Метод структурных функций для расчета радиационных поправок к сечениям процессов на коллайдерах и распадам мезонов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Бытьев, Владимир Вячеславович

• Бытьев, Владимир Вячеславович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бытьев, Владимир Вячеславович

Введение

Глава 1. Радиационные поправки к процессу К%.

1.1 Борновское сечение и кинематика процесса

1.2 Расчет РП в низшем порядке ТВ.

1.2.1 расчет вклада мягких реальных фотонов.

1.2.2 Расчет вклада виртуальных фотонов.

1.2.3 Учет излучения жестких реальных фотонов.

1.2.4 Нелидирующие вклады жесткого фотона от структурно-зависимой части.

1.3 Применение аппарата ренорм-группы.

1.3.1 Вычисление лидирующей поправки.

1.4 Спектры и ширины распадов для различных постановок эксперимента

1.5 Сравнение результатов и кинематика процесса с участием жесткого фотона.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод структурных функций для расчета радиационных поправок к сечениям процессов на коллайдерах и распадам мезонов»

Другим аспектом, подчеркивающим необходимость прецизионных расчетов в рамках СМ [1, 2, 3] и, в частности, квантовой электродинамики (КЭД), является тот факт, что сечения и вероятности процессов электродинамической природы по величине как правило превышают таковые неэлектромагнитного происхождения и представляют собой существенный фон при исследовании эффектов физики мезонов, проявлений сильных и слабых взаимодействий.В связи с необходимостью учета вкладов высших порядков ТВ с достаточной точностью полезными являются разного рода приблия^енные методы расчета РП. Среди них ведущее место занимают метод, основанный на использовании группы перенормировок. Он основан на гипотезе подобия и представляет собой обобщение уравнений Гелл-Манна-Лоу и Калана-Симанзика, полученных в КЭД для двух- и трехточечных функций Грина.Основным моментом такого подхода является формулировка, доказательство и последующая интерпретация теоремы о факторизации [4], согласно которой сечение данного процесса с учетом РП может быть представлено сверткой двух факторов, отвечающих вкладам больших и малых расстояний.Плотности вероятности D^.{x,q'^) (корреляторы), описывающие вероятность найти партон А в начальном электроне с долей энергии х и квадратом 4-импульса, играющим роль масштаба, на котором происходит данный процесс, подчиняются уравнениям эволюции, аналогу уравнения Гелл- МаннаЛоу- Каллана- Симанзика, то есть уравнениям группы перенормировок, написанных для вершинных функций и функций Грина в КЭД. Обобщение этих уравнений на случай корреляционных функций D^, введенных выше, было осуществлено В.Н. Грибовым и Л.Н. Липатовым [7, 8, 9], для случая КХД позже это было сделано также Альтарелли, Паризи и Докшицером [10].При этом полагается, что электрон и позитрон, потеряв некоторую часть своей энергии, летят в направлении начальных частиц. Заметим, что функция фуу{х) является сверткой двух корреляторов Dj_ и Dj^.Распад К-мезона играет важнейшую роль в определении элемента Vus матрицы Кабиббо-Кобаяши-Маскавы (ККМ) как наиболее точный способ экспериментального нахождения его значения. В свою очередь, Vus входит в соотношение унитарности (треугольника). Это соотношение есть следствие унитарности матрицы ККМ, необходимое условие для самосогласованности / Стандартной Модели (СМ), а также указание на существование 3-х поколений кварков. Нарушение данного соотношения может быть вызвано также существованием большего количества поколений [12, 13], либо проявлением суперсимметричных частиц [14].Радиационные поправки, достигающие в процессе К^ нескольких процентов, дают значительный вклад в точность определения элемента матрицы VusВычисление радиационных поправок к распаду К^^ было проведено в работах Е.С. Гинзберга [15, 16, 17] и T.Becherrawy [18]. Рассчитанные поправки к полной ширине, распределению в плоскости Далитца, спектрам пиона и позитрона в этих работах между собой не совпадают: изменение в ширине распада К-мезона у Гинзберга —0.45%, в работе T.Becherrawy —2%.В настоящее время проводится множество экспериментов, посвященных Кез распаду, в частности NA48 (CERN), FNAL, в эксперименте ИСТРА на ускорителе в Протвино.Процессы рождения пар мюонов с излучением фотона, или без такового, при столкновениях электрон-позитронных пучков, обычно используются для калибровки светимости установки [19, 20], например, на экспериментах LEP (CERN), DAFNE [21]. Процессы данного типа в борновском приближении были подробно рассмотрены в работах Байера и Хозе [22, 23]. В данной серии вычислений был также подробно описан механизм "возвращения на резонанс", когда при возникновении связанного промежуточного состояния более вероятным становится процесс излучения начальными частицами так, чтобы инвариантная масса виртуального фотона становится близкой к массе резонанса. Энергетический спектр при этом имеет не гауссовскую форму, а приобретает еще и так называемый радиационный "хвост".Если рассматривать процесс рождения пары мюонов с малой инвариантной массой, то такой процесс также можно использовать для определения светимости, так как измерение можно проводить в процессе эксперимента, без изменения энергии пучка [22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29]. Несмотря на то, что предлагаемый процесс подавлен в а раз по сравнению с нерадиационным рождением пары, при высоких светимостях и энергиях современных коллайдеров возможен набор достаточной статистики для определения сечения радиационного рождения мюонной пары [30, 31]. Предварительные исследования коллабораций KLOE [32] и BABAR [33] подтверждают данное утверждение.В настоящее время существует ряд работ, посвященных теоретическим описаниям механизма возвращения на резонанс, особенно рождению пионной пары с малой инвариантной массой [34, 35, 36, 37, 38, 39, 40].Ситуация, когда инвариантная масса рожденной пары мала по сравнению с энергией пучка, реализуется, например, в эксперименте BABAR и используется для определения форм-фактора пиона и нуклона при малых импульсах.Процесс комптоновского рассеяния используется как калибровочный процесс на фотон-электронных коллайдерах [41] умеренно больших энергий и светимостей (SEBAF).Комптоновское рассеяние с учетом радиационных поправок было впервые рассмотрен в работе Брауна и Фейнмана [42] в 1952 году. Были учтены поправки от излучения виртуальных и мягких реальных фотонов в низшем порядке ТВ. Излучение дополнительного жесткого фотона было рассмотрено в работе [43].Поляризованный случай рассмотрен в работе Е. Вельтман [44], а также Шварца [45] в нерелятивистком пределе.В относительно недавних работах Деннера и Диттмайера рассмотрены все поправки в рамках Стандартной Модели [46] в однопетлевом приближении к сечению комптоновского рассеяния с учетом поляризации фотона и электрона в низшем порядке ТВ. Процесс электрон-мюонного рассеяния на большой угол интересен ввиду возможности обнаружения на его фоне следов новой физики, за пределами СМ [47].Также данный процесс очень важен при определении светимости коллайдера, а именно при таком рассеянии электрон и мюон будут двигаться почти в противоположных направлениях, имея большой угол 9 между направлением движения и осью пучка, что упрощает идентификацию данного процесса.Подобные вычисления были проделаны в цикле работ [48], где было рассмотрено электрон-позитронное рассеяние. Также были проделаны вычисления для Баба-рассеяния на двухпетлевом уровне в работе [49], используя методы устранения расходимостей (размерная регуляризация), описанные в работе [50].Расчет двухпетлевых поправок к процессу электрон- мюонного рассеяния был сделан в серии работ [51], но полученные там результаты не окончательны и содержат инфракрасные расходимости. Также опубликованы работы, посвященные вычислению двухпетлевых амплитуд [52], но они выполнены с применением размерной регуляризации, поэтому данные вычисления нельзя использовать для вычисления амплитуд е — /х рассеяния, в частности, из-за необходимости учета разных масс электрона и мюона.Диссертация построена следующим образом.Путем явного вычисления всех вкладов (от излучения виртуальных и дополнительных жестких и мягких фотонов) показано, что логарифмическиусиленный вклад (лидирующий) может быть представлен в виде свертки дифференциальной ширины распада, рассчитанной в борновском приближении с универсальной функцией, а именно функцией фрагментации (структурной функцией) позитрона. Этот факт согласуется с представлением дифференциальной ширины в виде, аналогичном картине Дрела-Яна для сечений полужестких процессов в КХД. Во второй Главе рассмотрен процесс радиационного образования пары мюонов и пионов при электрон-позитронной аннигиляции при высоких энергиях для случая, когда все 5 кинематических инвариантов являются величинами одного порядка и много больше квадрата масс участвуюш;их частиц.Прямым вычислением была показана справедливость представления сечения процесса в форме сечения процесса Дрела-Яна (в форме, согласуюш;ейся с теоремой факторизации), то есть в виде свертки сечения в борновском приближении со структурными функциями начальных (и конечных) частиц. Вычисления в этом случае оказываются весьма громоздкими, в частности, оказывается необходимым рассматривать однопетлевые интегралы с пятью виртуальными частицами (т.н. Пентагон). Так как не удалось получить компактного выражения для вклада нелидирующих членов- они затабулированы в виде функции.В третьей Главе рассмотрен имеющий значительный практический интерес случай радиационного образования пар с малой инвариантной массой по сравнению с энергией в с.ц.и. начальных частиц, но в принципе большой по сравнению с массами частиц. Здесь также подтвердилась справедливость картины Дрела-Яна и проведено вычисление нелидирующих вкладов. Этот кинематический случай известен как механизм "возвращения на резонанс" и широко используется для изучения свойств адронов при не слишком больших энергиях (до Mz) на е'^е коллайдерах.В четвертой Главе рассмотрен процесс комптоновского рассеяния на большой угол. Этот процесс используется для целей калибровки и мониторирования пучков на фотон-электронном коллайдере SEBAF в лаборатории Джефферсона. Необходимость в расчете РП с учетом вкладов высших приближений вызвана возможностью постановки прецизионных опытов на установке с высокой светимостью. Используя полученный в известной работе Брауна и Фейнмана (1952) результат вычисления виртуальных поправок и дополняя его вкладом от излучения дополнительного фотона, получено дифференциальное по энергии и углу сечение, учитывающее РП высших порядков ТВ. Оно может быть также представлено в форме сечения процесса ДрелаЯна. Также как и в рассмотренных выше процессах это сечение обнаруживает явление "возвращения на резонанс" и проявляет рост, имитирующий Sфункцию в случае, когда энергия и угол рассеяния конечного фотона связаны функциональной зависимостью в борновском приближении.В пятой Главе рассмотрен процесс квазиупругого электрон-мюонного рассеяния на большой угол в пределе больших энергий, могущий быть использован как для калибровочных целей электрон-мюонных коллайдеров (будущего) так и для измерения возможных отклонений от предсказаний Стандартной модели. Показано, что сечение имеет вид сечения процесса ДрелаЯна. В этой Главе предпринята попытка вычисления нелидирующих вкладов, связанных с двухпетлевыми диаграммами Фейнмана. Эта часть работы осталась незавершенной.В Прилолсениях приведены асимптотики петлевых интегралов скалярного, векторного и тензорного типа, а также детали вычислений.В Заключении подробно обсуждаются основные результаты работы и приводятся конкретные экспериментальные программы, использующие полученные теоретические предсказания.В основу диссертации положены работы, выполненные в 2001-2004 годах в Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова ОИЯИ,а также представлялись и докладывались на международной зимней школе ПИЯФ по физике ядра и частиц (Репино, 2003), на школе молодых ученых и специалистов (Дубна, 2004). По материалам диссертации опубликовано шесть работ [53, 54, 55, 56, 57, 58].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Бытьев, Владимир Вячеславович

Основные результаты главы приведены в плоскости Далитц-распределения (1.60, 1.61, 1.64, 1.65, 1.66), где приведены явные выражения для РП в лидирующем и нелидирующем приближении, (1.78, 1.79) для поправок к спектрам пиона и позитрона, (1.83, 1.84) для излучения жесткого фотона, (1.120) для значения \VUS\. Точность формул может быть оценена исходя из следующих предположений:

1. отбрасывание вкладов высших порядков по ТВ, (аЬе/тг)п,п > 2, величина которых меньше чем 0.03%

2. отбрасывание вкладов в структурно- зависимую часть матричного элемента от высших порядков в рамках керальной теории, порядка 0.05%

Соотношения в процентах взяты по отношению к борновскому сечению. Конечная точность результата вычислений может быть оценена на уровне

По сравнению с работами [15, 18] проведенные вычисления более корректны по следующим причинам:

1. убрана зависимость от от ультрафиолетового обрезания заменой А =

Mw,

2. описана зависимость от большого логарифма Le и показано, почему поправка к полной ширине не зависит от массы позитрона те пределе те —> 0

3. эффекты от сильных взаимодействий рассмотрены в низшем порядке керальной теории и показано, что более высокие вклады пренебрежимо

4. даны явные выражения для Далитц-распределения, спектров пиона и позитрона, ширины распада, которые могут быть использованы при анализе экспериментальных данных.

Эволюция константы взаимодействия в области квадрата импульса виртуального фотона от М2 до М|, может быть учтена заменой [70] (а также [72]) величины Sw на SEW = 1 + (а/тг) 1п(М£/М2) = 1.0232. Тогда поправка к полной ширине будет равна

60, 66] = (1 + 8(1 ±0.01)). i о

1.117) малы Г = l + s = 1.02,

1.118) о для элемента матрицы ККМ получим

Vusf+(0)\ = 0.214 ± 0.002.

1.119)

Поправка к полной ширине получается на уровне +2% тогда как в работе Э. Гизбурга —0.45%, Becherrawy —2%. Разница возникает из-за того, что Гизбург и Becherrawy не использовали фактор Sew

Для вычисления Vus используется значение форм-фактора /+(0) = 0.9842± 0.0084, вычисленное в работе [72], учитывающий фотонные петли и посчитанный с точностью до 0(р6) в рамках керальной теории. Для исключения двойного счета мы использовали значение /™es(0) = 1.0002 ± 0.0022, члены порядка р6 дают вклад /+(0)|рв = —0.016 ± 0.0008). Используя данные числа для Vus получаем:

VU,| = 0.21715 ±0.0055. (1.120)

В ошибку величины входят вклады от теоретической неопределенности ±0.0003 (отброс членов вне определенной точности), ошибка при определении излучения от структурно-зависимой части ±0.005, ошибки экспериментальных значений ±0.0022 и неучтенные вклады в рамках керальной теории на уровне 0.0008.

РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ БИБЛИОТЕКА г/У 0.07 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85

1.025 3.83 4.37 3.71 2.01 -0.21 -2.47 -4.31 -5.11 -3.81

0.975 3.76 3.49 2.07 0.05 -2.07 -3.83 -4.61 -3.35

0.925 3.26 2.13 0.32 -1.67 -3.35 -4.11 -2.88

0.875 3.04 2.18 0.58 -1.26 -2.86 -3.60 -2.39

0.825 2.25 0.85 -0.86 -2.37 -3.08 -1.88

0.775 1.14 -0.41 -1.83 -2.51 -1.28

0.725 1.39 -0.04 -1.39 -2.03 -0.72

0.675 0.38 -0.86 -1.48

0.625 -0.35 -0.89

0.580 -0.23

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бытьев, Владимир Вячеславович, 2005 год

1. S.L. Glashow, Partial symmetries of weak interactions, Nucl. Phys. 22 (1961)579.

2. S. Weinberg, A model of leptons, Phys. Rev. Lett. 19 (1967) 1264.

3. A. Salam, in "Elementary particle theory", ed. N. Svartholm, Stockholm, Almqvist and Wiksel, (1968) 367.

4. J.C. Collins, D.E. Soper, G. Sterman Factorization of hard processes in QCD, in Pertubative quantum chromodynamics,ed. A.H. Mueller, World Scientific (1989).

5. E. A. Kuraev and V. S. Fadin, On radiative corrections To e"*" e single photon annihilation at high-energy, Sov. J. Nucl. Phys. 41 (1985) 466 Yad. Fiz. 41 (1985) 733..

6. S.D. Drell, T.M. Yan, Massive lepton pair production in hadron-hadron collisions at high energies, Phys. Rev. Lett. 25 (1970) 316.

7. V.N. Gribov, L.N. Lipatov, Глубоконеупругое электрон-протонное рассеяние в теории возмущений, Yad. Fiz. 15 (1972) 781, Sov. J. Nucl. Phys. 15 (1972) 438.,

8. W.J. Marciano and A. Sirlin, Radiative corrections to /3 decay and the possibility of a fourth generation, Phys. Rev. Lett. 56 (1986) 22.

9. W.E. Ormand and B.A. Brown, Corrections to the Fermi matrix element for superallowed ^ decay, Phys. Rev. Lett. 62 (1989) 866.

10. R. Barbieri, Bouchiat, A. Georges, P. Le Doussal, Quark-lepton non- universality in supersymmetric models, Phys. Lett. В 156 (1985) 348.

11. E. S. Ginsberg, Radiative corrections to K^ decays, Phys. Rev. 142 (1966), 1035

12. E. S. Ginsberg, Radiative corrections to the K^ dalitz plot, Phys. Rev. 162 (1967) 1570, Erratum-ibid. 187 (1969) 2280.,

13. E. S. Ginsberg, Radiative corrections to K% decays and the delta-I=l/2 rule, Phys. Rev. 171 (1968) 1675, Erratum-ibid. 174 (1968) 2169..

14. T.Becherrawy, Radiative correction to Kiz decay, Phys. Rev. D l (1970), 1452.

15. V. A. Khoze, M. I. Konchatnij, N. P. Merenkov, G. Pancheri, L. Trentadue and O. N. Shekhovzova, Radiative corrections to the hadronic cross-section measurement at DAPHNE Eur. Phys. J. C18 (2001) 481.

16. G. Rodrigo, H. Czyz, J. H. Kuhn, Radiative return at NLO: the PHOKHARA Monte Carlo generator, hep-ph/0205097.

17. A. Aloisio et al., KLOE, A general purpose detector for DAFNE, preprint

18. NF-92/019 (IR), The DAFNE Physics Handbook Vol. 2, 1993.

19. V. N. Baier and V. A. Khoze, Photon Emission In Muon Pair Production In Electron - Positron Collisions, Sov. Phys. JETP 21 (1965) 629, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 48, 946 (1965).,

20. V. N. Baier, V. A. Khoze, Излучение фотона при электромагнитной аннигиляции тяжелых частиц, Yad. Fiz. 2 (1965) 287.

21. М. S. Chen and P. М. Zerwas, Secondary Reactions In Electron - Positron (Electron) Collisions, Phys. Rev. D 11 (1975) 58.

22. M. W. Krasny, W. Placzek and H. Spiesberger, Determination of the longitudinal structure function at HERA from radiative events, Z. Phys. C53 (1992) 687.

23. A. B. Arbuzov, E. A. Kuraev, N. P. Merenkov and L. Trentadue, Hadronic cross-sections in electron positron annihilation with tagged photon JHEP 009 (1998) 9812.

24. H. Anlauf, A. B. Arbuzov, E. A. Kuraev and N. P. Merenkov, Tagged photons in DIS with next-to-leading accuracy, JHEP 9810 (1998) 013, QED corrections to deep inelastic scattering with tagged photons at HERA, Phys. Rev. D59 (1999) 014003.

25. S. Spagnolo, The hadronic contribution to the muon g-2 from hadron production in initial state radiation events at the e+ e- collider DAPHNE, Eur. Phys. J. C6 (1999) 637.

26. S. Binner, J. H. Kuhn and K. Melnikov, Measuring sigma(e+ e—> hadrons) using tagged photon Phys. Lett. B459 (1999) 279.

27. M. Benayoun, S. L Eidelman, V. N. Ivanchenko and Z. K. Silagadze, Spectroscopy at B-factories using hard photon emission, Mod. Phys. Lett. A14 (1999) 2605.

28. X. C. Lou, T. Benninger and W. M. Dunwoodie, Physics With The Initial State Radiation Events At В Factory Experiments, Nucl. Phys. A675 (2000) 253.

29. A. G. Denig et al. [the KLOE Collaboration], Measuring the hadronic cross section via radiative return Nucl. Phys. Proc. Suppl. 116 (2003) 243.

30. E. P. Solodov [BABAR collaboration]. Study of e+ e- collisions in the 1.5-GeV - S-GeV cm energy region using ISR at BaBar'm Proc. of the e^e Physics at Intermediate Energies Conference ed. Diego Bettoni, eConf C010430, T03 (2001) hep-ex/0107027..

31. A. B. Arbuzov et al.. Radiative corrections for pion and kaon production at e+ e- colliders of energies below 2-GeV ЗЯЕР 9710 (1997) 006.

32. A. Hoefer, J. Gluza and F. Jegerlehner, Pion pair production with higher order radiative corrections in low energy e+ e- collisions Eur. Phys. J. C24 (2002) 51.

33. G. Rodrigo, H. Czyz, J. H. Kuhn and M. Szopa, Radiative return at NLO and the measurement of the hadronic cross-section in electron positron annihilation, Eur. Phys. J. C24 (2002) 71.

34. J. H. Kuhn and G. Rodrigo, The radiative return at small angles: Virtual corrections, Eur. Phys. J. C25 (2002) 215.

35. J. Gluza, A. Hoefer, S. Jadach and F. Jegerlehner, Measuring the FSR- inclusive pi+ pi- cross section, Eur. Phys. J. C28 (2003) 261.

36. I. F. Ginzburg, G. L. Kotkin, V. G. Serbo and V. I. Telnov, Production of high- energy colliding gamma gamma and gamma e beams with a high luminosity at Vlepp accelerators JETP Lett. 34 (1981) 491, Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 34 (1981) 514..

37. L. M. Brown and R. P. Feynman, Radiative corrections to compton scattering, Phys. Rev. 85 (1952) 231, A.I. Akhiezer, V.B. Berestetski "Quantum Electrodinamics" Nauka, Moscow (1981), formulae (5.5.13)

38. F. Mandl and T. H. R. Skyrme, The theory of double Compton effect, Proc. Roy. Soc A215 (1952) 497.

39. H. G. J. Veltman, Radiative corrections to polarized compton scattering, Phys. Rev. D 40 (1989) 2810, Erratum-ibid. 42 (1990) 1856..

40. M. L. Swartz, A complete order-alpha**3 calculation of the cross section for polarized Compton scattering, Phys. Rev. D 58 (1998) 014010.

41. G. G. Boyarkina and O. M. Boyarkin, Searches for violation of lepton flavor at muon colliders, Phys. Atom. Nucl. 60 (1997) 601, Yad. Fiz. 60 (1997) 683..

42. A. B. Arbuzov, E. A. Kuraev and B. G. Shaikhatdenov, Second order contri butions to the elastic large-angle Bhabha scattering cross-section. I: All except 2-loop box diagrams. Mod. Phys. Lett. A13 (1998) 2305.

43. E. W. N. Glover, J. B. Tausk and J. J. Van der Bij, Second order contributions to elastic large-angle Bhabha scattering, Phys. Lett. B516 (2001) 33.

44. S. Catani, The singular behaviour of QCD amplitudes at two-loop order, Phys. 1.ett. B427 (1998) 161.

45. G. Faldt and P. Osland, Decorated box diagram contributions to Bhabha scat tering. 1, Nucl. Phys. B413 (1994) 16, Erratum-ibid. B419 (1994) 404., Decorated box diagram contributions to Bhabha scattering. 2, Nucl. Phys. B413 (1994) 64.

46. V. А. Smirnov and О. L. Veretin, Analytical results for dimensionally regularized massless on-shell double boxes with arbitrary indices and numerators, Nucl. Phys. B566 (2000) 469.

47. A. B. Arbuzov, V. V. Bytev and E. A. Kuraev, Radiative muon pair production in high-energy electron positron annihilation process, JETP Lett. 79 (2004) 593, Письма в ЖЭТФ, 79 (2004) 729.

48. A. В. Arbuzov, E. Bartos, V. V. Bytev, E. A. Kuraev and Z. K. Silagadze, High accuracy description of radiative return production of low-mass muon and pion pairs at e'^e colliders, JETP Letters, 80 (2004) 806.

49. V. V. Bytev, E. A. Kuraev and B. G. Shaikhatdenov, (Quasi)elastic large- angle electron muon scattering in the two-loop approximation: Contributions of the eikonal type, J. Exp. Theor. Phys. 96 (2003) 193, Ж Э Т Ф 123 (2003) 224.

50. V. Bytev, E. Kuraev, A. Baratt and J. Thompson, Radiative corrections to the K-h-feS) decay revised, Eur. Phys. J. C27 (2003) 57, Erratum-ibid. C34 (2004) 523.

51. V. V. Bytev, E. A. Kuraev and B. G. Shaikhatdenov, (Quasi)elastic electron muon large-angle scattering to a two-loop approximation: Vertex contributions, J. Exp. Theor. Phys. 95 (2002) 404, Ж Э Т Ф 122 (2002) 472.

52. A. N. Ilyichev, E. A. Kuraev, V. Bytev and Y. P. Peresun'ko, Compton and double Compton scattering processes at colliding electron photon beams, J. Exp. Theor. Phys. 127 (2005) 37.

53. L. B. Okun "Leptons and quarks" Nauka, Moscow (1981).

54. J.Bijnens, G.Colangelo, G.Ecker, and J.Gasser, The Second DAФNE Physics Handbook, voLl, 313.

56. A. L Akhiezer and V. B. Berestetski, Quantum Electrodynamics, 1981.

57. V.B.Berestetski, E.Lifshitz, L.Pitaevski,'Quantum Electrodynamics'.

58. J. Gasser and H. Leutwyler, Chiral perturbation theory: expansions in the mass of the strange quark, Nucl. Phys. B250 (1985) 465, 1.ow-energy expansion of meson form-factors, Nucl. Phys. B250 (1985) 517.

59. J. Bijnens, G. Ecker and J. Gasser, Radiative semileptonic kaon decays, Nucl. Phys. B396, (1993) 81.

60. B. R. Holstein, Radiative Ki^ decays and chiral symmetry, Phys. Rev. D 41 (1990) 2829.

61. V. N. Baier, V. S. Fadin and V. A. Khoze, Quasireal electron method in high- energy quantum electrodynamics, Nucl. Phys. B65 (1973) 381 .

62. M. V. Terentev, Branching ratio Г{тт -^ еи)/Г{п —>• ци) with account of electromagnetic corrections and contribution from strong interactions, Yad. Fiz. 18 (1973) 870, Sov. J. Nucl. Phys. 18 (1974) 449..

63. W. J. Marciano and A. Sirlin, Radiative corrections to pi(lepton 2) decays, Phys. Rev. Lett. 71 (1993) 3629.

64. R. Decker and M. Finkemeier, Short and long distance effects in the decay tau —)• pi tau-neutrino (gamma), Nucl. Phys. В 438 (1995) 17.

65. V. Cirigliano, M. Knecht, H. Neufeld, H. Rupertsberger and P. Talavera, Radiative corrections to K(13) decays, Eur. Phys. J. С 23 (2002) 121.

66. N-P. Chang, Electromagnetic correction effects on the тг"*" -4 •a^e'^v decay, Phys. Rev. 131 (1963) 1272.

67. E. S. Ginsberg, Radiative corrections to К^з decays, Phys. Rev. D l (1970) 229.

68. A. B. Arbuzov, E. Bartos, V. V. Bytev, E. A. Kuraev and Z. K. Silagadze, High accuracy description of radiative return production of low-mass muon and pion pairs at e'^e colliders, JETP Letters, 80 (2004) 806.

69. F. A. Berends and R. Kleiss, Distributions in the process e'^e -> ц^ти{'у), Nucl. Phys. B177 (1981) 237.

70. S. Eidelman and F. Jegerlehner, Hadronic contributions to g-2 of the leptons and to the effective fine structure constant alpha (M(z)**2), Z. Phys. C67 (1995) 585.

71. P. Kessler, Sur une methode simpli ее de calcul pour les processus relativistes en electrodynamique quantique, Nuovo Cim. 17 (1960) 809.

72. V. N. Baier, E. A. Kuraev, V. S. Fadin and V. A. Khoze, Inelastic processes in Quantum electrodynamics at high-energies, Phys. Rept. 78 (1981) 293. I l l

73. V. V. Bytev, E. A. Kuraev and B. G. Shaikhatdenov, JINR preprint E2-2002- 56.

74. V. N. Baier, V.S. Fadin, Radiative corrections to the resonant particle pro duction, Phys. Lett. B27 (1968) 223.

75. F. A. Berends, R. Kleiss, S. Jadach and Z. Was, QED Radiative Corrections To Electron - Positron Annihilation Into Heavy Fermions, Acta Phys. Polon. B14 (1983) 413.

76. A. B. Arbuzov et al., Large angle QED processes at e+ e- colliders at energies below 3'GeV, JHEP 9710 (1997) 001.

77. E. A. Kuraev, N. P. Merenkov and V. S. Fadin, The Compton Effect Tensor With Heavy Photon. (In Russian), Yad. Fiz. 45 (1987) 782.

78. A. B. Arbuzov, E. A. Kuraev and B. G. Shaikhatdenov, Violation of the fac torization theorem in large-angle radiative Bhabha scattering, J. Exp. Theor. Phys. 88 (1999) 213, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 115 (1999) 392..

79. O. Nicrosini and L. Trentadue, Soft photons and second order radiative cor rections to e+e" -> Zo, Phys. Lett. B196 (1987) 551.

80. S. Eidelman and F. Jegerlehner, Hadronic contributions to g-2 of the leptons and to the effective fine structure constant alpha (M(z)**2), Z. Phys. C67 (1995) 585.

81. C. R. Hagen and M. A. Samuel, Impossibility of finite charge renormalization in sixth order, Phys. Rev. Lett. 20 (1968) 1405.

82. S. Jadach, M. Skrzypek and B. F. L. Ward, Analytical results for low angle Bhabha scattering with pair production, Phys. Rev. D47 (1993) 3733.

83. F. A. Berends, R. Kleiss, P. De Causmaecker, R. Gastmans, W. Troost and T. T. Wu, Multiple bremsstrahlung in gauge theories at high-energies. 2. Single bremsstrahlung Nucl. Phys. 206B (1982) 61.

84. R. Barbieri, J. A. Mignaco and E. Remiddi, Electron Form-Factors Up To Fourth Order. 1, Nuovo Cim. A l l (1972) 824.

85. J. S. Schwinger, Quantum Electrodynamics. Ill: The electromagnetic proper ties of the electron: radiative corrections to scattering, Phys. Rev. 76 (1949) 790.

86. A. B. Arbuzov, E. A. Kuraev, N. P. Merenkov and L. Trentadue, Virtual and soft real pair production in large angle Bhabha scattering, Phys. Atom. Nucl. 60 (1997) 591, Yad. Fiz. 60N4 (1997) 673..

87. A.B. Arbuzov and E.A. Kuraev, Small-Angle Bhabha Scattering , Phys. Part. Nucl. 27 (1996) 510.