Методика анализа упругой динамической устойчивости аэрокосмических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.03, кандидат технических наук Зуев, Алексей Арсентьевич

• Зуев, Алексей Арсентьевич
• кандидат технических наук
• 1994

Оглавление диссертации кандидат технических наук Зуев, Алексей Арсентьевич

ВВЕДЕНИЕ.&

О. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.&

0.1. Развитие концепции анализа продольной устойчивости.^

0.1.1. Основные подходы к анализу устойчивости .^

0.1.2. Развитие методов анализа ПОГО, связанное с развитием конструкции летательных аппаратов.

0.2. Методики представления элементов летательных аппаратов и синтеза рг^&йФЯой4 Ьхемьг.^ Т , ■

0.2.1. Корпус и топливные баки.¿

0.2.2. Топливоподающий тракт.Ы

0.2.3. Двигательная установка.

0.2.4. Методы анализа устойчивости и синтез расчетной схемы.

0.2.5. Способы подавления колебаний.¿

0.3. Экспериментальная отработка элементов контура неустойчивости и летательного аппарата в целом45 ТРЕБОВАНИЯ К МЕТОДАМ АНАЛИЗА ПОГО НА РАЗЛИЧНЫХ ЭТАПАХ РАЗРАБОТКИ АППАРАТА.

1.1. Постановка задачи анализа неустойчивоЬти типа ПОГО.1.А Г

1.2. Структура летательного аппарата в задаче ПОГО.Л^

1.3. Требования к методике на различных этапах разработки летательного аппарата.^

1.4. Формирование математической модели явления ПО

1.4.1. Общая схема анализа явления и выбор критерия устойчивости,

1.4.2. Требования к математическим моделям элементов на различных стадиях разработки аппарата.

1.5. Система координат и основные угловые соотношения.^

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕМЕНТОВ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА НА РАЗЛИЧНЫХ ЭТАПАХ ЕГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ.

2.1. Вводные замечания.

2.2. Математические модели элементов летательного аппарата на,этапе его изготовления и сборки (III уровень методики).72.

2.2.1. Используемые гипотезы и допущения.Г

2.2.2. Структура и математические модели элементов аппарата.

2.2.2.1. Корпус с топливными баками и полезной нагрузкой.

2.2.2.2. Топливоподающий тракт.

2.2.2.3. Двигательная установка.

2.3. Математические модели элементов аппарата на этапе конструкторской проработки (II уровень расчета). .ш

2.3.1. Основные упрощения, используемые на этапе. .Ю

2.3.2. Корпус с баками и полезной нагрузкой.{

2.3.3. Топливоподающий тракт. .МО

2.3.4. Двигатель. .Щ

2.4. Математические модели элементов аппарата на этапе выбора компоновочной схемы (I уровень методики). .мг

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ КОНСТРУКТИВНЫХ И ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕМЕНТОВ НА ДИНАМИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА НА РАЗЛИЧНЫХ ЭТАПАХ ЕГО ПРОЕК

ТИРОВАНИЯ.Кб

3.1. Основные требования к исходным данным и подготовка к расчету. ••.

3.2. Оценка на этапе выбора компоновочной схемы возможности возникновения динамической неустойчивости проектируемого аппарата (I уровень методики). .ИТ

3.2.1. Схема анализа неустойчивости.-Щ

3.2.2. Анализ результатов расчетов.

3.3. Анализ динамической устойчивости летательного аппарата на этапе конструктивной проработки (II уровень расчета). Выбор основных характеристик и способа подключения демпфирующего устройства.

3.3.1. Схема анализа.(

3.3.2. Особенности реализации методики на данном уровне.

3.3.3. Некоторые примеры расчетов.№

3.3.4. Оценка погрешности однотонового представления модели корпуса.

3.4. Анализ динамической устойчивости летательного -аппарата на этапе его изготовления и летных

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика анализа упругой динамической устойчивости аэрокосмических систем»

Одна из особенностей летательных аппаратов (ЛА) с большими массами топлива и жидкостным ракетным двигателем (ЖРД) состоит в высокой вероятности возникновения общеконструкционной динамической неустойчивости на активном участке полета . В литературе (см. , например, [1,2]) отмечен целый ряд случаев, когда при пусках таких аппаратов наблюдались нарастающие колебания конструкции корпуса, жидкости в баках и трубопроводах, тяги двигательной установки (ДУ), приводившие к разрушению аппарата или повреждению полезной нагрузки (ПН). Поскольку изначально неустойчивость, как правило, проявлялась на продольных модах корпуса, она получила название продольной, а в зарубежной литературе получил распространение термин РСЮО (ПОГО) по аналогии с принципом действия детских пружинных ходулек "Родо з-Ьл.ск"[3,4]. Здесь и далее оба термина: "продольная неустойчивость" и "ПОГО" будут использоваться в более широкой трактовке - и для пространственных форм неустойчивости.

Теоретически возможность возникновения ПОГ©-неустойчивости была предсказана еще до того, как с ней столкнулись при запуске и летной эксплуатации первых тяжелых ракет-носителей (РН) [5]. Тем не менее, первые практические попытки осмысления этой проблемы носили достаточно частный характер: неустойчивость рассматривалась как результат неудачного сочетания параметров аппарата. В соответствии с этим, способ лечения сводился постфактум к отысканию и устранению опасного контура неустойчивости. Лишь к середине 60-х годов созрело мнение, что данное явление присуще ЛА такого типа и его анализом необходимо заниматься с самых ранних этапов их разработки.

К настоящему времени в мире накоплен значительный опыт исследования ПОГО-неустойчивости. Особо необходимо отметить работы в этой области ученых бывшего СССР: Натанзона М.С., Колесникова К.С., Рабиновича Б.И., Шмакова В.П., Пилипенко В.В., Задонцева В.А., Калнина В.М., Науменковой Н.В., Ошеро-ва А.Э., Левченко Е.Л., Здановича Ю.К., американских и французских исследователей: Брауна Ф., Рубина Ш., Прагенау Г., Маккены К.; Роуза Р., Пинсона Л., Дордена Ж.-Ж., Ордонно Ж. и других. В работах этих авторов рассмотрен широкий спектр моделей различной степени идеализации явления, начиная с простейших, в которых ЛА представлен двумя-тремя степенями свободы (один тон корпуса и один-два тона топливоподающего тракта) и заканчивая сложными системами большого порядка. Были выявлены некоторые типичные механизмы возникновения неустойчивости и найдены эффективные методы ее устранения.

Современный этап развития аэрокосмической техники характеризуется заметным усложнением конструкции и ужесточением требований к ресурсу ЛА. Связано это с изменениями в структуре РН концептуального характера: использованием блоков многоразового применения и собственно многоразовых ЛА, а также более эффективных ДУ, как следствие тенденции к снижению эксплуатационных расходов и повышения надежности полетов. В сложившихся условиях возникает настоятельная необходимость совершенствования существующих подходов к проблеме ПОГО. Во-первых, большинство известных методик разработано для многоступенчатых аппаратов одноразового использования, для анализа которых, как правило, использовались сравнительно простые модели с небольшим числом степеней свободы, и допущения, положенные в их основу, представляются не всегда корректными применительно к современным аэрокосмическим системам (АКС). Во-вторых, в известных методиках не всегда достаточно подробно обсуждается постановочная часть задачи математических моделей элементов, особенностей синтеза динамической схемы явления и собственно анализа устойчивости), что затрудняет их применение при исследовании устойчивости ЛА с иной структурой и элементной базой, то есть с другими компоновкой, конфигурацией магистралей компонентов топлив^, новыми типами ДУ, модифицированной системой управления вектором тяги и т.д. В-третьих, в известных методиках недостаточно освещены вопросы методического отслеживания процесса разработки ЛА, что весьма важно во избежание появления необратимых или трудноустранимых конструктивных решений, негативных с точки зрения ПОГО.

С учетом высказанных замечаний можно сформулировать наиболее общие требования к методике анализа продольной устойчивости современных и перспективных АКС:

- достаточная общность исходных гипотез и допущений, позволяющая в рамках единого подхода работать с различными компоновочными схемами и элементной базой ЛА;

-.гибкость методики, позволяющая трансформировать динамическую схему аппарата в соответствии с изменениями в его конструкции в процессе проектирования, модернизации, разработки новых вариантов и т.д.;

- "ступенчатость" методики, то есть возможность на каждом этапе проектирования, изготовления и доводки ЛА обеспечить адекватность методов анализа объему и качеству информации о ЛА;

- достаточная точность и надежность исследований при выдаче заключения по продольной устойчивости изделия.

Для удовлетворения перечисленным требованиям, в настоящей работе рассмотрены некоторые методические вопросы анализа ПОГО.

В первой главе произведена постановка задачи и сформулированы требования к математическим моделям элементов и синтезу системы. •

В работе исследования ПОГО-неустойчивости производятся в рамках Ляпуновской концепции анализа динамической неустойчивости. Учет общих свойств колебательных механических систем позволил сузить постановку задачи анализа ПОГО и сформулировать ее как требование отсутствия собственных чисел системы в прямоугольной области в верхней полуплоскости характеристической переменной справа от мнимой оси.

Для решения задачи об асимптотической устойчивости в методике в основном использован модифицированный критерий Михайлова с обходом упомянутой области. Его достоинство заключено в возможности предельно формализовать подготовку данных для расчетов на компьютере, поскольку не требуется трансформации характеристической матрицы системы. Возможно также оперировать запасами устойчивости системы меняя положение левой границы контура обхода.

Выделены следующие 4 периода в процессе осуществления аэрокосмического проекта, характеризующихся определенным уровнем информации об АКС и ее элементах, задачами анализа и, как следствие, различными требованиями к точности используемых методов:

1. выбор компоновочной схемы;

2. этап конструкторской проработки;

3. этап изготовления и сборки;

4. этап летной эксплуатации.

В работе автор придерживается наиболее распространенного подхода и выделяет 3 "глобальных" подсистемы (подкон-струкции): корпус с топливными баками и полезной нагрузкой, топливоподающий тракт, и двигательную установку. Математическая модель подсистемы ассоциирована с матрицей преобразования столбца амплитуд ее колебаний в некоторых обобщенных координатах в столбец амплитуд проекций внешнего возмущения на эти координаты.

Отмечено, что погрешность модели подконструкции как системы с конечным числом степеней свободы, не содержащей в себе звенья с запаздыванием, наиболее значима в окрестностях ее нулей. Условие 1 корректности такой модели в задаче ПОГО определено в работе следующим образом: добавление к модели новых степеней свободы не должно вызывать противоречивых результатов расчета на устойчивость.

Если подконструкция - система с конечным числом степеней свободы и содержит в себе звенья с запаздыванием элементы ее передаточной матрицы предложено описывать как функции комплексного переменного, представленные суммой полюсов и существенно особой точкой на бесконечности.

Основное сформулированное требование к синтезу системы - обеспечить симметрию характеристической матрицы.

Во второй главе рассмотрены математические модели элементов аппарата в методиках различного уровня.

В модели корпуса для III уровня методики учтен эффект динамического истечения жидкости из бака. Внешняя обобщенная сила считается приложенной в точках крепления к корпусу конструкции трубопроводов, двигателей и в выходных отверстиях баков. Рассмотрена трехмерная модель корпуса. Главное отличие использованного автором подхода состоит в том, что он позволяет восстановить симметрию при формировании характеристической матрицы системы за счет учета влияния на корпус колебаний жидкости в трубопроводе и собственно самих колебаний конструкции трубопровода.

Математическая модель топливоподающего тракта (TT) составляется для магистралей всех компонентов топлива. Модель каждой магистрали условно разделена на две подмодели. Первая описывает движение жидкости относительно стенок трубопроводов и представлена набором идеализированных участков.

Выражения передаточных матриц участков получены в рамках обычного для задачи ПОГО подхода - линеаризацией дифференциальных уравнений динамики одномерной сжимаемой невязкой жидкости, причем диссипация считается сосредоточенной в нескольких элементах нулевой протяженности.

Вторая подмодель ТТ описывает переносное движение трубопровода вместе с жидкостью. Учет колебаний конструкции трубопровода не характерен для задачи ПОГО и введен в работе для уточнения модели и расширения списка возможных форм неустойчивости, например, типа колебаний отдельных участков трубопровода (недопустимых для многоразовых аппаратов). Система уравнений переносного движения ТТ записана с использованием нескольких главных координат, соответствующих первым собственным движениям конструкции трубопровода как свободной системы.

На основе рассмотрения ЖРД как колебательной механически закрепленной и гидродинамически свободной системы предложено описывать главные его передаточные функции (коэффициент усиления и входную проводимость) разложением по общим полюч сам с некоторым транспортным запаздыванием.

Модели элементов для II и I уровней методики получены последовательным упрощением моделей III уровня, причем на II уровне рассматривается плоская, а на I - одномерная модель явления.

Третья глава посвящена вопросам синтеза расчетной схемы, анализу устойчивости и иллюстрирована соответствующими расчетными графиками. В методике I уровня использовано Б-разбиение комплексной плоскости логарифмического декремента корпуса. Показано влияние основных конструктивных и динамических параметров ЛА на устойчивость. Начиная со II уровня в методике применен модифицированный критерий Михайлова. Проиллюстрирована гибкость методики II уровня, которая допускает оперативное изменение структуры TT без существенной перестройки методики. В работе также предложен простой критерий оценки однотонового представления корпуса в методиках I и II уровня. Показана критичность в этом плане характеристик демпфирования трубопровода.

Возможности III уровня методики продемонстрированы на примере обнаружения некоторых специфических механизмов неустойчивости: влияния на нее протока жидкости из бака как через демпфирование корпуса (демпфирование колебаний жидкости через воронкогасители), так и через влияние, которое трубопровод может оказать на корпус через сливное отверстие бака.

В предлагаемой диссертационной работе на защиту выносятся следующие новые вопросы.

1. Методика разбита на 3 уровня сложности. Каждый уровень методики в смысле решаемых задач, количества и качества информации о JIA привязан к определенному этапу его разработки, изготовления, испытаний и летной эксплуатации (таких этапов выделено 4 и методика III уровня сложности может использоваться на III и IV этапе).

2. Методика анализа устойчивости строится на основе модифицированного критерия Михайлова с обходом замкнутой прямоугольной области в плоскости характеристической переменной. Такой подход по мнению автора проясняет вопрос диагностики неустойчивости, позволяет исследовать запасы устойчивости по демпфированию в системе, а также допускает оперативное вмешательство как в структуру, так и в качество представления элементов JIA.

3. В отличие от известных методик, в которых по сути, как правило, ставится вопрос об устойчивости упругого корпуса (в присутствии топливоподающего тракта и двигательной установки) в малой частотной окрестности одной из его собственных парциальных частот, III уровень методики ориентирован на исследование устойчивости (то есть на выявление всевозможных механизмов неустойчивости) во всем частотном диапазоне ПОГО. Специальное внимание уделено также вопросам симметрии при формировании характеристической матрицы. Указанные цели достигаются следующими приемами: а) элементы летательного аппарата в схеме ПОГО представляются своими передаточными матрицами; б) вводится упрощенное описание явления пульсирующего истечения жидкости из баков; в) элементы передаточной матрицы ЖРД описываются как функции комплексного переменного, представленные суммой полюсов, попадающих в иследуемый частотный диапазон, и некоторым эквивалентным запаздыванием; г) для контроля точности описания корпуса предлагается использовать "расширяемую" в плане количества учитываемых полюсов (то есть удерживаемых степеней свободы) его модель.

4. Предложен простейший метод оценки погрешности однод тонорвого предтавления корпуса на ранних этапах проектирования и изготовления JIA.

Некоторые промежуточные результаты работы докладывались на двух всесоюзных межведомственных симпозиумах по колебаниям упругих конструкций с жидкостью с г.Новосибирске, семинаре в НИИ тепловых прооцессов (г.Москва) и на VI Всесоюзном межведомтвенном совещании "Кавитационные автоколебания и динамика гидравлических систем" в г.Днепропетровске. По результатам работы сделаны три публикации.

Автор выражает глубокую признательность д.т.н., проф. Ламперу P.E., оказавшему неоценимую научную и методическую помощь в работе над диссертацией.

0. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

В литературе описано несколько механизмов возникновения продольной неустойчивости или, как их часто называют, контуров неустойчивости. Наиболее известен контур неустойчивости "корпус - бак - трубопровод - двигатель - корпус" (см.,например, [1]). Суть этого механизма состоит в следующем. Случайные колебания корпуса ЛА вызывают колебания компонентов топлива в баках и трубопроводах, питающих двигатель. Колебания давления и расхода жидкости на входе в ЖРД приводят к колебаниям его тяги. При наличии определенных амплитудных и фазовых соотношений в передаточных функциях "давление на входе - тяга" и " расход на входе - тяга " или "расход на входе - давление на входе" (речь идет об отклонениях соответствующих параметров от их стационарных значений) двигатель может увеличивать амплитуду колебаний корпуса. Возникает неустойчивость.

В [2,6,7] описан механизм потери устойчивости ракетой-носителем (РН) "Атлас". Отличие его от первого механизма состоит в том, что неустойчивость была результатом взаимодействия корпуса с системой наддува бака окислителя.

Анализ продольных колебаний 2-ой ступени РН "Сатурн-5" [8,9] показал, что имеет место потеря устойчивости в контуре "днище бака окислителя - центральный двигатель".

Приведенные случаи не исчерпывают всех возможных механизмов неустойчивости. В частности, в [10] в качестве одного из "основных" механизмов называется контур "механический регулятор - двигатель". Имеется в виду, что один из регуляторов (например, расхода одного из компонентов топлива) изза неудачной его ориентации оказывается подвержен виброперегрузке ЛА и, в частности, самого ЖРД. При этом упомянутые передаточные функции последнего изменяются в неблагоприятную сторону, в результате чего возникает неустойчивость. По сообщениям специалистов, такой тип потери устойчивости имел место на одной из отечественных РН.

В [11] применительно к системе "Спейс Шаттл" анализировался механизм неустойчивости, в котором силовое воздействие жидкости в баках и трубопроводах на корпус ЛА реализуется не только через двигатель (пульсации тяги), но и через днище бака и узлы соединения трубопроводов с корпусом. Двигатель в этом контуре неустойчивости также является источником энергии колебаний, но не через передаточную функцию "давление на входе - тяга" (обычно называемую коэффициентом усиления двигателя ), а через граничное условие на нижнем по потоку конце трубопровода, то есть через связь пульсаций давления и расхода на входе в двигатель (его входную проводимость).

Приведенные примеры иллюстрируют тот факт, что источником энергии в явлении ПОГО является двигатель или системы, связанные с ним (например, система наддува баков). В цитируемой ниже литературе не встречаются ссылки или упоминания иных источников энергии. Крайне высокая энерговооруженность ЛА с ЖРД и относительно слабая задемпфированность конструкции корпуса и жидкости в баках и трубопроводах (их высокая добротность в терминах теории автоматического регулирования) являются причиной того, что продольная неустойчивость присуща этому типу ЛА.

С явлением ПОГО впервые столкнулись при создании жидкостных баллистических ракет дальнего действия и РН космических аппаратов (КА). В СССР эта проблема впервые возникла при разработке РН КА серии "Восток" [12]. В дальнейшем практически все ЛА такого типа требовали специальных мер по предотвращению неустойчивости. За рубежом ПОГО-неустойчивость имела место при запусках подавляющего большинства американских РН 1-го поколения: "Сержент", "Юпитер", "Дельта",

Тор-Аджена", "Атлас-Аджена", "Титан-2", "Титан-3", "Сатурн-5", а позднее - на европейских РН "Френч-Диамант", "Веста", 11 Европа-2" [10].

Пренебрежение явлением ПОГО в процессе проектирования ЛА ведет либо к отказу отдельных элементов или аппарата в целом, либо к существенному росту затрат на "лечение" готового изделия, либо к существенному снижению его технических характеристик. Так, при первых пусках комплекса "Сатурн-Ап-поллон" происходили отказы его элементов, причиной которых была продольная неустойчивость. Так ПОГО, по мнению специалистов , было причиной повреждения переходника лунного отсека при запуске КА "Апполлон-б" и самопроизвольного выключения центрального двигателя 2-ой ступени СГ-2 при запуске КА "Аполлон-13" [1]. В последнем случае лишь высокая надежность комплекса в целом позволила продолжить полет и избежать человеческих жертв. Сообщалось [10], что РН "Дельта" в течение более чем 10-ти лет с начала ее серийного производства требовала перед каждым пуском проведения специальных мероприятий по предотвращению неустойчивости. В [9] отмечалось, что комплекс работ по предотвращению ПОГО для РН "Сатурн-5" оказался самым дорогим в составе программы ее создания. Известен также случай, когда пренебрежение явлением ПОГО при проектировании РН привело к существенному росту веса ее конструкции и снижению тактико-технических характеристик после "лечения" неустойчивости на серийных образцах.

В настоящее время работы по обеспечению продольной устойчивости производятся, начиная с ранних этапов разработки ЛА, и до момента, выдачи заключения по готовому образцу, а, в ряде случаев, и в течение первого периода эксплуатации серийных изделий. В процессе работ осуществляется взаимодействие организаций и специалистов с целью унификации понимания и трактовки исходных данных, методических вопросов, результатов расчетной и экспериментальной отработки элементов и аппарата в целом. Необходимым условием является четкая организация и координация совместных действий фирм и специалистов.

В США вопросами ПОГО впервые всерьез занялись в ходе осуществления программы "Сатурн-Апполлон". Руководителем работ по РН "Сатурн-5" был Браун (Brown). Вместе с ним работали специалисты фирм "Boeing","Rocketdyne Division of North American Aviation" (Rocketdyne North American Rockwell Corp.), "Marchall Space Flight Center" и др. (см., например, [9]).

В рамках программы "Спейс Шаттл" был создан совет по. ПОГО из представителей NASA и подрядчиков. Ответственность несла фирма-генеральный подрядчик "Shuttle Interaction Contractor", а подрядчики по элементам комплекса (Shuttle Element Contractor) несли ответственность за свои модели [13, 11].

Во Франции после горького опыта с РН "Диамант" и "Европа" при участии ONERA (Национальное управление авиационных и космических исследований Франции) был создан межведомственный орган координации работ по созданию РН "Ариан". В него вошли специалисты SNIAS, SEP и других фирм [10,14].

Успешная эксплуатация американских РН "Сатурн-5", "Титан" последних моделей, комплекса "Спейс Шаттл", французских РН серии "Ариан", отечественных РН серии "Протон", "Энергия" и др. показывает плодотворность такого подхода.

0.1. Развитие концепции анализа продольной устойчивости

0.1.1. Основные подходы к анализу устойчивости

Анализ продольной неустойчивости, как правило, производится в линейной постановке. Уравнения динамики элементов системы линеаризуют в окрестности некоторых действующих значений параметров, причем используется гипотеза "замороженных" коэффициентов [15,1], то есть полагается, что основные параметры системы (коэффициенты, характеризующие динамику корпуса, действующие значения давлений, расходов и др.) меняются настолько медленно по сравнению с периодом колебаний, что их можно полагать постоянными для текущего анализируемого момента времени полета ЛА. В результате линеаризации получается система линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Обычным методом анализа устойчивости таких систем [16,17] является исследование корней характеристического уравнения, получаемого путем подстановки в систему периодического решения и приравниваем определителя характеристической матрицы системы нулю. Необходимо отметить, что эта же система уравнений используется при анализе переходных процессов в гидравлических магистралях и двигателе на режимах"запуска, отсечки и изменения тяги. В этом случае удобно бывает использовать аппарат преобразования Лапласа. Поэтому в задачах продольной устойчивости для определения независимой переменной часто используется термин "переменная Лапласа" [1,18] (а не "характеристический" показатель , как это следовало бы из приведенной выше схемы анализа устойчивости). Очевидно, что смысл обоих терминов в задаче ПОГО один и тот же.

Особенностью задачи ПОГО является то, что это, по сути дела, задача об устойчивости в ограниченном частотном диапазоне. Опасными, как правило, являются несколько (несколько десятков) первых тонов корпуса и топливоподающего тракта (ТТ). Опыт показывает, что частотный диапазон явления ограничен снизу несколькими герцами, а сверху, в зависимости от типа ЛА различные авторы называют цифру от 30-ти [10] до 100 гц [15]. Часто это позволяет представлять упомянутые и другие элементы аппарата системами с конечным числом степеней свободы в виде разложения по собственным движениям и ограничиваться рассмотрением первых нескольких тонов. Кроме того, становится возможным не учитывать в анализе устойчивости уравнения систем управления ЛА (например, системы управления тягой), имеющих собственные частоты менее одного герца и отделить вопросы устойчивости внутридвигательных процессов (за исключением ряда специальных случаев, о чем см. ниже) имеющих собственные частоты более 100 гц [19,15].

Часто для упрощения расчетов пренебрегают динамикой линии одного из компонентов. Основанием для этого служат следующие соображения. Во-первых, магистраль одного из компонентов существенно короче (чаще всего это линия горючего); при этом собственные чатоты колебания жидкости в ней оказываются выше диапазона частот явления ПОГО аппарата. На ЛА, использующих в качестве горючего водород, собственная частота его магистрали дополнительно повышается за счет существенно меньшей плотности жидкости. Во-вторых, в линии одного из компонентов (как правило, это опять же линия горючего) устанавливается регулятор тяги. Следствием первого обстоятельства являются весьма малые коэффициенты формы колебания жидкости в соответствующей магистрали в частотном диапазоне ПОГО. Второе обстоятельство имеет следствием существенно (примерно на порядок) меньшие коэффициенты влияния данной магистрали на корпус через тягу. Таким образом, обратная связь по одной из магистралей в контуре неустойчивости оказывается относительно малой и в предварительном анализе ее не учитывают. На поздних этапах отработки ЛА в расчет включаются линии обоих компонентов [1,2].

Сложная структура и множественность типов физических процессов, имеющих место в современных АКС, делает затруднительным непосредственное применение известных алгоритмов получения динамических соотношений (скажем, типа уравнений Лагранжа II рода) для всей системы. Традиционным выходом из такой ситуации считается условное расчленение конструкции на модули (блоки, посистемы, подконструкции), что позволяет локализовать некоторые типы физических явлений и исключить соответствующие им переменные в рамках системы уравнений отдельного модуля. Модульный подход упрощает осмысление результатов экспериментальной отработки аппарата и его элементов. Немаловажным аргументом в пользу расчленения системь1 является и сложившееся "разделение обязанностей" между фирмами, занятыми разработкой, испытаниями и производством отдельных частей ЛА. Обычно выделяют корпус, бак, расходные магистрали (соединяющие баки с ДУ) и двигатель [20,15]. Возможны также дальнейшее дробление подсистем, их комбинация, добавление новых и др. Дальнейшая процедура сводится к представлению их в виде систем с распределенными или сосредоточенными параметрами, выявлению и учету перекрестных связей, синтезу системы и анализу ее устойчивости одним из известных методов. При этом подсистемы могут быть интегрированы в систему либо всей системой уравнений, либо комбинацией их собственных движений (например, корпус часто вводят в расчет по отдельным тонам [14,15]), либо в виде краевого условия (входная проводимость двигателя является граничным условием для топливной магистрали).

Особенностью явления ПОГО является невозможность воспроизведения его на земле. Основной причиной этого является сложность моделирования входного импеданса (проводимости) двигателя. Несмотря на интенсивные исследования в данной области, кавитационная каверна, имеющая место на входе в турбонасос ЖРД, не поддается расчетному и модельному анализу и воспроизведению, что не позволяет построить подходящий модельный аналог ДУ. Окончательная проверка устойчивости аппарата возможна лишь в летных испытаниях, что предъявляет повышенные требования к точности и надежности предварительной расчетной и модельной отработки.

0.1.2. Развитие методов анализа ПОГО, связанное с развитием конструкции летательных аппаратов

Первой работой, посвященной анализу продольной неустойчивости JIA с ЖРД, большинство источников (например, [21, 1]) называют статью Роберта Вика (Wick R.S.) [5]. В ней рассмотрены области устойчивости ЖРД в присутствии корпуса. Автор производил анализ низкочастотной неустойчивости двигателя, представляя его системой с одной степенью свободы, а влияние корпуса и жидкости в питающих трубопроводах вводил в виде транспортного запаздывания. Работа была написана до запуска первых тяжелых американских и советских РН, на которых, собственно, и возникла проблема ПОГО, и имела, в связи с этим, теоретический характер. Дальнейшего развития в задаче ПОГО такой подход не получил.

Отработка тяжелых РН "Атлас" и "Титан" в США, "Восток" в СССР сделала проблему продольной неустойчивости практической задачей. Была сформирована концепция неустойчивости, заключающаяся во взаимодействии двух и более многостепенных осцилляторов: корпуса, ТТ, двигателя, системы наддува баков и др.; сформулированы основные требования и допущения при составлении математических моделей контура неустойчивости. Ниже приведены основные особенности JIA первого поколения (одноразовые РН конца 50-х - 60-х годов).

1. Сравнительно простой частотный спектр корпуса, представленный в частотном диапазоне ПОГО небольшим (порядка

-215-10) количеством разнесенных по частоте тонов. Это позволяло использовать математические модели корпуса, записанные в главных координатах с применением гипотезы модального демпфирования и вводить их в расчет по отдельности.

2. Сравнительно высокая парциальная частота первого тона корпуса (за исключением сверхтяжелых РН типа "Сатурн-5") - порядка З-Югц позволяла не вводить в контур неустойчивости систему управления тягой двигателя и другие контуры управления, имеющие, как правило, собственные частоты до 1гц.

3. Осевая симметрия корпуса делала возможным рассмотрение чисто продольных форм колебаний.

4. Включение в анализ сравнительно небольшого числа тонов корпуса наряду со сравнительно небольшой длиной и простой структурой ТТ, допускала упрощенное представление последнего в задаче ПОГО. Кроме того, было возможно учитывать силовое воздействие жидкости в ТТ на корпус только через двигатель.

С учетом упомянутых особенностей в конце 50-х - начале 60-х годов были разработаны практические методики анализа ПОГО. В 1956-59 гг. Натанзоном М.С. был проанализирован контур неустойчивости, включающий в себя упругий корпус, бак, трубопровод и двигатель. Необходимо отметить, что в печати изложение методики появилось позже (см. ссылки в [22,15]). Математическая модель корпуса записывалась в главных координатах и было показано, что в большинстве случаев тона корпуса можно вводить в расчет неустойчивости изолированно. Трубопровод рассматривался как система с одной и бесконечным числом степеней свободы. Низкие собственные парциальные частоты жидкости в трубопроводе были объяснены наличием на входе в двигатель кавитационной каверны, играющей роль сосредоточенной податливости. Основной причиной неустойчивости названо взаимодействие упругого корпуса с жидкостью в ТТ при сближении их собственных парциальных частот. В качестве средства подавления неустойчивости этим автором был предложен демпфер в виде дополнительной податливости в нижнем по потоку конце трубопровода (на входе в двигатель) для увода парциальной частоты ТТ от соответствующей частоты корпуса.

В качестве метода анализа устойчивости Натанзоном был разработан так называемый метод критического декремента [22]. Этот метод является упрощенной модификацией D-разбие-ния в комплексной плоскости безразмерного логарифмического декремента колебаний корпуса [23,24]. Упрощение основано на том, что потеря устойчивости имеет место в окрестности одной из собственных парциальных частот корпуса. Поэтому при расчете приближенного значения критического декремента, помещающего систему на границу устойчивости можно использовать величины собственных частот корпуса.

Близкий к описанному подход был разработан Маккеной (МсКеппа К.J.) и др. для анализа неустойчивости РН "Титан-2". Также была показана критичность сближения собственных парциальных тонов корпуса и ТТ [20]. В расчетах авторы статьи использовали математическую модель корпуса, записанную в главных координатах, уравнения трубопровода брались в виде разложения по собственным тонам трубы, открытой в акустическом смысле с одного конца (в примыкающей к [20] работе [25] рекомендуется дополнительно рассматривать тона трубы открытой с двух сторон). Элементы ЖРД были представлены как системы с одной степенью свободы. Параметры насоса и кавита-ционной каверны на входе в него определялись по стационарным расходной и напорной характеристикам. Анализ устойчивости производился с использованием критерия Найквиста.

Необходимо отметить работу американского ученого Рубина (Rubin S.) [26]. В ней автор, основываясь на критичности

-¿о фактора сближения собственных парциальных частот корпуса и топливоподающего тракта, построил методику, позволяющую в упрощенном варианте качественно оценить влияние на устойчивость параметров' корпуса, двигателя, трубопроводов [1].

При анализе неустойчивости, возникавшей на РН "Атлас", исследователи столкнулись с иным механизмом ПОГО. В работах Роуза и Харриса (Rose R.G., Harris R.) [6,7] рассмотрено явление неустойчивости, обусловленное взаимодействием корпуса и системы наддува баков. Авторами была построена линейная модель, включавшая в себя уравнения динамики конструкции корпуса, газовой подушки бака, регуляторов и трубопроводов системы наддува по линиям обоих компонентов топлива. Дополнительно проводился анализ на аналоговой ЭВМ с использованием нелинейной характеристики регулятора наддува.

Аналоговая модель использовалась также Радовчичем (Radovcich N.A.) при анализе неустойчивости РН "Тор-Аджена" [27]. Автор в ней тоже использовал нелинейные блоки, в данном случае, для описания кавитационной каверны на входе в насос ЖРД. Была получена хорошая сходимость экспериментальных и теоретических результатов, однако отмечается [1], что такой подход менее продуктивен, чем численный расчет, поскольку дает существенно меньше возможностей для варьирования параметрами системы и поиска их оптимального сочетания.

В процессе анализа устойчивости РН "Сатурн-5" [28,8, 29,30] исследователям пришлось столкнуться с продольно-поперечными (в плоскости тангажа) формами неустойчивости, обусловленными большой длиной РН и асимметрией расположения лунного экспедиционного отсека [31,9]. Анализ устойчивости I ступени производился с учетом двух продольных и пяти изгиб-ных тонов корпуса, одного тона магистрали горючего, двух тонов магистрали окислителя. Динамические характеристики двигателей представлялись аналитическими зависимостями, уточненныни по результатам проливочных и огневых испытаний.

Дальнейшее развитие методов расчета неустойчивости типа ПОГО было связано с разработкой и эксплуатацией новейших РН таких, как "Спейс Шаттл" и последние модификации РН "Титан" с в США, "Ариан-4-5" во Франции, "Энергия" в СССР. Анализ показал , что перечисленные аппараты обладают следующими основными особенностями.

1. Осевой несимметрией, что привело к необходимости рассматривать 2-х и 3-х мерные модели динамики корпуса.

2. Более широким и плотным спектром собственных парциальных частот корпуса (в [13] упоминается об учете более, чем 40-а тонов корпуса, при анализе устойчивости системы "Спейс Шаттл").

3. Более низкой частотой 1 тона (порядка нескольких герц), что вместе с несимметрией корпуса вызвало необходимость учета управления вектором тяги в задаче ПОГО.

4. Более длинными и сложными топливными магистралями.

5. Изменчивостью характеристик, связанной с широкими диапазонами изменения полезной нагрузки.

6. Сложной системой регулирования и широким диапазоном режимов работы ДУ.

В процессе разработки последних вариантов РН "Ариан" исследователи уделяли большое внимание соблюдению симметрии записи характеристической матрицы системы [32], что привело к необходимости более аккуратного представления динамической связи трубопроводов с корпусом, в том числе учета упруго-массовых свойств трубопроводов [33,14]. В то же время считалось приемлемым использование гипотезы модального демпфирования [32,14], что, по-видимому, связано с "традиционной" схемой РН.

В американских источниках, напротив, указывается на неприемлемость использования модального демпфирования приме

-zsнительно к системе "Спейс Шаттл" [13,11]. Усилия исследователей были направлены на учет новых механизмов взаимодействия двигателей с топливоподающим трактом и последнего с корпусом [11]. Указывалось также на необходимость исследования влияния разброса параметров РН на границы устойчивости ЛА [13].

Необходимо отметить существенное уменьшение в последнее время количества зарубежных публикаций, посвященных проблеме ПОГО в целом, поэтому настоящий раздел, возможно, не отражает последних тенденций развития проблемы. Подробные обзоры состояния зарубежных работ в этой области к началу-середине 70-х годов приведены в [1,2].

Обширная информация как о проблеме ПОГО в целом, так и о методах получения динамических характеристик элементов ЛА приведена в книгах Колесникова К.С. [19] и Натанзона М.С. [15]. Некоторые вопросы устойчивости ЛА с ЖРД, в частности, устойчивости ЛА с многодвигательной установкой, обсуждаются также в книге [33].

0.2. Методики представления элементов летательных аппаратов и синтеза асчетной схемы

0.2.1. Корпус и топливные баки

Упругий корпус с баками, содержащими жидкость, является важнейшим элементом контура ПОГО, поскольку наиболее опасные формы неустойчивости проявляются в окрестности его собственных парциальных частот.

Вопросам динамики корпуса с отсеками, содержащими жидкость, посвящена обширная литературы. Существенней вклад в эту область советских ученых: Нариманова Г.С. [34-36], Раппопорта И.М. [37], Рабиновича Б.И., Микишева Г.М.

-ZG

38,39,40], Болотина B.B. [41], Галкина М.С. [42], Шклярчука Ф.Н. [43], Шмакова В.П. [44], Лампера P.E. [45] и др. Из зарубежных источников необходимо отметить работы [46,28,47, 48,49,27].

При составлении математической модели корпуса с баками обычно пренебрегают массой магистралей компонентов и динамикой жидкости в трубопроводах и двигателе, хотя в литературе встречаются предложения учесть массо-жесткостные характеристики трубопроводов при составлении модели корпуса [14] и даже была предпринята попытка включить динамику жидкости в трубопроводах в схему расчета корпуса [49], однако, из-за сложности представления граничного условия на нижнем по потоку конце трубопровода она не получила дальнейшего развития. Используется гипотеза "замороженных" коэффициентов, то есть динамические характеристики корпуса расчитываются для характерных моментов времени в пренебрежении динамикой истечения жидкости из баков (уровни заполнения последних считаются постоянными для выбранных моментов времени) [15].

Динамику топливных баков часто исследуют отдельно, а затем используют в расчетной схеме корпуса в виде механического аналога, имитирующего несколько первых (по частоте) собственных движений бака. Поскольку податливость стенок бака сравнительно велика, жидкость в расчетах обычно полагают несжимаемой. При составлении расчетной схемы бака учитываются особенности его закрепления в составе ЛА. Пульсирующим расходом жидкости из бака и силовым воздействием трубопровода на днище обычно пренебрегают, хотя в последнее время появилось мнение о необходимости учета этих факторов [13,11]. Расчетная схема строится с использованием теории оболочек [21,19,39]. Начиная с 70-х годов при расчете баков интенсивно используются метод конечных элементов и его модификации [1].

-г I

Расчетная схема корпуса строится с использованием системы конечных элементов. Конечные элементы могут быть одномерными с одной степенью свободы ("упруго-массовые" модели) [20,2] или двух-трехмерными с несколькими степенями свободы (метод конечного элемента) [1,2,14]. Обычно полагается, что вариации внешних сил приложены только к двигателям, поскольку массы элементов трубопровода малы по сравнению с корпусом, соответственно малы и модули соответствующих сил, действующих со стороны трубопровода на корпус. Однако, во-первых, такой подход нарушает симметрию записи характеристической матрицы всей системы (корпус воздействует на трубопровод, а трубопровод на корпус - нет), во-вторых, например, в работе [11] упоминается, что модуль вариации силы, приложенной к днищу бака за счет пульсирующего расхода из него может превысить в ряде случаев модули соответствующей вариации, приложенной к двигателю (очевидно, это соответствует случаю близости частот трубопровода к одной из парциальных частот бака). В связи с этим в последнее время разрабатываются динамические схемы корпуса с баками, учитывающие многоточечное внешнее возбуждение [13].

Обычно для использования в расчетах на устойчивость математическая модель корпуса приводится к главным координатам и учитываются несколько (несколько десятков) первых тонов. Поскольку процедура поиска собственных движений требует консервативности системы, диссипация вводится затем в виде модального демпфирования. Как уже упоминалось выше, такой подход в последнее время подвергается критике [13,11].

0.2.2. Топливоподающий тракт

Основной задачей составления расчетной схемы ТТ является восстановление динамической взаимосвязи между баками,

-¿о участками корпуса, к которым крепится трубопровод, и двигателем. Необходимо отметить, что в ряде зарубежных источников (см., например, [20,32] под термином "двигатель" при анализе неустойчивости подразумевают только камеру сгорания, а турбонасосы, напорные трубопроводы и другие элементы ДУ относят к ТТ. Здесь мы будем придерживаться отечественной терминологии и под ТТ подразумевать совокупность трубопроводов, силь-фонов, местных сопротивлений и других устройств между выходом из бака и входом в преднасос ЖРД. Обычно при составлении расчетной схемы ТТ учитывают следующие особенности ТТ ЛА с ЖРД, позволяющие упростить расчетную схему: а) протяженность трубопроводов существенно больше их поперечных размеров, что позволяет рассматривать одномерное движение жидкости в трубе; б) масса конструкции ТТ, то есть масса трубопроводов, узлов крепления их к корпусу, сильфонов, клапанов и др. , существенно меньше массы корпуса с баками, что обычно позволяет пренебречь массой первых. Представляется, что применительно к многоразовым ЛА с ЖРД этот пункт должен быть пересмотрен, так как возможно выпадение из рассмотрения "местных" форм потери устойчивости, например, колебаний участка трубопровода; в) часто пренебрегают силовым воздействием жидкости на корпус в точках крепления к нему трубопровода, руководствуясь соображениями малости модуля этих сил по сравнению с силовым воздействием через двигатель (через пульсации тяги и давления на входе в ДУ). Несмотря на резонность такого подхода, он нарушает симметрию характеристи ческой матрицы всей системы и в зарубежной печати имеются призывы к более аккуратной записи этих соотношений [32,14]; г) при составлении расчетной схемы пренебрегают термодинамическими эффектами, руководствуясь тем, что тепловые потоки в элементах ТТ малы; в последнее время ряд специалистов оспаривают правомочность такого подхода для трактов жидкого водорода.

Выделяют несколько характерных типов участков трубопровода : цилиндрический участок, поворот, местное сопротивление, местную податливость, сильфон.

У истоков методов анализа динамики жидкости в цилиндрических трубопроводах лежит известная работа Жуковского Н. Е. [50]. В качестве источников, содержащих развернутую информацию и обширный перечень литературы по данному вопросу, можно привести книги Чарного И.А. [51], Колесникова К.С. [19,21], Гликмана Б.Ф. [52-56], работы Брауна Ф. [57], Зилке В. [58,59] и других.

Расходные трубопроводы, соединяющие баки с двигателем, имеют, как правило, большую протяженность, поэтому при составлении динамической схемы ТТ учитывают сжимаемость жидкости. Малая относительная толщина стенок расходных трубопроводов вызывает необходимость учета их податливости. Обычно это делается через поправку к скорости звука в жидкости.

Уравнения динамики жидкости в цилиндрических участках трубопровода обычно получают путем линеаризации дифференциальных уравнений одномерного движения сжимаемой жидкости в трубе [52,60]. В простейших случаях трубопровод представляют системой с одной степенью свободы [22,15]. Известен также подход к описанию трубопровода, системой конечных элементов (податливость-инерционность-сопротивление) [33]. Именно такой подход использовали американские специалисты при описании магистралей РН "Сатурн-5" [2]. Существует несколько подходов к описанию диссипации. В самом простейшем случае распределенным трением пренебрегают и сопротивление трубопровода вводят в сосредоточенные местные сопротивления. По некоторым оценкам [15] такой подход дает меньшие расчетные

-зозоны устойчивости по сравнению с моделями с распределенным трением, то есть расчет производится "с запасом". Простая модель трения, не зависящая от пульсирующей скорости жидкости изложена в [52], однако, такой подход подвергается критике [59]. Модель трения, зависящего от частоты, приведена в [58]. Наиболее достоверная модель трения получается в результате линеаризации одномерных уравнений Навье-Стокса [52, 61]. Различные модели трения изложены также в работах [57,62,63,64,65,66].

Ввиду малой относительной протяженности типы участков, кроме цилиндрического обычно представляют системами с сосредоточенными параметрами [6,15].

Уравнения сосредоточенного сопротивления получают путем линеаризации уравнения гидравлического сопротивления [52,55]. Для описания гидравлического сопротивления без протока жидкости, например, на входе в демпфер, используются более сложные зависимости [52,67]. Колена трубопровода, как правило, описываются как гидравлические сопротивления. При малой кривизне изгиба трубопровода и необходимости учета взаимодействия его с корпусом он описывается как шестнадца-типолюсник [68].

Сильфон в расчетной схеме анализа ПОГО выступает в качестве источника расхода, поскольку примыкающие к нему участки трубопровода колеблются с различными коэффициентами формы [55,15]. При необходимости может быть учтена и объемная податливость сильфона [19,69].

Известны методики учета разрыва сплошности в трубопроводах, например, в районе установки эжекторов, при вдуве газа в трубу [70] или при очень больших амплитудах колебаний [71,72].

При синтезе расчетной схемы трубопровода используют элементы теории четырехполюсников и теории графов [53-55,73,

74,75,149]. По форме уравнения динамики трубопровода могут быть представлены либо в виде разложения по собственным тонам (что требует некоторой гипотезы о граничных условиях на его концах [20,25] или специальных условий, накладываемых на решение [77]), либо в виде граничного импеданса [32,78], либо в виде набора четырехполюсников [53,74,76], либо иными способами [79]. В предварительных расчетах трубопровод может также представляться системой с одной степенью свободы [1].

Верхний по потоку конец ТТ обычно считают открытым в акустическом смысле. Это связано с тем, что податливость бака обычно очень велика и колебания расхода на выходе из него не вызывают существенных отклонений давления. Тем не менее налицо нарушение симметрии формирования расчетной схемы ЛА, поскольку связь бака с ТТ остается односторонней и статической (только через пульсации давления на днище бака из-за его колебаний). Отказ от концепции "закрытого" днища при формировании расчетной схемы бака по-видимому приведет к необходимости учета его граничного импеданса. В настоящее время известны простейшие методики учета импеданса бака [19].

Другим важнейшим обстоятельством при формировании расчетной схемы ТТ является правильный учет граничного условия в нижнем (по потоку) его конце. Двигатель с кавитационной каверной на входе не только формирует частотный спектр ТТ, но и условия подкачки или отбора энергии из трубопровода. В [11] упоминается о том, что подвод энергии в трубу от двигателя может вызвать неустойчивость даже при благоприятных значениях коэффициента усиления. В настоящее время кавитаци-онное образование на входе в ТНА ДУ не имеет достаточно хорошего математического представления. Обычно в расчетах границ устойчивости используют упрощенное представление кавитационной области эквивалентной податливостью или вводят ее в расчет с помощью АФЧХ. Последний подход требует дополнительных параметрических исследований, поскольку экспериментальные данные о входной проводимости не вполне достоверны по причине отсутствия подходящих датчиков динамического расхода [10].

0.2.3. Двигательная установка

ЖРД с точки зрения анализа неустойчивости типа ПОГО представляет собой сложную пневмогидромеханическую систему, находящуюся под воздействием следующих возмущающих факторов: пульсаций давления и расхода компонентов топлива на входе в двигатель, колебаний вектора тяги, виброперегрузки, управляющих сигналов и др.

В настоящее время разработаны надежные методики анализа динамики ЖРД без учета кавитационных процессов на входе в турбонасос. Необходимо отметить труды в этой области советских ученых: Гликмана Б.Ф.[52,53,56], Натанзона М.С.[80], и других [81,82]. Относительно короткие напорные трубопроводы, соединяющие элементы ЖРД, находятся под высоким давлении, стенки их жеские, поэтому они часто описываются как элементы с сосредоточенными параметрами [52]. Газовые и газожидкостные тракты представляются как системы с распределенными параметрами [83]. В расчете их динамики учитываются процессы теплообмена (энтропийные волны) [52,53]. Удовлетворительно расчитываются прочие элементы ЖРД (газогенератор, камера сгорания, турбонасосный агрегат и др.). Разработаны также методики анализа и учета в задаче ПОГО виброчувствительности двигателя, то есть связи отклонений тяги с виброперегрузкой [84,85,86]. В зарубежной практике чаще используются упрощенные методы представления узлов двигателя комбинацией эквивалентных податливостей, инерционностей, и элементов запаздывания [20,25,87]. На более поздних этапах разработки ЛА эти

-JO данные уточняются на основании результатов проливочных и огневых испытаний ДУ [2,13].

В расчетах устойчивости JIA ДУ может быть представлена либо своей более или менее полной системой уравнений [88,20], либо набором передаточных функций. Наиболее важными из этих функций являются коэффициент усиления, то есть связь пульсаций давления в камере сгорания с пульсациями давления на входе, и входная проводимость, то есть связь пульсаций давления и расхода на входе в ДУ.

С точки зрения анализа П0Г0 ЖРД различных схем имеют следующие особенности. Двигатели открытой схемы (то есть без дожигания генераторного газа), как правило, имеют сравнительно пологие амплитудно-фазо-частотные характеристики (АФЧХ) упомянутых функций. Двигатели закрытой схемы (с дожиганием генераторного газа) часто имеют характерный амплитудный пик на АФЧХ, обусловленный податливостью газогенераторного тракта и инерционностью рабочего колеса турбонасоса [52] .

Наиболее неопределенным элементом двигателя является кавитационное образование на входе в шнековый преднасос тур-бонасосного агрегата [89,90,91,92,93,94,95,18,96]. В настоящее время ведутся интенсивные проработки этого вопроса [97,98,99,100,101,102,103]. Наиболее полное описание различных методов исследования кавитации приведено в книгах [104,105,94] Известно 6 основных групп моделей описания динамики кавитационных процессов [105].

1. Кинетические модели [106,107].

2. Квазистационарные струйные модели [93,95].

3. Модели^с запаздыванием [108,109].

4. Гомогенная модель [92].

5. Помпажная модель [110].

6. Гидродинамические модели [111,112].

Теоретические исследования сопровождаются эксперимен-тальнми работами [113,114,115,116]. Тем не менее считается, что для расчета входной проводимости теоретические модели не дают корректного результата.

0.2.4. Методы анализа устойчивости и синтез расчетной схемы

Современная АКС представляет собой сложную нелинейную пневмогидромеханическую систему, содержащую несколько источников энергии, из коих наиболее очевидный - химическая энергия, запасенная в компонентах топлива и высвобождаемая в ДУ на основе ЖРД. В процессе полета система подвергается внешним возмущениям, а параметры, характеризующие ее динамику, наблюдаемы, как случайные и притом переменные во времени величины. Требуется обеспечить непревышение определенного уровня амплитуд общеконструкционных вибраций (то есть тех вибраций, которые нельзя задемпфировать необременительными локальными мероприятиями) на протяжении активного участка полета всех АКС рассматриваемой серии (типа) на протяжении всего периода их эксплуатации (для многоразовых JIA) . В общем случае, во-первых, указанная задача является стохастической, а во-вторых, речь идет о так называемой "технической устойчивости" [40] в том виде, в каком она рассматривалась в работах Н.Д.Моисеева [117,118], то есть как неудаление от неустановившегося невозмущенного движения на конечном интервале времени при некотором уровне внешних возмущений.

Практические исследования ПОГО-неустойчивости, однако, производятся в ином ключе - она ассоциируется с детерминированной задачей в русле Ляпуновской концепции анализа динамической неустойчивости. Более того, система обычно считается приводимой (по терминологии Ляпунова). Иными словами, полагается, что ЛА устойчив в смысле ПОГО, если для любого момента полета устойчиво тривиальное решение системы линеаризованных дифференциальных уравнений его динамики при зафиксированных во времени параметрах (то есть невозмущенное движение считается квазистационарным). Этот прием известен под названием гипотезы "замороженных коэффициентов".

Использование указанного подхода диктуется, главным образом, возможностями теоретических и экспериментальных методов и производительностью соответствующего оборудования. Допустимость его при выполнении некоторых повышающих надежность приемов подтверждается успешной эксплуатацией существующих РН. Перечислим основные из этих приемов. Во-первых, от неблагоприятного влияния разброса параметров от изделия к изделию в серии страхуются проведением некоторого объема параметрических исследований с выбором наихудших вероятных их комбинаций, а также введением некоторых запасов устойчивости. Во-вторых, при появлении неустранимых особых случаев (невозможности обеспечить устойчивость приемлемыми конструктивными мероприятиями) оценивают возможные амплитуды колебаний с использованием нелинейных моделей. В-третьих, внешнее возмущение в задаче ПОГО, главным образом, связано с управлением ЛА. Обычное решение вопроса состоит в "выделении" для управления частотных диапазонов, безопасных с точки зрения ПОГО, либо во включении элементов или всей системы управления в расчетную схему устойчивости ЛА.

Таким образом, задача обеспечения динамической устойчивости АКС решается обычно в рамках Ляпуновской концепции анализа устойчивости. Приведем со ссылкой на [119,120] краткую историю развития этой проблемы.

В 1856г. французским математиком Эрмитом (Негтл^е С.) [121] были получены некоторые условия нахождения корней комплексного многочлена произвольной степени в какой-либо полуплоскости или даже внутри прямоугольной области. Однако эти результаты не были интерпретированы для прикладных разработок и получили развитие лишь в 90-е годы XIY века в работах Гурвица (Hurwitz А.) [122].

В 1868г. английский физик Максвелл Д.К. (Maxwell D.K. ) в своей работе [123], рассматривая устойчивость работы паровых машин, сформулировал условия нахождения корней векового уравнения не выше третьей степени в левой полуплоскости. Им же была поставлена задача нахождения этих условий для уравнения произвольной степени. Через десять лет, в 1877гг., российский инженер Вышнеградский И.А. опубликовал работу

123], в которой также исследовал устойчивость работы паровых машин по характеристическому уравнению 3-ей степени и предложил изящный метод графического построения областей устойчивости в плоскости параметров системы (диаграммы Вышнег-радского).

В 1875г. английский механик Раус (Routh Е.J.) установил

124] алгоритм определения числа корней вещественного многочлена, расположенных в правой полуплоскости. Несколько позднее крупнейший словацкий инженер-исследователь Стодола А., столкнулся с необходимостью отыскания условий неположительности корней векового уравнения произвольной степени и, не зная о работе Рауса, обратился за помощью к немецкому математику Гурвицу. В 1895г. Гурвиц А., опираясь на результаты Эрмита дал второе (независимое от Рауса) решение той же задачи. Позднее французскими математиками Льенаром ( Lienard) и Шипаром (Chipart) [125] был установлен критерий, близкий к алгоритму Гурвица (обычно называемому условиями Рауса-Гурви-ца), но требующий меньшего объема вычислений.

В перечисленных работах вопрос о правомочности использования линейного приближения для исследования устойчивости реальных систем оставался по-существу открытым. В 1892г. российский математик Ляпунов A.M. опубликовал свою докторскую диссертацию [126], в которой на основе работ Пуанкаре (Puankare) были сформулированы условия применимости линейного приближения для широкого класса систем, названных автором правильными. Ляпунов также установил критерий устойчивости для систем, линейное приближение которых может быть с помощью некоторого преобразования (преобразования Ляпунова) приведено к системе дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (приводимые системы по терминологии Ляпунова). Критерий устойчивости для систем, линейное приближение которых является правильной системой, был установлен позднее советским ученым Четаевым Н.Г. [127]. При анализе устойчивости приводимых систем чаще используется термин "ассимпто-тическая устойчивость" или "устойчивость по Ляпунову", в случае анализа правильных систем часто говорят о "технической устойчивости" или "устойчивости по Четаеву" [128].

В 30-е годы XX века помимо алгебраических критериев (Рауса и Рауса-Гурвица) получили развитие критерии устойчивости, использующие частотный годограф. В 19 3 2г. американский исследователь Найквист (Nyquist Н.) [129] опубликовал доказательство критерия устойчивости, основанного на анализе частотного годографа разомкнутой системы. В конце 30-х годов Михайлов предложил свой частотный критерий устойчивости [120]. В конце 40-х годов в работах Неймарка Ю.И. были обобщены результаты Вышнеградского и Найквиста и введено понятие D-разбиения пространства параметров системы, в качестве частных случаев содержащее в себе критерии перечисленных авторов [23,24]. Им же разработан также алгебраический критерий устойчивости [130,131].

Использование гипотезы "замороженных коэффициентов" позволяет сделать систему уравнений динамики ЛА приводимой (по Ляпунову), поэтому задача ПОГО сводится к анализу ассимптотической устойчивости системы [16,120]. Как уже говорилось выше, перспективные ЛА могут обладать изменчивостью характеристик (проявляющейся, например, в крутом изменении коэффициентов формы по времени полета). В этом смысле представляют интерес также методики оценки технической устойчивости аппарата [128,132].

Синтез расчетной схемы производится следующим образом. В зависимости от этапа проектирования и отработки ЛА, наличия и степени подробности информации об испытаниях его элементов составляется расчетные схемы той или иной сложности для корпуса с топливными баками, магистралей компонентов топлива, двигателей, различных систем ЛА. Затем учитываются связи элементов контура неустойчивости. Необходимо еще раз отметить, что, до самого последнего времени, связь корпуса с расходными трубопроводами по-существу считалась чисто кинематической, то есть просто полагалось, что участки трубопровода имеют коэффициенты формы соответствующих участков корпуса . На перспективных ЛА одноступенчатой схемы и, особенно, на высокоэнерговооруженных бустерах масса жидкости в трубопроводе может оказаться относительно большой и такое допущение потребует дополнительной проверки. Далее характеристический определитель системы анализируется в соответствии с выбранным критерием устойчивости.

В процессе синтеза расчетной схемы исследователи обращают внимание на обеспечение симметрии при формировании характеристической матрицы системы [32,11], в то время, как для более ранних методик характерно упрощенное представление связей между подсистемами [25]. В предварительных расчетах обычно тона корпуса и линии компонентов топлива вводят в анализ по отдельности, на более поздних этапах рассматривают пространственные колебания ЛА с учетом многих тонов корпуса и магистралей всех компонентов топлива [2]. На поздних этапах информация об испытаниях масштабных моделей и натурных образцов используется или для уточнения математических моделей или напрямую - в виде экспериментально снятых амплитудно -фазо-частотных характеристик (АФЧХ) [1,2].

В США благодаря высокоразвитой базе вычислительной техники получили распространение прямые методы поиска корней характеристического уравнения системы (метод корневого годографа) [25,133,9]. Широко используются также частотные критерии: Найквиста [85,25], Михайлова, а также Б-разбиение комплексной плоскости одного из параметров системы [134,23, 24], Как уже говорилось выше, при анализе ПОГО на ранних этапах проектирования ЛА часто используют упрощенные критерии устойчивости, например, метод критического декремента [32,14]. Алгебраические критерии устойчивости в задаче ПОГО не получили заметного применения из-за их слабой наглядности. Обычно при использовании критерия Найквиста контур "разрывают" по тяге или какой-либо обобщенной координате [33]. Области устойчивости строят чаще всего в плоскости декремента колебаний корпуса [22,14], известны методы построения областей устойчивости в параметрах ДУ (коэффициента усиления или входной проводимости). Недостатком прямых методов является их крайне высокая трудоемкость (в затратах машинного времени). Кроме того, их применение накладывает жесткие ограничения на общий порядок системы. Использование частотных критериев приводит к некоторой неопределенности. Имеется ввиду то, что их использование дает сведения не о наличии или отсутствии корней векового уравнения в правой (левой) полуплоскости, а о разности их количества справа и слева от мнимой оси. Поэтому частотные критерии требуют некоторой дополнительной информации (или гипотезы) о системе, например, использование критерия Найквиста требует сведений об устойчивости системы в разомкнутом состоянии. Использование критерия Найквиста или Б-разбиения комплексной плоскости одного из параметров системы весьма наглядно, но требует определенной аналитической работы по приведению системы. При учете воздействия трубопровода на корпус только через двигатель задача несколько упрощается тем, что характеристическая матрица системы по виду близка к ленточной. В случае рассмотрения дополнительных связей корпуса с трубопроводом объем подготовительной работы резко возрастает. В этом смысле представляет интерес использование частотного критерия Михайлова, поскольку он позволяет формализовать процесс подготовки данных для вычислений на компьютере. В связи с тем, что задача ПОГО - это задача об устойчивости в ограниченном диапазоне частот, представляют интерес критерии, использующие обход полузамкнутого или замкнутого контура в комплексной плоскости характеристического показателя [135,136,137].

0.2.5. Способы подавления колебаний

Практически все средства стабилизации современных ЛА с ЖРД основаны на двух принципах:

- изменение упруго-массовых свойств системы для предотвращения подвода энергии к колебаниям (воздействие на консервативную часть системы);

- рассеяние энергии колебаний в специальных устройствах (изменение диссипативной части).

По способу реализации средства стабилизации можно разделить на "активные", в которых система регулирования отрабатывает каждый цикл колебаний, стабилизируя мгновенное значение выбранного параметра (см., например, [138]), и "пассивные", в которых система регулирования либо отсутствует, либо отрабатывает изменение средних, относительно медленно меняющихся параметров. Необходимо сразу отметить, что практическое применение получили лишь "пассивные" средства стабилизации.

Стабилизирующее устройство может быть включено в состав любой из парциальных подсистем, формирующих контур неустойчивости: корпус, бак, ТТ и двигатель.

Динамические характеристики корпуса могут быть изменены с помощью так называемого динамического гасителя [21]. Динамический гаситель представляет собой механический осциллятор, заранее настроенный на опасную с точки зрения неустойчивости частоту, и установленный в определенном месте корпуса (как правило, с наибольшим коэффициентом формы на данной частоте). Применение динамического гасителя изменяет частотный спектр корпуса в окрестности опасной частоты, что сопровождается существенным уменьшением ее коэффициентов форм, ослаблением соответствующей обратной связи в контуре и стабилизацией системы. Недостатком этого способа стабилизации является сравнительно большая абсолютная масса гасителя, что приводит к заметному уменьшению полезной нагрузки.

Стабилизирующие устройства в ДУ устанавливаются сравнительно редко и, как правило, служат для выправления неудачных динамических характеристик соответствующего устройства, как, например, изменение виброчувствительности ДУ путем переориентации регулятора расхода [85]. Баковые демпферы устанавливаются в случае больших коэффициентов формы колебаний жидкости в баке для предотвращения выноса энергии из бака в трубопровод.

Наиболее удобным способом стабилизации ЛА с ЖРД является изменение динамических характеристик расходных трубопроводов. При этом преследуется цель увода собственных частот жидкости в трубопроводе от парциальных частот корпуса, во избежание возрастания общего коэффициента усиления по контуру неустойчивости. Обычным способом изменения динамических характеристик трубопровода является увеличение его податливости для уменьшения местной скорости звука в нем и, как следствие, снижения собственных парциальных частот трубопровода .

Распределенная податливость трубопровода может быть изменена несколькими способами. В [19] указывается на возможность использования с этой целью труб некруглого (например, эллиптического) сечения. В работе [139] исследуются характеристики трубопровода из композитного материала, обладающего помимо податливости еще и большими демпфирующим свойствами. При отработке РН "Сатурн-5" испытывался метод увеличения распределенной податливости жидкости в трубопроводе путем вдува в него небольшого количества гелия [70].

Наибольшее распространение при устранении неустойчивости типа ПОГО получила установка сосредоточенных податливос-тей, называемых обычно демпферами (в зарубежной практике получил распространение термин "аккумулятор"). Наиболее выгодным местом установки демпфера считается нижний по потоку конец расходной магистрали перед входом в ТНА ЖРД, хотя обсуждались иные места его установки, например, между бус-терным и основным насосами ДУ [11]. Соображения при этом следующие. Во-первых, импеданс бака сравнительно мал, верхний по потоку конец магистрали можно считать практически открытым в акустическом смысле и дополнительно увеличивать его податливость непродуктивно. С другой стороны, нижний конец трубопровода является определяющим с точки зрения передачи возмущений в двигатель и формирования собственных движений жидкости в магистрали, поэтому введение даже относительно небольшой податливости может существенно изменить характеристики ТТ и системы в целом. Демпферы в баке устанавливаются сравнительно редко при больших коэффициентах формах колебаний в нем жидкости.

Получили распространение демпферы различных конструкций:

- со свободным объемом, представляющие собой тупиковое ответвление трубопровода, содержащее газ; может иметь разновидности, как, например, кольцевая полость вокруг трубопровода на II ступени РН "Сатурн-5" [9];

- сильфонного типа, в которых жидкость отделена от газа сильфоном, а податливость обеспечивается его упругими свойствами и податливостью газовой фазы или другими упругими устройствами, например, пружиной (сильфонный демпфер использовался на РН "Титан-ЗМ" [140]);

- пружинно-поршневого типа, представляющий собой подвижный поршень, соединенный с пружиной и помещенный в тупиковое ответвление трубопровода (использовался при запусках КА "Джемини" [140]). Обычно демпферы оборудуют специальной системой наддува и слива газа для отработки изменения среднего давления на входе в демпфер.

Недостатком демпфера со свободным объемом считается большая вероятность подсоса газовой фазы из демпфера в двигатель , что в ряде случаев может привести к неблагоприятным последствиям (см., например, [110]). Кроме того он может работать только при определенной ориентации РН относительно вектора суммарной перегрузки. Демпферы сильфонного типа обычно имеют небольшой рабочий ход, что предъявляет повышенные требования к системе наддува демпфера. Демпферы поршневого типа имеют нелинейную характеристику из-за сухого трения между поршнем и цилиндром, последнее также снижает надежность демпфера из-за возможности заклинивания поршня.

Для увеличения рассеяния энергии на входе в демпфер обычно устанавливают гидравлическое сопротивление (например, в виде перфорированной перегородки). Опасностью в этом случае является вероятность "запирания" демпфера, то есть зак

-инрытие в акустическом смысле входа в него при чрезмерной величине сопротивления.

Могут быть использованы также другие типы демпферов: упругие элементы из резины, резиновые баллончики с газом, помещенные в трубопровод и др. Весьма подробная информация о перечисленных типах демпферов приведена в [140].

В последнее время получили развитие новые методы демпфирования трубопроводов. Так, например, в [141] рассмотрен демпфер, входное горло которого меняется с определенной частотой, что препятствует выносу энергии из турбонасоса в трубопровод. В [142,143,113,144] исследуются характеристики парогазовой каверны внутри закрученного потока жидкости. Эта каверна может быть использована в качестве местной податливости , то есть выполнять функции демпфера.

Как уже упоминалось выше, "активные" демпферы пока не нашли применение на ЛА с ЖРД. Например, "активный" демпфер разрабатывался применительно к ТКА "Спейс Шаттл" [138], однако в конечном итоге предпочтение было отдано обычному парогазовому демпферу [13,11]. В [145] рекомендовались следующие "активные" способы подавления неустойчивости: поворот малых двигателей, регулирование тяги интерцепторами, изменение соотношениния компонентов топлива. Эти методы стабилизации также не нашли практического применения для подавления ПОГО.

Обычными критериями выбора того или иного типа демпфера являются: а) наличие проверенного прототипа; б) возможность надежной модельной отработки; в) минимальное вредное влияние на конструкцию ЛА и его динамические характеристики; г) надежность; д) широкий диапазон режимов работы; е) вибронечувствительность; ж) минимальный вес и габариты; з) простота конструкции, монтажа и эксплуатации.

На самых первых этапах разработки ЛА в расчетах на устойчивость демпфер можно заменять эквивалентным газовым объемом, например, как это сделано в книге [15] с представлением кавитационной каверны. Более точные выражения для характеристик нескольких типов демпферов приведены в [56] . Методические рекомендации по размещению демпферов в трубопроводе приведены в [140]. На окончательных этапах отработки ЛА используются результаты эксперимента.

0.3. Экспериментальная отработка элементов контура неустойчивости и летательного аппарата в целом

В процессе анализа продольной неустойчивости ЛА с ЖРД большое внимание уделяется вопросам экспериментальной отработки элементов системы. Экспериментальные исследования динамических характеристик корпуса и баков с жидкостью производятся на маломасштабных [48], крупномасштабных [47] моделях и на натурных ЛА [146]. Несмотря на значительную стоимость последних двух типов экспериментов, они являются единственным надежным источником информации о демпфировании корпуса, поскольку отмечается [47], что адекватное воспроизведение диссипации возможно при масштабе модели 1/4 и более. В экспериментальных работах используется специальное оборудование (в [146] приведено описание гидравлической опоры, имитирующей свободный полет РН, которая использовалась при испытаниях РН "Сатурн-5").

Исследования динамики жидкости в трубопроводах производятся также на масштабных или натурных макетах магистралей. На первых этапах разработки ЛА в проливках используют спирт или воду. На более поздних - натурные компоненты [2,120]. Основной трудностью моделирования динамики жидкости в трубопроводе является воспроизведение граничного условия на нижнем по потоку конце трубопровода (на входе в ДУ) , поскольку, как уже говорилось выше, кавитационные образования с трудом поддаются расчету и моделированию. Экспериментальные исследования полномасштабных макетов ТТ проводятся с использованием натурных элементов ДУ, например, с турбонасосами, приводимыми в действие электромоторами.

Различают два типа экспериментальной отработки ДУ и его элементов: холодные проливки (сначала водой, потом натурными компонентами) и огневые испытания. В процессе испытаний снимаются основные характеристики ДУ. Основной проблемой при этом является получение надежной информации о входной проводимости, что связано с отсутствием надежных и точных датчиков измерения пульсирующего расхода [10]. В настоящее время ведутся интенсивные разработки таких датчиков [147,148,10].

Как уже говорилось выше, явление ПОГО в наземных условиях не воспроизводится, поэтому окончательным критерием устойчивости аппарата являются его летные испытания.

1. ТРЕБОВАНИЯ К МЕТОДАМ АНАЛИЗА ПОГО НА РАЗЛИЧНЫХ ЭТАПАХ РАЗРАБОТКИ АППАРАТА

Заключение диссертации по теме «Прочность и тепловые режимы летательных аппаратов», Зуев, Алексей Арсентьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Рассмотрена методика анализа динамической (продольной) устойчивости летательных аппаратов с большими массами топлива и жидкостным ракетным двигателем. Для предотвращения появления в процессе разработки аппарата необратимых конструктивных решений, негативных с точки зрения ПОГО, методика разделена на 3 уровня сложности. Точность моделей элементов аппарата и схема синтеза системы приведены в соответствие объему и качеству информации, а также задачам, стоящим перед разработчиком на соответствующих этапах создания аппарата .

2. Исходя из общих соображений, о механизмах колебаний и проблеме получения информации о динамике аппарата посредством частотных испытаний, постановка задачи исследования устойчивости сужена до исследования корней векового уравнения в замкнутой области комплексной плоскости характеристической переменой. Размеры области ограничены частотным диапазоном ПОГО, возможностями построения аналитических моделей и достоверностью аналитического продолжения результатов частотных испытаний элементов аппарата.

3. Использование модифицированного критерия Михайлова дало ряд преимуществ: упростило анализ гибкой (с точки зрения оперативного изменения) структуры элементов аппарата, в частности, при выборе параметров и места включения демпфера; облегчило задачу исследования запасов по демпфированию в системе.

4. Произведен анализ требований к моделям элементов аппарата и методу синтеза системы для различных уровней методики. В отличие от большинства известных методик, где по сути ставится вопрос об устойчивости упругого корпуса в присутствии топливоподающего тракта и двигательной установки вблизи его собственных тонов, III уровень предлагаемой методики рассчитан на•исследование устойчивости во всем частотном диапазоне ПОГО. Основными путями решения этой задачи являются повышение точности моделей элементов в исследуемой области и максимальное соблюдение симметрии при синтезе расчетной схемы.

5. Указанные уточнения состоят в следующем. В математическую модель корпуса введена простая схема учета динамического истечения жидкости из баков. Для повышения надежности расчетов предложено варьировать число учитываемых тонов корпуса. В модели топливоподающего тракта наряду с обычно учитываемой динамикой относительного движения жидкости рассмотрено также переносное движение конструкции трубопровода. Предложено идентифицировать две основные передаточные функции ЖРД (коэффициент усиления и входную проводимость) как функции комплексного переменного, представленные несколькими полюсами в иссследуемой области и существенно особой точкой на бесконечности.

6. Предложен простой критерий оценки погрешности однотоново-го представления корпуса в задаче ПОГО на ранних этапах проектирования аппарата.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Зуев, Алексей Арсентьевич, 1994 год

1. Wick R.S. The Effect of Vehicle Structure on Propulsion System Dynamics and Stability // Jet Propulsion, v.26, 1956, N10, Part 1.

2. Dordain J.-J. Le Phenomene POGO // Revue Française de

3. Mecanique, 1981, N80. -pp.25-35. . Rubin S. New Considerations for POGO Prevention on Space Shuttle // NASA TM-X-2570, 1972. -pp.97-116.

4. Ишлинский А.Ю. Одно из главных направлений механика //п

5. Наука и жизнь, 1971, N4. -с.13-14.

6. Pinson L.D. Overview of Technology Relative the POGO Instability on Space Shuttle // NASA-TM-X-2570, 1972. pp.117-136.

7. Ordonneau G. Elaboration d'un Nouveau Programme de Calcul de la Stabilité POGO d'un Lanceur a Ergols Liquides // La Recherche Aerospatiale, 1986, N4. -pp.249-258. Натанзон M.С. Продольные автоколебания жидкостной ракеты. M.: Машиностроение, 1977. -205с.

8. Айзерман М.А. Теория автоматического регулирования. -М.: Гостехиздат, 1952. 523с.

9. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.2. М.: Наука, 1974. - 65бс.

10. Ходурский В.Е. , Горбатюк B.J1., Киселев Е.В. Об экспериментальном исследовании динамических характеристик бус-терного насоса // В сб. "Кавитацитационные колебания и динамика двухфазных систем", Киев: Наукова думка, 1985. -с.27-30.

11. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем. J1K- iSS1. ВВИА, 1949. 140c.

12. Rasumoff A., Winje R.A. The POGO Phenomenon: its Cause and Cure // Astronautical Research, Proc. 22nd Congress Intern. Astron. Federation, Brussels, 20-25 Sept. 1971. -pp.307-322.

13. Пинсон Jl., Леонард X., Рейни Дж. Исследование продольных колебаний ракеты-носителя "Сатурн-б" // Вопросы ракетной техники, 1968, N2. -с.3-17.

14. Goldmen R.L., Reis G.G. A Method for Determining the POGO Stability of Large Launch Vehicles // Report TR-69-7C, Jun. 1969, Research Institute for Advanced Studies, The Martine-Marietta Co.

15. Worland A.L., Hill R.D., Murphy G.L. Saturn V Longitudinal Oscillations (POGO) Solution // AIAA Paper 69-548, Jun. 1969.

16. Нариманов Г.С. О движении твердого тела, полость которого частично заполнена жидкостью // Прикладная математика и механика, т.XX, вып.1, 1956. -с.21-38.

17. Нариманов Г.С., Докучаев JI.B. , Луковский И.А. Нелинейная динамика летательного аппарата с жидкостью. М. : Машиностроение, 1977. - 208с.

18. Абгарян К.А., Раппопорт И.М. Динамика ракет. М. : Машиностроение, 1969. - 356с.

19. Микишев Г.Н. Экспериментальные методы в динамике космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1978. - 248с. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость. - М.: Машиностроение, 1971. - 559с.

20. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1983. - 296с. Болотин В.В. О движении жидкости в колеблющемся сосуде // ПММ, 1966, т.20, N2. - с.293-294.

21. Александрович Л.И., Лампер P.E. Собственные колебания упругого осесимметричного сосуда произвольного контура

22. Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. М.: "Наука", 1966. - с.25-27. Пенгелли Ц. Нормальные формы и частоты продольных колебаний ракет на жидком топливе // Вопросы ракетной техники, 1969, N4. -с.3-17.

23. Ешего D.H. Quater-Scale Space Shuttle Design Fabrication on test // Journal of Spacecraft and Rockets, v. 17, 1980, N4. pp.256-274.

24. Браун Ф. Переходные процессы в линиях передачи жидкостиили газа // Труды ASME, Серия D, Техническая механика, т.84, 1962, N4. -с.163-171.

25. Колесников К.С. Вынужденные колебания потока идеальной сжимаемой жидкости в однородной прямой трубе // Известия АН СССР, Механика и машиностроение, 1963, N4. -с.102-107.

26. Дармон Р., Руло В. Распространения волн в вязкой сжимаемой жидкости в трубе с упругими стенками // Труды ASME, Серия D, Теоретические основы инженерных расчетов, т.94, 1972, N4. -с.116-122.

27. Гликман Б.Ф., Исаев В.Е., Лосенков A.C., Малинковский А. А. Исследование переходных процессов в разветвленных гидравлических трубопроводных системах // Известия ВУЗов, Авиационная техника, 1987, N2. -с.30-34.

28. Д'Суза А., Олденбургер Р. Динамическая характеристика гидравлических трубопроводов // Труды ASME, Серия D, Теоретические основы инженерных расчетов, т.86, 1964, N3. -с.196-205.

29. Левченко Е.Л., Паничкин Н.И. Переходные процессы в трубопроводе с податливостью при внешнем воздействии //В сб. "Кавитационные колебания в насосных системах", ч.И, Киев: Наукова думка, 1976, -с.80-85.

30. Серия D, Теоретические основы инженерных расчетов, т.89,1967, N1. -с.202-209.

31. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз, I960. -523с.

32. Ошеров А.Э. Частотная характеристика криволинейного трубопровода // В сб. IY симпозиума "Колебания упругих конструкций с жидкостью", М., ЦНТИ "Волна", 1980. -с.225-228.

33. Колесников К.С., Самойлов С.А., Рыбак М.М. Динамика топливных систем ЖРД. М.: Машиностроение, 1975. -172с. Worland A.L., Glasgow V.L., Norman D.F., Hill R.D. The Reduction of POGO Effects by Gas Injection, AIAA Paper, N66-560.

34. Натанзон M.C. Влияние рассеивания энергии на вынужденные разрывные колебания жидкости в трубопроводе // Известия АН СССР, Механика, 1965, N5. -с.14-21.

35. Натанзон М.С. Вынужденные разрывные колебания жидкости в трубопроводах // Известия АН СССР, Механика, 1965, N2. -с.33-42.

36. Велик Н.П. К расчету собственных частот колебаний жидкости в сложных трубопроводах // Известия ВУЗов, Авиационная техника, 1965, N2. -с.3-8.

37. Ибрагим 3. Аналитическое моделирование динамически эквивалентных подсистем // Труды ASME, Серия D, Теоретические основы инженерных расчетов, т.108, 1986, N4. -с.109-120.

38. Махин В.А., Присняков В.Ф., Велик Н.П. Динамика жидкостных ракетных двигателей. М.: Машиностроение, 1969. - 559с.

39. Мошкин Е.К. Нестационарные режимы работы ЖРД. М.: Машиностроение, 1970. - 3 36с.

40. Гликман Б.Ф., Барбашов Е.Д., Гусев Г.В., Исаев В.Е. Пульсирующее турбулентное течение сжимаемой жидкости в трубе // Известия АН СССР, Энергетика и транспорт, 1982, N5. -с.135-145.

41. Гулиенко А.И. Влияние вибраций на характеристики гидромеханических регуляторов // В сб. "Автоматическое регулирование двигателей летательных аппаратов", Труды ЦИАМ N1136, вып.24, 1986. -с.209-220.

42. Пилипенко В.В. О механизме самовозбуждения кавитационных колебаний в системе "шнеко-центробежный насос трубопровод" на режимах без обратных токов // Известия АН УССР, Космические исследования на Украине, 1975, вып.7. -с.3-10.

43. Пилипенко В.В., Задонцев В.А., Натанзон М.С. Кавитационные автоколебания и динамика гидросистем. М.: Машиностроение, 1977. -352с.

44. Сак JI., Нойтедж X. Колебания в системе, вызванные кавитацией на шнековом насосе // Труды ASME, серия D, Теоретические основы инженерных расчетов, т.87, 1965, N4. -с.84-93.

45. Ходурский В.Е., Задонцев В.А., Букреев Ю.Н. Влияние режима работы шнеко-центробежного насоса на его входной импеданс // В сб. "Кавитационные колебания и динамика гидравлических систем", Киев: Наукова думка, 1977. -с.76-80.

46. Пилипенко В.В. Простейшая теоретическая модель кавитационных автоколебаний в системе высокооборотный шнеко-центробежный насос трубопровод" // Известия АН УССР, Космические исследования на Украине, 1975, вып.2. -с.З-10.

47. Хасимото X. Продольные волны в вихревом потоке с полостью в круглой трубе // Труды ASME, серия D, Теоретические основы инженерных расчетов, т.91, 1969, N4. -С.34-41.

48. Карелин В.Я. Кавитационные явления в центробежных и осевых насосах. М.: Машиностроение, 1975. - 256с. Пилипенко В.В. Кавитационные автоколебания. - Киев, Наукова думка, 1989. -316с.

49. Натанзон М.С. Кинетическая модель кавитационных колебаний в насосах // Известия АН СССР, Энергетика и транспорт, 1975, N6, -с.112-121.- <в т

50. Натанзон М.С. Кинетическая модель кавитационных колебаний в насосах // В сб. "Кавитационные автоколебания в насосных системах", ч.1, Киев: Наукова думка, 1976. -с.12-20.

51. Колесников К.С., Кинелев В.Г. Динамика локального кави-тационного образования на лопасти шнекового насоса // В сб. "Гидрогазодинамика энергетических установок", Киев: Наукова думка, 1982. -с.33-52.

52. Стриплинг Л., Акоста А. Кавитация в лопастных насосах, ч.1 // Труды ASME, Серия D, Техническая механика, т. 84, 1962, N3. -с.29-41.

53. Shupert Turbopump Transient Response Test Facility and Program // Journal of Spacecraft and Rockets, v.2, 1965, N5. pp. 389-395^.

54. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. -552с. Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев A.B. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования.- М.: Машиностроение, 1985. 536с.

55. Hermite С. Sur le nombre des racines d'une equation algebrique comprise entre des limits donnecs // J. reine angew, 1856. -p.39-51.

56. Routh E.J. Stability of а given State of motion. London, 1877.1.enard, Chipart Sur la signe de la partie reeledes racines d'une equation algebrique // J. Math, pure apple. (6) 1914. v.10, pp.291-346.

57. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собрание сочинений, т.2, М. Ленинград, 1956. -420с. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. - Гостехиздат, 1946.- 436с.

58. Байрамов Ф.Д. О технической устойчивости систем с распределенными и сосредоточенными параметрами // Известия ВУЗов, Авиационная техника, 1975, N2. -с.19-24. Rich R.L. Saturn V POGO and a Solution // AIAA Structural and Aeroelasticity Conf., 1969.

59. Балакирев Ю.Г., Мурыгин B.E. О построении областей устойчивости колебаний упругого об'екта с регулятором // В сб. "Колебания упругих конструкций с жидкостью", М.; 1976. -с.27-31.

60. Мясников H.H. Критерий Михайлова и оценка корней характеристического уравнения // Автоматика и телемеханика, Т.10, 1949, N4. -с.267-273.

61. Копоть Е.И., Левченко Е.Л. Подавление резонансных колебаний в гидросистемах с помощью демпфера переменной податливости // В сб. "Кавитационные колебания и динамика двухфазных систем", Киев: Наукова думка, 1985, -с.92-97.

62. Левченко Е.Л. Учет газодинамических процессов в кавита-ционной полости в математической модели полого жидкостного вихря // В сб. "Кавитационные колебания и динамика двухфазных систем", Киев: Наукова думка, 1985. -с.81-86.

63. Левченко Е.Л., Натанзон М.С., Никифоров Н.В. Некоторые особенности прямолинейного вихревого течения // В сб. "Гидрогазодинамика энергетических установок", Киев: Наукова думка, 1982. -с.115-124.

64. Пилипенко В.В. Определение скорости звука и податливости парогазовой каверны в трубопроводе при вращательно-поступательном движении жидкости // В сб. "Кавитационные колебания и динамика двухфазных систем", Киев : Наукова думка, 1985. -с.71-77.

65. Бауэр X., Шульц Е. Новые методы устранения продольной неустойчивости жидкостных ракет // Вопросы ракетной техники, 1972, N7. -с.7-18.

66. Pragenau G.L. Free Flight Simulated on Ground the Appo-lo-Saturn V Space Vehicle // Journal of Spacecraft and-W

67. Rockets, v.4, 1967, N9. pp.1211-1217.

68. Brand F.L. Akustische Verfahren Zur Durchflussmessung // Messen Prüfen Automatisieren, 1987, N4. pp.198205.

69. Damm F.J. Differenzdruck Messumformer Aus Keramik Fur Die Durchflussmessung // Messen Prüfen Automatisieren, 1987, N4. - pp.185-187.