Применение обращенных уравнений Бельтрами и диффузии для построения адаптивных сеток тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Васева, Ирина Аркадьевна

• Васева, Ирина Аркадьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Васева, Ирина Аркадьевна

Предисловие

Глава 1. Описание математической модели построения сеток

1.1 Метод отображений. 1.2 Сеточные уравнения.

1.2.1 Уравнения Бельтрами.

1.2.2 Уравнения диффузии.

1.3 Постановка краевой задачи для сеточных уравнений.

1.4 Обращенные сеточные уравнения.

1.5 Мониторная метрика как средство управления свойствами сеток.

1.5.1 Вычисление метрических компонент. 1.5.2 Мониторная метрика для построения сеток, адаптирующихся к градиеитам функции

1.5.3 Мониторная метрика для построения сеток, адаптирующихся к значениям функции.

1.5.4 Мониторная метрика для построения сеток, согласованных с векторным полем.

1.5.5 Мониторная метрика для построения сбалансирован ных сеток.

1.5.6 Роль сингулярных функций в проблеме задания мониторной метрики.

Глава 2. Описание численного алгоритма решения сеточных уравнений

2.1 Одномерное уравнение.

2.2 Двумерные уравнения.

2.2.1 Алгоритм построения сеток в двумерных областях

2.2.2 Алгоритм построения сеток на двумерных поверхностях

2.3 Трехмерные уравнения

Ф 2.4 Программный инструментарий вычислительного эксперимента

Глава 3. Результаты исследования математической модели построения сеток

3.1 Разностные сетки, адаптирующиеся к градиентам функции

3.2 Разностные сетки, адаптирующиеся к значениям функции

3.2.1 Двумерные поверхности.

3.2.2 Трехмерные области.

3.3 Разностные сетки, согласованные с модельным векторным полем

3.4 Сбалансированные разностные сетки.

3.5 Построение гладких блочных сеток

3.6 Разностные сетки, согласованные с магнитным полем в тока-маке.

4 Глава 4. Применение метода для решения сингулярновозмущенных уравнений 4.1 Оценки производных.

4.2 Численные расчеты Заключение Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение обращенных уравнений Бельтрами и диффузии для построения адаптивных сеток»

Диссертационная работа посвящена исследованию метода построения разностных сеток, основанного на применении обращенных уравнений Бель-трами и диффузии.

Существует два основных класса сеток — структурные и неструктурные. Подробное описание наиболее популярных методов построения разностных сеток дано в монографиях Томпсона, Варси, Мастина [112], Кнап-па, Стейнберга [70], Лисейкина [75], [77] и в обзорных статьях [13], [47], [106], [109], [111]. Результаты, связанные с построением подвижных сеток, применением техники растягивающих преобразований для численного решения сингулярно-возмущенных задач, применением нестационарных сеточных методов и методов эквираспределения в задачах распространения волн, были предложены в монографиях [1], [16], [76], [122], [21].

Методы построения адаптивных структурных сеток впервые были исследованы в работах Андерсона (1983) [24], Томпсона (1984, 1985) [107], [108]. Затем серия работ, посвященных общим адаптивным методам, была представлена в статьях Эйсмана [48], Хокена, Готлиба, Хансена [60], Лисейкина [74], Бэйкера [29]. Адаптивные методы построения подвижных сеток были описаны в [61], [122].

Методы построения неструктурных сеток были рассмотрены в работах [11], [28], [29], [34], [51], [52], [62], [89], [103], [113]. Подробное описание структурных и неструктурных методов дано в обзоре [113].

Применение результратов тензорной и дифференциальной геометрии к методам построения сеток впервые было представлено в работах Эйсмана (1980) [46] и Варси (1981) [115]. Геометрические инварианты для описания качественных свойств сеток впервые были введены в статье Джакотте (1987) [65]. Безразмерные геометрические характеристики для двумерных сеточных ячеек были впервые предложены в работе Прокопова (1989) [19]. Различные критерии качества сеток были рассмотрены в работах [26], [27], [41], [43], [50], [67], [79], [99].

Наиболее эффективными среди сеток являются сетки, полученные взаимно однозначным преобразованием s(£) : Еп —у Sn, которое отображает границу вычислительной области Еп на границу параметрической области Sn. Такие сетки называются согласованными с границей. Согласованная с границей сетка обычно строится сначала на выбранных ребрах, затем на гранях и, наконец, внутри области. Поэтому на каждом шаге преобразование s(£) известно на границе области, и это граничное преобразование продолжается с границы во внутреннюю часть области. Этот процесс аналогичен интерполяции функции по ее граничным значениям или решению краевой задачи Дирихле. На этой основе были разработаны три базисные группы методов нахождения отображения s(£) : Бп —» Sn, при заданном граничном преобразовании <9s(£) : дЕп —> dSn : — это алгебраические, дифференциальные и вариационные методы.

Алгебраические методы как правило используются для построения сеток в областях с гладкими и не сильно деформированными границами или для задания начального приближения в итерационном процессе построения сеток, основанном на эллиптическом методе. Простейшие двумерные интерполяционные формулы были предложены в работах [22], [39]. Стандартные формулы многомерной трансфинитной интерполяции были описаны в работах Гордона (1969) [56], [57]. Конструирование координатных преобразований при помощи формул трансфинитной интерполяции было впервые было предложено в работах Гордона (1973, 1982) [58], [59]. Интерполяция Эрмита была представлена в [91]. Подробный обзор интерполяций Лагранжа и Эрмита представлен в монографии [75]. Исследование и описание алгебраических методов проводится также в работах [46], [49], [75], [90], [92], [112].

Для построения сеток в областях и на поверхностях с произвольной границей обычно используются дифференциальные методы, основанные на решении эллиптических и параболических уравнений. Такие уравнения позволяют получать гладкие сетки; они учитывают распределение узлов сетки на границе физической геометрии, не распространяют граничные изломы внутрь; для них существует меньшая опасность перекрывания ячеек сетки и их можно эффективно решать различными хорошо разработанными методами. Использование параболических и эллиптических систем позволяет получать ортогональные и сгущающиеся координатные сеточные линии, причем во многих случаях принцип максимума, который, как правило,выполняется для этих систем, гарантирует невырожденность промежуточного преобразования. Эллиптические уравнения также используются для сглаживания неструктурных сеток или сеток, полученных алгебраическими и гиперболическими методами.

Гиперболические уравнения позволяют использовать маршевые методы и конструировать ортогональные координатные системы. Однако методы, основанные на решении гиперболических уравнений, не всегда математически корректны, и, кроме того, они не применимы в случае, когда граничные узлы сетки заданы на всей границе. Поэтому гиперболические методы в основном используются для простых областей с выделенными боковыми гранями, для которых не требуется никакого специального распределения узлов.

Двумерная система уравнений Лапласа, записанная относительно параметрических координат, была предложена в работах Годунова, Прокопова (1967) [5], Барфилда (1970) [30], Амсдена, Хирта (1973) [23]. Общая эллиптическая система для построения структурных сеток сеток была рассмотрена Чу [37]. Двумерная система обращенных уравнений Лапласа была предложена Кроули (1962) [42], Винслоу (1967) [120].

Двумерная система уравнений диффузии для построения адаптивных сеток была введена в работах Данаева, Лисейкина, Яненко (1980) [9], Винслоу (1981) [121] и развивалась в работах [48], [86].

Метод построения адаптивных сеток на основе обращенных уравнений Бельтрами и диффузии относительно мониторных метрик подробно описан в монографиях Лисейкина (1999, 2004) [75], [77] и является естественным продолжением подходов, предложенных в работах Кроули (1962) [42], Винслоу (1967) [120], Годунова, Прокопова (1967) [5], Варси (1981) [115] и Двински (1991) [44]. Метод эквираспределения для построения сеток применяется в работах [18], [68].

Система уравнений Пуассона была предложена Годуновым, Прокопо-вым (1972) [6] в предположении, что ее решение является композицией конформного и растягивающего преобразований. Более общая система Пуассона была обоснована в монографиях Томпсона, Тэймса, Мастина (1974) [110] и Томпсона, Варси, Мастина (1985) [112]. Разработка методов управления сеточными свойствами при помощи уравнений Пуассона проводилась в работах [98], [105], [102], [114], [119], [116]. Обращенные уравнения Пуассона для построения ортогональных сеток используются в работах [72], [93].

Метод построения сеток на гладких поверхностях, заданных в аналитическом виде г = f(x,y), при помощи квази-двумерной эллиптической системы, полученной проецированием трехмерной обращенной системы Лапласа, был предложен в [104]. Этот метод развивается в работах [101], [117] для произвольных поверхностей, заданных в параметрическом виде. Метод построения адаптивных сеток на поверхностях, заданных параметрически, при помощи общих уравнений Пуассона рассматривается в [71]. В работах [12], [73] эллиптическая система, полученная из вариационного принципа, дает п—мерные гармонические координатные преобразования, которые используются для построения равномерных и адаптивных сеток на поверхностях. Гармонические отображения для построения сеток на поверхностях при помощи эллиптической системы также были использованы в [25]. Метод конформных отображений для построения сеток на поверхностях предложен в [69].

Первый систематический анализ использования двумерных гиперболических уравнений для построения сеток был проведен в работах [94], [96]. Этот метод развивается в работах [40], [66]. Обобщение на трехмерный случай проводится в [36], [97], [100]. Гиперболический метод для построения сеток на поверхностях разрабатывается в [35], [95].

Метод построения двумерных сеток при помощи параболической схемы, аппроксимирующей обращенные уравнения Пуассона, был впервые предложен в работе [81], вариация этого метода разработана в [83]. Развитие метода для построения адаптивных сеток было проведено в [45], [84].

Комбинация гиперболической и параболической схем предложена в [82].

Также популярными являются методы построения сеток, базирующиеся на вариационных подходах. Основная задача вариационного подхода заключается в том, чтобы описать все важные характеристики искомой сетки в подходящей функциональной форме и составить комбинированный функционал, который обеспечил бы корректную задачу минимизации. Функционал энергии в метрике вычислительной области Еп был предложен Годуновым, Прокоповым (1967) [5]. Исследованию и развитию этого подхода посвящены работы [3], [7], [38]. Вариационный принцип для построения адаптивных сеток использовался в работах [9], [10], [17], [31], [33], [53], [64], [63]. Вариационная формулировка сеточных свойств описана в [118].

Диссертационная работа посвящена исследованию обращенных уравнений Бельтрами и диффузии применительно к построению адаптивных сеток. Адаптивные сетки находят широкое применение при решении различных задач математической физики. Они позволяют существенно повысить скорость и надежность решения задач и получать результаты высокой точности даже при сравнительно небольшом количестве узлов сетки. Высокая точность достигается благодаря увеличению концентрации узлов сетки в зонах расположения особенностей исследуемого явления. При этом одной из важнейших проблем при построении адаптивных сеток является также проблема управления свойствами сеток, такими как гладкость, ортогональность, соответствие граничным условиям, направленность координатных линий вдоль заданного векторного поля, адаптация к изменяющемуся со временем решению и т.д.

Метод построения адаптивных сеток на основе обращенных уравнений Бельтрами и диффузии позволяет в единообразной форме строить адаптивные сетки в областях с произвольной размерностью и на их границе. Управление свойствами сетки осуществляется при помощи мониторной метрики, входящей в уравнения Бельтрами и диффузии. Она определяется через переменные физической задачи, геометрические характеристики физической области или поверхности, заданные векторные поля и т.п., то есть через величины, по отношению к которым должна адаптироваться сетка. Изучение взаимосвязей между мониторными метриками и геометрическими свойствами сеток позволит более эффективно и автоматизированно управлять сеткой и получать более качественную адаптацию к решению физической задачи. Большую роль в задании мониторных метрик имеют сингулярные функции, которые описывают качественное поведение решений сингулярно-возмущеных задач, имеющие узкие зоны (слои), в которых градиенты решения резко изменяются. Сингулярные функции подходят для определения весовых и мониторных функций, которые либо задают саму метрику, либо определяют вклад индивидуальных метрик в общую формулу.

Системы уравнений Бельтрами и диффузии обладают следующими достоинствами:

1. Краевая задача Дирихле для уравнений Бельтрами и диффузии корректна, поскольку они являются линейными и эллиптическими.

2. Уравнения Бельтрами в отличии от уравнения Пуассона и двумерных уравнений диффузии инвариантны относительно выбора координатной системы, что гарантирует построение такой же сетки независимо от выбора параметризации физической геометрии.

3. Для уравнений Бельтрами и диффузии выполняется принцип максимума, поэтому для выпуклой вычислительной области узлы сетки будут гарантированно попадать внутрь физической геометрии.

4. В двумерном случае для уравнений Бельтрами выполняется теорема Радо, согласно которой сеточные преобразования, полученные решение уравнений Бельтрами будут невырожденными, если вычислительная область выпукла. Уравнения Пуассона и двумерные уравнения диффузии не дают гарантии невырожденности решения.

5. С помощью мониторной метрики реализуются произвольные невырожденные сеточные преобразования.

6. Поскольку уравнения Бельтрами популярны в теории Римановой геометрии, то многие их свойства уже изучены специалистами геометрами, что позволяет более эффективно формулировать мониторные метрики.

7. Уравнения Бельтрами эквивалентны уравнениям Эйлера-Лагранжа для функционала энергии.

8. Система уравнений Бельтрами и диффузии позволяет единообразно строить сетки в областях и на поверхностях произвольной размерности.

Такие достоинства уравнений Бельтрами и диффузии свидетельствуют об их высоком потенциале для построения разностных сеток с помощью численного решения краевой задачи Дирихле. Поэтому аналитические и численные исследования этих уравнений имеют большое значение как для развития методов построения сеток в целом, так и для решения прикладных задач математической физики.

Целью диссертационной работы являляется

1. Проведение теоретических и численных исследований по нахождению мониторных метрик в уравнениях Бельтрами и диффузии для построения сеток с различными видами адаптации.

2. Проведение теоретических и численных исследований по применению сингулярных функций для построения адаптивных сеток.

3. Создание алгоритма построения адаптивных сеток с помощью мониторных метрик, входящих в обращенные уравнения Бельтрами и диффузии, и его реализация в виде комплекса компьютерных программ.

Результаты исследования модели построения сеток на основе уравнений Бельтрами и диффузии являются существенным вкладом в развитие геометрических методов управления свойствами сеток, в решение проблемы взаимосвязей мониторных метрик и качественных свойств сеток, а также раскрывают новые возможности применения сингулярных функций в методах построения сеток.

Разработанный комплекс программ можно эффективно использовать для построения адаптивных сеток при расчетах различных задач математической физики. В частности, метод построения согласованной с магнитным полем, ортогональной сетки в осесимметричном сечении камеры токамака может быть использован для расчетов течения плазмы.

В Главе 1 описывается математическая модель построения адаптивных сеток, основанная на решении обращенных уравнений Бельтрами и диффузии. Приводятся виды мониторных метрик, использующихся для построения сеток, адаптирующихся к градиентам функций, к значениям функций, согласованных с заданным векторным полем, сбалансированных сеток, а также формулы для определения ковариантных и контравариантных компонент и якобиана мониторной метрики.

В Главе 2 описывается алгоритм численного решения обращенных уравнений Бельтрами и диффузии для построения адаптивных сеток в одно-, дву- и трехмерном случае и программный инструментарий, используемый для проведения вычислительных экспериментов.

В Главе 3 представлены результаты исследования применения обращенных уравнений Бельтрами и диффузии для построения разностных сеток с различными видами адаптации. Представлены результаты численных экспериментов по построению разностных сеток, адаптирующихся к градиентам функций, к градиентам модельных функции, в двумерных областях и на поверхностях при помощи численного решения обращенных уравнений Бельтрами. Рассматриваются модельные задачи по построению сеток, адаптирующихся к значениям функции, в двумерных и трехмерных областях и на поверхностях при помощи уравнений диффузии. Исследуются мониторные метрики для построения невырожденных согласованных с заданным модельным векторным полем сеток. Изучается проблема построения сбалансированных сеток, то есть сеток одновременно согласованных с заданным векторным полем и адаптирующимися к градиентам и/или значениям функций. Предлагается метод сглаживания блочных сеток. Кроме модельных задач, в Главе 3 метод применятеся для построения адаптивной разностной сетки, согласованной с магнитным полем, в осесимметричном сечении камеры токамака. Показано, что данная сетка обладает достаточно хорошей ортогональностью сеточных линий, необходимой для решения задач расчета течения плазмы.

В Главе 4 исследуются две одномерные бисингулярные задачи с негладкими коэффициентами перед первыми производными. Выводятся оценки на производные решений этих задач. Полученные оценки используются в качестве мониторных функций для построения адаптивных сеток, на которых были численно решаются эти задачи. Представлены результаты численных экспериментов, подтверждающих эффективность полученных оценок и самого метода.

На защиту выносятся следующие результаты:

I. Проведено исследование мониторных метрик и сингулярных функций для различных модельных задач, показавшее, что данные формулы можно успешно применять для построения адаптивных сеток. Построена разностная сетка, согласованная с линиями магнитного поля, в осесимметричном сечении камеры токамака. Показано, что данная сетка имеет хорошую степень ортогонализации сеточных линий, необходимую для расчета течения плазмы. На примере данной практической задачи подтверждена эффективность формулы мониторной метрики для построения сеток, согласованных с векторными полями, а также полезность использования сингулярных функций.

2. Аналитически получены оценки на производные решений двух одномерных бисингулярных задач с негладкими коэффициентами при первых производных. Эти оценки были использованы в качестве мониторных метрик для построения адаптивной сетки, на которой были численно решены эти задачи.

3. Создан алгоритм построения адаптивных сеток с помощью мониторных метрик, входящих в обращенные уравнения Бельтрами и диффузии, и комплекс компыортерных программ, реализующий этот алгоритм.

Результаты работы докладывались на IX Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики и XIV Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики" (Абрау-Дюрсо, 2002), Международной конференции по вычислительной математике (Новосибирск, 2002, 2004), Всероссийской конференции "Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления"(Москва, 2004), II Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященная памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2004), Division of Plasma Physics Meeting (Savannah, 2004), International Sherrwood Theory Meeting Stateline (Nevada, 2005), 17th IMACS World Congress Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation (Paris, 2005), European Physical Society Plasma Physics Conference (Spain, 2005), 18th Chemnitz FEM Symposium (Germany, Schoneck, 2005).

По результатам исследований опубликовано 10 работ.

Диссертационная работа была поддержана грантом № 03-2.8-826 для поддержки научно-исследовательской работы аспиратнов высших учебных заведений Министерства образования и науки России, а также грантом Американского фонда гражданских исследований и разработок CRDF RU-M1-2579-NO-04.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Владимиру Дмитриевичу Лисейкину.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Васева, Ирина Аркадьевна

Заключение

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Проведено исследование мониторных метрик и сингулярных функций для различных модельных задач, показавшее, что данные формулы можно успешно применять для построения адаптивных сеток.

2. Получены результаты численных экспериментов по построению разностных сеток: а) адаптирующихся к градиентам функции; б) адаптирующихся к значениям функции; в) согласованных с векторным полем; г) сбалансированных сеток; д) блочных сеток со сглаживанием в 1-мерных, 2-мерных и 3-мерных областях и на поверхностях.

3. Для практической задачи расчета течения плазмы в осесимметричном сечении камеры токамака построена разностная сетка, согласованная с магнитным полем. Показано, что данная сетка имеет хорошую степень ортого-нализации сеточных линий, необходимую для расчета течения плазмы. На примере данной практической задачи подтверждена эффективность формулы мониторной метрики для построения сеток, согласованных с векторными полями, а также полезность использования сингулярных функций.

4. Проведено теоретическое и численное исследование двух одномерных бисингулярных задач с негладкими коэффициентами перед первыми про

104 изводными. Впервые получены оценки на производные решений этих задач. Полученные оценки были использованы в качестве мониторных функций для численного решения этих задач.

5. Создан алгоритм построения адаптивных сеток с помощью мониторных метрик, входящих в обращенные уравнения Бельтрами и диффузии, реализованный при помощи комплекса компьюртерных программ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Васева, Ирина Аркадьевна, 2005 год

1. Ллалыкин Г.Б., Годунов С.К., Киреева J1.JI., Плинер JI.A. Решение одномерных задач газовой динамики в подвижных сетках. Москва: Наука, 1970.

2. Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1969. - Т. 9. - т. - С. 842-859.

3. Белинский П.П., Годунов С.К., Иванов Ю.В., Яненко И.К. Использование класса квази-конформных отображений для построения разностных сеток в областях с криволинейными границами. // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1975. — Т. 15. С. 1499-1511.

4. Бриш Н.И. О краевых задачах для уравнения еу" = f(x,y,y') при малых е // Докл. АН СССР. 1954. - Т.ХСУ. - №3. - С. 429-432.

5. Годунов С.К., Прокопов Г.П. О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1967. - Т. 7. - С. 1031-1059.

6. Годунов С.К., Прокопов Г.П Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1972. - Т. 12. - С. 429-440.10G

7. Годунов С.К., Роменский Е.И., Чумаков Г.А. Построение сеток в сложных областях при помощи квазиконформных отображений // Труды ИМ СО РАН, Новосибирск: Наука, 1990. Т. 18. - С. 75-84.

8. Данаев Н. Т. О возможности построения изометрических сеток на поверхностях. Успехи Казах, гос. унив. Каз. Г. У., 1994. С. 110-116.

9. Данаев Н.Т., Лисейкин В.Д., Япепко Н.Н. О численном расчете движения вязкого газа вокруг тела врадещения на подвижной сетке. // Числ. методы механ. сплошной среды. Новосибирск: ИТПМСО АН СССР, 1980. Т. 11. - № 1. - С. 51-61.

10. Иваненко С.А., Чарахчьян А.А. Об алгоритме построения криволинейных сеток, состоящих из выпуклых четырехугольников. // ДАН -1988. Т. 36. ДО 1. - С. 51.

11. Круглякова Л.В., Неледова А.В., Тишкин В.Ф., Филатов А.Ю. Неструктурные адаптивные сетки в задачах математической физики // Мат. моделирование. 1998. - Т. 10. ДО 3. - С. 93-116.

12. Лисейкин В.Д. О построении регулярных сеток на n-мерных поверхностях // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1991. - Т. 31. -ДО 11. - С. 41-57.

13. Лисейкин В Д. Методы построения трехмерных сеток в аэродинамике // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Мат. моделирование физических процессов. 1991. - Т. 3. - С. 31-45.

14. Лисейкин В Д. О геометрическом анализе свойств разностных сеток // ДАН 2002. - Т. 65. - ДО 2. - С. 190-193.

15. Лисейкин В.Д. О геометрических методах в теории разностных сеток // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2003. - Т. 43. - N? 7. -С. 1035-1048.

16. Лисейкин В.Д., Петренко В.Е. Адаптивно-инвариантный метод численного решения задач с пограничными и внутренними слоями. Вычислительный центр СО АН СССР, Новосибирск, 1989.

17. Лисейкин В.Д., Япенко Н.Н. О построении оптимальных разностных сеток // Числ. методы механики сплошной среды. 1977. - Т. 8. № 7.- С. 100-104.

18. Молородов Ю.И., Хакимзянов Г.С. Построение и оценка качества регулярных сеток для двумерных областей // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Мат. моделирование физических процессов. 1998. -Т. 1. - С. 19-27.

19. Прокопов Г.П. Об организации сравнения алгоритмов и программ построения регулярных двумерных сеток // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Мат. моделирование физических процессов. 1989. Т. 3.- С. 98-107.

20. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. M.-JL: Гостехиздат, 1950.

21. Хакимзянов Г. С., Шокин Ю. И., Барахнин В. В., Шокина Н. Ю. Численное моделирование течений жидкости с поверхностными волнами. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001.

22. Ahuja D.V., Coons S.A. Geometry for construction and display // IBM Systems J. 1968. - Vol. 7. - P. 188-205.

23. Amsden A.A., Hirt C.W. A simple scheme for generating general curvilinear grids //J. Comput. Phys. 1973. - Vol. 11. - P. 348-359.

24. Anderson D.A. Adaptive grid methods for partial differential equations. In Ghia, K.N., Ghia U. (eds.): Advances in Grid Generation. ASME, Houston. - 1983. - P. 1-15.

25. Babuska I. Error estimates for adaptive finite element computations // SIAM J. Numer. Anal. 1978. - Vol. 15. - P. 736-754.

26. Baker T.J. Automatic mesh generation for complex three-dimensional region using a constrained Delauney triangulation // Eng. Comput. 1989.- Vol. 5. P. 161-175.

27. Baker T.J. Mesh adaptation strategies for problems in fluid dynamics // Finite Elements Anal. Design. 1997. - Vol. 25. - P. 243-273.

28. Barfield W.D. An optimal mesh generator for Lagrangian hydrodynamic calculations in two space dimensions. //J. Comput. Phys. 1970. - Vol. 6.- P. 417-429.

29. Bell J.В., Shubin G.R. An adaptive grid finite-difference method for conservation laws // J. Comput. Phys. 1983. - Vol. 52. - P. 569-591.

30. Brackbill J.U. An adaptive grid with directional control // J. Comput. Phys. 1993. - Vol. 108. - P. 38-50.

31. Brackbill J. U., Saltzman J. Adaptive zoning for singular problems in two directions // J. Comput. Phys. 1982. - Vol. 46. - P. 342-368.

32. Carey G.F. Computational Grids. Generation, Adaptation, and Solution Strategies. Taylor and Francis, London, 1997.

33. Chan W.M., Buning P. G. Surface grid generation methods for overset grids // Computer and Fluids. 1995. - Vol. 24. - No 5. - P. 509-522.

34. Chan W.M., Steger L.G. Enhancement of a three-dimensional hyperbolic grid generation scheme // Appl. Maths. Comput. 1992. - Vol. 51. - No 1. - P. 181-205.

35. Chu W.H. Development of a general finite difference approximation for a general domain //J. Comput. Phys. 1971. - Vol. 8. - P. 392-408.

36. Chumakov G.A., Chumakov S.G. A method for the 2-D quasi-isometric regular grid generation //J. Comput. Phys. 1998. - Vol. 133. - P. 1-28.

37. Coons S.A. Surface for computer aided design of space forms. Project MAC, Design Devision Department of Mechanical Engineering, Mil, 1964; Reviced to MAC-TR-41, June, 1967.

38. Cordova J.Q., Barth T.J. Grid generation for general 2-D regions using hyperbolic equations, AIAA Paper 88-0520, 1988.

39. Cougny H.L., Shephard M.S., Georges M.K. Explicit node point smoothing within the octree mesh generator. Report 10-1990, SCOREC, RPI, Troy, NY, 1990.

40. Crowley W.P. An Equipotential Zoner on a Quadrilateral Mesh. Memo, Lawrence Livermore National Lab., 5 July 1962.

41. Dannelongue H.H., Tanguy P.A. Three-dimensional adaptive finite element computations and applicatoins to non-newtonian flows // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1991. - Vol. 13. - P. 145-165.

42. Dvinski A.S. Adaptive Grid Generation from Harmonic Maps on Riemannian Manifolds // J. Comput. Phys. 1991. - Vol. 95. - P. 450-476.

43. Edwards T.A. Noniterative three-dimensional grid generation using parabolic partial differential equations. AIAA Paper 85-0485, 1985.

44. Eiseman P.R. Geometric methods in computational fluid dynamics. ICASE Report 80-11 and Von Karman Institute for Fluid Dynamics Lecture Series Notes, 1980.

45. Eiseman P.R. Grid generation for fluid mechanics computations // Ann. Rev. Fluid Mech. 1985. - Vol. 17. - P. 487-522.

46. Eiseman P.R. Adaptive grid generation // Comput. Methods. Appl. Mech. Engng. 1987. - Vol. 64. - P. 321-376.

47. Eriksson L.E. Generation of boundary-conforming grids around wing-body configurations using transfinite interpolation // AIAA Journal. 1982. -Vol. 20. - P. 1313-1320.

48. Field D.A. Implementing Watson's algorithm in three-dimensions // Proc. 2nd Ann. ACM Symp. on Comput. Geometry. 1986. - P. 246-259.

49. Field D.A. The legacy of automatic mesh generation from solid modeling 11 Сотр. Aided Geom. Design. 1995. - Vol. 12. - P. 651-673.

50. George P.L., Borouchaki H. Delaunay Triangulation and Meshing. Editions Hermes, Paris, 1998.

51. Ghia K.N., Ghia U., Shin C.T. Adaptive grid generation for flows with local high gradient regions. In Ghia, K.N., Ghia, U. (eds.): Advances in Grid Generation. ASME, Houston TX. 1983. - P. 35-47.

52. Giannakopoulos A.E., Engel A.J. Directional control in grid generation // J. Comput. Phys. 1988. - Vol. 74. - P. 422-439.

53. Glasser A.H., Tang X.Z. The SEL macroscopic modeling code // Сотр. Phys. Comm. 2004. - Vol. 164. - P. 237-243.

54. Gordon W.J. istributive lattices and the approximation of multivatiate functions. In Shwenberg, I.J. (ed.) Symposium on Approximation with Special Emphasis on Spline Functions. Madison, Academic Press. 1969.- P. 223-277.

55. Gordon W.J. Blending-function methods of bivariate and multivariate interpolation and approximation // SIAM J. Numer. Anal. 1971. - Vol. 8.- P. 158-177.

56. Gordon W.J., Hall C.A. Construction of curvilinear coordinate systems and applications to mesh generation // Int. J. Numer. Meth. Engng. -1973. Vol. 7. - P. 461-477.

57. Gordon W.J., Thiel L. C. Transfinite mappings and their application to grid generation. In Thompson, J.F. (ed.): Numerical Grid Generation. North-Holland, New York. 1982. - P. 171-192.

58. Hawken D.F., Gottlieb J. J., Hansen J.S. Review of some adaptive node-movement techniques in finite-element and finite-difference solutions of partial differential equations //J. Comput. Phys. 1991. - Vol. 95. -P. 254-302.

59. Hedstrom G. W., Rodrigue C.M. Adaptive-grid methods for time-dependent partial differential equations // Lect. Notes Math. 1982. - Vol. 960. - P. 474-484.

60. Ho-Le Finite element mesh generation methods: a review and classification // Computer-Aided Design. 1998. - Vol. 20. - P. 27-38.

61. Huang W. Variational mesh adaptation: isotropy and equidistribution // J. Comput. Phys. 2001. - Vol. 174. - P. 903-924.

62. Huang W., Ren Y., Russel R.D. Moving mesh PDEs based on the equidistribution principle // SIAM J. Numer. Anal. 1994. - Vol. 31. - P. 709-730.

63. Jacquotte O.-P. A mechanical model for a new grid generation method in computational fluid dynamics // Comput. Meth. Appl. Mech. Engng. -1987. Vol. 66. - P. 323-338.

64. Jeng Y.N., Shu Y.-L. Grid combination method for hyperbolic grid solver in regions with enclosed boundaries // AIAA Journal. 1995. - Vol. 33. -No 6. - P. 1152-1154.

65. Kerlic C.D., Klopfer G.H. Assessing the quality of curveliniar meshes by decomposing the Jacobian Matrix // Appl. Math. Comput. 1982. - Vol. 10,11. - P. 787.

66. Khakimzyanov G.S., Shokina N.Yu. Equidistriburion method for the construction of adaptive grids // Russian Journal of Numerical Analysis and Math. Modelling. 1999. - Vol. 14. - No 4. - P. 339-358.

67. Khamayseh A., Mastin C.W. Computational conformal mapping for surface grid generation // J. Comput. Phys. 1996. - Vol. 123. -P. 394-401.

68. Knupp P., Steinberg S. Fundamentals of Grid Generation. Boca Raton: CRC Press, 1993.

69. Lee K.D., Loellbach J.M. Geometry-adaptive surface grid generation using a parametric projection //J. Aircraft. 1989. - Vol. 2. - P. 162-167.

70. Lin K.L., Shaw H.J. Two-dimensional orthogoal grid generation techniques 11 Comput. Struct. 1991. - Vol. 41. - No 4. - P. 569-585.

71. Liseikin V.D. On a variational method of generating adaptive grids on n-dimensional surfaces // Soviet Math. Docl. 1992. - Vol. 44. - No 1. -P. 149-152.

72. Liseikin V.D. Construction of structured adaptive grids a review // Comput. Math. Math. Phys. - 1996. - Vol. 36. - No 1. - P. 1-32.

73. Liseikin V.D. Grid generation methods. Berlin: Springer, 1999.

74. Liseikin, V.D. Layer Resolving Grids and Transformations for Singular Perturbation Problems. VSP, Utrecht, 2001.

75. Liseikin V.D. A computational differential geometry approach to grid generation. Berlin: Springer, 2004.

76. Lorenz J. Nonlinear boundary value problems with turning points and properties of difference schemes // Lect. Notes in Math. 1982. - No 42. - P. 68-80.

77. Mastin C. W. Error induced by coordinate systems. In Thompson J.F. (ed.): Numerical Grid Generation. North-Holland, New York. 1982. - P. 31-40.

78. Nagumo M. Uber die Differentialgleichung y" = f(x,y,y') // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1937. - No 19. - P. 861-866.

79. Nakamura S. Marching grid generation using parabolic partial differential equations // Appl. Math. Comput. 1982. - Vol. 10. - No 11. - P. 775-786.

80. Nakamura S., Suzuki M. Noniterative three-dimensional grid generation using a parabolic-hyperbolic hybrid scheme // AIAA Paper 87-0277. -1987.

81. Noack R. W. Inviscid flow field analysis of maneuvering hypersonic vehicles using the SCM formulation and parabolic grid generation // AIAA Paper 85-1682. 1985.

82. Noack R.W., Anderson D.A. Solution adaptive grid // AIAA Journal. -1990. Vol. 28. - No 6. - P. 1016-1023.

83. Petravic M. Orthogonal Grid Constraction for Modeling of Transport in Tokamaks // J. Comput. Phys. 1987. - Vol. 73. - P. 125-130.

84. Reed C.W., Hsu C.C., Shiau N.H. An adaptive grid generation technique for viscous transonic flow problems // AIAA Paper 88-0313. 1988.

85. Rognlien T.D., Xu X.Q., Hindmarsh A.C. Application of Parallel Implicit Methods to Edge-Plasma Numerical Simulations //J. Comput. Phys. -2002. Vol. 175. - P. 249-268.

86. Ryskin G., Leal L.G. (1983) Orthogonal mapping // J. Comput. Phys. -1983. Vol. 50. - No 3. - P. 71-100.

87. Shephard M.S., Grice K.R., Lot J.A., Schroeder W.J. Trends in automatic three-dimensional mesh generation // Comput. Strict. 1988. - Vol. 30. -No 1/2. - P. 421-429.

88. Smith R.E. Two-boundary grid generation for the solution of the three-dimensional Navier-Stokes equations // NASA TM-83123. 1981.

89. Smith R.E. Algebraic grid generation. In Thompson, J.F. (ed.): Numerical Grid Generation. North-Holland, New York. 1982. - P. 137-170.

90. Smith R.E., Eriksson L.E. Algebraic grid generation // Сотр. Meth. Appl. Mech. Eng. 1987. - Vol. 64. - P. 285-300.

91. Soni B.K., Huddleston D.K., Arabshahi A., Yu. B. A study of CFD algorithms applied to complete aircraft configurations // AIAA Paper 930784. 1993.

92. Starius G. Constructing orthogonal curvilinear meshes by solving initial value problems // Numer. Math. 1977. - Vol. 28. - P. 25-48.

93. Steger J.L., Chaussee D.S. Generation of body fitted coordinates using hyperbolic differential equations // SIAM. J. Sci. Stat. Comput. 1980. -Vol. 1. - No 4. - P. 431-437.

94. Steger J.L., Rizk Y.M. Generation of three-dimensional body-fitted coordinates using hyperbolic partial differential equations. NASA, TM 86753, June, 1985.

95. Steger J.L., Sorenson R.L. Automatic mesh-point clustering near a boundary in grid generation with elliptic partial differential equations // J. Comput. Phys. 1979. - Vol. 33. - P. 405-410.

96. Steinberg S., Roache P.J. Variational curve and surface grid generation // J. Comput. Phys. 1992. - Vol. 100. - P. 163-178.

97. Tai C.H., Chiang D.C., Su Y.P. Three-dimensional hyperbolic grid generation with inherent dissipation and Laplacian smoothing // AIAA Journal. 1996. - Vol. 34. - No 9. - P. 1801-1806.

98. Takagi Т., Miki K., Chen B.C.J., Sha W.T. Numerical generation of boundary-fitted curvilinear coordinate systems for arbitrarily curved surfaces // J. Comput. Phys. 1985. - Vol. 58. - P. 69-79.

99. Tamamidis P., Assanis D.N. Generation of orthogonal grids with control of spacing 11 J. Comput. Phys. 1991. - Vol. 94. - P. 437-453.

100. Thacker W.C. A brief review of techniques for generating irregular computational grids // Int. J. Numer. Meth. Engng. 1980. - Vol. 15. - No 9. - P. 1335-1341.

101. Thomas P.D. Composite three-dimensional grids generated by elliptic systems // AIAA Journal. 1982. - Vol. 20. - No 9. - P. 1195-1202.

102. Thomas P.D., Middlecoff J.F. Direct control of the grid point distribution in meshes generated by elliptic equations // AIAA Journal. 1980. - Vol. 18. - No 6. - P. 652-656.

103. Thompson, J.F. Grid generation techniques in computational fluid dynamics // AIAA Journal. 1984. - Vol. 22. - No 11. - P. 1505-1523.

104. Thompson J.F. A survey of dynamically-adaptive grids in the numerical solution of partial differential equations // AIAA Paper 84-1606. 1984.

105. Thompson J.F. A survey of dynamically-adaptive grids in the numerical solution of partial differential equations // Appl. Numer. Math. 1985. -Vol. 1. - P. 3-27.

106. Thompson, J.F. A reflection on grid generation in the 90s: trends, needs influences. In Soni, B.K., Thompson, J.F., Hauser, J., Eiseman, P.R. (eds.): Numerical Grid Generation in CFD. Mississippi State University. 1996. -Vol. 1. - P. 1029-1110.

107. Thompson J.F., Thames F.C., Mastin C.W. Automatic numerical generation of body-fitted curvilinear coordinate system for field containing any number of arbitrary two-dimensional bodies // J. Comput. Phys. -1974. Vol. 15. - P. 299-319.

108. Thompson, J.F., Warsi, Z.U.A., Mastin C.W. Boundary-fitted coordinate systems for numerical solution of partial differential equations a review // J. Comput. Phys. - 1982. - Vol. 47. - P. 1-108.

109. Thompson J.F., Warsi Z.U.A., Mastin C.W. Numerical grid generation. Foundations and applications. New York: Elsevier Science Publisher, 1985.

110. Thompson, J.F., Weatherill, N.P. Aspects of numerical grid generation: current science and art // AIAA Paper 93-3539. 1993.

111. Visbal M., Knight D. Generation of orthogonal and nearly orthogonal coordinates with grid control near boundaries // AIAA Journal. 1982. -Vol. 20. - No 3. - P. 305-306.

112. Warsi Z. U.A. Tensors and differential geometry applied to analytical and numerical coordinate generation. Starkville: MSSU-EIRS-81-1, Aerospace Engineering, 1981.

113. Warsi Z.U.A. Basic differential models for coordinate generation. In Thompson, J.F. (ed.): Numerical Grid Generation. North-Holland, New York. 1982. - P. 41-78.

114. Warsi Z.U.A. Numerical grid generation in arbitrary surfaces through a second-order differential-geometric model //J. Comput. Phys. 1986. -Vol. 64. - P. 82-96.

115. Warsi Z.U.A., Thompson J.F. Application of variational methods in the fixed and adaptive grid generation

116. Comput. Math. Appl. 1990. - Vol. 19. - No 8/9. - P. 31-41.

117. White A.B. Elliptic grid generation with orthogonality and spacing control on an arbitrary number of boundaries // AIAA Paper 90-1568. 1990.

118. Winslow, A.M. Equipotential zoning of two-dimensional meshes //J. Comput. Phys. 1967. - Vol. 1. - P. 149-172.

119. Winslow A.M. Adaptive vesh zoning by the equipotential method. UCID-19062. Livermore: Lawrence Livermore Nat. Labs, 1981.

120. Zegeling P.A. Moving-Grid Methods for Time-Dependent Partial Differential Equations. CWI Tract 94, Centrum voor Wiskund en Informatica, Amsterdam, 1993.