Метод матричной факторизации и алгоритмы информационного анализа на основе базисов дискретных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Негода, Владимир Петрович

• Негода, Владимир Петрович
• кандидат технических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат технических наук Негода, Владимир Петрович

ВВЕДЕНИЕ.,.

ГЛАВА I. Системы дискретных базисных функций.

1.1. Обобщенное преобразование ффье в дискретных базисах.

1.2. Преобразование Уолша; матрицы Адамара.•••••

1.3. Комплексные преобразования Адамара.

1.4. Базисы Хаара.

Выводы.

ГЛАВА 2. Быстрые преобразования в базисах дискретных функций.

2.1. Факторизация матриц дискретных функций.

2.2. Быстрое цреобразование Фурье над полем действительных чисел (ШФ-Д).

2.3. Быстрый алгоритм косинус-преобразования

БКП-Д).

2.4. Быстрые алгоритмы прямого и обратного преобразований Адамара (БПА-К).

2.5. Алгоритмы быстрых преобразований Хаара.

Выводы. III

ГЛАВА 3. Изоморфизм коэффициентов разложения в различных базисах. ИЗ

3.1. Факторизация матриц связи между базисами. ИЗ

3.2. Быстрый алгоритм перехода между базисами

Фурье и Уолша.

3.3. Алгоритмы связи между преобразованием Фурье и комплексными преобразованиями Адамара.

3.4. Связь преобразования Хаара с другими базисами.

Выводы.

ГЛАВА 4. Система переработки информации, получаемой при динамических испытаниях автомобильных конструкций.

4.1. Система комплексных испытаний транспортных машин.

4.2. Автоматизированная система переработки информации о дорожных испытаниях автомобиля.

4.3. Математическое обеспечение автоматизированной системы переработки информации о дорожных испытаниях автомобиля.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод матричной факторизации и алгоритмы информационного анализа на основе базисов дискретных функций»

Актуальность проблемы. Задачу анализа динамики объекта целесообразно рассматривать с позиции кибернетического подхода, если известны сигналы на его входе и выходе [61] . При выполнении условий линейности и стационарности [12] она может быть решена в рамках традиционной спектрально-корреляционной теории, которая была развита в трудах советских и зарубежных ученых Пугачева B.C. [43] , Солодовникова В.В. [50] , Чеголина П.М. [60] , Титчмарша Е. [54] , Винера Н. [13] , Хинчина А.Я. [59] . Ими впервые были сформулированы основные принципы построения инвариантов интегральных преобразований для анализа линейных стационарных динамических систем и показано, что последние полностью описываются интегральным преобразованием фурье, где в качестве базиса используется полная ортогональная система тригонометрических функций, инвариантная к группе циклических сдвигов.

Реальные объекты и процессы в общем случае являются нестационарными, описание их на основе традиционных методов невозможно. Основными направлениями в анализе нестационарных процессов и систем являются: методы операторов обобщенного сдвига на основе свойства инвариантности динамических систем относительно сдвига, порождаемого оператором Штурма-Лиувиля [22, 37]; использование базисных систем, ортогональных на нестационарных отрезках времени [51] • Перспективным в этом случае является метод собственных преобразований [41, 52] , однако и его применение, как, впрочем, и предыдущих, затруднительно из-за большого объема, вычислений для его реализации. Задача отыскания собственного базиса решается намного проще [24, 31, 46], если известен тип нестационарности объекта и его сдвиговые свойства. Такая концепция обобщает дискретные ортогональные базисы Ви-ленкина-Крестенсона [24, 41, 56] , Понтрягина [42] и др.

Обработка экспериментальной информации в рамках спектрально-корреляционной теории в системах динамических испытаний сложных технических объектов занимает до 70-80$ общего времени их работы. Важным средством повышения быстродействия такой обработки в режиме реального времени являются быстрые алгоритмы дискретных преобразований, которые для дискретного преобразования Зурье впервые были описаны Кули и Тьнжи [32, 68] . Основой разработки быстрых алгоритмов является теория матричной факторизации [53] , обеспечивающая формальный метод их построения.

Использование дискретных базисов, наиболее соответствующих характеру вычислительной техники, стимулировало в последние годы повышенный к ним интерес. В первую очередь это относится к системам функций Уолша и Хаара. Впервые функции Уолша были введены в 1923 году Уолшем [76] и далее освещены в работе Паяй [72] , в книге Качмажа-Шгейнгауза [25], а позднее в статьях Файна [69, 70] . Базис Уолша обладает возможностью построения формальных аналогий с тригонометрическим базисом. При этом, благодаря дискретной структуре функций Уолша, значительно ускоряются вычислительные процедуры по сравнению с быстрым преобразованием фурье [4] . В базисе Уолша разработаны методы анализа стационарных [23] и двоично-стационарных [41, 57] систем, функции Хаара были предложены венгерским математиком Хааром [71] в в 1910 году, в дальнейшем изучались многими учеными [24, 47,

56] и обеспечивают наиболее быструю сходимость при разложении функции в ряд. Большой вклад в развитие и применение дискретных базисных функций внесли Сойфер В.А. [26 , 48 , 49] , Вит-тих В. А. [14, 15] , Ситников О.П. [46] , Лабунец В.Г. [33-35] и другие ученые. Однако базисы типа Уолша и Хаара не удобны для обработки комплексных массивов информации, поэтому желательно иметь аппарат в виде дискретных комплексных базисов [67, 73, 74] для успешного решения этой проблемы.

Из перечисленного круга задач в диссертационной работе представлены результаты исследований автора по разработке и применению быстрых алгоритмов анализа информации в автоматизированной системе испытаний автомобильных конструкций (рис. 4.1) на основе построения быстрых процедур преобразований в базисах комплеконых дискретных функций Адамара и Хаара и быстрых Фурье-и косинус-преобразований над полем действительных чисел.

Данная работа выполнена автором на кафедре общего программирования Белгосуниверситета им. В.И. Ленина и в лаборатории автоматизации экспериментальных исследований Института технической кибернетики АН БССР. Тема диссертации соответствует плану научно-исследовательских работ кафедры общего программирования Jl 81090259, рассмотренному и одобренному советом Белгосуниверситета им. В.И. Ленина (протокол № 2 от 26 февраля 1982 г.), утвержденному Министерством высшего и среднего специального образования БССР от 5 марта 1982 г., и программе Института технической кибернетики АН БССР по решению важнейшей комплексной проблемы I.I2.I3 в области естественных наук (ТО АНИ 01), утвержденной постановлением президиума АН БССР от 25 декабря 1980 г., № 234, а также работе по хозяйственному договору

- 9 10/17 с Волжским автомобильным заводом.

Цель работы - разработка и применение алгоритмов оперативной переработки информации в автоматизированной системе экспериментальных исследований на основе базисов дискретных функций; построение быстрых вычислительных процедур этих преобразований; использование их в автоматизированной системе обработки экспериментальных реализаций, получаемых при дорожных испытаниях автомобиля.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Разработать ортогональные дискретные системы базисных функций Адамара и Хаара в комплексной области, соответствующие двоичной логике ЭВМ.

2. Построить быстрые вычислительные процедуры для комплексных базисов Адамара и Хаара, а также для Фурье - и косинус-преобразований над полем действительных чисел.

8. Установить однозначное соответствие между коэффициентами преобразования в базисе тригонометрических функций и в базисах Уолша, Адамара и Хаара.

4. Применить комплекс оперативных алгоритмов для анализа информации в системе дорожных испытаний автомобиля и в автоматизированной системе управления стендовыми испытаниями автомобильных конструкций.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе используются теория случайных функций в рамках корреляционного и спектрального анализа; алгебраические методы определения комплексных систем различных базисных функций, построения быстрых процедур преобразований и установления изоморфизма коэффициентов разложения в различных базисах функций; методы моделирования цифровой системы управления комплексными испытаниями технических объектов; методика системного программирования для реализации комплекса оперативных алгоритмов переработки экспериментальной информации о дорожных испытаниях автомобиля.

Научная новизна. В настоящей работе получены следующие новые результаты.

1. Разработаны ортогональные дискретные базисные функции в комплексной области и неизбыточные быстрые алгоритмы для вычисления коэффициентов преобразований в этих базисах, доказаны основные положения и свойства преобразований и введены соответствующие им групповые операции.

2. Получены быстрые Фурье- и косинус-преобразования над полем действительных чисел, обеспечивающие значительное сокращение числа арифметических операций и экономию объема памяти по сравнению с быстрым преобразованием Фурье.

3. Установлено взаимно-однозначное соответствие (изоморфизм) между коэффициентами преобразования в базисе тригонометрических функций и в других базисах; созданы быстрые алгоритмы пересчета коэффициентов различных преобразований.

4. Предложена автоматизированная система обработки информации о дорожных испытаниях транспортных машин с учетом потребностей замкнутой системы управления стендовыми испытаниями автомобильных конструкций.

Практическая ценность и рекомендации по применению. Комплекс оперативных алгоритмов переработки информации о дорожных испытаниях автомобиля и соответствующие им программные модули применены в автоматизированной системе управления комплексными испытаниями автомобильных конструкций. Указанные программные модули оформлены в виде стандартных программ. Программное обеспечение может эксплуатироваться в различных операционных системах при решении широкого круга задач переработки экспериментальной информации, получаемой в результате исследования различных технических объектов. Ряд результатов диссертационной работы нашел применение в учебно-методическом процессе на факультете прикладной математики Белгосуниверситета им. В.И. Ленина и рекомендован для дальнейшего использования в этих целях.

Реализация результатов. Полученные в диссертационной работе результаты нашли применение при разработке автоматизированной системы управления динамическими испытаниями автомобильных конструкций на Волжском автомобильном заводе (г. Тольятти), которая эксплуатируется в производственных условиях. Экономический эффект от внедрения указанной системы составил 450816 рублей. Методы построения быстрых алгоритмов в базисах дискретных функций, а также установление взаимно-однозначного соответствия между коэффициентами различных преобразований использованы в спецкурсе "Методы представления, хранения и обработки информации" на факультете прикладной математики Белгосуниверситета им. В.И. Ленина.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзной научно-технической конференции "Автоматизация экспериментальных исследований" (Куйбышев, июль, 1978), на республиканской научно-технической конференции "Пути повышения качества и надежности машин" (Минск, ноябрь, 1980), на республиканском семинаре "Системы и устройства преобразования и обработки информации в рё-альном масштабе времени" (Киев, сентябрь, 1982), на Всесоюзном симпозиуме "Статистические измерения и применение микромашинных средств в измерениях" (Вильнюс, октябрь, 1982), на совместном научном семинаре кафедр общего программирования и математического обеспечения АСУ Белгосуниверситета им. В.И. Ленина.

Публикации, По материалам проведенных исследований опубликовано 9 научных работ, в том числе I - одна в международном издании [I] , 2 - во всесоюзной печати [3, 14] , 6 - в республиканских изданиях [23-25 , 34 , 59 , 60] .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Работа содержит 150 страниц машинописного текста, 27 страниц иллюстраций; в список литературы включено 76 публикаций.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Негода, Владимир Петрович

Основные результаты, полученные в различных разделах диссертации, были сформулированы в выводах в конце каждой главы. Представим их в обобщенной форме.

1. Получены в матричной форме системы ортогональных дискретных базисных функций Адамара и Хаара для спектрального и корреляционного анализа случайных процессов в поле комплексных чисел (формулы (1.22) * (1.24), п. 1.4) доказан ряд положений и свойств комплексных преобразований; введены соответствующие им групповые операции, инвариантные к операторам обобщенного сдвига (п. 1.3).

2. Разработаны быстрые вычислительные процедуры анализа случайных процессов на основе применения метода матричной факторизации (п. 2.1) быстрые Щурье-и косинус-преобразования над полем действительных чисел, каждое из которых обеспечивает со

- 169 крещение числа арифметических операций почти в 4 и 7 раз соответственно с одновременным уменьшением оперативной памяти ЭВМ в 4 раза по сравнению с известным Б® (пп. 2.2 и 2.3).

3. Цредложены и исследованы неизбыточные быстрые алгоритмы для вычисления коэффициентов преобразований Адамара и Хаара в комплексной и действительной областях (пп. 2.4 и 2.5).

4. Выведены матричные соотношения, устанавливающие взаимнооднозначное соответствие (изоморфизм) между коэффициентами преобразования Фурье и коэффициентами преобразования в других базисах дискретных функций для интерпретации получаемых результатов анализа экспериментальных реализаций, а также построены быстрые процедуры пересчета коэффициентов с использованием вычислительных операций в действительной области (гл. 3).

5. Разработана структура информационно-алгоритмического обеспечения автоматизированной системы анализа информации о дорожных испытаниях автомобиля (п. 4.3, формулы (4.5) и (4.6) с учетом потребностей системы комплексных испытаний автомобильных конструкций, а также предложены соответствующие этой структуре технические средства (п. 4.2) для обеспечения связи испытуемого объекта с управляющим вычислительным комплексом.

6. Создано программное обеспечение автоматизированной системы обработки информации о дорожных испытаниях автомобиля (Приложение I), реализующее статистический, спектральный и корреляционный анализ информационных потоков (п. 4.3), модульный принцип построения которого дает возможность применять его для исследования случайных процессов и в других задачах.

7. Результаты диссертационной работы нашли применение в автоматизированной системе управления динамическими испытаниями автомобильных конструкций в производственном объединении

АвтоВАЗ (г. Тольятти); общий годовой экономический эффект от внедрения системы составил 450816 рублей (Приложение 2).

8. Результаты, относящиеся к методам построения быстрых алгоритмов преобразования в базисах дискретных функций (гл. 2), к изоморфизму коэффициентов преобразования в этих базисах (гл. 3) и к программному обеспечению системы (гл. 4), использованы в спецкурсе "Методы представления, хранения и обработки информации" и в практикуме на ЭВМ в учебно-методической работе на факультете прикладной математики Белгосуниверситета им. В.И. Ленина (Приложение 2).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Создание автоматизированных систем анализа информации применительно к комплексным испытаниям образцов новой техники обусловливает необходимость разработки: теоретических основ алгоритмизации функциональных задач; информационно-алгоритмической структуры системы обработки информации; быстрых процедур преобразования информационных потоков, отвечающих требованиям реального времени в заданной полосе частот исследуемых процессов на основе применения дискретных базисных функций.

Б настоящей диссертационной работе эти принципиальные положения реализованы применительно к автоматизированной системе дорожных испытаний автомобильных конструкций. Вместе с тем, большинство полученных результатов носит общий характер для исследования динамических свойств любых технических объектов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Негода, Владимир Петрович, 1984 год

1. Автоматизированная система управления виброиспытаниями на однокомпонентном вибростенде / Чеголин П.М., Кунцевич В.М., Туник А.А., Кончак B.C., Пойда В.Н., Борисов И.Ф. В кн.: Управляпцие системы и машины. - Киев, Наукова думка, 1978, вып. 2, с. II5-II8.

2. Алгоритмы быстрого преобразования Фурье-Уолша / Чеголин П.М., Пойда В.Н., Кончак B.C. и др. В кн.: Вычислительная техника в машиностроении. Минск, 1973, вып. 2, с. 121-128.

3. Ахмед Н., Рао К. Комплексные двоичные преобразования Адамара. В кн.: Зарубежная радиоэлектроника. М., 1973, № 3,с. 64-68.

4. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. -367 с.

5. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. М.: МИР, 1971. - 408 с.

6. Борисов И.Ф. Анализ и генерирование случайных процессов в системах управления на основе быстрых вычислительных проце

7. ДУР в дискретных базисах. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. - Минск, 1982. - 183 с.

8. Брич З.С., Капилевич Д.В. и др. ФОРТРАН ЕС ЭВМ. М.: Статистика, 1978. - 264 с.

9. Быстрые алгоритмы связи преобразований Фурье и Уолша / Чего лин П.М., Пойда В.Н., Кончак B.C., Садыхов Р.Х. В кн.: Методы представления и аппаратурный анализ случайных процессов и полей: Тез. докл. Всесоюзного симпозиума. Л., 1976, с. 13-20.

10. Венцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975. - 319 о.

11. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. М.: Ф!зматгиз, 1963. - 256 с.

12. Виттих В.А., Сойфер В.А., Якимович А.А. Сжатие данных при экспериментальных исследованиях физических полей. В кн.: Автоматика и вычислительная техника, 1972, № 6, с. 61-66.

13. Виттих В.А., Сойфер В.А., Якимович А.А. Оптимизация сжатия данных при совокупных измерениях. В кн.: Автоматика и вычислительная техника, 1977, № 3, с.80.

14. Вопросы теории математических машин / Под. ред. Базилевско-го. М.: Физматгиз, 1962. - 239 с.

15. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М., Наука, 1965.400 с.

16. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.: Сов. радио, 1973. - 368 с.

17. Даниленко В.В., Борисов И.Ф., Негода В.П. Алгоритмы быстрого преобразования фурье-Хаара. и их машинная реализация.

18. В кн.: Автоматизация экспериментальных исследований: Тез. докл. Всесоюзной науч.-техн. конф. (Куйбышев, 5-7 июля 1978), Куйбышев, 1978, с. 137-138.

19. Девис У. Операционные системы. М.: Мир, 1980. - 436 с.

20. Донован Дж. Системное программирование. М.: Мир, 1975. -540 с.

21. Драгая Я.П. Модели сигналов в линейных системах. Киев: Наукова думка, 1972. - 302 с.

22. Инвариантность преобразования Уолша / Чеголин П.М., Пойда В.Н., Кончак B.C., Садыхов Р.Х. В кн.: Вычислительная техника в машиностроении. Минск, 1974, вып. I, с. 148-155.

23. Карповский М.Г., Москалев Э.С. Спектральные методы анализаи синтеза дискретных устройств. М.: Энергия, 1973. - 142 с.

24. Качмаж С., Шгейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: &зматгиз, 1958. - 507 с.

25. Кловский Д.Д., Сойфер В.А. Обработка пространственно-временных сигналов (в каналах передачи информации). М.: Связьt -208 с.

26. Колмогоров Г.С., Лабунец В.Г. Новый быстрый алгоритм для косинусного преобразования. В кн.: Методы и микроэлектронные средства цифрового преобразования и обработки сигналов: Тез. докл. Всесоюзной науч.-техн. конф., Рига, 1983, т. 2, с. 55-58.

27. Кончак B.C., Негода В.П. Алгоритм дискретного преобразования Фурье над полем действительных чисел. В кн.: Автоматизация экспериментальных исследований. Минск, 1982, с. 13-25.

28. Кончак B.C., Негода В.П. Быстрый алгоритм действительного косинус-преобразования. В кн.: Автоматизация процессов проектирования. Минск, 1983, вып. 2, с. 127-136.

29. Кренкель Т.Э. Спектральный анализ на конечных коммутативных группах. -М.: Радиотехника, 1975, $ 6, с. 19-23.

30. Кули Дж., Льюис А., Уэлч Р. Исторические замечания относительно быстрого преобразования Фурье. В кн.; ТИИЭР, 1967, т. 55, В 10, с. 18-29.

31. Кухарев Г.А., Дагман Э.И. Ортогональные базисы для задач цифровой обработки сигналов. Ч. I. Структура и способы формирования матриц дискретных ортогональных преобразований. Препринт 42-79. Новосибирск, 1980. 41 с.

32. Лабунец В.Г. Единый подход к алгоритмам быстрых преобразований. В кн.: Применение ортогональных методов при обработке сигналов и анализе систем. Свердловск: УПЙ, 1980,с. 4-14.

33. Лабунец В.Г» Новые унитарные преобразования со структурами быстрых алгоритмов. В кн.: Автоматизация экспериментальных исследований. Минск, 1982, с. 61-69.

34. Лабунец В.Г. Спектральный анализ линейных динамических систем, инвариантных относительно операторов обобщенного сдвига. В кн.: Автоматизация экспериментальных исследований. Минск, 1982, с. 49-60.

35. Левитан Б.М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.: Наука, 1973. - 312 с.

36. Митропольский А.К. Техника статистических вычислений. М.: Изд-во физико-математич. литературы, 1961. - 576 с.

37. Модифицированный алгоритм быстрого преобразования Зурье / Кончак B.C., Касько А.Т., Пойда В.Н., Кручинский В.В. В кн.: Методы представления и аппаратурный анализ случайных процессов и полей: Тез. докл. Всесоюзного симпозиума. Л., 1974, с. 97-100.

38. Негода В.П. Обобщенное комплексное преобразование Адамара. -В кн.: Теория и методы автоматизации проектирования. Минск, 1981, вып. 4, с. 73-79.

39. Пойда В.Н. Спектральный анализ в дискретных ортогональных базисах. Минск: Наука и техника, 1978. - 136 с.

40. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: Гостехиздат, 1954. - 516 с.

41. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение в задачах автоматического управления. М.: Физматгиз, I960. -884 с.

42. Романовский П.й. Ряды Фурье. М.: Наука, 1973. - 336 с.

43. Садыхов Р.Х. Анализ случайных процессов и динамики объектов на основе спектральных инвариантов. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. - Минск, 1974. - 156 с.

44. Ситников О.П. Гармонический анализ на группах в абстрактной теории систем. В кн.: Гармонический анализ на группах в абстрактной теории систем. Свердловск, Изд. УПИ, 1976,с. 5-19.

45. Соболь И.Н. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара.- М.: Наука, 1969. 288 с.

46. Сойфер В.А. Некоторые алгоритмы обработки пространственно-временных сигналов, использующие оценки параметров канала.- В кн.: Передача цифровой информации по радиоканалам, содержащим случайные неоднородности. М., Наука, 1976,с. 190-209.

47. Сойфер В.А. Алгоритмы восстановления данных голографического эксперимента. В кн.: Автометрия, Jfc 3. М., 1978, с. 16-24.

48. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. М.: Фазматгиз, I960. - 655 с.

49. Солодовников В.В., Семенов В.В. Спектральная теория нестационарных систем управления. М.: Наука, 1974. - 335 с.

50. Теория матричной факторизации / Чеголин П.М., Пойда В.Н., Кончак B.C., Садыхов Р.Х. В кн.: Методы представления и аппаратурный анализ случайных процессов и полей: Тез. докл. IX Всесоюзного симпозиума. Секция X. Л., 1976, с. 21-26.

51. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.: Гос-техиздат, 1948. - 479 с.

52. Трамбле Ж., Соренсен П. Введение в структуры данных. М.: Машиностроение, 1982. - 784 с.

53. Трахтман A.M., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов. радио, 1975. - 208 с.

54. Хармут X. Передача информации ортогональными функциями.- М.: Связь, 1975. 267 с.

55. Хармут X. Теория секвентного анализа (основы и применение). -М.: Мир, 1980. 574 с.

56. Хинчин А.Я. Теория корреляции стационарных стохастических процессов. В кн.: Успехи математических наук. М., 1938, * 5.

57. Чеголин П.М. Автоматизация спектрального и корреляционного анализа. М.: Энергия, 1969. - 383 с.

58. Чеголин П.М. Автоматизация управляемых экспериментов. В кн.: Методы и средства автоматизации научных исследований. Минск, 1978, вып. 4, с. 8-13.

59. Чеголин П.М. Оценки компонент информационного потока и характеристик быстродействия в системах управления экспериментальными исследованиями. В кн.: Автоматизация экспериментальных исследований. Минск, 1982, с. 7-II.

60. Чеголин П.М., Кончак B.C., Крот A.M. Структура быстрых алгоритмов гармонического анализа.-В кн.: Автоматизация процессов проектирования. Мйнск, 1983, вып. I, с. 77-87.

61. Чеголин П.М., Кончак B.C., Негода В.П. Оперативный анализ экспериментальных сигналов на основе комплексного преобразования Адамара. В кн.: Автоматизация проектирования в машиностроении. Минск, 1981, вып. 3, с. I35-I4I.

62. Чеголин П.М., Кончак B.C., Негода В.П. Факторизация матриц связи функций Адамара с тригонометрическим базисом. В кн.: Теория и методы автоматизации проектирования. Минск, 1981, вып. 4, с. 67-72.

63. Ahmed N. ,Natara;jan Т. ,Као К. Discrete cosine transform.-IEEE Trans.Computers. C-23,1974, p. 90-93.

64. Ahmed N.,Rao K.,Abdussatar A.L. BIFORE or Hadamard transform.-IEEE Trans. Audio Electroacoustics. A -19, 1971, p. 225-234.

65. Cooley J., Tukey J. An algorithm for the machine calculationof complex Fourier series.-Math, of Сотр.,vol.19,1965, p.297-301.

66. Fiene N. On the Walsh Functions.-Trans. Am. Math.Soc.,1949, vol.65, p. 372-414.

67. Fiene N. The Generalized Walsh Functions.-Trans.Am.Math.Soc., 1950, vol.69, p. 66-77.- 177

68. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme.-Math. Am., 19Ю, N69, p. 331-371.

69. Paley R. A remarkable series of ortognal functions.-Eroc. London, Math.Soc., 1932,N34, p. 241^279.

70. Rao K.,Narasimham M. ,Revuluri K. A Family of Discrete Haar Transforms.- Comput.Elect.Engng., vol.2, 1975, p. 367-388. 74-. Rao K. ,Revuluri K. ,Harasimham M.A. Complex Haar Transform.-IEEE ASSP-24, 1976, N1, p. 102-104.

71. Tzeng В., Miller W. On computing the discrete cosine transform.- IEEE Trans. Comput., v. C-27, N10, 1978, p.966-968.

72. Walsh J. A Closed Set of Ortogonal Functions.-Amer.J.Math., 1923, vol. 45, p. 5-24.