Методика эволюционного выявления преобразований симметрий в многомерных числовых последовательностях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат технических наук Козлов, Олег Владимирович

• Козлов, Олег Владимирович
• кандидат технических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат технических наук Козлов, Олег Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ.

1.1. Анализ развития нелинейной динамики.

1.2. Аффинные динамический модели нелинейных процессов.

1.5. Качественное исследование динамических систем.

1.4. Реконструкция аттракторов систем, допускающих группы симметрии.

1.5. Геометрический метод моделирования нелинейных систем по экспериментальным данным.

ГЛАВА 2. ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЯВЛЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ СИММЕТРИИ В МНОГОМЕРНЫХ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ.

2.1. задача выявления преобразований симметрии в многомерных числовых последовательностях.

2.2. доказательство np-полноты задачи выявления преобразований симметрии

2.3. Задача нормализации фрагмента многомерной последовательности.

2.3.1. «Неокогнитрон» К. Фукуишмы.

2.3.2. Метод нормализации с помощью ДПФ.

2.4. задача подбора лучшего решения.

2.4.1. Алгоритм имитации отжига.

2.4.2. Кластерный анализ.

2.4.3. Генетические алгоритмы.

2.5. Методика выделения симметричных фрагментов.

ГЛАВА 3. МЕТОДИКА - ПРЕДОБРАБОТКА ДАННЫХ.

3.1. Получение исходных данных.

3.2. Маркировка.

3.3. Извлечение фрагментов.

3.4. Нормализация.

3.5. Оценка нарушения симметрии.

Выводы.

ГЛАВА 4. МЕТОДИКА - ГЕНЕТИЧЕСКИЙ ПОДБОР РЕШЕНИЙ.

4.1. Генерация случайного решения задачи (хромосомы).

4.2. Скрещивание решений (кроссинговер).

4.3. Случайные изменения при скрещивании (мутации).

4.4. Критерии оценкци решений.

4.5. Итеративная процедура генетического отбора решений.

4.7. Применение методики.

4.7.1. Тестовая синусоидальная функция.

4.7.2. Система Ресслера с коэффициентами а=0,2 Ь=0,2 и с=2,6.

4.7.3. Данные статистики нагрузки веб-сервера.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика эволюционного выявления преобразований симметрий в многомерных числовых последовательностях»

Актуальность темы.

В настоящее время существует большое количество работ в области исследования аттракторов динамических систем. Решению задачи построения дифференциальных уравнений по экспериментальным данным посвящены работы: Р. Брауна [66], В. С. Анищенко [6], О. JT. Аносова [9], Т. Е. Вадивасовой [7], А. Н. Павлова [8], Н. Б. Янсона [53] и Т. Сойера [94], Е. В. Никульчева [51] и др. Однако, в работах, основанных на геометрическом анализе фазовых траекторий, не предложены методы выявления схожих и симметричных участков. Разработка автоматического поиска преобразований симметрий делает указанные методы конструктивными для моделирования систем различной природы. Вместе с тем, рассмотрение отдельных участков многомерных числовых последовательностей с целью выявления преобразований симметрий является NP-полной задачей.

Одним из современных бионических принципов решения NP-полных задач является применение генетических алгоритмов (ГА) — адаптивных методов поиска, разновидности эволюционных вычислений, основанной на генетических процессах биологических организмов. Основные принципы ГА были сформулированы Д. X. Холландом [80], и описаны в работах: Д. И. Голдберга [77], В. В. Емельянова [31], JI. А. Гладкова [27], В. В. Курейчика [41], В. М. Курейчика [42] и др. Хотя модель эволюционного развития, применяемая в ГА, сильно упрощена, тем не менее, ГА являются мощным средством и могут применяться для широкого класса прикладных задач, включая те, которые трудно решить другими методами, особенно в области NP-полных задач оптимизации.

Всё вышесказанное делает разработку методики выявления симметрий в многомерных числовых последовательностях на основе использования эволюционных вычислений актуальной задачей.

Решение этой задачи позволит применить методику для других областей науки: для определения фрактальных структур в минералогии, исследования хаотических процессов при цифровой обработке сигналов, оценки симметрических явлений при исследовании медико-биологических систем, а также выявления преобразований симметрий в процессах различной физической природы.

Цель.

Разработка методики, направленной на выявление преобразований симметрий (поворот, сдвиг, растяжение/сжатие) и их числовых показателей в многомерных числовых последовательностях в условиях слабого нарушения симметрии.

Основные задачи исследования:

1. Обзор методов реконструкции аттракторов и динамических моделей по временным рядам.

2. Формализация задачи выявления симметрических закономерностей в многомерных числовых последовательностях.

3. Обоснованный выбор геометрических методов предобработки и генетических алгоритмов для решения сформулированной задачи.

4. Разработка методики, позволяющей в автоматическом режиме выявить симметрии поворота, сдвига и растяжения/сжатия (масштабирования) в многомерных числовых последовательностях, получить числовые показатели преобразований, а также оценить степень нарушения симметрии.

5. Разработка специфических модификаций генетического алгоритма для нахождения решения задачи.

6. Разработка алгоритмического обеспечения для выявления преобразований симметрий и его программная реализация.

7. Анализ результатов по автоматическому выявлению симметрий поворота, сдвига и растяжения/сжатия в многомерных числовых последовательностях.

Объект исследования.

Объектом исследования являются многомерные числовые последовательности, полученные как результат восстановления я-мерного аттрактора по экспериментальным данным.

Методы исследования.

Методами исследования являются геометрические методы анализа числовых последовательностей и поиск решений оптимизационных задач с помощью генетических алгоритмов.

Научная новизна исследования:

1. Разработана методика выявления преобразований симметрий в многомерных числовых последовательностях, основанная на научно обоснованном применении генетических алгоритмов.

2. Для контура, полученного путем соединения точек исходной многомерной числовой последовательности, разработана процедура его приведения в нормированную систему координат, инвариантную относительно преобразований сдвига, поворота, растяжения/сжатия.

3. Разработан генетический алгоритм поиска разбиения контура на множество непересекающихся фрагментов при условии максимизации их длины и минимизации нарушения симметрии.

Практическая ценность.

Результаты диссертации использованы при выполнении НИР по гранту РФФИ, проект № 08-07-00433а «Построение динамических моделей управления распределением загрузки каналов связи в вычислительных сетях».

Разработано программное обеспечение «Методика выявления симметрий трёхмерных контуров», на которое получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ Роспатента, № 2008615062.

Реализация результатов работы.

Использованы для построения динамических моделей загрузки каналов связи в вычислительных сетях в ЗАО «Московский Центр Деловой Информации "БИНЕК"».

Апробация результатов работы.

Результаты работы докладывались и обсуждались на 4-х научных конференциях и семинарах:

1. Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (Санкт-Петербург, СПбГУ, 2007).

2. Семинаре молодых ученых «Задачи системного анализа, управления и обработки информации» (Москва, МГУПИ, 2006),

3. Научно-технической конференции молодых ученых МГУП (Москва, МГУП, 2008);

4. Научно-методическом семинаре кафедры прикладной математики и моделирования систем Московского государственного университета печати.

Результаты проведенных исследований подробно изложены в последующих четырёх главах.

В первой главе проводится обзор методов нелинейной динамики, включая методы реконструкции систем по экспериментальным данным. Рассмотрен алгоритм глобальной реконструкции уравнений динамической системы по ее одномерной реализации [74]. Проведен анализ геометрического метода моделирования нелинейных систем, допускающих группы симметрий, по экспериментальным данным [51], позволяющий на основании временного ряда идентифицировать параметры модели в форме Шильникова

Овсянникова. Сделан вывод, что в рассмотренном методе отсутствуют конструктивные предложения по поиску симметрий фазовых траекторий, что определяет необходимость разработки автоматической процедуры выявления преобразований симметрий.

Во второй главе сформулирована задача выявления преобразований симметрий (поворот, сдвиг, масштабирование) многомерной числовой последовательности, полученной в результате восстановления «-мерного аттрактора по экспериментальным данным, как задача выделения симметричных фрагментов. Доказана NP-полнота поставленной задачи путём сведения её к задаче о поиске клики (clique) графа, являющейся NP-полной. Рассмотрены известные алгоритмы решения поставленной задачи предобработки, а именно: «Неокогнитрон» К. Фукушимы [76], его модификации и метод предобработки двухмерных контуров с помощью дискретного преобразования Фурье, предложенный С. Осовским [52]. На основании проведенного анализа сделан вывод о необходимости разработки нового алгоритма получения дескрипторов фрагментов с учётом специфики поставленной задачи. Рассмотрены наиболее подходящие к рассматриваемому классу задач многокритериальной оптимизации алгоритмы, а именно: алгоритмы на основе моделирования отжига, методы кластеризации и генетические алгоритмы. На основании проведённого анализа в качестве метода решения обоснованно выбраны генетические алгоритмы.

Во третьей главе описывается первая часть методики, относящаяся к предобработке данных. Описан механизм выделения фрагментов исходного n-мерного контура, полученого путём восстановления аттрактора, заключающийся в определении на нём специальных точек - маркеров. Предложен механизм нормализации, целью которого является преобразование каждого выделенного фрагмента в дескриптор - образ, инвариантный относительно переноса, поворота и масштабирования исходного фрагмента, а также получение численных показателей этого преобразования. Приводится пошаговое описание алгоритма нормализации для общего случая фрагмента n-мерного контура. Предлагается механизм численной оценки нарушения симметрии двух произвольных фрагментов FA и Fb, основанный на свойствах преобразования Фурье.

В четвёртой главе приводится описание второго этапа методики выделения в исходной n-мерной числовой последовательности симметричных, заключающегося в разработке механизмов эволюционного выбора решений. Предлагается модификация алгоритма генетического поиска учитывающая специфику поставленной задачи. Приводится пошаговое описание алгоритма случайной генерации решения, предлагается механизм скрещивания решений позволяющих получать из двух родительских решений два валидных дочерних решения, предлагается механизм случайных модификаций при скрещивании решений (мутаций), не нарушающий валидность генерируемых дочерних решений. Проводится обзор и обосновывается выбор механизмов выбора решений для скрещивания и их отбора в следующее поколение. Описывается итеративная процедура генетического отобора.

В заключении приводятся основные выводы и результаты работы.

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Козлов, Олег Владимирович

Выводы

Анализ результатов применения показал, что разработанная методика позволяет автоматически выявлять преобразования симметрий в произвольных числовых последовательностях и оценивать степень нарушения симметрии. В задачах, где необходимо выяснить подтверждение допущения системой группы симметрий требуется дополнительный анализ результатов — введение порогов степени нарушения симметрии и т.д.

Наиболее важные параметры процедуры выявления симметрий, это распределение величины Д в оценке схожести фрагментов (3.6) и ограничение длины рассматриваемых фрагментов исходной последовательности.

Область эффективного применения разработанной методики составляют фазовые портреты динамических систем, допускающих группы симметрий. Результаты могут быть использованы для выявления преобразований сдвига, поворота и масштабирования в процессах различной физической природы.

Заключение

Проведенное диссертационное исследование позволило получить следующие результаты:

1. Проведён обзор методов реконструкции аттракторов и динамических моделей по временным рядам.

2. Формализована задача выявления симметрических закономерностей в многомерных числовых последовательностях, доказана её NP-полнота.

3. Обоснован выбор геометрических методов предобработки и генетических алгоритмов для решения сформулированной задачи.

4. Разработана методика выявления преобразований симметрий в многомерных числовых последовательностях, позволяющая получить числовые показатели преобразований, а также оценить степень нарушения симметрии.

5. Для контура, полученного путем соединения точек исходной многомерной числовой последовательности, разработана процедура приведения в нормированную систему координат, инвариантную относительно преобразований сдвига, поворота, растяжения/сжатия.

6. Разработан генетический алгоритм поиска разбиения контура на множество непересекающихся фрагментов при условии максимизации их длины и минимизации нарушения симметрий.

7. Разработано и программно реализовано алгоритмическое обеспечение методики выявления преобразований симметрий. Получено свидетельство Роспатента о регистрации программы.

8. Результаты диссертации использованы при выполнении НИР по гранту РФФИ, проект № 08-07-00433а и для построения динамических моделей загрузки каналов связи в вычислительных сетях в ЗАО «Московский Центр Деловой Информации "БИНЕК"».

9. Проведен анализ результатов выявления преобразований симметрий в экспериментальных и модельных данных.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Козлов, Олег Владимирович, 2008 год

1. Аграчеев А. А., Сачков Ю. JI. Геометрическая теория управления.— М.: Физматлит, 2005.

2. Андронов А. А. Предельные циклы Пуанкаре и теория автоколебаний // Собрание трудов А. А. Андронова.— М.: Изд-во АН СССР, 1956.

3. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка.— М.: Наука, 1966.

4. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости.— М: Наука, 1967.

5. Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой: лекции соросовского профессора: учеб. пособие.— Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2000.

6. Анищенко В. С., Астахов В. В., Вадивасова Т. Е. и др. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / Под ред. В. С. Анищенко.— М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

7. Анищенко В. С., Вадивасова Т. Е., Постнов Д. Э., Сафонова М. А. Внешняя и взаимная синхронизация хаоса // Радиотехника и электроника.— 1991.— Т. 36.— С. 338.

8. Анищенко В. С., Павлов А.Н., Янсон Н.Б. Реконструкция динамических систем в приложении к защите информации // ЖТФ.— 1998.— Т. 68.— № 12.

9. Аносов Д. В., Бронштейн И. У., Арансон С. X., Гринес В. 3. Гладкие динамические системы // Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фунд. напр. 1: Динамические системы — 1. М.: ВИНИТИ, 1985. С. 151242.

10. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.З.— М.: ВНИТИ, 1985.

11. Арнольд В. И. Доказательство теоремы Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // УМН.— 1963.— Т. 18.— Вып. 5 (113).— С. 130.

12. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике // УМН.— 1963.— Т. 18.— Вып. 6(114).—С. 81-192.

13. Арнольд В. И. Математические методы классической механики.— М: Наука, 1989.

14. Ассарин Е. А., Козякин В. С., Красносельский М. А., Кузнецов Н. А. Анализ устойчивости рассинхронизированных дискретных систем.— М.: Наука, 1992.

15. Астахов В. В., Сильченко А. Н., Стрелкова Г. И., Шабунин А. В., Анищенко В. С. Управление и синхронизация хаоса в системе связанных генераторов // Радиотехника и электроника.— 1996.— Т. 41.— С. 1323.

16. Афраймович В. С. Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов // В сб. Нелинейные волны / Под ред. А. В. Гапонова-Грехова и М. И. Рабиновича.— М.: Наука, 1987.— С. 189-213.

17. Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников JI. П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца // ДАН СССР.— 1977.— Т. 234.— № 2.— С. 336-339.

18. Афраймович В. С., Гаврилов Н. К., Лукьянов В. И., Шильников Л. П. Основные бифуркации динамических систем.— Горький: Изд-во ГГУ (ННГУ), 1985.

19. Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос.— М.: Наука, 1992.

20. Береснев В. JL, Гимади Э. X., Дементьев В. Т. Экстремальные задачи стандартизации. Новосибирск: Наука, 1978.

21. Берже П., И. Поио, Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности: пер. с франц.— Череповец: Меркурий-ПРЕСС, 1998.

22. Беркс У. Пространство — время, геометрия, космология.— М.: Мир. 1985.

23. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы.— М.—Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. (переизд. 1941).

24. Бланк М. JI. Устойчивость и локализация в хаотической динамике.— М.: МЦНМО, 2001.

25. Бутковский А. Г. Фазовые портреты управляемых динамических систем.— М.: Наука. 1985.

26. Гарев К. Г. Приложения непрерывных групп симметрий к дифференциальным уравнениям // Соросовский образовательный журнал.— 1998.—№ 12.—С. 113-118.

27. Гладков JI. А., Курейчик В. В., Курейчик В. М. Генетические алгоритмы / Под ред. В.М. Курейчика. 2-е изд., испр. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 320 с.

28. Гукенхеймер Дж. Странный, странный аттрактор // Кн. : Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. Гл. 12.— М.: Мир, 1980.—С. 284-293.

29. Гэри В., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982.

30. Елкин В. И. Редукция нелинейных управляемых систем: дифференциально-геометрический подход.— М.: Наука, 1997.

31. Емельянов В.В. Теория и практика эволюционного моделирования / В.

32. B. Емельянов, В. В. Курейчик, В. М. Курейчик. — М. : ФИЗМАТЛИТ,2003. — 432 с.

33. Еремеев А.В. Разработка и анализ генетических и гибридных алгоритмов для решения задач дискретной оптимизации. Дисс. канд.физ.-мат.наук. Омск, 2000.

34. Жевакин С.А. Об отыскании предельных циклов в системах, близких к некоторым нелинейным // ПММ.— 1951.— Т. 15.— Вып. 2.— С. 237244.

35. Каток А. Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем.— М.: Факториал УРСС, 1999.

36. Колмогоров А. Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР.— 1954.— Т. 98.—1. C. 527-530.

37. Кондратьев Г. В. Геометрическая теория синтеза оптимальных стационарных гладких систем управления.— М.: Физматлит, 2003.

38. Костылев И. А., Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Параметры порядка в нейронной сети Хопфилда // Журнал вычисл. математики и матем. физ.— 1994.— Т. 34.— С. 1733-1740.

39. Краснощеков В. И. Геометрические методы исследования систем управления // Теория и компьютерные методы исследования стохастических систем / Пупков К. А. и др. Приложение 3.— М.: Физматлит, 2003.— С. 350-399.

40. Крищенко А. П. Исследования управляемости и множества достижимости нелинейных систем управления // Автоматика и телемеханика.— 1984.— № 6.— С. 30-36.

41. Кузнецов С. П. Динамический хаос (курс лекций). Серия: современная теория колебаний и волн.— М.: Наука, 2001.

42. Курейчик В.В., Сороколетов П.В., Хабарова И.В. Динамические генетические алгоритмы в системах поддержки, принятия решений. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2006.

43. Курейчик В.М. Генетические алгоритмы. Таганрог: изд-во ТРТУ, 1998. - 242 с.

44. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации. М.: МАИ,1998.

45. Лоренц Э. Н. Детерминированное непериодическое течение // В кн.: «Странные аттракторы».— М.: Мир. 1981.— С. 88-116.

46. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики.—М.: Едикториал УРСС, 2004.

47. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О некоторых подходах к проблеме управления диффузионным хаосом // Дифференциальные уравнения.—1999.— Т. 35.—№ 5.— С. 664-669.

48. Малинецкий Г. Г. Математические основы синергетики. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. Изд. 4-е.— М.: КомКнига, 2005.

49. Малинецкий Г. Г. Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики.— М.: Эдиториал УРСС. 2000.

50. Малинецкий Г. Г., Курдюмов С. П. Нелинейная динамика и проблемы прогноза //Доклады РАН.— 2001.— Т. 71.— № 3. с. 210-232

51. Музыкин С. Н., Родионова Ю. М. Моделирование систем.— М.: МГАПИ, 2004.

52. Никульчев Е.В. Геометрический подход к моделированию нелинейных систем по экспериментальным данным: Монография. — М.: МГУП, 2007.

53. Осовский С. Нейронные сети для обработки информации // М.: Финансы и статистика, 2002.

54. Павлов А. Н., Янсон Н. Б., Анищенко В. С. Реконструкция динамических систем // Радиотехника и электроника.— 1999.— Т. 44.— № 9.— С. 1075-1092.

55. Павловский Ю. Н., Яковенко Г. Н. Группы, допускаемые динамическими системами // Методы оптимизации и их приложения.— Новосибирск: Наука, 1982.— С.155-189.

56. Рейсинг Р, Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений.— М.: Наука, 1974.

57. Селезнев Е. П., Захаревич А. М. Динамика нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии // Письма в ЖТФ.— 2005.— Т. 31.— Вып. 17.—С. 13-18

58. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // Успехи мат. наук.— 1970.—Т. 25.—№ 1.—С. 113-185

59. Смейл С. Математические проблемы следующего столетия // Кн.: Современные проблемы хаоса и нелинейности.— Ижевск: Изд-во Института компьютерных исследований, 2002.— С. 280-303.

60. Уоссермен Ф. Нейрокомпьютерная техника. Теория и практика. -М: Мир, 1992. -240 с.

61. Хенон М. Двумерное отображение со странным аттрактором // В сб. «Странные аттракторы».— М.: Мир, 1981.— С. 152-163.

62. Хрящев С. М. Оценки времени управления в системах с хаотическим поведением. Часть 1,2// Автоматика и телемеханика.— 2004.— №10, 11.

63. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли.— Л.: ГИТТЛ, 1940.

64. Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамики.— М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

65. Шильников Л. П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Матем. сборник.— 1970.— Т. 81(123).—№ 1.— С. 92-103.

66. Яковенко Г. Н. Регулярные математические модели систем с управлением: инвариантность, симметрии // Автореф. доктора физ.-мат. наук: 05.13.18.— М.: ВЦ РАН, 1995.

67. Aggarwal С. С., Orlin J. В., Tai R. P. Optimized crossover for maximum independent set. Oper. Res. v45 (1997), pp 225-234.

68. Balas E., Niehaus W. Finding large cliques in arbitrary graphs by bipartite matching. Cliques, coloring, and satisfiability. DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comput. Sci. v26 (1996), pp 29-49.

69. Boese K. D., Kahng А. В., Muddu S. A new adaptive multi-start technique for combinatorial global optimizations. Oper. Res. Lett. vl6 (1994), N2, pp 101-114.

70. Brawn R., Rulkov N. F., Tracy E. R. Modelling and synchronizing chaotic systems from time-series data // Pthys. Rev. E.— 1994.— V. 49.— P. 3784.

71. Breeden J. L., Hubler A. // Phys. Rev. A.— 1990.— V. 42.— N. 10.— P. 5817-5826.

72. Bremermann H. J., Roghson J., Salaff S. Global properties of evolution processes. Natural automata and useful simulations. London: Macmillan. 1966. pp 3-42.

73. Chua L. O., Komyro M., Matsumoto T. The double scroll family // IEEE Trans. Circuits Syst., CAS-33. —1986.— P. 1072.

74. Chua's Circuit: a Paradigm for Chaos ed. R.N.Madand. // World Sci. Ser. on Nonlinear Sci. Series B. — 1993.—V. 1.

75. Cremers X., Hubler A. // Z. Naturforschung A.— 1987.— V. 42.— P. 797802.

76. Crutchfield J.P., McNamara B.S. // Complex Systems.— 1987.— V. 1.— P 417-452.

77. Fukushima K. Neocognitron: a self-organising neural network for mechanism of pattern recognition unaffected by shift in position. Biological Cybernetics 36,1980, pp. 193-202.

78. Goldberg D. E. Genetic algorithms in search, optimization, and machine learning. Reading, MA: Addison-Wesley. 1989.

79. Gouesbet G., Letellier С. II Phys. Rev. E.— 1994.— V. 49.— P. 4955^972.

80. Hermann M. Mesure de Lebesgue et nombre de rotation // Proc. Symp. Geomerty and Topology; Lecture notes in Math.— Springer-Verlag: NY, 1971.— V. 597.— P. 371-395.

81. Holland J. H. Adaptation in natural and artificial systems. Ann Arbor: University of Michigan Press. 1975.

82. King G. P., Steward I. Phase space reconstruction for symmetric dynamical systems // Physica D: Nonlinear Phenomena.— 1992.— V. 58.— P. 216-228.

83. Kocarev L., Shang A., Chua L. O. Transitions in dynamical regimes by driving: A unified method of control and synchronization of chaos // Int. J. Bif. Chaos.— 1993.— V. 3.— P. 479.

84. Lorenz E. N. Deterministic Nonperiodic Flow // J. Atmos. Sci.— 1963.— V. 20.—P. 130-141

85. Nienhuis В., A. Van Ooyent. Pattern recognition in the neocognitron is improved by neural adaptation. Biological Cybernetics 70, 1993, pp. 47-53.

86. Ott E, Grebogi C, Yorke J. Controlling chaos // Physical Review Letters.— 1990.—V. 64.—N. 11.—P. 1195-1199.

87. Packard, N. H., Crutchfield, J. P., Farmer, J. D., Shaw, R. S. Geometry from a time series // Phys. Rev. Lett.— 1980.— V. 45.— P. 712-716.

88. Pecora L. M., Caroll Т. I., Jonnson G. A, Mar D. J., Heagy J. F. Fundamentals of synchronization in chaotic systems. Concepts and applications // Caos.— 1997.— V. 7.— N. 4.— P. 520-543.

89. Pecora, L. M., Carroll T. L. Synchronization in chaotic systems // Phys. Rev. Lett. — 1990— V. 64.— P. 821-824.

90. Peng J. H., Ding E. J., Ding M., Yang W. Synchronizing hiperchaos with a scalar transmitted signal // Ph. Rev. Lett.—1996.—V. 76.— № 6.— P. 904907.

91. Rechenberg I. Evolutionsstrategie: Optimierung technischer Systeme nach Prinzipien der Biologischen Information, Freiburg: Fromman, 1973.

92. Rosenstein M. Т., Collins J. J., DeLucaC. J. Reconstruction expansion as a geometry-based framework for choosing proper delay times // Physica D.— 1994.— V. 73.—P. 82-98.

93. Rul'kov N. F., Volkovskii A. R., Rodriguez-Lozano A., Del Rio E., Velarde M. G. Mutual synchronization of chaotic self — oscillators with dissipative coupling // Int. J. Bif. Chaos.— 1992.— V. 2.— P. 669.

94. Rychlik M. Lorenz attractors through a Shilnikov-type bufurcation, Part 1. Ergodic theory dynamical systems— 1989.— V. 10.— P. 793-821.

95. SauerT. Reconstruction of dynamical systems from interspike intervals 11 Phys. Rev. Lett.— 1994.— V. 72.— P. 3811-3814.

96. Schwefel H. P. Numerical optimization of computer models. Chichester: Wiley, 1981.

97. Shunji Satoh, Hirotomo Aso, Shogj Miayake Evaluation of two neocognitron-type models for recognition of rotated patterns. Pr c. IWANN'2000, 2, 2000, pp. 501-513.

98. Shunji Satoh, Hirotomo Aso, Shogj Miayake,Jousuke Kuroiwa (1999) Pattern Recognition system with Top-Down Process of Mental Rotation. Pr c. IWANN'99, 1, 1999, pp. 816-825.

99. Sparrow C. The Lorenz equations : Bifurcations, chaos and strange attractors.-N.-Y.: Springer Yerlag, 1982.

100. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence // Dynamical Syst. and Turbulence / Eds.: Rand D.A., Young L.-S.— Berlin: Springer, 1981.— P. 366-381.

101. Takens F. Detecting nonlinearities in stationary time series // Int. J. of Bifurcation and Chaos.— 1993.— Y. 3.— P. 241-256.

102. Tanaka K., Jkeda Т., Wang H. O. A Unified Approach to Controlling Chaos via an LMIBased Fuzzy Control Systems Design // IEEE Trans. Circuits Syst. J.—1998.—V.45.—N. 10.—P. 1021-1040.

103. Tryon R.C. Cluster Analysis. New York: McGraw-Hill. 1939

104. Williams R. F. The structure of the Lorenz attractors // Publ. Math. IHES.— 1979. v. 50.— P. 321-347

105. Wolf, A., J.B.Swift, L. Swinney, J.A. Vastano, Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D.— 1985.— V. 16.— P. 285-317.

106. Yorke J. A., Yorke E. D. Metastable chaos : the transition to sustained chaotic oscillations in a model of Lorenz // J. Stat. Phys.—1979.—V. 21.— P. 263267.

107. Козлов О. В. Методика эволюционного выявления симметрических закономерностей в многомерных числовых последовательностях //

108. Известия вузов. Проблемы полиграфии и издательского дела. — 2008. — №5. — С.29-41.

109. Козлов О. В. Выявление симметрий реконструированных фазовых траекторий динамических систем // Вестник МГУП. — 2008.— № 10.— С.46-56.

110. Козлов О. В. Методика определения симметрий фазовых траекторий динамических систем // Вестник МГУП. — 2007.— № 3.— С.40-46.

111. Козлов О. В. Выявление симметрий реконструированных фазовых траекторий динамических систем // Труды Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB». — СПб.: Изд-во С.ПбГУ, 2007. — С. 698-705.