60, №. 2. - P. 537.

103. Бочков Г. H.. Кузовлев Ю. Е. Новое в исследованиях l/f-шума // УФН,- 1983.- С. 151-176.

104. Климонтович Ю. JI. Статистическая теория открытых систем. — М. : Янус, 1995.- Т. 1,- Р. 624.

105. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. — М. : Мир, 1979.

106. Алексеенко С. В., Бильский А. В., Маркович Д. М. Применение метода цифровой трассерной визуализации для анализа турбулентных

потоков с периодической составляющей // Приборы и техника эксперимента. - 2004. - №. 5. - С. 145-153.

107. Бильский А. В. Гидродинамическая структура осесимметричной им-пактной струи : Ph.D. thesis / А. В. Бильский ; Новосибирск. — 2006.

108. Токарев М. П., Маркович Д. М., Бильский А. В. Адаптивные алгоритмы обработки изображений частиц для расчета мгновенных полей скорости. // Вычислительные технологии. — 2007. — Т. 12, №. 3. — С. 109-131.

109. Scarano F., Riethmuller М. L. Iterativemultigrid approach in PIV image processing with discrete offset // Exp. Fluids. — 1999. — Vol. 26. — P. 513523.

110. Смирнов Д. А., Бсзручко Б. П. Выявление взаимного воздействия между колебательнрыми системами по данным наблюдений // Известия вузов. Радиофизика. — 2012. — Т. 4. — С. 1-15.

111. Пиковский А., Розенблюм М., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. — М. : Техносфера, 2003.

112. Механизмы возникновения и эволюция хаоса в стратифицированном положительном столбе газового разряда / B.C. Анищенко, Г.В. Ме-лехин, В.Л. Степанов, М.В. Чиркин // Изв. вузов. Сер. «Радиофизика». - 1986. - Т. 29, №. 8. - С. 903-912.

113. Сафонова М. А. Ляпуповские характеристические показатели систем направленно связанных осцилляторов. — Методы качественной тео-

рии дифференциальных уравнений. Горький. : Изд-во Горьк. ун-та, 1987.

114. Климонтович Ю. JI. Турбулентное движение и структура хаоса. — М. : КомКнига, 2007. — С. 328.

115. Kuramoto Y. Chemical oscillations, Waves and Turbulence // Springer. — Berlin, 1984.

116. Stochastic resonance without external periodic force. /' H. Gang, T. Ditzinger, C.Z. Ning, H. Haken // Phys. Rev. Lett. - 1993. - Vol. 71. -P. 807-810.

117. Wiesenfeld K., Moss F. Stochastic resonance and the benefits of noise: from ice ages to crayfish and SQUIDs // Nature. — 1995.— Vol. 373.— P. 33-36.

118. Кадомцев Б. В., Рыдник В. И. Волны вокруг нас.— М. : Знание, 1981.- 152 С.

119. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. — Мир., 1987.

120. Determining Lyapunov exponents from a time series / A. Wolf, J .B. Swift, H.L. Swinney, J .A. Vastano // Physics. - 1985. - Vol. D16.

121. Benettin G., Galgani L., St.relcyn J .M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Phys. Rev. - 1976. - Vol. A14. - P. 2338-2345.

122. Chaotic dynamics of falling disks / S. B. Field, M. Klaus, M. G. Moore, F. Nori // Nature. - 1997. - Vol. 388. - P. 252-254.

123. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — Наука, 1974. — С. 832.