Методика проведения имитационного эксперимента для определения структурной схемы нелинейного динамического объекта тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Никишин, Александр Федорович

• Никишин, Александр Федорович
• кандидат технических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат технических наук Никишин, Александр Федорович

ВВЕДЕНИЕ

1. ПРОБЛЕМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ.

1.1. Проблемы построения структурной схемы нелинейного динамического объекта.

1.2. Многоэтапный подход к оценке структурной схемы динамического объекта с несколькими статическими нелинейностями.

1.3. Постановка задачи поиска структурной схемы объекта с использованием имитационного эксперимента.

1.4. Выводы.

2. ПРОЦЕДУРА НАХОЖДЕНИЯ СТРУКТУРНОЙ СХЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИМИТАЦИОННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА.

2.1. Аппроксимация и декомпозиция сквозной статической характеристики нелинейного динамического объекта.

2.2. Оценка параметров линейной части нелинейного динамического объекта.

2.3. Анализ возможности поиска структуры нелинейного динамического объекта.

2.4. Методы поиска структур нелинейного динамического объекта.

2.4.1. Перебор возможных структур нелинейного динамического объекта.

2.4.2. Последовательное проявление нелинейностей в структуре нелинейного динамического объекта.

2.4.3. Поиск структуры путем последовательного проявления линейных элементов в областях характерных частот.

2.5. Выводы

3. РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ

ИМИТАЦИОННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА.

3.1. Аппаратная реализация автоматизированного рабочего места исследователя систем управления (АРМ ИСУ)

3.2. Обработка статических характеристик.

3.3. Снятие частотных характеристик.

3.4. Анализ частотных характеристик.

3.5. Общая методика поиска структуры нелинейного динамического объекта

3.6. Выводы.

ГЛАВА 4. ОПЫТНАЯ ПРОВЕРКА РАЗРАБОТАННОГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ В СОСТАВЕ АРМ ИСУ.

4.1. Снятие и анализ статической характеристики нелинейного динамического объекта.

4.2. Анализ частотной характеристики нелинейного динамического объекта.

4.2.1. Метод поиска структурной схемы нелинейного динамического объекта с использованием различных амплитуд входного тестового сигнала.

4.2.2. Метод поиска структурной схемы нелинейного динамического объекта с использованием различных частот входного тестового сигнала.

4.3. Выводы 128 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 129 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 130 ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика проведения имитационного эксперимента для определения структурной схемы нелинейного динамического объекта»

В настоящее время известно достаточно много методов, позволяющих эффективно управлять объектом, улучшать его структуру и добиваться наилучших показателей его качества. Тем не менее, прежде чем приступать к решению задачи оптимизации, необходимо четко знать математическое описание объекта, включающее, наряду с уравнениями динамики, его структурное представление. Структурная схема представляет интерес при анализе динамики объектов с использованием современных средств " вычислительной техники, а также для решения задач синтеза управляющих устройств. Существующие понятия структурной и параметрической идентификации в большинстве случаев не доводят решение задачи до построения структурных схем. В самом деле, для объектов, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами структурное представление объекта не вызывает затруднений и достаточно полно описывается в учебниках по теории автоматического управления.

Для нелинейных объектов, описываемых системами дифференциальных уравнений с частично перемножающимися переменными структурное представление объекта также не вызывает трудностей. К таким объектам относятся, например, управляемые двигатели постоянного тока с параллельным, последовательным или смешанным возбуждением. Объекты с параметрическими нелинейностями также несложно представлять структурно, если известно их математическое описание.

Однако наибольшую сложность вызывает получение математического описания для объекта, недостаточно изученного, и в этом случае на помощь приходят многочисленные методы идентификации.

Среди известных алгоритмов идентификации [1, 2] не существует универсальных, способных представить полную модель произвольного динамического объекта с достаточной точностью и степенью детализации.

Современные методы структурной и параметрической идентификации ориентированы, прежде всего, на работу во временной области для нахождения моделей линейных объектов и позволяют идентифицировать нелинейные объекты, представляемые не более чем с одной нелинейностью на входе или на выходе объекта. Как правило, при этом используется искусственная замена нелинейных элементов линеаризованными. Тем не менее, большинство объектов автоматического управления являются нелинейными и такая замена удается в редких случаях. Для этих объектов не выполняется принцип суперпозиции.

Природа нелинейностей может быть различной. Так, например, при описании гидравлических систем, как правило, используется уравнение Бернулли - нелинейное дифференциальное уравнение (функциональная нелинейность). Здесь обычно прибегают либо к линеаризации объекта в области рабочей точки, либо к разложению функции, описывающей связь между входом и выходом, по некоторым базисным функциям с неизвестными параметрами, которые необходимо определить в процессе идентификации. Для электромеханических систем характерны нелинейности типа "зона нечувствительности", "насыщение", "люфт", "упор", "сухое трение". Такие нелинейности принято называть "типовыми". Для таких объектов часто пытаются применять модели Винера — Гаммерштейна. Модель Гаммерштейна предполагает, что все статические нелинейности находятся перед линейной динамической частью объекта. Модель Винера предполагает, что все статические нелинейности находятся после линейной динамической части объекта. Следует заметить, что для реальных систем характерно чередование линейных и нелинейных звеньев, поэтому модели Гаммерштейна и Винера оказываются в значительной мере частными случаями. Расстановка линейных и нелинейных звеньев в структуре модели объекта представляет на данный момент серьезную проблему. Задача идентификации в данном случае сводится к определению параметров линейной части, выявлению всех видов нелинейностей и расстановке их в структуре модели объекта. Подобными структурами могут быть представлены отдельные части электронных схем, радиосистемы управления отдельными координатами автоматических подвижных объектов и т.д. Важными свойствами таких систем является то, что они позволяют проводить как' структурную, так и параметрическую идентификацию путем активного эксперимента, т.е. при подаче на вход тестового воздействия. Кроме того, возможно размыкание контура управления и определение сквозных статических характеристик "вход - выход". С одной стороны, это сужает круг рассматриваемых объектов, представляемых моделями с различными структурами , но с другой - позволяет разработать единую методику структурной и параметрической идентификации подобных объектов и систем.

Развитие вычислительной техники и, в первую очередь, ее быстродействие позволяет заново пересматривать многие подходы, связанные с идентификацией параметров и структур нелинейных динамических объектов и систем. Так, в 70-80 годы прошлого столетия Е. П. Попов и его ученики [3] активно рарабатывали метод анализа и синтеза нелинейных систем по ансамблю амплитудно-частотных характеристик динамического объекта. Однако техническая реализация этого подхода в те времена не позволяла получать достаточно быстро качественные результаты.

Организация поиска нужных вариантов решений, которая приводила к перебору большого числа возможных вариантов, вынуждала искать упрощения, частные методики поиска.

Низкая точность оценки фазочастотных характеристик, невозможность надежной синхронизации входного и выходного сигналов при их обработке, в основном ручная работа по перестройке параметров генераторов, ограниченный набор тестовых воздействий, ручная обработка результатов -все эти факторы не способствовали развитию подобных подходов.

Современная компьютерная техника и средства сопряжения с объектом позволяют использовать компьютер и как генератор, и как средство регистрации и обработки результатов.

Возвращаясь к работам Е.П. Попова, можно ставить вопрос о целесообразности снятия ансамбля амплитудно-частотных характеристик с объекта. Поиск адекватной структуры нелинейного объекта можно вести путем сравнения характеристик объекта (как статистических, так и динамических) с аналогичными характеристиками, получаемыми на предполагаемой модели объекта, которую необходимо подстраивать под характеристики объекта.

Представление объекта в этом случае в виде «черного ящика» с одним входом и выходом является достаточно распространенным и может быть отнесено к объектам с полностью неизвестной динамикой или к объектам с частично известными математическими описаниями.

Так, в связи с появлением частотных преобразователей (инверторов) появилась возможность принципиально нового управления скоростью как асинхронных, так и синхронных двигателей. Причем в инверторах могут быть запрограммированы специальные режимы для процессов разгона и торможения. Включение таких приводов в состав автоматических систем требует учета их динамики при анализе устойчивости и точности проектируемой системы. Традиционно такой анализ проводится в частотной области и на подобных объектах целесообразно иметь их общие (совместные) характеристики без разделения их на управляющую часть и двигатель.

Подобным же образом удобно представлять как единое целое отдельные сложные по структуре и функционированию электронные блоки, в частности запрограммированные контроллеры, или отдельные подсистемы, входящие в состав более сложных систем. Здесь имеет смысл пытаться описать их динамику как динамику нелинейного объекта с неизвестной структурой.

Например, современные чувствительные элементы, представляющие из себя нелинейные электромеханические системы, такие как акселерометры маятникового типа с электрической пружиной и с керамическим подвесом. Они оказывают влияние на динамику систем, в которых применяются. При этом динамические свойства акселерометра должны учитываться как свойства нелинейного объекта, имеющего один вход и один выход.

Обнадеживающие результаты в этом направлении представлены в работах [4], в которых прорабатывается методика представления нелинейного объекта в виде последовательного соединения линейных типовых динамических звеньев и статических нелинейных блоков.

Подобный подход является всего лишь иллюстрацией возможностей современной компьютерной техники. В самом деле, в [4] для уменьшения времени на обработку результатов при поиске адекватной структуры исследуемого объекта используется гармоническая линеаризация типовых статических нелинейностей, что вносит свои погрешности в результат. В то же время, если бы нелинейности воспроизводить в цифровом виде при имитационного моделировании и сравнивать результаты эксперимента на объекте и модели, то удастся избежать ошибок . аппроксимации нелинейностей.

Однако это существенно может увеличить загрузку вычислителя, так как каждую частотную характеристику при поиске структуры надо получать, имитируя эксперимент на предполагаемой модели объекта и потом сравнивать его с экспериментом на реальном объекте. Подобный подход представляется примитивным, однако он свободен от недостатков аппроксимации и является универсальным, не ограничивая представление видов нелинейностей в модели. Они могут быть и кусочно-линейными и заданными в виде кривых по точкам . В случае наличия в структуре объекта нелинейностей в обратных связях (типа «сухое трение») исследование можно проводить, анализируя проявление их на сквозных статистических характеристиках.

В данной работе будут рассматриваться объекты последовательной структуры, в которых могут чередоваться линейные динамические звенья и типовые статические нелинейности. Такое представление объекта может рассматриваться,как одно из возможных и в процессе исследований требует уточнения, если получаются существенные расхождения в результате экспериментов на объекте и модели. Исходными данными при поиске структуры нелинейного динамического объекта с одним входом и одним выходом при проведении активного эксперимента являются: сквозная статическая характеристика и описание линейной динамической части в виде линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Получение сквозной статистической характеристики не вызывает затруднений. Что касается получения математического описания линейной части объекта, то существует целый ряд различных методов идентификации [1,2,5-7], но в данной работе не обсуждается их достоинство и недостатки, а используется метод экспоненциальной модуляции как один из возможных [8]. Аналитических методов нахождения структуры объекта, представляемой в виде чередующих линейных динамических блоков и типовых статических нелинейностей в литературе не обнаружено. Единственный подход, обсуждаемый в [9], предлагает использовать эквивалентные комплексные коэффициенты передачи нелинейных элиментов по первой гармонике, получаемые в результате их гармонической линеаризации, для последующего перебора различных сочетаний линейных и нелинейных блоков и сравнения их частотных характеристик с экспериментально снятой с объекта.

Использование метода гармонической линеаризации позволяет проводить поиск структуры нелинейных объектов путем анализа сквозных частотных характеристик исследуемого объекта. Имеется ряд работ в этом направлении[4,9]. Наибольший интерес представляет [9], где анализируется опыт как в научных разработках, так и в учебном процессе по отработке методики структурной и параметрической идентификации сложных нелинейных динамических объектов реального времени с использованием автоматизированного рабочего места исследователя систем управления (АРМИСУ).

Эта методика отрабатывается для объектов, на которые можно подавать тестирующие сигналы и структура которых может быть представлена в виде последовательного соединения линейных и нелинейных блоков. К подобным объектам относятся, как отмечалась выше, электромеханические объекты, электронные схемы и т.д. Разработанная методика[9] состоит из трех этапов:

1. снятие и декомпозиция статической характеристики;

2. определение параметров линейной части;

3. расчет теоретических характеристик объекта для различных структур и сравнение их с экспериментально снятыми с объекта.

Обработка результатов эксперимента со снятыми частотными характеристиками предполагает подбор такой модели, когда расчетная амплитудно-частотная характеристика и фазочастотные характеристики модели по первой гармонике совпадают или дают наименьшее отклонение по сравнению с экспериментально снятыми частотными характеристиками объекта, построенными по оценкам параметров первой гармоники отклика. Для расчета частотных характеристик предполагаемой модели и сравнения их с аналогичными характеристиками, найденными при испытаниях объекта, используется метод гармонической линеаризации[5,10].

Указанная методика показала свою эффективность, однако она не свободна от целого ряда недостатков:

1. Так, у оператора отсутствует инструмент по обработке снятой на первом этапе сквозной статической характеристики. Сюда относится процесс сглаживания и фильтрации шумовой составляющей, отыскания характерных точек изломов характеристики для ее кусочно-линейной аппроксимации и организации процесса декомпозиции сквозной статической характеристики на ряд последовательно соединенных более простых нелинейностей. 2. Использование эквивалентных комплексных коэффициентов усиления (ЭККУ) нелинейностей, входящих в структуру идентифицируемого объекта, хотя и не требует значительных затрат машинного времени на расчет частотных характеристик по первой гармонике при их переборе во время поиска адекватной структуры, однако приводит неизбежно к расчетным ошибкам из-за использования именно ЭККУ нелинейных элементов по первой гармонике в зависимости от мест их расположения в структуре. Кроме этого, методика привязана только к гармонической форме входного воздействия и к типовым статическим характеристикам нелинейностей.

Следует отметить, что если отказаться от использования эквивалентных комплексных коэффициентов нелинейных элементов по первой гармонике в пользу имитационного эксперимента (то есть простого повторения эксперимента, проводимого на ЭВМ с использованием предполагаемой структуры) и далее сравнивать получаемые результаты с результатами эксперимента на реальном объекте, то вычислительные затраты при поиске структуры неизмеримо возрастают. Даже с учетом прогресса в производительности ЭВМ, это возрастание в обозримом будущем не позволяет использовать простой перебор при поиске структуры, а требует поиска методики, позволяющей снизить время, требуемого на поиск адекватной структуры.

В связи с этим для поиска адекватной структуры динамического объекта с несколькими нелинейностями требуется:

1. Разработка алгоритмов и программ по поиску структурных схем модели объекта с использованием ЭВМ (имитационного эксперимента), которые не накладывают ограничений на вид входного периодического тестового сигнала и не приводят к ошибкам из-за линеаризации, т.к. она не проводится.

2. Проведение оценки вычислительных затрат и оптимизации процесса поиска адекватной структуры.

3. Разработка рекомендаций оператору при поиске адекватной структуры на третьем этапе методом имитационного эксперимента по обоснованному выбору: производить ли один эксперимент на объекте и большое количество имитационных экспериментов при поиске адекватной структуры модели или уменьшить число имитационных экспериментов при одновременном увеличении числа экспериментов на самом объекте.

Разрабатываемое специализированное программное обеспечение призвано облегчить оператору решение задачи по отысканию адекватной структуры объекта за минимальное время и при минимальном числе дополнительных экспериментов на объекте.

Научная новизна работы.

1 .Предложено и обосновано использование имитационного эксперимента для поиска адекватной структуры модели динамического объекта с несколькими нелинейными элементами последовательно перемежающихся с линейными динамическими блоками.

2.Разработана методика проведения имитационного эксперимента при поиске адекватной структуры объекта, которая позволяет оценивать целесообразность проведения дополнительных экспериментов на объекте и минимизировать число экспериментов на модели.

3.Предложена оценка вычислительных затрат для проведения имитационных экспериментов при различных вариантах проведения активного эксперимента на идентифицируемом объекте.

4.Разработано алгоритмическое и программное обеспечение для проведения декомпозиции сквозной статической характеристики идентифицируемого объекта на последовательное соединение более простых нелинейных элементов с учетом некоммутативности перестановок нелинейных элементов между собой.

5.Исследована возможность получения частотных характеристик с использованием различных периодических тестовых сигналов.

Практическая значимость работы заключается в разработке специализированного программного обеспечения, позволяющего оператору рационально проводить имитационный эксперимент при поиске адекватной модели динамического объекта с несколькими нелинейностями в процессе поиска адекватной структурной схемы объекта с несколькими нелинейностями. В состав программного обеспечения входит программа сглаживания, аппроксимации и декомпозиции сквозной статической характеристики объекта, для представления ее в виде последовательного соединения типовых линейных динамических звеньев и статических нелинейных звеньев с фиксацией места каждого звена в структуре.

Апробация работы.

По результатам работы имеется 6 публикаций. В том числе одна в журнале, входящем в перечень ВАК. Результаты работы обсуждены на следующих конференциях и семинарах:

1. Международной научно-технической конференции «Информационные средства и технологии», 16-18 окт. 2001 г., Москва, МЭИ.

2. 7 международной научно-технической конференции студентов и аспирантов, 2001 г., Москва, МЭИ.

3. Международной научно-технической конференции «Информационные средства и технологии», 15-18 окт. 2002 г., Москва, МЭИ.

4. На 11 международном НТС «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации», Алушта, 2002

5. На 2 международной конференции «Идентификация систем и задачи управления», Москва, ИЛУ, 2003 г.

Структура работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Никишин, Александр Федорович

4.3. Выводы

1. Приведенные примеры демонстрируют работоспособность программного обеспечения.

2. При использовании ЭВМ типа Ретшт4Се1егоп, 2400 МГц, а также описанного в дальнейшем программного обеспечения., для структуры состоящий из 2 линейных и 2 нелинейных элементов время поиска составило:

2.1. При полном переборе и одном эксперименте на объекте 8,7 минут.

2.2. При последовательном определении места нелинейных блоков в структуре и наличии 2-х экспериментов 4,4 минут.

2.3. При последовательном определении места линейных блоков в структуре и наличии 2-х экспериментов 5,8 минут.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Проведен анализ методов построения структурных схем нелинейных динамических объектов последовательной структуры в условиях активного эксперимента.

2. Для динамических объектов последовательной структуры с несколькими нелинейностями на стадии поиска адекватной структуры предложено производить поиск адекватной структуры с использованием имитационного эксперимента. При этом снимаются ограничения на вид периодического тестового сигнала, повышается точность и отпадает необходимость в определении эквивалентных комплексных коэффициентов усиления нелинейных элементов при расчетах частотных характеристик, что, в свою очередь, снимает ограничения на форму представления (аппроксимации) экспериментально снятых статических характеристик объекта.

3. Для увеличения точности декомпозиции сквозной статической характеристики нелинейного динамического объекта разработано алгоритмическое и программное обеспечение, включающие сглаживание и оценки координат изломов.

4. Проведен анализ зависимостей необходимого числа имитационных экспериментов от числа и взаимного расположения линейных и нелинейных элементов в анализируемой структурной схеме, позволяющий сократить время поиска адекватной структуры, положенный в основу созданной методики поиска адекватной структуры.

5. Разработано программное обеспечение, позволяющее оператору целенаправленно производить дополнительные эксперименты на объекте с целью сокращения числа вариантов проведения имитационных экспериментов при поиске адекватной структуры.

6. Разработано специализированное программное обеспечение для проведения имитационных экспериментов и поиска адекватной структуры объектов последовательного вида.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Никишин, Александр Федорович, 2008 год

1. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователей. М.:Наука. 1991.432 с.

2. Штейнберг Ш.Н. Идентификация в системах управления. М.: Энергоатомиздат. 1987.

3. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. М. Наука, 1973.

4. Теория автоматического управления. Нелинейные системы управления при случайных воз действиях / Под ред. A.B. Нетушила. М.: Высшая школа, 1983.

5. G. Gouesbet, S. Meunier-Guttin-Cluzel, О. Menard (eds), "Chaos and Its Reconstructions".Nova Science Publishers, New York, 2003.

6. K.C. Гинсберг, Д.М. Басанов, «Идентификация и задачи управления», Пленарные доклады IV Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления», Москва, 25-28 января 2005, с. 56-63.

7. Анисимов Д.Н. Идентификация линейных динамических объектов методом экспоненциальной модуляции // Вестник МЭИ. 1994. № 2. С. 74-78.

8. Сборник лабораторных работ по курсу «Электромеханические системы» / Д.Н.Анисимов, В.И.Гришин, О.С.Колосов О.С., С.А. Хризолитова. М.: Изд-во МЭИ, 1977. 27 с.

9. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования. Книга 3. // под ред. Солодовникова В.В. с 330-363. Гольдфарб. Л.С. Метод исследования нелинейных систем регулирования, основанный на принципе гармонического баланса.М. Машиностроение, 1969.

10. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления М.: мир, 1975

11. Райбман H.C. Что такое идентификация М.: Наука, 1970

12. Цыпкин ЯЗ. Основы информационной теории идентификацию М.: Наука, 1984

13. Камискас В. Идентификация динамических систем по дискретным наблюдениям. Вильнюс: Мокслас, 1982

14. Бокс Д, Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление М.: Мир, 1974, вып 1.

15. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. М.: Наука, 1966.

16. Теория автоматического управления. Учеб. для вузов по спец. "Автоматика и телемеханика". В 2-х ч./ H.A. Бабаков, A.A. Воронов и др.: Под ред. A.A. Воронова. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1986. -367с., ил.

17. Егоров К.В. Основы теории автоматического регулирования, учебное пособие для вузов, изд. 2-е, перераб. и доп., М.: "Энергия", 1967. - 648с., ил.

18. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.- 423 с.

19. Воронов A.A. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985.- 352 с.

20. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. A.A. Красовского.- М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат-лит., 1987.- 712 с.

21. Тетельбаум И.М., Шлыков Ф.М. Аналоговые вычислительные машины на операционных усилителях. (Учебное пособие). М.(Министерство высшего исреднего профессионального образования СССР, Московский Энергетический институт)., 1977, 83с

22. Лазарев Ю.Ф. MathLAB 5.x. К.: Издательская группа BHV, 2000 - 384 с.

23. Haber R., Keviczky L. Identification of nonlinear dynamic systems // Preprints of the IV IF AC Symposium on Identification and System Parameter Estimation. M.: Institute of Control Sciences, 1976. Parti. P. 62-112.

24. Billings S.A., Fakhouri S.Y. Identification of systems containing linear dynamic and static nonlinear elements // Automatica. 1982. Vol. 18, No 1. P.15-26.

25. Haber R.,Unbehauen H.Structure identification of nonlinear dynamic systems -a survey on in put/output approaches //Automatica. 1990.Vol. 26,No4. P.651-667.

26. Буштрук А.Д. Структурная идентификация нелинейных динамических объектов // АиТ. 1989. № 10. С. 84-96.

27. Billings S.A., Fakhouri S.Y. Identification of systems containing linear dynamic and static nonlinear elements//Automatica. 1982.Vol. 18, No. l.P. 15-26.

28. Губарев. В. В., Третьяков В. А. Методы идентификации систем, содержащие нелинейности. Труды международной научно-технической конференции "Научные основы высоких технологий". В 6 томах, т. 2. -Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1997 г. - СС. 58-63.

29. Пупков К.А. Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.

30. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука. 1966. Т. 1. 632 с.

31. Туманов М.П. Теория импульсных, дискретных и нелинейных САУ: Учебное пособие. МГИЭМ. М., 2005, 63 с.

32. Бесекерский В.А. Цифровые автоматические системы. М.: Наука, 1976.

33. Пащенко Ф. Ф. Введение в состоятельные методы моделирования систем. В 2 частях. Часть 2. Идентификация нелинейных систем М.: Финансы и статистика. 2007

34. Техническое описание и инструкция по эксплуатации платы L154. ДЛИЖ.411618.003 ТО. Акционерное общество закрытого типа "L-card", 1990-1995 гг.

35. Анисимов Д.Н., Гришин В.И., Колосов О.С. Спиридонов Д.К. Автоматизация процесса идентификации нелинейных динамических объектов в реальном времени // Вестник МЭИ. 2000. № 1.С. 70-76.

36. Журнал UPGRADE новый уровень ваших вомпьютеров - ЗАО "СК Пресс", №1-12, 2003.

37. Фетисов В.Н. Некоторые задачи теории условной идентификации. Труды II Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO '03 Москва 29-31 января 2003, С. 614-629.

38. Анисимов Д.Н, Колосов О.С., Никишин А.Ф., Спиридонов Д.К. Структурная и параметрическая идентификация динамических объектов с несколькими нелинейностями Доклады 2 международной конференции «Идентификация систем и задачи управления». Изд-во ИЛУ, 2003.

39. Никишин А.Ф. Структурная идентификация нелинейных динамических объектов и систем с использованием вычислительного эксперимента. Вестник МЭИ, №4-2007, с 99-104, М.: "Издательский дом МЭИ", 2007 г.

40. Боровиков В.П, Боровиков И.П, STATISTICA статистический анализ и обработка данных в среде WINDOWS,M.: Информационно-издательский дом "Филинъ", 1998, С 431-491.

41. D.A. Smimov, V.S. Vlaskin, V.I. Ponomarenko, "Estimation of parameters in one-dimensional maps from noisy chaotic time series", Phys. Lett. A, 2005, v. 336, p. 448-458.

42. U. Parlitz, "Estimating model parameters from time series by autosynchronization", Phys. Rev. Lett., 1996, v. 76, p. 1232-1235.

43. M.J. Biinner, M. Popp, Th. Meyer, A. Kittel, U. Rau, J. Parisi, "Recovery of scalar time-delay systems from time series", Phys. Lett. A, 1996, v. 211, p. 345-349

44. M.J. Biinner, M. Popp, Th. Meyer, A. Kittel, J. Parisi, "Tool to recover scalar time-delay systems from experimental time series", Phys. Rev. E, 1996, v. 54,p. 3082-3085.

45. M.J. Bunner, Th. Meyer, A. Kittel, J. Parisi, "Recovery of the time-evolution equation of time-delay systems from time series", Phys. Rev. E, 1997, v. 56,p. 5083-5089.

46. R. Hegger, M.J. Bunner, H. Kantz, A. Giaquinta, "Identifying and modelling delay feedback systems", Phys. Rev. Lett., 1998, v. 81, p. 558-561.

47. M J. Bunner, M. Ciofini, A. Giaquinta, R. Hegger, H. Kantz, R. Meucci, A.

48. Politi, "Reconstruction of systems with delayed feedback: (I) Theory", Eur. Phys. J. D, 2000, v. 10, p. 165-176.

49. H.U. Voss, J. Kurths, "Reconstruction of non-linear time delay models from data by the use of optimal transformations", Phys. Lett. A, 1997, v. 234, p. 336-344.

50. H.U. Voss, J. Kurths, "Reconstruction of nonlinear time delay models from optical data", Chaos, Solitons & Fractals, 1999, v. 10, p. 805-809.

51. W. Horbelt, J. Thinner, H.U. Voss, "Parameter estimation in nonlinear delayed feedback systems from noisy data", Phys. Lett. A, 2002, v. 299, p. 513-521.

52. B.P. Bezruchko, A.S. Karavaev, V.I. Ponomarenko, M.D. Prokhorov, "Reconstruction of time-delay systems from chaotic time series", Phys. Rev. E, 2001, v. 64, 056216.

53. Колосов О.С., Никишин А.Ф. Компьютерная обработка экспериментальных зависимостей. Тезисы докл. 7-ой МНТК студентов и аспирантов, в 3-х т.т., т.1. М.: Изд-во МЭИ, 2001 г. С 115. 2 с.

54. Колосов О.С., Никишин А.Ф. Поиск адекватной структуры нелинейного динамического объекта при идентификации. Докл. междун. конф. « Информационные средства и технологии» 15-18 окт. 2002 г., в 3-х т.т. Т.2 — М.: Янус-К, 2002 г. С 134 -137.

55. Марчук Г.И. методы вычислительной математики. М. Наука, 1977.