Метод построения трехмерных оптимальных сеток тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Ушакова, Ольга Васильевна

• Ушакова, Ольга Васильевна
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ушакова, Ольга Васильевна

Введение

ГЛАВА 1. Основы численного анализа трехмерных сеток

1.1 Конструирование сеток с помощью отображений.

1.2 Основные требования, предъявляемые к сеткам.

1.3 Требование невырожденности сеток.3G

1.4 Невырожденность шестигранных ячеек.

1.4.1 Построение шестигранных линейчатых ячеек с помощью трилинейного отображения.

1.4.2 Якобиан трилинейного отображения.

1.4.3 Условия положительности якобиана трилинейного отображения.

1.4.4 Специальный алгоритм для тестирования якобиана на положительность.G

1.4.5 Критерии невырожденности па практике построения структурированных сеток.

1.4.6 О допустимости вырожденных шестигранных ячеек.

1.5 Невырожденность тетраэдральных ячеек.

1.6 Невырожденность пирамидальных ячеек.

1.6.1 Построение пирамидальных ячеек с помощью отображения.

1.6.2 Критерии положительности якобиана отображения.

1.7 Невырожденность призматических ячеек.

1.7.1 Построение призматических ячеек с помощью отображения.

1.7.2 Критерии положительности якобиана отображения в виде неравенств на объемы тетраэдров.

1.8 Невырожденность других видов криволинейных трехмерных ячеек

1.8.1 Построение криволинейных ячеек с помощью полипомов

Бериштейиа-Безье.

1.8.2 Условия положительности якобиана для обобщения трилинейного отображения.

1.8.3 Выводы по условиям невырожденности.

1.9 Формулы для вычисления объемов различных видов трехмерных ячеек .;.

1.9.1 Объем шестигранных линейчатых ячеек.

1.9.2 Сравнение различных формул объема шестигранной ячейки.

1.9.3 Объем пирамидальных линейчатых ячеек.

1.9.4 Объем призматических линейчатых ячеек.

1.10 Классификация шестигранных ячеек.

1.10.1 Вырожденные шестигранные ячейки.

1.10.2 Невырожденные "выкрученные" шестигранные ячейки.

1.10.3 Невырожденные "невыкручснные" шестигранные ячейки.

1.10.4 Алгоритм тестирования трехмерных сеток.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод построения трехмерных оптимальных сеток»

Большое число физических явлений и процессов описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями или дифференциальными уравнениями в частных производных. И только для небольшой части дифференциальных уравнений обоих типов удается найти точное решение. В большинстве случаев при исследовании физических явлений и процессов средствами математического моделирования дифференциальные уравнения решаются численно. Общепринятая стратегия численного решения дифференциальных уравнений состоит в замене непрерывной среды области, в которой происходит физический процесс или явление, дискретным набором точек, называемым сеткой, а дифференциальных уравнений или их систем — соответствующими данной сетке системами алгебраических уравнений. От того, как выбрана сетка зависит и процесс решения задачи, и его результат. О важности этапа выбора и построения расчетной сетки в численном решении задачи говорится в монографии К. И. Бабенко Основы численного анализа (Наука, Москва, 1986) [8]. В монографии подчеркнуто, что в вопросах вычислительной технологии и математического моделирования методы конструирования сеток и нумерации узлов могут быть центральными и по значимости превосходить методы оценок погрешностей.

Развитие методов построения сеток было стимулировано запросами вычислительной гидродинамики. Однако методы расчета сеток нужны в равной степени и в других задачах математической физики, где необходимо рассчитывать поле какой-либо физической величины в области с произвольными границами. Это прежде всего относится к задачам электромагнетизма, магнитогидродинамики, моделирования океана и атмосферы, тепломассоперено-са, микроэлектроники и биомедицины.

Методы конструирования сеток стали интенсивно развиваться с конца 50-х годов (см. [50,112], Soviet Journal of Numerical Analysis and Mathematical

Modelling, 1989 и Вычислительные технологии, 1992). Было выполнено несколько циклов исследований как российских авторов — С. К. Годунова, Г. П. Прокопова, Н. Н. Яненко, А. Ф. Сидорова, В. Д. Лисейкииа, В. П. Ша-псева, Ю. П. Мещерякова, Н. Т. Данаева, А. А. Самарского, Н. И. Мажу-кина, Н. А. Дарьина, JI. М. Дегтярева, С. А. Иваненко, А. А. Чарахчьяпа, А. М. Сорокина, Б. Н. Азареика и др., так и иностранных — А. М. Winslovv,

A. В. White, J. F. Thompson., Z. U. A. Warsi, C. W. Mastin, H. A. Dwycr,

B. K. Soni, P. R. Eiseman, P. Knupp, и др. (список, разумеется, далеко не полный), в которых обсуждаются как общие вопросы построения сеток, так и и более конкретные подходы и методы.

Интерес к проблемам построения сеток особенно усилился в связи с переходом к многомерным расчетам. Конец восьмидесятых годов характеризуется (см., например, [107] Лисейкин, 1999) созданием трехмерных генераторов сеток — универсальных компьютерных программ, используемых для построения сеток при моделировании различных типов физических задач.

Развитие методов построения сеток привело к тому, что алгоритмы и программы для расчета сеток в сложных областях, а также программные средства для описания геометрий областей стали общепризнанным инструментом математического моделирования и используются для численного решения широкого круга задач математической физики. Главным образом за рубежом созданы, активно используются и нашли свое применение во многих отраслях промышленности двумерные и трехмерные программы построения сеток, была создана "индустрия" и рынок программных продуктов для построения сеток, созданы международные стандарты описания геометрий областей и задания сеток ( [121] Thompson, Soni, Weatherill, 1999).

Сформировались различные направления развития методов построения сеток. Существует большое разнообразие подходов. Классифицируя их по средствам конструирования сеток, среди них можно выделить следующие главные направления: алгебраические методы, методы построении сеток с помощью дифференциальных уравнений, вариационные методы. Самые рас-проетраппые методы построения сеток — это алгебраические методы. В этих методах координаты узлов сеток вычисляются по явным алгебраическим формулам и с использованием известных преобразований. К этим методам относят методы интерполяции, конструирование сеток с помощью сплайнов и др. Это самые быстрые методы. Для многих типов областей они генерируют невырожденные и хорошего качества сетки. Именно большинство известных трехмерных генераторов сеток используют данные методы. Эти методы удобны для построения блочпо-структурированиых сеток. Главный недостаток алгебраических методов это то, что для многих областей геометрически сложной формы они не гарантируют построение сеток хорошего качества и невырожденных. Построение сеток с помощью дифференциальных уравнений осуществляется путем решения различных типов дифференциальных уравнений — эллиптических, параболических, гиперболических. Подробно это направление описано в отечественной литературе в [22] (Годунов, Забродин, Прокопов и др.), в зарубежной — в [118] (Thompson, Warsi, Mastine), новые тенденции — в [37,108] (Лисейкин). В этом направлении существует большое разнообразие различных подходов. В вариационных методах построение сеток осуществляется путем минимизации некоторых мер качества сеток или иных величин. Они являются наиболее гибкими в построении сеток, удовлетворяющим различным требованиям, в управлении формой ячеек, в построении адаптивных сеток и др. [2,22,25,27,28,33-36,42,80,121] (Годунов, Забродин, Прокопов, Thompson, Soni, Weatherill, Иваненко, Лисейкин, Азаренок и др.). Между различными направлениями существуют тесная взаимосвязь. Часто характеризуя метод, можно выделить в нем использование элементов различных направлений.

Публикуются обзоры по методам построения, сборники статей и трудов конференций, монографин. Среди последних можно выделить как монографии, рассматривающие вопросы численного моделирования, где вопросы построения сеток формируют самостоятельную и неотъемлемую часть, например, Численное решение многомерных задач газовой динамики под редакцией С. К. Годунова, А. В. Забродина, М. Я. Иванова, А. Н. Крайко, Г. П. Про-копова (М.:Наука, 1976) [22], так и монографии, посвященные отдельно теме построения сеток, например Numerical Grid Generation: Foundation and Applications, J. F. Thompson, Z. U. A. Warsi, C. W. Mastine (North Holland, 1985) [118], Fundamentals of Grid Generation, P. M. Knupp и S. Steinberg (Springer, 1994) [106], Адаптивно-гармонические сетки, С. А. Иваненко (M.: ВЦ РАН. 1997) [25], Grid Generation Methods (Springer, 1999), A Computational Differential Geometry Approach to Grid Generation (Springer, 2003), V.D.Liseikin [107,108], Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики, А. Н. Гильманов (М.: Наука. ФИЗМАТЛИТ, 2000) [20], Selected Chapters on Grid Generation and Applications, S. A. Ivanenko (CC RAS, Moscow, 2004) [95], и др. Более полный список монографий и сборников можно найти в Интернете на сайте: http://www-users.informatik.rwth-aachen.de/ roberts/literature.html). Там же можно найти список ученых, занятых исследованиями по рассматриваемой тематике по странам, перечень заявленных программных продуктов, сравнение некоторых из них, информацию об объявленных конференциях и многое другое.

По-мимо выделенных книг можно отдельно указать также книгу Handbook of Grid Generation под редакцией J. F. Thompson, В. К. Soni, и N. P. Weatlierill (CRC Press, 1999) [99], собравшую в себя описание современных технологий и представившую много различных школ по построению сеток.

Из Российских подходов [50] в данной книге были представлены два подхода: вариационный подход к построению гармонических сеток С. А. Иваненко и вариационный подход к построению оптимальных сеток А. Ф. Сидорова, О. Б. Хайруллиной и О. В. Ушаковой. Дальнейшее развитие этих подходов было описано, в частности, в недавно вышедшей книге Advances of grid generation, (Novoscience publishers, 2005, ed. О. V. Ushakova) [75].

Вариационный подход к построению оптимальных сеток в областях геометрически сложной формы развивается в течении уже более сорока лет [52,99,112]. Он был предложен А. Ф. Сидоровым в конце пятидесятых. Тогда же была создана первая программа автоматического выбора расчетной сетки и предложена методика МОПС (массовые оптимальные сетки) для построения оптимальных одномерных сеток [4G] близких к равномерным с заданными значениями граничных интервалов. Описание алгоритма было опубликовано в 1966 г. Методика МОПС использовалась при решении задач энерговыделепия в Российских федеральных ядерных центрах в г. Саро-ве и г. Снежниске [38]. Она обеспечивает автоматический расчет сетки при задании ориентировочного числа интервалов в областях и допустимого перепада масс на их границах. Позднее была предложена концепция построения криволинейных сеток в областях сложной формы, основанная па минимизации функционалов, отвечающих за близость сеток к определенным видам качеств: равномерности, ортогональности и адаптации к решениям дифференциальных задач [48,49] (Численные методы механики сплошной среды, 1981 — Сидоров, Шабашова, 1985 — Сидоров, Ушакова). В рамках этой концепции были созданы и разработаны программы построения сеток. В частности, программа МОПС-2 (многомерные оптимальные сетки) и ее версии для параллельного расчета геометрически оптимальных структурированных и блочно-структурированных сеток в двумерных односвязиых и многосвязных областях геометрически сложной формы со сложной топологией ( [97,113] Хайруллипа, Хайруллип, Артемова), программы для построения одномерных и двумерных оптимальных адаптивных сеток, в том числе и параллельные ( [49,57,58,125] Ушакова). Были разработаны алгоритмы и программы для построения невырожденных начальных сеток, используемых в качестве начальных приближений для итерационных процедур расчета сеток, на основе R-функций — для двумерных областей звездного типа ( [18] Гасилова), и на основе геометрического подхода — для трехмерпых областей ( [31] Сидоров, Бронина). Двумерные оптимальные сетки использовались О. Б. Хайруллипой для решения различных задач математической физики, в частности, для моделирования вихревых течений газа в каналах сложных геометрий [7,65-67, 98]. Применение оптимальных гладких блочно-структурированных криволинейных сеток явилось весьма существенным фактором при решении задачи [7,65-67,98]. Хорошие аппрокси-мациоиные качества используемых сеток [24, 72, 91] стали основой достигнутых результатов. Работы [7, 65-67,97,98] были только частью большого цикла исследований по разработке эффективных методов моделирования газодинамических и акустических процессов в камерах сгорания твердотопливных ракетных двигателей, за которые А. Ф. Сидорову, О. Б. Хайруллипой, О. В. Коковихиной и большой группе других ученых была присуждена государственная премия Российской Федерации в области науки и техники. Были найдены точные решения для специальных вариационных задач расчета сеток в двумерном случае А. Ф. Сидоровым [47], в трехмерном — J1. И. Ру-бииой [45]. Эти решения могут быть использованы в качестве тестов для алгоритмов и программ расчета сеток. К. В. Емельяновым проведены теоретические исследования по применению оптимальных сеток к численному решению задач с пограпслоями [24,91]. В трехмерном случае подход описан в [52,99,112,113]. Его основной чертой является специальный способ формализации критерия близости сетки к равномерной, обеспечивающий вместе с критерием ортогональности гладкость сеток, реализацию различных краевых условий для построения сеток и возможность создания эффективных вычислительных процедур для расчета сеток на основе дискретных и вариационных формулировок. Итерационные алгоритмы расчета трехмерных сеток могут быть разработаны на тех же идеях, что и в двумерном случае. И хотя эффективных автоматизированных комплексов программ в трехмерном случае [52,99,112,113] создано не было, первый опыт в этом направлении получен в [70] (Шабашова, 1986). Это пе полный перечень разработок, выполненных в рамках подхода [52,99,112].

Несмотря на достигнутый прогресс, запросы математического моделирования требуют дальнейшего развития и усовершенствования методов построения сеток.

Актуальность темы исследования обусловлена необходимостью решения важных практических задач на основе методов численного моделирования пространственных физических процессов, отсутствием падежных численных методов построения трехмерных сеток, удовлетворяющих заданным критериям качества, а также отсутствием экономичных способов анализа качества трехмерных сеток.

Создание и развитие данного метода построения сеток было определено потребностями математического моделирования задач многокомпонентной гидродинамики. Динамика многокомпонентных сред очень важная область прикладных исследований во многих научных областях, таких как физика высоких плотностей и энергий (термоядерный синтез, взрывные процессы), астрофизика (зарождение и эволюция звезд, сверх новые звезды), физика атмосферы и гидросферы Земли. Физические задачи, возникающие в данных областях, характеризуются гидродинамической неустойчивостью, возникновением вихревых и потоковых течений, а также сильными деформациями границ областей, в которых происходят физические процессы. Математическое моделирование гидродинамических течений в таких средах и потеря начальной топологической структуры представляет собой очень сложную проблему. Разностные методы с использованием лагранжевых переменных и структурированных сеток просты в реализации для таких задач и позволяют описывать как границы, так и детали течения. Но и они становятся непригодными при сильных деформациях границ. В данном случае возникают сильно искривленные сетки, близкие к вырожденным, сильно различающиеся по размерам и форме ячеек, что ведет к потере аппроксимации и точности. В этом случае расчеты часто становятся невозможными. Для продолжения расчетов должна применяться глобальная перестройка сетки с целью улучшения ее качества и консервативная переиптерполяция газодинамических полей. Многие процессы в таких задачах происходят в областях вращения, а также в объемах, полученных деформациями данных областей. Таким образом, создание и разработка метода построения трехмерных оптимальных сеток крайне важны и актуальны для математического моделирования многокомпонентных сред.

Целью работы является: разработка, исследование и программная реализация новых методов построения расчетных сеток для математического моделирования течений жидкости и газа в трехмерных областях со сложной формой границ; создание эффективных и падежных средств численного анализа трехмерных сеток, предназначенных для автоматического анализа трехмерных сеток, подсчета их геометрических и качественных характеристик в процессе осуществления математического моделирования задач; применение метода и созданных средств численного анализа в практических расчетах сеток для математического моделирования пространственных задач многокомпонентной гидродинамики.

Использование методов построения и генераторов сеток в численных расчетах открывает широкие возможности повышения эффективности и экономичности вычислительных алгоритмов, позволяет проводить высокоточные расчеты и улучшает вычислительные свойства используемых методов. Вместе с тем, разработка методов построения ссток требует решения целого комплекса проблем и является сложной задачей.

Данная диссертация представляет собой новый естественный этап развития подхода [52,99,112]. В диссертации для трехмерного случая разработан метод построения оптимальных ссток и описан соответствующий автоматизированный комплекс программ. (В [55], Ушакова, 1990 подход [112] был реализован в одномерном и двумерном случае.)

По мере разработки трехмерного метода были получены новые результаты, сформировавшие основы численного анализа трехмерных сеток [61,129] (ЖВМ и МФ, Ушакова, 2001 и Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2004), с изложения которых начинается описание метода в главе 1 диссертации. Сама диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. В главе 2 описываются алгоритмы построения трехмерных оптимальных сеток. В главе 3 метод применен к практическим расчетам сеток. В заключении описываются возможные перспективы развития метода.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Ушакова, Ольга Васильевна

Основные результаты диссертации следующие:

1) Решена одна из центральных проблем математического моделирования пространственных течений жидкости и газа — проблема построения трехмерных структурированных сеток, удовлетворяющих заданным критериям качества. Точность результатов математического моделирования и эффективность численных алгоритмов существенно зависят от свойств используемой расчетной сетки и заметно возрастают на оптимальных сетках. Решение проблемы построения оптимальных расчетных сеток достигнуто благодаря предложенной новой методике построения трехмерных сеток, основанной па минимизации специального вариационного функционала, реализующего основные критерии оптимальности сеток — критерии равномерности и ортогональности. Разработай итерационный алгоритм для вычисления координат узлов пространственной сетки, представляющий собой метод прямой геометрической минимизации дискретного функционала качества сеток;

2) Для математического моделирования пространственных течений жидкости и газа с разнообразными краевыми условиями разработаны численные алгоритмы построения трехмерных оптимальных сеток, нацеленные па эффективную реализацию заданных краевых условий, в частности, алгоритм построения сеток, ортогональных к границе, алгоритм оптимального размещения узлов на ограничивающих поверхностях, алгоритм построения сетки на границе с сохранением заданных геометрических особенностей формы области;

3) Возможность выполнения численного моделирования па пространственных сетках во многом определяется условием их невырожденности, поэтому необходимы эффективные методы автоматического анализа используемых сеток. Предложена математическая формализация требования невырожденности трехмерных структурированных сеток, составленных из шестигранных линейчатых ячеек, и получены условия их невырожденности. Получены условия невырожденности для ячеек других типов, возникающих при построении как структурированных, так и неструктурированных сеток: призматических, пирамидальных, а также криволинейных ячеек, задаваемых с помощью полиномов Бернштейиа-Безье;

4) Для численного моделирования пространственных течений предложена эффективная методика подсчета геометрических характеристик сетки. Получены экономичные формулы вычисления якобианов трилинейного отображения и некоторых других отображений, используемых для построения ячеек, а также экономичные формулы для вычисления объемов шестигранных ячеек, призм и пирамид с линейчатыми гранями. Предложены критерии классификации шестигранных линейчатых ячеек и выполнена полная классификация этого семейства ячеек;

5) Разработанные алгоритмы построения трехмерных сеток и методы их анализа реализованы в комплекс программ, предназначенном для численного моделирования задач многокомпонентной гидродинамики. Комплекс программ внедрен в заинтересованную организацию, что позволило существенно повысить эффективность и точность численного моделирования указанных задач, а также других инженерных и прикладных задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации предложен метод построения трехмерных регулярных ссток. Этот метод применен для глобальной перестройки трехмерных сеток, а также для расчета ссток в областях вращения, в том числе допускающих и многоблочную конструкцию.

Разработанные алгоритмы и проведенные тестовые расчеты по созданным программам показали свою работоспособность и эффективность, созданная программа успешно используется для расчета и перестройки трехмерных сеток при численном решении задач многокомпонентной гидродинамики.

Возможным дальнейшим направлением развития метода являются разработка алгоритмов построения оптимальных ссток, адаптирующихся к особенностям решений задач математической физики — адаптивных и подвижных сеток. Это возможность в методе не реализована.

Другое возможное направление применения метода это расчеты многоблочных сеток со сложной топологией. В развитии этого паправлеиня сложным является вопрос о разбиении трехмерной области на блоки. Для автоматического построения начальных сеток удобно рассмотрение блоков звездного типа либо областей вращения, так как алгоритмы расчета начальных сеток для таких областей предложены (см. [13,18] Бронина, Гаеилова, Ушакова). Однако процесс разбиения на блоки пока практически не автоматизирован, за исключением областей вращения (см. [77] Artyomova, Khairullin, and Khairullina).

В настоящее время актуальным является вопрос также об алгоритмах параллельного расчета сеток большой размерности с числом ячеек > 106 для некоторых масштабных задач механики сплошной среды, требующих большого объема вычислений, и которые реализуются в программах с использованием параллельно работающих процессоров. К таким задачам относятся, в частности, задачи газовой динамики с большими деформациями, которые необходимо рассчитывать как на подвижных, так и на стационарных сетках.

Изложенные в диссертации алгоритмы допускают несколько способов распараллеливания. Это прежде всего

- распараллеливание по блокам при расчете блочно-структурнрованных сеток [G8] (Хайруллип, Хайруллииа);

- распараллеливание явных итерационных процессов по группам соседних ячеек [58] (Ушакова).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ушакова, Ольга Васильевна, 2007 год

1. Азарепок Б.Н. Алгоритм консервативной интерполяции на гексаэдраль-ных сетках // М. ВЦ РАН. 200G. 58 с.

2. Азарепок Б.Н. Об одном вариационном методе построения пространственных сеток // М. ВЦ РАН. 200G. 51 с.

3. Азаренок Б.Н., Бронина Т.Н., Ушакова О.В. / Итоговый Отчет о НИР "Разработка алгоритмов и программ построения регулярных трехмерных сеток и интерполяции газодинамических иоле" Ип-т Математики и Механики УрО РАН, Екатеринбург, 2001 г.

4. Азаренок Б.Н., Бронина Т.Н., Ушакова О.В. / Итоговый Отчет о НИР. "Расширение возможностей алгоритмов и программ построения регулярных трехмерных сеток и интерполяции газодинамических полей", Ип-т Математики и Механики УрО РАН, Екатеринбург, 2003 г.

5. Ахмадеев В.Ф., Сидоров А.Ф., Спиридонов Ф.Ф., Хайруллина О.Б. О трех методах численного моделирования дозвуковых течений в осесим-метричных каналах сложной формы // Моделирование в механике. Новосибирск, 1990. Т. 4 (21), Ж 5. С. 15-25.

6. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 198G. 744 с.

7. Бобылев Н.А., Иваненко С.А., Исмаилов И.Г. Несколько замечаний о гомеоморфных отображениях // Мат. заметки GO, 4, 199G, С. 593-59G.

8. Бобылев H.A., Иваненко C.A., Казунин A.B. О кусочно-гладких гомеоморфных отображениях ограниченных областей и их приложениях к теории сеток // Жури. выч. матем. и матем. физики. 2003. Т. 43, №. G. С. 808-817.

9. Белинский П.П., Годунов С.К., Иванов Ю.Б., Япепко И.К. Применение одного класса квазиконформных отображений для построения разностных сеток в областях с криволинейными границами // Жури, вычисл. математики и мат. физики. 1975. Т. 15, №6. С. 1499-1511.

10. Бронипа Т.Н., Гасилова И.А., Ушакова О.В. Алгоритмы для построения трехмерных структурированных сеток // Журнал выч. матем. физики. 2003. Т. 43, №. 6. С. 875-883.

11. Брошша Т.Н., Гасилова И.А., Ушакова О.В. Алгоритмы построения регулярных трехмерных сеток // Международная конференция "Заба-бахинскне научные чтения". Сентябрь 8-12, 2003. Сиежииск, РФЯЦ-ВНИИТФ. 2003, Тезисы докладов. С. 229-230

12. Т.Н.Брошша, О.В.Ушакова. Расчеты трехмерных структурированных сеток в конфигурациях с особенностями // Труды Всероссийской конференции. ВЦ РАН им. А.А.Дородпицина. Москва, 4-7 июля 2006 г., С. 190-199.

13. Гасилова И.А. Алгоритм автоматического построения начального приближения криволинейной сетки для областей звездного типа // ВАНТ, Сер. Мат. моделир. физ. процессов. 1994. Вып. 3. С. 33-40.

14. Гильмаиов А.Н. Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики. М.: Наука. ФИЗМАТЛИТ, 2000. 248 с.

15. Годунов С.К., Прокопов Г.П. О расчетах конформных отображений и построения разностных сеток // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1967. Т. 7, №5. С. 1031-1059.

16. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.:Наука, 1976. 400 с.

17. Годунов С.К. Об идеях, используемых прн построении разностных сеток // Журнал выч. матем. физики., Т.43, №6, 2003. С. 787-789.

18. Емельянов К.В. Применение оптимальных разностных сеток к решению задач с сингулярным возмущением // Жури, вычисл. математики и мат. физики. 1994. Т. 34, №6. С. 936-943.

19. Иваненко С.А. Адаптивно-гармонические сетки / М.: ВЦ РАН. 1997.

20. Иваненко С.А., Чарахчьян А.А. Криволинейные сетки из выпуклых четырехугольников. // Журнал вычислительной математики и матем. физики. Т.28, №.4. 1988. С. 503-514.

21. Иваненко С.А. Управление формой ячеек в процессе построения сеток. // Журнал выч. матем. физики., 2000. Т.40, №11. С. 830-814.

22. Иваненко С.А. Вариационные методы построения адаптивных сеток // Журнал выч. матем. физики. Т.43, №6. 2003. С. 830-814.29. -Управляемый термоядерный синтез / Под ред. Дж. Киллина. М.:Мир. 1980.

23. Корн Г., Кори Т. Справочник по математике. М.: Наука. 1984. 831 С.

24. Кошкина Т.Н. (Бронипа Т.Н.), Сидоров А.Ф. Об одном геометрическом способе построения трехмерных разностных сеток // Сб.Численпые и аналитические методы решения задач механики сплошной среды, Свердловск, 1981 г. С. 91-100.

25. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир. 1962. 830 с.

26. Лисейкин В.Д. О построении регулярных сеток па н-мерных поверхностях // Журп. вычисл. математики и мат. физики. 1991. Т. 31, №11. С. 41-57.

27. Лисейкин В.Д. Обзор методов построения структурных адаптивных сеток // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1996. Т. 36, №1. С. 341.

28. Лисейкин В.Д. О геометрических анализе свойств разностных сеток // ДАН 2002. Т.65, №2. С. 190-193.

29. Лисейкин В.Д. О геометрических методах в теории разностных сеток // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2003. Т.43, №7. С. 1035-1048.

30. Лисейкин В.Д. Об универсальном эллиптическом методе построения адаптивных распостных сеток // Журп. вычисл. математики и мат. физики. 2004. Т.44, №12. С. 2179-2205.

31. Потугина И.В. Освоение и развитие методики программ расчета одномерных задач энерговыделения во ВНИИЭФ (1954-1986). // ВАНТ. Сер.: Математическое моделирование физических процессов. 1998, Вып. 2, С. 50-59.

32. Прокопов Г.П. Некоторые общие проблемы в конструировании алгоритмов построения сеток // М., Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН. №98. 1987.

33. Прокопов Г.П. Об организации сравнения алгоритмов и программ построения регулярных двумерных разностных сеток // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Мат. моделир. физ. процессов. 1989. Вып. 3. С. 98-108.

34. Прокопов Г.П. Универсальные вариационные функционалы для построения двумерных сеток // М., Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН. 2001. №1. 36 стр.

35. Прокопов Г.П. Вариационные методы расчета двумерных сеток при решении нестационарных задач // Препринт ИПМ РАН им. М. В. Келдыша. 4. 2003. 32 стр.

36. Прокопов Г.П. Реализация вариационного подхода к расчету двумерных сеток в нестационарных задачах // Препринт ИПМ РАН им. М. В. Келдыша. №116. 2005. 36 стр.

37. Прокопов Г.П. Выбор параметров при вариационном подходе к расчету регулярных сеток // Препринт ИПМ РАН им. М. В. Келдыша. №14. 2006. 32 стр.

38. Рубина Л.И. Примеры точного решения задачи построения трехмерных оптимальных сеток // ВАНТ. Сер. Мат. моделир. физ. процессов. 1995. Вып. 4. С. 37-41.

39. Сидоров А.Ф. Об одном алгоритме расчета оптимальных разностных сеток // Тр. матем. ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР. 1966. Т. 74. С. 147-151.

40. Сидоров А.Ф. Примеры точного построения геометрически оптимальных двумерных сеток //ВАНТ. Сер. Мат. моделир. физ. процессов. 1994. Вып. 4. С. 18-22.

41. Сидоров А.Ф., Шабашова Т.И. Об одном методе расчета оптимальных разностных сеток для многомерных областей // Численные методы механики сплошной среды. 1981. Т. 12, №5. С. 106-123.

42. Сидоров А.Ф., Ушакова О.В. Об одном алгоритме расчета оптимальных разностных сеток и его приложениях // Численные методы механики сплошной среды. 1985. Т. 16, №5. С. 101-115.

43. Сидоров А.Ф., Ушакова О.В. О работах в СССР по разработке методов и программ расчета сеток // Вычислительные технологии. T.I, №2, 4.2. Труды школы-семинара по комплексам программ мат. физики. Новосибирск, 1992 г. С. 289-294.

44. Сидоров А.Ф., Ушакова О.В., ХайрулинаО.Б. / Вариационные методы построения оптимальных сеток. Екатеринбург. Ин-т Матем. и Мех. УрО РАН. 1997. 50 С.

45. Сидоров А. Ф., Ушакова О.В., ХайрулинаО.Б. Вариационные методы построения оптимальных сеток. / Сидоров А.Ф. Избранные труды: Математика. Механика. М. Физ.мат.лит. 2001. С. 512-538.

46. Ушакова О.В. Об одной итерационной схеме решения уравнения с малым параметром па адаптирующейся сетке // Аналитические и численные методы исследования задач механики сплошной среды. Свердловск, 1987. Т. 8, N 4, С. 157-163.

47. Ушакова О.В. Теорема существования и единственности решения краевой задачи построения одномерных оптимальных адаптирующихся сеток // Моделир. в механике. Новосибирск, 1989. Т. 3, №2. С. 134-141.

48. Ушакова О.В. Метод построения оптимальных адаптирующихся сеток. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук. Свердловск, 1990. 145 с.

49. Ушакова О.В. Итерационная процедура расчета двумерных оптимальных адаптивных сеток // Приближенные методы исследования нелинейных задач механики сплошной среды. Свердловск, 1992. С. 58-65.

50. Ушакова О.В. ЛАДА экономичный алгоритм и программа построения двумерных криволинейных оптимальных адаптивных сеток в одно-связных областях геометрически сложной формы. // ВАНТ. Сер. Мат. моделир. физ. процессов. 1994. Вып. 3. С. 47-56.

51. Ушакова О.В. Параллельный алгоритм и программа построения оптимальных адаптивных ссток // Сб. науч. труд. ИММ "Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений". Екатеринбург: УрО РАН, 1995. С. 182-192.

52. Ушакова О.В. Параллельный алгоритм и программа построения оптимальных адаптивных сеток //10 Зимняя школа по механике сплошных сред (Пермь). Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 1995. С. 244— 245.

53. Ушакова О.В. Алгоритм построения двумерных оптимальных адаптивных сеток // Математической моделирование, Т. 9, №2. 1997. С. 88-91.

54. Ушакова О.В. Условия невырожденности трехмерных ячеек. Формула для объема ячеек // Журнал вычислительной математики и матем. физики. Т.41, №. 6. 2001. С. 881-894.

55. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.2. Москва: Наука, 1968. 4.63 С.

56. Хайруллина О.Б. Расчет стационарных дозвуковых вихревых потоков идеального газа в осесимметрпчных каналах сложных геометрий // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Мат. моделир. физ. процессов. 1990. Вып. 3. С. 32-39.

57. Хайруллина О.Б. К расчету вихревых течений газа в каналах сложных конфигураций // Прикл. механика и техн. физика. 1996. Т. 37, №2. С. 103-108.

58. Хайруллин А.Ф., Хайруллина О.Б. Построение оптимальных сеток в многосвязиых областях сложных топологий на многопроцессорных машинах // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 2002. Вып.З. С. 33-39.

59. Шабашова Т.Н. Об одном экономичном способе построения оптимальных разностных сеток // Численные методы механики сплошной среды. 1983. Т. 14, №5. С. 139-157.

60. Шабашова Т.И. О построении оптимальных криволинейных координатных сеток в трехмерных областях // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 198G. Т. 17, №1. С. 144-155.

61. Шведов А.С. Формулы для объема ячеек. // Матем. заметки. 1986. Т.39. В.4. С. 597-605.

62. Широковская О.С. Замечание к статье А.Ф.Сидорова "Об одном алгоритме расчета оптимальных разностных сеток" // Журп. вычисл. математики и мат. физики. 1969. Т. 9, №2. С. 468-469.

63. Шокин Ю.И., Лисейкин В.Д., Лебедев А.С., Дапаев Н.Т., Китаева И.А. Методы римаповой геометрии в задачах построения разностных сеток. Новосибирск: Наука, 2005. 256 с.

64. Яненко Н.Н., Данаев Н.Т., Лисейкин В.Д. О вариационном методе построения сеток // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1977. Т. 8, №4. С. 157-163.

65. Advanaces in Grid Generation / ed. by Ushakova O.V. Novascince Publishers. New-York. 2005. 430 p.

66. Artyomova N.A., Khairullin A.F., and Khairullina O.B. Generation of Curvilinear Grids in Multiply Connected Domains of Complex Topology /- Advances in Grid Generation, ed by Ushakova O.V. Novascience Publishers. 2005. pp. 191-216

67. Azarenok B,N. Conservative Remapping on Hexahedral Meshes /Advanaces in Grid Generation, ed. by O.V.Ushakova. Novascince Publishers. New-York. 2005. pp. 387-429.

68. Azarenok B.N. A variational hexahedral grid generator with control metric // J. Comput. Phys. 2006. V. 218. №2. P. 720-747.

69. Brackbill J.U., Saltzman J.C. Adaptive zoning for singular problems in two dimensions // J. Сотр. Phys. 1982. V. 46, № 3. P. 342-368.

70. Deitachmayer G.S., Droegemeier K.K. Application of continuous dynamic grid adaptation techniques to meteorological model-ling / Part I: Basic Formulation and Accuracy Monthly Weather Rev. 1992. V. 120, N 8, P. 1675-1706.

71. Dukowicz J. K. Efficient Volume Computation for Three-Dimensional Hexahedral Cells // Journal of Computational Physics. 74, №2. 1988. pp. 493-496.

72. Dukowicz J.K., Padial N.T. REMAP3D: A conservative three-dimensional remapping code, Los Alamos report, 1991.

73. Edelsbruimer H. Algorithms in combinatorial geometry / Springer-Vcrlag, New York. 1987.

74. Emcl'yanov K.V. On optimal grids and their application to the solution of problems with a singular perturbation // Rus. J. Numer. Anal. Math. Modcll. 1995. V. 10, №4. P. 299-310.

75. Farin G. Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design, A Practical Guide. Fouth Edition. / Academic Press. 1997.

76. Grandy J. Conservative remapping and regions overlays by intersecting arbitrary polyhedra // J. Сотр. Phys. 148(1999). pp. 433-46G.

77. Ivanenko S. A. Harmonic mappings // in Handbook of Grid Generation, Thompson J. F., Soni В. K., and Wcathcrill N. P, eds., CRC Press, Boca Raton, FL, 1999. pp. 8-1-8-43.

78. Ivanenko S. A. Selected Chapters on Grid Generation and Applications. CC RAS, Moscow, 2004.

79. Kennon S.R., Dulikravich G.S. Generation of computational grids using optimization // AIAA J. 1986. V. 24, №7. P. 1009-1073.

80. Khairullina O.B. Method of Constructing Block Regular Optimal Grids in Two-dimensional Multiply-connected Domains of Complex Geometries // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 11, (4). 1996. pp. 343-358.

81. Khairullina O.B. Modelling subsonic vortex gas flows in channels of complex geometries // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 13, (3). 1998. pp. 191-219.

82. Khairullina O.B., Sidorov A.F. and Ushakova O.V. Variational methods of construction of optimal grids / Handbook of Grid Generation, Thompson J. F., Soni В. K., and Wcathcrill N. P., eds., CRC Press, Boca Raton, FL, 1999, pp. 36-1-36-25.

83. Killccn J., Controlled Fusion, Academic Press, New York, San Francisco, London, 1976.

84. Knupp P. M. and Steinberg S. Fundamentals of Grid Generation / CRC Press, Boca Raton, FL, 1994.

85. Knabner P., Summ G. The invertibility of the isoparametric mapping for pyramidal and prismatic finite elements // Numerical mathematics. 88. 2001. pp. 661-681.

86. Knabner P., Korotov S., Summ G. Conditions for the invertibility of the isoparametric mapping for hexahedral finite elements // Finite elements in analysis and design. 2003.

87. Kreis R.I., Thames F.C., Hassan H.A. Application of a variational method for generating adaptive grids // AIAA J. 1986. V. 24, №3. P. 404-410.

88. Knupp P.M. On the invertibility of isoparametric map // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 78 (1990). pp. 313-329.

89. Knupp P.M. and Steinberg S. Fundamentals of Grid Generation. Springer, 1994.

90. Liseikin V.D. Grid Generation Methods. Springer, 1999.

91. Liseikin V.D. A Computational Differential Geometry Approach to Grid Generation. Springer. 2003.

92. Mastin C.W.,Thompsom J.F. Transformation of Three-Dimensional Regions onto Rectangular Regions by Elliptic Systems // Numerische

93. Mathematik. Vol.29. Fasc. 4. 1978. pp. 397-409.

94. Megiddo N. Linear-time algorithms for linear programming in Л3 and related problems // SIAM J. Computing. 12. 1983. pp. 759-776.

95. Nakahashi К., Deiwcrt G.S. Three-dimensional adaptive grid method // AIAA J. 1986. №6. P. 948-954.

96. Serezhnikova T.I., Sidorov A.F. and Ushakova O.V. On One Method of Construction of Optimal Curvilinear Grids and Its Applications // Soviet Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 4, (2). 1989. pp. 137-155.

97. Sidorov A.F., Khairullina O.B., Ushakova O.V. Tests for two-dimensional grid generation. Suggestions / Handbook of Grid Generation Ed. by Thompson J.F., Soni B.K., Weatherill N.P. Boca Raton etc.: CRC Press, 1999. P. B-22-B-26.

98. Shangyou Z. Subtetrahedral test for the positive Jacobian of hexahcdral elements, http://www.matli.udel.edu/ szhang/research/p/subtettest.pdf.

99. Shritharan S.S. Mathematical Aspects of Harmonic Grid Generation / Mathematical Aspects of Numerical Grid Genertaion. ed. by Jose E. Castillo. SIAM. Philadelphia, Pensylvania. 1991. p.157.

100. Strang G. and Fix G. An Analysis of the Finite Element Method / New York: Prentice-Hall, New York, 1973.

101. Thompson J.F., Warsi Z.U.A., Mastine C. W. Numerical grid generation: Foundation and applications. N.Y.: North-Holland, 1985. 483 p.

102. Thomson J.F. A Survey of dynamically-adaptive grids in the numerical solution of partial differential cquationas // Appl. Numcr. Math. 1985. №1. P. 3-27.

103. Thomson J.F., Mastin C.W. Order of difference expressions in curvilinear coordinate systems // J. Fluids. Engineering. 1985. Vol 107. Pp. 241-250.

104. Thompson J.F., Soni B.K., and Weatherill N.P. / Handbook of Grid Generation. CRC Press. Boca Raton. FL. 1999.

105. Yu T.Y., Soni В. K. NURBS in Structured Grid Generation / in Handbook of Grid Generation. CRC Press. Boca Raton. FL. 1999. pp. 30-1-30-26.

106. Ushakova O.V. Algorithm of two-dimensional optimal grid generation // Numerical Grid Generation in Computational Field Simulation. Soni В. K. and Thompson J. F., eds., Mississippi State University, Mississippi State, MS, 1996. pp. 37-46.

107. Ushakova O.V. Conditions of nondegeneracy of three-dimensional cells. A formula of a volume of cells // SIAM J. Sci. Сотр. 23, 4. 2001, pp. 12731289.

108. Ushakova O.V. On Nondegeneracy of Three-Dimensional Grids. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 1, 2004, pp. S78-S100.

109. Ushakova O.V. Nondegeneracy Conditions for Different Types of Grids / Advanaces in Grid Generation, ed. by O.V.Ushakova. Novascincc Publishers. New-York. 2005. pp. 281-322.

110. Vavasis S.A. A Bernstein-Bezier Sufficient Condition for Invertibility of Polynomial Mapping Functions. November 3, 2001. Iittp: / / www.cs.cornell.edu/home/vavasis.

111. Winslow A.M. Numerical solution of quasilinear Poisson equation in nonuniform triangle mesh // J. Сотр. Phys. 196G. V. 1, N 2, P. 149-172.