Методы обработки нормированных данных в информационно-измерительных системах с использованием модифицированного базиса Уолша тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.11.16, кандидат технических наук Титов, Сергей Васильевич

• Титов, Сергей Васильевич
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Титов, Сергей Васильевич

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1.Анализ преобразований изображений в информационно-измерительных системах

1.1 .Формирование моделей изображений в информационно-

измерительных системах

1.2.Фильтрация моделей изображений в информационно-

измерительных системах

1.3.Описание цифровых растровых моделей изображений и их спектров нечеткими множествами

1 ^.Преобразование для получения нечеткого спектра

1.5.Выводы

2.Модификация ортогональных преобразований в базисе функций Уолша для обработки нечетких подмножеств

2.1.Модификация базиса функций Уолша

2.2.Свойства модификации преобразования Уолша-Адамара

2.3.Быстрый алгоритм вычисления модифицированных спектральных коэффициентов Втк(п)

2.4.0ценка точности модифицированного преобразования Уолша-Адамара

2.5.Представление модифицированного спектра Уолша нечетким подмножеством и его обработка

2.6.Вывод ы

3.Обработка изображений в области нечеткого спектра Уолша

3.1.Линейная фильтрация нечеткого спектра Уолша

3.2. Нелинейная фильтрация нечеткого спектра Уолша

3.3.Расчет фильтров в базисе функций Уолша, обладающих заданными свойствами в области синусоидальных функций

3.4.Анализ изображений в области нечеткого спектра Уолша

3.5.Выделение объектов заданных геометрических размеров при помощи спектрального анализа в базисе функций Уолша

3.6.Вывод ы

4.Исследование производительности и точности алгоритмов фильтрации изображений в области нечеткого спектра Уолша

4.1.Использование параллельных вычислений при определении спектральных коэффициентов Уолша-Адамара

4.2.Алгоритмическая реализация параллельных вычислений при определении спектра Уолша-Адамара

4.3.Исследование производительности алгоритмов фильтрации изображений в спектральной области функций Уолша

4.4.Исследование точности алгоритмов фильтрации изображений в спектральной области функций Уолша

4.5.Вывод ы

Заключение

Список литературы

Приложение 1. Соотношения между элементами результатов циклической и

диадической сверток последовательностей из 16 элементов

Приложение 2. Программная реализация алгоритма расчета фильтра в базисе функций Уолша, обладающего заданными свойствами в области синусоидальных функций

Приложение 3. Вычисление автокорреляционных функций с использованием

модифицированного преобразования Уолша-Адамара

Приложение 4. Реализация алгоритмов быстрых преобразований в базисе функций Уолша

Приложение 5. Результаты исследований временной сложности алгоритмов

вычисления быстрых преобразований и нечеткой фильтрации

Приложение 6. Аппаратно-программный комплекс для иридодиагностических исследований

Приложение 7. Программа фильтрации нечеткого спектра Уолша

Приложение 8. Технико-экономическая эффективность внедрения результатов работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы обработки нормированных данных в информационно-измерительных системах с использованием модифицированного базиса Уолша»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Современный этап развития информационно-измерительных систем различного назначения характеризуется широким применением изображений в качестве первичного сигнала, несущего информацию о состоянии объекта. Это обусловлено следующими причинами: изображения используются для описания широкого спектра процессов и явлений; изображения обладают наибольшей информативностью отражения объективной реальности и используются в качестве первичного сигнала как живыми организмами [10, 43], так и техническими системами [2, 13, 15, 29, 42, 54, 58, 61, 62, 70, 78]; в современной технике существуют классы приборов для преобразования изображений в электрический сигнал и последующей подготовки ко вводу в ЭВМ [29, 41, 45, 48, 56, 60, 72, 98].

Указанные обстоятельства обусловили выбор объекта исследования диссертации, которым является оптико-электронная измерительная система, которая может быть охарактеризована как аппаратно-программный комплекс цифровой фильтрации растровых моделей изображений.

Характерной особенностью растровых моделей изображений при их использовании в информационно-измерительных системах является наличие как полезной информации, так и большого количества фоновой информации. Вносимые техническими средствами формирования изображений искажения зачастую делают невозможным непосредственное использование полученных с их помощью моделей изображений для решения задач функционирования информационно-измерительных систем. Выделение полезной информации является далеко не тривиальной задачей. Одним из методов ее решения является обработка растровых моделей изображений в спектральной области. Это сопряжено с увеличением времени извлечения

полезной информации из наблюдаемого сигнала при работе информационно-измерительной системы. Необходимо также отметить, что несмотря на существование в настоящее время множества методов решения задачи извлечения полезной информации, в том числе за счет фильтрации моделей изображений как в сигнальной, так и в спектральной области [1, 5, 8, 9, 10, 11, 17, 26, 27, 50, 53, 55, 57, 63, 68, 71, 75, 83, 88, 93, 94], многие из существующих методов фильтрации моделей изображений не обладают достаточной производительностью в случае программной реализации и требуют построения специализированных вычислителей.

Указанное обстоятельство обусловило выбор предмета исследований диссертации, который может быть охарактеризован как временная и вычислительная сложность алгоритмов цифровой фильтрации растровых моделей изображений в спектральной области.

Применение математического аппарата теории нечетких множеств является одним из путей решения задачи снижения временной и вычислительной сложности алгоритмов цифровой фильтрации растровых моделей изображений. Это достигается за счет частичной замены операций класса умножения операциями класса сложения, а также арифметических операций - логическими. Решение задач цифровой фильтрации растровых моделей изображений в сигнальной области с использованием теории нечетких множеств рассмотрено в [19, 21, 22, 30, 31, 33, 74, 79, 82, 86, 87, 89, 90, 91, 92, 99, 101, 102]. При этом недостаточное внимание уделено вопросам цифровой фильтрации растровых моделей изображений в спектральной области с использованием теории нечетких множеств.

Целью диссертационной работы является разработка методов снижения системной и временной сложности алгоритмов цифровой фильтрации растровых моделей изображений в спектральной области за счет использования математического аппарата теории нечетких множеств, а

также реализация методологии в программном комплексе обработки изображений.

В соответствии с поставленной целью автором решены следующие задачи:

1) получено линейное преобразование в базисе модифицированных функций Уолша, позволяющее представить спектральные коэффициенты в терминах теории нечетких множеств;

2) разработаны методы линейной и нелинейной фильтрации нечеткого спектра растровой модели изображения в базисе модифицированных функций Уолша с использованием теории нечетких множеств;

3) разработаны алгоритмы расчета нечетких фильтров в базисе модифицированных функций Уолша для цифровой фильтрации растровых моделей изображений;

4) разработан аппаратно-программный комплекс измерения и цифровой фильтрации растровых моделей изображений в спектральной области, экспериментальные исследования которого подтвердили снижение временной и вычислительной сложности фильтрации в спектральной области при сохранении качества обработки.

Методы исследования. В работе используются методы теории ортогональных преобразований, линейной алгебры, фундаментальной теории нечетких множеств, теории фильтрации, а также теории алгоритмов.

Научная новизна работы заключается в следующем.

1. Решена задача снижения временной и вычислительной сложности цифровой фильтрации растровых моделей изображений в спектральной области за счет использования теории нечетких множеств.

2. На базе теории ортогональных преобразований разработано квазиортогональное преобразование в базисе модифицированных функций Уолша, позволяющее получить нечеткий спектр растровой модели изображения, описанной в терминах теории нечетких множеств.

-83. На основе теории линейной и нелинейной фильтрации, а также фундаментальной теории нечетких множеств, разработаны методы цифровой фильтрации нечеткого спектра в базисе модифицированных функций Уолша с использованием теории нечетких множеств.

4. Разработан метод расчета фильтров для цифровой фильтрации в спектральной области модифицированных функций Уолша, обладающих заданными свойствами в области синусоидальных функций.

Практическая ценность работы заключается в применении теоретических положений и выводов диссертации для решения практических задач обработки изображений в системах исследуемого класса.

1. Реализованы и внедрены в цифровой информационно-измерительной системе алгоритмы цифровой фильтрации растровых моделей изображений в области нечеткого спектра, позволяющие сократить временную и вычислительную сложность фильтрации за счет частичной замены операций класса умножения операциями класса сложения, а также арифметических операций - логическими.

2. Разработаны и реализованы быстрые алгоритмы вычисления преобразования в базисе модифицированных функций Уолша, в которых сокращение временной и вычислительной сложности достигается за счет использования параллельного вычисления частичных сумм на ЭВМ Фон-Неймановского типа.

3. Для повышения визуального качества изображений разработаны и реализованы алгоритмы расчета нечетких фильтров в области спектра Уолша, в том числе фильтров, обладающих заданными свойствами в области спектра Фурье.

4. Разработан и реализован алгоритм выделения объектов заданных геометрических размеров на растровых моделях изображений посредством анализа нечеткого спектра в базисе модифицированных функций Уолша.

Исследования по теме диссертации использованы при выполнении х/д темы №022701 «Разработка математического и программного обеспечения для имитационной системы испытательного стенда» с Конструкторским бюро приборостроения, г. Тула.

Реализация результатов диссертационной работы. Прикладные результаты диссертационной работы были внедрены в рамках выполнения комплексной инновационной научно-технической программы 13.22 «Создание комплексов обработки изображений и средств отображения информации»; х/д темы №022701 «Разработка математического и программного обеспечения для имитационной системы испытательного стенда» с Конструкторским бюро приборостроения, г. Тула; в технологический процесс подготовки оригинал-макетов к печати в типографии АОЗТ «Форус», г.Тула, а также ООО «Спэйс», г.Тула.

Теоретические результаты работы внедрены в учебных курсах "Системы реального времени" и "Системы искусственного интеллекта" на кафедре ЭВМ Тульского государственного университета.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах.

1. 35-я НТК Михайловской артиллерийской академии. - СПб.: 1997г. 2.6-я НТК «Современное телевидение», Москва, март 1998. 3. XXIV Всероссийская молодежная научная конференция Гагаринские чтения, Москва, 7-11 апреля 1998 г. 4. Межвузовская конференция «Микроэлектроника и информатика - 98», Москва, 1998, 20-22 апреля. 5. Международная научно-техническая конференция «Нейронные, реляторные и непрерывнологические сети и модели», Ульяновск, 1998, 19-21 мая. 6. НТК «Медико-экологические информационные технологии - 98», Курск, 1998, 19-21 мая. 7. XV научная сессия, посвященная дню радио, Тула, 1998. 8. Научно-практические конференции профессорско-преподавательского состава ТулГУ (г. Тула 1997-99 г.г.). 9.1 Всероссийская

научно-техническая конференция "Компьютерные технологии в науке, проектировании и производстве". Нижний Новгород, 3-4 февраля 1999 г.

Публикации. По результатам исследований опубликовано 13 печатных работ.

Характеристика работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов и заключения, изложенных на 151 странице машинописного текста, содержит 27 рисунков, 3 таблицы, список использованной литературы из 103 наименований и приложения.

Во введении обоснована актуальность выбора темы диссертационной работы, охарактеризованы объект и предмет исследований, произведена постановка задачи снижения временной и вычислительной сложности алгоритмов цифровой фильтрации растровых моделей изображений в спектральной области за счет использования методов теории нечетких множеств, дана краткая характеристика работы.

В первом разделе исследованы существующие методы цифровой фильтрации растровых моделей изображений в информационно-измерительных системах, использующие традиционное математическое описание растровой модели изображения как двумерной матрицы, обосновано представление растровых моделей изображений в терминах теории нечетких множеств, введено понятие нечеткого спектра, исследованы ортогональные преобразования, используемые в цифровой фильтрации сигналов, и предложно в качестве базовой для модификации использовать преобразование в базисе функций Уолша.

Во втором разделе предложена модификация преобразования в базисе функций Уолша, позволяющая получить нечеткий спектр, исследованы и доказаны свойства предложенного преобразования в базисе модифицированных функций Уолша, обоснован и разработан быстрый алгоритм вычисления модифицированных спектральных коэффициентов,

даны определения нечеткого фильтра и его компонент, разработаны методы фильтрации нечеткого спектра.

В третьем разделе рассмотрены вопросы методологии построения нечетких линейных и нелинейных фильтров в области нечеткого спектра модифицированного преобразования Уолша, предложены методы расчета компонент нечетких фильтров, расчета фильтров в базисе модифицированных функций Уолша, обладающих заданными свойствами в области спектра Фурье, исследованы вопросы спектрального анализа в базисе модифицированных функций Уолша, в том числе для выделения объектов заданных геометрических размеров.

В четвертом разделе предложен метод вычисления быстрых преобразований в базисе функций Уолша, использующий параллельное вычисление частичных сумм на ЭВМ Фон-Неймановского типа, дано описание разработанного аппаратно-программного комплекса измерения и цифровой фильтрации растровых моделей изображений в области нечеткого спектра Уолша, приведены результаты оценки временной сложности и точности разработанных методов и алгоритмов фильтрации.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы по работе.

В приложении приведены таблицы анализа результатов диадической и циклической сверток последовательностей для построения матрицы коррекции диадической свертки; текст программы расчета фильтра в области модифицированного спектра Уолша, обладающего заданными свойствами в области спектра синусоидальных функций; описание применения теории нечетких множеств к анализу локальных максимумов циклической автокорреляционной функции, полученной по ее диадическому аналогу; тексты подпрограмм, реализующих быстрое преобразование в базисе модифицированных функций Уолша, в том числе использующих параллельное вычисление частичных сумм на ЭВМ Фон-Неймановского

типа; таблицы с результатами исследований временной сложности разработанных алгоритмов фильтрации; описание аппаратно-программного комплекса для иридодиагностических исследований; исходный текст разработанного программного комплекса цифровой фильтрации растровых моделей изображений в области нечеткого спектра Уолша; а также копии актов внедрения прикладных результатов диссертационной работы.

- 131. АНАЛИЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ИЗОБРАЖЕНИЙ В ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ

1.1. Формирование моделей изображений в информационно-измерительных системах

Формирование моделей изображений в информационно-измерительных системах происходит по последовательной схеме (рис. 1.1).

Рис.1.1 .Функциональная схема информационно-измерительной системы, использующей изображение в качестве первичного сигнала.

Пространственное распределение яркости В(х, у) светового потока Ф(х,у,$ от наблюдаемого объекта при помощи оптической системы (ОС) проецируется на детектор излучений (ДИ), в котором преобразуется в электрический сигнал Полученный электрический сигнал оцифровывается посредством аналого-цифрового преобразователя (АЦП) и поступает на вход цифрового блока обработки (ЦБО) в виде числовой матрицы О размером МхN с элементами Результаты оценки параметров наблюдаемого объекта используются в устройстве управления объектом (УУО), устройстве принятия решений (УПР), а также отображаются при помощи устройства отображения информации (УОИ).

ОС, ДИ и АЦП составляют систему формирования цифровой модели изображения. Под цифровой моделью изображений в дальнейшем будет пониматься некоторый упорядоченный набор двоичных чисел, каким-либо образом описывающий распределение интенсивности светового потока в некоторой плоскости, называемой плоскостью изображения. Наиболее часто в информационно-измерительных системах применяются растровые модели изображений, представляющие собой числовые матрицы размером Мх/У [2, 9,10, И, 26,42, 50, 58, 69, 73], что обусловлено особенностями приборов для преобразования изображений в электрический сигнал [29, 41, 48, 56, 60], использующихся в качестве ДИ.

Цифровая модель изображения, поступающая на вход ЦБО, характеризуется значительным объемом и высокой скоростью поступления данных, неотрицательностью и нормированностью данных, наличием дефектов. Цифровая модель наблюдаемого изображения описывается как:

в = Х + (1.1)

где Х- числовая матрица размером МхТУ, описывающая идеальную цифровую модель изображения объекта,

N - числовая матрица размером Мх1V, описывающая некоррелированный шум (дефекты), являющийся следствием инструментальной погрешности.

Появление дефектов на модели изображения может быть вызвано дефектами детектора излучений; аберрациями в оптической системе; неравномерностью освещения и отсутствием фокуса; неоднородностью светофильтра; малой или избыточной освещенностью.

Цифровая модель изображения, поступающая на вход ЦБО, характеризуется наличием инструментальной погрешности, вносимой системой формирования. Поэтому анализу полученной модели изображения в ЦБО предшествует процесс ее фильтрации.

Под фильтрацией модели изображения понимается применение к нему системы преобразований, приводящих изображение к виду, удобному для анализа или улучшающему качество его визуального восприятия человеком оператором. Под анализом модели изображения понимается применение к нему системы преобразований, обеспечивающей извлечение из модели изображения полезной информации о свойствах наблюдаемого объекта или процесса.

1.2. Фильтрация моделей изображений в информационно-измерительных системах

Фильтрация моделей изображений в информационно-измерительных

системах состоит в получении оценки X идеальной цифровой модели изображения объекта в соответствии с заданным критерием качества по модели наблюдаемого изображения О:

Функция / определяется используемым методом фильтрации. В зависимости от ее свойств фильтрация может быть нелинейной или линейной. Метод фильтрации выбирается исходя из семантической цели фильтрации модели изображения в конкретной информационно-измерительной системе с учетом временных ограничений и требуемого качества.

В качестве показателя точности фильтрации используется критерий минимума среднеквадратичной ошибки:

где х(/,7') и - отсчеты соответственно обработанного и

«идеального» сигналов.

(1.2)

(1.3)

-16л

Методы определения X могут базироваться на прямом или косвенном использовании статистических характеристик модели изображений {медиана [10, 11, 13, 53], мода [10, 50, 58], гистограмма распределения уровня серого тона, матрица совместной встречаемости пар уровней

л

серого тона у пар точек [58] и другие). Также для определения X может использоваться заданная переходная характеристика фильтра [И, 15, 55, 58, 59, 61]. При этом фильтрация может осуществляться как в сигнальной, так и в спектральной области обрабатываемой модели изображения.

Нелинейная фильтрация моделей изображений.

Наиболее распространенной в данной группе является медианная фильтрация [10, 58, 70]. Основана на использовании порядковых статистик, выполняется в сигнальной области, эффективна при сглаживании импульсного шума.

Пусть растровая модель изображения представлена набором чисел на квадратичной решетке jg^- j. Медианный фильтр с апертурой А для данной модели изображения будет определяться как

xtj- = med gij = med [gi+r,i+s; (r, s) с А]. (1.4)

Большой класс нелинейных методов восстановления изображений использует представление изображения как некоторой плотности вероятности [11, 58, 69], что позволяет выполнить ограничение на неотрицательность значений яркости изображения: по физическому смыслу плотность вероятности не может быть отрицательной. В качестве критерия точности восстановления используется максимум энтропии, что соответствует решению задачи максимизации информации, содержащейся в обработанной модели изображения относительно исходной.

Другим практически реализуемым нелинейным методом фильтрации является решение Фридена для метода максимума энтропии [11, 58, 69].

Яркости точек модели изображения при использовании этого метода всегда положительны. Логарифмическая пространственная функция распределения яркости согласуется с моделью системы человеческого зрения. Метод Фри-дена гарантирует отсутствие отрицательных значений яркости в оценке изображения, которая определяется путем решения системы нелинейных уравнений:

= * ехр[-1 + -Ми) * ЧиЛ + м] + ехр[-1 + А(и)]' -5)

р = Хехр["1 + ксф(и) * + /ф (1.6)

где - модель наблюдаемого изображения,

ксф (/, у) - йередаточная функция системы формирования модели наблюдаемого изображения, Р - полная энергия исходного изображения, Я(у, к) и /л - множители Лагранжа, * — операция свертки.

Модель оценки изображения описывается равенством:

= ехр[-1 + ксф (/,7) * + м] • (1-7)

Необходимо отметить, что вычисление сверток с помощью БПФ не приводит к существенному снижению временной сложности, так как основная вычислительная сложность сосредоточена в решении системы уравнений (1.5)-(1.6) относительно множителей Лагранжа Л и ¡л. Линейная фильтрация моделей изображений.

Линейная фильтрация [1, 3, 10, 55, 58, 59, 69, 72] основана на учете информации о соседних точках. Осуществляется путем замены значений параметров каждой точки зашумленной модели изображения некоторой взвешенной суммой значений параметров соседних точек.

При линейной фильтрации в общем случае над наблюдаемым сигналом О = | выполняется преобразование вида

ЛГ-1ЛГ-1

/=О 7=0

где у) - оценка восстановленной модели изображения х(х,у),

Щ) - матрица коэффициентов размера ТШ, определяющая линейный фильтр.

Выражение (1.8) для получения оценки по наблюдаемому сигналу представляет собой свертку в сигнальной области и имеет большую временную и вычислительную сложность. Линейный фильтр в таком виде требует

■у

ЛГ

операций на N отсчетов отфильтрованного сигнала. Операция дискретной свёртки имеет аналог в пространстве дискретного преобразования Фурье (ДПФ), где она заменяется операцией поточечного умножения. Использование быстрых алгоритмов вычисления ортогональных преобразований уменьшает временную сложность линейной фильтрации. При этом фильтрация осуществляется в области спектра выбранного базиса ортогональных функций и осуществляется в три этапа:

1) определение спектра наблюдаемого сигнала путем преобразования сигнала по некоторому базису, для которого существует «быстрый алгоритм» преобразования;

2) поэлементное умножение отсчетов полученного спектра на коэффициенты, определяющие линейный фильтр в спектральной области;

3) обратное преобразование по тому же базису для полученных отсчетов отфильтрованного сигнала. В матричной форме можно записать:

Х=Т~1НТв, (1.9)

где Т и Т1 - матрицы прямого и обратного преобразований,

Н - матрица, описывающая линейный фильтр, которая представляет собой ДПФ дискретизированной весовой функции окна фильтрации в сигнальной области.

В зависимости от метода расчета Н существуют следующие подвиды

линейной фильтрации.

Фильтрация изъятием значений части спектральных коэффициентов. Для типичного изображения характерно, что в области преобразований элементы с малыми индексами имеют большее значение по сравнению с элементами с большими индексами. Низкочастотные составляющие определяют форму предметов и их яркость. Высокочастотные составляющие создают резкие линии и определяют общую чёткость изображения, но суммарная их энергия невелика (для спектра Фурье - 5%, ещё меньше для спектров Уолша и Хаара). Снятие шума можно осуществлять путем избирательного сохранения коэффициентов преобразований.

Пусть С(и,у) является спектром модели наблюдаемого изображения. Тогда процесс фильтрации состоит в изъятии значений части спектральных коэффициентов, в результате которого на восстановление функции 0(1,]) передаётся лишь часть элементов С(и,у), а другие приравниваются к нулю перед обратным преобразованием. Можно записать:

= (71(м,у)+ С2(и,у), (1.10)

где С](и,\) - часть спектра, содержащая информацию о полезном сигнале, <^2(и,у') - часть спектра, соответствующая изымаемым элементам. Обратное преобразование для восстановления можно записать

следующим образом:

Х = Тв1ТТ, (1.11)

где Г- матрица преобразования, т - операция транспонирования.

Если спектры полезного сигнала и шума разделимы, то элемент 02(и,у) после фильтрации равен нулю и формула (1.11) обеспечит получение точной

оценки X.

Существуют два метода фильтрации путём исключения точек в спектральной области: по зональному или по амплитудному признаку. Обе методики можно рассматривать на случай сохранения как высокочастотной или низкочастотной компонент в изображении, так и определенных заданных полос частот. Изменяя порог при амплитудной фильтрации или конфигурацию зоны фильтрации, можно оптимизировать процедуру преобразования модели наблюдаемого изображения с целью получения наибольшего сходства моделей исходного и восстановленного изображений.

Винеровская фильтрация. Основана на теории оптимальных оценок Винера [3, 11, 58, 62, 69]. При проектировании фильтра для обработки изображений ставится задача найти линейную оценку

= Н[&,Л]> (1-12)

где Н — линейный оператор, который обеспечивает минимальную величину среднеквадратичного отклонения (1.3).

Фильтрация выполняется фильтром с передаточной функцией

Н'™=н , Уф Ли,У (1ЛЗ)

где Нсф - передаточная функция системы формирования модели наблюдаемого изображения,

Фп и Ф{ - энергетические спектры шума и сигнала соответственно, * - операция комплексного сопряжения.

Если мощность сигнала мала или равна нулю, то коэффициент передачи винеровского фильтра также стремится к нулю.

Метод уравнивания энергетических спектров (гомоморфная фильтрация). Метод уравнивания энергетических спектров (УЭС) [55, 57, 58] позволяет восстанавливать изображение лучше, чем с помощью вине-ровской фильтрации. При проектировании фильтра решается задача нахождения такой линейной оценки (1.2), чтобы ее энергетический спектр равнялся энергетическому спектру исходного изображения:

Ф%{и,у) = Фх(щу). (1.14)

Считается, что g(i,j) определяется выражением

= ксф (/,/) * х(г + Д (1.15)

где п(г,]) - аддитивный шум, * - операция свёртки.

А

Тогда энергетический спектр оценки X равен: Ф% 0и, V) =| Нуэс 0и, V)!2 (| Нсф (и,у)\2фх (и, V) + Ф„ (и, V)) . (1.16)

Модуль передаточной функции линейного фильтра, уравнивающего энергетические спектры имеет вид:

НуЭС(и,у)= I--1 ^ . ■ . (1.17)

2\ , ' Фх(и,у)

При малой Мощности сигнала коэффициент передачи фильтра уменьшается до нуля.

Все вышеперечисленное дает основание утверждать о существовании большого количества методов фильтрации растровых моделей изображений в информационно-измерительных системах. С точки зрения снижения времени обработки модели изображения в информационно-измерительной системе применение нелинейных методов фильтрации, в том числе методов, ос-

нованных на использовании порядковых статистик, не всегда оправдано. Вычислительная и временная сложность таких методов высока вследствие отсутствия аналитических решений и необходимости применения в ряде случаев численных методов. Наибольшей простотой реализации и эффективностью характеризуются методы линейной фильтрации. Приемлемого качества восстановления модели изображения можно достигнуть даже при использовании простого изъятия значений части спектральных коэффициентов. Сокращение временной и вычислительной сложности достигается за счет использования быстрых алгоритмов, однако при значительных объемах данных или при большой скорости их поступления методы линейной фильтрации часто оказываются недостаточно производительными.

Повышение производительности существующих методов фильтрации цифровых растровых моделей изображений требует применения специализированных вычислителей, таких как процессоры Фурье [10, 59]. Поэтому необходимо решить задачу создания методов фильтрации, характеризующихся малой временной и вычислительной сложностью и не требующих совершенствования аппаратной базы. Одним из путей решения этой задачи является применение теории нечетких множеств в цифровой фильтрации.

1. 3. Описание цифровых растровых моделей изображений и их

спектров нечеткими множествами

Все описанные в пп.1.2 методы фильтрации цифровых растровых моделей изображений основаны на представлении модели изображения прямоугольной матрицей X размером N.хМ. Такое математическое описание моделей растровых изображений является общепринятым в теории фильтрации

[2, 9, 10, 11, 26, 42, 50, 58, 69, 73] и не накладывает на |хгу | никаких ограничений.

Как было отмечено ранее, характеристики элементов растровых моделей изображений являются неотрицательными и нормированными. В простейшем случае для черно-белого изображения существует нижняя граница -абсолютно черное изображение (нулевая яркость) и верхняя граница - абсолютно белое изображение (максимальная яркость).

Существующее математическое описание моделей изображений не накладывает на значения характеристик элементов моделей никаких ограничений, поэтому в процессе фильтрации возможно появление элементов с отрицательными значениями характеристик или элементов со значениями характеристик, превышающими некоторое максимальное значение, обусловленное количеством уровней квантования. Это приводит к необходимости введения дополнительных операций по коррекции результата фильтрации. В простейшем случае это операция типа:

где С - некоторое максимальное значение, обусловленное количеством уровней квантования.

Необходимо отметить, что восприятие изображений у каждого человека сугубо индивидуальное. Человек в силу особенностей восприятия при описании изображений оперирует относительными субъективными определениями. Например, для черно-белого изображения это категории: темное, яркое, черное, темно-серое, серое, светло-серое, белое, и т.п. Поэтому для описания изображений люди используют нечеткие категории, характеризующиеся определенным разбросом характеристик элементов изображений.

Вследствие этого в качестве математического аппарата описания растровых моделей изображений и построения алгоритмов их обработки в рабо-

тах [19, 20, 21, 22, 24, 30, 31, 32, 33, 35, 38, 39, 64, 74, 79] предлагается ис-

с

0, Ху < 0

ХУ ' 0 - ХУ - с> х у у ^ С

У '

У

(1.18)

пользование теории нечетких множеств [46, 51, 52, 76, 77, 80, 81, 87, 88, 95, 97, 100, 102, 103]. Такой подход позволяет согласовать математическое описание модели изображения с особенностями человеческого восприятия, а также естественным образом учесть ограничения на неотрицательность и нормированность характеристик элементов моделей изображений.

В рамках теории нечетких множеств строки или столбцы элементов моделей изображений можно описать нечеткими подмножествами, а двумерные модели изображений - нечеткими отношениями. Пусть

X — Х3,..., хп} (1.19)

некоторое множество (в обычном смысле) элементов, характеризующее строку или столбец в матрице, описывающей модель изображения (это может быть также вся матрица, развернутая в одну строку или один столбец). Нечетким подмножеством X называют совокупность пар вида

Г-«*'

гДе Х1 является элементом множества X [46, 51], а Их (■*-) [ОД] называется функцией принадлежности [46, 52], которая

показывает степень принадлежности элемента л: множеству Хв подмножестве X. При описании моделей изображений функция принадлежности пока-

у««»/

зывает степень интенсивности определенной характеристики элемента модели изображения. В зависимости от способа кодирования это может быть: интенсивность излучения в определенном диапазоне (Л, в, В или С, У, М, В), яркость и насыщенность, другие колориметрические характеристики [9, 43, 45,58].

Пусть X = {х^, х2,..., хп } и У = , у2,..., ут } - обычные множества, характеризующие набор отсчетов по вертикали и горизонтали.

Нечетким отношением называется нечеткое подмножество

прямого произведения множеств Хи У,

У(х,у) е X X 7: (х,у) е М, (1.20)

где М- его множество принадлежностей.

Здесь функция принадлежности также показывает степень интенсивности определенной характеристики элемента модели изображения.

Для нечетких подмножеств и отношений определены система базовых операций (объединение, пересечение, алгебраическое произведение, алгебраическая сумма, дополнение и др.), линейное и квадратическое расстояние, индекс нечеткости [46, 51, 52, 88].

Использование теории нечетких множеств для обработки моделей изображений в информационно-измерительных системах имеет следующие преимущества.

1.Так как элементами нечетких множеств могут быть как числа X, так и множества Хиш нечеткие подмножества X, то алгоритмы, полученные на

их основе будут структурно универсальны. Вследствие этого одни и те же модели изображений могут обрабатываться различными классами алгоритмов.

2,Областью определения функции принадлежности элемента нечеткого подмножества является интервал [0, 1]. Поэтому все обрабатываемые данные и результаты являются неотрицательными и нормированными.

3.Обработка моделей изображений может выполняться с помощью последовательного применения различных методов фильтрации, что обеспечивает возможность каскадирования.

4.Согласование математического описания модели изображения с особенностями человеческого восприятия.

-26В работах [19, 20, 21, 22, 24, 30, 31, 33, 74, 87, 88] описано применение

методов теории нечетких множеств при разработке обобщенных алгоритмов цифровой фильтрации растровых моделей изображений в сигнальной области. При этом отмечается сокращение временной и вычислительной сложности за счет замены арифметических операций логическими [19, 30, 31, 33].

Недостаточно исследованной на данный момент является задача фильтрации в спектральной области с использованием методов теории нечетких множеств. ■

Использование теории нечетких множеств для фильтрации моделей изображений в спектральной области в информационно-измерительных системах имеет следующие преимущества.

1.Решается задача выполнения ограничений на неотрицательность и нормированность результатов фильтрации в спектральной области. Область определения функции принадлежности гарантирует неотрицательность и нормированность обрабатываемых данных и результатов.

2.Снижается вычислительная и временная сложность алгоритмов фильтрации за счет замены арифметических операций логическими и операций класса умножения операциями класса сложения.

Для решения задачи практического использования теории нечетких множеств при обработке растровых моделей изображений в спектральной области необходимо развитие теории линейных преобразований для получения нечеткого спектра, методов фильтрации в области нечеткого спектра, и методов расчета фильтров, описываемых нечеткими подмножествами и отношениями.

Определение 1.1. Нечеткий спектр. В качестве нечеткого спектра рассматривается результат некоторого ортогонального или квазиортогонального преобразования нечеткого подмножества. При этом спектральные коэффициенты должны отвечать требованиям неотрицательности и нормиро-

ванности в интервале [0, 1] и могут быть описаны нечетким подмножеством

или отношением.

Для получения нечеткого спектра необходимо преобразование, обеспечивающее нормированность спектральных коэффициентов в интервале допустимых значений входных данных.

1, 4. Преобразование для получения нечеткого спектра

Применение методов теории нечетких множеств для цифровой фильтрации растровых моделей изображений требует получения неотрицательного нормированного спектра, обычное множество спектральных коэффициентов

которого £ = можно будет представить нечетким отношением Я с функцией принадлежности

= (1-21)

так как

^ е [0,1]. (1-22)

Анализ ортогональных преобразований, использующихся в цифровой фильтрации [3, 4, 5, 6, 14, 18, 28, 47, 49, 59, 67, 68, 84, 85, 96] показал, что в литературе не описано ортогонального преобразования, удовлетворяющего условию (1.22). Выполнения условия (1.22) можно добиться следующими путями:

1) нормированием спектра выбранного ортогонального преобразования;

2) созданием «специального» ортогонального преобразования, спектр которого удовлетворяет условию (1.22);

-283) модификацией одного из существующих ортогональных преобразований таким образом, чтобы его спектр удовлетворял условию (1.22). '

Первый путь предусматривает введение дополнительных операций по нормированию спектра после его получения с помощью одного из существующих ортогональных преобразований. Основной целью применения методов теории нечетких множеств для цифровой фильтрации изображений в спектральной области является снижение временной и вычислительной сложности алгоритмов фильтрации, поэтому такой путь неприемлем, так как вычислительные затраты на операции по нормированию спектра не окупают снижения временной сложности за счет применения методов теории нечетких множеств при обработке спектра.

Модификация одного из существующих ортогональных преобразований предпочтительнее разработки «специального» преобразования, так как можно будет использовать наработанные для базового преобразования методы фильтрации и расчета фильтров в спектральной области. Для фильтрации в области модифицированного преобразования эти методы необходимо будет соответствующим образом адаптировать.

Необходимо также отметить, что для наибольшего снижения временной сложности алгоритмов фильтрации требуется в качестве базового выбрать преобразование, выполняющееся с наименьшими вычислительными затратами.

Данные о вычислительной сложности наиболее распространенных преобразований в цифровой фильтрации растровых моделей изображений приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1.

Вычислительная сложность ортогональных преобразований, используемых в

цифровой обработке изображений.

Преобразование Базисные функции Порядок числа операций

Карунена-Лоэва Собственные вектора ковариационной матрицы Ы3, операции класса умножения, быстрое преобразование не найдено

Косинусное Косинусные функции операции класса умножения

Фурье Комплексные синусоидальные функции операции класса комплексного умножения

Наклонное Пилообразные функции 27У21^2А/Г, операции класса умножения

Уолша Функции Уолша М^о&Д, операции класса сложения

Хаара Функции Хаара 2(1V-!) операций класса сложения, операций двоичной инверсии, и N умножений (необязательных, т.к. возможен учет веса спектральных коэффициентов)

Из табл. 1.1 видно, что наименьшими вычислительными затратами характеризуются преобразования в базисе функций Уолша и Хаара. Однако спектральные коэффициенты Хаара в отличие от всех остальных характеризуются так называемой «локальной чувствительностью» - чем больше номер спектрального коэффициента, тем меньшим количеством отсчетов сигнала

он определяется. Поэтому наиболее предпочтительным является использование преобразования Уолша в качестве базового для модификации.

Использование преобразования Уолша в цифровой фильтрации имеет следующие особенности [3, 7, 14, 28, 49]:

1) спектральный коэффициент Уолша содержит информацию не об одной частоте, как спектральный коэффициент Фурье, а о некотором множестве частот;

2) произведение в области спектра Уолша соответствует диадической (двоичной) свертке в сигнальной области, а не циклической, как в случае спектров Фурье.

Следовательно, необходима разработка таких алгоритмов фильтрации и методов расчета фильтров, которые будут учитывать данные особенности спектра Уолша. Это могут быть:

1) алгоритмы расчета фильтров в базисе функций Уолша, обладающих заданными свойствами в области синусоидальных функций;

2) алгоритмы коррекции результатов диадической свертки.

В ряде работ [7, 14, 49] уже уделялось внимание решению подобных задач.

На данный момент решена задача получения оценки циклической автокорреляционной функции Я по логической автокорреляционной функции Ь [49].

Выражение для расчета циклической автокорреляционной функции Я в матричной форме для дискретного сигнала X — ,Х|..1 записывается в виде:

Я = — МоХ, (1.23)

N

где Мк представляет собой правоциркулянтную матрицу, заполненную элементами вектораХсдвинутыми в каждой строке на одну позицию вправо:

м

к

Х0 Х| х0

Х1 х2

xN-l хЫ-2

х0

(1.24)

Автокорреляционная функция К инвариантна относительно циклического сдвига входной последовательности (поэтому она называется циклической автокорреляционной функцией) и представляет наибольший интерес при анализе случайных сигналов. Ее вычисление требует больших вычислительных затрат: N операций умножения и N(N-1) операций сложения. Их сокращения можно добиться, используя быстрое преобразование Фурье: вычисление автокорреляционной функции эквивалентно возведению в квадрат спектральных коэффициентов Фурье исследуемой последовательности X. При этом количество операций умножения все еще остается достаточно большим и не позволяет вычислять циклическую автокорреляционную функцию для последовательностей большой длины в реальном масштабе времени или близком к нему без использования специализированных вычислителей.

Логическая автокорреляционная функция Ь определяется как

N-1

^ V" (1.25)

где © - операция сложения по модулю 2 двоичных представлений г и у.

В матричной форме формулу логической автокорреляционной функции можно записать следующим образом:

1 N-1

'(0 = 77 2>ИУ>(Д

N Ь

(1.26)

где Мь - матрица двоичного (диадического) сдвига, заполненная элементами вектора X, индекс которых в у-й строке и г-м столбце определяется выражением (/ Фу).

Автокорреляционная функция Ь инвариантна относительно диадического сдвига входной последовательности X. Ее прямому вычислению (через перемножение матриц) соответствует возведение в квадрат спектральных коэффициентов разложения входной последовательности в базисе функций Уолша. При этом количество умножений уменьшается до ТУ, а количество сложений - до 2NLog2N (при вычислении прямого и обратного преобразований Уолша).

В работе [49] показано существование линейного преобразования, связывающего циклическую и диадическую автокорреляционные функции, что позволяет значительно повысить скорость вычисления циклической автокорреляционной функции:

где Тщ = ИТ - матрица линейного преобразования диадической автокорреляционной функции Ь в циклическую Я; D:=diag{d(i,i)} - матрица весовых коэффициентов:

где и(г) - число единиц в двоичном представлении /', 8(1,0) - символ Кронекера,

Т - собственно матрица преобразования, состоящая из 0 и 1, определяемая из рекуррентного соотношения:

Ь — ТртЯ или Я = ТтрЬ

(1.27)

(1.28)

(1.29)

где ~ матрица, все элементы которой - нули, за исключением единиц, вправо на один элемент относительно неглавной диагонали:

— $2

0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

0 1 , $4 - 0 0 1 0

0 1 0 0

, и т.д.

(1.30)

Исследование задачи получения фильтра в области спектра Уолша, обладающего заданными свойствами в области спектра Фурье, показало, что точное решение определяется значениями элементов обрабатываемой последовательности. Можно разработать метод, подобный описанному выше, для получения приближенных значений параметров фильтра в области спектра Уолша, обладающего заданными свойствами в области спектра Фурье.

1. 5. Выводы

1.Проведено сравнительное исследование существующих методов фильтрации цифровых растровых моделей изображений в информационно-измерительных системах с целью выделения методов, обладающих наименьшей временной и вычислительной сложностью.

2.Предложено использование теории нечетких множеств для описания спектра модели изображения, а также фильтрации растровых моделей изображений в спектральной области, что позволит снизить временную и вычислительную сложность фильтрации растровых моделей изображений в информационно-измерительных системах, а также учесть ограничения на неотрицательность и нормированность данных.

3.По результатам проведенного анализа ортогональных преобразований, использующихся в цифровой обработке сигналов, предложено использовать модификацию преобразования в базисе функций Уолша для получения нечеткого спектра.

4.Исследованы особенности спектра Уолша и методов расчета фильтров в базисе функций Уолша, что позволило выделить методы, которые впоследствии будут адаптированы для расчета нечетких фильтров в базисе модифицированных функций Уолша.

2. МОДИФИКАЦИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В БАЗИСЕ ФУНКЦИЙ УОЛША ДЛЯ ОБРАБОТКИ НЕЧЕТКИХ ПОДМНОЖЕСТВ

2.1. Модификация базиса функций Уолша

Множество функций Уолша {\т1(и)} [3, 14, 28, 47, 49] представляет собой полную систему ортонормированных прямоугольных функций на интервале t е [ОД]. Первые восемь функций Уолша показаны на рис.2.1.

wal(p,t)

wa$7,t)

waJ(3,t)

waK4,t)

waK\,i)

waK6,t)

wal(2,t)

waK5,t)

lililí

1-11-11-1

Заключение диссертации по теме «Информационно-измерительные и управляющие системы (по отраслям)», Титов, Сергей Васильевич

4. 5. Выводы

1.Разработан алгоритм использования математического сопроцессора для параллельного вычисления частичных сумм при расчете спектральных коэффициентов модифицированного и стандартного преобразований в базисе функций Уолша.

2.Проведены исследования вычислительной сложности и точности разработанных алгоритмов фильтрации в области нечеткого спектра Уолша, показавшие снижение вычислительной сложности и повышение точности фильтрации.

3.Исследована временная сложность преобразования в базисе функций Уолша для быстрого алгоритма, использующего параллельное вычисление частичных сумм.

4.Исследована временная сложность быстрых алгоритмов вычисления преобразования в базисе модифицированных функций Уолша, по рекурсивной и нерекурсивной схемам с использованием параллельного вычисления частичных сумм.

5.Произведена сравнительная оценка временной сложности быстрых алгоритмов вычисления модифицированного и стандартного преобразований Уолша.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В целом по диссертационной работе можно сформулировать следующие основные выводы и результаты.

1. На базе сравнительного исследования существующих методов фильтрации изображений в спектральной области предложено использование математического аппарата теории нечетких множеств для решения задачи снижения временной и вычислительной сложности алгоритмов фильтрации изображений в спектральной области.

2. В результате анализа различных базисов ортогональных функций предложено использовать модификацию преобразования в базисе функций Уолша для получения нормированных спектральных коэффициентов.

3. Разработана модификация преобразований в базисе функций Уолша, удовлетворяющая условию получения нормированных спектральных коэффициентов.

4. Исследована предложенная модификация преобразования Уолша: доказаны свойства модифицированного спектра, позволяющие использовать его при обработке сигналов и их анализе, также доказано существование быстрого алгоритма для вычисления модифицированного преобразования в базисе функций Уолша. Предложены рекурсивный и нерекурсивный алгоритмы вычисления быстрого преобразования в базисе модифицированных функций Уолша.

5. Разработан метод получения нечеткого спектра Уолша, а также методы и алгоритмы его линейной и нелинейной фильтрации.

6. Разработан метод построения матрицы коррекции результата диади-ческой свертки, позволяющей рассчитывать приближенные значения фильтра в области спектров Уолша, обладающих заданными характеристиками в области спектра Фурье, и получены зависимости для построения такой матрицы.

7. Разработан алгоритм расчета фильтров в области спектра модифицированных функций Уолша, обладающих заданными характеристиками в области спектра Фурье.

8. Разработан метод и реализован алгоритм использования математического сопроцессора для параллельного вычисления частичных сумм при расчете спектральных коэффициентов модифицированного и стандартного преобразований в базисе функций Уолша.

9. Произведена оценка вычислительной сложности разработанных алгоритмов фильтрации в базисе модифицированных функций Уолша. Показано снижение временной и вычислительной сложности по сравнению с существующими алгоритмами.

Ю.Произведена оценка точности разработанных алгоритмов фильтрации в базисе модифицированных функций Уолша. Показано сохранение качества фильтраций по сравнению с существующими алгоритмами.

11 .Прикладные результаты диссертационной работы внедрены в рамках выполнения комплексной инновационной научно-технической программы 13.22 «Создание комплексов обработки изображений и средств отображения информации», х/д темы №022701 «Разработка математического и программного обеспечения для имитационной системы испытательного стенда» с Конструкторским бюро приборостроения, г. Тула, а также в технологический процесс подготовки оригинал-макетов к печати в типографиях АОЗТ «Форус» и ООО «Спэйс», г. Тула.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Титов, Сергей Васильевич, 1999 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Адаптивные методы обработки изображений: сб. науч. трудов. // Под ред. Сифорова М.В., Ярославского А.Г., М.: Наука, 1986. - 242 с.

2.Александров В.В., Горский М.Д. Представление и обработка изображений. Рекурсивный подход. - Л.: Наука, 1985. - 189 с.

3.Ахмед Н., Pao K.P. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. - М.: Связь, 1980. - 248 с.

4.Бабич В.Мц Григорьева Н.С. Ортогональные разложения и метод Фурье. //Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1983. - 139 с.

5.Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. -М.:Мир, 1989.-448 с.

6.Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. - М.: Наука, 1980.-831 с.

7.Буймов А.Г., Литвин А.И. Использование преобразований Уолша-Адамара для диагностирования вычислительных систем. // Автоматика и телемеханика. - 1998. -№3. Стр.38-42.

8.Булычев Ю.Г., Лапсарь А.П. Вычислительные аспекты задачи нелинейной фильтрации. // Автоматика и вычислительная техника. - 1998. - №2. Стр.32-42.

9.Быков P.E., Гуревич С.Б. Анализ и обработка цветных и объёмных изображений. - М.: Радио и связь, 1984. - 248 с.

10.Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений: преобразования и медианные фильтры // Под ред. Т.Хуанга, М.: Радио и связь, 1984. -221 с.

П.Василенко Г.И., Тараторин A.M. Восстановление изображений. -М.: Радио и связь, 1986. - 304 с.

12.Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. - М.: Наука, 1984.-320 с.

13.Голд Б., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов. - М.: Советское радио, 1973. - 367'с.

Н.Голубов Б.И. и др. Ряды и преобразования Уолша: теория и применение, - М.: Наука, 1987. - 189 с.

15.Гольберг JI.M. Цифровая обработка сигналов. - М.: Радио и связь, 1990. 325 с.

16.Григорьев B.JI. Архитектура и программирование арифметического сопроцессора. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 208 с.

17.Грузман И.С. Двухэтапное восстановление дефокусированных изображений. // Автометрия. - 1997. - №2. Стр. 31-41.

18.Дагман Э.Е., Кухарев Г.А. Быстрые дискретные ортогональные преобразования. - Новосибирск: Наука, 1983. - 232 с.

19.Данилкин Ф.А. Использование нечетких отношений при обработке видеоизображений. // Сборник матер. 2-ой Межд. конф. "Распознавание -95" -Курск, 1995. Стр. 208.

20.Данилкин Ф.А. Технология поворота растровых изображений на основе понятия имидж-отношение. //Автоматизация и современные технологии. № 4, 1998. Стр.16-18.

21.Данилкин Ф.А., Воробьев С.А. Использование теории нечетких множеств для описания сегментации изображений. //Известия Тульского государственного университета. Серия Математика. Механика . Информатика. Том 3. Выпуск 2. Информатика. - Тула.: ТулГУ., 1997. Стр. 58-64.

22.Данилкин Ф.А., Гончаров A.A. Обработка динамических изображений в многопроцессорных вычислительных системах с использованием нечеткой логики. //Тез. докл. 6 научно-технической конференции «Современное телевидение». - Москва, НТО РЭС им. A.C. Попова, 1998. Стр 54.

23.Данилкин Ф.А., Титов C.B. Предварительная обработка изображений при выделении опорных точек. // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Сборник научных трудов. Тул. гос. ун-т. Тула, 1998. Стр. 6067,

24.Данилкин Ф.А., Штарков C.B. Алгоритм вычисления двухмерной свертки в терминах понятия "имидж-отношение". //Известия Тульского государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. Том 2. Выпуск 3. Информатика. - Тула.: ТулГУ., 1996. Стр. 58-64.

25.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М: Наука., 1966. - 396 с.

26.Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. М.: Мир. -1976.-212 с.

27.Жирков В.Ф. Групповое применение преобразований при распознавании изображений // Сб. матер. 2 Междунар. конф. «Оптико-электрон. приборы и устройства в системах распознавания образов, обраб. изображений и символьной инф.: «Распознавание-95», Курск, 1995. - Стр.41-44.

28.3алманзон JT.A. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. - М.: Наука, 1989. - 496 с.

29.Игнатьев В.М. Системы отображения, записи и ввода видеоинформации повышенных объемов и плотности. - Саратов: Сарат. ун-т. - 1990. -160 с.

30.Игнатьев В.М., Данилкин Ф.А. Линейные фильтры для обработки видеоизображений в терминах нечетких множеств. //Тез. докл. III Межд. конф. «Современные проблемы теории чисел и ее приложения». Тула, 1996. Стр. 66.

31.Игнатьев В.М., Данилкин Ф.А. Обработка изображений на основе теории нечетких множеств. // Учебное пособие. - Тула.: ТулГУ, 1997. - 99 с.

32.Игнатьев В.М., Данилкин Ф.А. Применение объектно-ориентированного программирования при использовании теории нечетких мно-

жеств. // Тез. Докладов 2 межд. конф. "Алгебраические, вероятностные, геометрические, комбинаторные и функциональные методы в теории чисел". Воронеж, 1995. Стр. 68.

33.Игнатьев В.М., Данилкин Ф.А. Сегментация изображений в терминах теории нечетких множеств. //Измерительные приборы, информационные технологии. Уфимский государственный авиационно-технический университет. -Уфа.: Гилем, 1996 г. Стр.75-80.

34.Игнатьев В.М., Титов C.B. Аппаратная реализация фильтра Винера на основе быстрого преобразования Уолша-Адамара, упорядоченного по Адамару. // Известия ТГУ. Серия Автоматика. Вычислительная техника. Управление. Том 1. Выпуск 3. Управление. Тула, 1999. Стр. 90-94.

35.Игнатьев В.М., Титов C.B. Винеровская фильтрация в терминах теории нечетких множеств. // Сборник тезисов докладов 35-й НТК Михайловской артиллерийской академии. - СПб.: 1997г. Стр. 75-76.

36.Игнатьев В.М., Титов C.B. Влияние эффекта послесвечения на спектральную характеристику последовательности кадров изображения. //Ж. Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - т. 1, №2-3, 1998 г., стр. 60-64, Самара.

37.Игнатьев В.М., Титов C.B. Использование фильтрации видеосигнала в реальном масштабе времени в системах отображения информации коллективного пользования. //6-я НТК «Современное телевидение». Тезисы докладов. -М., март 1998. Стр 51.

38.Игнатьев В.М., Титов C.B. Модификация преобразований в базисе Уолша-Адамара при обработке данных, представленных нечеткими подмножествами. // Труды Международной научно-технической конференции «Нейронные, реляторные и непрерывнологические сети и модели» том 2 «Реляторные и непрерывнологические сети и модели». - Ульяновск, 1998. Стр. 89-91.

39.Игнатьев В.М., Титов C.B. Модификация преобразования Уолша-Адамара для обработки изображений методами теории нечетких множеств. //Известия ТулГУ. Серия «Вычислительная техника. Автоматика. Управление» Том 2. Вып.1. Вычислительная техника. Тула, 1998. Стр. 85-91.

40.Игнатьев В.М., Титов C.B. Особенности отображения последовательности кадров для дисплеев с длительным послесвечением. // XV научная сессия, посвященная дню радио (тезисы докладов). Тула.: 1998. Стр.65.

41.Использование алгоритмов нелинейной фильтрации для улучшения качества восстановления томографических изображений. Воскобойников Ю.Е., Касьянова С.Н., Кисленко Н.П., Трофимов O.E. // Автометрия. - 1997. -№3. Стр.23-35. .

42.Катыс Г.П. Методы и вычислительные средства обработки изображений. - Кишинев: Штиинца, 1991. - 209 с.

43.Катыс Г.П. Обработка визуальной информации - М.: Машиностроение, 1990. - 320 с.

44.Клиот-Дашинский М.И. Алгебра матриц и векторов. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1974.-160 с.

45.Кодирование и обработка изображений // Под. ред. Зяблова В.В., Лебедева Д.С. - М.: В.Ш., 1988. - 180 с.

46.Кофман Á. Введение в теорию нечетких множеств. - М.: Радио и связь, 1982.-432 с.

47.Литвин А.И. Вычисление спектральных коэффициентов Уолша, Фурье и Хартли. // Автометрия. - 1997. - №2. - Стр.53-60.

48.Мартинес Ф. Синтез изображений: Принципы аппаратного и программного обеспечения. - М.: Радио и связь, - 1990. - 191 с.

49.Матричные методы обработки сигналов. Полонников Р.И., Костюк В.И., Краскевич В.Е. - KieB.: Техшка, 1977. - 136 с.

50.Методы цифровой обработки изображений. // Сборник научных трудов. - Новосибирск, 1988. - 111 с.

-14751 .Нечеткие множества в моделях управления и исскуственного интеллекта. // А.Н. Аверкин и др. - М.: Наука, 1986. - 312 с.

52.Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения. // Под ред. P.P. Ягера. - М.: Радио и связь, - 1986. - 408 с.

53.Обработка изображений и цифровая фильтрация. //Под ред. Т. Хуан-га. -М.: Мир, 1979. - 221 с.

54,Обработка изображений на ЭВМ. Бутаков Е.А., Островский В.И., Фадеев Л.И. // М.: Радио и связь, 1987. - 236 с.

55.0ппенгейм A.B., Шафер Р.В., Цифровая обработка сигналов. - М.: Связь, 1979.-416 с.

56.0чин Е.Ф. Вычислительные системы обработки изображений. Л.: Энергоатомиздат, 1989. - 338 с.

57.Применение цифровой обработки сигналов // Под ред. Э. Оппенгей-ма. - М.: Мир, 1989. - 522 с.

58.Прэтт У. Цифровая обработка изображений : в 2-х кн. - М.: Мир, 1982. - 769 с.

59.Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. - М.: Мир, 1978. - 848 с.

60.Развитие спектральных методов исследования поверхности: аппаратно-программный комплекс сканирующей спектроскопии. Каичев В.В., Сорокин A.M., Воронин В.А., Бадалян A.M. // Автометрия. - 1997. - №5. -Стр. 15-21.

61.Распознавание и цифровая обработка изображений. Анисимов Б.В., В.Д. Курганов, В.К. Злобин. // М.: Высшая школа, 1983. - 295 с.

62.Розенфельд А. Распознавание и обработка изображения с помощью вычислительных машин. - М.: Мир, 1972. - 230 с.

63.Сергеев В.В. Применение методологии распознавания образов в задачах цифровой обработки изображений. // Автометрия. - 1998. - №2. Стр.63-76.

64.Титов C.B., Данилкин Ф.А. Модификация ортогонального преобразования в базисе Уолша-Адамара для нечетких подмножеств. // Межвузовская конференция «Микроэлектроника и информатика - 98». - М.: МИЭТ, 1998. Стр.27-28.

65.Титов C.B., Данилкин Ф.А. Расчет фильтров в базисе функций Уолша, эквивалентных фильтрам в базисе синусоидальных функций. // Известия ТГУ. Серия Математика, Механика, Информатика. Том 4. Выпуск 4. Информатика. Тула, 1998. Стр 88-92.

66.Титов C.B., научный руководитель: проф., д.т.н. Игнатьев В.М. Воздействие эффекта послесвечения на спектральную характеристику последовательности кадров. //XXIV Всероссийская молодежная научная конференция Гагаринские чтения (Сборник тезисов докладов Всероссийской молодежной научной конференции). Часть 5. Москва, 1998 г. М.: МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского, 1998 г. Стр. 16-17.

67.Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. - М.: Недра, 1987. - 221 с.

68.Хуанг Т.О. и др. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений. -М.: Радио и Связь, 1984. - 245 с.

69.Хуанг Т.С. и др. Обработка изображений и цифровая фильтрация. -М.: Мир, 1989.-318 с.

70 .Цифровые и оптико-цифровые методы обработки изображений. //Сб. науч. трудов. - Томск, 1985. - 169 с.

71.Эндрюс Г. Двумерные преобразования. Обработка изображений и цифровая фильтрация. - М.: Мир, 1979. - 324 с.

72.Эндрюс Г. Применение вычислительных машин для обработки изображений. -М.: Энергия, 1977. - 161 с.

73 .Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. -М.: Советское радио, 1979. - 312 с.

74.A fiizzy logic approach to image segmentation. Li X.Q., Zhao Z.W., Cheng H.D., Huang C.M., Marris R.W. // Proc. 12th IAPR Int. Conf. Pattern Rec-ogn., Vol. 1., Jerusalem, 1994. -P. 337-341.

75.Angelopoulos G., Pitas I. Multichannel Wiener filters in color image restoration. // IEEE Trans. Circuit and Syst. Video Technol. - 1994. - №1. - P.83-87.

76.Bloch I., Maitre H. Fuzzy mathematical morphologies: A cooperative study // Pattern. Recogn. - 1995. - 28, №9. - P.1341-1387.

77.Bonde A. R. (Jr), Chosh S. A comparatire study of fuzzy versys "fixed" thresholds for robust queue management in cell switching networks. // IEEE ACM Trans. Network. - № 4, 1994.- P. 337-344.

78.Cawhell A.E. An introduction to image processing and pictures management. // J. Doc. and Text Manag., - №1, 1993. - P. 53-63.

79.Efficient fuzzy fitness assignment strategies in an interactive generic algorithm for cartoon face search. Konichi H., Masayuki M., Eiji M., Nakaji H. // IFSA'95.: Proc. 6th Int. Fuzzy Syst. Assoc. World Congr., Vol.1. Sao Paolo, 1995. -P.173-176.

80.Fuzzy controller for robot arm trajectory. Homaifar A., Sayyarrodsari B., Hogas(IV) J. E. // If. Sei. Appl. - 1994. - P. 69-83.

81.Fuzzy model of cutting process on a milling machine. // Agüero E., etc. Intell. Syst. End. - № 4, 1994. - P. 236-244.

82.Fuzzy uncertainly texture spectrum for texture analysis. Lee Y.-G., Lee J.-H., Hsueh Y.-C. // Electron. Lett. - 1995. - 31, №12. P.959-960.

83.Guedon J.-P., Bizaiz Y. Bandlimited and Haar filtered back-projection reconstruction. // IEEE Trans. Med. Imag. - 1994. - №13. - P.430-440.

84.Hadamard transforms on multiply/add architectures. Coppersmith D., Eig E., Linzer E. // IEEE Trans. Signal Process. - 1994. - №4. - P.969-970.

85.Harmuth H. Transmission of Information by Orthogonal Functions. 2nd ed., New York, Heidelberg, Berlin: Springer, 1972. - 432 p.

86.Hirohito О., Koichiro D. Joho shori gakkai ronbunshi (Применение ra-уссовских нечетких фильтров для выделения краев - яп.) // Trans. Inform. Process Soc. Jap. - .1995. - 36, №10. -P.2244-2252.

87.Hsieh I. Image enchantment with a fuzzy logic approach // Electron. Lett. - 1995. - 31, №9. -P.708-710.

88.Huang L.-K., Wang M.-J. J. Image thresholding by minimizing the measures of furriness // Pattern recognition. - 1995. - 28, №1. - P.41-51.

89image filtering, edge detection and edge tracing using fuzzy reasoning. Todd L., Hidenory I., Hirohisa S. // IEEE Trans. Pattern Anal, and Mach. Intell. -1996. - 18, №5. -P.481-491.

90.Kagiwada H.H., Kalaba R.E. Fuzzy evidential filter for detection and tracking of dim objects // Appl. Math, and Comput. - 1995. - 69, №1. P. 75-96.

91.Kim H.J., Yang H.S. A fuzzy connectionist expert system for visual pattern classification // Rob. and Comput. - Integr. Manuf. - 1994. - 11, №3. -P.233-244.

92.Kraut A. On fuzzy data analysis of greytone pictures. // Math. Res., -1992(1993).-P. 115-119.

93.Leung C.M., Lu W.-S. A modified Wiener filter for the restoration of blurred images. //IEEE Pacif. Rim. Conf. Commun., Comput. and Signal Process., Proc. Vol. 1. Victoria, Piscataway (N.J.), 1993. - P. 166-169.

94.Numerical algorithm for the recovery of real image from its Hartley transform modulus only in two dimensions. Dong В., Yang G., Gu B. // Optik. -1995.-100, №3.-P.93-99.

95.Rommelfanger H. Fuzzy mathematical programing - Modelling of vague data by fuzzy sets and solutin procedures. // Math. Res., - 1992(1993). - P. 142152.

96.Rumatowski K. Walsh Transform Applied To Digital Filtering. //Signal Processing. 1997 - №10. - PP. 253-263.

97.Russo F., Ramponi G. Fuzzy metods for multisensor date fusion. // IEEE Trans. Instrum. and Meas. - № 2, 1994. - P. 288-294.

98.Shah M., Harvath R. A hardware digital fuzzy inference engine using standard integreted circuits. // Inf. Sci. Appl. - № 1, 1994 - P. 1-7.

99.Shen Q. Fuzzy image smoothing //10th Int. Conf. Pattern Recogn., Vol.2. - Atlantic City, N.J., Los Alamitos (Calif.) etc., 1990. - PP. 47-48.

100.Thornber K.K. The fidelity of fuzzy logic inference. // IEEE Trans. Fuzzy Syst., - №4,1993. - P. 288-297.

101.Wang S., Zheng X. A fuzzy clustering algorithm with the criterion of modified objective function for application on automatic target recognition systems. // Proc. Int. Jt Conf. Neural Networks, Vol. 3. - Nagoya, 1993. - P.l 12-115.

102.Witold P. Fuzzy sets in pattern recognition // IFSA'95.: Proc. 6th Int. Fuzzy Syst. Assoc. World Congr., Vol.1. Sao Paolo, 1995. - P. 15-18.

103.Yamakawa T. A fuzzy inference engine in nonlinear analog mode and application to a fuzzy logic control. // IEEE Trans. Neural Networks, - №4, 1993. -P.496-512.