Методы нелинейного анализа в некоторых задачах теории управления и оптимизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Гришанина, Гульнара Эргашевна

• Гришанина, Гульнара Эргашевна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гришанина, Гульнара Эргашевна

Содержание

Введение

Глава 1. Метод продолжения по параметру в задачах приближенного

построения решений § 1. Оценка числа операций в задаче приближенного построения решений

уравнений с дифференцируемыми операторами

§2. Метод продолжения в задачах приближенного построения решений

уравнений с негладкими операторами

§3. Приложение к задаче о периодических решениях систем автоматического

регулирования

§4. Схема расчета вынужденных колебаний в методах автоматического

регулирования с негладкими нелинейностями

Глава 2. Метод продолжения по параметру в задачах устойчивости в целом и в задачах о глобальном минимуме

§5. Устойчивость в целом и седло на бесконечности

§6. Деформационный метод исследования устойчивости в целом

§7. Устойчивость в целом квазилинейных систем

§8. Градиентные системы и глобальный минимум

§9. Метод продолжения по параметру для задач вариационного исчисления 92 Глава 3. Дифференцируемость функционалов вариационного исчисления в

пространствах абсолютно непрерывных функций §10. Дифференцируемость в пространстве АС0

§11. Дифференцируемость в пространстве Н\

§12. Дифференцируемость в пространстве Wq*

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы нелинейного анализа в некоторых задачах теории управления и оптимизации»

ВВЕДЕНИЕ

Широкое распространение идей и методов теории управления и оптимизации в технике, экономике, а также внутренне развитие этих дисциплин привело к появлению огромного количества публикаций по этим тематикам. К настоящему времени некоторые разделы этих дисциплин (например, теория необходимых условий оптимальности, линейное и выпуклое программирование, теория оптимального управления, теория обратной связи и др.) приобрели устойчивые очертания и окончательно сформировались.

Однако бурное развитие в последние десятилетия нелинейного функционального анализа и его проникновение в смежные дисциплины привело к бурному внутреннему развитию многих областей теории управления и оптимизации. Этот процесс продолжается и в настоящее время. Методы нелинейного функционального анализа позволили получить существенное продвижение в ряде задач теории оптимального управления, теории колебаний, вариационного исчисления, теории устойчивости. Идеи и методы нелинейного анализа применяются в экономических приложениях, при расчете оптимальных управлений в распределенных системах, в задачах о колебательных процессах в системах автоматического регулирования и т.д. Они эффективны и в задачах оптимизации. Эти обстоятельства обуславливают актуальность и важность внедрения методов современного нелинейного анализа в различные области теории управления, оптимизации и их приложений.

В диссертационной работе развиваются методы приближенного построения решений операторных уравнений, возникающих в теории автоматического регулирования, теории негладкой оптимизации, в задачах устойчивости в целом и в задачах глобальной оптимизации.

Целью работы является:

1) разработка метода продолжения по параметру в задачах приближенного построения решений операторных уравнений;

2) применение метода продолжения по параметру к задачам о колебательных процессах в системах автоматического регулирования;

3) анализ асимптотической устойчивости и устойчивости в целом нелинейных систем дифференциальных уравнений;

4) исследование устойчивости в целом квазилинейных и градиентных систем;

5) исследование метода продолжения по параметру в задачах классического вариационного исчисления.

В диссертации используются методы функционального анализа, методы теории управления, методы обыкновенных дифференциальных уравнений, численные методы нелинейного анализа.

В первой главе изучается метод продолжения решения по параметру для уравнений с дифференцируемыми и негладкими операторами и дается оценка числа операций в задаче приближенного построения решений с заданной точностью.

В первом параграфе рассматривается метод последовательных приближений Ньютона-Канторовича

хк (Л)= хкА (X)-[Fx (хм(Л),X)YlF(xkA(А),Л), к~ 1,2,... для операторного уравнения

Fix;

Предполагается, что Я - вещественное банахово пространство с нормой ||.||, оператор F(x,X) определен и непрерывно дифференцируем на шаре

В(рМЛ))^{хеЕ:\\х-х*(Л))\\<р}, Яе[0,1],

1

причем производная Fx(x,X) удовлетворяет на этом шаре условию Липшица

\\F'x(x,A)-F'x(y,A)\m\x-y\\, а производная Р'л (х, Л) ограничена \Р'Я (х, 2)| < L. Кроме того, предполагается,

что производная F'^x,?,) является непрерывно обратимым оператором, причем норма обратного оператора равномерно ограничена:

¡|[FfxMr'|)<M хеВ(рМЛ)У При этих условиях доказана следующая теорема.

Теорема 1.1. Число шагов Q для нахождения приближенного решения уравнения

FO;1)=0

по решению уравнения

F(jc;0)=0

с точностью а не превосходит числа

[(LMN2)/q]{[ln( 1 -1п2/1п q)/lnl\+\ }+[ln(ln(MNe/2)/ln q)/ln2}+\, где 0<q<\ такое, что \\хо(Л)-л;*(Л)[|< 2q/NM, VAe[0,l].

Во втором параграфе метод продолжения по параметру

xJ+l(A)~Xj(Ay[FAXj{X)^i\F{xjiX),X)+G{xjiX),X)l х0(Л)= x0,j=0,1,... переносится на операторное уравнение вида

F(x;A)+G(x;A)=0, (1)

Предполагается, что при Л<=[0;1] уравнение (1) имеет решение х(Я), а операторы F(x,A) и G(x,A) определены на шаре

В(р^(А))={хеЕ\ 11 х~х(А)] I <р). В рассматриваемой области изменения переменных оператор F(x,A) непрерывно дифференцируем по х, и производная Fx'(x,A) удовлетворяет условию Липшица с постоянной Ми является непрерывно обратимым оператором, причем норма обратного оператора равномерно ограничена постоянной N. Оператор G(x,A) удовлетворяет условию Липшица по х во всей области изменения переменных

\\G(x,AyG(y,X)\\<L\\x-^\. Дополнительно предполагается, что операторы F(x,A) и G(x,A) в рассматриваемой области удовлетворяют условию Липшица по Л с постоянной KhL2 соответственно. Основной результат этого параграфа сформулирован в следующей теореме.

Теорема 2Л. Общее число шагов Q(s) метода Ньютона-Канторовича для нахождения приближенного решения уравнения

F(x;l)+G(x;l)=0 по решению хо^х(0) уравнения

F(x;0)+G(x;0)=0

с точностью £>0 допускает оценку

где

Q(s)<(m0- 2)

[ш% 1 /l +1 Inе/

+ /Ра

Intfo 1»?о

2(1-Ж) t

MN2(K+L2)

NMN(K + L2) 0 mrt 1 - NL

(1 -Nif

В третьем и четвертом параграфах результаты первых двух параграфов применяются к задаче о периодических решениях систем автоматического регулирования и приводится схема расчета вынужденных колебаний в методах автоматического регулирования с негладкими нелинейностями.

Во второй главе метод продолжения по параметру применяется к задачам устойчивости в целом и задачам о глобальном минимуме. В пятом параграфе приводятся основные понятия и определения, связанные с поведением решений системы

x' = F(x), jcer, (2)

где F.din 91й - непрерывное векторное поле, и изучаются некоторые свойства решений этой системы, в частности, связь между устойчивостью в целом стационарного решения системы (2) и свойством системы (2) иметь седло на бесконечности. Справедливы следующие теоремы.

Теорема 5.1. Пусть стационарное решение x(t) = х0 системы (2) устойчиво в целом. Тогда система (2) не имеет седла на бесконечности.

Теорема 5.2. Пусть стационарное решение х{1) = х0 системы (2) устойчиво в целом. Тогда система (2) не имеет ограниченных на всей оси решений, отличных от х(/) = х0.

Отметим, что теоремы 5.1-5.2 допускают обращение, и обратная теорема приводится в этом же параграфе.

В шестом параграфе рассматривается однопараметрическое семейство систем.

х' = Р(х,Л), хеЗГ, 0<Л<1, (3)

где Р: Щп х [ОД] - непрерывное векторное поле, и изучаются условия, обеспечивающие сохранение свойства устойчивости в целом стационарного решения системы (3) при изменении параметра Л е[0,1]. Основной результат

этого параграфа - следующая теорема.

Теорема 6.2. Пусть семейство систем (3) удовлетворяет следующим условиям:

1) при Л = 0 стационарное решение х0(1) = 0 системы (3) устойчиво;

2) системы (3) при всех Л е[0,1] не имеют ограниченных на всей оси решений, отличных от стационарного решения х0 э 0;

3) системы (3) при всех Л е[0,1] не имеют седла на бесконечности. Тогда стационарное решение х0ОД) = 0 системы (3) устойчиво в целом

при всех Л е[0Д].

В седьмом параграфе рассматривается квазилинейная система

х' ~Ах + /(х), (4)

где АМ" -*-> - линейное отображение, /:91й И й- непрерывное отображение. Выводится необходимое условие существования седла на бесконечности для системы (4) и изучаются условия, при которых стационарное решение х0 (0 & х0 системы (4) устойчиво в целом.

В восьмом параграфе изучается связь между локальным минимумом непрерывно дифференцируемой функции V, ¥:Ш" 9?, и свойством асимптотической устойчивости стационарного решения х0(г) = х0 системы

а также связь свойства устойчивости в целом стационарного решения х0(/) з х0

системы (5) и условием того, что критическая точка является глобальным

(абсолютным) минимумом функции V во всем Ш".

Следующие теоремы дают необходимые и достаточные условия устойчивости в целом.

Теорема 8.2. Пусть стационарное решение х() (() = х0 системы (5) является

устойчивым в целом. Тогда х0 является единственной критической точкой и

точкой глобального минимума функции V вШ".

Теорема 8.3. Пусть х0- локальный минимум и единственная критическая

точка функции V в Ш". Пусть система (5) не имеет седла на бесконечности. Тогда стационарное решение х0 (¿) = х0 системы (5) устойчиво в целом.

Далее рассматривается однопараметрическое семейство функций V(x,Ä), х еШя, Л е[0,1]. Предполагается, что функция У(х,Л) и вектор-функция

Г7 r/V 7\

VXF(х,Л) = —■——- непрерывны по совокупности переменных ск

(х,Л) еШп х [0,1]. Доказана следующая теорема.

Теорема 8.5. Пусть семейство функций V{x, Л) удовлетворяет условиям;

1) при Л - 0 точка х - и{0) является глобальным минимумом функции V(x,0)-

2) функция ¥(х,Л) при всех Л e[0,l] не имеет в 2 критических точек, отличных от и(Л) ;

3) система

при всех Л e[0,l] не имеет седла на бесконечности.

Тогда х = и(Л) является точкой глобального минимума функции У(х,у) при всех Л е[0Д].

В девятом параграфе изучается функционал классического вариационного исчисления

1

F{u)~lf[s,u{s),u'{s)}ls (7)

о

в пространстве Со = C^[0,l] непрерывно дифференцируемых функций u(s), удовлетворяющих условиям

и(0)=!|(1)=0. (8)

С0 - пространство Банаха с нормой |и| = тах|к'(5). Пусть лагранжиан /(я, и, V) и его частные производные /и (я, и, V), и, V) непрерывны по совокупности

переменных на [0,1]х Ш 2. Рассмотрим нелинейный оператор

1

УГСX) = \[0{8,т)Ги(т,и,и') + 0'г(*,т)/у(т,и,и')рт (9)

о

где функция г) определяется равенством

' 1(1-ф, 0<5<Г<1 Доказывается, что отображение VF(л:), определенное равенством (9), является градиентно-подобным отображением функционала (7) в пространстве С<]. Введем дифференциальное уравнение

~ = (10) ш

в банаховом пространстве С<]. Дифференциальное уравнение (10) в банаховом пространстве С(, эквивалентно нелинейному интегро-дифференциальному уравнению

1

/у (я, и, V) -1 /у (г, г), у(*, г))/г +

п

+1 о; (5, т)/и (т, «(/, т)Х*, фт

о

с краевыми условиями

и(г,0) = ~ 0.

Следующая теорема дает достаточное условие минимума в критической точке: Теорема 9.1. Пусть функционал (7) непрерывно дифференцируем в

области О е С1 и щ € О - его критическая точка. Пусть стационарное решение и{{) = щ уравнения (10) асимптотически устойчиво. Тогда критическая точка и0 является изолированной и точкой локального минимума функционала (7).

В отличие от конечномерного случая, имеет место лишь частичное обращение теоремы 9.1:

Теорема 9.2. Пусть и0 еО изолированная критическая точка функционала (7) является точкой локального минимума. Пусть лагранжиан / удовлетворяет усиленному условию Лежандра

ЛД*,а,у)>0, л е[0,1], (и,у) е912. (12)

Тогда стационарное решение и({) = щ уравнения (10) асимптотически

устойчиво.

Справедливы также следующие теоремы.

Теорема 9.3. Пусть стационарное решение и{1) = щ уравнения (10) является устойчивым в целом. Тогда щ является единственной критической

точкой и точкой глобального минимума функционала (7) в С^.

Теорема 9.4. Пусть лагранжиан удовлетворяет усиленному условию Лежандра (12), локальный минимум щ функционала (7) является единственной

его критической точкой во всем пространстве С]0. Пусть уравнение (10) не имеет седла на бесконечности. Тогда точка щ является точкой глобального минимума

функционала (7) во всем пространстве С^.

Далее рассматривается однопараметрическое семейство функционалов вариационного исчисления

1

0<и<1 (13)

о

и семейство дифференциальных уравнений

в пространстве Метод продолжения по параметру свойства глобального

минимума основан на следующей теореме.

Теорема 9.5, Пусть функционал (13) удовлетворяет следующим условиям :

1) лагранжиан / удовлетворяет усиленному условию Лежандра

(и,у)<=ЧЯ2 ,Ае[0,1] (15)

2) при А - 0 функция и0(я) = 0 является глобальным минимумом функционала F(w,0);

3) функционал F(мД) при всех Л е[0Д] не имеет критических точек в С1,

отличных от нулевой;

4) уравнение (14) при всех Л ^[ОД] не имеет седла на бесконечности.

Тогда щ ~ в является точкой глобального минимума функционала Г (и, А) при всех Л е[0Д].

В третьей главе изучается дифференцируемость функционалов вариационного исчисления

1

F{u) = \f{x,u,u')ds (16)

о

в пространствах абсолютно непрерывных функций АС0 (через

АС0 обозначим подпространство пространства АС - множества абсолютно

непрерывных на [0,1] функций, состоящее из функций, удовлетворяющих

1

условию м(0) = и{\) = 0), с нормой |jwJ[4C = |w(0)j + а также в других,

0

более узких подпространствах пространства АС0:

С] = {x{t)\x g AC(),x'(t)- непрерывна } с нормой |xjL ~ maxj*

1

Hi = {jc(t):x еАС0,х' el2} с нормой |х|я, = (J(jc'(i)| df/2,

0 о

1

W* = {x(t):x е АС0,х' е Lk] с нормой ¡4ru = (J\x'(t)\k dt)'^ .

о

В десятом параграфе дается определение (АС0 ,Со)- дифференцируемости и доказана следующая теорема.

Теорема 10.1. Пусть функция f(x,u,p) непрерывно дифференцируема

по и,р. Пусть функционал F(u) (АС0, Cf]) - дифференцируем на любой непрерывно дифференцируемой функции и = и0 (х). Тогда функция /(х, и,р) имеет представление

f{x, щр) = /0 (х, и)+/j (х, и)р.

В одиннадцатом параграфе дается определение дважды (#» ,Cq )-дифференцируемости и доказана

Теорема ПЛ. Пусть функция fix,и, р) дважды непрерывно

дифференцируема по и и р. Пусть функционал F(u) дважды {HlQ, Отдифференцируем на любой непрерывно дифференцируемой функции и - щ{х). Тогда функция/имеет представление

/О, и, р) =/0 (х, и) + f (*, и)р + /2 (х, и)р2.

Основной результат двенадцатого параграфа - следующая теорема. Теорема 12Л. Пусть функция /(х, и, р) т раз непрерывно

дифференцируема по и и р. Пусть функционал F(u) т раз (^о1'"*,Отдифференцируем на любой непрерывно дифференцируемой функции и = щ{х). Тогда функция/имеет представление

f{x, и,р) =/0 {х, и) + f (х, и)р+.. .+fm (х, и)рт.

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1) получены эффективные оценки числа шагов комбинации метода Ньютона-Канторовича и метода приближения для нахождения решений операторных уравнений с заданной точностью;

2) найдены приложения общих теорем к задаче о построении периодических колебаний нелинейных систем автоматического регулирования с гладкими и негладкими нелинейностями;

3) разработан деформационный метод исследования устойчивости в целом нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений;

4) получены эффективные признаки устойчивости квазилинейных и градиентных систем дифференциальных уравнений;

5) развит метод продолжения по параметру для анализа задач классического вариационного исчисления;

6) получены критерии дифференцируемости интегральных функционалов в пространствах абсолютно непрерывных функций.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались на семинарах Института проблем управления РАН, Института системного анализа РАН, Института проблем передачи информации РАН, в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова, в Таджикском государственном университете, в Воронежской зимней математической школе в 1997 г.

Автор считает своим долгом выразить особую благодарность H.A. Бобылеву и Э.М. Мухамадиеву, без постоянной помощи и поддержки которых эта работа не была бы выполнена.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гришанина, Гульнара Эргашевна, 1999 год

Литература

1. Deist F., Sefor L. - Solution of systems of nonlinear displacements. // SIAM J. Numer. Anal. - 1967 - N 4 - p. 103 -108.

2. Frendenstein F., Roth B. - Numerical solution of systems of nonlinear equations.// J. Assoc. Comput. Mach., - 1963 - N10 - p. 550-556.

3. Lahaye E. - Une methode de resolution d'une catigorie d'equations transcendantes.//C.R. - 1934 - v. 198 - p. 1840-1842.

4. Lahaye E. - Solution of systems of of trancendental equation.// Acad. Roy. Beld. bull., CI. Sci. - 1948 - N 5 - p. 805-822.

5. Алексеев В. M., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., Наука, 1979,429 с.

6. Бабаджанов Ш.Ш. Исследование дифференциальных уравнений с градиентно-подобными отображениями основного функционала вариационного исчисления. Автореферат кандидатской диссертации. Душанбе, 1998.

7. Бобылев Н.А. О функциях Ляпунова и задачах на глобальный экстремум. Автоматика и телемеханика, М., 1979, №11, с.5-9.

8. Бобылев Н.А. Об одном приеме исследования устойчивости градиентных систем. Автоматика и телемеханика, №8, 33-35,1980.

9. Бобылев Н.А. О деформационном исследовании функционалов качества систем с бесконечным числом степеней свободы. Автоматика и телемеханика, №7, с. 11 -18,1981.

10. Бобылев H.A. О деформации функционалов, имеющих единственную критическую точку. Мат. заметки, 1983, т.34, вып.З, стр.387-398.

11. Бобылев H.A., Емельянов C.B., Коровин С.К. Геометрические методы в вариационных задачах, М., 1998,658 с.

12. Буслаев B.C. Вариационное исчисление. Изд.Ленингр.ун-та.,Л. 1980,228 с.

13. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М., Наука, 1980,518 с.

14. Гельфанд И.М., Фомин C.B. Вариационное исчисление. М., 1961,228 с.

15. Давиденко Д. Ф. О приложении метода вариации параметра к теории нелинейных функциональных уравнений. Укр. матем. жур,, 1955, с. 18-28.

16. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. M., Наука, 1970, 534 с.

17. Дементьева А. М. О разностных схемах построения неявной функции . //ДАН СССР - Т.201, № 4 -1971 - с. 774-777.

18. Дементьева А. М. Об одном способе построения неявной функции.// Успехи мат. наук. - 1972 - т. 27, вып. 4 - с. 203-210.

19. Дементьева А. М. О дискретных алгоритмах слежения за неявно заданными величинами. Автоматика и телемеханика, М., 1972, №9, с. 95-100.

20. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М., Наука, 1967,472 с.

21. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия, методы и приложения. М., Наука, 1986

22. Иоффе А. Д., Тихомиров В.Н. Теория экстремальных задач. М., 1974,479 с.

23. Колмогоров А Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1989,624 с.

24. Красносельский М.А., Крейн С.Г. К теории обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Тр. семинара по функциональному анализу. Воронежский Гос. ун. 1956, с.2 - 23.

25. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я., Приближенное решение операторных уравнений. М., Наука, 1969,456 с.

26. Красносельский М.А., Бобылев H.A., Мухамадиев Э. О топологическом индексе экстремалей функционального вариационного исчисления, ДАН Тадж.ССР, 1978, t.XX1,N 8

27. Красносельский М.А., Бобылев H.A. Мухамадиев Э. О схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления. М., Наука, ДАН СССР, 1979, т.240, №3.

28. Красносельский М.А., Мухамадиев Э., Покровкий А. Бифуркационные значения параметров в вариационных задачах, М., Наука, ДАН СССР, 1980, т.255, №2.

29. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М., Наука, 1965, 520 с.

30. Милнор Дж. Теорема об h-кобордизме. М., Мир, 1969

31. Мухамадиева Г. Э. Об оценке числа операций в задаче приближенного построения решений операторных уравнений методом продолжения.

Прикладные вопросы математики . Сб. научных трудов, ТГУ, Душанбе, 1991, вып. 3, с. 45-53.

32. Мухамадиева Г.Э. Метод продолжения в задачах приближенного построения решений уравнений с негладкими операторами, М., Сложные системы управления, Сборник трудов ИПУ, РАН, 1992, с. 40-47.

33. Немыцкий В В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений . Гос. из-во технико-теоретической лит., М., 1949, 550 с.

34. Ортега Дж., Рейнболт В., Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М., Мир, 1975, с. 558.

35. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1970,720 с.

36. Шидловская Н. А. Применение метода дифференцирования по параметру к решению нелинейных уравнений в банаховых пространствах. Учен.зап. ЛГУ: Сер. матем., 1958, т. 271, № 33, с. 3-17.