Некоторые вопросы нелокального анализа фредгольмовых уравнений с параметрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Борзаков, Антон Юрьевич

• Борзаков, Антон Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Борзаков, Антон Юрьевич

Введение.

1 Конечномерные редукции в бифуркационном анализе вариационных краевых задач (для фредгольмовых уравнений)

1.1 Общие сведения о фредгольмовых уравнениях.

1.2 Бифуркации решений фредгольмовых уравнений с параметрами

1.3 Общая схема конечномерных редукций.

1.4 Операторная схема Ляпунова - Шмидта (локальная)

1.5 Приближенное вычисление ключевой функции.

1.6 Редукция Ляпунова-Шмидта как обобщенная ритцевская аппроксимация.

1.7 Нелокальная вариационная версия метода Ляпунова - Шмидта

1.8 Редукция Морса-Ботта.

1.9 Топологическое сравнение редуцирующих схем.

1.10 Конечномерные редукции и упрощение задач.

1.10.1 Стационарные осесимметричные течения в цилиндрическом гидроциклоне

2 Приближенные методы в нелокальном анализе вариационных задач на основе конечномерной редукции.

2.1 Трансверсальность семейств функционалов своим особенностям

2.1.1 Функционал в окрестности вырожденной критической точки.

2.1.2 Трансверсальность особенностям.

2.2 Построение приближенной ключевой функции методом Галёркина.

2.2.1 Уравнение без параметра.

2.2.2 Уравнение с параметром.

2.3 Метод Галёркина в реализации схемы Ляпунова-Шмидта.

Основной вычислительный алгоритм.

2.3.1 Схема вычислительного алгоритма.

3 Нелокальный анализ некоторых вариационных задач на основе конечномерной редукции

3.1 Фазовые переходы в кристаллах. Сведение к уравнению колебаний маятника (редукция Дзялошинского).

3.2 Схема Ляпунова - Шмидта для уравнений Дуффинга и колебания маятника.

3.3 Подходы к оценке результатов.

3.4 Результаты вычислений.

3.4.1 Уравнение Дуффинга.

3.4.2 Уравнение колебаний маятника.

3.4.3 Краткая оценка результатов.

3.4.4 Схема Ляпунова-Шмидта и приближение решений

3.5 Задача о периодическом решении для неоднородного уравнения Дуффинга.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы нелокального анализа фредгольмовых уравнений с параметрами»

Общеизвестно, что многие нелинейные задачи математической физики допускают трактовку в виде операторного уравнения [24] f(x) = ъ, х е х, ь eY, (l) в котором / — гладкое фредгольмово отображение гладкого банахова многообразия X в гладкое банахово многообразие У. Решение такой задачи часто можно осуществить переходом (редукцией) к конечномерному уравнению [5] т = /3, Z е м, /3 G N, (2) в котором = ф~1 (/(<£>(£)), М и N — гладкие конечномерные многообразия, (риф — гладкие вложения многообразий М и N в X и Y соответственно. При этом предполагается, что / и ф трансверсальны и <р(М) = Г1(Ф(Ю).

Описанию некоторых используемых схем перехода от (1) к (2) (вариантов локальной схемы Ляпунова-Шмидта) при условии, что уравнение (2) наследует топологические и аналитические свойства уравнения (1) (кратности и топологические индексы решений, типы бифуркационных диаграмм и т.д.), посвящены работы [5], [7], [14], [18], [19], [22], [29], [37], [39], [42], [43], [56], [57], [59], [60].

Вариационные модификации описаны в [3], [22], [37], [42], [43], [59]. Глобальная редуцирующая схема Морса-Ботта из вариационной теории геодезических [35] была использована в работах [4], [55], а затем схема Морса-Ботта была включена, наряду с нелокальной вариационной версией Ляпунова-Шмидта, в более общую абстрактную редуцирующую схему (см. [37])).

Ряд аспектов теории бифуркаций экстремалей развивался при непосредственном воздействии эквивариантной теории Морса, симплектиче-ской геометрия (А.Т.Фоменко, В.В.Шарко [45, 46], Болотин С.В. [4], С.С. Conley, Е. Zehnder [55] и др.) и теории ветвления решений нелинейных вариационных эквивариантных уравнений (Н.А.Бобылев, Б.В.Логинов, В.А.Треногин и др.).

Исторически схемам Ляпунова-Шмидта и Морса-Ботта предшествовал локальный метод Пуанкаре понижения размерности в конечномерной экстремальной задаче [61]. По-видимому, А. Пуанкаре предполагал, что его метод может быть применен и к системам с бесконечным числом степеней свободы. Впервые математически строго обоснованные схемы редукций бесконечномерных систем к конечномерным были предложены A.M. Ляпуновым [30] и Э. Шмидтом [63].

Фредгольмовы отображения ввел в современную математику Р. Кач-чиополи (см. [5], [32], [53]—[54] и библиографию в этих источниках). В его работах был дан набросок теории топологической степени для этого класса отображений. Появлению теории фредгольмовых отображений способствовала нелинейная проблема Дирихле (проблема разрешимости нелинейных эллиптических уравнений с частными производными при различных краевых условиях), занимавшая умы многих математиков в первой половине двадцатого столетия. Впоследствии, в связи с успехами более простой теории отображений Лере - Шаудера (отображений вида I + с, где с — вполне непрерывное отображение), интерес к фред-гольмовым отображениям пропал и возобновился лишь в 60—ые годы, особенно после опубликования работы С. Смейла [62], посвященной бесконечномерному обобщению теоремы Сарда о структуре множества критических значений.

На основе принципов обратимости и аппарата степени фредгольмовых отображений удалось исследовать многие нелинейные краевые задачи [5], [18], [19]. Наибольшое количество результатов имеется в области локального анализа и теории бифуркаций. Наиболее заметные достижения последних десятилетий связаны с изучением эквивариантных уравнений и с применением теории особенностей гладких отображений.

Вместе с тем следует признать, что до сих пор задача о структуре множества критических значений фредгольмова отображения остается недостаточно изученной, как и задача о бифуркации экстремалей фредгольмова функционала (при нелокальном рассмотрении функционала).

Центральная задача данной диссертации, вокруг которой сгруппировано ее содержание, — нелокальное сведение (редукция) задачи об изучении уравнения (1) к аналогичной задаче для конечномерного уравнения (2) с последующим качественно-численным анализом конечномерного уравнения на основе современных вычислительных средств.

При каждой реализации идеи конечномерной редукции возникает необходимость не только в ее обосновании, но и в разработке алгоритмов, позволяющих извлекать точную информации о строении ключевого отобра-женияч 0(£) и его возмущений. Важную роль при этом играют идеи и методы теории особеностей гладких отображений [1].

Основными составляющими центральной задачи являются задача описания геометрической структуры дискриминантного множества Е и задача описания раскладов решений, соответствующих ячейкам регулярности (компонентам связности дополнения к £).

В диссертации предложено решение этих задач, осуществленное при некоторых дополнительных условиях и вариантах конечномерно параметризованной правой части.

Вариационный характер уравнения означает, что его левая часть является градиентом V(x) — гладкого функционала на банаховом пространстве Е. При решении подобных задач в локальном случае достаточно хорошо зарекомендовал себя метод конечномерной редукции [22], [37]. В соответствии с этим методом, локальное исследование бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала сводится к анализу бифуркаций критических точек ключевой функции. Вместе с тем заметим, что до сих пор остается недостаточно изученной задача о бифуркации экстремалей фредгольмова функционала при его нелокальном рассмотрении.

Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация метода нелокального бифуркационного анализа экстремалей фредгольмова функционала и разработка приложений к нелинейным задачам математической физики.

В математических конструкциях диссертации использованы методы нелинейного функционального анализа, общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, теории приближений, вариационного исчисления и современного анализа гладких функций многих переменных.

Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Разработан и обоснован алгоритмы приближенного вычисления ключевого отображения и ключевой функции.

2. Разработан и обоснован алгоритм приближенного вычисления параметризаций двумерных сечений дискриминантного множества.

3. Проведена апробация алгоритма на примерах 2—точечных краевых задач.

4. Проведен нелокальный бифуркационный анализ 2—точечной краевой задачи первого рода для уравнения Дуффинга.

5. Проведен нелокальный бифуркационный анализ 2—точечной краевой задачи, определяющей геликоидальные сегнетоэлектрические фазы кристалла.

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых отображений в вариационном исчислении.

Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом.

Результаты диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе (2004 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамических системам (г. Суздаль, 2002 г.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ и на семинаре проф. Костина В.А. по математическому моделированию (математический факультет ВГУ).

Результаты диссертации опубликованы в работах [64] - [72].

Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, приложения с программными кодами реализации алгоритмов и списка цитируемой литературы из 72 наименований. Общий объем диссертации — 101 стр.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Борзаков, Антон Юрьевич, 2005 год

1. Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений/ В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде - М.: МЦНМО. 2004. - 672 с.

2. Бахвалов И.В. Численные методы. Издание восьмое/ И.В.Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М.Кобельков Физматлит. Невский диалект. Москва - Санкт-Петербург - 2000.

3. Бобылев Н.А. Геометрические методы в вариационных задачах/ Н.А.Бобылев , С.В.Емельянов, С.К.Коровин М.: Магистр, 1998. -658 с.

4. Болотин С.В. Периодические решения системы с гироскопическими силами/ С.В. Болотин // Прикл. матем. и механ. 1987.Т.51, вып.4. -С. 686-687.

5. Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера/ Ю.Г.Борисович , В.Г.Звягин, Ю.И.Сапронов // Успехи матем. наук. 1977. Т.32, вып.4. - С. 3-54.

6. Брекер Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы/ Т. Брекер, Л. Ландер М.: Мир, 1977. - 208 с.

7. Вайнберг М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений/ М.М. Вайнберг, В.А. Треногин М.: Наука. 1969. - 528 с.

8. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач/ Ф.П.Васильев -М.: Наука, 1981.-400 с.

9. Волкова Н.В. Система рекурентных уравнений на базе модели Ферхюльса-Пирла/ Н.В.Волкова , В.Н.Думачев, В.А.Родин // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика 2004. №1. — С. 88-95.

10. Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов/ Б.М.Даринский, Ю.И.Сапронов, С.Л.Царев // Современная математика. Фундаментальные направления. Том 12 (2004) - С. 3134

11. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости/ Д.Джозеф М.: Мир. 1981. - 640 с.

12. Забрейко П.П. Определяющие уравнения и принцип родственности/ П.П.Забрейко, В.Н.Тихонов // Сибирский математический журнал. -1983. 24, Ж. С. 79-88.

13. Зачепа В. Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений/ В.Р.Зачепа, Ю. И.Сапронов Воронежский госуниверситет. Воронеж 2002.

14. Звягин В. Г. Свойства степени Л ере Шаудера вполне непрерывных векторных полей/ В.Г.Звягин // Методическая разработка для студентов 3-5 курсов математического факультета д/о и слушателей ФПК./ Издательство ВГУ. Воронеж 1996.

15. Изюмов Ю.А. Фазовые переходы и симметрия кристаллов/ Ю.А.Изюмов, В.Н.Сыромятников М.:Наука, 1984. - 247 с.

16. Иллс Дж. Основания глобального анализа / Дж.Иллс // Успехи матем. наук. 1969. Т.24, №3. - С. 157-210.

17. Иллс Дж. Фредгольмовы структуры / Дж.Иллс // Успехи матем. наук. 1971. Т.26, №6. - С. 213-240.

18. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических / В.Клингенберг // М.: Мир. 1982. 416 с.

19. Красносельский М.А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления / М.А.Красносельский, Н.А.Бобылев, Э.М.Мухамадиев // ДАН СССР. 1978. Т.240, т. - С. 530-533.

20. Красносельский М.А. Приближенное решение операторных уравнений / М.А.Красносельский, Г.М.Вайникко, П.П.Забрейко, Я.Б.Рутицкий, В.Я.Стеценко М.: Наука, 1969. - 456 с.

21. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений./М.А. Красносельский М.: Гостехиз-дат, 1956. - 390 с.

22. Красносельский М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А.Красносельский, П.П.Забрейко М.: Наука. 1975. - 512 с.

23. Красноселький М.А. Итерационный процесс с минимальными невязками / М.А.Красноселький, С.Г.Крейн // Матем. сб-к. 1952. т.31 (73), в.2. - С.315-334.

24. Лемешко А.А. О равномерной сходимости с производными га-леркинских приближений к решениям уравнений с параметрами / А.А.Лемешко // Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ, 2003. - С. 94-103.

25. Лемешко А. А. Об равномерной сходимости ньютоновских приближений к решениям уравнений с параметрами / А.А.Лемешко // Сборник трудов молодых ученых математического факультета ВГУ. Воронеж: ВГУ, 2003. - С.74-83.

26. Логинов Б.В. Теория ветвления нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности/ Б.В. Логинов Ташкент: Фан, 1985. - 184 с.

27. Ляпунов A.M. Sur les figures d'equilibre peu differentes des ellipsoides d'une masse liquide homogene donee d'un mouvement de rotation, p.l / A.M. Ляпунов // Зап. Акад. наук, С.-Петербург. 1906.

28. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике/ С.Г. Михлин М.: Наука, 1970. - 512 с.

29. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа / К.Миранда М.: ИЛ. 1957.

30. Оден Дж. Конечные элементы в механике сплошных сред / Дж.Оден М.: Мир. 1976. - 464 с.

31. Покорный В.В. Об уравнениях разветвления в теории малых решений нелинейных интегральных уравнений / В.В.Покорный // Труды Воронежского государственного университета. Сборник работ матема-тико механического факультета. - 1962. Т. LXI. - С.65-74.

32. Постников М.М. Введение в теорию Морса. / М.М. Постников М.: Наука. 1971. - 568 с.

33. Постон Т. Теория катастроф и ее приложения / Т.Постон, И.Стюарт- М.: Мир. 1980 608 с.

34. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах / Ю.И. Сапронов // Успехи матем. наук. 1996. Т. 51, №1. -С. 101-132.

35. Сапронов Ю.И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах / Ю.И. Сапронов // Математические заметки.- 1991. Т. 49, вып. 1. С.94-103.

36. Сапронов Ю.И. Регулярные возмущения фредгольмова отображения и теорема о нечетном поле / Ю.И.Сапронов // Труды матем. факта ВГУ. Воронеж: Изд. ВГУ, 1973, вып. 10. - С. 82-88.

37. Сапронов Ю.И. Существование и сравнение конечномерных редукций для гладких функционалов / Ю.И.Сапронов // В кн.: Глобальный и стохастический анализ. Воронеж: ВГУ, 1995. - С. 69-90.

38. Сапронов Ю.И. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах / Ю.И.Сапронов, С.Л.Царев // Матем. заметки. 2000. Т.58, №5. - С. 745-754.

39. Сидоров Н.А. Ветвление решений нелинейных уравнений с потенциальными системами разветвления / Н.А.Сидоров //В кн.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Изд. Иркутского университета, 1980. Вып.7. - С. 136-155.

40. Треногин В.А. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркации, симметрия / В.А.Треногин, Н.А.Сидоров, Б.В.Логинов // ДАН СССР. 1989. Т. 309, №2. - С. 286-289.

41. Трофимов В.В. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений / В.В.Трофимов, А.Т.Фоменко М.: Факториал. 1995. - 448 с.

42. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения / А.Т. Фоменко М.: МГУ, 1988.- 416с.

43. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия вполне интегрируемых гамильтоновых систем / А.Т. Фоменко // Успехи матем. наук 1989. Т. 44, вып.1. - С.145-173.

44. Царев СЛ. Глобальное сравнение эквивариантных конечномерных редукций для гладкого G-инвариантного функционала / C.J1. Царев // Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж: Изд. ВГУ, 1998. К5 3 (новая серия). - С. 73-76.

45. Царев СЛ. Один вариант леммы Морса и его приложения к нелинейным вариационным задачам / СЛ. Царев //В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж: Изд. ВГУ, 2000. - С. 132-136.

46. Царев СЛ. О глобальной распрямляемости гладких функций с единственной критической точкой / СЛ. Царев // Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж: Изд. ВГУ, 1996. - № 1 (новая серия). - С. 92-96.

47. Чемерзина Е.В. Каустики гладких параметрических семейств фредгольмовых функционалов. / Е.В. Чемерзина Воронеж: ВорГУ. НИ-ИМ ВГУ, препр. т. Ноябрь 2003. - 47 с.

48. Юдович В.И. О бифуркации вращательных движений жидкости / В.И.Юдович // ДАН СССР. 1966. Т.169, №2. - С.306-309.

49. Юдович В.И. Вторичные течения и неустойчивость жидкости между вращающимися жидкостями / В.И.Юдович // Прикл. матем. и механ.- 1966. Т.ЗО, вып. 4. С.688-698.

50. Cacciopolli R. Un principio diinversioni per le corrispondenze funzionali e sue applicazioni able equazione a derivate parzidle// Rend. Acc. Lincei.- 1932. V.16. P. 390-395, P. 484-489.

51. Cacciopolli R. Sulle corrispondenze funzionali inverse diramate: teoria generale e applicazioni ad alcune equazioni non-lineari e al problema di Plateau// Rend. Acc. Lincei.- 1936. V.24. P. 258-263, P. 416-421.

52. Conley C.C. The Birkhoff-Lewis fixed point theorem and a conyecture of V.I.Arnol'd/C.C. Conley, E. Zehnder // Invent. Math. 1983. V.73. -P.33-49.

53. Elworthy K.D., Tromba A.J. Degree theory on Banach manifolds// Proc. Sympos. Pure. Math. 18, A.M.S. 1970. - P.86-94.

54. Elworthy K.D., Tromba A.J. Differential structures and Fredholm maps on Banach manifolds// Proc. Sympos. Pure. Math. 15, A.M.S. 1970. -P.49-94.

55. Levchenko O.N., Sapronov Yu.I. Morse Bott reduction for a symmetric Kirchhoff rood// Methods and Applications of Global Analysis. Voronezh University Press. 1993. P.95-100.

56. Marsden J.E. Qualitative Methods in Bifurcation Theory/J.E. Marsden// Bull. Amer. Math. Soc. 1978. V.84, N 6.

57. Marsden J.E. On the Geometry of the Liapunow-Schmidt procedure/J.E. Marsden// Lect. Notes in Math. 1979. V.755. -P.77-82.

58. Poenaru V. Singularites C°° en Presence de Symetrie// Lecture Notes in Mathematics. V.510, chapter II. N.-Y.: Springer-Verlag, 1976. - P. 61-89.

59. Smale S. An infinite dimensional version of Sard's theorem// Amer. J. Math. 1965. v.87. P.861-866.

60. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Theil 3: Uber die Auflosung der nichtlinearen Integralgleichungen und Verzweigung ihrer Losungen// Math. Ann. 1908. V.65. P. 370-399.

61. Борзаков А.Ю. О приближенном построении ключевых функций в интегрируемых задачах вариационного исчисления / А.Ю.Борзаков // Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках: Тез.докл. Воронеж, 2000 - С. 33.

62. Борзаков А.Ю. Стационарные осесимметричные течения в цилиндрическом гидроциклоне / А.Ю.Борзаков, С.Г.Валюхов, В.А.Костин, В.П.Орлов, Ю.И.Сапронов // Математические модели и операторные уравнения. Воронеж: ВорГУ, 2001. - С. 19-24.

63. Борзаков А.Ю. Стационарные осесимметричные течения в циллин-дрическом гидроциклоне / А.Ю.Борзаков // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тез. докладов. Владимир: ВладГУ, 2002. - С. 16.

64. Борзаков А.Ю. Нелинейные ритцевские аппроксимации и визуализации бифуркаций экстремалей / А.Ю.Борзаков, А.А.Лемешко, Ю.И.Сапронов // Вестник ВГУ. Сер. физ., матем. 2003, вып. 2. -С. 100-112.

65. Борзаков А.Ю. Применение методов конечномерной редукции к глобальному анализу краевых задач на примере уравнения Дуффинга / А.Ю.Борзаков // Сборник трудов математического факультета ВГУ.- 2004. Вып.8. С. 1-12

66. Борзаков А.Ю. К нелокальному анализу гладких вариационных задач с параметрами / А.Ю.Борзаков, А.А.Долженков, Ю.И.Сапронов // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции ВЗМШ. Воронеж: ВГУ, 2005. - С. 43-44.

67. Борзаков А.Ю. К глобальному анализу краевых задач вариационного исчисления на основе конечномерной редукции / А.Ю.Борзаков // Сборник трудов математического факультета ВГУ. 2005. Вып.9.- С. 9-22.

68. Борзаков А.Ю. Редукции в нелокальном анализе вариационных краевых задач и уравнение колебаний маятника / А.Ю.Борзаков // Семинар по глобальному и стохастическому анализу. Вып.1. Воронеж: ВГУ, 2005. - С. 34-44

69. Борзаков А.Ю. К нелокальному бифуркационному анализу краевых задач вариационного исчисления / А.Ю.Борзаков // Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения (материалы международной конференции) Воронеж: ВГУ, 2005. - С. 23-24